filtros2

Resumo• O circuito LCR ressonante

• Realização de Filtro Passa-Baixo, Passa-Alto, Passa Banda, Notch,

Passa-Tudo

• Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados em

substituição de Indutância

• Circuito de Simulação de Indutância Antoniou

• Realização de Filtro Passa-Baixo, Passa-Alto, Passa Banda, Notch,

Passa-Tudo

• Filtros Activos de 2a Ordem - Topologia de dois integradores ligados

em malha

• Principio de Funcionamento• Implementação (Kerwin-Huelsmann-Newcombbiquad)• Um circuito alternativo (Tow-Thomasbiquad)

– p. 1/31

O circuito LCR ressonante

Os pólos ou modos naturais do circuito (a) podem ser obtidos através do

calculo da impedância do paralelo (aplicando uma excitaçãoque não altera a

resposta do circuito). Quanto à resposta natural ou transitória do circuito uma

fonte de corrente independente ideal é equivalente a um circuito aberto só

alterando as condições iniciais.VoI = 1

Y = 1(1/sL)+sC+1/R = s/C

s2+s(1/CR)+1/(LC)= s/C

s2+s(w0/Q)+w20

Temos que

w0 = 1√LC

Q = w0CR

– p. 2/31

O circuito LCR ressonante

Os pólos ou modos naturais do circuito (a) podem ser obtidos através da

função transferência do circuito (c) (transformada de Laplace da resposta

transitória do circuito) ou injectando a tensão em qualquerponto do circuitox,

y e z.

Num exercício típico será dadow0 e Q para o projecto do filtro.

Como existem três variáveis a determinar (resistência, indutância e

capacidade) arbitra-se uma das variáveis de forma a que as outras duas sejam

realizáveis.

– p. 3/31

Realização de zeros da função transferênciaDepois de escolher os componentes

para realizar o par de pólos pretendidos

é necessário saber onde injectar a tensão

de entrada de sinalVi de forma a obter

a função de transferência pretendida

(Passa-Baixo, Passa-Alto, etc).

T (s) = Vo(s)Vi(s)

= Z2(s)Z1(s)+Z2(s)

Os zeros da função transferência são

os valores des em queZ2(s) é zero (e

Z1(s) não é simultaneamente zero) e os valores emZ1(s) é infinito (eZ2(s)

não é simultaneamente infinito). Se há um valor des para o qualZ1 e Z2 são

zero entãoVo/Vi é finito e não é obtido nenhum zero para essa frequência. Se

há um valor des em queZ1 eZ2 são infinito entãoVo/Vi é finito e não é obtido

nenhum zero para essa frequência.

– p. 4/31

Realização da função Passa-Baixo

O nóx é desligado da massa e é-lhe

aplicado o sinal de entrada. Os zeros

deste circuito são os valores em que:

1) a impedância em série

fica infinita (sL fica infinito ems = ∞)

2) a impedância formada pelo paralelo

deR comC fica zero (1/ [sC +(1/R)]

torna-se zero paras = ∞)

Então este circuito tem dois zeros ems = ∞ como um circuito passa baixo

deverá ter.

T (s) = Vo(s)Vi(s)

= Z2(s)Z1(s)+Z2(s)

= Y1(s)Y1(s)+Y2(s)

= 1/(LC)s2+s(1/(CR))+(1/(LC))

– p. 5/31

Realização da função Passa-Alto

O nóy é desligado da massa

e é-lhe aplicado o sinal de entrada.

O condensador em série

introduz um zero ems = 0 e o paralelo

L comR introduz outro zero ems = 0

como um circuito passa alto deverá ter.

T (s) = VoVi

= a2s2

s2+s(w0/Q)+w20

O valor dea2 pode ser determinado

do circuito observando o valor

do ganho quandos → ∞. A impedância

do condensador aproxima-se

um curto-circuito eVo aproxima-se

deVi resultando ema2 = 1.

– p. 6/31

Realização da função Passa-Banda

O nóz é desligado

da massa e aplicado o sinal de entrada.

É obtido

um zero ems = 0 devido à bobine

L e outro em infinito devido aC.

Na frequência centralw0 o circuito

LC tem impedância infinita (Vo = Vi).

T (s) = VoVi

= (1/(CR))ss2+s(1/(CR))+(1/(LC))

– p. 7/31

Realização da funçãonotch

Este circuito

é obtido desligando os nósx e y da

massa e aplicando o sinal de entrada.

A impedância do circuitoLC

torna-se infinita paraw = w0 = 1/√

LC

e causa um zero a essa frequência.

T (s) = VoVi

=s2+w2

0s2+s(w0/Q)+w2

0

– p. 8/31

Realização da funçãonotchPara obter

um filtro notch no qual a frequência

wn (do zero) é colocada arbitrariamente

relativamente aw0 usa-se o esquema

da figura (decompõe-se L e C em

dois).L1 eC1 são escolhidos tais que

L1C1 = 1/w2n

Então o circuito tanqueL1C1 introduz um par de zeros em± jwn desde que o

circuito tanqueL2C2 não seja ressonante emwn.

Os valores deL2 eC2 devem ser escolhidas de forma a que os pólos não se

alterem

C1 +C2 = C L1 ‖ L2 = L

ou seja quandoVi é substituído por um curto-circuito, o circuito reduz-se ao

circuito LCR ressonante.

– p. 9/31


Este circuito corresponde

a um filtronotch passa-baixo, logo:

wn > w0

e por isso

L1C1 < (L1 ‖ L2)(C1 +C2)

Esta condição

é satisfeita comL2 eliminado (L1 = L).

A função transferência será:

T (s) = VoVi

= a2s2+w2

ns2+s(w0/Q)+w2

0

comw2n = 1/(LC1),

w20 = 1/L (C1 +C2), w0/Q = 1/(CR)

Paras → ∞ o circuito reduz-se

a um divisor capacitivo no qualVoVi

= a2 = C1C1+C2

– p. 10/31


Este circuito corresponde

a um filtronotch passa-alto. Neste caso

wn < w0

e por isso

L1C1 > (L1 ‖ L2)(C1 +C2)

Esta condição

é satisfeita comC2 = 0 (C1 = C).

A função transferência será

T (s) = VoVi

= s2+(1/(L1C))s2+s(1/(CR))+[1/((L1‖L2)C)]

– p. 11/31

Realização da função Passa-Tudo

A função de transferência Passa-Tudo é

T (s) =s2−s(w0/Q)+w2

0s2+s(w0/Q)+w2

0

Pode ser escrita como

T (s) = 1− 2s(w0/Q)

s2+s(w0/Q)+w20

O segundo termo

é uma função Passa-Banda com um

ganho de dois na frequência central.

Dividindo a função de transferência

por dois

T (s) = 0.5− s(w0/Q)

s2+s(w0/Q)+w20

Este circuito pode ser implementado como está representadona figura. Este

circuito tem a desvantagem de não ter um terminal comum de massa entre a

entrada e a saída.

– p. 12/31

Realização de Filtros Activos de Segunda Or-

dem baseados na substituição de Indutância

Circuito de Simulaçãode Indutância AntoniouEste

circuito é muito tolerante

a propriedades não

ideais dos amplificadores

operacionais como o seu

ganho e largura de banda

finitos. Ver os passos

da figura que começam

em (1) e acabam em (18).

– p. 13/31



Circuito de Simulaçãode Indutância AntoniouVerificar que a tensão de

entrada é igual à tensão em

R5 pois os amplificadores

operacionais tem ganhos

infinitos (e são curto

circuitos virtuais à entrada). Considera-se que as correntes nas entradas dos

amplificadores operacionais são nulas.

Zin = V1I1

= sC4R1R3R5R2

Que é uma indutânciaL dada por

L = C4R1R3R5R2

Usualmente escolhe-seR1 = R2 = R3 = R5 = R eC4 = C que dáL = CR2. Os

valores deR eC são escolhidos de forma a termos os valores deL pretendidos.

– p. 14/31

O circuito RC ressonante baseado em Amplifi-

cadores Operacionais

O circuito é um circuito ressonante de segunda ordem com um pólo em

w0 = 1/√

LC6 = 1/√

C4C6R1R3R5/R2

E o factor de qualidade é dado por

Q = w0C6R6 = R6

√

C6C4

R2R1R3R5

Usualmente é escolhidoC4 = C6 = C e R1 = R2 = R3 = R5 = R que resulta

w0 = 1/CR e Q = R6/R.

Escolhe-se primeiro um valor conveniente paraC, calcula-seR a partir dew0.

Depois determina-seR6 para se obter um determinado factor de qualidade.

– p. 15/31



Nota: Nos próximos acetatos apresentam-se os vários circuitos de segunda

ordem apresentados anteriormente com a bobina substituídapelo circuito de

Antoniou.

Filtro Passa-Baixo

– p. 16/31



Filtro Passa-Alto

– p. 17/31



Filtro Passa-Banda

– p. 18/31



Filtro notch em w0

– p. 19/31



Filtro notch Passa-Baixown > w0

– p. 20/31



Filtro notch Passa-Altown < w0

– p. 21/31



Filtro Passa-TudoO circuito Passa-Tudo

tem uma função

transferência do tipo

Passa-Tudo=1-(Passa-

Banda com o ganho da

frequência central de 2)

Circuitos

relacionados desta

forma são designados por

complementares. Um circuito passa-tudo com ganho unitárioé o

complementar dum circuito passa banda com um ganho central de 2.

Implementa-se o circuito passa banda do acetato 18 comK = 2 e obtém-se o

circuito final desligando os pontos de massa e ligando-os à fonte de tensãoVi.

Os pontos que estavam ligados aVi serão ligados à massa.

– p. 22/31



– p. 23/31



– p. 24/31

Filtros Activos de 2a Ordem - Topologia de dois

integradores ligados em malhaConsidere que a função

de transferência Passa-Alto

de segunda ordem é dada

pela equação abaixo. Fazendo a

multiplicação cruzada e dividindo pors2, obtém-se:VhpVi

= Ks2

s2+s(w0/Q)+w20⇔Vhp + 1

Q

(w0s Vhp

)

+

(

w20

s2 Vhp

)

= KVi (1)

Nesta equação verifica-se que o sinal(w0/s)Vhp pode ser obtido passandoVhp

por um integrador com uma constante de tempo 1/w0. Passando o sinal ainda

por outro integrador idêntico resulta num terceiro sinal(

w20/s2

)

Vhp. A figura

(a) mostra esse arranjo.

– p. 25/31


integradores ligados em malha

É possível arranjar a equação (1) do acetato anterior da seguinte forma:

Vhp = KVi − 1Q

w0s Vhp − w2

0s2 Vhp (1)

que sugere queVhp pode ser obtida utilizando o somador da figura (b).

Pode-se combinar o circuito (a) do acetato anterior com o circuito (b) para

obter o circuito (c).

O sinal à saída do primeiro integrador é uma função passa-banda

Tbp (s) =(− w0

s )VhpVi

= − Kw0ss2+s(w0/Q)+w2

0(2)

À frequência central o ganho é igual a−KQ.

– p. 26/31


integradores ligados em malha

O sinal à saída do segundo integrador é uma função passa-baixo:

Tl p (s) =

( w20

s2

)

Vhp

Vi=

Kw20

s2+s(w0/Q)+w20

(1)

O ganho DC éK.

Este circuito pode implementar ao mesmo tempo os filtros Passa-Alto,

Passa-Banda e Passa-Baixo. Por causa desta versatilidade ocircuito é

chamado de Filtro Activo Universal.

– p. 27/31

Topologia de dois integradores ligados em

malha - Implementação

Este circuito é conhecido como Kerwin-Huelsmann-Newcombbiquad ou

KHN biquad

Vhp = R3R2+R3

(

1+R fR1

)

Vi +R2

R2+R3

(

1+R fR1

)

(

−w0s Vhp

)

− R fR1

(

−w20

s2 Vhp

)

Comparando esta equação com a equação (1) do acetato 26

CR = 1/w0 R f /R1 = 1 R3/R2 = 2Q−1

O ganhoK do amplificador é dado por

K = 2− (1/Q)– p. 28/31


malha - Filtro notch e Passa TudoO KHN biquad pode ser usado

para implementar Filtrosnotch

e Passa-Tudo somando versões

pesadas das saídas Passa-Baixo,

Passa-Banda e Passa-Alto.

Vo =

−(

RFRH

Vhp + RFRB

Vbp + RFRL

Vl p

)

= −Vi

(

RFRH

Thp + RFRB

Tbp + RFRL

Tl p

)

Substituindo as funções (1) e (2) do acetato 26 e (1) do acetato 27 dá uma

função de transferênciaVoVi

= −K(RF/RH )s2−s(RF/RB)w0+(RF/RL)w2

0s2+s(w0/Q)+w2

0

Pode-se ver que diversos zeros de transmissão podem ser obtidos desde que se

escolha as resistências de soma apropriados.

Para o Filtronotch selecciona-seRB = ∞ eRHRL

=(

wnw0

)2

– p. 29/31


malha - Um circuito alternativoÉ possivel substituir

o somador da entrada

por um inversor e

assim utilizar apenas

AMPOPs apenas com

uma entrada activa.

Assim os coeficientes

do somador passam

a ter o mesmo sinal

e é possível dispensar

o somador de entrada

e fazer a soma no

primeiro integrador.

Com esta alteração a função Passa-alto deixa de estar disponível.

O circuito é conhecido comoTow-Thomas biquad

– p. 30/31


malha - Um circuito alternativo Em vez de usar

quatro amplificadores

operacionais

para implementar os

filtros (comKHN biquad

pois no caso deste,

Tow-Thomas biquad,

não está disponível

o Passa-Alto) é possível

utilizar a implementação

Tow-Thomas

biquad com o

sinal de entrada fornecido

a todos os amplificadores

operacionais. Pode-se obter todas as funções pretendidas.Para isso é

necessário obedecer à tabela tendo em conta que a função de transferência

obtida é:VoVi

= −s2(

C1C

)

+s 1C

(

1R1

− rRR3

)

+ 1C2RR2

s2+s 1QCR + 1

C2R2 – p. 31/31

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