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FÍSICA

MECÂNICA CINEMÁTICA

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CONTEÚDOS:

Breve história da Física.

Grandezas Físicas e suas unidades.

Espaço, movimento e Referencial.

Deslocamento e Trajetória.

Velocidade

Aceleração

Movimento Uniforme

Equações do movimento.

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BREVE HISTÓRIA DA FÍSICA Antes da busca por uma explicação racional sobre os fenômenos que oacorriam na natureza o

divino era gerador de todos os fenômenos que se observavam na natureza. A origem do mundo e da

natureza como um todo era explicado como resultado da comunhão e vontade dos Deuses. Na Grécia

antiga surgiram homens que passaram a recusar as explicações divinas e procuraram alcançar uma

explicação, ainda que intuitiva, para os fenômenos. Estas pessoas eram os filósofos, sabios que

buscavam explicações sobre o tempo, o universo, os homens e sua razão de ser. A filosofia a respeito

da natureza chamava-se filosofia natural e abarcava assuntos hoje pertinente a Física, Química e até

mesmo a matemática.

Durante até a Idade Moderna os cientistas acupavam-se de vários estudos dentro destas áreas.

Podemos citar exemplos como o grego Arquimedes, Copérnico, Keppler, Galileu, Newton entre

muitos outros considerados filósofos naturais. Posteriormente com aumento do volume de

conhecimento gerado as ciências foram se distinguindo. A Física, portanto está intimemante ligada à

construção do pensamento humano.

O grande primeiro fenômenos a despertar interesse dos sábios foi o fenõmeno do movimento,

tanto os terrenos quanto os astronômicos. Uma pergunta que foi por muito intrigante: O movimento

dos astros é regido pelas mesmas leis que os movimentos dos corpos terrestres. Foi preciso aparecer na

história grandes gênios como Issac Newton e Galileu Galilei para responder esta questão.

GRANDEZAS FÍSCAS E SUAS UNIDADES

A Física é uma ciência exata utilizando a matemática como principal ferramente para criar

modelos explicativos acerca dos fenômenos. A Física trabalha com as chamadas grandezas Física.

Como exemplo de grandezas Físicas: tempo, massa. Comprimento, deslocamento, velocidade,

aceleração, temperatura, força entre muitas outras grandezas.

Estas grandezas são mensuráveis, ou seja, podem ser medidas e atribuidas a elas uma unidade

apropriada que a identifique.

Exemplos:

Quando nos pesamos medimos a nossa massa (e não o peso!) a tribuindo a ela um valor como

65 e uma unidade para massa como o Kg. Assim sempre que um valor é expresso em kg sabemos que

se trata da grandeza física massa.

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Quando medimos o tempo através de um relógio ou cronômetro expressamos o valor

registrado em segundos, horas ou minutos. A grandeza Física temperatura pode ser medida (atribuida

um valor) com auxílio de um termômetro, e assim, registramos o valor da temperatura seguido da

unidade de temperatura °C. A temperatura de nosso corpo é, por exemplo, 36°C. Todo valor

acompanhado de °C sabemos que é uma medida de temperatura.

De modo semelhante procedemos com as várias grandezas que a Física trabalha.

Abaixo uma tabela com algumas Grandezas Física e suas respectivas unidades.

Grandeza Física Unidade Nome da Unidade

Tempo s, h e min Segundo, hora e minuto

Massa g, Kg Grama e quiilograma

Deslocamento cm, m, Km Centímetro, metro e quilometro

Força N Newton

Energia J Joule

Velocidade m/s e Km/h Metros por segundo e quilometros por hora

Aceleração m/s² Metros por segundo ao quadrado

ESPAÇO, MOVIMENTO, TRAJETÓRIA E REFERENCIAL

Antes de definirmos as grandezas Físicas que trabalharemos na Cinemática vamos entender o

que é espaço, movimento e referencial.

Espaço compreende todos os pontos que um corpo pode ocupar. Nosso espaço cotidiano é

tridimensional com largura, comprimento e altura. Em alguns casos, como ocorre comumente na

Física, trabalha-se em espaços unidimensionais e bidimensionais. O movimento decorre da mudança

de posição no espaço. Sempre verificamos e medimos o movimento de um corpo com base em um

ponto de referência. Costumos usar o ponto de referência como artifício para nos localizar-mos em um

local.

Costumamos dizer que o movimento é algo relativo, e depende do ponto de referência.

Exemplo. Você está dirigindo seu carro, e perguntam se você está em repouso ou em movimento. O

que você responderia?

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Estou em movimento, pois o carro está andando, claro! Cuidado, na Física você deve retrucar a

quem perguntou: Movimento ou repouso em relação a que referencial? Se meu referencial for o

carro, estou parado, mas se for um ponto na estrada eu estou em movimento.

Assim o deslocamento, ou a variação da posição no espaço, é sempre medido com base em um

referêncial adotado.

INTRODUÇÃO A MECÂNICA Mecânica é a área da Física que estuda o movimento dos corpos, subdividindo-se em duas subáreas:

Cinemática: Estuda o movimento sem se preocupar com suas causas. Na cinemática

estudaremos deslocamento, velocidade e aceleração sem preocupar-se com as forças e

variações de energia geradoras de movimento.

Dinâmica: Estuda o movimento e suas causas (Forças e variações de energia que

geram o movimento).

DESLOCAMENTO E TRAJETÓRIA Deslocamento é a variação de posição de um corpo no espaço. Representaremos pela letra S e

quando o corpo não partir da origem calcularemos o ∆S (variação de deslocamento).

A unidade de Deslocamento S é o metro (no SI), representado pela letra m. A posição de

partida de um corpo é chama de posição inicial e representado por So. A variação do deslocamento

quando o corpo não parte da origem é calculado pela relação ∆S = S - So.

Trajetória é a linha imaginária pela qual um corpo se desloca no espaço. As trajetórias podem

ser retilíneas (em linha reta) e curve líneas (curvas).

Exemplo:

Um automóvel, como indicado na figura abaixo, parte de um ponto na estrada distante 5 m de

uma placa que é tomada como referência deslocando-se, em linha reta, a uma posição até 15 m da

mesma. Determine a variação do deslocamento.

A posição final S é de 15 m e a posição inicial So é de 5m, logo ∆S = 15 – 5 = 10 m

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Exercício:

1) Uma formiga aventureira cai sobre uma régua sobre a posição 1 cm e se desloca até a

posição 3 cm caindo em seguida da régua. Calcule a variação de deslocamento da formiga

em metros.

2) Classifique a trajetória:

a) Um carro em uma alta estrada:______________________________________

b) Uma pessoa em uma roda gigante:___________________________________

c) Um mosquito voando:_____________________________________________

VELOCIDADE

Velocidade é uma Grandeza Física (vetorial) bem conhecida pela maioria das pessoas. Quem

costuma dirigir este habituado com o conceito de velocidade. Intuitivamente esta ligado com a

expressão rapidez e sabemos que quanto mais veloz um corpo (carro, moto, você etc.) mais rápido ele

chegara a seu destino. Mas formalmente o que seria a Grandeza Física velocidade?

Velocidade é a taxa de variação da posição, ou ainda, é a rapidez com o qual um corpo varia

sua posição no espaço. Representamos pela letra v e sua unidade no SI é o metro por segundo (m/s).

Há dois tipos:

É velocidade instantânea é a aferida em um exato momento t no decorrer do movimento.

Por exemplo, é a velocidade que você mede no exato momento que olha para o velocímetro do

seu carro

Velocidade média (vm): Da uma idéia da provável velocidade de um corpo durante o seu

deslocamento do ponto de partida ao ponto de chegada.

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Calculamos assim:

ou ainda

Onde:

vm: velocidade média;

∆S ou S - S0: variação de deslocamento;

∆t ou t - t0: tempo gasto para ir do ponto de partida ao ponto de chegada;

Qual a importância de conhecermos a velocidade de deslocamento de um corpo?

É importante para podermos prever o tempo de percurso, ou seja, o tempo para chegar de um

ponto a outro. Veremos alguns exemplos.

Exemplo 1) Uma bolinha é lançada da origem (no ponto de referência) se deslocando em linha reta

com velocidade constante. Ela percorre uma distância de 6 m em 2 s. Calcule a velocidade média em

m/s.

S = 6 m Calculamos a velocidade média logo vm = (6 – 0)/2

S0 = 0 m vm = 6/3

∆t = 2 s vm = 2 m/s

A cada segundo de movimento a bolinha percorre 2 m, ou seja, 2 m/s.

Exemplo 2) Um taxista parte de Tubarão para Florianópolis. O taxista afirma que ele veio com uma

velocidade média de 80 Km/h. Sabendo que a distância é de aproximadamente 160 km, determine o

tempo aproximado de viagem do taxista

Fazer em sala de aula.

No exemplo acima a velocidade foi expressa em Km/h, que é uma

unidade mais conveniente quando as distâncias são grandes. Podemos

expressar uma velocidade em m/s ou Km/h. A relação para converter

uma unidade em outra é a seguinte:

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De m/s para Km/h: multiplique a velocidade por 3,6.

De Km/h para m/s: divida a velocidade por 3,6.

Exemplo 3) Converta a velocidade média do taxista para m/s.

Fazer em sala de aula.

Não apenas os corpos materiais (massivos) podem adquirir velocidade, mas também

fenômenos físicos como ondas sonoras e ondas luminosas. Ondas sonoras possuem velocidade

var ≈ 340 m/s e as ondas luminosas (ondas eletromagnéticas em geral) possuem a incrível velocidade

de v ≈ 300.000 Km/s ou 300.000.000 m/s, ou seja, esta última a cada segundo percorre uma distância

de trezentos milhões de metros.

EXERCÍCIOS

1) Determine a velocidade média de um corpo que percorre uma distância de 40 km em 2 h.

Qual o valor desta velocidade em m/s?

2) João quer determinar a distância de sua casa a uma montanha próxima. Ele observa que

nesta montanha em dias de tempestade caem raios com freqüência. Ele sabe também que a

velocidade do som (som do trovão) é de 340 m/s. Com auxílio de um cronômetro ele

poderia calcular a distância de sua casa a montanha? Como?

3) A Unidade de velocidade usada nos navios é o nó, e seu valor equivale a cerca de 1,8 Km/h.

Se um navio se movimentar a uma velocidade média de 20 nós, em cerca de 5h de viagem

ele terá percorrido:

a) 9 km b) 18 Km c) 36 Km d) 180 Km e) 250 Km.

4) Um móvel percorre 15 m em 2s e, em seguida, percorre mais 15m em 3s. Determine.

a) A velocidade escalar média no primeiro trecho;

b) A velocidade média no segundo trecho;

c) A velocidade escalar média durante todo o trajeto;

5) Converta as velocidades para as unidade de velocidade pedidas.

a) 36 km para m/s;

b) 72 m/s para Km/h;

c) 1200 m/s para Km/h;

d) 1m/s para cm/s;

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ACELERAÇÃO

Aceleração é uma grandeza Física (vetorial), tal como a velocidade, bem conhecida. Quem

costuma dirigir esta abtuado com o termo aceleração. É o ganho de velocidade do automóvel quando

você preciona o acelerador. O ganho de velocidade você verifica no velocímetro situado no painel do

carro.

Aceleração é definida, em Física, como a taxa de variação da velocidade ou ainda a rapidez

com que a velocidade varia no tempo.

Aceleração é representada pela letra a e sua unidade no SI é o metro por segundo ao quadrado:

m/s².

A aceleração pode ser negativa ou positiva:

Aceleração positiva: a velocidade aumenta com o

decorrer do movimento.

Aceleração negativa: a velocidade diminui com o

decorrer do movimento. O movimento com

aceleração negativa é também chamado de

movimento desacelerado ou retardado.

No movimento acelerado a cada unidade de tempo de

movimento (a cada segundo de movimento, por exemplo) o

corpo percorre distâncias gradualmente maiores.

A queda livre é um exemplo de movimento acelerado. Podemos observar, na imagem

estroboscópica (imagem acima) de uma bolinha em queda, que a cada segundo de movimento

(representado palas linhas horizontais na imagem) a bolinha percorre distância maiores.

Há dois tipos de aceleração:

Aceleração instantânea é a aferida em um exato momento t no decorrer do movimento.

Aceleração Média (am): Da uma idéia da provável aceleração de um corpo durante o seu

deslocamento do ponto de partida ao ponto de chegada.

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Calculamos assim:

ou .

Onde:

∆v: variação de velocidade (o mesmo que tf - ti);

∆t: tempo de percurso (o mesmo que t - ti);

t: tempo final de deslocamento;

ti: tempo inicial (início da cronometragem do movimento).

A aceleração gravitacional: É a aceleração dos corpos em queda livre, ou seja, é o aumento de

velocidade a medida que os corpos caem de uma determinada altura. Próximo a superfície este valor é

de aproximadamente 9,8 m/s².

EXEMPLOS:

1) Um automóvel passa por uma lombada a 20 Km/h e pós 8 s de movimento adquire uma velocidade

de 80 Km/h. Determine a aceleração média deste movel.

vi = 20 Km/h;

vf = 80 Km/h;

Devemos observar que a aceleração deve ser expressa em m/s². Devemos, portanto converter

as velocidades em m/s:

Vi = 20 Km/h 20/3,6 ≈ 5,5 m/s

Vf = 80 Km/h 80/3,6 ≈ 22,2 m/s logo a aceleração média sera:

e = 2,08 m/s²

R: A aceleração adquirida após 8 s de movimento é de 2,08 m/s²

2) Um móvel passa passa por um radar a 15 m/s e começa a acelerar a 5 m/s². Determine a velocidade

após 10 segundos de deslocamento.

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Neste exemplo a velocidade inicial vi = 15 m/s e aceleração a = 5 m/s². A velocidade após 10 s de

deslocamento é a velocidade vf pedida, assim aplicando os valores a fórmula:

; ; vf = 65 m/s

R: A velocidade final após 10 s de deslocamento mantendo uma aceleração de 5m/s² é de 65 m/s

EXERCÍCIOS

1) Uma móvel parte do repouso atingindo uma velocidade de 80 Km/h. Supondo uma aceleração

de 3 m/s², quanto tempo o móvel levou para atingir os 80 Km/h?

2) Um motorista a 100 Km/h vê um radar a frente senso obrigado a frear bruscamente até atingir

uma velocidade de 40 Km/h. Esta frenagem leva 12 s. Qual foi a desaceleração do automóvel?

3) Uma bolinha é largada (v0 = 0) de uma determinada altura caindo em queda livre, atingindo o

chão em 10 s. Supondo a aceleração gravitacional de 10 m/s², determine a velocidade com a

qual a bolinha atinge o chão.

4) Calcule a aceleração de um móvel que varia sua de volidade de 20 m/s para 80 m/s em 10 s.

5) Um corpo após 10 s de movimento atinge auma velocidade de 40 m/s. Sabendo que sua

aceleração é de 2 m/s². Determine a velocidade inicial do corpo.

MOVIMENTO RETILÍNEO E UNIFORME (MRU)

Chama-se Movimento Retilíneo e Uniforme todo movimento em linha reta e com velocidade

constante. A velocidade não muda durante o trajeto do dorpo, ou seja, não sofre uma aceleração. Um

exemplo é quando você está dirigindo e você o bserva que o velocímetro não muda de valor (o veículo

está com uma velocidade constante). A queda das gotas de chuva, o movimento do paraquedas aberto

são também exemplos de MRU.

Características:

Velocidade constante;

Aceleração nula a = 0;

Os corpos percorrem distâncias iguais em intervalos de tempos iguais;

Calculamos o deslocamento de um corpo em MRU com a seguinte equação:

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(Equação horária dos Espaços)

Onde: S: é a posição final do corpo;

S0: posição inicial do corpo (posição de onde ele parte);

v: velocidade (constante) do corpo;

t: tempo de deslocamento.

Exemplo 1)

Um movel executa um MRU. Ele passa na posição 3 m com velocidade de 10 m/s e após 20 s de

deslocamento atinge sua posição final. Calcule sua posição final.

Do rproblema: S0 = 3 m

v = 10 m/s

t = 20 s

Logo a posição final S: S = 3 + 10.20 S = 203 m

Exemplo 2)

Um corpo descreve um movimento representado pela equação horária . Determine:

a) O tipo de movimento.

b) A posição inicial;

c) A velocidade do corpo;

d) O espaço percorrido pelo corpo após 2 s.

Gráficos do MRU: S x t e v x t

Representamos o MRU por dois gráficos: deslocamento versos tempo e velocidade versos tempo. Os

gráficos sintetizam várias informações a respeito do movimento de forma concisa.

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Gráfico S x t

Gráfico que relaciona o deslocamento com o tempo. Através do gráfico S x t podemos determinar a

velocidade do corpo.

Exemplo 1): Construa o gráfico da equação que representa o MRU de um corpo.

Para confeccionar o gráfico da equação acima, devemos proceder da seguinte forma:

1º Passo: Atribuir valores para t e calcular os S correspondentes.

t = 0; S = 2 m.

t = 1 m; S = 4 m;

t = 2 m; S = 6 m;

t = 3 m; S = 8 m;

2º Passo: Construção do gráfico.

Ligamos os pontos coordenados, e por estes, traçamos uma

reta.

Portanto, o gráfico característico S x t de um MRU

é uma reta, pois a equação horária dos espaços é uma

equação do 1º Grau.

Gráfico v x t

Gráfico que relaciona a velocidade com o tempo. O gráfico v x t do MRU é muito simples,

pois a velocidade é constante, ou seja, tem sempre o mesmo valor com o tempo.

Exemplo 2)

Construa o gráfico v x t do exemplo acima.

EXERCÍCIOS

1) Calcule o deslocamento de um corpo cujo

movimento é descrito pela equação horária S = 12.t

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2) Um carro de corrida percorre um trecho de pista de acordo com a equação horária S = 2 + 6.t.

Determine:

a) A posição inicial no qual o movimento começa a ser analisado;

b) A velocidade do carro em m/s e Km/h.

c) A distância em metros percorrida pelo carro em 20s.

3) Um motoqueiro parte a distância de 1 m de uma placa de sinalização (seu referencial) com

velocidade constante de 3 m/s. Determine:

a) A equação horária que representa o movimento do motoqueiro;

b) O gráfico S x t;

c) O gráfico v x t;

MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

Este é o tipo de movimento que ocorre com aceleração constante, ou seja, a velocidade varia a

uma taxa cosntante aumentando ou diminuindo seu valor fixo por unidade de tempo. Pode ser um

movimento com uma celeração constante ou com uma desaceleração constante. Quanto a trajetória

pode ser de várias formas, mas estudaremos apenas o movimento retilíneo.

Exemplos de MRUV:

Queda de corpos (queda livre acelerada) e lançamento vertical de corpos (desacelerado);

Um carro que está sendo acelerado;

Um para quedista em queda livre (até que atinja a velocidade terminal);

Características gerais:

Aceleração constate (movimento acelerado);

Desaceleração constante (movimento retardado);

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Deslocamentos sucessivamente maiores por unidade de tempo (movimento acelerado):

Deslocamnto sucessivamente menores por unidade de tempo (movimento retardado ou

freamento);

Calculamos o deslocamento de um corpo em MRUV com a seguinte equação:

Esta equação é também conhecidada como Equação Horária dos Espaços

do MRUV.

Onde:

S0: posição inicial do corpo (de onde ele inicia o movimento);

v0: velocidade incial do corpo;

a: aceleração (constante);

t: tempo de movimento;

Vimos no MRU que a velocidade não mudava no decorrer de todo o movimento. Agora no

MRUV, como vimos, a velocidade cresce ou decresce a uma taxa constante com o passar do tempo e

está velocidade podera ser calculada - para um tempo t de deslocamento - com a seguinte equação:

. Esta equação chama-se Equação Horária das Velocidades. Podemos utilizar também

à equação . Esta última equação chama-se Equação de Torricceli. Com esta

equação podemos determinar a velocidade conhecendo a posição do corpo (variação de deslocamento

∆S).

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EXEMPLOS

1) Um ciclista passa por uma faixa de pedestre situada a três metros de onde ele partio., com uma

velocidade de 1,5 m/s. Passando a faixa ele começa acelerar com a = 1 m/s². Determine sua posição

final após 20s de deslocamento.

O problema nos fornece todas as informações necessárias:

S0 = 3 m;

v0 = 1,5m/s

a = 1 m/s²

t = 20 s.

Colocando na equação: S = 3 + 1,5.20 + ½ . 20²

S = 233 m.

2) Um corredor parte do repouso com uma aceleração de 2 m/s². Quanto tempo levara para percorrer

uma distância de 100 m?

A primeira informação importante é: parte do repouso. Isto significa que a velocidade incial do

corredor é zero (v0= 0). Como o problema não mencionou a posição inical, assumimos que ele saiu do

referencial (marca de partida), ou seja, S0 = 0.

A posição final é de 100 m, logo:

100 = 0 + 0.t + 2/2.t²

100 = 1.t² t = ± t = 10s

Gráficos do MRUV: S x t, v x t, a x t.

Gráfico S x t

O gráfico S x t esxpressa o deslocamneto de um corpo em MRUV com o passar do tempo. O

procedimento para construir o gráfico S x t do MRUV é semelhante ao procedimento para o MRU.

Porrém agora o gráfico sera uma parábola (ao invés de uma reta) pois a equação horária é de segundo

grau (equação com o x ou t ao quadrado).

EXEMPLO 1): Construa o gráfico da equação S = 1 + 1.t + 2t² que representa o MRUV de um corpo.

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1° Passo: Atribuimos alguns valores de tempo para t, e calculamos s correposndente:

t = 0 S = 1 m;

t = 1 s S = 4 m ;

t = 2 s S = 11 m;

t = 3 s S = 22 m;

Para construir o gráfico, basta ligar os pontos

coordenados:

Gráfico v x t

No MRU tínhamos uma velocidade constante no tempo. Agora no MRUV temos uma

velocidade variável com uma taxa de crescimento ou decrescimento constante. Vimos que a equação

horária das velocidades é

Observe que esta equação é de primeiro grau, pois a variável t está elevado a 1, logo seu

gráfico v x t será uma reta.

EXEMPLO 2): Construa o gráfico da equação horária das velocidades

Devemos atribuir alguns valores a t e calcular o valor de v correspondente.

t = 0; v = 1 m/s;

t = 1s; v = 3 m/s;

t = 2s; v = 5 m/s;

t = 3s. v = 7 m/s.

Construindo o gráfico apartir dos pontos t e v:

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Gráfico a x t

Vimos que a aceleração no MRUV é constante, logo o gráfico será uma reta paralela ao eixo

dos tempos. Assim, para todo t teremos um único valor de a.

EXEMPLO 3) Construa o gráfico a x t do movimento representado pela função horária das

velocidades .

EXERCÍCIOS

1) Determine o deslocamento de um automóvel após 20s de movimento sobendo que sua

aceleração é constante e seu movimento obedece à equação horária S = 2 + 2.t + t².

2) Um corpo se desloca segundo a equação horária dos espaços: S = 3 + 2.t + 3/2.t². Determine:

a) A posição inicial do corpo;

b) A velocidade inicial;

c) A aceleração;

d) O deslocamento após 10s de movimento.

3) Um automóvel, inicialmente em repouso parte da origem (ponto de largada) com aceleração

constante de 2 m/s². Escreva a função horária das velocidades e a função horária dos espaços.

4) Um bloco escorrega por uma rampa com aceleração constante de 2 m/s² e velocidade inicial de

1 m/s quando passa pela origem. Determine a função horária deste movimento e seu gráfico

S x t