2

Física 2 Capítulo 3 Hidrodinâmica

Livro texto: Fundamentos de Física 2, Gravitação, Ondas e Termodinâmica. Halliday –

Resnick – Merrill , vol. 2, Editora LTC.

Cada capítulo tem 5 aulas por semana, repetidas na semana seguinte (de duas horas-aula

cada). Uma para cada dia de estudo de cada semana, perfazendo os 5 dias úteis de cada

semana: aula 1/item 3.1, teoria; aula 2/item 3.2, teoria; aula 3/item 3.3, consolidação (exercícios

resolvidos e propostos); aula 4/item 3.4, PCCC e aula 5/ item 3.5, Experimento. Tudo precedido de

uma Motivação. Sugerimos links para consulta e um pouco de História para reflexão. Ao final há

um Resumo, dica de filmes e Referências Bibliográficas.

Atividades Obrigatórias - são 5 por capítulo (uma para cada aula):

1 resumo da teoria do item 3.1 (conta para nota da V.A.);

1 resumo da teoria do item 3.2 (conta para nota da V.A.);

4 exercícios: 2 resolvidos e 2 propostos (conta para nota da V.A.);

1 relatório do PCCC (conta para média final da disciplina) e

1 relatório do Experimento/prática de laboratório (conta para nota da V.A.).

3

Sumário

Física 2 Capítulo 3 Hidrodinâmica .......................................................................................... 1

Motivação ................................................................................................................................ 4

Daniel Bernoulli .................................................................................................................... 4

3.1 Teoria: Hidrodinâmica. Equações da Continuidade e de Bernoulli ........................... 6

Movimento de um fluido ....................................................................................................... 6

Linhas de corrente e a Equação de Continuidade .............................................................. 7

Equação de Bernoulli ........................................................................................................... 8

3.2 Teoria: Aplicações da Hidrodinâmica ........................................................................... 10

3.3 Consolidação .................................................................................................................... 12

3.3.1 Exercícios resolvidos .................................................................................................. 12

3.3.2 Exercícios propostos................................................................................................... 15

3.4 Prática Como Componente Curricular (PCCC) ................................................................ 16

3.5 Experimento/Prática/Laboratório ...................................................................................... 16

Prática 3 – Hidrodinâmica ............................................................................................................................................. Er

ro! Indicador não definido.

4

Motivação

Uma bola de futebol, após um chute muito forte de um jogador, gira no ar causando um

“efeito” e enganando o goleiro. O mesmo acontece com um saque de voleibol ou com uma bola de

beisebol. Como explicar esse efeito?

E um avião? Quantas toneladas a decolar! Que Física está contida na obra de Santos

Dumont?

Links:

http://pt.wikipedia.org/wiki/hidrodinamica

http://www.feiradeciencias.com.br/sala04/04_18.asp

http://pt.wikipedia.org/wiki/vazao

http://pt.wikipedia.org/wiki/Trajet%C3%B3ria

http://br.geocities.com/saladefisica8/bernoulli.htm

Um pouco de história não faz mal a ninguem:

Bernoulli e Bernoulli e Bernoulli. Ô família.

Daniel Bernoulli

Daniel Bernoulli (Groningen, 8 de fevereiro de 1700 - Basileia, 17 de março de 1782),

um matemático holandês, membro de uma família de talentosos matemáticos, físicos e filósofos,

ele é particularmente lembrado por suas aplicações da matemática à mecânica, especialmente a

5

mecânica de fluidos, e pelo seu trabalho pioneiro em probabilidade e estatística e o primeiro a

entender a pressão atmosférica em termos moleculares.

Ele imaginou um cilindro vertical, fechado com um pistão no topo, o pistão tendo um peso

sobre ele, ambos o pistão e o peso sendo suportados pela pressão dentro do cilindro. Ele

descreveu o que ocorria dentro do cilindro da seguinte forma:

"Imagine que a cavidade contenha partículas muito pequenas, que movimentam-se

freneticamente para lá e para cá, de modo que quando estas partículas batam no pistão elas o

sustentam com repetidos impactos, formando um fluido que expande sobre si caso o peso for

retirado ou diminuido ..."

Seu relato, apesar de correto, não foi aceito de maneira geral. A maioria dos cientistas

acreditava que as moléculas de um gás estavam em repouso, repelindo-se à distância, fixas de

alguma forma por um éter. Newton mostrou que PV = constante era uma consequência dessa

teoria, se a repulsão dependesse inversamente com o quadrado da distância. De fato, em 1820

um inglês, John Herapath, deduziu uma relação entre pressão e velocidade molecular, e

tentou publicá-la pela Royal Society (a academia de ciências britânica). Foi rejeitada pelo

presidente, Humphry Davy, que replicou que igualando pressão e temperatura, como feito por

Herapath, implicava que deveria existir um zero absoluto de temperatura, uma idéia que Davy

relutava em aceitar.

Bernuolli era um contemporâneo e amigo íntimo de Leonard Euler. Ele mudou-se para São

Petersburgo em 1724 como professor de matemática, mas foi infeliz lá, e uma doença em 1733

lhe deu uma desculpa para sair. Retornou para a Universidade de Basel, onde ocupou a cátedra

sucessiva de medicina , Metafísica e filosofia natural até a sua morte.

Foi o mais antigo escritor que tentou formular uma teoria cinética de gases, e aplicou a idéia

para explicar a Lei de Boyle-Mariotte. (Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre).

Aula 1 (todo o item 3.1 – equivalente a 2 horas-aula)

Objetivo: Conhecer e entender a Hidrodinâmica, especialmente as equações da Continuidade

e de Bernoulli.

6

3.1 Teoria: Hidrodinâmica. Equações da Continuidade e de Bernoulli

Movimento de um fluido

Em muitos problemas de mecânica, você encontra a seguinte recomendação: “Despreze o

atrito”. Isto significa uma admissão implícita de que, se você considerar o atrito, o problema ficará

demasiadamente difícil. Este é o caso nesta seção. O movimento de um fluido real é complicado e

ainda não é bem compreendido. Discutiremos, então, o movimento de um fluido ideal que é mais

simples de tratar matematicamente. Apesar de nossos resultados não concordarem totalmente

com o comportamento dos fluidos reais, a diferença é desprezível em algumas aplicações

práticas. Apresentamos agora quatro suposições a respeito do nosso fluido ideal:

1. Escoamento Estacionário. Num escoamento estacionário (ou escoamento permanente), a

velocidade do fluido em movimento, num dado ponto, não varia no decorrer do tempo, nem em

módulo, nem em sentido. O suave fluxo da água perto do centro de um rio calmo é estacionário,

porém, numa corredeira, não o é. A ascensão da fumaça de um cigarro (ver a Fig. 15) permite

visualizar uma zona de transição entre o escoamento estacionário e o escoamento não

estacionário ou turbulento. A velocidade das partículas de fumaça aumenta à medida que elas

sobem e, para uma dada velocidade crítica, o fluxo muda seu caráter de estacionário para não

estacionário.

2. Escoamento Incompressível. Tal como admitimos no estudo do equilíbrio do fluido, vamos

supor que o escoamento de um fluido ideal seja incompressível, ou seja, sua densidade

permanece sempre constante.

3. Escoamento Não-Viscoso. A viscosidade num fluido é semelhante ao atrito num sólido.

Em ambos os casos, a energia cinética do corpo que se move pode transformar-se em energia

térmica. Na ausência de atrito, um bloco pode escorregar sobre uma superfície horizontal com

velocidade constante. Analogamente, um objeto movendo-se no seio um fluido ideal (sem

viscosidade) não deveria sofrer a ação de nenhuma força de arraste devido ao atrito viscoso. O

lorde Rayleigh chamou a atenção para o fato de que, em um fluido ideal, a hélice de um navio não

funcionaria, mas, em compensação, um navio (uma vez colocado em movimento) não precisaria

de hélice alguma!

4. Escoamento Irrotacional. Apesar de não mais tratarmos deste assunto, vamos supor

sempre que o escoamento seja irrotacional. Para testar esta propriedade, deixe um pequeno grão

de poeira se mover junto com o fluido. Embora este corpo de teste possa (ou não) se mover numa

trajetória circular, no chamado escoamento irrotacional o corpo de teste não gira em torno de

nenhum eixo passando pelo seu centro de massa. Fazendo uma analogia grosseira, o movimento

7

da cadeira (e do passageiro) de uma roda-gigante é irrotacional, porém o movimento da roda-

gigante é rotacional.

Linhas de corrente e a Equação de Continuidade

Uma linha de corrente é a trajetória descrita por um minúsculo elemento do fluido, o qual pode

ser chamado de “partícula” do fluido. À medida que a partícula de fluido se move, sua velocidade

pode mudar de módulo e de direção. Sua velocidade em cada ponto é sempre tangente à linha de

corrente naquele ponto. As linhas de corrente nunca se cruzam, porque, se isto ocorresse, uma

partícula do fluido, chegando ao cruzamento, teria que assumir duas velocidades distintas

simultaneamente, o que é impossível.

Podemos construir um tubo de escoamento cujo contorno é constituído por linhas de corrente.

Este tubo de corrente funciona como um cano, porque as partículas que nele entram não podem

escapar pelas paredes laterais; caso ocorresse, teríamos o cruzamento de linhas de corrente (o

que é impossível).

Considere duas seções transversais, de áreas A1 e A2 ao longo de um tubo de escoamento

fino. Vamos nos situar em um ponto qualquer P e observar o fluido durante um pequeno intervalo

de tempo ∆t. Durante este intervalo uma partícula do fluido percorrerá uma distância v1∆t e um

volume de fluido ∆V, dado por

∆V = A1v1∆t

atravessará a área A1 da seção reta considerada.

O fluido é incompressível e não pode ser criado nem destruído. Logo, neste intervalo de

tempo, o mesmo volume de fluido deve passar em um outro ponto Q, ou seja,

∆V = A1v1∆t = A2v2∆t.

Podemos escrever para qualquer ponto ao longo do tubo de escoamento

R = A.v = constante (Eq. 1)

onde R, cuja unidade no SI é m3/s, é a chamada vazão volumar. Multiplicando R pela

densidade (constante) do fluido, obtemos a quantidade A.v.ρ , denominada vazão mássica, cuja

unidade no SI é kg/s.

A Eq. 1 denomina-se equação de continuidade. Ela mostra que, nas partes mais estreitas do

tubo, onde as linhas de corrente são necessariamente mais densas, o escoamento torna-se mais

veloz. A Eq. 1 pode ser encarada como uma expressão da Lei de Conservação da Massa,

adaptada para formalismo da mecânica dos fluidos.

8

R = A.v = constante denomina-se Equação de Continuidade. Ela mostra que, nas partes mais estreitas de um tubo, o escoamento torna-se mais veloz e pode ser encarada como uma

expressão da Lei de Conservação da Massa, adaptada para formalismo da mecânica dos

fluidos.

Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli, inicialmente desenvolvida por Daniel Bernoulli, em 1738, não é um

novo princípio básico, mas sim uma proposição decorrente da Lei de Conservação da Energia

adaptada para problemas que envolvam fluidos.

Os muitos Bernoullis foram cientistas e matemáticos famosos.

Considere um tubo de escoamento (ou um cano real) através do qual um fluido ideal escoa

com uma vazão estacionária. No intervalo de tempo ∆t, suponha que o volume de fluido ∆V, entra

pela extremidade esquerda do tubo. O volume que emerge, na outra extremidade, deve ser o

mesmo que o volume que entra, porque o fluido é incompressível, com uma densidade constante

ρ.

Sejam y1, v1 e p1 a altura, a velocidade e a pressão do fluido que entra na extremidade

esquerda e y2, v2 e p2 as quantidades correspondentes para o fluido que emerge na extremidade

direita. Aplicando a Lei de Conservação da Energia a um fluido, pode-se mostrar que estas

quantidades estão relacionadas por

p1 + .2

1

2

12

2

221

2

1 gyvpgyv ρρρρ ++=+ (Eq. 2)

Podemos reescrever isto como

gyvp ρρ ++ 2

2

1= constante

Estas equações são formas equivalentes da Equação de Bernoulli. Como a Equação de

Continuidade, Eq. 1, a Equação de Bernoulli não é um princípio novo, mas a reformulação de um

princípio já conhecido (a Conservação da Energia) numa forma mais conveniente ao problema

exposto. Para confirmar, vamos aplicar a Equação de Bernoulli num fluido em repouso, colocando

v1 = v2 = 0 na equação. Daí resulta

p2 = p1 + ρ.g.(y1 – y2)

que é a Equação de Stevin, já conhecida.

9

Uma previsão fundamental da Equação de Bernoulli surge quando consideramos y constante

(y = 0, por exemplo) de modo que o fluido não mude de nível de altura enquanto escoa, então,

p1 + ,2

1

2

1 2

22

2

1 vpv ρρ +=

a qual nos diz que:

Se a velocidade de uma partícula do fluido aumenta enquanto ela escoa ao longo de uma

linha de corrente, a pressão do fluido deve diminuir, e reciprocamente.

Em outras palavras, onde as linhas de corrente são relativamente mais próximas (isto é, onde

a velocidade é relativamente maior), a pressão é relativamente menor e vice-versa.

Este resultado talvez seja o oposto do que você possa esperar. Por exemplo, se você puser

sua mão para fora da janela de um carro, você “sentirá” um aumento da pressão associada à

velocidade relativa do ar em movimento, não uma diminuição. A dificuldade é que, ao “sentir” a

pressão deste modo, você estará interferindo com o escoamento. A pressão tem que ser medida

de maneira que não haja esta interferência. Se você quebrar um pedaço da janela de um carro,

isto não interferirá no fluir do ar de fora e você perceberá que uma fumaça produzida dentro do

carro se deslocará para fora do mesmo, devido à pressão externa menor.

Para demonstrar a relação velocidade-pressão de um modo simples, segure um pedaço de

papel bem abaixo dos seus lábios e sopre suavemente. Você notará um aumento na velocidade

do ar acima da superfície superior do papel e, portanto, a pressão nesta região ficará reduzida. A

pressão abaixo da superfície do papel, onde a velocidade é nula, permanecerá inalterada, de

forma que o papel ficará suspenso na horizontal.

A Equação de Bernoulli vale somente para fluidos ideais, estritamente falando. Existindo

forças viscosas, a energia térmica será envolvida. Isto não será levado em conta na

demonstração, de modo que a equação de Bernoulli deve ser usada com muita cautela nestes

casos.

A equação de Bernoulli gyvp ρρ ++ 2

2

1= constante, não é um princípio novo, mas a

reformulação de um princípio já conhecido (a Conservação da Energia) numa forma mais

conveniente ao estudo dos fluidos.

Atividade obrigatória 1: Caro Cursista. Faça um RESUMO, com as suas palavras, da teoria

desse item 3.1 e o entregue na próxima visita do Tutor Virtual, no encontro presencial, no seu

Pólo. Isso contará para a sua nota da V. A.

Você pode realizar essa atividade em grupo, mas a tarefa a ser entregue é individual.

10

Aula 2 (todo o item 3.2 - equivalente a 2 horas-aula)

Objetivo: Conhecer e entender algumas aplicações da Hidrodinâmica

3.2 Teoria: Aplicações da Hidrodinâmica

Algumas aplicações da Equação de Bernoulli:

I) Ruptura de Janelas. Se um vento forte sopra através da janela, a pressão no lado de fora é

reduzida e a janela pode quebrar-se de dentro para fora. Este mecanismo fica evidente quando

telhados planos são arrancados de prédios durante furacões; os telhados são, pelo menos em

parte, empurrados para cima pela pressão do ar estagnado embaixo deles.

II) O Medidor Venturi. O medidor Venturi é um dispositivo usado para medir a velocidade de

escoamento de um fluido dentro de um tubo. Num estrangulamento, a área se reduz de A até a e

a velocidade cresce de v para V. No estrangulamento, onde a velocidade é máxima, a pressão

deve ser mínima, como previsto pela Equação de Bernoulli.

Pode-se mostrar, usando a equação de Bernoulli e a equação de continuidade, a relação

( ),

222

2

aA

pav

−

∆=

ρ

onde ρ é a densidade do fluido. A vazão volumar R pode ser calculada pela relação

R = A.v e o dispositivo pode ser calibrado para a leitura direta desta vazão.

III) O buraco num tanque de água. No velho Oeste, um tiro num tanque de água aberto, faria

um buraco situado a uma distância h abaixo da superfície da água. Qual é a velocidade da água

que emergiria do buraco?

Vamos considerar o nível em que se encontra o buraco como nosso nível de referência e

notamos que a pressão no topo do tanque e na saída do buraco é a pressão atmosférica.

Aplicando a equação de Bernoulli, obtemos

p0 + 0 + ρ.g.h = p0 + .02

1 2 +vρ

No membro esquerdo da relação anterior, o 0 indica que a velocidade do líquido no topo do

tanque (isto é, a velocidade com que o nível diminui) é desprezível. O valor 0 do membro direito

indica que utilizamos o nível de referência no plano do buraco. Logo, encontramos

11

,2ghv =

que é a mesma velocidade que seria adquirida por um objeto largado, sem velocidade inicial,

de uma altura h (calculada pela Equação de Torricelli).

IV) A Asa de um Avião. Consideremos as linhas de corrente em torno da asa de um avião.

Utilizando apenas a equação de Bernoulli, não podemos fazer a previsão da distribuição das

linhas de corrente em torno do perfil de uma dada asa de avião. Contudo, conhecida a distribuição

das linhas de corrente, podemos verificar que ela é consistente com a existência de uma força F

dirigida de baixo para cima agindo sobre a asa. O espaçamento relativo das linhas de corrente

sugere, a velocidade do ar acima da asa é maior do que a velocidade abaixo da asa.

Assim, pela equação de Bernoulli, concluímos que a pressão abaixa da asa é maior do que a

pressão acima da asa. A força F pode ser decomposta numa componente vertical, denominada

força de sustentação, e numa componente horizontal, conhecida como força de arraste.

Podemos também explicar a força de sustentação em termos de Terceira Lei de Newton.

Como as linhas de corrente sugerem, a asa força a corrente de ar para baixo. A força de reação

da corrente desviada deve atuar sobre componente orientado para cima. Esta interpretação de

força de sustentação é particularmente apropriada para entendermos a força de sustentação que

atua sobre o rotor de um helicóptero. Quando o helicóptero está suspenso no ar próximo do solo,

o escoamento do ar para baixo é evidente para todas as pessoas que estão paradas nas

vizinhanças do local considerado.

A força de sustentação que atua sobre uma asa de avião (normalmente chamada de

sustentação aerodinâmica) não deve ser confundida com a sustentação estática proporcionada

pela força de empuxo, baseada no princípio de Arquimedes. A sustentação dinâmica ocorre

somente quando existe movimento relativo entre o objeto e a corrente do fluido.

Ruptura de janelas, O medidor Venturi, O buraco num tanque de água,

a asa de um avião são algumas aplicações da Equação de Bernoulli da Hidrodinâmica.

Atividade obrigatória 2: Caro Cursista. Faça um RESUMO, com as suas palavras, da teoria

desse item 3.2 e o entregue na próxima visita do Tutor Virtual, no encontro presencial, no seu

Pólo. Isso contará para a sua nota da V. A.

Você pode realizar essa atividade em grupo, mas a tarefa a ser entregue é individual.

12

3.3 Consolidação

Aula 3 (todo o item 3.3 - equivalente a 2 horas-aula)

Objetivos: acompanhar resoluções dos exercícios da atividade passo a passo (resolvidos) e

resolver exercícios de fixação (propostos).

Atividade passo a passo

Atividade obrigatória 3: Caro cursista, escolha dois exercícios resolvidos e dois propostos das

listas abaixo. Resolva–os, e os entregue na próxima visita do Tutor Virtual, no encontro

presencial, no seu Pólo. Isso contará para a sua nota da V. A.

Você pode realizar essa atividade em grupo, mas a tarefa a ser entregue é individual.

3.3.1 Exercícios resolvidos

1. A área, A0, da seção transversal da aorta (o maior vaso sanguíneo emergente do coração),

para uma pessoa normal, em repouso é aproximadamente igual a 3 cm2 e a velocidade v0 do

sangue é igual a 30 cm/s. Um vaso capilar típico (diâmetro ≈ 6µm) possui uma seção transversal

de área A = 3 x 10-7 cm2 e uma velocidade de escoamento igual a 0,05 cm/s. Estime o número de

vasos capilares que esta pessoa possui.

Resolução: O sangue que passa através de todos os capilares é o mesmo sangue que tem de

passar pela aorta; então, pela Eq. 1,

A0v0 = n.A.v

onde n é o número de vasos capilares. Explicitando n, resulta

( )( )( )( )scmcmx

scmcm

Av

vAn

/05,0103

/30327

3

00

−==

n = 6 x 109 ou 6 bilhões (resposta)

Você poderá mostrar facilmente que a área da seção transversal dos capilares é

aproximadamente igual a 600 vezes a área da seção reta da aorta.

2. Um filete de água saindo de uma torneira se estreita enquanto cai. A área A0 da seção

transversal, próximo à boca da torneira, é igual a 1,2 cm2 e a área A, num outro ponto, mais

13

abaixo, é igual a 0,35 cm2. Os dois níveis estão separados por uma distância h (= 45 mm).

Calcule a vazão deste escoamento.

Resolução: Da equação de continuidade (Eq. 1), temos

A0v0 = A.v

onde v0 e v são as velocidades da água nos níveis correspondentes.

Da Eq. de Torricelli, podemos também escrever

v2 = ghv 22

0 +

Eliminando v das duas equações e explicitando v0, obtemos

22

0

2

0

2

AA

ghAv

−=

0v

( )( )( )( )( ) ( )2222

222

35,02,1

35,0045,0/8,92

cmcm

cmmsm

−=

0v = 0,286 m/s = 28,6 cm/s.

A vazão volumar R será

R = A0v0 = (1,2cm2) (28,6cm2/s)

R = 34 cm3/s (resposta)

Com esta vazão, bastariam 3 s para encher um béquer de 100 ml.

3. Demonstre a Equação de Bernoulli.

Resolução: vamos tomar como nosso sistema o volume total de um fluido (ideal). Agora

apliquemos a Lei de Conservação da Energia a este sistema, enquanto ele se move de seu estado

inicial para o estado final. Percebemos que a parte do fluido que se encontra entre os dois planos

verticais separados por uma distância L, não altera suas propriedades durante este processo;

precisamos nos preocupar somente com as variações que ocorrem na extremidade da entrada e

na da saída.

Podemos aplicar a Lei de Conservação da Energia sob a forma do teorema do trabalho-

energia cinética, ou seja,

W = ∆K (teorema do trabalho-energia).

14

Isto nos diz que a variação da energia cinética de nosso sistema tem que ser igual ao trabalho

resultante realizado sobre o sistema.

A variação da energia cinética ocorre somente nas extremidades, sendo dada por

∆K = ( ),

2

1

2

1

2

1 2

1

2

2

2

1

2

2 vvVpmvmv −∆=∆−∆

onde ∆m (= p ∆V) é a massa do fluido que penetra pela entrada e emerge da extremidade da

saída.

O trabalho realizado sobre o sistema de duas fontes. O trabalho Wg realizado pela força

gravitacional para sustentar o elemento de fluido, desde o nível da entrada até o nível da saída, é

dado por

Wg = - ∆m ρ(y2 – y1) = - ρg ∆V(y2 – y1).

Este trabalho é negativo, porque o deslocamento (para cima) é contrário ao sentido da força

da gravidade (para baixo).

Um trabalho Wp também deve ser realizado sobre o sistema (na extremidade da entrada) para

impulsionar o fluido através do tubo e pelo sistema (na saída) para empurrar o fluido que se

encontra no seu caminho na saída. Nestas circunstâncias, o trabalho realizado pode ser calculado

do seguinte modo:

F ∆x = (p.A) (∆x) = (p).(A ∆x) = p ∆V,

onde, a força F, agindo num elemento de fluido contido num tubo de área A, move o fluido

através de uma distância ∆x. O trabalho resultante é, então

Wp = p2 ∆V + p1 ∆V = - (p2 – p1)∆V.

Pelo Teorema Trabalho-Energia, W = ∆K, resulta

W + Wg + Wp = ∆K.

Das Equações para ∆K, Wg e Wp, encontramos

- ρg ∆V(y2 – y1) - ∆V (p2 – p1) = ( ).

2

1 2

1

2

2 vvV −∆ρ

Depois de pequena modificação, temos exatamente a Equação de Bernoulli:

.2

1

2

12

2

221

2

11 gyvpgyvp ρρρρ ++=++

15

Atividade de fixação

3.3.2 Exercícios propostos

Atividade de fixação

1. A mangueira de um jardim possui um diâmetro de 2 cm e está ligada a um irrigador que

consiste num recipiente munido de 14 orifícios, cada um dos quais com diâmetro de 0,14 cm. A

velocidade da água na mangueira vale 0,85 m/s. Calcule a velocidade da água ao sair dos

orifícios.

2. Um tanque contém água até a altura H. É feito um pequeno orifício, na sua parede, à

profundidade h abaixo da superfície da água. (a) Mostre que a distância x da base da parede até

onde o jato atinge o solo é dada por x = 2 ( ).hHh − (b) Você poderia ter perfurado em outra

profundidade de modo que este segundo jato tivesse o mesmo alcance? Em caso afirmativo, a

que profundidade? (c) Calcule a profundidade do buraco para que o jato emergente atinja o solo a

uma distância máxima da base do tanque.

3. Uma placa de 80 cm2 de área e massa igual a 500 g está suspensa por uma das

extremidades. Calcule a velocidade do ar soprado através da superfície superior da placa para

mantê-la numa posição horizontal.

4. Aplicando a Equação de Bernoulli e a Equação da Continuidade no ponto de entrada e no

estrangulamento (estreitamento) de um Medidor de Venturi, mostre que a velocidade do

escoamento na entrada é dada por

v = ( )

.2

22

2

aAp

pa

−

∆

5. Um medidor de Venturi tem diâmetro de 25 cm no tubo de entrada e de 12,5 cm no

estrangulamento. A pressão da água no tubo é de 0,54 atm e no estreitamento é de 0,41 atm.

Determine a vazão em litros/s.

Aula 4 (todo item 3.4 – equivalente a 2 horas-aula)

Objetivos: desenvolver a criatividade na elaboração de atividades complementares,

individuais, voltadas para a produção do Cursista no âmbito do ensino, na sua prática docente

cotidiana, com seus alunos como co-participantes.

16

3.4 Prática Como Componente Curricular (PCCC)

Atividade obrigatória 4:

Parabéns, você agora completou uma etapa importante do seu Curso de Física, no entanto,

vai aqui uma outra tarefa, e uma das mais importantes: Com base nos conhecimentos adquiridos

durante o capítulo, planeje uma aula para seus alunos sobre os assuntos abordados. Aplique-a

como puder em sua escola. Envie um relatório “contando” como foi a aula (postar no campo

TAREFA), até o final desta unidade, isto é, até o dia da 1ª V.A. Você pode realizar a atividade em

grupo, mas o Relatório a ser enviado é individual.

Relatórios de PCCC contam para média final da disciplina.

Sugestão:

Tente com seus alunos,

1) Para demonstrar a relação velocidade-pressão de um modo simples, segure um pedaço de

papel bem abaixo dos seus lábios e sopre suavemente. Você notará um aumento na velocidade

do ar acima da superfície superior do papel e, portanto, a pressão nesta região ficará reduzida. A

pressão abaixo da superfície do papel, onde a velocidade é nula, permanecerá inalterada, de

forma que o papel ficará suspenso na horizontal.

Aula 5 (todo o item 3.5 – equivalente a 2 horas-aula)

Objetivos: Estudar fenômenos da Hidrodinâmica

3.5 Experimento/Prática/Laboratório

Atividade obrigatória 5:

Nesta atividade o Cursista deverá realizar este experimento, utilizando os recursos indicados

ou similares encontrados no seu meio e entregar ao Tutor Virtual em forma de relatório ao final

desta unidade (no próximo encontro presencial). Você pode realizar o experimento em grupo, mas

o Relatório a ser entregue é individual. Isso contará para sua nota de V. A.

17

Física II - Prática 3 – Fluidos - Hidrodinâmica

Notas de laboratório do Professor Erivaldo Montarroyos

I – Finalidade

Pretendemos nesta aula prática estudar as propriedades e o comportamento dos líquidos e

gases no regime dinâmico.

II - Introdução Teórica

Ver resumo teórico do curso apresentado no Capítulo 3 – Hidrostática (Cap. 16 Fluidos do

Halliday)

III - Material Utilizado

• Uma Garrafa PET de 2litros ou maior.

• 2m de Mangueira de 1,5cm/2mm (1,5cm de diâmetro com paredes de 2mm)

• 5m de Mangueira de 0,5cm/1,5mm

• Um tubo de cola de silicone.

• Duas réguas de plástico de 30cm

• 10 Bolas de festa pequena redonda.

• Três folhas de papel branco A4.

• Fita crepe

18

Figura 3-1 Utilize a garrafa PET calibrada como reservatório do líquido. As alturas do líquido h vão ser intervalos de 100ml, isto é, quando o nível da água atingir uma divisão o valor da altura h será Nx100ml onde N é o número de divisões acima do furo e neste instante o alcance A é medido na régua. O furo deve ser feito na primeira divisão de 100ml para eliminar as irregularidades da base da garrafa. São mantidos fixos a altura de queda H e o diâmetro do furo menor onde sai o líquido.

IV - Procedimento Experimental

Atividade 1.

Equações de Bernoulli e da Continuidade.

1- VELOCIDADE DE ESCOAMENTO DE UM LÍQUIDO. Vamos analisar a velocidade de

escoamento de um líquido em um recipiente através de um furo na sua base em função da altura

h do líquido no interior do recipiente. Utilizaremos como recipiente uma garrafa PET de 2litros

como mostra a figura 3-1.

2- PREPARANDO UM LOCAL PARA A MONTAGEM. A montagem é feita como mostra a

figura 3-1, porém devemos antes achar o melhor local para se realizar as medidas já que vamos

ter água jorrando do recipiente. O melhor locar é uma pia ou uma área onde a água possa correr

facilmente para um ralo. Determinado o local apropriado para o experimento, encha o recipiente

com o líquido escolhido, no caso água, e verifique a direção do jato de água e o posicionamento

da regra para medida do alcance. Como a régua é de plástico não vai ter problema se for

molhada, porem ela tem que ficar bastante segura para não fugir da posição durante o

experimento.

3- PREPARANDO SEU CADERNO PARA O INICIO DAS MEDIDAS Prepare no seu caderno

de laboratório uma tabela com os valores escolhidos das alturas h de água. E deixe duas colunas,

uma para colocar os alcances que vão ser medidos e a outra para os valores das velocidades de

escoamento da água dado por :

vescoamento =A.(g/2H)1/2.

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Onde A é o alcance, g é a aceleração da gravidade local e H e a altura de queda do jato de

água. Use os valores corretos das unidades envolvidas.

4- PREENCHENDO O RECIPIENTE COM ÁGUA E INICIANDO AS MEDIDAS. Tampe o furo

de saída com o dedo e coloque água acima da primeira divisão da altura a ser medida. Inicie as

medidas e fique atento para a leitura do alcance, caso seja necessário interrompa o processo

tampando o furo com o dedo até anotar o valor do alcance.

Atividade 2.

Montando um Bico de Venturi.

1- O BICO DE VENTURI. De acordo com a equação de Bernoulli quando diminuímos o

diâmetro de um duto no qual um líquido passa, aumentamos a sua velocidade e diminuímos sua

pressão nesta região de menor diâmetro. Na figura 3-2 temos a montagem de um “Bico” de

Venturi muito utilizado para sugar líquido sendo este princípio de funcionamento utilizado em

bombas do tipo injetoras para recalque de água em profundidades abaixo de 10m, como também

na maioria dos mecanismos dos pulverizadores (spray) de líquidos, bastante utilizados no nosso

dia a dia como aqueles dos perfumes, desodorantes, inseticidas, tintas, lubrificantes, etc, mostrado

na figura 3-3.

Figura 3-2 Montando um bico de Venturi. As mangueiras mais finas de 5mm devem ser cortadas como mostra a figura de modo que o encaixe não deixe rebarbas e fiquem com a forma de um “T”. Elas devem ser coladas com cola de silicone e após seca colocadas dentro das duas extremidades da mangueira maior e depois coladas também com cola de silicone.

2- MONTANDO UM BICO DE VENTURI Para montar um bico de Venturi utilizamos duas

mangueiras de diâmetros deferentes, uma maior de 1,5cm e outra menor de 0,5cm de diâmetro. A

figura 3-2 mostra com detalhes todo processo para montagem de um bico de Venturi bastante

simples que vai servir para demonstrarmos o seu funcionamento. A região entre a mangueira fina

e a grossa deve ficar preenchida com cola, porém deve-se tomar o cuidado para que a cola não

tampe a entrada da mangueira fina.

3- TESTANDO O BICO DE VENTURI. Na figura 3-4 mostramos a utilização do bico de venturi

para sugar água de um recipiente. Note que, como as duas mangueiras de entrada e de saída do

bico de Venturi são iguais não faz diferença escolher uma ou a outra como entrada e saída. Em

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alguns casos a saída é colocada com o diâmetro maior que a entrada. Para testar o bico de

Venturi coloque a mangueira de diâmetro maior em uma torneira. A mangueira fina deve ficar no

reservatório.

Figura 3-3 O bico de Venturi funcionando como pulverizador (Spray) de líquidos. Você sabe explicar o funcionamento deste pulverizador? Quais os fundamentos físicos utilizados?

Quando maior for a velocidade da água saindo da torneira maior a sucção na mangueira fina.

Para testar o poder de sucção do sistema coloque o recipiente de água distante (em altura) do

bico de Venturi. Regule a vazão da água na torneira e verifique o limite na distância entre o bico e

o reservatório que faz a sucção parar.

Figura 3-4 Testando o bico de Venturi. Coloque a mangueira grossa na torneira e a outra em um pia para receber a água quando a torneira for aberta. Se o sistema estiver funcionando corretamente a água do recipiente será sugada pelo Bico de Venturi. Na saída B teremos a água que entrou em A mais a água sugado do recipiente. Você pode medir o volume de água saindo em B como também a velocidade de saída da água. Tampando a entrada da mangueira fina você pode medir através da saída em B o volume de água que está passando no sistema ou saindo em A.

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Atividade 3.

Medidor de Fluxo de Venturi.

1- MONTANDO UM MEDIDOR DE FLUXO DE VENTURI. Na figura 3-5 temos a montagem do

medidor de fluxo de Venturi, como podemos observar ele é o bico de Venturi onde a mangueira de

sucção retornou para o sistema. Assim vai existir uma pressão maior no lado A do que no lado B,

fazendo com que a coluna do líquido denso no interior da mangueira fina tenha uma diferença de

altura h entre os dois ramos do circuito. Esta diferença é proporcional a velocidade do fluido no

interior do sistema.

Figura 3-5 Montando um Medidor Venturi. O lado esquerdo da figura passa a ser a entrada do medidor Venturi. É feito um furo na mangueira grossa de aproximadamente 5mm para introdução do outro lado da mangueira mais fina (5mm). Corta-se a mangueira fina deixando um comprimento de 30cm. Ela é introduzida no furo e colada com cola silicone. Um líquido mais denso é introduzido na mangueira fina preenchendo metade da altura. Fazendo passar um líquido pelo medidor o lado A da mangueira fina vai ter uma pressão maior que o lado B, assim o líquido denso no interior da mangueira fina vai subir na direção de B e a diferença de altura h entre A e B é proporcional a velocidade do fluxo no Medidor Venturi. Note que o líquido denso no interior da mangueira fina deve permanecer lá. Caso a velocidade seja superior a certo valor ela pode sugar o liquido denso descaracterizando o medidor.

2- MEDINDO A VELOCIDADE DE UM LÍQUIDO. O medidor Venturi pode ser utilizado para

medir velocidade de líquidos e gases. Vamos utilizar o nosso medidor Venturi para medir a

velocidade da água que sai de uma torneira. No ramo do medidor vamos colocar como líquido

denso óleo de soja bastante conhecido nas nossas cozinhas. Note que fica difícil a colocação de

um líquido na mangueira fina na forma de U.

3- FAZENDO UMA ADAPTAÇÃO NA MONTAGEM. Seria interessante cortarmos a

mangueira fina próximo ao ponto A e introduzirmos um pequeno tubo de alumínio que possa

prender a mangueira nos dois lados e facilitar a colocação do líquido denso no medidor.

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4- MEDINDO A DENSIDADE DO ÓLEO DE SOJA. Para medirmos a densidade do óleo de

soja colocamos certa quantidade de óleo dentro de uma proveta calibrada, assim temos na

proveta o volume ocupado pelo óleo e, medindo a massa do óleo podemos obter a sua densidade.

Meça estes valores e obtenha a densidade do óleo de soja. Coloque o óleo no medidor Venturi.

Anote todos os valores medidos com suas unidades corretas.

5- MEDINDO A DENSIDADE DA ÁGUA. Utilizando o mesmo procedimento anterior determine

a densidade da água da torneira. Anote todos os valores medidos.

6- MEDINDO A VELOCIDADE DA ÁGUA QUE SAI DE UMA TORNEIRA. Coloque a

mangueira de entrada do Venturi na torneira e a saída em um pia. Abra a torneira lentamente e

observe o nível do óleo de soja no medidor. Escolha cinco valores de vazão e anote as alturas h.

Faça uma tabela no seu caderno de laboratório. A velocidade da água em função dos parâmetros

do medidor é:

v = a [2(ρsoja - ρágua)gh]1/2 / [ ρágua (A

2 - a2)]1/2

onde a é a área da seção reta da mangueira fina onde a passagem da água é reduzida, A é a

seção reta da mangueira mais grossa, ρρρρsoja é a densidade da soja, ρρρρágua é a densidade da água

utilizada, g é a aceleração da gravidade local, h é diferença de altura entre A e B. Faça uma

tabela com os valores obtidos

7- MEDINDO A VELOCIDADE DA ÁGUA QUE SAI DE UMA TORNEIRA ATRAVES DO

ALCANCE. Utilizando o mesmos procedimentos da ATIVIDADE 1 meça os alcances para cada

velocidade utilizada no item anterior.

Atividade 4. Questionário e Outras ATIVIDADES.

1- VELOCIDADE DE ESCOAMENTO DE UM LÍQUIDO.

a. O que mudaria nos resultados do experimento do alcance em função da altura h do

líquido no recipiente cilíndrico, caso seu diâmetro fosse reduzido á metade?

Justifique!

b. O alcance seria maior ou menor se o diâmetro do furo fosse o dobro? Justifique!

c. Pegue uma garrafa PET de 600 ml faça dois furos de 3mm próximos da base. Tampe

com os dedos os dois furos e coloque água até a metade. Abra os furos e observe os

jatos de água saindo dos furos e de imediato solte a garrafa. O que acontece com os

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jatos de água? Você conseguiria explicar o que aconteceu para seus colegas, e que

você justificaria para eles?

d. Faça um pêndulo com uma garrafa PET de 600ml usando duas linhas (maior do que

1m cada) de modo que a garrafa não possa girar (veja figura ao lado). Faça um furo

na lateral da garrafa, tampe e encha a garrafa. Desloque a garrafa da posição de

equilíbrio erguendo acima de 50cm da posição inicial. Destampe o furo e solte a

garrafa, observe e marque no chão o alcance quando ela passar pela posição mais

baixa. Faça agora um furo de frente para a posição de oscilação e feche o lateral.

Faça novamente a garrafa oscilar e observe lateralmente o que acontece com o jato

de água. Analise o que acontece nas duas situações e discuta as forças que atuam

sobre a água quando ela oscila em relação a ela parada.

e. Faça o gráfico da altura da água no recipiente em função da velocidade de

escoamento da água no furo da garrafa PET. O gráfico corresponde ao previsto pela

teoria?

2- O BICO DE VENTURI.

a. Como funciona o mecanismo das torneiras que não respingam (elas possuem na sua

saída um mecanismo que mistura a água com o ar)?

b. Qual a altura (ou profundidade) máxima que um bico de Venturi conseguiria sugar a

água? Justifique!

3- MEDIDOR VENTURI.

a. Você já deve ter percebido que a água que corre de uma torneira não totalmente

aberta pode formar um filete de água que afina a medida que ela cai, isto é, ela

começa grossa e vai afinando sem sair do alinhamento, até que entra num regime

caótico e perde o alinhamento. É possível através de medidas do diâmetro deste filete

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determinar a velocidade da água. Se o diâmetro da água em A é DA= 1cm2 e em B é

DB = 0,35cm2 e h=5,0cm

E sabendo que:

AAvA = ABvB (1)

isto é, a vazão é a mesma em qualquer ponto entre A e B onde AA e a área transversal da

água em A e AB é a área em B.

Como a água cai em queda livre

v2B = v2A + 2gh (2)

A partir destas duas equações determine uma expressão para vA e determine seu valor.

Como a vazão é R = AA vA

b. Use o método acima para medir a velocidade da água em uma torneira e sua vazão.

Compare com o valor determinado pelo medidor Venturi

Resumo:

Neste capítulo você estudou:

Hidrodinâmica: equações da Continuidade e de Bernoulli;

Aplicações da Hidrodinâmica: Ruptura de janelas, O medidor Venturi, O buraco num tanque

de água e o estudo da asa de um avião.

A asa de um avião

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Dica de Filmes:

1) Telecurso 2000 – Fita 5 – aulas 19, Editora Globo.

Referências Bibliográficas

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert ; MERRILL, John. Fundamentos da Física 2, 3ª e

6ª ed., LTC, 1994 e 2000.

TIPLER, Paul A., Física, Mecânica, 4ª ed. São Paulo: LTC, 2000, vol. 2

SERWAY, Raymond A.; JEWETT Jr, John W. Princípios de Física. 3ª ed. São Paulo:

Thomson, 2007, vol.2.

Bibliografia Complementar

1) Tópicos de Física, vol. 2, Mecânica

Autores: Helou, Gualter e Newton

Editora Saraiva

2) As Faces da Física, volume único

Autores: Wilson Carron e Osvaldo Guimarães

Editora Moderna

3) Curso de Física, volume 2

Autores: Beatriz Alvarenga e Antônio Máximo