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FISICA MODERNA FIS 1542, FIZ 0311 (3)

FISICA MODERNAFIS 1542, FIZ 0311 (3)

Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

1er. Semestre 2011

Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile


Ecuacion de Schrodinger

En enero de 1926 Schrodinger presento su famosa ecuacion para la funcionde onda:

− ~2

2m∇2ψ(~r , t) + V (~r , t)ψ(~r , t) = i~∂ψ(~r , t)

∂tEn un espacion unidimensional, reemplazamos ~r por x y la ecuacion sereduce a:

− ~2

2m∂2ψ(x , t)∂x2 + V (x , t)ψ(x , t) = i~∂ψ(x , t)

∂tPara el caso en que V (x , t) = Vo = constante, esta ecuacion es satisfechapor una funcion de onda armonica de la forma:

ψ(x , t) = Aei(kx−ωt)

pero, notese que no es satisfecha por cos(kx − ωt) o por sin(kx − ωt).



Reemplazando la forma exponencial en la ecuacion, usando

∂2ψ(x , t)∂x2 = −k2ψ(x , t) y

∂ψ(x , t)∂t

= −iωψ(x , t)

obtenemos:~2k2

2m+ Vo = ~ω

Note que

~k =h

2π2πλ = p y ~ω = hν = E

y por lo tanto la ultima ecuacion se puede escribir como:

K + Vo = E



La presencia del numero imaginario en la ecuacion de Schrodinger indicaque las funciones de onda no son necesariamente reales. Sin embargo lo es|ψ|2 = ψ∗ψ.

Las condiciones que debe cumplir una funcion de onda son las siguientes:• Ser una solucion de la ecuacion de Schrodinger.

• ψ ydψdx

deben ser contınuas y finitas.

• ψ ydψdx

deben ser univaluadas.

• ψ ydψdx

deben tender suficientemente rapido a cero cuando x → ±∞, a fin

de que se pueda cumplir la condicion de normalizacion:∫ ∞−∞|ψ(x)|2dx = 1

que simplemente indica que la partıcula debe estar en un punto del eje x .



Para problemas en que el potencial V (x , t) = V (x) es independiente deltiempo la funcion de onda se puede escribir como el producto:

ψ(x , t) = ψ(x)φ(t)

Reemplazando en la ecuacion de Schrodinger:

− ~2

2mφ(t)

d2ψ(x)

dx2 + V (x)ψ(x)φ(t) = i~ψ(x)dφ(t)

dtdividiendo por ψ(x)φ(t) obtenemos

− ~2

2m1

ψ(x)

d2ψ(x)

dx2 + V (x) = i~ 1φ(t)

dφ(t)dt

Como el lado izquierdo es una funcion solo de x y el lado dercho de t , amboslados deben ser iguales a una constante C. Entonces escribimos:

i~dφ(t)dt

= Cφ(t)

cuya solucion es:φ(t) = e−iCt/~ = e−i2πCt/h



Esta es una onda cuya frecuencia es ν = C/h, pero segun de Broglie lafrecuencia de esta onda debe ser ν = E/h, por lo que concluımos queC = E . Ası la ecuacion para ψ es:

− ~2

2md2ψ(x)

dx2 + V (x)ψ(x) = Eψ(x)

Esta es la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo. Ladependencia temporal queda como:

φ(t) = e−iEt/~

El pozo cuadrado infinito

Resolveremos la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo parauna partıcula que se encuentra en caja unidimensional de largo L. En esteejemplo el potencial V (x) vale:

V (x) = 0 para 0 ≤ x ≤ L

= ∞ para x < 0, x > L



La solucion de

− ~2

2md2ψ(x)

dx2 = Eψ(x)

tiene la formaψ(x) = Aeikx + Be−ikx

donde k =√

2mE/~. Como ψ(0) = 0, tenemos A = −B. por otra parte, lacondicion ψ(L) = 0, implica que

k =πnL

Por lo tanto

E =~2π2

2m

(nL

)2

y las funciones de onda son:

ψ(x) = A sin(πnx

L

)(1)

El valor de A se obtiene de la condicion de normalizacion:∫ L

0|ψ(x)|2dx = 1 → A =

√2L



La funcion de onda con su dependencia temporal, para el estado n es:

ψn(x) =

√2L

sin(πnx

L

)e−iEn t/~ (2)

donde En es el valor propio de la energıa en este estado. Note que ladensidad de probabilidad es, sin embargo, independiente del tiempo:

|ψn(x)|2 =2L

sin2(πnx

L

)La funcion de onda tambien se puede escribir como:

ψn(x) =12i

√2L

[ei(knx−ωn t) − e−i(knx+ωn t)

]donde:

kn =πnL

ωn =En

~con n = 1, 2, 3, . . .



Ası al igual que las ondas de una cuerda con extremos fijos, la ondaestacionaria (2) es una superposicion de dos ondas viajeras que se dirigenen direcciones opuestas.

El pozo cuadrado finito

Consideremos una partıcula de masa mque se encuentra con un potencial de laforma:

V (x) = Vo para x < 0, x > L

= 0 para 0 ≤ x ≤ L

La ecuacion de Schrodinger tiene ahorala forma:

ψ′′(x)− α2ψ = 0

V(x)

Vo

xL0



donde:α2 =

2m~

(V − E) con V = Vo o 0

El valor de α puede ser real o imaginario y por lo tanto podemos tenersoluciones armonicas o exponciales, dependiendo del valor de x y del valorde la energıa. Las soluciones para las distintas regiones separadas porx = xo, deben cumplir las condiciones de borde:

ψ(x−o ) = ψ(x+o )

ψ′(x−o ) = ψ′(x+o )



Operadores

Si nos fijamos en el termino de la energıa cinetica en la ecuacion deSchrodinger:

− ~2

2m∂2

∂x2ψ(x) (3)

vemos que el operador segunda derivada parcial c/r a x actua sobre lafuncion de onda. Cuando estudiamos el pozo cuadrado infinito vimos que lasfunciones de onda dentro del pozo (donde V (x) = 0) tienen la forma

ψ(x) = eikx

entonces la operacion (3) nos da el resultado

~2k2

2m=

p2

2m

donde hemos usado la ecuacion de de-Broglie p = h/λ = ~k .



De esta manera, para esta funcion de onda particular, escribimos:

− ~2

2m∂2

∂x2ψ(x) =p2

2mψ(x)

entonces vemos que podemos identificar el cuadrado del momentum con unoperador:

p2 = −~2 ∂2

∂x2

y yendo un paso mas adelante tambien podemos escribir el momentumcomo un operador:

p = −i~ ∂

∂xTodo esto lo hemos discutido para un problema en una dimension. En tresdimensiones el termino de la energıa cinetica es:

− ~2

2m∇2ψ(~r)

y el momentum es,~p = −i~∇



Valores de expectacion

En mecanica clasica resolvemos un problema obteniendo la posicion de laspartıculas en funcion del tiempo. En los sistemas microscopicos obtenemosla funcion de onda y la distribucion de probabilidad |ψ(x , t)|2. Esto nospermite conocer, a lo mas, la probabilidad de que la partıcula se encuentreen una region de x .

El valor de expectacion de la posicion x es el resultado de un gran numerode medidas de x y se define como:

〈x〉 =

∫ ∞−∞

ψ∗(x , t)xψ(x , t)dx

Como ya vimos la funcion de onda partıcula que se encuentra en un estadode energıa bien definida tiene la forma:

ψ(x , t) = ψ(x)e−iEt/~



y por lo tantoψ∗(x , t)ψ(x , t) = ψ∗(x)ψ(x) = |ψ(x)|2

es independiente del tiempo. Para estos estados el valor de expectacion deuna funcion cualquiera de x es:

〈f (x)〉 =

∫ ∞−∞

ψ∗(x)f (x)ψ(x)dx

Por ejemplo se puede demostrar que para el pozo cuadrado que vimosanteriormente:

〈x2〉 =L2

3− L2

2π2n2

Para el caso del momentum, su valor de expectacion es:

〈p〉 =

∫ ∞−∞

ψ∗(x)

(−i~ ∂

∂x

)ψ(x)dx = −i~

∫ ∞−∞

ψ∗(x)∂ψ(x)

∂xdx



El oscilador armonico

Este problema es similar al problema clasico de una partıcula de masa msujeta a un resorte. La fuerza sobre la masa tiene la forma F = −Kx . Laenergıpotencial correspondiente esta dada por:

V (x) =12

Kx2 =12

mω2x2

La frecuencia de oscilacion es ω = (K/m)1/2.La energıa total de la partıcula es lasuma de la energıa cinetica mas V (x)y su valor es:

E =12

mω2A2

La probabilidad P de encontrar lapartıcula entre x y x+dx es proporcionalal tiempo en que se encuentra en el in-tervalo dx , i.e. dx/v , donde v es la ve-locidad en x , entonces



P ∝ dx[2(E − 1

2 mω2x2)/m]1/2

La ecuacion de Schrodinger correspondiente es:

− ~2

2m∂2ψ(x)

∂x2 +12

mω2x2ψ(x) = Eψ(x) (4)

Debido a que el potencial es simetrico c/r al orıgen x = 0, la funcion de ondacumple ψ(−x) = ψ(x). De acuerdo al tratamiento clasico el valor de Acorresponde a los llamados “puntos de retorno”, es decir que para un valordado de E , |A| es el maximo valor que puede tener |x |. Supongamos ahora,que x < A. Entonces E > V (x) y la ecuacion (4) se puede escribir como

ψ′′(x) + k2ψ(x) = 0

donde

k2 =2m~2 [E − V (x)] > 0



En este caso ψ es de naturaleza oscilatoria Si E < V (x)

ψ′′(x)− α2ψ(x) = 0donde

α2 =2m~2

[V (x)− E ] > 0

y las soluciones decaen a ceroLas soluciones de (4) son

En =

(n +

12

)~ω ψn(x) = Cne−mωx2/2~Hn(z)

donde las funciones Hn(z) son los polinomios de Hermite, Cn = (mω/π~)1/4/√

2nn! yz = x

√mω/~ Las funciones para n = 0, 1, 2, 3 son:

ψo(x) = Coe−mωx2/2~

ψ1(x) = Co√

2ze−mωx2/2~

ψ2(x) = Co1

2√

2(4z2 − 2)e−mωx2/2~

ψ3(x) = Co1√

48(8z3 − 12)e−mωx2/2~



Estas funciones se muestran en el grafico siguiente

n=3

n=2

n=1

n=0



Estas funciones estan normalizadas y son ortogonales:∫ ∞−∞

ψ∗n (x)ψm(x)dx = δnm

Para transiciones por radiacion dipolar en la que la interaccion esproporcional a x , los elementos de matriz:∫ ∞

−∞ψ∗n (x)xψm(x)dx = 0 a menos que n = m ± 1

Ası las transiciones permitidas son solo para ∆n = ±1. Estas son lastransiciones de dipolo electrico.



Reflexion y transmision de ondas

Consideremos el potencial de la figura,donde

V (x) = Vo para x > 0

= 0 para x < 0

en la solucion de la ecuacion deSchrodinger para E > Vo, distinguimosdos regiones:

x

V(x)

V

0

o

Region I x < 0 ψ′′(x) + k21ψ(x) = 0 k1 =

√2mE~

Region II x > 0 ψ′′(x) + k22ψ(x) = 0 k2 =

√2m(E−Vo)

~



Como E − Vo > 0 k1 y k2 son numeros reales y las soluciones armonicas.Entonces escribimos

Region I x < 0 ψI(x) = Aeik1x + Be−ik1x

Region II x > 0 ψII(x) = Ceik2x + De−ik2x

La primera condicion que se debe imponer es D = 0, ya que este terminorepresenta una onda que se mueve hacia la izquierda. Las condiciones decontinuidad e x = 0, nos dan las siguientes ecuaciones para A,B,C,D:

A + B = C k1A− k1B = k2C

de aquı obtenemos:

B =k1 − k2

k1 + k2A =

E1/2 − (E − Vo)1/2

E1/2 + (E − Vo)1/2 A (5)

C =2k1

k1 + k2A =

2E1/2

E1/2 + (E − Vo)1/2 A



Los coeficientes de reflexion y transmision se definen como las tasasrelativas a las cuales las partıculas se reflejan y se transmiten:

R =|B|2

|A|2 =

[k1 − k2

k1 + k2

]2

T =k2|C|2

k1|A|2=

4k1k2

[k1 + k2]2

Se verifica que T + R = 1.

Hay dos comentarios interesantes referentesa estos resultados:

Aun cuando E > Vo , existe una ondareflejada, al contrario que el resultadoclasico.

El valor de R depende del valorabsoluto de la diferencia |k1 − k2|,ası un peldano hacia abajo produce lamisma reflexion que un peldano haciaarriba.



En el caso E < Vo, las partıculas son reflejadas en x = 0. En este casoik2 = −α, es real y

ψII(x) = Ce−αx

entonces, en este caso, la ecuacion (5) se transforma en

B =k1 − k2

k1 + k2A =

E1/2 − i(Vo − E)1/2

E1/2 + i(Vo − E)1/2 A

y por lo tanto |B|2 = |A|2 y R = 1 y T = 0.

Esto esta en concordancia con el resultado clasico, sin embargo no todas laspartıculas son reflejadas en x = 0 y existe una probabilidad no nula de quelas partıculas penetren la pared.



Barrera de potencial

En este caso

V (x) = Vo para 0 < x < a

= 0 para x < 0, x > a

Para partıculas con E < Vo la funcion de onda tiene la forma:

ψI(x) = Aeik1x + Be−ik1x x < 0

ψII(x) = Ce−αx + Deαx 0 < x < a

ψIII(x) = Feik2x + Ge−ik2x x > a

Vo

V(x)

0 a

E

x



Usando las condiciones de continuidad para las funciones de ondaanteriores, se pueden determinar los coeficientes A,B,C,D,F ,G y de estamanera calcular el coeficiente de transmision:

T =|F |2

|A|2 =

[1 +

sinh2(αa)

4E(1− E/Vo)/Vo

]−1



Ecuacion de Schrodinger en 3 dimensiones

En tres dimensiones la ecuacion de Schrodinger tine la siguiente forma

− ~2

2m∇2ψ(~x) + V (~x)ψ(~x) = Eψ(~x)

.En coordenadas cartesianas podemos escribir

ψ(~x) = ψ1(x)ψ2(y)ψ3(z)

y dividiendo la ecuacion anterior por esta expresion, es posible separarla entres ecuaciones, una para cada coordenada,



Pozo cuadrado en tres dimensions

Consideremos una cubo de lado L, en el cual el potencial es cero dentro delcubo e infinito fuera. En este caso la funcion de onda resulta ser

ψ(~x) = A sin(k1x) sin(k2y) sin(k3z)

y la energıa

E =~2

2m(k2

1 + k22 + k2

3 )

Las condiciones de borde limitan los valores de ki a los siguientes:

ki =niπ

LAsı las funciones de onda de onda propias son:

ψ(~x) = A sin(n1π

Lx)

sin(n2π

Ly)

sin(n3π

Lz)

y

E =~2π2

2mL2 (n21 + n2

2 + n23)



Este es un ejemplo en que existe mas una funcion de onda por cada nivel deenergıa. Es lo que se llama nivel de energıa degenerado. Por ejemplo lasfunciones de onda con n1 = n y n2 = n3 = m y n2 = n y n1 = n3 = mcorresponden a estados distintos, pero tienen la misma energıa.

Sin embargo si la caja no es cubica sino que tiene la forma de unparalelepıpedo de lados L1 6= L2 6= L3, la energıa tiene la forma:

E =~2π2

2m(n2

1

L21

+n2

2

L22

+n2

3

L23

)

y entonces la degeneracion es removida.



Ecuacion de Schrodinger en coordenadas esfericas

En este caso debemos expresar el Laplaciano ∇2 en coordenadas esfericas:

∇2 =1r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

1r2

1sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1r2

1sin2 θ

∂2

∂φ2

Entonces la ecuacion de Schrodinger para el caso en el potencial depende solo der = |~x | es

−~2

2µ

[1r2

∂

∂r

(r2 ∂ψ(~x)

∂r

)+

1r2

1sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂ψ(~x)

∂θ

)+

1r2

1sin2 θ

∂2ψ(~x)

∂φ2

]+ V (~x)ψ(~x) = Eψ(~x)

(6)Aquı tambien utilizamos el metodo de separacion de variables:

ψ(~x) = ψ(r , θ, φ) = R(r)f (θ)g(φ)

Dividimos (6) por la expresion anterior y obtenemos, depues de algunasmanipulaciones.

1R(r)

ddr

(r2 dR(r)

dr

)+

2µr2

~2[E − V (r)] =

−[

1f (θ) sin θ

ddθ

(sin θ

df (θ)

dθ

)+

1g(φ) sin2(θ)

d2g(φ)

dφ2

](7)



En las ecuaciones anteriores µ representa la masa de la partıcula si hay unasola partıcula en el problema o la masa reducida en el caso de dospartıculas de masas m1 y m2, i.e. µ = m1m2/(m1 + m2)

Vemos que el lado izquierdo de (7) depende solo de r y el derecho de θ y φ.Por lo tanto los lados deben ser igual a una constante que llamaremos`(`+ 1), donde ` ≥ 0 es un numero entero, por razones que se veran masadelante.Con el mismo argumento el lado derecho de (7) tambien se puede separaren dos ecuaciones:

1g(φ)

d2g(φ)

dφ2 = −`(`+ 1) sin2 θ − sin θf (θ)

ddθ

[sin θ

df (θ)

dθ

]Ası los lados los hacemos iguales a una constante que llamamos −m2.Entonces el lado izquierdo nos da:

gm(φ) = eimφ

y vemos la razon por la que la constante la elegimos como −m2, ya que deesta manera nos aseguramos de la unicidad de g al realizar una rotacion 2πalrededor del eje z.



Del lado derecho obtenemos una ecuacion para f (θ), la cual se puederesolver y nos da

f`m(θ) =(sin θ)|m|

2``!

[d

d(cos θ)

]`+|m|(cos2 θ − 1)`

La condicion de que f (θ) sea finito en θ = 0, π restringe el valor de ` a valoresiguales a cero o enteros positivos y tambıen el valor de m a −` ≤ m ≤ `.

Las funciones f (θ) dadas mas arriba se llaman las funciones asociadas deLegendre y en el caso de m = 0 se reducen a polinomios llamadospolinomios de Legendre.

El producto de las funciones f y g que describen la dependencia angular dela funcion de onda forman las llamadas esfericos armonicos.

Y`m(θ, φ) = f`m(θ)gm(φ)

a continuacion mostramos los esfericos armonicos para ` = 0, 1, 2



` = 0 m = 0 Y00 =1√

4π

` = 1 m = 1 Y11 = −√

38π

sin θeiφ

m = 0 Y10 =

√3

4πcos θ

m = −1 Y1,−1 =

√3

8πsin θe−iφ

` = 2 m = 2 Y22 =

√15

32πsin2 θe2iφ

m = 1 Y21 = −√

158π

sin θ cos θeiφ

m = 0 Y20 =

√5

16π(3 cos2 θ − 1)

m = −1 Y2,−1 =

√158π

sin θ cos θe−iφ

m = −2 Y2,−2 =

√15

32πsin2 θe−2iφ



Cuantizacion del momento angular

La definicion del momento angular para una partıcula de masa m que semueve con momentum ~p es:

~L = ~r × ~pEn los casos en que V = V (r) el momento angular se conserva. Elmomentum ~p = m(d~r/dt) tiene una componente paralela a ~r , que llamamospL y otra perpendicular pT . Si α es el angulo entre ~p y ~r :

|~L| = rp sinα = rpT

entonces

p2

2µ=

p2L + p2

T

2µ=

p2L

2µ+

L2

2µr 2

y la energıa total

p2L

2µ+

L2

2µr 2 + V (r) = E (8)



Comparando (8) con (6) podemos identificar

p2L = −~2 1

r 2

∂

∂r

(r 2 ∂

∂r

)y

L2 = −~2[

1sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1sin2 θ

∂

∂φ2

]esta es la expresion del operador momento angular en mecanica cuantica.Entonces de (7) podemos escribir:

L2Y (θ, φ) = −~2[

1sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1sin2 θ

∂

∂φ2

]Y (θ, φ) = ~2`(`+1)Y (θ, φ)

de donde vemos que los valores propios de L2 son ~2`(`+ 1) o

|L| = L = ~√`(`+ 1)

de la misma forma podemos demostrar que la componente z de L tambienesta cuantizada:

Lz = m~Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile


h

h

h

h

hl l

l

0

2

1

−2

=2

L= ( +1)

−1



Ahora consideremos el caso de un electron orbitando alrededor de un nucleocon carga Ze y por lo tanto sujeto a una interaccion culombianaV (r) = −Ze2/r . La dependencia angular de la funcion es la misma que yahemos visto. La parte radial se obtiene usando (6)

− ~2

2µ1r 2

∂

∂r

(r 2 ∂R(r)

∂r

)+

[−kZe2

r+

~2`(`+ 1)

2µr 2

]R(r) = ER(r)

La resolucion matematica de esta ecuacion esta fuera del proposito de estecurso. Sin embargo la funcion R(r) tiene la forma:

Rn` = An`e−r/naoLn`(r/ao)

donde ao = ~2/(ke2µ) es el radio de Bohr y Ln` son los polinomios deLaguerre. La energıa E es:

E = −(

kZe2

~

)2µ

2n2



n = 1 ` = 0 R10 =2√a3

o

e−r/ao

n = 2 ` = 0 R20 =1√2a3

o

(1−

r2ao

)e−r/2ao

` = 1 R21 =1

2√

6a3o

rao

e−r/2ao

n = 3 ` = 0 R30 =2

3√

3a3o

(1−

2r3ao

+2r2

27a2o

)e−r/3ao

` = 1 R31 =8

27√

6a3o

rao

(1−

r6ao

)e−r/3ao

` = 2 R32 =4

81√

30a3o

r2

a2o

e−r/3ao



Los numeros cuanticos n, ` y m asociados a las variables r , θ yφ son lossiguientes y tienen las siguientes restricciones:

n = 1, 2, 3, . . . (9)

` = 0, 1, 2, 3, . . . , n − 1 (10)

m = −`,−`+ 1, . . . , 0, 1, 2, . . . , `− 1, ` (11)

(12)



Funciones de onda del atomo de hidrogeno

Hemos escrito la funcion de onda para un potencial central de la forma:

V (r) = −kZe2

res decir la energıa potencial de interaccion entre el electron y nucleo decarga Ze en un atomo tipo hidrogeno (con un solo electron).La funcion de onda es:

Ψn`m(r , θ, φ) = Cn`mRn`(r)f`m(θ)gm(φ)

donde Cn`m se determina por la condicion de normalizacion.Notamos que la funcion de onda depende de tres numeros cuanticos: n, `,m,mientras que la energıa

En = −(

kZe2

~

)2µ

2n2

depende solamente de n.



Ası para cada valor de n hay n − 1 valores de ` y para cada valor de ` hay 2`+ 1valores de m. Entonces, en general, hay muchas funciones de onda para cada valorde la energıa.

Pero en el caso particular en que n = 1, ` = m = 0 y el polinomio de Laguerrecorrespondiente, L10 = 1, hay solo una funcion de onda

Ψ100 = C100e−Zr/ao

La constante C se determina colocando la condicion de normalizacion

∫|Ψ(r)|2d3r =

∫ ∞0

r2dr∫

dΩ|Ψ(r)|2 =

∫ ∞0

r2dr∫ π

0sin θdθ

∫ 2π

0dφ|Ψ(r)|2 = 1

i.e.

(C100)2∫ ∞

0r2e−2Zr/ao dr × 2× 2π = 1

4π(C100)22( ao

2Z

)−3= 1

C100 =1√π

(zao

)3/2



De aquı determinamos la probabilidad de encontrar el electron en una cascaraesferica de espesor dr

P(r)dr = |Ψ|24πr2dr = 4πr2C2100e−2Zr/ao dr = 4r2

(zao

)3e−2Zr/ao dr

La figura siguiente muestra P(r) y |Ψ100|2.

−5ao

5ao

5ao

−5ao

P(r)



Estados excitados

El primer estado excitado corresponde a n = 2 y ` = 0, 1. Las funciones deondas son:

Ψ200 = C200

(2− Zr

ao

)e−Zr/2ao

Ψ210 = C210Zrao

e−Zr/2ao cos θ

Ψ21,±1 = C21,±1Zrao

e−Zr/2ao sin θe±iφ

En las figuras siguientes se muestran las densidades de probabilidad paran = 2 y n = 3.

Por razones historicas existe la siguiente nomeclatura para estos estados:

(` = o s); (` = 1 p); (` = 2 d); (` = 3 f); (` = 4 g)

Ası por ejemplo, el estado para n = 2, ` = 1, se designa por 2p.



P(r)

r/a

P(r)=r 2 ψ 2

5 10 15

n=2 l=0

n=2 l=1

o



Momento magnetico

Si una partıcula de carga q y masa m esta rotando, tiene un momentomagnetico y un momento angular, los cuales estan relacionados entre sı .

Si rota con velocidad angular ω en un radio r , su velocidad es v = ωr yconstituye una corriente

i =qω2π

=qv2πr

y por lo tanto el momento magnetico

µ = iA = iπr 2 =qvπr 2

2πr=

qmvr2m

=q

2mL ~µ =

q2m

~L

Podemos aplicar estos resultados al movimiento orbital del electron en elatomo de hidrogeno:

µ =e

2meL =

e~2me

√`(`+ 1) =

√`(`+ 1)µB



donde µB es el magneton de Bohr:

µB =e~

2me= 9.27× 10−24 Joule/Tesla = 5.79× 10−9 eV/gauss

Del mismo modo la componente z del µ

µz = −e~

2mem = −mµB

.La correspondiente expresion cuantica es:

µz = −gJ e~2me

m = −mgJµB

.en que el factor gJ , es el llamado factor de Lande, el cual no es necesariamente iguala uno, como lo veremos mas adelante.

Sabemos que en presencia de un campo magnetico ~B el momento magnetico tieneuna energıa potencial

U = −~µ · ~BEntonces si ~B esta en la direccion z

U = −µzB



Espin del electron

Las lıneas espectrales del hidrogeno y otros atomos muestran un estructura fina,cuando se observan a gran resolucion. Esta estructura consiste de dos o mas lıneasmuy poco espaciadas. A fin de explicar estas observaciones Wolfgang Pauli sugirio en1924 la existencia de un cuarto numero cuantico, aparte de n, ` y m. Este numeropodıa tener solamente dos valores. Ese mismo ano dos estudiantes graduados deLeiden, Holanda, sugirieron que este cuarto numero cuantico correspondıa a lacomponente z de un momento angular intrınseco del electron, al cual llamaron spin oespin en espanol. Ası el vector spin tiene la misma forma que el momento angularorbital L:

|~S| = S =√

s(s + 1)~Como la componente z del momento angular L puede tener 2`+ 1 valores y para elspin tiene 2 valores, i.e. 2s + 1 = 2 o sea s = 1/2. Entonces

µ =√

s(s + 1)gSµB =

√34

gSµB µz = ±12

gSµB (13)

donde gS ' 2.0023 es el factor del Lande para el electron



Experimento de Stern-Gerlach

En 1922 dos fısicos alemanes Otto Stern yWalther Gerlach realizaron un experimentoen el cual un haz de atomos de plata colima-dos se hace pasar por el entrehierro de uniman que produce un campo magnetico inho-mogeneo, el cual es constante en la direccionperpendicular al eje del iman, pero varıa a lolargo de el. De esta forma aparece una fuerzaa lo largo de este eje. Esta fuerza es:

~F = −∇U = −∇(−~µ · ~B) = µz∂B∂z

z

Como la fuerza es proporcional a m, si elhaz tiene un momento angular con numerocuantico ` el haz se debe separar en 2` + 1haces mas pequenos, cada uno correspondi-ente a un diferente valor de m.

z Experimento Clasico

Sin campo mag.

Con campo mag.



Para la plata se tiene que el valor de ` es cero, por lo cual al producirse laseparacion del haz en dos haces, podemos concluir que se trata delmomento angular intrınseco del electron, i.e. el espin y por lo tanto con2s + 1 = 2, es decir con numero cuantico s = 1

2 . Como en este caso el valorde s es 1

2 , la componente z, usando la regla (11) puede tener los valores 12 y

12 − 1 = − 1

2 .

Este experimento fue la primera observacion directa del espin 12 .

Las funciones de onda deben incorporar el numero cuantico correspondienteal espin. Ası el estado fundamental del atomo hidrogeno debe escribirsecomo una combinacion lineal:

Ψ = C1Ψ100+ 12

+ C2Ψ100− 12



Momento angular total y efecto espin-orbita

El momento angular total es entonces:

~J = ~L + ~S

y |~J| =√

j(j + 1)~, donde el numero cuantico correspondiente al momentoangular puede tener los siguientes valores:

j = `+ s, `+ s − 1, . . . , |`− s|

y la componente z de ~J esta dada por:

Jz = mj~ donde mj = −j ,−j + 1, . . . , j − 1, j

Esto es un caso particular de una regla general de combinacion de dosmomentos angulares:Si tenemos dos momentos angulares ~J1 y ~J2 el momento resultante ~J = ~J1 + ~J2 tieneuna magnitud ~

√j(j + 1) donde j puede tomar uno de los siguientes valores:

j1 + j2, j1 + j2 − 1, . . . , |j1 − j2|



Notacion espectroscopica

Para estados de un electron el codigo de letras s, p, d , f , g, h. . . . esta encorrespondencia de uno es a uno con los numeros cuanticos del momentoangular orbital ` : 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

Para los niveles de energıa, tambien llamadas capas, las letras K , L,M,N,O, . . .corresponden a los numeros cuanticos principales n : 1, 2, 3, 4, 5, . . .

Para estados atomicos que contengan uno o mas atomos, la notacion incluye elnumero cuantico principal y los numeros cuanticos del momento angular. Elmomento angular orbital total L es designado por las letras S,P,D,F , . . .. Elvalor de n es escrito como prefijo, el momemto angular total j como subındice deL y la magnitud del espin aparece como superındice de n en la forma 2s + 1:

n2s+1Lj

Por ejemplo, el estado fundamental del atomo de hidrogeno en quen = 1, ` = 0, s = 1/2 se escribe como 12S1/2.

El estado n = 2, ` = 0 como 22S1/2 y los estados correspondientes an = 2, ` = 1,como 22P3/2 y 22P1/2



Interacion spin-orbita

Calculemos el campo magnetico que ve un electron moviendose en unaorbita alrededor del nucleo. Este esta dado por

~B = −~v × ~E

c2

donde ~v es la velocidad del electron y ~E es el campo electrico visto por elelectron. Ya que el campo electrico es radial y como el momentum es~p = m~v , donde m es la masa del electron, podemos escribir

~B =~r × ~pmc2

∣∣∣∣Er∣∣∣∣

Entonces escribiendo ~L = ~r × ~p y |E | = ∂V/∂r = 1e∂Ue/∂r , donde Ue es la

energıa potencial del electron, tenemos:

~B =1

mec2r∂Ue

∂r~L



Note que ∂Ue/∂r es un numero positivo y por lo tanto ~B es paralelo con elmomento angular orbital del electron. Por otra parte vimos en (13) que elmomento magnetico del electron es

µ = −gsµB

~~S

con gS ' 2. De esta forma la energıa de interaccion del espin con el campomagnetico del nucleo es:

Us−o =gsµB

~mec2r∂Ue

∂r~L · ~S

En 1926 Llewellyn Thomas introdujo correcciones relativistas, con lo cual laexpresion correcta al orden (v/c)2 es:

Us−o =gsµB

2~mec2r∂Ue

∂r~L · ~S



Sistemas de dos o mas partıculas

Consideremos un sistemas de dos partıculas identicas que interactuan entresı a traves de un potencial V (x1, x2). La ecuacion de Schrodingerindependiente del tiempo es, en este caso

− ~2

2m∂2ψ(x1, x2)

∂x21

− ~2

2m∂2ψ(x1, x2)

∂x22

+ V (x1, x2)ψ(x1, x2) = Eψ(x1, x2)

En general el potencial V (x1, x2) no es separable, en el sentido que se puedaescribir como suma de funciones que dependan separadamente de x1 y x2.Sin embargo en casos de potenciales externos, se puede escribir, engeneral, V (x1, x2) = V1(X1) + V2(x2) y en este caso la funcion de onda es elproducto de funciones en que cada una de ellas dependen solo de x1 y x2.En el ejemplo del pozo cuadrado de ancho L donde V = 0 en la region deinteres, la funcion de onda es de la forma:

Ψn,m(x1, x2) = Ψn(x1)Ψm(x2)



donde cada una de las funciones Ψn(x) son las funciones propias del pozocuadrado de un partıcula (1). Ası

Ψn,m(x1, x2) = Ψn(x1)Ψm(x2) = C sinnπx1

Lsin

mπx2

L(14)

La probabilidad de encontrar la partıcula 1 en dx1 y la partıcula 2 en dx2 es|Ψn,m(x1, x2)|2dx1dx2. Para partıculas identicas, debemos construir funcionesque cumplan

|Ψn,m(x1, x2)|2 = |Ψn,m(x2, x1)|2

es decir que la probabilidad sea invariante al intercambio de partıculas, yaque son identicas. Esto muestra que estas funciones deben ser funcionespares o impares, es decir:

Ψn,m(x1, x2) = Ψn,m(x2, x1) o Ψn,m(x1, x2) = −Ψn,m(x2, x1)

Vemos sin embargo que funciones como (14) no son impares ni pares, loque esta en contradiccion con indistinguibilidad de las partıculas.



Para lograr esto formamos combinaciones lineales de la forma:

Ψnm(x1, x2) = Ψn(x1)Ψm(x2) + Ψn(x2)Ψm(x1) simetrica

oΨnm(x1, x2) = Ψn(x1)Ψm(x2)−Ψn(x2)Ψm(x1) antisimetrica

Una conclusion importante de este resultado es que dos o mas partıculaspara las cuales las funciones de onda son antisimetricas, no puedenencontrarse en el mismo estado. Este es el caso de los electrones.

Este es un ejemplo del Principio de exclusion de Pauli:

Un estado electronico especificado por los numeros cuanticos n, `,m`,ms

puede ser ocupado por un solo electron.



Estado fundamental de los atomos

Estudiaremos cualitativamente las funciones de onda y la energıa de losatomos con mas de un electron. Las ecuacion de Schrodinger no puede serresuelta exactamente, debido al termino correspondiente a la interaccionentre los electrones. Por este motivo, en estos casos, se deben utilizarmetodos aproximados. Si se desprecia la interaccion entre los electrones, lafuncion de onda de atomos complejos puede ser escrita como el producto defunciones de onda de un electron. Estas funciones de onda son similares alas del atomo de hidrogeno y estan caracterizadas por numeros cuanticosn, `,m`,mS .

ATOMO DE HELIO. La energıa total consiste de las energıas cineticas decada uno de los dos electrones, las energıas potenciales de interaccion entreel nucleo y los electrones y la de interaccion repulsiva entre los doselectrones, la cual tiene la forma

Vee(~x1, ~x2) =ke2

|~r1 −~r2|(15)



E = −Z 2Eo

n21− Z 2Eo

n22

donde Eo = 13.6 eV.Como para el atomo de Helio Z = 2, para el estado fundamentaln1 = n2 = 1, E = 2× 22 × 13.6 = 108.8 eV.

La funcion de onda total, despreciando el espin es

Ψ = Ψ(~x1)Ψ(~x2)

donde ~xi = ri , θi , φi i = 1, 2.

Podemos obtener una primera correccion a la energıa de estadofundamental, calculando el valor de expectacion de (15) en el estado Ψanterior:

〈Vee〉 =

∫d3x1d3x2Ψ∗(~x1)Ψ∗(~x2)Vee(~x1, ~x2)Ψ(~x1)Ψ(~x2)



El resultado del calculo es:

〈Vee〉 = 34.0 eV

los que nos da para la energıa corregida

E = −108.8 + 34.0 eV

Este procedimiento corresponde a la correcion llamada teorıa deperturbacion de primer orden.


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