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Flexão Reta x Flexão Oblíqua

PROF. ALEXANDRE A. CURY

DEPARTAMENTO DE MECÂNICA APLICADA E COMPUTACIONAL

2015

Revisão ResMat 1

Flexão Reta

2RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF

Flexão Reta

Conforme visto em sala de aula, a flexão reta ocorre quando o plano ou eixo de solicitação coincide com um dos eixosprincipais de inércia.

Exemplos:


Seja uma viga biapoiada submetida a flexão pura:

x x


Flexão Reta

Seja uma viga biapoiada, em equilíbrio, submetida a flexão pura:

A B

C D

dyCD

dLN

)(

y

d

dy

d

ddy

LN

LNCDx

)(

x


d

A

L

C

B

N

D

y

raio de curvatura ângulo de flexão

Flexão Reta

S

z d

A

L

C

B

N

D

y

y

L NMz

yx

Pela Lei de Hooke, tem-se:

yEE xx

z

y

L NMz

yE

yE

Sabemos que:

dSdF x

S

S

S


ydFdM z

Flexão Reta

Sabemos que:

dSy

EdSdF x

S

dSy

EF

Como a viga está em equilíbrio, 0F

Assim,

0S

dSy

E

0S

ydSE

Como E não pode ser nulo e não pode ser infinito, tem-se:

0S

ydS Momento estático

0

SyydS

S

ydS

dS

ydS

yS

S

S

S 0y A LN passa pelo CG da seção!


Flexão Reta

Sabemos que:

dFydM z Sendo:

Assim,

z

S

IdSy 2

Da Lei de Hooke, tínhamos que:

dSy

EdF

Tem-se: S

zz dSy

EyMdSy

EydM

S

z dSyE

M 2

Mas Logo,zz I

EM

E

y

yE x

x

Finalmente, tem-se:z

z

I

yMx


Flexão Reta

Flexão Oblíqua


Flexão Oblíqua

Conforme visto em sala de aula, a flexão oblíqua ocorre quando o plano ou eixo de solicitação NÃO coincide com um dos eixosprincipais de inércia.

Exemplos:


y

z

y

z

Ocorrências na prática:


Carregamento nas “terças” de umtelhado

Montagem incorreta de uma viga(viga montada com 1º de inclinação)

Flexão Oblíqua

S

S

M

Seja uma seção transversal qualquer:

uv

u distância de um ponto genérico P à LNv distância de um ponto genérico P ao eixo de solicitação SS

Extrapolando a dedução feita para a flexão reta, tem-se que:

0u

n

n

I

uMx

Mnmomento fletor projetado sobre a LNIn momento de inércia em relação à LN

dFudM n

S

n dSuE

M 2

dSu

EdF

Flexão Reta Flexão Oblíqua

dSy

EdF

0y

A LN também passa pelo CG da seção!

dFydM z


S

z dSyE

M 2

z

z

I

yMx

Flexão Oblíqua

S

S

E se quiséssemos calcular o momento em relação ao eixo de solicitação SS?

uv

M

dSu

EvdFvdM SS

dSvuE

MS

SS )(

Mas Mss = 0! Assim, 0)( ns

S

IdSvu

Conclusão: O produto de inércia da área da seção transversal em relação à LN e ao eixo de solicitação SS é nulo!

De que isso servirá? Veremos mais adiante...


Flexão Oblíqua

Como determinar a posição da LN? Sejam z e y eixos principais de inércia.

v

u

n

n

s

s

a

b

z

y

z

y

a ângulo que o eixo de solicitação faz com o eixo principal de inércia z

b ângulo que a LN faz com o eixo principal de inércia z

a

a

z sena

z sena

y cosab

b

z senb

y cosb

y cosb

v = y cosa z sena

u = z senb y cosb

A transformação de coordenadas fica, então:


Flexão Oblíqua

Vimos que o produto de inércia em relação ao eixo de solicitação ss e à LN era nulo. Assim,

0nsI SS

ns dSyzzyvudSI )cossin)(sincos( bbaa

S

ns dSzyzyyzI )cossinsinsincoscossincos( 22 babababa

Como os eixos y e z são principais de inércia, a expressão acima simplifica-se:

0sinsincoscos baba yzns III

Finalmente, determina-se a inclinação da LN:

y

z

I

I

ba

ba

coscos

sinsin

y

z

I

Iba tantan

Casos particulares!


Flexão Oblíqua

Usando a transformação de coordenadas obtida anteriormente, podemos reescrever a expressão:

n

n

I

uMx

SS

n dSyzdSuI 22 )cossin( bb

S

n dSyzyzI )coscossin2sin( 2222 bbbb

bbb 22 cos2sinsin zzyyn IIII

Se os eixos y e z forem os principais de inércia, a expressão simplifica-se:

bb 22 cossin zyn III


Flexão Oblíqua

A expressão obtida anteriormente para calcular as tensões normais na flexão oblíqua é direta, mas nem sempre é a mais prática. O ideal seria reescrevê-la em função de eixos que conhecemos...

n

n

I

uMx

S

S

uv

Mz

y

L NMz

S

S

z

y

S S

My

L

N

Esta situação só é verdadeira se z e y eixos forem principais de inércia!

E se não forem?


Flexão Oblíqua

Para haver equilíbrio das forças internas e externas, devemos ter:


Flexão OblíquaAssumindo que as tensões normais se distribuem ao longo de plano z-y da seção transversal da peça, podemosescrever:

Temos, assim, um sistema de duas equações e duas incógnitas (a e b) para resolver:

Resolvendo o sistema, chegamos às soluções:


Flexão Oblíqua

Substituindo os valores de a e b na equação , vem:

A expressão acima permite calcular o valor da tensão normal em qualquer ponto da seçãotransversal, sendo conhecidos os valores dos momentos de inércia, do produto de inércia edos momentos fletores projetados sobre os eixos baricêntricos (não necessariamenteprincipais de inércia!!)

OBS: As coordenadas dos pontos analisados também são descritas em relação aos eixosbaricêntricos!


Flexão Oblíqua

Caso particular: Caso os eixos baricêntricos sejam, também, os principais de inércia, aexpressão anterior simplifica-se:

Isto acontece, pois o produto de inércia da seção em relação aos eixos principais de inércia é sempre nulo!

E por que o sinal negativo da 2ª parcela?

Devido à convenção dos eixos y e z que adotamos neste curso...


Flexão Oblíqua

• Os slides apresentados foram livremente baseados nas Notas de Aula do prof. ElsonToledo – MAC/UFJF

• Algumas figuras, fotos e equações presentes nos slides foram retiradas do material do prof. Leonardo Goliatt – MAC/UFJF


Flexão Oblíqua

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