Cap. 5.0 – FLEXAO PURA

5.1 – IntroduçãoAs peças longas, quando submetidas à flexão, apresentam tensões normais

elevadas (por exemplo, para se quebrar um lápis, com as mãos, jamais se cogitaria tracioná-lo, comprimi-lo, torcê-lo ou cisalhá-lo; um momento fletor de pequeno valor seria suficiente para produzir tensões de ruptura no material). Daí a importância do presente estudo.

5.2 – Momento Fletor (M)Recordando estudos de Isostática, quando da análise das relações entre os esforços

solicitantes em uma viga sob carregamento transversal q(x), temos que:

A relação 5.2.2 denota que, quando a força cortante Q é nula ao longo da extensão x da viga, o momento fletor M será constante (FLEXÃO PURA). Da mesma forma, nas seções onde o momento fletor é extremo (máximo + ou mínimo -) a força cortante será nula, sendo aplicável para tais casos (de especial importância) o estudo da flexão como sendo pura.

78

Fy = 0 Q = q (x) dx + Q + dQ

dQ/dx = - q(x) ........... (5.2.1)

Mo=0 M+Qdx=q(x)dx.dx/ + M+dM(sendo > 1, tornando o termo desprezível em presença das demais) e

dM/dx = Q ...................... (5.2.2)

M Q M+dMQ+dQ

x dx

O

y

Fig. 5.2.1 – Relações entre q(x), Q e M em uma viga

1,5 1,5 1,5 1,54,0 m 4,0 m 3,5 m 3,5 m

2,0 tf 2,0 tf 4,0 tf1,0 tf / m

+ 2,0

- 2,0

+ 2,0

- 2,0 - 2,0

+ 2,0

Q(tf)

+3,0 tf.m+5,0 tf.m

+7,0 tf.m

M

Q = 0Q = 0

Q = 0

Fig. 5.2.2 – Diagramas de esforços solicitantes (Q e M) de vigas sob carregamento transversal (exemplos)

2,0tf

2,0tf

q(x)

5.3 – Tensões normais na flexão reta (simétrica) e elástica. No caso comum de vigas com seção transversal simétrica em relação ao plano do carregamento, verifica-se que a distribuição das tensões normais nos diversos pontos da seção só depende da distância y em relação à linha que a divide nas partes tracionada e comprimida (“linha neutra” – LN – Fig. 5.3.1 – a e b). Admitindo que a seção transversal permanece plana após girar em torno da LN em decorrência da deformação das fibras longitudinais, concluiremos que a linha neutra será reta e que as deformações variarão linearmente com relação a seu afastamento y em relação à LN (Fig. 5.3 .1– c).

Computando a resultante dos momentos, em relação à linha neutra, das forças elementares atuantes nos diversos pontos da seção podemos escrever (Fig. 5.3.1 b):

dA.y = M.............................(5.3.1)

Adotando a hipótese da manutenção da seção plana (Fig. 5.3.1 c), e admitindo que o material da viga trabalha na fase elástica podemos escrever sucessivamente:

= c. y .......... = E = k y(distribuição linear das tensões) e

k ydA.y = M k = M / y2 dA ,

sendo y2 dA = ILN (momento de inércia da área da seção transversal em relação à linha neutra).

Portanto:M / ILN) y .................. (5.3.2)

equação estabelecida por Euler, para determinação da tensão normal atuante em um ponto qualquer de uma dada seção de uma viga, onde atua um momento fletor M e que

79

M y yLN LN LN

(a) (b)(c)

Fig.5.3.1 –(a) Flexão de vigas simétricas. (b) tensões normais. (c) deformações – manutenção da seção plana (Obs: o eixo y foi orientado para baixo para se adequar à convenção de sinais do momento fletor - positivo quando traciona as fibras inferiores e comprime as superiores)

dA

tem um momento de inércia ILN em relação à linha neutra, sendo y a distância do ponto citado, em relação à mencionada LN.

Resta precisar a posição em que se encontra a linha neutra.Como na flexão pura a força normal é nula, teremos, necessariamente:

dA = N = 0 e LN ) y dA = 0, portanto, y dA = 0,

ou seja, o momento estático (de 1ª ordem) da área da seção em relação à Linha Neutra sendo nulo, indica que a LN contém o centróide da área.

5.4 – Várias formas de seção. Módulo de Resistência (W). Para as formas mais comuns das seções das vigas (retangular, circular, tubular ou

composições destas), o cômputo dos respectivos momentos de inércia I em relação a eixo central que contém o centróide da área nos fornece, por exemplo (com e << b ~ h ~ d):

O momento de inércia I da seção (com dimensão do produto de uma área pelo quadrado de uma distância), medido em m4 no S.I., será tanto maior quanto maiores forem as dimensões no sentido do plano do carregamento (note na tabela acima a prevalência das potências das dimensões h quando comparadas com as das dimensões b).

80

b bb

h h

h

e

e

e

e

e

dd

I = bh3 / 12 d4 / 64 eh3/6 + ebh2/2 e d3 / 8 eh3/12 + ebh2/2

Fig. 5.4.1 – Algumas formas de seção transversal de vigas e seus respectivos momentos de inércia.

Observando a equação 5.3.2, verifica-se que altos valores de I corresponderão a valores menores de o que leva ao emprego de vigas de seção transversal cuja área seja distribuída de forma mais afastada em relação à linha neutra (ex.: perfil I ).

As máximas tensões normais (de tração e de compressão), em uma dada seção, ocorrerão nas fibras cujas distâncias y em relação à linha neutra sejam as mais afastadas. Assim, de 5.3.2, tiramos:

Fig. 5.4.2 - Na posição em que se encontra a placa de vidro mostrada acima, corre ela sério risco de partir por flexão devido ao peso próprio, o que não aconteceria se fosse posicionada verticalmente.

max = (M / ILN) y max = M / (ILN / y max )

Fazendo (ILN / y max ) = W ................................................. (5.4.1)

(onde W – módulo de resistência à flexão) podemos escrever:

max = (M / Wmin) ......................................................... (5.4.2)

A tabela abaixo apresenta valores do módulo de resistência W de algumas formas de seção (com e << b ~ h ~ d):.

81

hh

h h

h/3

2d/3

b b b bd d d

e e em

Wmin bh2 / 6 d3 / 32 bh2 / 24 0,02384 d3 eh2/3 + beh e d3 / 8 eah2/6 + embh (**) (* )

ea

Dois teoremas (Steiner) relativos à Geometria das Áreas, estudados nos cursos de Mecânica, são muito úteis no cálculo dos momentos e produtos de inércia:

Teorema dos Eixos Perpendiculares: Ix + Iy = Jo (*)

Teorema dos Eixos Paralelos: Ix = Ix + A dy 2 (**)

ou também: Iy = Iy + A dx 2 - para os produtos de inércia:

Ixy = I xy + A dx dy)sendo dx e dy as distâncias entre os pares de eixos paralelos, com origens num ponto O qualquer e no centróide C da área. Por exemplo: para o tubo circular assinalado com (*),Jo = d e (d/2)2 = Ix + Iy = 2Ix =>Ix = e d3 / 8 Para obter o valor de I da meia-lua (**) fizemos: Ix = Ix – A y2 = ½ d3 / 32 – ½ (d2 / 4)(d/2 – 2d/3

x

x

yy

O

C

dy

dx

Fig. 5.4.3 – Momentos e Produtos de Inércia. Teoremas de Steiner.

Tratando-se de seções que não são simétricas em relação ao eixo baricêntrico perpendicular ao plano do carregamento, deverão ser considerados dois módulos de resistência, em relação às fibras mais afastadas, a inferior e a superior (no lado tracionado e no lado comprimido, no caso de um momento fletor positivo).

82

d

b

h

Exemplo 5.4.1 – Deseja-se cortar uma tora de madeira de seção circular de diâmetro d para fabricar uma viga de seção retangular (b x h). Determine a relação b/h ótima para maximizar o módulo de resistência W (minimizando as tensões na flexão reta).

Solução: W = b h2/ 6. Para a tora, d2 = b2 + h2. Portanto: W = (b/6)(d2 – b2). O máximo valor de W ocorre quandodW/db = 0, ou seja d2/6 – 3 b2/6 = 0 e d2= 3 b2; h2 =2 b2.

Temos, pois: b/h = 0,707 (Resp.)

Exercício proposto 5.4.2 – Deseja-se fabricar um perfil “C” a partir de uma barra chata de espessura “e” e largura “a”, dobrada como mostra a figura. Pede-se determinar a relação entre a largura “b” das mesas e a altura “h” da alma, de modo a que o módulo de resistência “W” do perfil seja o maior possível.(obs. – no cômputo da contribuição das mesas para o momento de inércia, desprezar o momento baricêntrico be3/12,em presença de bh3/12, já que a espessura e << h).

a

eb

h

Tal circunstância é levada em conta, de maneira especial, no caso de vigas construídas com material cujas tensões limites são diversas para a tração e para a compressão (caso do concreto, do granito, da madeira e outros), tendo seções dimensionadas de forma a que a linha neutra se aproxime da fibra submetida ao menor esforço.

M+

max tração

max compressão

Fig. 5.4.4 – Posicionamentos de viga construída com material cuja tensão limite à tração é menor que à compressão.

Com os valores obtidos teremos:1) na seção do apoio A – [max]tração = (9.000/88,09 x 10-6)(0,320 – 0,2253) = 9,68 MPa (T)

[max]compressão = (9.000/88,09 x 10-6) (0,2253) = 23,0 MPa (C)

2) na seção (*) ----------- [max]tração = (10.800/88,09 x 10-6)(0,2253) = 27,6 MPa (T)

[max]compressão = (10.800/88,09 x 10-6)(0,320 – 0,2253) = 11,6 MPa (T)

Portanto: [max]tração = 27,6 MPa (T) (na seção *)

[max]compressão = 23,0 MPa (C) (na seção sobre o apoio A)

83

1,00 0,50 0,50 2,00 m

9,0 kN 15 kN/m

200

300

20

15

Exemplo 5.4.3: Para a viga esquematizada, pede-se determinar, nas seções onde a flexão é pura (Q=0), os valores das maiores tensões de tração e de compressão.

+

--

Q(kN)

A B

+

-M(kNm)

18

129 x=1,2

MA = 9

M* = 10,8

Q =0 Q =0

_y

Solução

O cálculo das reações nos apoios nos dá: A = 27 kN e B = 12 kN.O diagrama de força cortante aponta Q = 0 no apoio A e na seção tal que x/18=(x-2)/12Os momentos extremos, nessas seções , valerão: MA = - 9 kNm e M* = 10,8 kNm.O centróide da seção (linha neutra) estará em 15x300 x150 + 200 x 20 x 310 =225,3mm

300 x 15 + 200 x 20ILN = 15 x 3003/12 + 300x15(225,3 –150)2 x

X 200 x 203/12 + 200x20(310 – 225,3)2 =

= 88,09 x 106 mm4 = 88,09 x 10 -6 m 4

_y =

1,00

1,00

2,00 m

Exercício proposto 5.4.4: Dimensionar as vigas para suporte de uma caixa para 4.000 litros de água. Admitir:1º) que as vigas sejam de madeira, (tensão normal limite 40 MPa – coeficiente de segurança 4,0) com seção retangular sendo b = 0,7 h. Avaliar o efeito do peso próprio da viga.2º) que as vigas são perfis de aço laminado (tensão limite 200 MPa e coeficiente de segurança 2,0) com seção em “I” de dimensões mostradas na tabela de perfis laminados constante da página 1194 do LT-1. Avaliar o efeito do peso próprio.Consulte também o item “LINKS” da h.p. no endereço: www.cesec.ufpr.br/~metalica/08/08.htm OBS. Considerar a conveniência de se colocar calços sob a caixa para o contato com as vigas. Dimensionar os calços.

5.5 – Vigas constituídas de dois materiais. Método da Seção Transformada.Para vigas cujo material tem tensões limites diferentes, quanto à tração e quanto à

compressão (caso típico do concreto, que suporta elevadas tensões de compressão, sendo frágil quando submetido à tração), usa-se o expediente de promover um reforço com material que seja mais resistente. É a solução adotada, por exemplo, nas vigas de concreto armado.

Nas equações 5.5.1 e 2, as distâncias “y” são contadas, nos materiais A e B, a partir da “linha neutra”, eixo em torno do qual a seção gira ao flexionar, tracionando as fibras de um lado e comprimindo do outro da seção.

Mantendo a suposição de que a seção reta permanece plana após a flexão, será fácil predizer que as deformações específicas variarão linearmente com as correspondentes distâncias y, ou seja:

k y. Tendo os materiais A e B comportamento elástico ( = E ) poderemos escrever:A = EA A = EA k yA ; B = EB B = EB k y B ......................................

(5.5.3)

Levando em 5.5.2 obteremos: N = A EA k yA bA dyA + B EB k y B bB dyB = 0, ou

A EA yA bA dyA + B EB y B bB dyB = 0, ou ainda, A yA bA dyA + B (EB / EA) y B bB dyB = 0.

Fazendo (EB / EA ) = n (relação entre os módulos de elasticidade dos dois materiais), a equação acima se transforma em:

A yA bA dyA + B y B (n bB ) dyB = 0,

84

Para uma viga constituída de um material A e que tenha um reforço em um material diferente B (conforme representado na figura 5.8 ao lado), o cálculo do momento fletor resultante na seção composta será dado por:

M = A A dAA yA + B B dAB yB

M = A A yA bA dyA + B B yB bB dyB..(5.5.1)

Como a flexão é suposta pura, N = 0, e

N = A A dAA + B B dAB = 0

N = A A bA dyA + B B bB dyB = 0 ...(5.5.2)

Fig. 5.5.1 – Viga constituída de dois materiais

bA

bB

yA

dyA

dyB

yBLinha neutra

que pode ser interpretada como indicando que a linha neutra estará posicionada na altura do centróide de uma área hipotética, constituída por sua forma original, na altura do material A, porém transformada, na altura do material B, de forma a que as dimensões horizontais b fiquem multiplicadas pelo fator adimensional n = EB/EA.

Quando levamos as mesmas equações 5.5.3, agora na equação 5.5.1, teremos:

M = A EA k yA2 bA dyA + B EB k yB

2 bB dyB; ou

M / k EA = A yA2 bA dyA + B yB

2 (n bB) dyB ,

Viga constituída de dois materiais

linha neutra

No caso de vigas de concreto, armadas com tirantes de aço, quando o cálculo das tensões é feito considerando que o concreto não é capaz de trabalhar quando tracionado (porque se fratura), a posição da linha neutra da seção transformada não fica previa determinada, devendo-se considerar, no cálculo de seu posicionamento, que o momento

85

b

n x b b

b_ n

Fig. 5.5.2 - Seção Transformada – n = EB / EA > 1

Exemplo 5.5.1 - A viga de madeira esquematizada tem um reforço constituído por uma barra de aço, como indicado.Pedem-se as tensões máximas de tração e compressão nos dois materiais, para um momento fletor M = 20 kN.m (+)Dados: Eaço= 200 GPa; Emadeira = 10 GPa

200

120

2060

Solução: n = 200/10 = 20.A seção transformada teria as dimensões mostradas na figura ao lado, para a qual: 1200x20x10 + 120x200x120

120x200 + 20x1200 IT = 1200x203/12 + 1200x20x(65 – 10)2 + 120x2003/12 + + 120x200x(120 – 65)2 = 226 x 106 mm4 = 226 x 10 –6 m4.

max]madeira/compressão = (20.000/226x10-6)(0,220 - 0,065) ==13,7 MPa

max]madeira/tração = (20.000/226x10-6)(0,065 - 0,020) ==3,99 MPa

max]aço/tração = (20.000/226x10-6)(0,065) = 115 MPa. (não há compressão no reforço de aço)

= 65 mmY =

60 x 20 = 1200

120

200

20

13,7

4,99

115 MPa

Exercicio proposto 5.5.2 – Resolva o problema anterior adotando como seção transformada aquela convertida “em aço”, ou seja, di-vidindo a largura “b” da parte de madeira por “n”, recalculando o novo IT, para, ao final, obter os mesmos resultados para as tensões calculadas.

120 : 20 = 6

que vem a ser o momento de inércia IT daquela mesma seção transformada como se fosse toda ela constituída do material A (mantidas as dimensões na parte do material escolhido para a transformação e alterando as dimensões horizontais b da parte transformada, multiplicadas pelo fator n):

A yA2 bA dyA + B yB

2 (n bB) dyB = IT = M / k EA,de onde tiramos: k = M / IT EA.

Voltando às equações 5.5.3, teremos:A = (M / IT) yA; B = n (M / IT) yB ....… (5.5.4) (a transformação poderia ter sido feita utilizando o material B como base, alterando as dimensões da parte A (x 1/n)

estático da área comprimida (parte de concreto) deverá ser igual ao momento estático da área correspondente à parte tracionada.

86

Como a relação entre os módulos de elasticidade dos dois materiais (n) é da ordem de 200/20 = 10, consideraremos que a área de aço (confinada como uma linha na altura da armadura, já que o diâmetro dos vergalhões é pequeno em relação às dimensões da viga, teremos: Área da armadura “transformada” em concreto = 10 x Área em aço.No cômputo do momento de inércia da área transformada desprezamos a parcela correspondente à linha de centro da

Linha neutra

b

Aa

(área da armadura em aço)

h

n x Aa

Exemplo 5.5.3: Uma viga de concreto armado, bi-apoiada, suporta uma carga uniformemente distribuída de 24 kN/m em um vão de 5m. A seção retangular mede 300 x 540 mm2 reforçada com 5 barras de aço redondo de 7/8” (1 polegada = 25,4 mm) com seus centros colocados a 70 mm da parte inferior da viga. Os módulos de elasticidade do aço e do concreto valem 200 e 20 GPa, respectivamente. Determinar as tensões longitudinais máximas no concreto e a tensão média de tração no aço, admitindo:

1º) que o concreto seja eficaz para suportar a tração;2º) que nenhuma parte do concreto seja eficaz para tração.

24 k N / m

60 kN

No meio do vão a flexão é pura (Q=0) e o momento fletor é máximo, valendo: M = 60 x 2,5 – (24 x 2,5 x ½ 2,5) = 75 kN.m

75 kN.m

60 kNQ = 0

2,5 m

1º) Supondo que o concreto fosse eficaz para suportar tensões de tração (prática em desuso – denominada “Estádio 1”), a seção transformada teria as características representadas na figura abaixo:

½ 1940 x 9 n - 1

yLN

5 vergalhões – d = (7/ 8) x 25,4 = 22,2mm; Av = 387,9 mm2

Área total: Aa = 1940 mm2

540

300

540

300

540

300

buracos

ou

½ 1940 x 10 n

½ 1940 x 10 n

½ 1940 x 9 n - 1

Linha Neutra

70

A posição da linha neutra fica determinada fazendo:

300 x 540 x 270 + 1940 x 9 x 70 300 x 540 + 1940 x 9

O momento de inércia da transformada valerá:

IT = 300 x 5403 / 12 + 300 x 540 (270 – 250,5)2 + 1940 x 9 x (250, 5 – 70)2 = 4.567 x 106 mm4 IT = 4.567 x 10 – 6 m4 .

Portanto:, as tensões extremas no concreto valerão: ração = (75.000 / 4.567 x 10 –6 ) (0,2505) = 4,11 MPa (na fibra inferior)

Compressão = (75.000 / 4.567 x 10 –6 ) (0, 540 - 0,2505) = 4,75 MPa (na fibra superior)

A tensão média na armadura de aço valeria: Aço = (75.000 / 4.567 x 10 –6 ) (0,2505 – 0,070) x 10 = 29,6 MPa.

2º) Supondo, agora, que o concreto não seja eficaz para suportar tensões de tração (“Estádio 2”), a seção transformada seria como a apresentada na figura abaixo.

87

= 250, 5 mm. yLN =

300

540

70

Linha Neutra

yLN

1.940 x 10 mm2

A posição da linha neutra será determinada igualando os momentos estáticos da área eficaz do concreto (comprimida) e da área total da armadura de aço, transformada. Assim:

300 (540 – yLN)(540 – ylN) x ½ = = 19.400 x (yLN – 70).

yLN = 349,8 mm

O momento de inércia da seção transformada em relação à linha neutra valerá:

IT = 300 x (540 – 349,8)3 / 3 + 19.400 x (349,8 – 70)2 = 2.206,6 x 106 mm4 = 2.206,6 x 10 - 6 m4

Portanto:(no concreto) – (Compressão)máxima

= (75.000 / 2.206,6 x 10 –6 ) (0, 540 – 0,3498) = 6,46 MPa (na parte superior da seção)

(no aço) – (Tração)média = 10 x (75.000 / 2.206,6 x 10 –6 ) (0,3498 – 0,070) = 95,1 MPa (na

armadura)