Fluxo de Potência – Método de Solução de Newton-Raphson

ET77J – Sistemas de Potência 1

Fluxo de Potência – Método de Solução de Newton-Raphson

Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto


Objetivo da Aula

2

Apresentar o método iterativo de Newton-Raphson para resolução do problema de fluxode potência.


Conteúdo Programático

3

Método de Newton-Raphson unidimensional;

Método de Newton-Raphson multidimensional;

Aplicação ao problema de fluxo de potência.


Construção de Conhecimento Esperado

4

Desenvolver proficiência na solução doproblema de fluxo de potência a partir daaplicação do método de Newton-Raphson.


Solução de Equações não-Lineares

5

Obtenção dos zeros de uma função– Considere a seguinte função 𝑔𝑔 𝑥𝑥 , para a qual 𝑥𝑥𝑠𝑠 →𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑠𝑠 = 0 (solução procurada)

Equação algébrica não linear com uma variável

(unidimensional)

Zero da função



6

Obtenção dos zeros de uma função

– Existem vários métodos numéricos de solução,como, por exemplo:

• Método da Bissecção;• Método da Secante;• Método da posição falsa;• Método de Newton-Raphson;• etc.

Diferenciam-se emrelação a convergência enúmero de iterações,basicamente.



7

Obtenção dos zeros de uma função

– Considerando o método de Newton-Raphson paradeterminar 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑠𝑠 = 0

• É necessário conhecer a função 𝑔𝑔 𝑥𝑥 e sua derivadaprimeira 𝑔𝑔′ 𝑥𝑥 em um dado ponto 𝑥𝑥𝑖𝑖;

– Baseado em aproximações lineares → série de Taylor em tornode um ponto considerado 𝑥𝑥𝑖𝑖;



8

Obtenção dos zeros de uma função– Interpretando geometricamente o método de

Newton-Raphson



9

Obtenção dos zeros de uma função– Contudo, se 𝑥𝑥𝑣𝑣 estiver próximo de 𝑥𝑥𝑠𝑠

– Linearizando (1) em torno de 𝑥𝑥𝑣𝑣;𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣) , pelo usoda série de Taylor:

Para a qual: 𝑥𝑥𝑣𝑣 =valor inicial (estimativa); ∆𝑥𝑥𝑣𝑣=correção (erro) no valor de 𝑥𝑥; 𝑣𝑣=contador deiterações.

𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + ∆𝑥𝑥𝑣𝑣 ≈ 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑠𝑠 = 0 (1)

𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + ∆𝑥𝑥𝑣𝑣 ≈ 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + 𝑔𝑔′(𝑥𝑥𝑣𝑣)Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = 0 (2)

Para valores suficientemente pequenos de ∆𝒙𝒙 (proximidade com 𝒙𝒙𝒔𝒔 ) ostermos de ordem superior da série podem ser negligenciados.



10

Obtenção dos zeros de uma função– Resolvendo (2) para ∆𝑥𝑥𝑣𝑣

– Logo, uma nova estimativa de 𝑥𝑥 será:

𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + 𝑔𝑔′(𝑥𝑥𝑣𝑣)Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = 0

Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = −𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣

𝑔𝑔′(𝑥𝑥𝑣𝑣)(3)

𝑥𝑥𝑣𝑣+1 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 + Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 −𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣

𝑔𝑔′(𝑥𝑥𝑣𝑣)(4)



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O processo iterativo para o método de Newton-Raphson unidimensional consiste em:

I. Inicializar o contador de iterações 𝑣𝑣 = 0. Escolher umponto inicial 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 = 𝑥𝑥0;

II. Calcular o valor da função 𝑔𝑔(𝑥𝑥) no ponto 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 →𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣);

III. Comparar o valor calculado 𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣) com a tolerânciaespecificada 𝜀𝜀 . Se 𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣) ≤ 𝜀𝜀 , então 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑣𝑣corresponderá a solução procurada dentro da faixa detolerância ∓𝜀𝜀. Caso contrário prosseguir para o passoIV.



12

O processo iterativo para o método de Newton-Raphson unidimensional é:

IV. Linearizar a função 𝑔𝑔(𝑥𝑥) em torno de𝑥𝑥𝑣𝑣;𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣) → obtenção de 𝑔𝑔′(𝑥𝑥𝑣𝑣);

V. Resolver o problema linearizado → Δ𝑥𝑥𝑣𝑣. Estimar𝑥𝑥𝑣𝑣+1;

VI. Atualizar 𝑣𝑣 ← 𝑣𝑣 + 1 e voltar ao passo II.



13

Considere o caso multidimensional parautilização do método de Newton-Raphson

Sistema de equações não lineares com n funções e n incógnitas.

�

𝑔𝑔1 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 0𝑔𝑔2 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 0

…𝑔𝑔𝑛𝑛 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 0



14

Para esta situação:

– Os passos para solução deste caso são basicamenteos mesmos do algoritmo apresentado para o casounidimensional;

– A principal diferença está no passo IV (linearização)de 𝑔𝑔(𝑥𝑥);

• Surgimento da matriz jacobiana.



15

Para esta situação:

– Linearizar (4) em torno de 𝑥𝑥𝑣𝑣;𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣) pelo uso dasérie de Taylor:

𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + ∆𝑥𝑥𝑣𝑣 ≈ 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑠𝑠 = 0

𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + ∆𝑥𝑥𝑣𝑣 ≈ 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + 𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣)Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = 0

(4)

(5)



16

Para esta situação– Resolvendo (5) para ∆𝑥𝑥𝑣𝑣:

– Logo, uma nova estimativa de 𝑥𝑥 será:

𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + 𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣)Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = 0

(6)Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = − 𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣) −1 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣

𝑥𝑥𝑣𝑣+1 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 + Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 − 𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣) −1 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 (7)



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A matriz Jacobiana:– Retomando (5) e considerando os valores iniciais,

para cada variável, iguais a 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0 e ascorreções (erros) iguais a Δ𝑥𝑥10,Δ𝑥𝑥20,⋯ ,Δ𝑥𝑥𝑛𝑛0, tem-se:

𝑔𝑔1 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0 + �𝜕𝜕𝑔𝑔1𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝑥𝑥10

Δ𝑥𝑥10 + �𝜕𝜕𝑔𝑔1𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑥𝑥20

Δ𝑥𝑥20 + ⋯+ �𝜕𝜕𝑔𝑔1𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛0

Δ𝑥𝑥𝑛𝑛0 = 0

𝑔𝑔2 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0 + �𝜕𝜕𝑔𝑔2𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝑥𝑥10

Δ𝑥𝑥10 + �𝜕𝜕𝑔𝑔2𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑥𝑥20

Δ𝑥𝑥20 + ⋯+ �𝜕𝜕𝑔𝑔2𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛0


…

𝑔𝑔𝑛𝑛 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0 + �𝜕𝜕𝑔𝑔𝑛𝑛𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝑥𝑥10

Δ𝑥𝑥10 + �𝜕𝜕𝑔𝑔𝑛𝑛𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑥𝑥20

Δ𝑥𝑥20 + ⋯+ �𝜕𝜕𝑔𝑔𝑛𝑛𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛0


(8)



18

A matriz Jacobiana é:– Resolvendo (8) para Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 e apresentando em forma

matricial:

Δ𝑥𝑥10

Δ𝑥𝑥20⋯Δ𝑥𝑥𝑛𝑛0

= −

�𝜕𝜕𝑔𝑔1𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝑥𝑥10

�𝜕𝜕𝑔𝑔1𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑥𝑥20

⋯ �𝜕𝜕𝑔𝑔1𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛0

�𝜕𝜕𝑔𝑔2𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝑥𝑥10

�𝜕𝜕𝑔𝑔2𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑥𝑥20

⋯ �𝜕𝜕𝑔𝑔2𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

�𝜕𝜕𝑔𝑔𝑛𝑛𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝑥𝑥10

�𝜕𝜕𝑔𝑔𝑛𝑛𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑥𝑥20

⋯ �𝜕𝜕𝑔𝑔𝑛𝑛𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛0

−1

�

𝑔𝑔1 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0

𝑔𝑔2 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0⋯

𝑔𝑔𝑛𝑛 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0

(9)

Jacobiano



19

O processo iterativo para o método de Newton-Raphson multidimensional consiste em:

I. Inicializar o contador de iterações 𝑣𝑣 = 0. Escolherum ponto inicial 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 = 𝑥𝑥0;

II. Calcular o valor da função 𝑔𝑔(𝑥𝑥) no ponto 𝑥𝑥 =𝑥𝑥𝑣𝑣 → 𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣);

III. Testar a convergência: Se 𝑔𝑔𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑣𝑣) ≤ 𝜀𝜀 para 𝑖𝑖 =1,⋯ ,𝑛𝑛, então 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 será a solução procuradadentro da faixa de tolerância ∓𝜀𝜀. Caso contrárioprosseguir.



20

O processo iterativo para o método de Newton-Raphson multidimensional é:

IV. Calcular a matriz jacobiana 𝐽𝐽(𝑥𝑥𝑣𝑣);

V. Determinar o novo ponto 𝑥𝑥𝑣𝑣+1;

VI. Atualizar 𝑣𝑣 ← 𝑣𝑣 + 1 e voltar ao passo II.


Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência

21

Para solução do problema de fluxo de potência

𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣

𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣)

Δ𝑥𝑥𝑣𝑣

Como determinar?


Aplicação do Método de Newton-Raphson

As expressões das potências líquidas nas barras:

Sistema com 2NB equações.

(17)



23

Um sistema elétrico de potência é compostopor:

– Uma barra de referência (V e θ são dados → deve-se obter P e Q);

– NPQ barras do tipo PQ (P e Q são dados → deve-seobter V e θ );

– NPV barras do tipo PV (P e V são dados → deve-seobter Q e θ );



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Logo, tal sistema possuirá (𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 +1) barras:

Existem dois tipo de incógnitas

– 𝑁𝑁 𝑒𝑒 𝜃𝜃 → 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒;– 𝑁𝑁 𝑒𝑒 𝑁𝑁 → 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑟𝑟𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑒𝑒𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

� 2 � 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 + 1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2 � 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 + 1 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑎𝑎𝑖𝑔𝑔𝑛𝑛𝑖𝑖𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎

Dois problemas, ou subsistemas, que podem ser resolvidosseparadamente



25

Determinação das variáveis de estado(subsistema 1)– Resolvido de forma iterativa



26

Determinação das variáveis de estado(subsistema 1)– Em termos de potência, são dados

– Dessa forma, as equações (17) podem ser utilizadaspara determinar o estado da rede:



27

Determinação das variáveis de estado(subsistema 1)

(18)



28

A equação (18) pode ser reescrita da seguinteforma:



29



30



31

Determinação das potências nodaisdesconhecidas (subsistema 2)



32

Determinação das potências nodaisdesconhecidas (subsistema 2)

Não é necessário aplicar um método iterativo, pois as incógnitas sãoexplícitas (estado da rede conhecido). Obtido a partir daconvergência do Subsistema 1.



33

Portanto, o método de Newton-Raphson seráaplicado a resolução do subsistema 1– Retomando (6)

Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = − 𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣) −1 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣



34

Portanto, o método de Newton-Raphson seráaplicado a resolução do subsistema 1– Retomando (6)

Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = − 𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣) −1 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣



35

Contudo, 𝑁𝑁𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑁𝑁𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒 são constantes, logo:



36

A matrizes H, M, N e L não possuem as mesmasdimensões

– Essas são:



37

De forma compacta:

Δ𝜃𝜃𝑣𝑣Δ𝑁𝑁𝑣𝑣 = 𝐻𝐻 𝑁𝑁

𝑀𝑀 𝐿𝐿𝑣𝑣−1

⋅ Δ𝑁𝑁𝑣𝑣

Δ𝑁𝑁𝑣𝑣(19)



38

As expressões para os elementos das matrizesH, M, N e L são obtidas a partir das equaçõesdas potências nodais 𝑁𝑁𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑁𝑁𝑘𝑘

– Para a matriz H



39


– Para a matriz N



40


– Para a matriz M



41


– Para a matriz L



42

O processo iterativo de resolução dosubsistema 1 é:



43




44




45

A solução do problema do fluxo de potênciapelo método de Newton-Raphson pode sersimplificada:– Para sistemas de Extra-alta tensão (EAT > 230kV) e

Ultra-alta tensão (UAT > 750 kV)

𝑁𝑁 → 𝜃𝜃

𝑁𝑁 → 𝑁𝑁

𝑁𝑁 → 𝑁𝑁

𝑁𝑁 → 𝜃𝜃

Fortementeacoplados

Fracamenteacoplados

𝜕𝜕𝑁𝑁𝜕𝜕𝜃𝜃

≫𝜕𝜕𝑁𝑁𝜕𝜕𝑁𝑁

𝜕𝜕𝑁𝑁𝜕𝜕𝑁𝑁

≫𝜕𝜕𝑁𝑁𝜕𝜕𝜃𝜃



46

Isso implica que as matrizes

Logo (19) passa a ser:

𝑀𝑀 =𝜕𝜕𝑁𝑁𝜕𝜕𝑁𝑁

𝑁𝑁 =𝜕𝜕𝑁𝑁𝜕𝜕𝜃𝜃

Podem ser desprezadas

Δ𝜃𝜃𝑣𝑣Δ𝑁𝑁𝑣𝑣 = 𝐻𝐻 0

0 𝐿𝐿𝑣𝑣−1

⋅ Δ𝑁𝑁𝑣𝑣

Δ𝑁𝑁𝑣𝑣(20)



47

Portanto, (20) passa a ser:

(21)

Equações simultâneas: 𝑁𝑁 𝑒𝑒 𝜃𝜃 atualizados ao mesmo tempo



48

Para melhorar a convergência de (21) é possíveladotar um esquema de resolução alternado

(22)

Neste caso o fator de correção de potência reativa é calculado já utilizandovalores atualizados do ângulo de fase da tensão.



49

Em resumo, o método desacoplado:



50

Comparação entre os métodos de Newton-Raphson e desacoplado:


Referências bibliográficas

51

MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A.. Introdução a sistemas de energia elétrica. Campinas, SP:UNICAMP, c2003. 251 p.

MONTICELLI, A. J.. Fluxo de carga em redes de energia elétrica. São Paulo: E. Blucher; Rio deJaneiro: Centro de Pesquisas de Energia Eletrica (Brasil), c1983. 164p.

KOTHARI, D. P.; NAGRATH, I. J. Modern Power System Analysis. [s.l.] Tata McGraw-Hill PublishingCompany, 2003. 353p.

WANG, X. F.; SONG, Y.; IRVING, M. Modern Power Systems Analysis. [s.l.] Springer US, 2010.569p.

BENEDITO, R. A. S. ET77J – Sistemas de Potência 1. Notas de aula. UTFPR, 2015, Curitiba.

CASTRO, C. A. IT 720 - Sistemas de Energia Elétrica I. Notas de aula. Unicamp, 2019, Campinas.


Referências bibliográficas

52

CASTRO, C. A. IT 601 - Cálculo de Fluxo de Carga. Notas de aula. Unicamp, 2005,Campinas.

ZHU, J. Optimization Of Power System Operation, 2nd ed. IEEE Press; USA, 2015. 633p.

El-Hawary, M. E. Electrical Power Systems – Design and Analysis. IEEE Press; USA,1995. 791 p.

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