Folhas EBII-2014

ESTRUTURAS DE BETÃO II

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

Coordenação: António Costa

Ano Lectivo 2013/2014

Introdução

Estas folhas de apoio às aulas têm como objectivo facilitar o seu acompanhamento e

correspondem, em geral, à sequência e organização da exposição incluindo, ainda, a

resolução de problemas. São apontamentos de síntese que não dispensam a consulta de

restantes apontamentos da disciplina e da bibliografia proposta, onde deve ser realçado o

recente livro sobre Estruturas de Betão da autoria do Prof. Júlio Appleton.

Estes apontamentos resultaram da experiência de ensino e de textos anteriores da

disciplina para os quais contribuíram os docentes que têm vindo a leccionar o Betão

Estrutural, sob a orientação do Prof. Júlio Appleton, que foi, nesta escola, nos últimos 30

anos e até ao ano lectivo 2010/2011, o responsável por esta área da engenharia de

estruturas.

Durante o ano lectivo 2003/2004 o Prof. Júlio Appleton com a Engª Carla Marchão,

organizaram a 1ª versão destas folhas de apoio às aulas. A estas foram sendo

introduzidas várias contribuições, mais directamente, dos Profs. José Camara, António

Costa, João Almeida, e Sérgio Cruz.

Deve-se realçar que o essencial do ensino do betão estrutural é a transmissão do

conhecimento sobre as características do comportamento estrutural e fundamentação

dos modelos de cálculo, aspectos que se repercutem depois, naturalmente, nas

prescrições normativas, com algumas variações.

Ao longo destes últimos anos têm sido referidas na disciplina, em geral, as normas

europeias (Eurocódigos), já aprovadas na versão definitiva (EN) tendo algumas sido já

implementadas como normas portuguesas. Refira-se que, no entanto, não houve ainda

uma implementação formal a nível legislativo, sendo possível utilizar, no âmbito

profissional, em alternativa, a regulamentação nacional (REBAP – Regulamento de

Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) ou a regulamentação europeia

(Eurocódigo 2 – Projecto de Estruturas de Betão).

IST, Fevereiro de 2014

ÍNDICE

1. ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS.................................................................................................... 1

1.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 1

VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................. 3

1.2. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO ........................................................................................... 3

1.2.1. Pré-esforço por pré-tensão ..................................................................................................... 3

1.2.2. Pré-esforço por pós-tensão ..................................................................................................... 4

1.3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................................. 5

1.3.1. Armaduras de pré-esforço ....................................................................................................... 5

1.3.2. Ancoragens de pré-esforço ...................................................................................................... 8

1.3.3. Bainhas de pré-esforço............................................................................................................ 8

1.3.4. Sistemas de Injecção ............................................................................................................... 9

1.4. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO ................................................................................................................. 9

A – ACÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO ISOLADO ............................................................................................ 10

1.4.1. Razão da utilização de aços de alta resistência para aplicação do pré-esforço................... 11

1.4.2. Comparação entre o comportamento em serviço e capacidade resistente de estruturas de

betão armado e de betão pré-esforçado ................................................................................................. 12

1.5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO ......................................................... 15

1.5.1. Pré-dimensionamento da secção ........................................................................................... 15

1.5.2. Traçado do cabo ................................................................................................................... 15

1.5.3. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço ............................... 15

1.5.4. Pré-dimensionamento da força de pré-esforço útil ............................................................... 16

1.6. VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO. DEFINIÇÃO DOS CABOS .......................................................... 17

1.6.1. Força máxima de tensionamento .......................................................................................... 17

1.6.2. Perdas de pré-esforço ........................................................................................................... 17

1.6.3. Definição dos cabos .............................................................................................................. 18

1.7. CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS .......................................................................... 24

1.7.1. Equação da parábola ............................................................................................................ 24

1.7.2. Determinação do ponto de inflexão entre dois troços parabólicos ....................................... 25

1.7.3. Determinação do ponto de concordância troço parabólico – troço recto ............................ 25

1.8. CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO ...................................................................................... 25

1.8.1. Acções exercidas sobre o cabo ............................................................................................. 25

1.8.2. Acções exercidas sobre o betão............................................................................................. 25

1.8.3. Determinação das cargas equivalentes ................................................................................. 26

1.9. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS ..................................................... 33

1.9.1. Estado limite último de flexão ............................................................................................... 33

1.9.2. Estado limite último de esforço transverso ........................................................................... 35

1.10. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................................... 41

1.10.1. Perdas por Atrito ................................................................................................................... 41

1.10.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos) ................................................................. 42

1.10.3. Perdas por deformação instantânea do betão ....................................................................... 43

1.10.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço .................................................. 43

1.10.5. Perdas por retracção do betão .............................................................................................. 47

1.10.6. Perdas por fluência do betão ................................................................................................ 47

1.10.7. Perdas por relaxação da armadura ...................................................................................... 47

1.11. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS ........................................................ 50

1.11.1. Verificação da segurança ao esmagamento do betão ........................................................... 50

1.11.2. Determinação das Armaduras de Reforço na Zona das Ancoragens .................................... 51

1.12. PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS COM SECÇÃO VARIÁVEL ........................................................................... 60

1.12.1. Consideração do efeito do pré-esforço ................................................................................. 60

1.13. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS .......................................................... 62

2. INTRODUÇÃO AO DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO ....................... 70

2.1. CLASSIFICAÇÃO DE LAJES ............................................................................................................... 70

2.1.1. Tipo de Apoio ........................................................................................................................ 70

2.1.2. Constituição .......................................................................................................................... 71

2.1.3. Modo de flexão dominante .................................................................................................... 71

2.1.4. Modo de fabrico .................................................................................................................... 71

2.2. PRÉ-DIMENSIONAMENTO ................................................................................................................ 72

2.3. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA ....................................................................................................... 72

2.3.1. Estados Limites Últimos ........................................................................................................ 72

2.3.2. Estados Limites de Utilização ............................................................................................... 75

2.3.3. Deformação ........................................................................................................................... 76

2.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS ............................................................................................ 78

2.4.1. Recobrimento das armaduras ............................................................................................... 78

2.4.2. Distâncias entre armaduras .................................................................................................. 79

2.4.3. Quantidades mínima e máxima de armadura ....................................................................... 79

2.4.4. Posicionamento das armaduras ............................................................................................ 80

2.5. MEDIÇÕES E ORÇAMENTOS ............................................................................................................ 80

2.6. LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA DIRECÇÃO .................................................................................. 81

2.6.1. Definição ............................................................................................................................... 81

2.6.2. Pré-dimensionamento............................................................................................................ 82

2.6.3. Pormenorização de armaduras ............................................................................................. 82

2.7. LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES ............................................................................ 88

2.7.1. Métodos de Análise e Dimensionamento ............................................................................... 88

2.7.2. Método das bandas ............................................................................................................... 96

2.8. PRÉ-DIMENSIONAMENTO .............................................................................................................. 101

2.9. PORMENORIZAÇÃO DE ARMADURAS............................................................................................. 102

2.9.1. Disposição de armaduras .................................................................................................... 102

2.9.2. Exemplos da disposição das armaduras principais e de distribuição................................. 102

2.10. DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS EM LAJES ...................................................................................... 102

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L2 .................................................................................................................. 104

2.11. ARMADURAS DE CANTO ............................................................................................................... 107

2.12. SISTEMAS DE PAINÉIS CONTÍNUOS DE LAJES – COMPATIBILIZAÇÃO DE ESFORÇOS NOS APOIOS DE

CONTINUIDADE .......................................................................................................................................... 108

2.13. ALTERNÂNCIA DE SOBRECARGAS ................................................................................................. 110


ALÍNEA A) .................................................................................................................................................. 115

ALÍNEA B) .................................................................................................................................................. 119

2.14. COMPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DOS MODELOS ELÁSTICO E PLÁSTICO .......................................... 122



2.15. ABERTURAS EM LAJES .................................................................................................................. 130

2.16. DISCUSSÃO DO MODELO DE CÁLCULO DE LAJES COM GEOMETRIAS DIVERSAS .............................. 133

2.17. PORMENORIZAÇÃO COM MALHAS ELECTROSSOLDADAS ............................................................... 137

2.17.1. Representação gráfica das malhas ...................................................................................... 137

2.17.2. Exemplo de aplicação de malhas electrossoldadas ............................................................ 137

2.18. LAJES FUNGIFORMES .................................................................................................................... 140

2.18.1. Vantagens da utilização de lajes fungiformes ..................................................................... 140

2.18.2. Problemas resultantes da utilização de lajes fungiformes .................................................. 140

2.18.3. Tipos de lajes fungiformes ................................................................................................... 140

2.18.4. Principais características do comportamento para acções verticais .................................. 141

2.18.5. Análise qualitativa do cálculo de esforços numa laje fungiforme ....................................... 141

2.18.6. Concepção e pré-dimensionamento de lajes fungiformes ................................................... 142

2.18.7. Modelos de análise de lajes fungiformes ............................................................................. 143

2.18.8. Método dos Pórticos Equivalentes (EC2 - Anexo I) ............................................................ 143


2.18.9. Modelo de grelha ................................................................................................................ 148

2.18.10. Modelos de elementos finitos de laje ................................................................................... 149


ALÍNEA A) .................................................................................................................................................. 153

ALÍNEA B) .................................................................................................................................................. 155

2.19. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO ................................................................................ 157

2.19.1. Mecanismos de rotura de punçoamento .............................................................................. 157

2.19.2. Mecanismos de resistência ao punçoamento ...................................................................... 157

2.19.3. Verificação da segurança ao punçoamento ........................................................................ 158

2.19.4. Cálculo do esforço de corte solicitante ............................................................................... 158

2.19.5. Perímetro básico de controlo .............................................................................................. 159

2.19.6. Resistência ao punçoamento de lajes sem armadura específica de punçoamento .............. 160

2.19.7. Verificação ao punçoamento em lajes com capiteis ............................................................ 160

2.19.8. Armaduras de punçoamento ................................................................................................ 161

2.19.9. Valor de cálculo do máximo esforço de corte ..................................................................... 162

2.19.10. Punçoamento excêntrico ..................................................................................................... 162

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II

1

1. ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS

1.1. INTRODUÇÃO

O pré-esforço é uma tecnologia que permite introduzir numa estrutura um estado de

tensão e deformação por meio de cabos de aço de alta resistência que possibilita o

controlo do seu comportamento no que se refere à fendilhação e à deformação.

Como é sabido o menor desempenho das estruturas de betão no que se refere ao

comportamento em serviço resulta, em grande parte, da fraca resistência do betão à

tracção. Portanto se, em serviço, as tensões de tracção no betão forem controladas a

nível reduzido o desempenho das estruturas melhorará substancialmente.

Os efeitos do pré-esforço podem ser entendidos recorrendo aos exemplos a seguir

apresentados que traduzem o comportamento de vigas submetidas à acção de cargas no

vão.

A actuação das cargas gera na viga um estado de tensão indicado na figura. Na zona

inferior as tensões de tracção originam a fendilhação do betão e a consequente perda de

rigidez da viga e aumento das flechas.

compressão

tracção

Este comportamento pode ser melhorado se for introduzida uma força de compressão

que vai originar uma redução das tensões de tracção e consequentemente uma menor

fendilhação e perda de rigidez da viga.

Essa força de compressão pode ser conseguida por meio de um cabo de aço tensionado

que transmite a força de tensionamento ao betão nas extremidades da viga.

A figura seguinte ilustra o efeito da força de compressão introduzida no betão por cabo de

pré-esforço colocado segundo o eixo da viga. O estado de tensão associado a esta força

de compressão é, portanto, uniforme.


2

compressão

tracção

efeito do pré-esforço

P

P

P

O cabo de aço pode ter diferentes posicionamentos na secção da viga e diferente

geometria os quais têm consequências ao nível do comportamento da viga conforme

ilustrado na figura seguinte onde se representam as tensões na secção de meio vão

devidas ao pré-esforço P e à carga actuante q.

esforço axial centrado

esforço axial com excentricidade

esforço axial e transversal

No primeiro caso, em que o cabo está centrado na secção, o pré-esforço necessário para

anular a tensão de tracção provocada pela carga q é elevado, conduzindo a um estado

de tensão resultante com elevadas tensões de compressão na fibra superior.

No segundo caso, com um cabo recto localizado junto à face inferior da viga, o estado de

tensão introduzido pelo pré-esforço é mais eficiente para contrariar as tensões

provocadas pela carga q e as tensões resultantes são mais baixas. Neste caso importa

salientar que o pré-esforço introduz um estado de deformação contrário ao da carga q

pelo que se consegue controlar melhor a deformação da viga.


3

No terceiro caso a forma do cabo faz com que para além do esforço axial do pré-esforço

seja introduzida na viga uma carga distribuída com sentido contrário ao da carga exterior

q. Com este traçado, para além dos efeitos referidos no caso anterior, existe também o

efeito de contrariar o esforço transverso provocado pela carga q. Refira-se que esta carga

distribuída no vão (carga equivalente ao pré-esforço no vão) gera efeitos, iguais mas de

sinal contrário, ao de um carregamento uniforme. Por exemplo, se esta carga equivalente

for igual às aplicadas a deformação da viga é nula.

A definição do valor do pré-esforço a introduzir na estrutura depende do objectivo que se

pretende atingir: controlo da fendilhação, controlo da deformação ou ambos.

Em geral, pretende-se que em serviço o nível das tensões de tracção na secção seja nulo

ou muito reduzido. Este nível de tensões é também condicionado por questões de

durabilidade pois os aços de alta resistência, por estarem fortemente tensionados, são

muito sensíveis à corrosão pelo que se deve evitar a formação de fendas ou, caso estas

venham a ocorrer, a sua abertura deve ser muito reduzida.

Importa ainda referir que a utilização e a exploração total dos aços de alta resistência na

capacidade resistente dos elementos estruturais só é viável se for introduzida uma

extensão inicial na armadura. Caso contrário não só a tensão resistente da armadura

dificilmente seria atingida por destruição prematura da aderência, como o comportamento

em serviço não seria aceitável devido à elevada abertura de fendas induzida pelas muito

altas extensões na armadura.

VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO

Vencer vãos maiores

Maiores esbeltezas para vãos equivalentes

Diminuição do peso próprio

Melhoria do comportamento em serviço

Utilização racional dos betões e aços de alta resistência

1.2. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO

1.2.1. Pré-esforço por pré-tensão

As armaduras são tensionadas antes da colocação do betão;

A transferência de força é realizada por aderência;

É realizado em fábrica (tensão aplicada contra cofragens ou contra maciços de

amarração).


4

Neste sistema de pré-esforço os cabos são rectos.

1.2.2. Pré-esforço por pós-tensão

As armaduras são tensionadas depois do betão ter adquirido a resistência

necessária;

A transferência de força é realizada quer nas extremidades, através de

dispositivos mecânicos de fixação das armaduras (ancoragens), quer ao longo

das armaduras.

Nos sistemas de pós-tensão o cabo de pré-esforço pode ter uma geometria curva a qual

é mais adequada para vigas contínuas.

Nos sistemas de pós-tensão aderentes as bainhas dos cabos são injectadas com calda

de cimento.


5

Bainha

Fios ou cordões

Calda de cimento

Cabo de pré - esforço Secção A-A

1.3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO

1.3.1. Armaduras de pré-esforço

As armaduras de pré-esforço são constituídas por aço de alta resistência, e podem ter as

seguintes formas:

fios Diâmetros usuais: 3 mm, 4 mm, 5 mm e 6 mm

cordões (compostos por 7 fios)

Designação

Secção

nominal

[cm2]

Diâmetro

[mm]

0.5” 0.987 12.7

0.6”N 1.4 15.2

0.6”S 1.5 15.7

varões

Diâmetros usuais: 25 mm a 36 mm

(podem ser lisos ou roscados)

Os cordões são compostos por fios, sendo os mais correntes os cordões de 7 fios obtidos

por 6 fios enrolados em torno de um fio central recto.

Na figura seguinte apresentam-se diagramas tensão-deformação de fios, cordões e

varões de pré-esforço e comparam-se com os diagramas de varões de aço corrente.

Verifica-se que a resistência dos aços de pré-esforço é significativamente superior à dos

aços correntes. Esta elevada resistência é conseguida à custa de um maior teor em

carbono, de processos de tratamento térmico e, também, no caso dos fios, por um

processo de trefilagem.


6

A composição do aço e o processo de fabrico dos fios de pré-esforço penalizam a sua

capacidade de deformação constatando-se que a sua ductilidade é significativamente

inferior à dos varões de aço laminados a quente.

Uma vez que os aços de resistência mais elevada não apresentam patamar de cedência,

a tensão de cedência é caracterizada pelo valor característico da tensão limite

convencional de proporcionalidade a 0,1%, fp0,1k.

7

varão de pré-esforço 32 mm


7

No quadro seguinte apresentam-se algumas características de aços de alta resistência

correntemente utilizados em armaduras de pré-esforço:

fp0,1k [Mpa] fpk [Mpa] Ep [Gpa]

fios e cordões 1670 1860 195 10

varões 835 1030 170

O diagrama idealizado e de cálculo para os aços de pré-esforço é o definido na figura

seguinte.

Os aços de pré-esforço devem garantir um valor mínimo da extensão à força máxima uk

de 3,5%.

A norma prEN 10138 define as propriedades e requisitos dos aços de pré-esforço. A

designação dos aços de pré-esforço segundo esta norma é a seguinte: Y fpk

Exemplo: Y 1860 – aço de pré-esforço com valor nominal da tensão de rotura à tracção

igual a 1860 MPa

Em Portugal os requisitos relativos às características das armaduras de pré-esforço são

definidos nas Especificações LNEC: E452 (fios); E453 (cordões); E459 (varões).

Cabo de pré-esforço: conjunto de cordões (agrupados no interior de uma bainha)

Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos “standard” dos sistemas de

pré-esforço (número de cordões que preenchem na totalidade uma ancoragem).


8

1.3.2. Ancoragens de pré-esforço

Activas

Permitem o tensionamento

Passivas

Ficam embebidas no betão

De continuidade

(acoplamentos)

Parte passiva, parte activa

1.3.3. Bainhas de pré-esforço

Metálicas

Plásticas


9

1.3.4. Sistemas de Injecção

Materiais rígidos (ex: calda de cimento)

Materiais flexíveis (ex: graxas ou ceras)

cera

bainha plástica cordão

1.4. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO

O pré-esforço é, por definição, uma deformação imposta. Deste modo, a sua aplicação

em estruturas isostáticas não introduz esforços adicionais.

Embora o pré-esforço não introduza esforços em estruturas isostáticas surgem tensões

nas secções dos elementos: tensões no betão e nas armaduras e tensões no cabo de

pré-esforço. Essas tensões são autoequilibradas e, portanto, têm resultante nula.

O mesmo não se passa nas estruturas hiperestáticas, situação em que as deformações

estão restringidas. Nestes casos surgem esforços associados ao pré-esforço resultantes

das forças que se desenvolvem nos apoio e que restringem a livre deformação do

elemento.

Para ilustrar o efeito do pré-esforço considere-se a seguinte viga pré-esforçada:

pp


10

Apresentam-se em seguida os diagramas de extensões na secção transversal indicada

(secção de vão onde o cabo de pré-esforço tem excentricidade máxima), para as

seguintes situações:

A – acção do pré-esforço isolado

B – acção das cargas mobilizadas na aplicação do pré-esforço (peso próprio)

C – situação após a aplicação do pré-esforço

eP0

+

-

A

P0

+

B

-

+

+ Mpp = -

C

+P0

Como se verifica, o estado de deformação induzido pelo pré-esforço é contrário ao

estado de deformação provocado pelo peso próprio.

Partindo de uma situação em que a viga está apoiada numa cofragem, a aplicação do

pré-esforço irá originar uma deformação para cima da viga (diagrama A). Nessa altura é

mobilizado o peso próprio da viga (diagrama B). O diagrama de deformação final C

resulta da sobreposição dos diagramas A e B.

O estado de tensão numa viga pré-esforçada é caracterizado pelos diagramas da figura

seguinte em que P é o pré-esforço aplicado e M é o momento das cargas exteriores.

As tensões actuantes nas fibras inferior e superior são:

inf = - P A

- P e

winf +

M winf

sup = - P A

+ P e wsup

- M wsup

(-)

P

M

P / A

+

(+)

(-)

P x e

(-)

(+)

M

+ e

diagramas de tensões

diagramas de extensões


11

1.4.1. Razão da utilização de aços de alta resistência para aplicação do pré-esforço

Considere o tirante de betão pré-esforçado, cuja secção transversal se apresenta.

0.50

0.50

Materiais:C25/30 ( = 2.5)

A400NR

A1600/1800

Para os dois tipos de aço indicados e admitindo que se pretende aplicar uma força de

pré-esforço P0’ = 3000 kN, calcule a área de aço necessária, bem como a força que ficará

instalada a longo prazo, considerando o efeito da fluência do betão.

1. Determinação da área de aço necessária

P0' = 0.75 fpk As As = P0'

0.75 fpk

Armadura ordinária: As = 3000

0.75 400 103 104 = 100 cm2

Armadura de alta resistência: As = 3000

0.75 1800 103 104 = 22.2 cm2

2. Cálculo da perda de tensão nas armaduras, por efeito da fluência do betão

(i) Cálculo do encurtamento instantâneo do betão devida à aplicação do pré-esforço

c(t0) = P Ac

= 3000

0.5 0.5 = 12000 kN/m2 = 12 MPa c(t0) =

c Ec

= 12

31 103 = 0.39 ‰

(ii) Determinação do encurtamento devido à fluência

c(t,t0) = cc(t,t0) = c(t0) = 2.5 0.39 = 0.975 ‰

(iii) Perda de tensão nas armaduras

s = c(t,t0) Es = 0.975 10-3 200 106 = 195 MPa

3. Cálculo da força de pré-esforço a longo prazo

Armadura ordinária: P = s As = 195 103 100 10-4 = 1950 kN P =1050 kN

Armadura de alta resistência: P = 195 103 22.2 10-4 = 432.9 kN P = 2567 kN


12

1.4.2. Comparação entre o comportamento em serviço e capacidade resistente de

estruturas de betão armado e de betão pré-esforçado

Considere o tirante de betão, cuja secção transversal está representada na figura, e os

seguintes casos:

Caso 1 – tirante de betão armado (armadura ordinária)

Caso 2 – tirante de betão pré-esforçado (aço de alta resistência e P = 500 kN)

Caso 3 – tirante de betão pré-esforçado (aço de alta resistência e P = 1000 kN)

0.40

0.40

Materiais:C25/30

A400NR

A1600/1800

Para um esforço normal de dimensionamento Nsd = 1395 kN, calcule a área de armadura

necessária para verificar o estado limite último de tracção. Para cada solução calcule o

esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr).

Caso 1

(i) Determinação da área de armadura necessária

As = Nsd fyd

= 1395

348 103 10-4 = 40 cm2

(ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr)

Ncr = Ah fctm = (Ac + As) fctm = 0.42 + 200 31

40 10-4 2.6 103 = 483.1 kN

Caso 2


Ap = Nsd fpyd

= 1395

1600 103 / 1.15 10-4 = 10 cm2

(ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr)

Ncr Ah

- P Ac

= fctm Ncr = Ah fctm + P Ah Ac

Ncr = 0.42 + 200 31

10 10-4 2.6 103 + 500

0.42 + 200 31

10 10-4

0.42 = 952.9 kN

Caso 3


13


Ap = Nsd fpyd

= 1395

1600 103 / 1.15 10-4 = 10 cm2

(ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr).

Ncr = 0.42 + 200 31

10 10-4 2.6 103 + 1000

0.42 + 200 31

10 10-4

0.42 = 1473.1 kN

Conclusão: A capacidade resistente do tirante é igual nos três casos. No que se refere à

fendilhação, verifica-se um melhor comportamento dos tirantes pré-esforçados

relativamente ao tirante de betão armado, e em particular no caso 3 em que a força de

pré-esforço é maior.

Os aços de pré-esforço por apresentarem elevada resistência permitem também uma

pormenorização de armaduras mais compacta o que pode influenciar a geometria dos

elementos como ilustrado na figura seguinte.

Vigas em betão pré-esforçado e em betão armado com igual resistência à flexão

Nas figuras seguintes compara-se o comportamento de uma viga de betão armado e de

uma viga de betão pré-esforçado sujeita à flexão com a mesma capacidade última.


14

Diagrama momento-curvatura

Diagrama carga deslocamento


15

Tensões no betão e nas armaduras

1.5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO

1.5.1. Pré-dimensionamento da secção

A altura de uma viga pré-esforçada pode ser estimada a partir da relação h L

15 a 20

Refira-se que esta estimativa é da ordem de 1.5 a 2 vezes superior ao corrente para uma

viga de betão armado, devido ao melhor controlo das deformações e facilidade de

pormenorização de armaduras, como atrás já referido.

1.5.2. Traçado do cabo

A escolha do traçado dos cabos deve ser feita com base no diagrama de esforços das

cargas permanentes. Em geral o cabo de pré-esforço deve estar situado na zona

traccionada das secções ao longo da viga.

1.5.3. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço

0.35L a 0.5L

L

0.05L a 0.15L

1.5 Øbainha

1.5 Øbainha


16

Traçados simples: troços rectos ou troços parabólicos (2º grau)

Aproveitar a excentricidade máxima nas zonas de maiores momentos (ver nota)

Sempre que possível, nas extremidades, os cabos deverão situar-se dentro do núcleo

central da secção

O traçado do cabo (ou resultante dos cabos) deverá cruzar o centro de gravidade da

secção numa secção próxima da de momentos nulos das cargas permanentes (mas

só de uma forma qualitativa)

Devem respeitar-se as restrições de ordem prática da construção e os limites

correspondentes às dimensões das ancoragens e resistência do betão, necessários

para resistir às forças de ancoragem

Notas:

i) A excentricidade máxima dos cabos depende do recobrimento a adoptar para as

bainhas dos cabos de pré-esforço, deve ter em consideração que em vigas, o

recobrimento mínimo das bainhas é : cmin = min ( bainha; 8 cm);

ii) o ponto de inflexão do traçado está sobre a recta que une os pontos de

excentricidade máxima;

iii) O raio de curvatura dos cabos deve ser superior ao raio mínimo que,

simplificadamente pode ser obtido pela expressão Rmin [m]= 3 Pu (onde Pu

representa a força última em MN).

1.5.4. Pré-dimensionamento da força de pré-esforço útil

O valor da força útil de pré-esforço pode ser estimado através dos seguintes critérios:

Critério do balanceamento das cargas

qeq (0.8 a 0.9) qcqp

ou, de uma forma mais rigorosa,

Critério da limitação da deformação

pe = (0.8 a 0.9) cqp, tal que no final total = (1 + ) ( cqp – pe) admissível

com admissível L

500 a

L 1000

(dependente da utilização da obra)

Critério da limitação da fendilhação

EC2 – parágrafo 7.3.1(5): Estados Limites de Fendilhação a considerar


17

Tabela 7.1N Valores recomendados para wmáx (mm)

Classe de

exposição

Elementos de betão armado ou pré-

esforçado (p.e. não aderente)

Elementos de betão pré-esforçado

(p.e. aderente)

Comb. quase-permanente de acções Combinação frequente de acções

X0, XC1 0.4 0.2

XC2, XC3, XC4

0.3

0.2(1)

XD1, XD2,

XS1, XS2, XS3 Descompressão

(1) Deverá também verificar-se a descompressão para a combinação quase-permanente de acções

A segurança em relação ao estado limite de descompressão considera-se satisfeita se, nas

secções do elemento, a totalidade dos cabos de pré-esforço se situar no interior da zona

comprimida e a uma distância de, pelo menos, 0.025 m ou 0.10 m relativamente à zona

traccionada, para estruturas de edifícios ou pontes, respectivamente.

Na prática, será preferível assegurar que nas secções do elemento não existem tracções

ao nível da fibra extrema que ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por efeito

dos esforços actuantes, com exclusão do pré-esforço.

1.6. VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO. DEFINIÇÃO DOS CABOS

1.6.1. Força máxima de tensionamento

De acordo com o EC2, a força máxima a aplicar num cabo de pré-esforço é dada pela

seguinte expressão

Pmáx = Ap p,máx

onde,

p,máx = min (0.8 fpk; 0.9 fp0,1k) e representa a tensão máxima a aplicar aos cordões

na altura da aplicação do pré-esforço.

Após a transmissão da força para a ancoragem as tensões admissíveis são as seguintes:

p,máx = min (0.75 fpk; 0.85 fp0,1k)

1.6.2. Perdas de pré-esforço

Perdas instantâneas (8% – 15%)

Pós-tensão

Perdas por atrito

Perdas por reentrada de cabos

Perdas por deformação instantânea do betão


18

Pré-tensão

Relaxação da armadura até à betonagem

Escorregamento nas zonas de amarração

Deformação instantânea do betão

Perdas diferidas (12% – 15%)

Perdas por retracção do betão

Perdas por fluência do betão

Perdas por relaxação da armadura

P0’ (força de tensionamento) 8% – 15%

P0 12% – 15%

P

P0 – força de pré-esforço após perdas imediatas

P – força de pré-esforço útil ou a tempo infinito

1.6.3. Definição dos cabos

Realizado o pré-dimensionamento da força útil de pré-esforço é possível estimar os

cabos a adoptar assumindo valores correntes das perdas de pré-esforço.

Este cálculo tem interesse, por exemplo, para aferir se as dimensões adoptadas para as

secções são suficientes para conduzir a uma pormenorização adequada das armaduras de

pré-esforço.

Supondo que para um determinado traçado de cabo se assumia na secção condicionante

para as perdas diferidas um valor de 14% e para as perdas imediatas um valor de 10%, o

valor da força de tensionamento dos cabos seria o seguinte:

P0 = P

0.86

P0’ = P0 0.9

Considerando que os cabos eram tensionados a 75% da força de rotura, a área de

armadura de pré-esforço necessária e o número de cordões seria:

P0' = 0.75 Fpk Ap = P0'

0.75 1860 103

nº de cordões = Ap

Acordão

Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas de

pré-esforço.


19

EXERCÍCIO PE1

Considere a viga indicada na figura seguinte.

e1 = 0.15 e2 = 0.38 e5e3 e4 = -0.22 e6 = -0.10

8.00 8.00 4.00 1.00 4.00

Parábola Parábola ParábolaParábola Recta

A B C D

Secção Transversal da Viga:

1.50

0.20

0.50

0.20

0.30

0.80

0.53

0.37

Propriedades geométricas da secção:

A = 0.61 m2

I = 0.0524 m4

Materiais:C30/37

A400NR

A1670/1860 (baixa relaxação)

Considere que a viga se encontra submetida às seguintes acções:

Q

q

pp + rcp

- Cargas permanentes ( g = 1.35): pp = 15.25 kN/m; rcp = 14.75 kN/m

- sobrecargas ( q = 1.5; 1 = 0.6; 2 = 0.4): q = 20 kN/m e Q = 100 kN

Nota: q e Q actuam em simultâneo

a) Determine o diagrama de tensões na secção B para a combinação de acções quase

permanentes e para uma força de pré-esforço de 1000 kN.


20

b) Qual o valor de P que seria necessário para garantir a descompressão para a

combinação quase permanentes de acções, nas secções B e C?

c) Qual o valor de P que seria necessário para garantir a condição c < fctk para

combinação frequente de acções nas secções B e C?

d) Determine as equações que definem o traçado do cabo representado na figura.

e) Represente as cargas equivalentes do pré-esforço para uma força de pré-esforço de

1000 kN.

f) Qual o valor de P que seria necessário para contrariar 80% de deformação máxima

para a combinação de acções quase-permanentes?

g) Defina que tipo de cabo adopta e qual a força de puxe. Admita: P = 0.86 P0 e

P0 = 0.90 P’0. Admita que os cabos são tensionados a 0.75 fpk.

h) Calcule a área de armadura ordinária longitudinal de modo a garantir a segurança em

relação ao estado limite último de flexão.

i) Calcule a área de armadura transversal.

j) Calcule o valor das perdas instantâneas (atrito, reentrada de cunhas e deformação

instantânea do betão) e o alongamento previsto dos cabos.

l) Calcule as perdas diferidas (fluência e retracção do betão, e relaxação das

armaduras).

m) Verifique a segurança na zona das ancoragens.


21

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1

ALÍNEA A)

1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanentes

pcqp = cp + 2 sc = 15.25 + 14.75 + 0.4 20 = 38 kN/m

Qcpq = 2 Q = 0.4 100 = 40 kN

pcqp

Qcqp

R1 R2

20.00 5.00

DEV

[kN]

DMF

[kNm] 8.00

(+)

1554.0

(-)

675.0

(+) (+)

(-)

346.3

413.8

230.0

40.0

MC = 0 – R1 20 + 38 20 10 – 40 5 – 38 5 2.5 = 0 R1 = 346.3 kN

R2 = 38 (20 + 5) + 40 – 346.3 = 643.8 kN

2. Cálculo das tensões na secção B

(i) Características geométricas da secção B

0.37

0.530.38

1.50

G

A = 0.61 m2

I = 0.0524 m2

winf = I

vinf =

0.0524 0.53

= 0.09886m3

wsup = I

vsup =

0.0524 0.37

= 0.1416m3


22

(ii) Diagramas de tensões na secção B devidas à cqp e ao pré-esforço

(-)

P

Mcqp

P / A

+

(+)

(-)

P x e

(-)

(+)

Mcqp

+

inf = - P A

- P e

winf +

Mcqp winf

= - 1000 0.61

- 1000 0.38

0.09886 +

1554 0.09886

= 10.2MPa

sup = - P A

+ P e

wsup -

Mcqp wsup

= - 1000 0.61

+ 1000 0.38

0.1416 -

1554 0.1416

= - 9.9MPa

ALÍNEA B)

1. Secção B

(+)

+

(-)

(-)

(+)

+

P / A

MB

P

(-)

MB P x e

inf < 0 - P A

- P e

w +

MB w

< 0 - P

0.61 -

P 0.38 0.09886

+ 1554

0.09886 < 0

P > 2866.8 kN

2. Secção C

MC (-) + +

(+)

P

(-)

MC P x eP / A

(+)(-)

sup < 0 - P A

- P e

w +

MC w

< 0 - P

0.61 -

P 0.22 0.1416

+ 675

0.1416 < 0

P > 1492.9 kN

P > 2866.8 kN


23

ALÍNEA C)

1. Determinação dos esforços para a combinação de acções frequente

pfr = cp + 1 sc = 15.25 + 14.75 + 0.6 20 = 42 kN/m

Qfr = 1 Q = 0.6 100 = 60 kN

pfr

20.00

DMF

[kNm] 8.00

1686.0

(+)

R1

825.0

(-)

5.00

R2

Qfr

MB = 0 – R1 20 + 42 20 10 – 60 5 – 42 5 2.5 = 0 R1 = 378.8 kN

R2 = 42 (20 + 5) + 60 – 378.8 = 731.3 kN

2. Secção B

inf < fctk - P A

- P e

w +

MB w

< fctk - P

0.61 -

P 0.38 0.09886

+ 1686

0.09886 < 2 103

P > 2745.6 kN

3. Secção C

sup < fctk - P A

- P e

w +

MC w

< fctk - P

0.61 -

P 0.22 0.1416

+ 825

0.01416 < 2 103

P > 1198.3 kN

P > 2745.6 kN


24

1.7. CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS

1.7.1. Equação da parábola

Equação geral da parábola: y = ax2 + bx + c

(para determinar os parâmetros a, b e c é necessário conhecer 3 pontos)

x1 x3 x2

y1

y2

y3

Caso se utilize um referencial local:

1) x

y

y = ax2 + c

(y’ (0) = 0 b = 0)

2)

x

y

y = ax2

(y’ (0) = 0 b = 0 e y (0) = 0 c = 0)

Determinação do parâmetro a

f

f

L/2L/2

tg = 2f L/2

= 4f L

i) y’ (- L/2) = 2a L/2 = tg a = 4f L2

ou

ii) y (L/2) = f a L 2

2

= f a = 4f L2

Determinação da curvatura da parábola

1 R

= - y" (L/2) = 2a = 8f L2


25

1.7.2. Determinação do ponto de inflexão entre dois troços parabólicos

e1f1

L1 L2

e2f2

O ponto de inflexão do traçado encontra-se na linha que une os extremos. Deste modo,

f1 L1

= e1 + e2 L1 + L2

f1 = L1

L1 + L2 (e1 + e2) e f2 = (e2 + e1) – f1

1.7.3. Determinação do ponto de concordância troço parabólico – troço recto

L1

ff

e

L2

tg = e - f

L1 =

e + f L2

(e – f) L2 = (e + f) L1 e L2 – f L2 = e L1 + f L1

f L1 + f L2 = e L2 – e L1 f (L1 + L2) = e (L2 – L1) f = e (L2 - L1)

L1 + L2

1.8. CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO

A acção do pré-esforço pode ser simulada através de cargas – cargas equivalentes de

pré-esforço.

1.8.1. Acções exercidas sobre o cabo (situação em que se aplica a tensão nos

cabos simultaneamente nas duas extremidades)

Forças nas ancoragens;

Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas, exercidas pelo betão.

1.8.2. Acções exercidas sobre o betão


26

Forças nas ancoragens;

Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas iguais e directamente

opostas às que o betão exerce sobre o cabo.

1.8.3. Determinação das cargas equivalentes

1.8.3.1. Zona das ancoragens

P P

P tg

P e

e

Nota: tg sen e cos 1

1.8.3.2. Traçado parabólico

Considere-se o seguinte troço infinitesimal de cabo de pré-esforço, e as acções que o

betão exerce sobre este,

R

P+dPP

d

q* ds

ds

d /2

ds = R d d ds

= 1 R

P d 2

+ (P + dP) d 2

= q* ds

P d = q* ds q* = P d ds

ou q* = P

R

Notas:

- ângulo muito pequeno sen d 2

d 2

tg d 2

e cos d 2

1;

- consideram-se desprezáveis as componentes horizontais das forças de desvio.

Para um cabo com o traçado parabólico ilustrado,


27

f

f

L/2 L/2

tg = d

2 = 2 f L/2

= 4 f L

d = 8 f L

(1)

ds L (2)

A partir de (1) e (2), obtém-se

d ds

= 8 f L2 q* =

8 f P

L2

1.8.3.3. Traçado poligonal

L1

fQ*

Q*

q*

s

tg = f

L1

Q* = P tg = P f

L1

q* = Q* / s

Nas figuras seguintes apresentam-se as cargas e os esforços equivalentes para dois

traçados de cabo diferentes.


28

Cabo com traçado parabólico

Cabo com traçado rectilíneo

O pré-esforço introduz no elemento um conjunto de esforços em cada secção designados

por esforços isostáticos definidos da seguinte forma:

Esforços

equivalentes


29

N = - P

M = - P e

V = - P tg

Ilustra-se seguidamente um exemplo interessante que mostra as potencialidades do pré-

esforço e o modo como o engenheiro pode explorar essas potencialidades para controlar

o comportamento estrutural.

No exemplo mostra-se uma forma de anular a flexão, esforço transverso e torção

induzidos por uma carga exterior na extremidade de uma consola com as forças

equivalentes ao pré-esforço.

A resultante dos esforços é apenas o esforço axial com valor igual a 2P

P.tg = Q

P

P e

P tg

P

G

e x

y


30

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONTINUAÇÃO)

ALÍNEA D)

8.008.00

Parábola 1

e2 = 0.38

Parábola 3

4.00

Parábola 2 RectaParábola 4

4.001.00

e4 = -0.22 e6 = -0.10e1 = 0.15

(i) Parábola 1

8.00

0.23

x

y

y = ax2

y(8) = 0.23 a 82 = 0.23

a = 3.59375 10-3

y(x) = 3.59375 10-3 x2

(ii) Parábola 2

1. Determinação das coordenadas do ponto de inflexão

12.00

0.6

8.00

x

12 8

= 0.6

x x = 0.4

2. Determinação da equação da parábola

8.00

x

y

0.4

y = ax2

y (8) = 0.4 a = 6.25 10-3

y (x) = 6.25 10-3 x2

(iii) Parábola 3

x

y4.00

0.2

y = ax2

y (4) = 0.2 a = 0.0125

y (x) = 0.0125 x2


31

(iv) Parábola 4 e troço recto

x

yx

y 1.00 4.00

0.12

1. Determinação das coordenadas do ponto de concordância

ff

1.0

y’ (1) = tg = 2 f

tg = 0.12 + f

5

2 f = 0.12 + f

5 10 f = 0.12 + f f = 0.01333 m

2. Determinação das equações da parábola e do troço recto

Parábola 4: y (1) = 0.01333 y (x) = 0.01333 x2

Troço recto: y = mx + b = 2 0.01333 x y (x) = 0.02667 x

ALÍNEA E)

1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas (considerando P = 1000

kN)

q = 8 f P

L2

Parábola f (m) L (m) q (kN/m)

1 0.23 16 7.2 2 0.4 16 12.5 3 0.2 8.0 25.0 4 0.0133 2.0 26.6

2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo

Extremidade Esquerda

tg = y’ (8) = 2 3.59375 10-3 8 = 0.0575

P tg = 57.5 kN

P e = 1000 0.15 = 150.0 kNm

Extremidade Direita

tg = y’ (1) = 0.02667

P tg = 26.7 kN

P e = 1000 0.10 = 100.0 kNm


32

1.008.00

26.6 kN/m

8.00

25.0 kN/m

12.5 kN/m7.2 kN/m

4.00 4.00

57.5 kN

1000 kN

150.0 kNm1000 kN

26.7 kN

100.0 kNm

Repare-se que o somatório das cargas verticais é nulo

Feq = - 57.5 + 7.2 8 + 12.5 8 - 25.0 4 - 26.6 1 + 26.7 0

ALÍNEA F)

1. Determinação da flecha elástica na viga para a combinação de acções quase-

permanentes

Através de tabelas de flechas elásticas de vigas contínuas, a deformação a meio vão do

tramo apoiado é dada por:

= 1 EI

5pL4 384

+ L2 16

( )M1 + M2

onde M1 e M2 representam os momentos flectores nas extremidades do tramo e entram

na expressão com o sinal de acordo com a convenção da resistência de materiais.

Deste modo,

= 1

33 106 0.0524

5 38 204 384

+ 202 16

( )0 - 675.0 = 0.036 m

2. Determinação da flecha elástica na viga para o efeito do pré-esforço

A flecha elástica para o efeito de pré-esforço pode ser obtida considerando a actuação

das cargas equivalentes ao pré-esforço na viga. Deste modo, para P = 1000 kN (cargas

equivalentes calculadas na alínea anterior), obteve-se a seguinte deformada:

= 0.010 m

3. Determinação da força útil de pré-esforço necessária para contrariar 80% da

deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes

pe = 0.8 cqp = 0.8 0.036 = 0.029 m

P = 1000 0.029/0.010 = 2900 kN


33

1.9. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS

1.9.1. Estado limite último de flexão

1.9.1.1. Pré-esforço do lado da resistência

Pelo método do diagrama rectangular simplificado,

Msd = g Mg + q Mq

x

Msd

LN

Ap

As

Fp

Fs

0.8x

0.85fcd

Fc

b

Fc = 0.85 fcd 0.8 x b

Fp = Ap fpd = Ap fp0,1k 1.15

Fs = As fyd

Através das equações de equilíbrio,

(i) Equilíbrio de momentos ( MAs = Msd x = ...)

Forças exteriores: Msd

Forças interiores: MAs = Fc (ds – 0.4x) - Fp (ds - dp)

(ii) Equilíbrio de forças ( F = 0 Fc = Fp + Fs As = ...)

Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) fpd = p = P Ap

1.9.1.2. Pré-esforço do lado da acção

Pelo método do diagrama rectangular simplificado,

Msd = g Mg + q Mq + Mpe

b

Fc

0.85fcd

0.8x

Fs

Fp

As

Ap

LN

Msd

x

e

P

Fc = 0.85 fcd 0.8 x b

Fp = Ap (fpd - p) = Ap fpd - P Ap

Fs = As fyd


34

Através das equações de equilíbrio,

(i) Equilíbrio de momentos (MAs)

Forças exteriores: MAs = Msd + P (ds - h/2)

Forças interiores: MAs = Fc (ds - 0.4x) - Fp (ds - dp)

Msd + P (ds - h/2) = Fc (ds - 0.4x) - Fp (ds - dp) x = ...

(ii) Equilíbrio de forças ( F = P Fc = Fp + Fs + P As = ...)

Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) (fpd - p) = 0 Fp = 0

Determinada a posição da linha neutra (x), é necessário definir o diagrama de extensões

na rotura e verificar se as tensões nas armaduras ordinárias e de pré-esforço são as de

cálculo.

Msd

Fp

Fs

0.8x

0.85fcd

Fc

As

Ap

LN

b

x

c

s

p0p

p = p + p0, com p0 = P

Ap Ep

Se algum cabo não atingir a tensão de cálculo fpd, será necessário adoptar um método

iterativo (método geral)

As

Ap

LN

b

x

p ( p0 + p)

M

c

s

p0p

c ( c)

s ( s)

N

Por exemplo, determina-se x tal que N 0. Então M = MRd.


35

1.9.2. Estado limite último de esforço transverso

O efeito do pré-esforço na resistência ao esforço transverso da viga é traduzido pela

componente vertical da força do cabo conforme esquematizado na figura seguinte.

Em geral, considera-se o pré-esforço do lado da acção. A verificação da segurança é

realizada de acordo com o seguinte formato.

VRd VSd - P tg

(i) Cálculo da armadura transversal: Asw

s =

VSd - P tg

z cotg fyd

(ii) Verificação da tensão de compressão: c = Vsd - P tg

z bw sen cos 0.6 1 -

fck 250

fcd

(iii) Consideração do efeito do esforço transverso nas armaduras longitudinais (no apoio

As fyd (Vsd - P tg ) cotg 1)

Notas:

Para elementos comprimidos (caso de elementos pré-esforçados) 22 a 26 ;

Caso o somatório do diâmetro das bainhas de pré-esforço existentes num

determinado nível seja superior a 1/8 da largura da secção a esse nível, deve

considerar-se a largura a esse nível reduzida de metade da soma dos diâmetros

das bainhas.

Bainhas metálicas injectadas:

bw,nom = bw – 0.5 Ø

Bainhas não injectadas, bainhas plásticas injectadas e armaduras não aderentes:

bw,nom = bw – 1.2 Ø

Estes requisitos resultam do efeito do cabo na redução da resistência à compressão da

alma. A figura seguinte ilustra o esmagamento da alma de uma viga ao longo do cabo de

pré-esforço por acção do esforço transverso.


36


37

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.)

ALÍNEA G)

P = 2866.8 kN (valor resultante da verificação da descompressão)

P0 = P

0.86 =

2866.8 0.86

= 3333.5 kN

P0’ = P0 0.9

= 3333.5

0.9 = 3703.9 kN

P0' = 0.75 Fpk Ap = P0'

0.75 1860 103 104 = 26.6 cm2


Acordão =

26.6 1.4

= 19 cordões 2 cabos de 10 cordões de 0.6"

P0’ = 10 2 1.4 10-4 1860 103 0.75 = 3906 kN

ALÍNEA H)

psd = 1.35 (15.25 + 14.75) + 1.5 20 = 70.5 kN/m

Qsd = 100 1.5 = 150 kN

20.00

R1

5.00

R2

150

70.5

CA

MC = 0 - R1 20 + 70.5 25 7.5 – 150 5 = 0 R1 = 623.4 kN

MB = 2731.5 kNm

Secção B

1. Cálculo da armadura de flexão pelo método do diagrama rectangular

Hipótese: LN no banzo da secção

Fs

Fp

Fc0.85fcd

0.8x

Msd

1.50

LN

Fp = Ap fp0,1k 1.15

= 28 10-4 1670 1.15

103 = 4066.1 kN


38

Fs = As fyd = As 348 103

Fc = 1.5 0.8x 0.85 20 103 = 20400x

(i) Equilíbrio de momentos ( MAs = Msd)

Fc (0.85 - 0.4x) - Fp 0.10 = Msd 20400x (0.85 - 0.4x) = 2731.5 + 4066.1 0.10

x = 0.20 m

Fc = 20400 0.20 = 4080 kN

(ii) Equilíbrio de forças ( F = 0)

Fc – Fp – Fs = 0 4080 – 4066.1 – As 348 103 = 0 As = 0.4 cm2

(iii) Verificação da hipótese de cedência das armaduras

LN

p p0

s

c

0.20

Hipótese: c = 3.5‰

Determinação da extensão ao nível das armaduras ordinárias

s 0.85 - 0.20

= 3.5‰ 0.20

s = 11.4‰

Determinação da extensão ao nível das armaduras de pré-esforço

p 0.75 - 0.20

= 3.5‰ 0.20

p = 9.6‰

p0 = P

Ap Ep =

3050

28 10-4 195 106 = 5.6‰

p = p0 + p = 15.2‰ > pyd = fpyd Ep

= 1670 / 1.15

195 103 = 7.4‰

2. Cálculo da armadura pelas tabelas de flexão simples (método aproximado)

Hipótese: deq dp = 0.75 m

= Msd

b d2 fcd =

2731.5

1.5 0.752 20 103 = 0.162 = 0.181 ; As,tot = 117.3 cm2

As = As,tot – Asp, eq = 117.3 - 28 1670 400

= 0.4 cm2


39

deq 0.75 20 1.4 1670 + 0.4 0.85 400

20 1.4 1670 + 0.4 400 = 0.75 m

ALÍNEA I)

20.00

DEV

[kN]

623.4

(+)

623.4

(-)

786.6

5.00

502.5

(+)

1289.1

150

150

70.5

DEVp

[kN]

164.8

286.4

76.5 76.5(-)

(+)(-)

786.6

502.5DEVtotal

[kN](+)

458.6

(-)

73.5(+)

355.5

Notas:

- O diagrama de esforço transverso devido ao pré-esforço foi obtido considerando

P = 2866.8 kN;

- Para a verificação da segurança ao esforço transverso utiliza-se DEVtotal

Apoio A

= 25 z cotg = 0.9 0.85 cotg 25 = 1.64m

Vsd (z cotg ) = 458.6 – 49.9 1.64 = 376.8 kN

Considerando dois cabos de 10 cordões cujas bainhas têm 80 mm de diâmetro cada,

bainha balma

8 =

0.30 8

= 0.038 m bw =0.30 - 0.08 / 2 = 0.26 m

1. Cálculo da armadura transversal

Asw s

= Vsd

z cotg fyd =

376.8

1.64 348 103 104 = 6.6 cm2/m


40

2. Verificação da tensão de compressão nas bielas inclinadas

c = Vsd

z bw sen cos =

376.8

0.9 0.85 0.26 sen 25 cos 25 = 4946 kN/m2 4.9 MPa

0.6 1 - fck

250 fcd = 0.6 1 -

30 250

20 103 = 10560 kN/m2 = 10.6MPa

3. Cálculo da armadura longitudinal no apoio de extremidade

As fyd = V cotg 1 As = Vsd cotg 1

fyd =

458.6 cotg 37

348 103 104 = 17.6 cm2


41

1.10. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO

1.10.1. Perdas por Atrito

d /2

Pq* ds

d

P+dP

q* ds = P d

ds

(Fa = N)

q* ds = P d

Por equilíbrio de forças horizontais,

P - P - dP – P d = 0 dP = – P d dP P

= – d

P0'

P0

1 P

dP = 0

- d Log P0 - Log P0' = - Log P0 P0'

= –

P0 P0'

= e- P0 = P0’ e-

Para uma secção genérica à distância x da extremidade de tensionamento,

P0 (x) = P0’ e- ( +kx)

onde,

representa o coeficiente de atrito (usualmente toma valores entre 0.18 e 0.20);

representa a soma dos ângulos de desvio;

k representa o desvio angular parasita (valor máximo 0.01 m-1; geralmente 0.004 a

0.005m-1), que tem em consideração eventuais desvios no posicionamento dos

cabos de pré-esforço.

Esta expressão também pode aparecer com a forma,

P0 (x) = P0’ e-( + k’x) (neste caso k’ = k e representa o coeficiente de atrito em recta)


42

1.10.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos)

P

P0'

P0(x)

x

P

L

L – comprimento de reentrada das cunhas ( 6mm)

– comprimento até onde se faz sentir as perdas por reentrada das cunhas

Admitindo que o diagrama de perdas por atrito é aproximadamente linear (cabo com

curvatura aproximadamente constante),

L = 0

dx = 0

Ep

dx = 1

Ep Ap

0 P dx Adiagrama = L Ep Ap

P

2 = L Ep Ap

(1)

Como P 2

= p P = 2 p

(2)

onde p representa a perda de pré-esforço por atrito, por metro (declive do diagrama)

Substituindo (2) em (1) obtém-se,

2 p 2

= L Ep Ap = L Ep Ap

p

1.10.2.1. Casos particulares

(i) Cabo sem perdas por atrito, (em pré-esforço exterior, p.ex.)

x

P

P0'

P

L Ep Ap

L

P L = L Ep Ap

P = L Ep Ap

L

L – comprimento do cabo


43

(ii) Se > L (verifica-se em cabos muito curtos, sendo nesse caso a perda de pré-esforço

mais condicionante)

P

P0'

P

L x

p L

L Ep Ap

P L–p L L= L Ep Ap

P = L

L Ep Ap + p L

L – comprimento do cabo

1.10.3. Perdas por deformação instantânea do betão

A perda de força de pré-esforço média por deformação instantânea (ou elástica) do

betão, em cada cabo, pode ser calculada através da seguinte expressão:

Pel = Ap Ep j c(t) Ecm(t)

onde,

Ecm(t) representa o módulo de elasticidade do betão à data da aplicação do pré-

esforço;

j = (n-1) / 2n , onde n representa o nº de cabos de pré-esforço idênticos,

tensionados sucessivamente, existentes na mesma secção transversal;

c(t) representa a tensão no betão, ao nível do centro de gravidade dos cabos de

pré-esforço, para a totalidade do efeito do pré-esforço (após perdas por atrito e

reentrada das cunhas) e de outras acções permanentes actuantes.

1.10.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço

L = 0

L dz = 0

L

P Ap Ep

dz = 1

Ap Ep

0

L P dz

Papós atrito

[kN]

P0'

L x [m]

Papós at. (L)

L P0' + Papós atrito (L)

2 Ap Ep L

Este valor permite um controlo eficaz, em obra, da tensão instalada nos cabos.


44


ALÍNEA J)

1. Cálculo das perdas por atrito

P0 (x) = P0’ e- ( + kx) (Adopta-se = 0.20 e k = 0.004)

4.008.00

e1 = 0.15

8.00

e2 = 0.38 e4 = -0.22

4.00 1.00

e6 = -0.10

21 3 4 5 6

Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3 Par. 4 Recta

e3 = -0.02 e5 = -0.21

Cálculo dos ângulos de desvio

(i) Parábola 1

y’(8) = 2 3.59375 10-3 8 = 0.0575

(ii) Parábola 2

y’(8) = 6.25 10-3 2 8 = 0.1

(iii) Parábola 3

y’(4) = 2 0.0125 4 = 0.1

(iv) Parábola 4

y’(1) = 2 0.01333 = 0.02666

Secção x

(m) (rad)

Papós atrito

(kN) % perdas

1 0 0 3906.0 0

2 8 0.0575 3836.7 1.8

3 16 0.1575 3736.7 4.3

4 20 0.2575 3651.0 6.5

5 21 0.2842 3628.7 7.1

6 25 0.2842 3617.1 7.4


45

2. Cálculo das perdas por reentrada das cunhas

(i) Determinação do comprimento de reentrada das cunhas ( )

1ª Iteração

3000

3200

3400

3600

3800

4000

0 5 10 15 20 25

Força de pré-esforço ao longo do cabo, após perdas por atrito

x = 8.0m p = 3906 - 3836.7

8 = 8.66 kN/m

= L Ep Ap

p =

0.006 195 106 20 1.4 10-4 8.66

= 19.4 m

2ª Iteração

3000

3200

3400

3600

3800

4000

0 5 10 15 20 25

x = 20.0m p = 3906 - 3651

20 = 12.75 kN/m (admitindo que a perda por atrito é

aproximadamente linear)

= 0.006 195 106 20 1.4 10-4

12.75 = 16.03 m

(ii) Determinação das perdas por reentrada das cunhas

P = 2p = 2 12.75 16.03 = 408.8 kN

408.8

0 8 16.0316

204.8

0.8

408.8 x

= 16.03 8.03

x = 204.8 kN

408.8 x

= 16.03 0.03

x = 0.8 kN


46

Secção x

(m)

Papós atrito

(kN)

Preentrada

(kN)

Papós reentrada

(kN) % perdas

1 0 3906.0 408.8 3497.2 10.5

2 8 3836.7 204.8 3631.9 7.0

3 16 3736.7 0.8 3735.9 4.4

4 20 3651.0 0 3651.0 6.5

5 21 3628.7 0 3628.7 7.1

6 25 3617.1 0 3617.1 7.4

3. Cálculo das perdas por deformação instantânea do betão

Admitindo que o pré-esforço é aplicado aos 28 dias,

Ecm(t = 28) = 33 GPa ; Ep = 195 GPa

Pel = Ap Ep j c(t) Ecm(t)

= Ap Ep n - 1 2n

c(t) Ecm(t)

Secção 2

8.00

143.0

Mpp

15.25

Mpp = 656 kNm

Mpe = P e = 3631.9 0.38 = 1380.1 kNm

+

P / A

(-)+

I

Mpp v

(+)

(-)

(-)

(+)

Mpe v

I

c = Mpp v

I -

P A

- Mpe v

I =

656 0.38 0.0524

- 3631.9

0.61 -

1380.1 0.38 0.0524

= - 11.2 MPa

Pel = 20 1.4 10-4 195 106 2 - 1

2 2

11.2

33 103 =46.3 kN

P0 (secção 2) = 3631.9 – 46.3 = 3585.6 kN % perdas 8.2%

4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos

L = 1

Ap Ep

0

L P dx

1

28 10-4 195 106

3906 + 3617.1 2

25 = 0.172m


47

1.10.5. Perdas por retracção do betão

= Ep cs P

Ap = Ep cs P = – Ep Ap cs

cs – extensão de retracção do betão ( 3.0 10-4)

1.10.6. Perdas por fluência do betão

c = c c

Ecm

= Ep c P

Ap =

Ep c c Ecm

P = – Ap Ep c c

Ecm

c – tensão ao nível do cabo de pré-esforço, devido às cargas permanentes e ao efeito

do pré-esforço (considerando a força de pré-esforço após perdas imediatas).

1.10.7. Perdas por relaxação da armadura

Em armaduras de alta resistência, as perdas a longo prazo devidas à relaxação são da

ordem de:

Aços de relaxação normal P < 15%

Aços de baixa relaxação P < 6%

Aços de muito baixa relaxação P = 2 a 4%

Segundo o EC2 e para efeitos da caracterização da relaxação, as armaduras de alta

resistência agrupam-se em três classes:

Classe 1: aço em fio ou cordão, com relaxação normal ( 1000 = 8%)

Classe 2: aço em fio ou cordão, com baixa relaxação ( 1000 = 2.5%)

Classe 3: aço em barra ( 1000 = 4%)

O parâmetro 1000 representa a perda por relaxação às 1000 horas, de um provete

tensionado a 70% da rotura e mantido a uma temperatura constante de 20 C.

A perda de tensão por relaxação pode ser calculada através das seguintes expressões,

consoante a classe da armadura:

(i) Classe 1: pr = 0.8 5.39 1000 e6.7

t1000

0.75 (1- )

pi 10-5

(ii) Classe 2: pr = 0.8 0.66 1000 e9.1

t1000

0.75 (1- )

pi 10-5

(iii) Classe 3: pr = 0.8 1.98 1000 e8

t1000

0.75 (1- )

pi 10-5


48

onde,

pi representa a tensão instalada nas armaduras de pré-esforço após perdas

imediatas;

t representa o tempo, em horas, para o qual se pretende calcular as perdas de pré-

esforço por relaxação (poderá considerar-se t = 500000 horas 57 anos);

= pi / fpk


49


ALÍNEA L)

1. Perdas por retracção do betão

Considerando cs = - 3.0 10-4,

P = Ep Ap cs = 195 106 28 10-4 3.0 10-4 = 163.8 kN

2. Perdas por fluência do betão

Secção 2

Considerando c = 2.5

P = Ap Ep c c

Ecm =

28 10-4 195 106 6.4 103 2.5

33 106 = 264.7 kN

Cálculo de c

8.00

281.3

15.25+14.75=30

Mcp

Mcp = 1290 kNm

Mpe = 3585.6 0.38 = 1362.5 kNm

c = Mcp v

I -

P A

- Mpe v

I =

1290 0.38 0.0524

- 3585.6

0.61 -

1362.5 0.38 0.0524

= - 6.40 MPa

3. Perdas por relaxação das armaduras

Secção 2

Para aço em fio ou cordão com baixa relaxação, 1000 = 2.5%.

pr = 0.8 0.66 1000 e9.1

t1000

0.75 (1- )

pi 10-5 =

= 0.8 0.66 2.5 e9.1 0.69 500000

1000

0.75 (1-0.69)

1280.6 10-5 = 38.2MPa

pi = 3585.6

28 10-4 = 1280.6MPa

= pi fpk

= 1280.6

1860 = 0.69

Ppr = 38.2 103 28 10-4 = 107.0 kN

Pp,r+s+c = 163.8 + 264.7 + 107.0 = 535.5 kN P secção 2 = 3585.6 - 535.5 = 3050 kN

% perdas diferidas 14.9%


50

1.11. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS

Nas zonas de vizinhança da actuação de cargas concentradas não são válidas as

hipóteses da resistência de materiais para peças lineares: a força concentrada é

transmitida ao betão sob a forma de tensões elevadas distribuídas na superfície da placa

de distribuição da carga, existindo uma zona de regularização entre a secção de

aplicação da carga e aquela em que as tensões se distribuem linearmente. Nesta zona,

devido à trajectória das tensões principais de compressão, surgem forças de tracção nas

direcções transversais.

Trajectórias das tensões Tracção Compressão

Deste modo, a verificação da segurança nas zonas das ancoragens consiste em limitar

as tensões de compressão localizadas no betão e dimensionar armaduras para absorção

das forças de tracção que surgem devido à acção da carga concentrada.

1.11.1. Verificação da segurança ao esmagamento do betão

Imediatamente sob a zona de aplicação da carga concentrada surgem tensões de

compressão na direcção transversal. Este facto permite aumentar o valor das tensões

admissíveis a considerar na verificação da pressão local no betão, desde que o mesmo

esteja correctamente confinado.

De acordo com o EC2 (parágrafo 6.7), o valor resistente da força concentrada, aplicada

com uma distribuição uniforme numa determinada área Ac0, pode ser determinado

através da expressão:

FRdu = Ac0 fcd Ac1 Ac0

3.0 fcd Ac0


51

onde,

Ac0 representa a área sobre a qual se exerce directamente a força (área da placa de

ancoragem);

Ac1 representa a maior área homotética a Ac0, contida no contorno da peça, com o

mesmo centro de gravidade de Ac0 e cuja dimensão dos lados não pode exceder em

três vezes a dimensão dos lados correspondentes de Ac0. No caso da existência de

várias forças concentradas, as áreas correspondentes às várias forças não se

devem sobrepor.

Dado que, em geral, a aplicação do pré-esforço é efectuada antes do betão atingir a

idade de 28 dias, o valor de fcd deve ser substituído por fck,j / c, representando fck,j o valor

característico da tensão de rotura à compressão aos j dias.

1.11.2. Determinação das Armaduras de Reforço na Zona das Ancoragens

De acordo com o parágrafo 8.10.3 do EC2, a avaliação das forças de tracção que surgem

devido à aplicação de forças concentradas deve ser efectuada recorrendo a modelos de

escoras e tirantes.

A armadura necessária deverá ser dimensionada considerando uma tensão máxima de

300 MPa. Esta medida destina-se a garantir o controlo da fendilhação, e tem em conta a

dificuldade de garantir uma boa amarração.

1.11.2.1. Modelos de escoras e tirantes

Os modelos de escoras e tirantes (“strut-and-tie models”) identificam os campos de

tensões principais que equilibram as acções exteriores, correspondendo as escoras aos

campos de tensões de compressão e os tirantes aos de tracção.


52

Estes modelos aplicam-se na análise e dimensionamento de zonas de descontinuidade,

como é o caso das zonas de ancoragem de cabos pós-tensionados (zonas de aplicação

de cargas localizadas).

Para a sua elaboração torna-se necessário conhecer o comportamento elástico da zona

estrutural em análise, por forma a escolher o sistema que corresponde à menor energia

de deformação, ou seja, o sistema onde existem mais escoras que tirantes, sendo assim

necessária menor quantidade de armadura. Há também que entrar em linha de conta

com o facto de que, por as armaduras resistirem aos esforços de tracção e,

consequentemente a sua orientação corresponder à dos tirantes, esta deverá ser a mais

conveniente do ponto de vista construtivo.

Trajectórias das tensões

Tracção

Compressão

Modelo

Tirantes

Escoras

1.11.2.2. Caso de uma só ancoragem

Através do modelo de escoras e tirantes que se apresenta em seguida, é possível obter o

valor da força de tracção.

P/2

P/2

P/2

P/2

De acordo com o Eurocódigo 2, a força de tracção para a qual as armaduras devem ser

dimensionadas, é dada pela expressão:

Ft1sd = 0.25 Fsd 1 - a0 a1

(com Fsd = 1.35 P0’)

onde,

a1 = 2b, sendo b a dimensão, segundo a direcção considerada, da menor distância

entre o eixo da ancoragem e a face exterior do betão;

a0 representa a dimensão segundo a direcção considerada, da placa da ancoragem.

a0 a1

Trajectórias das tensões Tracção Compressão

Modelo Tirantes Escoras


53

1.11.2.3. Disposição das armaduras

As armaduras devem, em cada direcção, ficar contidas num prisma de aresta a1 e ser

repartidas em profundidade entre as cotas 0.1a1 e a1, tendo em consideração que a

resultante se situa à cota 0.4a1 e devem ser convenientemente amarradas de forma a

garantir o seu funcionamento eficiente ao longo do comprimento a1.

F

0.1a1

a1

a0

a1

b

A cada nível, as armaduras devem distribuir-se numa largura igual à dimensão

correspondente da maior área delimitada por um contorno fictício contido no contorno da

peça, com o mesmo centro de gravidade da placa da ancoragem, na direcção normal à

direcção considerada.

No caso da ancoragem se encontrar fora do núcleo central da secção (ancoragem

excêntrica), além das armaduras já indicadas, deve dispor-se uma armadura junto à

superfície do elemento, destinada a absorver na direcção em causa uma força de

tracção, como em baixo se ilustra

P

Ft = Fc2

e

Fc2

Fc1 = P

O valor da força de tracção pode ser obtido através da expressão:

Ft0sd = Fsd e a

- 1 6

(com Fsd = 1.35 P0’)

1.11.2.4. Caso de várias ancoragens

1.11.2.4.1. Ancoragens muito próximas

Um grupo de ancoragens muito próximas pode ser tratado considerando uma só

ancoragem equivalente, sendo válidos os princípios indicados no ponto anterior. Deve no

a


54

entanto verificar-se a segurança para a actuação de cada força, isoladamente. As áreas

de influência a considerar são as seguintes:

F

F

F

área de influência para

uma ancoragem individual

área de influência do

grupo de ancoragens

1.11.2.4.2. Ancoragens muito afastadas

No caso de duas forças concentradas afastadas entre si de uma distância superior à

distância entre os centros de gravidade das zonas correspondentes do diagrama de

tensões normais, surgem forças de tracção junto à face de aplicação das cargas, como

se indica:

P

P

P

P

P

P


55

Deste modo, além das armaduras necessárias para cada ancoragem individual, deve

dispor-se uma armadura junto à face do elemento, na direcção em causa, destinada a

absorver uma força de tracção igual a 0.2P.

É de notar que desde que existam vários cabos, estes não são pré-esforçados

simultaneamente, variando os esforços locais ao longo das operações de pré-esforço. O

plano de tensionamento deve ser escolhido por forma a evitar esforços momentâneos

exagerados, devendo a armadura ser dimensionada tendo em conta que podem existir

estados provisórios mais desfavoráveis do que o que surge no sistema final.

1.11.2.5. Aspectos particulares em estruturas pré-esforçadas

1.11.2.5.1. Ancoragens interiores

No caso de uma ancoragem interior, além das tensões transversais atrás mencionadas,

surgem tracções longitudinais atrás da ancoragem como resultado da deformação local

do betão. A resultante das tensões de tracção depende da relação entre a dimensão da

zona carregada e a largura da difusão dos efeitos localizados.

Considerando uma análise elástica que assuma igual rigidez do betão atrás e à frente da

ancoragem, a força de tracção deveria ser, pelo menos, igual a P/2. Contudo, a

experiência mostra que a força de tracção longitudinal pode ser considerada igual a P/4

pois, devido à fendilhação, a rigidez do betão atrás da ancoragem diminui, diminuindo

também a tensão instalada.

Devem pois dispor-se armaduras longitudinais centradas na placa da ancoragem com um

comprimento aproximadamente igual ao dobro da altura da secção.


56

CORTE LONGITUDINAL CORTE TRANSVERSAL

1.11.2.5.2. Forças de desvio

Sempre que um cabo de pré-esforço muda de direcção, são introduzidas forças radiais

no betão quando o cabo é tensionado. Estas forças radiais actuam no plano de curvatura

e têm uma intensidade igual ao quociente entre a força de pré-esforço e o raio de

curvatura.

Embora estas forças sejam na generalidade das situações muito úteis, podem no entanto

causar diversos problemas, nomeadamente a rotura local do betão.

Nos casos em que os cabos estejam junto à face das peças e a sua curvatura provoque

forças de desvio dirigidas para o exterior é necessário dimensionar armadura transversal

para a absorção destas forças, devendo ser disposta em toda a zona em que actuem,

como se indica na planta abaixo.

eixo do cabo

armadura para resistir

à força de desvio

armadura para resistir

à força de desvio


57

1.11.2.6. Disposições Construtivas

Nas zonas de aplicação de cargas localizadas deve adoptar-se uma disposição de

armaduras em várias camadas, constituídas por varões de pequeno diâmetro. Estas

armaduras devem ser bem amarradas fora da zona dos prismas em que se faz a

dispersão dos efeitos localizados.

A solução geralmente adoptada consiste em utilizar estribos fechados de dois ou mais

ramos, como se exemplifica a seguir.

PORMENOR TRANSVERSAL

PORMENOR LONGITUDINAL

No caso em que a carga actue fora do núcleo central, as armaduras dimensionadas para

este efeito devem ser dispostas junto à face do betão ao longo de toda a sua dimensão e

convenientemente amarradas.


58

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONTINUAÇÃO)

ALÍNEA M)

Extremidade do lado esquerdo

0.37

0.30

0.23

0.30

0.38

Força de puxe: P0’ = 10 1.4 10-4 1860 103 0.75 = 1953 kN

1. Verificação da pressão local do betão

(i) Determinação da resistência do betão necessária à data da aplicação do pré-esforço

(considerando a geometria inicial da viga)

FRdu = 1.35 P0’ = 1.35 1953 = 2636.6 kN

FRdu = Ac0 fcd Ac1 Ac0

fcd = FRdu

Ac0 Ac1 / Ac0 =

2636.6

0.252 0.32 / 0.252 = 35155 kPa

fck = 35155 1.5 = 52.7 MPa

(ii) Determinação da resistência do betão necessária à data da aplicação do pré-esforço

(considerando um espessamento da alma da viga junto às extremidades)

0.33

0.38

0.190.38

fcd = FRdu

Ac0 Ac1 / Ac0 =

2636.6

0.252 0.382 / 0.252 = 27754 kPa

fck = 27754 1.5 = 41.6 MPa


59

2. Cálculo das armaduras de reforço na zona das ancoragens

(i) Direcção horizontal

Ft1sd = 0.25 Fsd 1 - a0 a1

= 0.25 2636.6 1- 0.25 0.4

= 247.2 kN As = 247.2

30 = 8.24 cm2

(i) Direcção horizontal

Tensionamento do primeiro cabo (cabo superior)

Ft1sd = 0.25 2636.6 1- 0.25

2 0.33 = 409.4 kN As =

409.4 30

= 13.65 cm2

Ambos os cabos tensionados

Ft1sd = 0.25 2636.6 1- 0.25 0.38

= 225.5 kN As = 225.5

30 = 7.52 cm2


60

1.12. PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS COM SECÇÃO VARIÁVEL

1.12.1. Consideração do efeito do pré-esforço

Considere-se a viga pré-esforçada representada na figura seguinte, bem como os

diagramas de momentos flectores e esforço transverso devido ao pré-esforço (diagramas

de momentos flectores e esforço transverso isostáticos).

e1 e2

DMF pe

(-) P e1

P e2

DEV pe

(-)

(+)

P tg

P tg

O facto da altura da secção transversal ser variável, originando diferentes excentricidades

dos cabos de pré-esforço ao longo do seu desenvolvimento, mesmo para um traçado dos

cabos recto, faz com que o diagrama de momentos isostáticos não seja constante.

Apresentam-se em seguida dois modos de considerar o efeito do pré-esforço entrando

em linha de conta com a variação da secção transversal.

1) Modelação da viga através da linha do centro de gravidade das secções transversais e

consideração das cargas equivalentes de extremidade referentes ao traçado dos cabos

P e1

P

P e1

P

2) Modelação da viga sem considerar a variação da linha do centro de gravidade e

introdução de cargas equivalentes que traduzem a posição relativa entre o traçado dos

cabos e a linha do centro de gravidade.

P e1

P

P e1

P

P tg P tg2P tg

Outros exemplos:

1) Linha do centro de gravidade com variação parabólica


61

e1 e2

P e2

P

P e1

P

P

P e2

P tg q = P / R

P

P e1

ou

2)

xG2 xG1

xG2 - xG1

P(xG2 - xG1) P(xG2 - xG1)


62

1.13. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

Os esforços hiperestáticos em elementos pré-esforçados surgem devido ao facto da

estrutura estar impedida de se deformar livremente.

Exemplos

1) Considere-se a seguinte viga pré-esforçada.

Caso não existisse o apoio central (sistema base), a deformada da viga seria a abaixo

ilustrada.

Devido ao facto do deslocamento vertical a meio da viga estar restringido surgem

reacções verticais (reacções hiperestáticas), correspondendo a do apoio central à força

que seria necessário aplicar nesse ponto para que o deslocamento fosse nulo.

Apresentam-se em seguida o diagrama de esforço transverso e momentos flectores

hiperstáticos, bem como o diagrama de momentos flectores isostáticos.

DEV hip

(+)

DMF isost

(-)

P e

DMF hip

(+)

(-)

DEV hip

(+)

DMF isost

(-)

P e

DMF hip

(+)

(-)

2) Para um traçado dos cabos de pré-esforço parabólico, o raciocínio é semelhante.


63

Deformada no sistema base

Deformada real

Reacções hiperestáticas

Diagramas de esforços hiperestáticos

DMF hip

(+)

DEV hip

(+)

(-)

Diagramas de esforços isostáticos

DMF isost

(-)P e

(-)

(+)

DEV isost

(+)

(-)(-)

(+)

P tg

Os esforços hiperestáticos deverão ser considerados não só no cálculo de tensões

normais devidas ao pré-esforço, mas também para a verificação da segurança aos

estados limites últimos de flexão e esforço transverso.


64

EXERCÍCIO PE2

Considere a viga pré-esforçada representada na figura, bem como o diagrama de

momentos flectores devido à acção do pré-esforço.

2.00

e = 0.352 m

7.00

e = 0.10 m

5.00

g, q

14.00

e = 0.188 m

2.00

14.00

1.00

7.00

0.482

0.40

5.00

0.20

0.60

Acções: g = 40 kN/m Materiais: Betão C30/37

q = 12 kN/m ( 1 = 0.4; 2 = 0.2) Aço A400NR

( g = 1.35; q = 1.5) A1670/1860

Características geométricas da secção transversal da viga: A = 0.44 m2; I = 0.02 m

4.

(-)

(+)

0.354P

0.293P

(-)

5.00

0.1P

a) Calcule e represente as cargas equivalentes ao efeito do pré-esforço para o traçado de

cabos indicado (constituído por troços parabólicos), considerando uma força de

pré-esforço genérica P.

b) Estime o valor da força de pré-esforço útil necessária para garantir a descompressão

da viga, para a combinação quase-permanente de acções. Indique o número de cabos e

cordões que adoptaria, justificando todos os pressupostos.

c) Calcule as perdas por atrito ao longo da viga considerando que o tensionamento é

efectuado em ambas as extremidades (adopte =0.20 e k = 0.004 m-1).

d) Verifique a segurança ao estado limite último de flexão da viga.


65

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE2

ALÍNEA A)

e = 0.188 m

Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3

e = 0.352 me = 0.10 m

7.005.00 2.00

1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas

q = 8 f P

L2

Parábola f (m) L (m) q (kN/m)

1 0.252 10.0 0.0202

2 0.420 14.0 0.0171

3 0.120 4.0 0.060

Determinação da coordenada do ponto de inflexão entre as parábolas 2 e 3

0.352 + 0.188 7 + 2

= x 7

x = 0.42 m

2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo

P tg = 2 f L

P = 2 0.252

5 P = 0.1008 P

P e = P 0.10

7.000.10 P

P

5.00

0.1008 P 0.0202 P

2.00

0.0171 P

0.060 P

ALÍNEA B)

1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanente

(i) Diagramas de esforços para uma carga p


66

(+)

5.00

A

B

13.75 p

24.5 p

(-)

(+)

p

14.00 14.00

(ii) Momentos flectores para a combinação de acções quase-permanente

pcqp = cp + 2 sc = 40 + 0.2 12 = 42.4 kN/m

Mcqp,A = 13.75 42.4 = 583.0 kNm ; Mcqp,B = 24.5 42.4 = 1038.8 kNm

2. Verificação da descompressão

(i) Características geométricas da secção transversal

0.482

0.318

0.80

0.40

1.00

A = 0.44 m2 ; I = 0.020 m

2

winf = I

vinf =

0.020 0.482

= 0.0415 m3

wsup = I

vsup =

0.020 0.318

= 0.063 m3

(ii) Secção A

MA

(+)

+

(-)

(-)

(+)

+

P / A

(-)

MA

P

Mpe

inf = - P A

- Mpe winf

+ MA winf

< 0 - P

0.44 -

0.293 P 0.0415

+ 583

0.0415 < 0 P > 1505.2 kN


67

(iii) Secção B

MB

(+)

+

(-)

(-)

(+)

+

P / A

(-)

MB

P

Mpe

sup = - P A

- Mpe

w +

MB w

< 0 - P

0.44 -

0.354 P 0.063

+ 1038.8 0.063

< 0 P > 2089.4 kN

P > 2089.4 kN

3. Cabos e cordões a adoptar

Considerando 10% de perdas imediatas e 15% de perdas diferidas,

P0' = - P

0.90 0.85 =

2089.4

0.90 0.85 = 2731.2 kN

Ap = - P0'

0.75 fpk =

2731.2

0.75 1860 103 104 = 19.58 cm2


A1 cordão =

19.58 1.4

= 14 cordões

Adoptam-se 2 cabos com 7 cordões de 0.6”

ALÍNEA C)

1. Cálculo das perdas por atrito

P0 (x) = P0’ e- ( + kx) (Adopta-se = 0.20 e k = 0.004)

7.00

Parábola 2

5.00

Parábola 1

e = 0.10 m e = 0.352 m

2.00

Par. 3

e = 0.188 m

Par. 3 Parábola 2 Parábola 1

7.00 5.002.00

1 2 34

5 6 7

Cálculo da força de tensionamento

P0’ = 14 1.4 10-4 0.75 1860 103 = 2734.2 kN

Cálculo dos ângulos de desvio


68

(i) Parábola 1

1 tan 1 = 2f L

= 2 0.252

5 = 0.101

(ii) Parábola 2

2 = 2f L

= 2 0.42

7 = 0.120

Secção x

(m) (rad)

Papós atrito

(kN)

1 0 0 2734.2

2 5.0 0.101 2668.8

3 12.0 0.221 2591.0

4 14.0 0.341 2525.5

5 12.0 0.221 2591.0

6 5.0 0.101 2668.8

7 0 0 2734.2

ALÍNEA D)

1. Determinação dos esforços de dimensionamento

psd = 1.35 40 + 1.5 12 = 72 kN/m

Msd = 13.75 72 = 990.0 kNm

2. Determinação do momento hiperestático devido ao pré-esforço

(i) Diagrama de momentos isostáticos (Misost = P e)

0.188P5.00

0.1P (-)

0.352P

(+)

(-)

(ii) Diagrama de momentos hiperestáticos (Mhip = Mpe – Misost )

0.166P

(+)

5.00

0.059P


69

3. Cálculo das armaduras de flexão

M’sd = Msd + Mhip = 990.0 + 0.059 2089.4 = 1113.3 kNm

Fc0.85fcd

0.8x

Fs

Fp

M'sd

LN

Ap

As

b

x

Fp = Ap fp0,1k 1.15

= 19.6 10-4 1670 1.15

103 = 2846.3 kN

Fs = As fyd = As 348 103

Fc = 1.0 0.8x 0.85 20 103 = 13600x

(i) Equilíbrio de momentos ( MAs = Msd)

Fc (0.75 - 0.4x) - Fp 0.08 = Msd 13600x (0.75 - 0.4x) = 1113.3 + 2846.3 0.08

x = 0.142 m

Fc = 13600 0.142 = 1931.2 kN < Fp

não é necessária armadura ordinária para verificar o estado limite último de flexão.

4. Cálculo da armadura mínima de flexão

As,min = 0.26 fctm fyk

bt d = 0.26 2.6 400

0.40 0.75 104 = 5.07 cm2


70

2. Introdução ao Dimensionamento de Lajes de Betão Armado

As lajes são elementos estruturais que constituem os pisos e coberturas dos edifícios e

as plataformas de outro tipo de construções cuja função é formar superfícies planas

horizontais ou inclinadas possibilitando a circulação e a colocação de equipamentos.

As lajes são normalmente solicitadas por cargas perpendiculares ao seu plano médio.

Tratando-se de elementos em que as dimensões em planta são muito superiores à

espessura apresentam um comportamento bidimensional.

2.1. CLASSIFICAÇÃO DE LAJES

Uma classificação de lajes não é, em si, necessária e, em situações concretas, é, por

vezes, difícil classificar uma dada solução. No entanto, em termos de ensino e de

compreensão inicial das características do seu comportamento é muito útil. É assim que

se apresenta, seguidamente, as denominações usuais para as lajes consoante o tipo de

apoio, constituição, modo de flexão dominante e forma de fabrico.

2.1.1. Tipo de Apoio

Lajes vigadas (apoiadas em vigas)

Lajes fungiformes (apoiadas directamente em pilares)

Lajes em meio elástico (apoiadas numa superfície deformável –

ensoleiramentos, por exemplo)

Nas figuras seguintes apresentam-se soluções tipo de lajes vigada e fungiforme (esta

com capiteis).


71

Refira-se também que há muitas situações práticas em que as lajes nalgumas zonas se

apoiam em vigas e, noutras, directamente em pilares.

2.1.2. Constituição

Monolíticas (só em betão armado)

Maciças (com espessura constante ou de variação contínua)

Aligeiradas

Nervuradas

Mistas (constituídas por betão armado, em conjunto com outro material)

Vigotas pré-esforçadas

Perfis metálicos

2.1.3. Modo de flexão dominante

Lajes “armadas numa direcção” (comportamento predominantemente

unidireccional)

Lajes “armadas em duas direcções” (comportamento bidireccional)

Saliente-se, como se verá adiante, que as lajes têm sempre armaduras nas duas

direcções. Esta denominação usual tem a ver, como referido, com a forma principal de

comportamento.

2.1.4. Modo de fabrico

Betonadas “in situ”

Pré-fabricadas

Totalmente (exemplo: lajes alveoladas)

Parcialmente (exemplo: pré-lajes)


72

2.2. PRÉ-DIMENSIONAMENTO

A espessura das lajes é condicionada por:

Resistência – flexão e esforço transverso

Características de utilização – Deformabilidade, isolamento sonoro, vibrações,

protecção contra incêndio, etc.

A espessura das lajes varia em função do vão. No que se refere a lajes maciças, em

geral, a sua espessura varia entre 0.12 m e 0.30 m. O valor inferior é, em geral

desaconselhável, até porque com as exigências actuais de recobrimento a sua eficiência

à flexão é muito reduzida, como se compreende. Por outro lado, para espessuras acima

dos 0.30 m, o recurso a soluções aligeiradas é quase obrigatório, no sentido de aliviar o

peso da solução. Excluem-se as zonas de capiteis onde o efeito do peso dessas zonas

na flexão é reduzido.

2.3. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

2.3.1. Estados Limites Últimos

2.3.1.1. Flexão

O funcionamento das lajes relativamente à flexão é idêntico ao das vigas. A diferença

reside no facto das vigas, sendo elementos lineares, apresentarem um comportamento

unidirecional, enquanto as lajes, sendo elementos bidimensionais, apresentam um

comportamento bidirecional.

Viga Laje

Numa laje, as armaduras de flexão são calculadas por metro de largura, ou seja,

considerando uma secção com 1 m de base, e altura igual à da laje.


73

Nas lajes a ordem de grandeza dos momentos é, claramente, inferior ao das vigas, pois

como se compreende os esforços podem se distribuir por larguras maiores. O momento

flector reduzido ( ) nas secções mais esforçadas estará, em geral, contido no intervalo

0.10 < 0.20. Nalguns casos poderá ser mesmo inferior a 0.10, sem inconveniente.

Relativamente ao valor superior não deverá ser ultrapassado, excluindo-se, nalgumas

situações, a zona de momentos negativos sobre os apoios directos em pilares (solução

fungiforme). Verifica-se, assim, que a ductilidade das lajes é uma característica intrínseca

da solução o que, como sabemos, representa uma mais valia importante do

comportamento, com vantagens conhecidas na verificação da segurança à rotura.

2.3.1.2. Esforço Transverso

Em lajes, a transmissão de cargas para os apoios faz-se por efeito de arco e de consola,

conforme ilustrado nas figuras seguintes.

(i) Efeito de arco e consola

P

R

T

Efeito de arco

Efeito de consola

T T+ T

T

VD1

1

VD2

2


74

A participação relativa dos dois mecanismos na resistência ao esforço transverso

depende da esbelteza da laje. Para esbeltezas baixas, ou para cargas mais importantes

próximas do apoio, o efeito de arco é mobilizável, mas para as situações correntes de

esbeltezas mais elevadas e cargas distribuídas a participação do efeito de arco tende a

ser pequena como se compreende pela figura acima indicada.

A avaliação do comportamento das lajes através de ensaios experimentais indica que,

para atender aos efeitos da alguma sobreposição destes mecanismos resistentes, é

indicado que se adoptem na pormenorização das armaduras estas duas recomendações:

Através de uma translação do diagrama de momentos flectores de aL = d;

“Atirantando o arco”, prolongando até aos apoios, pelo menos, ½ da armadura

a meio vão.

Estas indicações são tidas em conta nas disposições de dispensa de armaduras.

(ii) Verificação ao Estado Limite Último de Esforço Transverso

De acordo com o EC2, para elementos que não necessitam de armadura de esforço

transverso, adopta-se uma verificação com base numa expressão, validada

experimentalmente, mas que não é deduzível directamente de um mecanismo resistente,

como no caso das vigas, tal que:

Vsd VRd,c = [ ]CRd,c k ( )100 L fck1/3 + k1 cp bw d ( )0.035 k3/2 fck

1/2 + k1 cp bw d

onde,

CRd,c = 0.18

c

k = 1 + 200d

≤ 2 , com d em mm

1 = AsL

bw d 0.02 (AsL representa a área de armadura de tracção, prolongando-se

não menos do que d + lb,d para além da secção considerada)

k1 = 0.15

cp = Nsd Ac

em MPa (Nsd representa o esforço normal devido a cargas aplicadas ou

ao pré-esforço, e deve ser considerado positivo quando for de compressão)


75

2.3.2. Estados Limites de Utilização

2.3.2.1. Fendilhação

A verificação ao estado limite de fendilhação pode ser efectuada de forma directa ou

indirecta tal como no caso das vigas.

A verificação directa consiste no cálculo da abertura característica de fendas e

comparação com os valores admissíveis.

Esta matéria foi abordada na disciplina de Estruturas de Betão I para o caso das vigas.

Os procedimentos de cálculo para as lajes são idênticos, sendo, desde já, de referir que a

fendilhação, por flexão, das lajes é pouco condicionante devido à pequena altura da zona

traccionada.

O controlo indirecto da fendilhação, de acordo com o EC2, consiste, como discutido na

disciplina de Estruturas de Betão I, em :

Adopção de armadura mínima

Imposição de limites ao diâmetro máximo dos varões e/ou afastamento máximo

dos mesmos (Quadros 7.2 e 7.3).

Quadro 7.2N – Diâmetros máximos dos varões *s para controlo da fendilhação

1

Tensão no aço2

[MPa]

Diâmetros máximos dos varões [mm]

wk= 0,4 mm wk= 0,3 mm wk= 0,2 mm

160 40 32 25

200 32 25 16

240 20 16 12

280 16 12 8

320 12 10 6

360 10 8 5

400 8 6 4

450 6 5 -

NOTAS: 1. Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses:

c = 25 mm; fct,eff = 2,9 MPa; hcr = 0,5 h; (h-d) = 0,1h; k1 = 0,8; k2 = 0,5; kc = 0,4; k = 1,0;

kt = 0,4

2. Para as combinações de acções apropriadas


76

Quadro 7.3N – Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação1

Tensão no aço2

[MPa]

Espaçamento máximo dos varões [mm]

wk=0,4 mm wk=0,3 mm wk=0,2 mm

160 300 300 200

200 300 250 150

240 250 200 100

280 200 150 50

320 150 100 -

360 100 50 -

Para as Notas, ver o Quadro 7.2N.

O diâmetro máximo dos varões deverá ser modificado como se indica a seguir:

Flexão (com pelo menos parte da secção em compressão):

s s (fct,eff /2,9) k h

( h - d )

c cr

2 (7.6N)

Tracção (tracção simples):

s = s (fct,eff/2,9)hcr/(8(h-d)) (7.7N)

em que:

s diâmetro modificado máximo dos varões;

s diâmetro máximo dos varões indicado no Quadro 7.2N;

h altura total da secção;

hcr altura da zona traccionada imediatamente antes da fendilhação, considerando os valores

característicos do pré-esforço e os esforços normais para a combinação quase-permanente de

acções;

d altura útil ao centro de gravidade da camada exterior das armaduras;

Quando toda a secção está sob tracção, h - d é a distância mínima do centro de gravidade das armaduras à

face do betão (no caso em que a disposição das armaduras não é simétrica, considerar-se as duas faces).

2.3.3. Deformação

A norma ISO 4356 apresenta, de uma forma exaustiva, valores limites para diferentes

tipos de utilização dos pisos. Para os casos correntes de edifícios de escritórios,

comerciais ou de habitação, o EC2 seguindo as recomendações da norma acima

referida, define os seguintes objectivos máximos de deformação, em função do vão:

L250

para a deformação total devida combinação de acções quase-permanentes


77

L500

para o incremento de deformação após construídas as paredes de alvenaria das

divisórias. Este limite será mais ou menos importante face à sensibilidade da solução

construtiva.

Refira-se que estes valores de deformação se referem ao diferencial entre os pontos e

apoio e o ponto de flecha máxima, segundo um dado alinhamento. É importante salientar

que, se para as esbeltezas correntes nas vigas (valores da ordem de l/h = 8 a 14) a

deformabilidade é reduzida e, garante-se em geral, com folga, estes limites, para o caso

das lajes, com esbeltezas num leque alargado entre 20 a 40, a limitação ou contolo do

nível de deformação pode ser crítica no dimensionamento.

Tal como acontece para o caso da fendilhação, a verificação ao estado limite de

deformação pode ser efectuada de forma directa ou indirecta.

A forma directa consiste no cálculo da flecha a longo prazo (pelo Método dos

Coeficientes Globais, por exemplo) e comparação com os valores admissíveis.

Conforme preconizado no EC2, o cálculo das flechas poderá ser omitido, desde que se

respeitem os limites da relação vão / altura útil estabelecidos no Quadro 7.4N. Na

interpretação deste quadro, deve ter-se em atenção que:

Em geral, os valores indicados são conservativos, podendo os cálculos revelar

frequentemente que é possível utilizar elementos menos espessos;

Os elementos em que o betão é fracamente solicitado são aqueles em que

0.5%, podendo na maioria dos casos admitir-se que as lajes são fracamente

solicitadas (o betão é fortemente solicitado se 1.5% e estas percentagens de

armadura não são das lajes).

Para lajes vigadas armadas em duas direcções, a verificação deverá ser

efectuada em relação ao menor vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-

se o maior vão. Estas indicações serão melhor compreendidas com a melhor

apreensão dos diferentes tipos de comportamento das lajes.


78

Quadro 7.4N – Valores básicos da relação vão/altura útil (l/d) para elementos de betão

armado sem esforço normal de compressão

Sistema estrutural

K

Betão fortemente solicitado

Betão levemente solicitado

= 0,5 %

Viga simplesmente apoiada, laje

simplesmente apoiada armada numa ou

em duas direcções

Vão extremo de uma viga contínua ou de

uma laje contínua armada numa direcção

ou de uma laje armada em duas

direcções contínua ao longo do lado

maior

Vão interior de uma viga ou de uma laje

armada numa ou em duas direcções

Laje sem vigas apoiada sobre pilares

(laje fungiforme) (em relação ao maior

vão)

Consola

1,0

1,3

1,5

1,2

0,4

14

18

20

17

6

20

26

30

24

8

NOTA 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, e o cálculo poderá frequentemente revelar que é

possível utilizar elementos mais esbeltos.

NOTA 2: Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor

vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão.

NOTA 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem, para a flecha a meio vão, a uma

limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.

2.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS

2.4.1. Recobrimento das armaduras

Em lajes, por se tratar de elementos laminares (de pequena espessura), podem adoptar-

se recobrimentos inferiores, em 5 mm, aos geralmente adoptados no caso das vigas, ou

seja, 0.02 m a 0.04 m (caso de lajes em ambientes muito agressivos).

É necessário ter em atenção que o recobrimento adoptado não deve ser inferior ao

diâmetro das armaduras ordinárias (ou ao diâmetro equivalente dos seus agrupamentos).


79

2.4.2. Distâncias entre armaduras

2.4.2.1. Espaçamento máximo da armadura

A imposição do espaçamento máximo da armadura tem por objectivo o controlo da

fendilhação e a garantia de uma resistência local mínima, nomeadamente se existirem

cargas concentradas aplicadas.

i) Armadura principal

s min (1.5 h; 0.35 m)

Em geral, não é aconselhável utilizar espaçamentos superiores a 0.25 m.

ii) Armadura de distribuição

s 0.35 m

2.4.2.2. Distância livre mínima entre armaduras

A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar a betonagem

em boas condições, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo betão e as necessárias

condições de aderência.

No caso de armaduras ordinárias,

Smin = ( )maior, eq maior, 2 cm

Na prática, para situações correntes, não é recomendável adoptar espaçamentos

inferiores a 10 cm de modo a criar as condições para uma adequada colocação e

compactação do betão.

2.4.3. Quantidades mínima e máxima de armadura

A quantidade mínima de armadura a adoptar numa laje na direcção principal pode ser

calculada através da expressão seguinte:


bt d

onde bt representa a largura média da zona traccionada.

A quantidade máxima de armadura a adoptar, fora das secções de emenda, é dada por:

As,máx = 0.04 Ac

onde Ac representa a área da secção de betão.


80

2.4.4. Posicionamento das armaduras

O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, é assegurado pelos seguintes

elementos:

Espaçadores – para posicionamento da armadura inferior

c

A distância a adoptar entre espaçadores varia em função do diâmetro da armadura

a posicionar: armadura 12 mm, s = 0.50 m

armadura > 12 mm, s = 0.70 m

s

Cavaletes – para posicionamento da armadura superior da laje

h

O diâmetro do varão que constitui os cavaletes é função da sua altura h. Deste

modo:

Para h < 0.15 m, cavalete = 8 mm

Para 0.15 m < h < 0.30 m, cavalete = 10 a 12 mm

2.5. MEDIÇÕES E ORÇAMENTOS

Indicam-se as unidades de medição e o custo aproximado dos materiais e cofragens

utilizados na execução das lajes que permitem realizar uma estimativa de custo destes

elementos estruturais.


81

Unidade de medição Custo unitário

Cofragem m2 15 € /m2

Armadura kg 0.90 € /kg

Betão m3 100 € /m3

(i) Critérios de medição: a definir no Caderno de Encargos

No que se refere à medição das armaduras, é importante estabelecer critérios para os

seguintes aspectos:

Desperdícios (5% a 7% da quantidade total) – em geral não são

considerados na medição, mas sim no preço unitário;

Comprimentos de emenda ou sobreposição;

Varões com comprimento superior a 12 m.

(ii) Taxas de armadura

As quantidades de armadura em lajes dependem do tipo de apoio, da esbelteza e do

nível de carga actuante. Em geral, podem tomar-se como referência os seguintes valores

de taxas de armaduras.

Lajes vigadas – 60 a 80 Kg/m3

Lajes fungiformes – 80 a 120 Kg/m3

2.6. LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA DIRECÇÃO

2.6.1. Definição

Considera-se que as lajes são armadas numa direcção (ou funcionam

predominantemente numa direcção) se:

As condições de apoio o exigirem

A relação entre vãos respeitar a condição Lmaior Lmenor

2


82

2.6.2. Pré-dimensionamento

Para sobrecargas correntes em edifícios (sc 5 kN/m2), a espessura das lajes armadas

numa direcção pode ser determinada a partir da seguinte relação:

h L

25 a 30

Esta expressão tem por base o controlo indirecto da deformação e o nível de esforços na

laje.

2.6.3. Pormenorização de armaduras

2.6.3.1. Disposição de armaduras

As armaduras principais devem ser colocadas por forma a funcionarem com o maior

braço, tal como se encontra ilustrado nas figuras seguintes.

As+

As,dist+

As,distAs- -

Determinação da altura útil: d = h - c - long

2 h – (0.025 a 0.03) m

2.6.3.2. Exemplos da disposição das armaduras principais e de distribuição

Ver Folhas da Cadeira, Volume I, págs. 17, 18, 19 e 20

2.6.3.3. Armadura de bordo simplesmente apoiado

Pelo facto das vigas de bordo impedirem a livre rotação da laje quando esta se deforma,

surgem tracções na face superior, nas zonas de ligação entre os dois elementos. Em

x

y

lx

ly lx / ly 2


83

geral, estas tracções não são contabilizadas no cálculo já que se despreza a rigidez de

torção das vigas no cálculo dos esforços em lajes. Caso não seja adoptada armadura

específica para este efeito podem surgir fendilhações, conforme se ilustra na figura

seguinte.

Deste modo, é necessário dispor de armadura na face superior da laje junto às vigas de

bordo, na direcção perpendicular às mesmas, cuja disposição se apresenta.

0.2As,apoioAs,apoio

L/4

- -

A quantidade de armadura a adoptar deverá respeitar a seguinte condição:

As,apoio

–

= máx { }As,min, 0.25 As,vão

+

2.6.3.4. Armadura de bordo livre

Num bordo livre de uma laje deve ser adoptada armadura longitudinal e transversal,

conforme ilustrado na figura seguinte.

2h

12

h

Para o reforço longitudinal do bordo livre pode ser utilizada a armadura longitudinal

superior ou inferior da laje.


84

EXERCÍCIO L1

Verifique a segurança aos estados limite últimos da escada representada na figura.

1.402.701.40

0.17

0.20

1.53

A'

A

0.30

1.40

0.20

Corte A-A'

Considere as seguintes acções:

- peso próprio;

- revestimento: 1.50 kN/m2;

- sobrecarga de utilização: 3.00 kN/m2;

Adopte para materiais o betão C20/25 e a armadura A400NR.

Desenhe a distribuição de armaduras em corte longitudinal e transversal à escala 1:25 na

folha anexa.


85

Resolução do Exercício L1

Laje armada numa direcção

1. Modelo de cálculo

1.40 2.70 1.40

sc

rev

pplaje

pdegraus

pdegraus

sc

rev

1.401.40 2.70

pp

pp /cos

= arctg 1.53 2.7

= 29.5

2. Cálculo das Acções

2.1. Cargas permanentes

Peso próprio

ppLaje = betão h = 25 0.20 = 5.0 kN/m2

pdegraus = betão hdegrau

2 = 25

0.17 2

= 2.13 kN/m2

Zona do patim: pp = 5.0 kN/m2

Zona dos degraus: pp = ppLaje

cos + pdegraus =

5.0

cos 29.5 + 2.13 = 7.9 kN/m2

Revestimento = 1.5 kN/m2

2.2. Sobrecarga

Sobrecarga de utilização = 3.0 kN/m2


86

3. Acções solicitantes de dimensionamento

psd2

1.401.40 2.70

psd1

psd1 = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 ( )5.0 + 1.5 + 3.0 = 14.3 kN/m2

psd2 = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 ( )7.9 + 1.5 + 3.0 = 18.6 kN/m2

4. Determinação dos esforços

45.1

25.1

45.125.1

(+)

(-)

DEV

[kN/m]

DMF

[kNm/m]

49.1

66.0

49.1

(+)

5. Cálculo das armaduras (verificação da segurança ao E.L.U. de flexão)

Armadura principal

Msd = 66.0 kNm/m = Msd

b d2 fcd =

66.0

1.0 0.172 13.3 103 = 0.172 ; = 0.195

As = b d2 fcd fyd

= 0.195 1.0 0.17 13.3 348

104 = 12.67 cm2/m

Adoptam-se 16//0.15 (13.4 cm2/m).

Armadura de distribuição

As,d = 0.20 As,princ. = 0.20 12.67 = 2.53 cm2/m

Adoptam-se 8//0.20

Armadura mínima


bt d = 0.26 2.2 400

0.17 104 = 2.43 cm2/m

Armadura de bordo simplesmente apoiado


87

As,apoio

–


+

= 3.17 cm2/m Adoptam-se 8//0.15

0.25 0.25 As,vão

+

= 0.25 12.67 = 3.17 cm2/m

6. Verificação da segurança ao E.L.U. de esforço transverso

Vsd VRd,c = [ ]CRd,c k ( )100 L fck1/3 + k1 cp bw d ( )0.035 k3/2 fck

1/2 bw d

Como não existe esforço normal de compressão,

VRd,c = CRd,c k (100 1 fck)1/3 bw d =

0.18 1.5

2.0 (100 0.008 20)1/3 1000 170 10-3 = =

102.8 kN

K = 1 + 200d

= 1 + 200170

= 2.08 ≥ 2.0 k = 2.0

1 = AsL

bw d =

13.4 10-4 0.17

= 0.008

VRd,c ≥ 0.035 k3/2 fck1/2 bw d = 0.035 2.03/2 201/2 1000 170 10-3 = 75.3 kN

Dado que Vsd,máx = 45 kN/m, está verificada a segurança ao E.L.U. de esforço transverso.


88

2.7. LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES

2.7.1. Métodos de Análise e Dimensionamento

A análise e dimensionamento das lajes vigadas pode ser efectuada recorrendo a modelos

elásticos ou a modelos plásticos.

2.7.1.1. Análise elástica (Teoria da Elasticidade)

A análise elástica das lajes baseia-se na teoria da elasticidade e resume-se à integração

da equação diferencial de Lagrange que relaciona o campo de deslocamentos w(x,y) com

a carga actuante q.

Este tipo de análise foi abordado na disciplina de Análise de Estruturas I. Indicam-se aqui

as principais equações da análise elástica de lajes finas.

Equação de Lagrange

4 w(x,y)

x4 + 2

4 w(x,y)

x2 y2 +

4 w(x,y)

y4 = q D

Equações de equilíbrio

(V e M) vx = mx(q)

x +

mxy(q)

y ; vy =

my(q)

y +

mxy(q)

y

(V e q) vx(q)

x +

vy(q)

y = q

(M e q) 2 mx(q)

x2 +

2 my(q)

y2 +

2 2 mxy(q)

x y = q

Foram desenvolvidas soluções da equação de Lagrange para painéis de laje com

geometria simples que resultaram na publicação de tabelas de cálculo de lajes com

diferentes condições de apoio.

q


89

Uma avaliação dos esforços elásticos nas lajes pode ser efectuada recorrendo a estas

tabelas de esforços ou a métodos numéricos como, por exemplo, o método dos

elementos finitos.

Nas figuras seguintes ilustram-se o tipo de tabelas que fornecem os valores dos

momentos flectores máximos no vão e nos apoios para lajes com diferentes condições de

apoio e diferentes relações de vãos, admitindo apoios indeformáveis. Refira-se que esta

é uma hipótese razoável, no caso do apoio das lajes em vigas mas tem as suas

limitações pois as vigas são necessariamente deformáveis.


90

Ilustra-se na figura seguinte a distribuição de esforços elásticos em painéis de laje com

diferentes condições de apoio.


91

Painel interior

Painel apoiado no contorno

Painel de bordo

Painel de canto


92

Na figura seguinte ilustra-se a distribuição de esforços elásticos num painel de 4 lajes

vigadas recorrendo a um programa de análise estrutural baseado no método dos

elementos finitos, considerando a deformabilidade das vigas, indicando-se a distribuição

de momentos nas direcções x e y e dos momentos torsores.

6.00

6.00

4.00

6.00


93

No dimensionamento pode efectuar-se uma redistribuição dos esforços elásticos, não

devendo esta ultrapassar mais ou menos 25% do valor dos momentos elásticos nos

apoios de modo a assegurar que o comportamento em serviço não seja afectado. Refira-

se que o tomar uma distribuição de esforços não muito afastada da elástica não afecta as

deformações e tem uma influência limitada na abertura máxima de fendas, que como se

referiu anteriormente, não é condicionante no comportamento à flexão de lajes.

Importa salientar que na análise elástica a carga actuante é equilibrada com momentos

flectores e momentos torsores, conforme a equação de equilíbrio (M e q) atrás

apresentada.

No dimensionamento das armaduras das lajes este aspecto deve ser tido em conta, e

pode sê-lo de uma forma simplificada realizando o cálculo das armaduras para os

seguintes momentos flectores corrigidos:

m'sd, x = msd, x + |msd, xy| 0 A+

sx

m'sd, y = msd, y + |msd, xy| 0 A+

sy

m'sd,x = msd, x - |msd, xy| 0 A-

sx

m'sd, y = msd, y - |msd, xy| 0 A-

sy

Verifica-se que os momentos torsores são nulos nas secções onde o momento flector é

máximo o que significa que as armaduras máximas são, em geral, calculadas apenas

para os momentos flectores, mas nas outras secções é necessário ter em conta a

presença dos momentos torsores.

Importa, ainda, referir que as tabelas de esforços elásticos fornecem soluções elásticas

considerando os apoios indeformáveis, como atrás mencionado. Todavia, estas

condições de apoio são pouco frequentes na prática e os esforços elásticos em lajes com

apoios deformáveis podem diferir significativamente dos esforços fornecidos pelas

tabelas.

No entanto, esta situação não se traduz num problema no dimensionamento das lajes

pois as soluções fornecidas satisfazem o equilíbrio e é sempre possível considerar a

redistribuição de esforços desde que a ductilidade seja assegurada, o que nas lajes é, em

geral, o caso.


94

2.7.1.2. Análise plástica (Teoria da Plasticidade)

A análise plástica pode ser aplicada quando a ductilidade do comportamento à flexão é

garantida, ou seja, quando o dimensionamento das armaduras de flexão é efectuado por

forma a que a posição da L.N. correspondente a este E.L.U. seja tal que: x d

0.25.

O dimensionamento, recorrendo à Teoria da Plasticidade, pode ser efectuado por dois

métodos distintos:

Método cinemático: o valor da carga associado a um mecanismo cinematicamente

admissível é um valor superior da carga última – exemplo: método das linhas de

rotura.

A aplicação deste método deve ser realizada com cuidado pois é necessário

determinar o mecanismo de colapso que conduz à carga de rotura mínima.

Método estático: o valor da carga que satisfaz as equações de equilíbrio, de forma a

que em nenhum ponto seja excedida a capacidade resistente, é um valor inferior da

carga última (método conservativo) – exemplo: método das bandas.

A figura seguinte ilustra a relação das soluções estática e cinematicamente admissíveis

face à carga de rotura de uma laje. Refira-se que ambas as soluções convergem para a

carga de rotura real da laje qu,r. Enquanto o método estático está do lado da segurança o

método cinemático está do lado contrário.

O método estático apresenta grande utilidade na avaliação e no dimensionamento de

lajes de betão como se ilustra e discute no exemplo seguinte.

Considere-se a laje, sujeita a uma carga uniformemente distribuída q, indicada na figura

seguinte com armaduras nas direcções x e y a que correspondem momentos resistentes

mRx e mRy.

q

qu,r

Campo das soluções

cinematicamente admissíveis

Campo das soluções estaticamente

admissíveis

Campo dos momentos


95

Assumindo que a distribuição dos momentos segundo x e y apresenta uma forma

parabólica tem-se:

mx = mx0 (1 - ax2); my = my0 (1 - by2)

nos apoios: mx = 0 ; my = 0

x = lx/2 mx = 0 a = 4 / lx2

y = ly/2 my = 0 b = 4 / ly2

donde

mx = mx0 (1- 4x2/lx2); my = my0 (1- 4y2/ly

2)

Recorrendo à equação de equilíbrio das lajes (M e q)

2 mx(q)

x2 +

2 my(q)

y2 +

2 2 mxy(q)

x y = q

obtém-se

q = (8 / lx2) mx0 + (8 / ly

2) my0

Considerando a condição de base do teorema estático m(q) mR, a capacidade

resistente da laje é atingida quando mx0 = mRx e my0 = mRy pelo que a máxima capacidade

de carga da laje é

qmax = (8 / lx2) mRx + (8 / ly

2) mRy

isto é, a carga máxima é obtida pelo somatório da parcela da carga equilibrada segundo x

e y pelos momentos mRx e mRy, respectivamente:

qmax = qRx + qRy

mx0

lx

ly x

y

my0


96

com: qRx = (8 / lx2) mRx; qRy = (8 / ly

2) mRy

Recorrendo agora às equações de equilíbrio (V e M)

vx = mx(q)

x +

mxy(q)

y ; vy =

my(q)

y +

mxy(q)

y

obtém-se o esforço transverso

vx = - 8 mRx x/lx2 ; vy = - 8 mRy x/ly

2

nos apoios tem-se

x = lx/2 vap,x = 4 mRx / lx

y = ly/2 vap,y = 4 mRy / ly

ou

vap,x = qRx lx/2

vap,y = qRy ly/2

Este método pode ser aplicado quer à avaliação da capacidade de carga de lajes

existentes quer ao dimensionamento das armaduras de lajes novas. No entanto, é

necessário ter presente que a sua aplicação pressupõe que existe ductilidade suficiente

das secções e que não ocorrem problemas de deficiente comportamento em serviço

nomeadamente no que se refere à fendilhação.

2.7.2. Método das bandas

O método das bandas é uma aplicação simples do método estático ao dimensionamento

de lajes. A sua fundamentação foi apresentada atrás mas pode, também, ser explicada

da seguinte forma.

Considere-se a equação de equilíbrio das lajes (M e q):

2 mx(q)

x2 +

2 my(q)

y2 +

2 2 mxy(q)

x y = q

e uma distribuição de armaduras tal que em nenhum ponto a distribuição de esforços

equilibrada excede a capacidade resistente da laje, m(q) mR,

onde, m(q) - momento da distribuição equilibrada de esforços devido à carga q;

mR - momento resistente da laje

Se não se quiser considerar os momentos torsores para equilibrar a carga actuante q (mxy

= 0), a equação de equilíbrio toma a forma


97

2 mx

x2 +

2 my

y2 = q

Pode então admitir-se que a carga é suportada em bandas nas direcções x e y, ou seja,

2 mx

x2 = q

2 my

y2 = (1 ) q

0 1

Momentos flectores de dimensionamento a meio vão:

mx = q lx2/8; my = (1- q ly

2/8

Esforço transverso nos apoios:

vx = q lx/2; vy = (1- q ly/2

Efectuando a comparação com o exemplo anteriormente apresentado tem-se a seguinte

correspondência:

q = qRx; (1- q = qRy

É de notar que, se a distribuição equilibrada de esforços adoptada no dimensionamento

diferir significativamente dos esforços em serviço (estes próximos de uma distribuição

elástica), podem acontecer situações deficientes em termos do comportamento em

serviço, da laje. De qualquer modo, a segurança em relação ao estado limite último está

assegurada.

Em geral, um bom comportamento em serviço pode ser garantido através da

conveniente:

escolha do modelo de cálculo e dos caminhos de carga a adoptar por forma a não

se afastar significativamente do comportamento elástico da laje;

lx

ly

(1- ) q

q

q


98

escolha dos coeficientes de repartição de carga ( ) de acordo com o mesmo

critério;

pormenorização adequada de armaduras.

Indicações qualitativas quanto à escolha dos coeficientes de repartição ( )

Para Lmaior/Lmenor 2 e visto tratar-se de flexão cilíndrica, = 1;

Para iguais condições de fronteira nas duas direcções, o valor de a considerar

para a menor direcção (Lx) deve variar entre 0.5 e 1, para relações de vãos entre

1 e 2. Sendo os momentos mx dados por k Lx2. Deve verificar-se que Lx

2 >

(1 - ) Ly2;

As direcções com condições de fronteira mais rígidas absorvem mais carga

maior.

Nas figuras seguintes apresentam-se exemplos de aplicação do método das bandas ao

dimensionamento de lajes

Aplicação do método das bandas a uma laje rectangular com lx > 2 ly


99

Aplicação do método das bandas a uma laje com bordo livre

Como se percebe a aplicação do método estático ao dimensionamento das lajes dá

grande liberdade ao engenheiro na forma como define o encaminhamento das cargas e

como dispõe as armaduras. É, todavia, necessário assegurar a ductilidade necessária a

estes elementos. Um aspecto que importa analisar é relativo a situações em que possam

ocorrer roturas prematuras por esforço transverso sem que se atinja primeiro a

capacidade resistente à flexão. Trata-se de situações raras relativas a lajes sujeitas a

cargas muito elevadas mas que importa ter em atenção.

Como as lajes não são, em geral, armadas transversalmente para o esforço transverso,

as roturas associadas a este tipo de esforço são frágeis. Se para uma determinada

situação se atinge primeiro a capacidade resistente ao esforço transverso a possibilidade

de redistribuição de esforços é praticamente nula e a aplicação do teorema estático deixa

de ser válida.

Considerando as formulações para determinar a resistência ao esforço transverso e a

resistência à flexão é possível para diferentes casos de lajes avaliar as situações em que

é previsível ocorrer primeiro a rotura por esforço transverso.


100

Nas figuras seguintes ilustram-se estas situações para lajes com percentagens de

armadura entre 0.5% e 1.2% para um betão corrente C30/37 e aço A500 considerando os

três sistemas estáticos básicos.

Nos gráficos apresenta-se a relação MV/MF em função do relação l/d, em que:

MV – momento correspondente à rotura por esforço transverso;

MF – momento correspondente à rotura por flexão;

l – vão da laje;

d – altura útil.

Como de pode verificar se a relação l/d é baixa ocorre primeiro a rotura por esforço

transverso (razão MV/MF inferior a um). Verifica-se que à medida que aumenta a

quantidade de armadura maior será o valor de l/d abaixo do qual ocorrem roturas por

esforço transverso.

Interessa, assim, na concepção destes elementos evitar, na medida do possível, as

relações l/d que configurem roturas prematuras por esforço transverso. Caso não seja

viável esta opção então será prudente proceder-se ao dimensionamento com base nos

esforços elásticos.

Importa, no entanto, ter presente que no caso de se recorrer a tabelas de esforços

elásticos para o dimensionamento das lajes, a situação acima indicada também se coloca

pois, como referido anteriormente, a este tipo de dimensionamento está também

associada a redistribuição de esforços.


101

Relação MV/MF em função de l/d para diferentes níveis de armadura

2.8. PRÉ-DIMENSIONAMENTO

Para sobrecargas correntes em edifícios (sc 5 kN/m2), a espessura das lajes armadas

em duas direcções pode ser determinada a partir da seguinte relação:

h L

25 a 35

Esta expressão tem por base o controlo indirecto da deformação e o nível de esforços na

laje.

Indicações mais detalhadas em relação ao valor de L/h podem ser vistas no Quadro 7.4N

do EC2.


102

2.9. PORMENORIZAÇÃO DE ARMADURAS

2.9.1. Disposição de armaduras

Armadura colocada segundo a direcção do maior momento

2.9.2. Exemplos da disposição das armaduras principais e de distribuição

Ver Folhas da Cadeira, Volume I – Capítulo II, páginas 37 a 43.

2.10. DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS EM LAJES

Ver Folhas da Cadeira, Volume I – Capítulo II, página 35.


103

EXERCÍCIO L2

O painel de lajes vigadas, representado na figura, apresenta uma espessura igual a

0.15 m e encontra-se submetido às seguintes acções:

- peso próprio;



6.00 6.00

5.00

5.00

Dimensione e pormenorize as armaduras das lajes do piso recorrendo ao método das

bandas.

Adopte para materiais betão C25/30 e aço A400NR.


104

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L2

1. Cálculo das acções

Peso próprio pp = betão h = 25 0.15 = 3.8 kN/m2

Revestimentos rev = 1.5 kN/m2

Sobrecarga sc = 4.0 kN/m2

psd = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 ( )3.8 + 1.5 + 4.0 = 13.9 kN/m2


Lmaior Lmenor

= 6 5

= 1.2 2 Laje armada nas duas direcções

6.00

5.00

0.7q

0.3q

x

y

(0.3 62 = 10.8 0.7 5

2 = 17.5)

3. Cálculo dos esforços

(i) Direcção x

6.00

3pL/8 5pL/8

0.3 x 13.9 = 4.2 kN/m2

DMF

[kNm/m]

DEV

[kN/m](+)

(-)

(-)

(+)

9.5

15.8

10.6

18.9


105

(ii) Direcção y

0.7 x 13.9 = 9.7 kN/m

5.00

18.2

(+)

DMF

[kNm/m]

DEV

[kN/m]

17.1

(+)

3pL/8

30.3

30.3

(-)

(-)

2

5pL/8

4. Cálculo das armaduras

Armaduras principais (d = 0.12 m)

Direcção Msd

[kNm/m]

As

[cm2/m]

Armadura adoptada

x -18.9 0.079 0.083 4.81

10.6 0.044 0.046 2.65

y -30.3 0.126 0.138 7.96

17.1 0.071 0.075 4.33

Armadura mínima


bt d = 0.26 2.6 400

0.12 104 = 2.03 cm2/m

Esta armadura deve ser colocada em todas as zonas (e direcções) onde a laje possa

estar traccionada.

Armaduras de distribuição

Armadura inferior: não é necessária

Armadura superior: As,d- = 0.20 7.96 = 1.59 cm2/m (direcção y)

As,d- = 0.20 4.81 = 0.9 cm2/m (direcção x)


106


As,apoio

–


+

= 2.03 cm2/m

(i) Direcção x

0.25 As,vão

+

= 0.25 2.65 = 0.66 cm2/m

(ii) Direcção y

0.25 As,vão

+

= 0.25 4.33 = 1.08 cm2/m

5. Verificação da segurança ao E.L.U. de esforço transverso

VRd,c = CRd,c k (100 1 fck)1/3 bw d =

0.18 1.5

2.0 (100 0.007 25)1/3 1000 120 10-3 = =

74.8 kN

K = 1 + 200d

= 1 + 200120

= 2.29 ≥ 2.0 k = 2.0

1 = AsL

bw d =

7.96 10-4 0.17

= 0.007

VRd,c ≥ 0.035 k3/2 fck1/2 bw d = 0.035 2.03/2 251/2 1000 120 10-3 = 59.4 kN

Dado que Vsd,máx = 30.3 kN/m, está verificada a segurança ao E.L.U. de esforço

transverso.


107

2.11. ARMADURAS DE CANTO

Considere-se um painel de laje apoiado no contorno. Se não estiver impedido o

levantamento da laje, e o referido painel for solicitado por uma carga no seu interior,

conforme indicado, os cantos terão tendência a levantar.

P

R0

R0 R0

R0

Como, nas situações usuais, o deslocamento dos cantos está impedido (por vigas ou

paredes), surgem forças de reacção (R0), associadas a momentos torsores nas direcções

dos bordos.

A acção deste esforço produz uma superfície torsa “tipo sela de cavalo”, com curvatura

nas duas direcções, de sinais contrários.

Na figura seguinte apresenta-se a deformação de um canto de uma laje apoiada no

contorno (com deslocamentos verticais impedidos em dois dos bordos e rotação livre). A

acção da reacção de canto produz uma curvatura negativa segundo a direcção AA’,

enquanto o carregamento distribuído vertical provoca uma curvatura positiva segundo a

direcção BB’.

A B'

B

A'


108

Este efeito é equivalente à aplicação de momentos flectores segundo as direcções

principais de inércia do elemento (as quais fazem um ângulo de 45 com a direcção do

momento torsor), um positivo e outro negativo, de igual valor.

Mxy'

Mxy'

Mxy'

Mxy'

My Mx

MyMxx y

x, y - direcções principais

Mxy'

Mxy'

M ij

M ii

MxMy

|Mxy'| = |Mx| = |My|

Este comportamento provoca fendilhação nas faces superior e inferior das lajes, junto aos

cantos, conforme se ilustra na figura seguinte.

M+

M -

a) Face inferior da laje b) Face superior da laje

Para absorver as tracções e controlar a fendilhação, é necessário adoptar armadura

específica para este efeito, junto às duas faces da laje (armadura de canto), segundo a

direcção das tensões de tracção ou, simplesmente, uma malha ortogonal.

Importa referir que no caso do dimensionamento das lajes com base em métodos

plásticos, como o método das bandas, os momentos flectores atrás referidos não são

necessários ao equilíbrio das cargas pelo que podem ser desprezados na verificação da

segurança aos estados limites últimos. Todavia, é conveniente dispor-se de uma

armadura nestas zonas para efeito do controlo da fendilhação em serviço.

2.12. SISTEMAS DE PAINÉIS CONTÍNUOS DE LAJES – COMPATIBILIZAÇÃO DE ESFORÇOS NOS

APOIOS DE CONTINUIDADE

Considerem-se dois painéis de laje adjacentes com vãos diferentes, LA e LB, na direcção

x.


109

ABM

A

LA

B

LB

Se o método utilizado para a análise de sistemas de lajes contínuas consistir na análise

isolada de cada painel, obtêm-se momentos diferentes MA e MB, no bordo de

continuidade, conforme ilustrado na figura abaixo.

A B

DMF MAMB

MA MB

Dado que a rigidez de torção da viga não é significativa, o momento MAB terá que ser o

mesmo, à esquerda e à direita. O momento MAB será intermédio entre MA e MB e

dependente da rigidez dos painéis adjacentes:

MAB = B MA + A MB

com,

A = KA

KA + KB

1/LA 1/LA + 1/LB

e B = KB

KB + KA

1/LB 1/LB + 1/LA

Simplificadamente, poderá considerar-se

MAB = máx

MA + MB 2

0.8 máx (MA, MB)


110

Refere-se que não é necessária grande precisão no cálculo do momento MAB pois é

sempre possível explorar a redistribuição de esforços nas lajes. No entanto, a satisfação

do equilíbrio é essencial.

Obtém-se então o seguinte diagrama de momentos flectores final

DMF

MB

MA

MAB

M/2

M

É de referir que no tramo onde se diminui o momento negativo é necessário, por

equilíbrio, aumentar o momento positivo.

2.13. ALTERNÂNCIA DE SOBRECARGAS

Conforme se referiu anteriormente, para o cálculo dos esforços em sistemas contínuos de

lajes, pode proceder-se à análise isolada de cada painel. Todavia, é necessário

considerar no dimensionamento a possibilidade da sobrecarga poder actuar em zonas

distintas da laje dado que estes casos conduzem a distribuições de esforços diferentes

dos actuantes na situação em que todos os painéis são solicitados pela sobrecarga.

Trata-se de um problema semelhante ao que ocorre nas vigas e que foi abordado na

disciplina de Estruturas de Betão I.

Nos casos correntes não é necessário proceder-se à determinação da envolvente de

esforços associada às várias hipóteses de actuação da sobrecarga e dimensionar a laje

para os esforços máximos dessa envolvente. Refere-se que este tipo de

dimensionamento não é económico pois não tira partido da capacidade de redistribuição

de esforços das lajes, a qual está normalmente assegurada.

Em geral, é suficiente ter-se em atenção os efeitos que a alternância de sobrecargas tem

no andamento dos diagramas de esforços os quais se vão repercutir essencialmente em

alguns cuidados adicionais na definição da secção de dispensa das armaduras.

Recorrendo a uma análise plástica facilmente se percebe que o momento global máximo

a equilibrar em cada painel de laje é igual qualquer que seja o carregamento dos painéis

adjacentes. As únicas questões que se podem colocar, e que devem ser analisadas caso

a caso, são relativas ao comportamento em serviço e à definição das secções de

dispensa de armaduras anteriormente referidas.

Quanto maior for a amplitude de variação do diagrama de momentos actuante maior será

o cuidado a ter na análise dos aspectos acima definidos. Essa amplitude de variação é


111

traduzida pelo valor da relação entre a sobrecarga e a carga permanente. Quanto maior

for este valor maior será a variação do diagrama de momentos e, por conseguinte,

maiores serão os cuidados necessários na pormenorização das armaduras.

Importa, no entanto, referir que para os casos correntes de edifícios de habitação e de

serviços em que as sobrecargas actuantes são moderadas, os efeitos da alternância de

sobrecargas no dimensionamento não são relevantes.

Para ilustrar estes aspectos considere-se o exemplo de uma laje constituída por dois

painéis armados em uma direcção. Analisa-se uma faixa de laje com 1m de largura.

Acções: pp = 5 kN/m2; rcp = 2 kN/m2; sc = 5 kN/m2

Os possíveis casos de carga actuantes na laje são os seguintes:

sc

cp 1

sc

cp 2

sc

cp 3

5.0 5.0

e = 0.20

m

1.

0


112

Representam-se os diagramas de momentos relativos aos vários casos de carga

Diagrama envolvente dos momentos

Explorando a redistribuição de esforços é possível evitar o dimensionamento para o

diagrama envolvente. É suficiente realizar o dimensionamento para um diagrama de

momentos equilibrado considerando a totalidade das cargas actuando nos dois tramos e

ter em atenção a definição das secções de dispensa de armaduras conforme se explica a

seguir.

Considerando para efeito do dimensionamento um diagrama de momentos intermédio

adoptando, por exemplo, o momento no apoio igual a pl2/10 tem-se:

Este diagrama corresponde a uma redistribuição de momentos do apoio para o vão de

20%, valor que é aceitável.

1

2

3


113

Haverá que ter em atenção a dispensa das armaduras superiores de modo a contemplar

os casos de carga 2 e 3. O diagrama envolvente contemplando os vários casos de carga

é o seguinte

Por exemplo, para o caso de carga 2 ter-se-ia:

Verifica-se que o problema da dispensa das armaduras superiores surge no vão

adjacente ao da actuação da sobrecarga. Esta situação de carga leva a que, em geral, a

dispensa de armaduras não possa ser realizada a ¼ do vão, como nos casos correntes, e

a armadura tenha de ser prolongada mais um pouco.

No entanto, caso se adopte uma malha de armadura mínima superior, como é

conveniente, poderá em geral realizar-se a dispensa de armadura também a ¼ de vão.

No exemplo em causa o momento resistente conferido pela armadura mínima é cerca de

19 kNm/m o que permite efectivamente fazer a dispensa das armaduras superiores a ¼

de vão.


114

EXERCÍCIO L3



- peso próprio;



6.00

6.00

4.00

6.00

Dimensione as armaduras das lajes do piso, adoptando para materiais o betão C25/30 e

a armadura A400NR, das seguintes formas:

a) recorrendo a tabelas, para o cálculo dos esforços elásticos.

b) pelo método das bandas.

c) Pormenorize de acordo com os resultados obtidos na alínea a).


115


Alínea a)





psd = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 ( )3.8 + 1.5 + 4.0 = 13.9 kN/m2

2. Painéis a calcular

Painel 1

6.00

4.00

Lmaior Lmenor

= 6 4

= 1.5 2

Laje armada nas duas direcções

Painel 2

6.00

6.00

Lmaior Lmenor

= 6 6

= 1.0 2

Laje armada nas duas direcções


116

3. Cálculo dos esforços de dimensionamento

3.1.Esforços elásticos

Painel 1

a = 6.0

b = 4.0

x

y

Mys

Mxs Mxvmin

minMyv

= a b

= 6 4

= 1.5

p a2 = 13.9 62 = 500.4 kN

p b2 = 13.9 42 = 222.4 kN

Mxs = 0.01 500.4 = 5.0 kNm/m

Mxvmin = -0.0358 500.4 = -17.9 kNm/m

Mys = 0.0473 222.4 = 10.5 kNm/m

Myvmin = -0.1041 222.4 = -23.2 kNm/m

Painel 2

y

x

Myvmin

minMxvMxs

Mys

a = 6.0

b = 6.0

= a b

= 6 6

= 1.0

p a2 = p b2 = 500.4 kN

Mxs = Mys = 0.0269 500.4 = 13.5 kNm/m

Mxvmin = Myv

min = -0.0699 500.4 = -35.0 kNm/m


117

3.2. Compatibilização de esforços no bordo de continuidade

M-y, painel 1 + M

-y, painel 2

2 =

35 + 23.2 2

= 29.1 kNm/m

My- 0.8 máx { } M

-y, painel 1 , M

-y, painel 2 = 0.8 35 = 28.0 kNm/m My

- = 29.1 kNm/m

DMF

M/2

M

Painel 1 – diagrama sobe (pode optar-se por não alterar M+)

Painel 2 – diagrama desce (é necessário calcular M+)

M 2

= 35 - 29.1

2 = 3.0 kNm/m

3.3. Esforços finais

10.5

5.0 17.9

29.1

13.5

16.5

35.0


Painel 1

Direcção Msd

[kNm/m]

As

[cm2/m]

Armadura adoptada

x -17.9 0.074 0.079 4.54

5.0 0.021 0.022 1.25

y -29.1 0.121 0.132 7.61

10.5 0.044 0.046 2.63


118

Armadura mínima


bt d = 0.26 2.6 400

0.12 104 = 2.03 cm2/m



Armadura superior: Ad,x- = 0.20 4.54 = 0.91 cm2/m

Ad,y- = 0.20 7.61 = 1.52 cm2/m


As,apoio

–


+

= 2.03 cm2/m

Armadura de canto

As,canto = As, máx+ = 2.63 cm2/m

Painel 2

Direcção Msd

[kNm/m]

As

[cm2/m]

Armadura adoptada

x -35.0 0.146 0.162 9.31

13.5 0.056 0.059 3.38

y -29.1 0.121 0.132 7.61

16.5 0.069 0.072 4.17



Armadura superior: Ad,x- = 0.20 9.31 = 1.86 cm2/m

Ad,y- = 0.20 7.61 = 1.52 cm2/m


As,apoio

–


+

= 2.03 cm2/m

(i) Direcção x

0.25 As,vão

+

= 0.25 3.38 = 0.85 cm2/m

(ii) Direcção y

0.25 As,vão

+

= 0.25 4.17 = 1.04 cm2/m


119

Armadura de canto

As,canto = As, máx+ = 4.17 cm2/m

Alínea b)


Painel 1

y

x

0.8q

0.2q

Painel 2

0.5q

0.5q

x

y

2. Cálculo dos esforços de dimensionamento

Painel 1

(i) Direcção x

6.00

3pL/8 5pL/8

0.2 x 13.9 = 2.8 kN/m2

DMF

[kNm/m]

DEV

[kN/m](+)

(-)

(-)

(+)

6.3

10.4

7.0

12.5


120

(ii) Direcção y

4.00

DEV

[kN/m]

DMF

[kNm/m]

/85pL

(+)

12.5

(+)

27.8

/83pL

(-)

(-)

16.722.2

20.8 x 13.9 = 11.1 kN/m

Painel 2

(i) Direcções x e y

17.7

(+)

DMF

[kNm/m]

DEV

[kN/m](+)

15.8

(-)

(-)

26.3

31.5

6.00

3pL/8

2

5pL/8

0.5 x 13.9 = 7.0 kN/m

2.1. Compatibilização de esforços no bordo de continuidade

M-y, painel 1 + M

-y, painel 2

2 =

31.5 + 22.2 2

= 26.8 kNm/m

My- 0.8 máx { } M

-y, painel 1 , M

-y, painel 2 = 0.8 31.5 = 25.2 kNm/m My

- = 26.8 kNm/m


121

DMF

M/2

M

Painel 1 – diagrama sobe (pode optar-se por não alterar M+)

Painel 2 – diagrama desce (é necessário calcular M+)

M 2

= 31.5 - 26.8

2 = 2.4 kNm/m

2.2. Esforços finais

12.5

31.5

20.1

17.7

26.8

12.5

7.0


122

2.14. COMPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DOS MODELOS ELÁSTICO E PLÁSTICO

1º Caso: LAJE QUADRADA, SIMPLESMENTE APOIADA NO CONTORNO

Modelo elástico

M+ = 0.0368pL2 ( = 0)

M+ = 0.0423pL2 ( = 0.15)

Modelo plástico

M+ =

P L2

16 = 0.0625PL2

Mplástico Melástico

=

1.7 ( = 0)

1.5 ( = 0.15)

2º Caso: LAJE QUADRADA, ENCASTRADA NO CONTORNO

Modelo elástico

M- = 0.0515pL2

M+ = 0.0176pL2

0.0691pL2

Modelo plástico

M- =

P L2

24 = 0.0417PL2

M+ = p L2

48 = 0.0208pL2

(pL2/ 16) 0.0625pL2

Melástico Mplástico

= 0.0691 0.0625

= 1.11

Conclusões:

Conforme se pode observar no 1º caso, o momento positivo obtido através do modelo

plástico é significativamente superior ao obtido pelo modelo elástico, devido ao facto de,

no primeiro, o equilíbrio da laje ser feito apenas por momentos flectores nas duas

direcções ortogonais, enquanto no segundo também existe momento torsor;

Relativamente ao 2º caso, embora os momentos positivos sejam maiores no modelo

plástico, pela razão anteriormente referida, os momentos negativos obtidos através do

modelo elástico são maiores. Esta situação deve-se ao facto do momento elástico

negativo não ser constante ao longo do bordo da laje e as tabelas fornecerem o valor

de pico, enquanto o modelo plástico considera que este é constante ao longo do bordo.

Este facto também se pode observar através da soma dos momentos positivo e

negativo que, no modelo elástico não corresponde a pL2/ 16.


123

EXERCÍCIO L4



- peso próprio;



6.00

5.00

5.00

6.00


bandas.



124






psd = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 ( )5.0 + 1.5 + 4.0 = 15.8 kN/m2


6.00

5.00 0.3p

0.7pp

C B

A

Banda A

5.25

R

0.3 p

Banda B

5.00

0.7 p

Banda C

5.00

p + R/1.5

3. Determinação dos esforços

Banda psd [kN/m2] Msd

+ [kNm/m] Msd

- [kNm/m] R [kN/m]

A 0.3 15.8 = 4.7 9.1 -16.3 9.3

B 0.7 15.8 = 11.1 19.5 -34.7 -

C 15.8 + 9.3 / 1.5 = 22.0 38.7 -68.8 -


125

4. Cálculo das armaduras (d = 0.165 m)

Banda Msd [kNm/m] As [cm2/m] Armadura adoptada

A 9.1 0.020 0.021 1.66

-16.3 0.036 0.037 2.96

B 19.5 0.043 0.045 3.55

-34.7 0.076 0.081 6.41

C 38.7 0.085 0.091 7.18

-68.8 0.151 0.169 13.35

Armadura mínima


bt d = 0.26 2.6 400

0.165 104 = 2.79 cm2/m



Armadura superior: Ad,A- = 0.20 2.96 = 0.59 cm2/m

Ad,B- = 0.20 6.41 = 1.28 cm2/m

Ad,C- = 0.20 13.35 = 2.67 cm2/m


As,apoio

–


+

= 2.79 cm2/m

Armadura de canto

As,canto = As,min = 2.79 cm2/m


126

EXERCÍCIO L5



- peso próprio;


- paredes divisórias: 1.5 kN/m2


5.005.001.50 2.00

4.00

4.00


bandas.



127

EXERCÍCIO L6

Considere a laje representada na figura, bem como as armaduras que se encontram

indicadas e que constituem a sua armadura principal.

7,00 4,00

1,001,00

8//0.10

4,0

0

7,00

6//0.20

Planta superior

Planta inferior

6//0.20

4,0

0

6//0.20

4,00

0,80,8

10

//0

.12

5

8//0

.15

Considerando que a laje tem uma espessura de 0.13 m e que é constituída por um betão

C20/25 e que as armaduras são em A400, determine a máxima sobrecarga que pode

actuar na laje, por forma a que esteja verificada a segurança ao estado limite último de

flexão.

Considere que a restante carga permanente é de 2.0 kN/m2.


128


1. Cálculo dos momentos resistentes (d = 0.10 m)

Painel Direcção face Armadura

existente

As

[cm2/m]

MRd

[kNm/m]

1 x

superior 8//0.10 5.03 0.132 0.121 16.1

inferior 6//0.10 2.83 0.074 0.070 9.3

y inferior 10//0.125 6.28 0.164 0.148 19.7

2 x

superior 8//0.10 5.03 0.132 0.121 16.1

inferior 6//0.10 2.83 0.074 0.070 9.3

y inferior 8//0.15 3.35 0.087 0.082 10.9

2. Determinação da carga solicitante máxima

Painel 1

(i) Direcção x

DMF

MRd

MRd

+

-

pl /82

MRd-

2 + MRd

+ = p1,x L2

8

16.1 2

+ 9.3 = p1,x 72

8 p1,x = 2.8 kN/m2

(ii) Direcção y

MRd+ =

p1,y L2 8

19.7 = p1,y 42

8 p1,y = 9.9 kN/m2

psd,1 = p1,x + p1,y = 12.7 kN/m2

Painel 2

(i) Direcção x

MRd-

2 + MRd

+ = p2,x L2

8

16.1 2

+ 9.3 = p2,x 42

8 p2,x = 12.7 kN/m2

(ii) Direcção y

MRd+ =

p1,y L2 8

10.9 = p2,y 42

8 p2,y = 5.5 kN/m2


129

psd,2 = p2,x + p2,y = 18.2 kN/m2

psd = min (psd,1; psd,2) = 12.7 kN/m2

3. Determinação da máxima sobrecarga que pode actuar na laje

psd = 1.5 (cp + sc) = 12.7 kN/m2



psd = 1.5 (3.3 + 2.0 + sc) = 12.7 kN/m2 scmáx = 3.2 kN/m2


130

2.15. ABERTURAS EM LAJES

Quando as dimensões das aberturas não excederem determinados limites, podem

adoptar-se regras simplificadas para a pormenorização das zonas próximas das

aberturas.

(i) Laje armada numa direcção

L2

b

L1

Limites máximos:

b < L1 5

b < L2 4

(para uma abertura isolada)

(ii) Laje armada em duas direcções

b2

b1

L1

L2

Limite máximo:

máx (b1, b2) min (L1, L2)

5

Se estes limites não forem excedidos, o dimensionamento das lajes pode ser efectuado

admitindo que não existem aberturas. As armaduras que forem interrompidas na zona da

abertura deverão ser colocadas como se indica em seguida.


131

(i) Lajes armadas numa direcção

As As/2

armadura principal de reforço

prolongada até aos apoios;

reforçar armadura de distribuição

junto ao bordo.

(ii) Lajes armadas em duas direcções

Asx

Asy

Asx/2

Asy/2

ax

ay

by

bx

ay = bx 2

+ lb,d

ax = by 2

+ lb,d

Em aberturas de dimensões relativamente grandes (superiores a 0.5m), é conveniente

dispor uma armadura suplementar junto aos cantos, segundo a diagonal, para controlar

uma eventual fendilhação.


132

Quando os limites atrás referidos são excedidos, as zonas adjacentes às aberturas

poderão ser analisadas pelo método das bandas.

R R

ou

R2 R2

R1

p

R1

R1 R2

R2


133

2.16. DISCUSSÃO DO MODELO DE CÁLCULO DE LAJES COM GEOMETRIAS DIVERSAS

1)

8.30 2.70

4.2

02.3

0

2) 4.0

0

1.501.50 6.00

3)

6.00

4.0

0

4.00


134

4)

2.50 5.00 2.50

1.5

04.0

01.5

0

5)

2.301.85

2.3

01.5

01.5

0

1.85

6)

5.00

4.0

01

.50

1.50


135

7)

8)

15.00

15.0

0

5.0

0

5.00


136

9)

6.0

0

10)

6.0

0

2.50

3.0

0

4.00

11)


137

2.17. PORMENORIZAÇÃO COM MALHAS ELECTROSSOLDADAS

2.17.1. Representação gráfica das malhas

Empalme das armaduras

ls

ls

Sobreposição tipo

2.17.2. Exemplo de aplicação de malhas electrossoldadas

Armaduras superiores


138


139

Armaduras inferiores

Colocação das malhas


140

2.18. LAJES FUNGIFORMES

Definição: Lajes apoiadas directamente em pilares

2.18.1. Vantagens da utilização de lajes fungiformes

Menor espessura menor altura do edifício

Tectos planos instalação de condutas mais fácil

Facilidade de colocação de divisórias

Simplicidade de execução menor custo

2.18.2. Problemas resultantes da utilização de lajes fungiformes

(muitas vezes associadas ao facto dos apoios terem dimensões reduzidas)

Concentração de esforços nos apoio

Flexão

Punçoamento

Concentração de deformações nos apoios e deformabilidade em geral

Maior deformabilidade para as acções horizontais

Comportamento sísmico

A laje fungiforme é calculada quer para as acções verticais, quer para as acções

horizontais.

2.18.3. Tipos de lajes fungiformes

Maciças

Aligeiradas

com moldes recuperáveis ou embebidos

com ou sem capitel (ou espessamento)


141

2.18.4. Principais características do comportamento para acções verticais

LxLx

Ly

Ly

Faixas mais rígidas

Ly < Lx

As cargas encaminham-se para as zonas mais rígidas

As lajes fungiformes funcionam predominantemente na maior direcção.

2.18.5. Análise qualitativa do cálculo de esforços numa laje fungiforme

Considere-se o modelo de cálculo para a laje fungiforme que se ilustra na figura seguinte:

1

2

2

q

Lx34

q

4

34 4

1

2

2

Ly

qSecção 1-1

Rx Rx

Secção 2-2

Lx

Ry

Secção 3-3

Ry Ry

(1 - q

RxSecção 4-4

Ly

com


142

Rx = q Lx 2

e Ry = (1 – ) q Ly 2

No quadro seguinte apresenta-se a parcela de carga transmitida em cada direcção nas

zonas do vão, das bandas entre pilares e na totalidade da laje (soma da parcela

transmitida na zona do vão com a da zona das bandas).

Direcção x Direcção y

Vão q Ly (1 - ) q Lx

Bandas 2 (1 - ) q Ly/2 2 q Lx/2

Total q Ly q Lx

Como se pode observar, numa laje fungiforme é necessário equilibrar a totalidade da

carga em cada uma das direcções.

2.18.6. Concepção e pré-dimensionamento de lajes fungiformes

Para sobrecargas correntes em edifícios (sc 5 kN/m2), a espessura das lajes

fungiformes pode ser determinada a partir das seguintes relações:

Lajes maciças: h = Lmaior

25 a 30 ( + < 0.18 ; - < 0.30)

Lajes aligeiradas: h = Lmaior

20 a 25

Estas expressões têm por base o controlo indirecto da deformação e o nível de esforços

na laje (nomeadamente no que se refere ao punçoamento e flexão).

No quadro seguinte apresenta-se quer a gama de vãos em que se utiliza cada um dos

tipos de lajes fungiformes, quer as espessuras adoptadas em cada situação.

Laje fungiforme tipo Esbelteza

(L / h)

h [m]

L [m]

4 5 6 7 8 9 10 12 20

Laje maciça 25 a 30 0.15 | 0.20 0.25

Laje maciça com capitel 35 a 40 0.15 | 0.20 0.25

Laje aligeirada 20 a 25 0.225 | 0.25 0.30 0.35

Laje aligeirada com capitel 25 a 30 0.225 | 0.25 0.30 0.35

Laje maciça pré-esforçada 40 0.20 0.25 0.30

Laje aligeirada pré-esforçada 35 0.225 0.25 0.30 0.35 0.60


143

2.18.7. Modelos de análise de lajes fungiformes

2.18.8. Método dos Pórticos Equivalentes (EC2 - Anexo I)

O método dos pórticos equivalentes é um método de dimensionamento de lajes

fungiformes que se baseia no teorema estático e que pode ser aplicado em situações em

que a distribuição dos pilares não apresenta grandes irregularidades.

Processo simplificado para a determinação dos esforços actuantes nas lajes

fungiformes

Pode considerar-se o efeito das acções horizontais e verticais.

1) Considerar a estrutura, constituída pela laje e pelos pilares de apoio, dividida em dois

conjuntos independentes de pórticos em direcções ortogonais;

L1

L1

L1 /2

L2 L2

L2 /2 L2 /2 L2 /2 L2 /2

L1 /2

L1 /2

L1 /2

2) As cargas actuantes em cada pórtico correspondem à largura das suas travessas (não

se considera qualquer repartição de cargas entre pórticos ortogonais);

L2

psd x L1

L2

(pórtico na direcção x)

3) Após a determinação dos momentos flectores, estes devem ser distribuídos nas faixas

central e lateral, de acordo com as seguintes regras:


144

Momentos flectores Faixa central da

travessa

Faixas laterais da

travessa

Momentos positivos 55% (50 – 70%) 45% (50 – 30%)

Momentos negativos 75% (60 – 80%) 25% (40 – 20%)

min(L1;L2) /4

min(L1;L2) /4

FAIXA LATERAL

FAIXA LATERAL

FAIXA CENTRAL

Esta repartição tem em consideração, de forma simplificada, a distribuição real dos

esforços.

Nota: Para a análise às acções horizontais utiliza-se apenas 40% da largura da travessa

(40% da rigidez), por forma a reduzir os momentos flectores transmitidos entre a laje e o

pilar (modelo mais realista).


145

EXERCÍCIO L7

Considere a laje fungiforme representada na figura.

6.00 6.00

5.00

5.00

0.50

0.50

0.30

0.30

h = 0.25 m

Dimensione e pormenorize as armaduras da laje recorrendo ao método dos pórticos

equivalentes. Adopte para materiais betão C25/30 e aço A400NR.

(acções: rcp = 2.0 kN/m2; sobrecarga = 4.0 kN/m2)


146


(i) Direcção x

1. Divisão em pórticos

6.006.00

5.00

5.00

2.50

2.50

5.00

Pórt

ico Inte

rmédio

Pórt

ico L

ate

ral

Pórt

ico L

ate

ral


psd x Lpórtico

6.00 6.00

DMF

[kNm]

(+)

(-)

pl /82

(+)

pl /14.22

pl /14.22

3. Cálculo dos momentos de dimensionamento

Pórtico Lpórtico [m] psd [kN/m] Msd+ [kNm] Msd

- [kNm]

Lateral 2.50 46.0 116.7 207.0

Intermédio 5.00 92.0 233.3 414.0


147

4. Distribuição de momentos

Pórtico Sinal Faixa Lfaixa

[m]

Coef.

repartição

Msd

[kNm]

Msd

[kNm/m]

Lateral

M+

(116.7)

Central 1.25 0.55 64.2 51.3

Lateral 1.25 0.45 52.5 41.9

M-

(-207.0)

Central 1.25 0.75 -155.3 -124.2

Lateral 1.25 0.25 -51.8 -41.4

Intermédio

M+

(233.3)

Central 2.50 0.55 128.3 51.3

Laterais 2.50 0.45 104.9 41.9

M-

(-414.0)

Central 2.50 0.75 -310.5 -124.2

Laterais 2.50 0.25 -103.5 -41.4


Faixa Sinal Msd

[kNm/m]

Armadura

cm2/m

Central M

+ 51.3 0.063 0.067 7.05

M- -124.2 0.154 0.171 18.09

Lateral M

+ 41.9 0.052 0.054 5.70

M- -41.4 0.051 0.053 5.63


148

2.18.9. Modelo de grelha

Vantagens

Permite obter directamente o valor dos esforços por nó

Desvantagens

Apenas permite a análise para cargas verticais

É difícil conseguir uma boa simulação da rigidez de torção da laje

(i) Discretização

d1 d2

Lx

A

Ly

Secção transversal da barra A

b = d1/2 + d2/2

h laje

(ii) Simulação da rigidez de torção da laje

Em geral, para que não surjam momentos torsores nas barras (equilíbrio apenas com

momentos flectores), atribui-se às barras rigidez de torção nula (GJ = 0). Como

consequência, o modelo é mais flexível o que leva à obtenção de maiores deslocamentos

verticais do que os que na realidade se verificam.

Caso se pretenda simular mais aproximadamente a deformabilidade da laje, deverá

atribuir-se às barras, uma inércia de torção J = bh3

6

bh3

6 =

1 2

bh3

3


149

(iii) Obtenção dos momentos flectores

Mx

My My

Mx

mx = My / b e my = Mx /b

2.18.10. Modelos de elementos finitos de laje

Este tipo de modelos permite:

i) Análise do sistema global com a consideração das acções horizontais e da

interacção laje – pilares

ii) Análise do pavimento, sendo o efeito dos pilares tido em conta nas condições

de fronteira

Vantagem

Melhor simulação da deformabilidade da laje, relativamente aos modelos

de grelha

Desvantagem

Os esforços são fornecidos por nó e por elemento, ou seja, num mesmo

nó existem diferentes valores dos esforços por elemento (os elementos

finitos de laje são compatíveis em termos de deslocamentos, mas não de

esforços) é necessário fazer a média dos vários momentos no mesmo

nó

(i) Discretização

a

Lx

Ly

b


151

EXERCÍCIO L8

Para a laje fungiforme do Exercício L7, considere o seguinte modelo de elementos finitos:

1 2 3 5 64

151413 181716

272625 302928

393837 424140

515049 545352

636261 666564

654321 7

14 15 16 17 18 19 20

27 28 29 30 31 32 33

40 41 42 43 44 45 46

53 54 55 56 57 58 59

66 67 68 69 70 71 72

79 80 81 82 83 84 85

0.75 0.75 1.50 1.50 0.750.75

0.7

50.7

51.0

01.0

00.7

50.7

5

Foram admitidas as seguintes hipóteses de cálculo:

- Elementos finitos de laje com 0.25 m de espessura;

- laje simplesmente apoiada nos pilares (sem transmissão de momentos);

- acções: rcp = 2.0 kN/m2; sobrecarga = 4.0 kN/m2.

Os valores dos esforços obtidos nos nós, apresentam-se no quadro da página seguinte.

a) Verifique a qualidade dos resultados obtidos.

b) Dimensione as armaduras de flexão. Adopte para materiais B30 e A400NR.

c) Execute a pormenorização (planta e cortes)


152

Nó mxx [kNm/m] myy [kNm/m] mxy [kNm/m] vxz [kN/m] vyz [kN/m] Reacções[kN]

1 -1,3 -1,4 31,4 -42,9 -40,7 88,4

2 35,2 0,5 24,3 -31,2 -22,3

3 50,2 0,1 11,9 -10,8 -17,0

4 52,5 0,2 -4,8 10,2 -15,1

5 16,3 0,2 -22,0 33,8 -19,9

6 -17,1 1,4 -34,7 119,1 -41,0

7 -168,1 -3,5 0,0 0,0 -82,8 254,5

14 0,5 32,8 23,3 -26,7 -27,2

15 26,0 22,0 18,4 -22,2 -18,2

16 42,8 17,6 9,7 -9,1 -13,8

17 45,1 15,6 -3,5 10,0 -11,6

18 9,2 20,0 -16,9 32,4 -17,9

19 -31,5 26,4 -22,1 32,9 -34,7

20 -57,1 43,3 0,0 0,0 -47,4

27 0,0 44,0 9,7 -22,3 -7,2

28 22,6 35,0 8,2 -18,9 -7,1

29 38,4 28,3 4,9 -7,9 -5,3

30 40,6 24,7 -1,1 9,7 -3,4

31 4,4 33,7 -7,5 22,5 -7,4

32 -20,4 43,3 -7,5 16,9 -13,0

33 -30,8 46,3 0,0 0,0 -4,8

40 0,2 44,6 -5,4 -21,7 8,2

41 21,9 35,4 -4,5 -18,4 7,4

42 37,5 28,7 -2,4 -7,6 6,1

43 39,7 23,8 2,1 10,6 5,8

44 1,7 33,1 4,9 20,6 13,1

45 -19,0 39,8 3,7 14,2 16,2

46 -27,8 42,9 0,0 0,0 17,3

53 0,1 25,9 -20,3 -24,1 26,9

54 23,8 18,4 -16,4 -22,8 26,4

55 42,4 13,3 -8,7 -11,5 14,6

56 45,6 10,4 3,8 13,7 8,9

57 0,8 7,3 15,3 35,9 30,9

58 -35,6 14,7 15,0 28,4 55,9

59 -51,3 16,2 0,0 0,0 44,9

66 1,4 -1,6 -33,1 -44,0 112,0

67 29,1 -16,2 -21,5 -39,0 28,3

68 50,0 -3,9 -8,3 -17,7 11,4

69 50,1 0,8 2,8 15,5 5,5

70 7,9 -23,4 14,9 60,2 24,2

71 -53,6 -42,3 26,0 77,8 73,8

72 -103,3 -13,9 0,0 0,0 185,6

79 -3,4 -147,9 0,0 -84,5 0,0 249,4

80 45,4 -39,1 0,0 -51,2 0,0

81 52,3 -11,4 0,0 -9,8 0,0

82 52,1 -3,5 0,0 16,1 0,0

83 9,1 -37,1 0,0 48,7 0,0

84 -25,0 -90,4 0,0 189,5 0,0

85 -246,6 -234,1 0,0 0,0 0,0 843,8


153


Alínea a)

1. Somatório das reacções verticais

Pilar Nó Rsd [kN]

P1 1 88.4

P2 7 254.5

P3 79 249.4

P4 85 843.8

Pi = 4 P1 + 2 P2 + 2 P3 + P4 = 4 88.4 + 2 254.5 + 2 249.4 + 843.8 2205 kN

psd = 1.5 (cp + sc) = 1.5 (25 0.25 + 2 + 4) = 18.38 kN/m2

NTOT = psd ATOT = 18.38 12 10 = 2205 kN NTOT = Pi

2. Verificação dos momentos

i) Direcção x

Alinhamento Nós mxx

[kNm/m]

Linfluência

[m]

Msd

[kNm]

Msd, TOTAL

[kNm]

½ vão

4 52.5 0.375 19.7

225.7

17 45.1 0.75 33.8

30 40.6 0.875 35.5

43 39.7 1.0 39.7

56 45.6 0.875 39.9

69 50.1 0.75 37.6

82 52.1 0.375 19.5

Apoio

7 -168.1 0.375 -63.0

-375.5

20 -57.1 0.75 -42.8

33 -30.8 0.875 -27.0

46 -27.8 1.0 -27.8

59 -51.3 0.875 -44.9

72 -103.3 0.75 -77.5

85 -246.6 0.375 -92.5


154

DMF

6.00

375.5

225.7

pl /82

p L2

8 =

375.5 2

+ 225.7 = 413.5 kNm/m

p 62

8 = 413.5 p = 91.9 kN/m

6.00

18.38 x 5.0 = 91.9 kN/m

ii) Direcção y

Alinhamento Nós myy

[kNm/m]

Linfluência

[m]

Msd

[kNm]

Msd, TOTAL

[kNm]

½ vão

40 44.6 0.375 16.7

194.5

41 35.4 0.75 26.6

42 28.7 1.125 32.3

43 23.8 1.5 35.7

44 33.1 1.125 37.2

45 39.8 0.75 29.9

46 42.9 0.375 16.1

Apoio

79 -147.9 0.375 -55.5

-300.2

80 -39.1 0.75 -29.3

81 -11.4 1.125 -12.8

82 -3.5 1.5 -5.3

83 -37.1 1.125 -41.7

84 -90.4 0.75 -67.8

85 -234.1 0.375 -87.8

p L2

8 =

300.2 2

+ 194.5 = 344.6 kNm/m p 52

8 = 344.6 p = 110.3 kN/m

110.3 / 6 = 18.38 kN/m2


155

Alínea b)

1. Zonas consideradas para o dimensionamento das armaduras

X3

X2

X1

2.7

53.00

Y2Y1

1.50

Y31.1

25

1.501.1

25

2. Determinação dos momentos de dimensionamento

(i) Direcção x

Zona Sinal Nó Linfluência

[m]

msd, x

[kNm/m]

msd, xy

[kNm/m]

m’sd, x

[kNm/m]

Msd,x

[kNm]

Msd,xtotal

[kNm]

Lzona

[m]

Msd,x

[kNm/m]

1

M+

4 0.375 52.5 -4.8 57.3 21.5 58.0 1.125 51.6

17 0.75 45.1 -3.5 48.6 36.5

M-

7 0.375 -168.1 0.0 -168.1 -63.0 -105.8 1.125 -94.0

20 0.75 -57.1 0.0 -57.1 -42.8

2

M+

30 0.875 40.6 -1.1 41.7 36.5

121.5 2.75 44.2 43 1.0 39.7 2.1 41.8 41.8

56 0.875 45.6 3.8 49.4 43.2

M-

33 0.875 -30.8 0.0 -30.8 -27.0

-99.7 2.75 -36.3 46 1.0 -27.8 0.0 -27.8 -27.8

59 0.875 -51.3 0.0 -51.3 -44.9

3

M+

69 0.75 50.1 2.8 52.9 39.7 59.2 1.125 52.6

82 0.375 52.1 0.0 52.1 19.5

M-

72 0.75 -103.3 0.0 -103.3 -77.5 -170.0 1.125 -151.1

85 0.375 -246.6 0.0 -246.6 -92.5


156

(ii) Direcção y

Zona Sinal Nó Linfluência

[m]

msd, y

[kNm/m]

msd, xy

[kNm/m]

m’sd, y

[kNm/m]

Msd,y

[kNm]

Msd,ytotal

[kNm]

Lzona

[m]

Msd,y

[kNm/m]

1

M+

40 0.375 44.6 -5.4 50.0 18.8

60.4 1.5 40.3 41 0.75 35.4 -4.5 39.9 29.9

42 0.375 28.7 -2.4 31.1 11.7

M-

79 0.375 -147.9 0.0 -147.9 -55.5

-89.1 1.5 -59.4 80 0.75 -39.1 0.0 -39.1 -29.3

81 0.375 -11.4 0.0 -11.4 -4.3

2

M+

42 0.75 28.7 -2.4 31.1 23.3

90.7 3.0 30.2 43 1.5 23.8 2.1 25.9 38.9

44 0.75 33.1 4.9 38.0 28.5

M-

81 0.75 -11.4 0.0 -11.4 -8.6

-41.7 3.0 -13.9 82 1.5 -3.5 0.0 -3.5 -5.3

83 0.75 -37.1 0.0 -37.1 -27.8

3

M+

44 0.375 33.1 4.9 38.0 14.3

63.0 1.5 42.0 45 0.75 39.8 3.7 43.5 32.6

46 0.375 42.9 0.0 42.9 16.1

M-

83 0.375 -37.1 0.0 -37.1 13.9

-169.5 1.5 -113.0 84 0.75 -90.4 0.0 -90.4 67.8

85 0.375 -234.1 0.0 -234.1 87.8


Direcção Zona Sinal Msd

[kNm/m]

Armadura

cm2/m

X

1 M

+ 51.6 0.064 0.067 7.10

M-

-94.0 0.116 0.127 13.40

2 M

+ 44.2 0.055 0.057 6.03

M-

-36.3 0.045 0.047 4.95

3 M

+ 52.6 0.065 0.069 7.24

M-

-151.1 0.187 0.215 22.70

Y

1 M

+ 40.3 0.050 0.052 5.47

M-

-59.4 0.073 0.078 8.22

2 M

+ 30.2 0.037 0.039 4.13

M-

-13..9 0.017 0.018 3.30

3 M

+ 42.0 0.052 0.054 5.72

M-

-113.0 0.140 0.155 16.34


157

2.19. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO

Definição: tipo de rotura de lajes sujeitas a forças distribuídas em pequenas áreas.

2.19.1. Mecanismos de rotura de punçoamento

Fendas anteriores à rotura

Fendas na rotura

1.5d a 2d

Mecanismo de colapso local associado a uma rotura frágil (essencialmente

condicionada pela resistência à tracção e à compressão do betão)

Pode gerar um colapso progressivo da estrutura (rotura junto a um pilar implica um

incremento da carga nos pilares vizinhos).

As acções sísmicas, em sistemas estruturais com lajes fungiformes, aumentam a

excentricidade da carga a transmitir ao pilar agravando as características resistentes

por punçoamento.

2.19.2. Mecanismos de resistência ao punçoamento

(1)

(2)

(3)

Força de compressão radial (1)

Atrito entre os inertes (2)

Efeito de ferrolho (3)


158

(3)

(2)

(1)

Forças que equilibram a força de punçoamento:

Componente vertical da compressão radial

Componente vertical da força atrito entre os inertes na fenda

Componente vertical da força do efeito de ferrolho

2.19.3. Verificação da segurança ao punçoamento

A verificação da segurança ao punçoamento, de acordo com o EC2, consiste na

verificação dos pontos seguintes:

1. Não é necessário adoptar armaduras específicas para resistir ao punçoamento caso

vsd vRd,c, ao longo do perímetro de controlo considerado;

2. Se vsd vRd,c, será necessário adoptar armaduras específicas de punçoamento ou um

capitel, por forma a satisfazer o critério 1.;

3. Caso se adoptem armaduras, será necessário verificar a condição vsd vRd,max

(considerando o perímetro do pilar ou o perímetro da área carregada).

Indicações para o dimensionamento

Tentar que as dimensões da laje e pilar sejam tais que não haja necessidade de

armadura (vsd < vRd,c), em particular para as cargas verticais totais.

Se não for possível, prever capiteis (caso sejam esteticamente aceitáveis) por forma a

garantir que vsd < vRd,c.

O dimensionamento de armaduras só deverá ser adoptado para a combinação de

acções sísmicas.

2.19.4. Cálculo do esforço de corte solicitante

(i) Carga centrada: vsd = Vsd

u1 d , u1 – perímetro básico de controlo


159

(ii) Carga excêntrica: vsd = Vsd

ui d , ui – perímetro de controlo considerado

2.19.5. Perímetro básico de controlo

Definição: linha fechada que envolve a área carregada a uma distância não inferior a 2d e

cujo perímetro é mínimo.

Exemplos:

2d

2d

2d

2d

2d

2d

Consideração de aberturas junto ao pilar

Uma abertura localizada junto a um pilar pode reduzir substancialmente o valor da

capacidade resistente ao punçoamento, Deverá então reduzir-se o perímetro de controlo

de acordo com as indicações da figura abaixo.

2d

6d L1 L2

L2

caso L1 > L2 substituir L2 por

L1 L2

d – altura útil da laje

Caso a abertura se encontre a uma distância superior a 6d, não é necessário considerá-

la para efeitos de verificação da segurança ao punçoamento.


160

2.19.6. Resistência ao punçoamento de lajes sem armadura específica de

punçoamento

vRd,c = CRd,c k (100 l fck)1/3 + k1 cp vmin + k1 cp

onde,

CRd,c = 0.18 / c (valor recomendado);

k = 1 + 200 d

2.0 com d em mm;

l = ly lz 0.02 (os valores ly e lz devem ser calculados como valores

médios, considerando uma largura de laje igual à largura do pilar mais 3d para

cada lado);

fck em MPa;

k1 = 0.1 (valor recomendado);

cp = ( cy + cz) / 2

vmin = 0.035 k3/2 fck1/2

2.19.7. Verificação ao punçoamento em lajes com capiteis

2.19.7.1. Perímetros de controlo para capiteis de forma cónica

a) lH 2(d + hH) ( 26.6 )

h H

d

c

l H

rcont

b) lH 2(d + hH) ( 26.6 )

d

rcont,intrcont,ext

h H

l H

c


161

2.19.7.2. Perímetros de controlo para espessamentos

d1d2

2.5 d1

rcont,ext rcont,int

2.19.8. Armaduras de punçoamento

(i) Cálculo das armaduras de punçoamento

vRd,cs = 0.75 vRd,c + Asp fywd,ef 1

u1 d sen Asp =

( )vRd,cs - 0.75 vRd,c

fywd,ef sen u1 d

onde,

Asp representa a área total de armadura de punçoamento necessária;

fywd,ef = 250 + 0.25 d (mm) fywd representa a tensão de cálculo efectiva da

armadura de punçoamento

(ii) Pormenorização das armaduras

A armadura de punçoamento pode ser constituída por varões inclinados ou por estribos,

sendo esta última a solução mais utilizada.

varões inclinados estribos

Esta armadura deve ser distribuída conforme ilustram as figuras seguintes:


162

d/2 d

0.75d

d/2 d

(iii) Armadura longitudinal inferior junto ao pilar (de colapso progressivo)

É conveniente adoptar uma armadura inferior sobre o pilar, por forma a gerar um

mecanismo secundário de resistência, e evitar uma rotura em cadeia, caso se verifique

uma rotura por punçoamento num dos pilares.

2.19.9. Valor de cálculo do máximo esforço de corte

vsd = Vsd

u0 d vRd,máx = 0.5 fcd

onde representa um factor de redução da resistência ao corte do betão fendilhado,

podendo ser calculado através da expressão

= 0.6 1 - fck

250

com fck em MPa.

2.19.10. Punçoamento excêntrico

Conforme referido, o valor de cálculo do esforço de corte solicitante pode ser obtido pela

expressão

vsd = Vsd

u1 d


163

onde u1 representa o perímetro de controlo considerado e pode ser calculado através

das expressões que se apresentam em seguida.

Pilares interiores

(i) Pilares rectangulares com excentricidade numa direcção

= 1 + k Msd Vsd

u1 W1

onde,

k é um coeficiente que depende da relação entre as dimensões c1 e c2 da

secção transversal do pilar, e cujos valores se indicam no quadro seguinte:

c1 / c2 0.5 1.0 2.0 3.0

k 0.45 0.60 0.70 0.80

W1 é função do perímetro básico de controlo e corresponde à distribuição do

esforço de corte ao longo desse perímetro. Genericamente, W1 = 0

u1 |e| dl

Para pilares interiores rectangulares,

W1 = c1

2 2

+ c1 c2 + 4c2 d + 16d2 + 2 d c1

onde c1 e c2 representam as dimensões do pilar nas direcções paralela e perpendicular à

excentricidade da carga.

(ii) Pilares circulares

= 1 + 0.6 e

D + 4d

onde D representa o diâmetro do pilar.

(iii) Pilares rectangulares com excentricidades nas duas direcções

= 1 + 1.8 ey bz

2

+ ez by

2

onde,

ey e ez representam as excentricidades Msd / Vsd segundo os eixos y e z,

respectivamente;

by e bz representam as dimensões do perímetro de controlo.


164

Pilares de bordo

(i) Excentricidade para o interior (na direcção perpendicular ao bordo da laje)

1. Excentricidade numa direcção

Simplificadamente, pode considerar-se a força de punçoamento uniformemente

distribuída ao longo do perímetro de controlo equivalente u1*, (ver figura seguinte), ou

seja, = u1 / u1*.

2d

c1

a

a = min (1.5d; 0.5c1)c2

2. Excentricidade nas duas direcções

= u1 u1*

+ k u1 W1

epar

onde,

epar representa o valor da excentricidade na direcção paralela ao bordo da laje;

k é um coeficiente que depende da relação entre as dimensões c1 e c2 da

secção transversal do pilar, e cujos valores se indicam no quadro seguinte:

c1 / 2c2 0.5 1.0 2.0 3.0

k 0.45 0.60 0.70 0.80

Para pilares rectangulares,

W1 = c2

2 4

+ c1 c2 + 4c1 d + 8d2 + 2 d c2

(ii) Excentricidade para o exterior (na direcção perpendicular ao bordo da laje)

= 1 + k Msd Vsd

u1 W1

Neste caso, W1 deverá ser calculado considerando a excentricidade em relação ao centro

de gravidade do perímetro de controlo.


165

Pilares de canto

(i) Excentricidade para o interior

Simplificadamente, pode considerar-se a força de punçoamento uniformemente

distribuída ao longo do perímetro de controlo equivalente u1*, (ver figura seguinte), ou

seja, = u1 / u1*.

a = min (1.5d; 0.5c1)

2d

c1

c2

a

b b = min (1.5d; 0.5c2)

(ii) Excentricidade para o exterior

= 1 + k Msd Vsd

u1 W1

Neste caso, W1 deverá ser calculado considerando a excentricidade em relação ao centro

de gravidade do perímetro de controlo.


166

EXERCÍCIO L9

Considere a laje fungiforme do exercício L7, representada na figura.

6.00 6.00

5.00

5.00

0.50

0.50

0.30

0.30

h = 0.25 m

a) Verifique a segurança ao punçoamento. Caso seja necessário:

a.1) adopte um capitel;

a.2) coloque armaduras específicas de punçoamento

b) Admitindo a continuidade nas ligações laje-pilar e considerando vãos diferentes

segundo x (5.0 m e 7.0 m, respectivamente), obtiveram-se os seguintes esforços:

Pilar Nsd [kN] Msd, x [kNm] Msd, y [kNm]

central 708.0 75.0 0.0

bordo 280.0 58.0 0.0

canto 108.0 29.0 24.0

Verifique a segurança ao punçoamento.


167


Alínea a)

Pilar central (Vsd = 857.2 kN)

u1 = 4a + 4 d = 4 0.5 + 4 0.22 = 4.76 m

vRd,c = CRd,c k (100 l fck)1/3 = 0.12 1.95 (100 0.0096 25)1/3 = 0.67 MPa

k = 1 + 200 220

= 1.95 2.0

l = ly lz = 0.0108 0.0085 = 0.0096 0.02

ly = 23.7 10-4

0.22 = 0.0108 ; lz =

18.8 10-4 0.22

= 0.0085

VRd,c = vRd,c u1 d = 670 4.76 0.22 = 701.6 kN 857.2 kN

é necessário adoptar um capitel ou armaduras específicas para a resistência ao

punçoamento.

Pilar de bordo (Vsd = 259.8 kN)

u1 = 0.3 2 + 0.5 + 2 0.22 = 2.48 m


l = ly lz = 0.0015 0.0058 = 0.0029 0.02

ly = 3.3 10-4

0.22 = 0.0015 ; lz =

12.7 10-4 0.22

= 0.0058

VRd,c = vRd,c u1 d = 450 2.48 0.22 = 245.5 kN 259.8 kN

é necessário adoptar um capitel ou armaduras específicas para a resistência ao

punçoamento.

Pilar de canto (Vsd = 78.3 kN)

u1 = 0.3 2 + 0.22 = 1.29 m


VRd,c = vRd,c u1 d = 102.2 kN Vsd


168

Alínea a.1) – adopção de espessamento da laje

Pilar central

VRd Vsd vRd,c u1 d Vsd

0.12 1+200d

100 2.37 1.88

d 25

1/3

(4 500 + 4 d) d 857.2 103

d 265 mm h 0.30 m

ly = 2370

1000 d =

2.37 d

; lz = 1.88

d l = ly lz =

2.37 1.88d

Pilar de bordo

Hipótese: espessamento de 0.05 m relativamente à espessura corrente da laje

u1 = 0.5 + 2 0.3 + 2 0.26 = 2.73 m


k = 1 + 200 260

= 1.88 2.0

l = ly lz = 0.0013 0.0049 = 0.0025 0.02

ly = 3.3 10-4

0.26 = 0.0013 ; lz =

12.7 10-4 0.26

= 0.0049

VRd,c = vRd,c u1 d = 295.3 kN Vsd

Alínea a.2) – adopção de armadura específica

Pilar central

(i) Cálculo da área de armadura necessária

Asp = ( )vRd,cs - 0.75 vRd,c

fywd,ef sen u1 d =

857.2 - 0.75 701.6

305 103 104 = 10.9 cm2

fywd,ef = 250 + 0.25 d = 250 + 0.25 220 = 305 MPa fywd = 348 MPa

(ii) Verificação do máximo esforço de corte

vRd,máx = 0.5 fcd = 0.5 0.54 16.7 103 = 4509 kN/m2

= 0.6 1 - fck

250 = 0.6 1 -

25 250

= 0.54


169

VRd,max = 4509 (0.5 4) 0.22 = 1984 kN Vsd

Pilar de bordo

(i) Cálculo da área de armadura necessária

Asp = ( )vRd,cs - 0.75 vRd,c

fywd,ef sen u1 d =

259.8- 0.75 245.5

305 103 104 = 2.48 cm2

(ii) Verificação do máximo esforço de corte

vRd,máx = 0.5 fcd = 0.5 0.54 16.7 103 = 4509 kN/m2

= 0.6 1 - fck

250 = 0.6 1 -

25 250

= 0.54

VRd,max = 4509 (0.5 + 0.3 2) 0.22 = 1091.2 kN Vsd

Alínea b)

Pilar central (Vsd = 708 kN; Msd, x = 75 kNm)

u1 = 4a + 4 d = 4 0.5 + 4 0.22 = 4.76 m

= 1 + k Msd Vsd

u1 W1

= 1 + 0.6 75 708

4.76 2.28

= 1.13

W1 = c1

2 2

+ c1 c2 + 4c2 d + 16d2 + 2 d c1 =

= 0.52

2 + 0.52 + 4 0.5 0.22 + 16 0.222 + 2 0.22 0.5 = 2.28 m2

vsd = Vsd

ui d = 1.13

708

4.76 0.22 = 764.0 kN/m2 vRd,c = 670 kN/m2

é necessário adoptar um capitel

Hipótese: espessamento de 0.10 m relativamente à espessura corrente da laje


k = 1 + 200 310

= 1.80 2.0

l = ly lz = 0.0076 0.0061 = 0.0068 0.02

ly = 23.7 10-4

0.31 = 0.0076 ; lz =

18.8 10-4 0.31

= 0.0061

u1 = 0.5 4 + 2 2 0.31 = 5.90 m


170

= 1 + k Msd Vsd

u1 W1

= 1 + 0.6 75 708

5.9 3.51

= 1.11

W1 = c1

2 2

+ c1 c2 + 4c2 d + 16d2 + 2 d c1 =

= 0.52

2 + 0.52 + 4 0.5 0.31 + 16 0.312 + 2 0.31 0.5 = 3.51 m2

vsd = Vsd

ui d = 1.11

708

5.9 0.31 = 387.1 kN/m2 vRd,c = 555 kN/m2

Pilar de bordo (Vsd = 280 kN; Msd, x = 58 kNm )

(i) Cálculo da armadura longitudinal de flexão

msd = 0.75 Msd

Lfaixa central = 0.75

58 2.5

= 17.4 kNm/m

= 0.022; = 0.023 As = 2.42 cm2/m As,min = 3.3 cm2/m

(ii) Verificação da segurança ao punçoamento

u1* = 0.5 + 2 0.22 + 0.3 = 2.18 m

vsd = Vsd

u1* d =

280

2.18 0.22 = 583.8 kN/m2

vRd,c = 450 kN/m2


VRd Vsd vRd,c u1* d Vsd

0.12 1+200d

100 1.27 0.33

d 25

1/3

(500 + 2 d + 300) d 280 103

d 276 mm h 0.35 m

Pilar de canto (Vsd = 108 kN; Msd, x = 29 kNm; Msd, y = 24 kNm)

(i) Cálculo da armadura longitudinal de flexão

msd = 0.75 Msd

Lfaixa central

Direcção Lfaixa central

[m]

msd, x

[kNm/m]

As

[cm2/m]

x 1.25 17.4 0.022 0.023 3.3

y 1.5 12.0 0.015 0.016 3.3


171

(ii) Verificação da segurança ao punçoamento

u1* = 0.3 + 2

2 0.22 = 0.99 m

vsd = Vsd

u1* d =

108

0.99 0.22 = 495.9 kN/m2

vRd,c = 360 kN/m2


VRd Vsd vRd,c u1* d Vsd

0.12 1+200d

100 0.33

d 25

1/3

( d + 300) d 108 103

d 287 mm h 0.35 m


172

EXERCÍCIO L10

Considere a laje fungiforme do exercício L7.

Admitindo que a solução vazada corresponde a uma laje com 0.30 m de espessura e de

igual peso (relativamente à solução maciça), dimensione e pormenorize as armaduras


173

BIBLIOGRAFIA DE REFERÊNCIA

Bibliografia Principal e Geral

Appleton, J. 2013 : “ Estruturas de Betão – Volumes 1 e 2”, Edições Orion, Amadora

fib : “Structural Concrete – Textbook on Behaviour Design and Performance” 2009,

Volume 1: Design of concrete structures, conceptual design, materials (fib bulletins 51),

International Federation for Structural Concrete, Lausanne.

fib : “Structural Concrete – Textbook on Behaviour Design and Performance” 2009,

Volume 2: Basis of design (fib bulletins 52), International Federation for Structural

Concrete, Lausanne.

fib : “Post-tensioning in buildings” 2005, (fib bulletins 31), International Federation for

Structural Concrete, Lausanne.

Renaud Favre, Jean-Paul Jaccoud, Olivier Burdet, Hazem Charif, 1997 :

“Dimensionnement des Structures en Béton” – Volume 8. Traité de Génie Civil de l’École

Polytechnique Fédérale de Lausanne, Presses Polytechniques et Universitaires

Romandes

Muttoni, A., Schwartz, J., Thürlimann, B. 1998 : “Design of Concrete Structures With

Stress Fields”, Birkhäuser, Basel.

Almeida, J., Lourenço, M. 2011 : “Modelos de Campos de Tensões – Zonas D”,

Apresentação preparada para a disciplina Betão Estrutural, Mestrado em Engenharia de

Estruturas, Instituto Superior Técnico, Lisboa (link).

Schlaich, J., Schäfer, K., Jennewein, M. 1987 : “Toward a consistent design for structural

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Documentos Normativos

NP EN 1990 2009: Eurocódigo: “Bases para o projecto de estruturas”, IPQ, Lisboa.

EN 1991-1-1 2009: “Acções em estruturas – Acções Gerais – Pesos volúmicos, pesos

próprios, sobrecargas em edifícios”, IPQ, Lisboa.

EN1992-1-1 2010 : “Projecto de estruturas de betão – Parte 1-1: Regras gerais e regras

para edifícios”, IPQ, Lisboa.

NP EN 13670: 2011 – Execução de Estruturas de Betão, IPQ, 2011.

NP EN 206 -1: 2005 – Betão – Parte 1: Especificação, desempenho, produção e

conformidade


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Especificação LNEC E464 – Betões. Metodologia Prescritiva para a Vida Útil de Projecto

de 50 e de 100 anos face às Acções Ambientais.

Especificação LNECE465 – Betões. Metodologia para estimar as propriedades de

desempenho que permitem satisfazer a vida útil de projecto de estruturas de betão

armado e pré-esforçado sob as exposições ambientais XC e XS.

Especificação LNEC E461 – Metodologias para prevenir reacções expansivas internas.

Folhas EBII-2014

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