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FORMULÁRIO ELABORAÇÃO ITENS/QUESTÕES

ÁREA:PEDAGOGICO ELABORAÇÃO E REVISÃO

DE PROVAS CÓDIGO:FO 7.5.1/01 REVISÃO: 01 PÁGINA: 1 de 14

CONCURSO: DOCENTES EFETIVOS DO COLÉGIO PEDRO II DATA:22/12/2014

CARGO/ARÉA: MATEMÁTICÁ

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:SISTEMAS LINEARES/ VETORES NO R3 /GEOMETRIA ANALÍTICA EMR3.

NÍVEL DE DIFICULDADE: ( ) FACIL ( x ) MÉDIO ( ) DIFÍCIL

ELABORADOR(A): : CLAÚDIO SILVEIRA DE SOUZA, EDUARDO VICENTE DO COUTO, NELSON DE

MELLO REZENDE, TANIA MARIA BOFFONI SIMÕES DE FARIA

Enunciado:

Considere sistema linear

71425

5623

322

zyx

zyx

zyx

,em que cada equação representa um plano do 3 .

Comando

a) Obtenha as equações paramétricas da reta do 3 que representa a interseção dos três referidos planos.

b) Determine as equações simétricas da reta do 3 que passa pelo ponto (1, 3, -2) e é perpendicular ao plano 71425 zyx .

c) Calcule o menor ângulo formado pelos planos 322 zyx e 5623 zyx .




Padrão de respostas

a)

71425

5623

322

zyx

zyx

zyx

82480

41240

322

zyx

zyx

zyx

(II) 13

(I) 322

zy

zyx

Fazendo ttz ; , e substituindo na equação (II), temos:

(III) 3113 tyty

Substituindo y e z na equação (I), temos:

413262 txttx

Logo, as equações paramétricas da reta são

tz

ty 31

4t-1x

; t

b) O vetor (5, 2, 14), normal ao plano ,71425 zyx será o vetor diretor da reta pretendida, já que

ela é perpendicular ao referido plano. Sabe-se ainda que a reta passa pelo ponto (1, 3, -2).

Logo, as equações simétricas da reta são:

14

2

2

3

5

1

zyx

c) O menor ângulo formado pelos planos 322:)( zyx e 5623:)( zyx corresponde ao

menor ângulo formado pelos seus vetores normais.

)2,2,1( n : vetor normal ao plano

)6,2,3(n : vetor normal ao plano

56)2(2231 nn

3)2(21 222 n

7623 222 n

nn

nn

cos

21

5

73

5




21

5cosarc

Referências bibliográficas:

Julianelli, Roberto, J., Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, Ed. Ciência Moderna, 2008.




CONCURSO: DOCENTES EFETIVOS DO COLÉGIO PEDRO II DATA: 07/11/14

CARGO/ARÉA: MATEMÁTICA

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:FUNÇÃO/ DERIVADA

NÍVEL DE DIFICULDADE :( ) FACIL (x ) MÉDIO ( ) DIFÍCIL

ELABORADORES: CLAÚDIO SILVEIRA DE SOUZA, EDUARDO VICENTE DO COUTO, NELSON DE


Enunciado:

No plano cartesiano a seguir estão representados o gráfico da função real xxx

xf 223

)(23

e

as retas .r e ,, 4321 rrr




Sabe-se que:

a reta 1r é paralela ao eixo das abscissas e tangencia o gráfico da função f no ponto

D;

as retas 32 r e r são paralelas e tangenciam o gráfico da função f respectivamente nos

pontos C e E, sendo -2 a abscissa do ponto C;

a reta 4r é paralela ao eixo das ordenadas e passa por F, ponto de máximo local da

função f.

Comando Determine:

a) os zeros da função f .

b) as equações das retas 1r e .4r

c) as equações das retas .r e 32r


a) f(x) = 0, então :

4

1053,

4

1053,0

:f função da s

4

10530123202

23ou 0

0223

0223

22

2

23

zero

xxxxx

x

xxx

xxx




1:r ; 3

10:

3

10)2(2

2

2

3

2)2(

2ou x 10)('

2)(')

41

23

2

xyr

f

xxf

xxxfb

2

274:

2

27'

2

3'3.4

:,2

33,- ponto o

2

33.2

2

3

3

3f(3)

3ou x 2

06

424)('

'4://

3

224:

3

22

3

2)2(4

:,3

2 2,-- ponto o

4)2('

:

3

242

3

8f(-2) )

3

3

23

2

2

332

2

2

2

xyr

bb

temosrComo

x

xx

xxxf

bxyrrr

xyr

bb

temosrComo

fa

baxyr

c





Stewart, James. Cálculo. Vol.1, São Paulo Pioneira Thompson Learning, 2002.




CONCURSO: DOCENTES EFETIVOS DO COLÉGIO PEDRO II DATA:

07/11/2014


CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: GEOMETRIA PLANA/

GEOMETRIAESPACIAL/TRIGONOMETRIA/ ANÁLISE COMBINATÓRIA

NÍVEL DE DIFICULDADE: ( ) FACIL ( ) MÉDIO ( x ) DIFÍCIL

ELABORADOR(A): CLAÚDIO SILVEIRA DE SOUZA, EDUARDO VICENTE DO COUTO, NELSON DE


Enunciado:

Seja ABCDEFGHIJLM um dodecágono regular inscrito numa circunferência de centro O e raio

6 cm.

Comando:

a) Mostre que o lado desse dodecágono mede 3. �√6 − √2�cm.

b) Considere a região interior à circunferência e exterior ao hexágono regular ACEGIL.

Determine o volume do sólido gerado pela rotação completa dessa região em torno do eixo

que passa pelos pontos A e G.




c) Quantos polígonos convexos se pode formar cujos vértices são vértices do dodecágono

ABCDEFGHIJLM?


a) Seja lo lado do dodecágono regular.Aplicando a lei dos cossenos no triângulo OAB, tem-

se:

cm 26.32

26.6

2

26.6

4

22.626.6

4

348.632.6

33672

º30cos.6.6.266

2

2

222

l

l

l




b)

3

223

gerado

cm 72

54162288

272627288

3333

126.)33(6..

3

4

.2

conecilindroesferasólido VVVV




gerado sólidoV 3cm 72

convexos 4017

794096

1.2

11.121214096

)(2...) 212

112

012

121212

512

412

312

polígonos

CCCCCCCc

4017 polígonos convexos


IEZZI, G., Trigonometria. Vol. 3. HAZZAN, S. Combinatória / Probabilidades. Vol. 5.

DOLCE, O.,POMPEO, NICOLAU, J., Geometria Plana. Vol. 9.

DOLCE, O., POMPEO, NICOLAU, J., Geometria Espacial. Vol. 10.




CONCURSO: DOCENTES EFETIVOS DO COLÉGIO PEDRO II DATA:

07/11/2014


CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: MATEMÁTICAFINANCEIRA/LOGARITMO/PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

NÍVEL DE DIFICULDADE: ( ) FACIL ( x) MÉDIO ( ) DIFÍCIL

ELABORADOR(A): CLAÚDIO SILVEIRA DE SOUZA, EDUARDO VICENTE DO COUTO, NELSON DE


Enunciado:

Felipe contraiu hoje um empréstimo de R$ 10 000,00 em um banco que pratica uma taxa de juros

de 10% ao mês, com juros capitalizados mensalmente.

Comando:

a) Se Felipe pretende quitar a sua dívida fazendo um primeiro pagamento de R$ 4 000,00

daqui a 30 dias e um segundo pagamento de x reais daqui a 60 dias, qual é o valor de

x?

b) Se Felipe não fizer nenhum pagamento ao banco, qual é o número mínimo de meses

necessários para que sua dívida supere os R$ 35 000,00 ?

1,04= 11 log 0,85; = 7 log 0,30; = 2 log :Dados

c) Caso Felipe quisesse quitar a sua dívida pagando 10 prestações mensais consecutivas

iguais a y reais cada, sendo a primeira 30 dias após ter contraído o empréstimo, qual

deveria ser o valor aproximado de y ?

( Dado: 59,21,1 10 )





Taxa de juros: i = 10% a.m.

a)

DATA FOCAL 2:

7700

121004400

1,1100001,14000 2

x

x

x

Resposta: R$7700,00

b) n = nº de meses

meses 14 n ,

75,1355,004,0

2log7log)10log11(log2

7log

10

11log5,31,135000)1,1(10000

mínimo

Logo

nn

nnnn

0

1 2nº de meses

4000,00 x reais

E= 10 000,00




c)

DATA FOCAL 10:

93,162859,1

2590

159,2

1,025900

59,21000011,1

]1)1,1.(1[1,110000)1...1,11,11,1(

1010789

y

yy

Resposta: R$1628,93


César, Benjamin, Matemática Financeira, teoria e 700 questões, Rio de Janeiro, Editora Impetus, 2004. MURAKAMI, C., DOLCE, O. , IEZZI, G., Logaritmos. Vol. 2. HAZZAN, S., IEZZI G., Sequências/Matrizes/Determinantes/Sistemas. Vol. 4.

0 1 2 3 10

y y y y

nº meses

E=10000

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