Formulário Séries
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Instituto Polit´ ecnico de Tomar Escola Superior de Tecnologia de Tomar ´ Area Interdepartamental de Matem´atica S ´ ERIES NUM ´ ERICAS Se +∞ X n=1 u n e +∞ X n=1 v n s˜ ao convergentes ent˜ ao +∞ X n=1 (au n + bv n )´ e convergente e se lim n S n = S e lim n T n = T ent˜ ao lim n (aS n + bT n )= aS + bT . Se +∞ X n=1 u n e +∞ X n=1 v n s˜ao divergentes ent˜ ao nada se pode concluir de +∞ X n=1 (au n + bv n ) desde que a 6=0e b 6= 0. Se +∞ X n=1 u n ´ e convergente e +∞ X n=1 v n ´ e divergente ent˜ ao +∞ X n=1 (au n + bv n )´ e divergente, desde que b 6= 0. Seja +∞ X n=1 ar n-1 uma s´ erie geom´ etrica deraz˜aor. Se |r| < 1 a s´ erie ´ e convergente e a soma ´ e S = 1 0 termo 1 - r = a 1 - r . Se |r|≥ 1 a s´ erie ´ e divergente. Seja +∞ X n=1 1 n α uma s´ erie de Dirichelet(ou s´ erie de Riemann). Se α> 1 a s´ erie ´ e convergente. Se α ≤ 1 a s´ erie ´ e divergente. Se a s´ erie +∞ X n=1 u n ´ e convergente, ent˜ ao lim n u n = 0. S´ eries de Termos Positivos 1 Crit´ erio de Compara¸c˜ ao Se existe p ∈ tal que n>p ⇒ u n ≤ v n , n ∈ , ent˜ ao: Se +∞ X n=1 v n converge ent˜ ao +∞ X n=1 u n converge; Se +∞ X n=1 u n diverge ent˜ ao +∞ X n=1 v n diverge. 2 Crit´ erio de Compara¸c˜ ao Seja lim n u n v n = L. Se L 6=0, +∞ ent˜ ao +∞ X n=1 u n e +∞ X n=1 v n s˜ ao da mesma natureza.
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Instituto Politecnico de TomarEscola Superior de Tecnologia de Tomar
Area Interdepartamental de MatematicaSERIES NUMERICAS
� Se+∞∑n=1
un e+∞∑n=1
vn sao convergentes entao+∞∑n=1
(aun + bvn) e convergente e se limn
Sn = S e
limn
Tn = T entao limn
(aSn + bTn) = aS + bT .
� Se+∞∑n=1
un e+∞∑n=1
vn sao divergentes entao nada se pode concluir de+∞∑n=1
(aun + bvn) desde que
a 6= 0 e b 6= 0.
� Se+∞∑n=1
un e convergente e+∞∑n=1
vn e divergente entao+∞∑n=1
(aun + bvn) e divergente, desde que
b 6= 0.
� Seja+∞∑n=1
arn−1 uma serie geometrica de razao r.
Se |r| < 1 a serie e convergente e a soma e S =10termo1− r
=a
1− r.
Se |r| ≥ 1 a serie e divergente.
� Seja+∞∑n=1
1nα
uma serie de Dirichelet(ou serie de Riemann).
Se α > 1 a serie e convergente.Se α ≤ 1 a serie e divergente.
� Se a serie+∞∑n=1
un e convergente, entao limn
un = 0.
Series de Termos Positivos
� 1ºCriterio de Comparacao
Se existe p ∈ N tal que
n > p ⇒ un ≤ vn, n ∈ N, entao:
Se+∞∑n=1
vn converge entao+∞∑n=1
un converge;
Se+∞∑n=1
un diverge entao+∞∑n=1
vn diverge.
� 2º Criterio de Comparacao
Seja limn
un
vn= L.
Se L 6= 0, +∞ entao+∞∑n=1
un e+∞∑n=1
vn sao da mesma natureza.
Jorge
Rectangle
Jorge
Rectangle
Jorge
Rectangle
Jorge
Typewriter
DIRICHELET
Jorge
Typewriter
GEMEOTRICA
Se L = 0
+∞∑n=1
vn converge ⇒+∞∑n=1
un converge
+∞∑n=1
un diverge ⇒+∞∑n=1
vn diverge
Se L = +∞
+∞∑n=1
vn diverge ⇒+∞∑n=1
un diverge
+∞∑n=1
un converge ⇒+∞∑n=1
vn converge
� Criterio da Razao
limn
un+1
un= L
< 1,
+∞∑n=1
un converge
> 1,
+∞∑n=1
un diverge
= 1, nada se pode concluir
Seun+1
un→ 1, por valores superiores, a serie
+∞∑n=1
un diverge.
� Criterio da Raiz
limn
n√
un = L
< 1,
+∞∑n=1
un converge
> 1,
+∞∑n=1
un diverge
= 1, nada se pode concluir
Se n√
un → 1, por valores superiores, a serie+∞∑n=1
un diverge.
� Criterio de Raabe
limn
n[un
un+1− 1] = L
< 1,
+∞∑n=1
un diverge
> 1,
+∞∑n=1
un converge
= 1, nada se pode concluir
Se n[un
un+1− 1] → 1, por valores inferiores, a serie
+∞∑n=1
un diverge.
Series de Termos Alternados
� Criterio de Leibniz
Seja+∞∑n=1
(−1)nun. Se:
1) un ≥ 0, ∀n ∈ N,2) un+1 ≤ un para todo o n a partir de uma certa ordem,3) lim
nun = 0,
entao a serie e convergente.
� Se a serie dos Modulos for convergente, a serie dada e Absolutamente Convergente.
� Se a Serie dos Modulos for divergente e se se verificarem as tres condicoes do Criteriode Leibniz, a serie dada e Convergente. Neste caso, a serie diz-se SimplesmenteConvergente.
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