Instituto Politecnico de TomarEscola Superior de Tecnologia de Tomar

Area Interdepartamental de MatematicaSERIES NUMERICAS

� Se+∞∑n=1

un e+∞∑n=1

vn sao convergentes entao+∞∑n=1

(aun + bvn) e convergente e se limn

Sn = S e

limn

Tn = T entao limn

(aSn + bTn) = aS + bT .

� Se+∞∑n=1

un e+∞∑n=1

vn sao divergentes entao nada se pode concluir de+∞∑n=1

(aun + bvn) desde que

a 6= 0 e b 6= 0.

� Se+∞∑n=1

un e convergente e+∞∑n=1

vn e divergente entao+∞∑n=1

(aun + bvn) e divergente, desde que

b 6= 0.

� Seja+∞∑n=1

arn−1 uma serie geometrica de razao r.

Se |r| < 1 a serie e convergente e a soma e S =10termo1− r

=a

1− r.

Se |r| ≥ 1 a serie e divergente.

� Seja+∞∑n=1

1nα

uma serie de Dirichelet(ou serie de Riemann).

Se α > 1 a serie e convergente.Se α ≤ 1 a serie e divergente.

� Se a serie+∞∑n=1

un e convergente, entao limn

un = 0.

Series de Termos Positivos

� 1ºCriterio de Comparacao

Se existe p ∈ N tal que

n > p ⇒ un ≤ vn, n ∈ N, entao:

Se+∞∑n=1

vn converge entao+∞∑n=1

un converge;

Se+∞∑n=1

un diverge entao+∞∑n=1

vn diverge.

� 2º Criterio de Comparacao

Seja limn

un

vn= L.

Se L 6= 0, +∞ entao+∞∑n=1

un e+∞∑n=1

vn sao da mesma natureza.

Se L = 0

+∞∑n=1

vn converge ⇒+∞∑n=1

un converge

+∞∑n=1

un diverge ⇒+∞∑n=1

vn diverge

Se L = +∞

+∞∑n=1

vn diverge ⇒+∞∑n=1

un diverge

+∞∑n=1

un converge ⇒+∞∑n=1

vn converge

� Criterio da Razao

limn

un+1

un= L

< 1,

+∞∑n=1

un converge

> 1,

+∞∑n=1

un diverge

= 1, nada se pode concluir

Seun+1

un→ 1, por valores superiores, a serie

+∞∑n=1

un diverge.

� Criterio da Raiz

limn

n√

un = L

< 1,

+∞∑n=1

un converge

> 1,

+∞∑n=1

un diverge

= 1, nada se pode concluir

Se n√

un → 1, por valores superiores, a serie+∞∑n=1

un diverge.

� Criterio de Raabe

limn

n[un

un+1− 1] = L

< 1,

+∞∑n=1

un diverge

> 1,

+∞∑n=1

un converge

= 1, nada se pode concluir

Se n[un

un+1− 1] → 1, por valores inferiores, a serie

+∞∑n=1

un diverge.

Series de Termos Alternados

� Criterio de Leibniz

Seja+∞∑n=1

(−1)nun. Se:

1) un ≥ 0, ∀n ∈ N,2) un+1 ≤ un para todo o n a partir de uma certa ordem,3) lim

nun = 0,

entao a serie e convergente.

� Se a serie dos Modulos for convergente, a serie dada e Absolutamente Convergente.

� Se a Serie dos Modulos for divergente e se se verificarem as tres condicoes do Criteriode Leibniz, a serie dada e Convergente. Neste caso, a serie diz-se SimplesmenteConvergente.

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