Fotodetetores Para Recetores Óticos a 50 GHz · 4.5 Largura de banda em função da espessura da...

Fotodetetores Para Recetores Óticos a 50 GHz

Verónica Frias de Matos

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Orientador: Prof. Jorge Manuel Torres Pereira

JúriPresidente: Prof. João Manuel Torres Caldinhas Simões Vaz

Orientador: Prof. Jorge Manuel Torres PereiraVogal: Prof. António Carlos de Campos Simões Baptista

Outubro de 2014

Abstract

The analysis and optimization of photodetectors and their topologies are essencial, since these de-vices are key elements in optical communication systems. A photodetector is mainly characterized byits bandwidth, quantum efficiency and noise.

In this study, the main emphasis is given to the bandwidth and quantum efficiency of several struc-tures such as the conventional pin photodiode, resonant cavity-enhanced (RCE) photodetectors andwaveguide photodetectors (WGPD).

These structures can detect radiation in the wavelength range 1.3 - 1.6 µm, and may be used inoptical communication systems where high bandwidth and quantum efficiency are needed.

It is shown that properly designed RCE and WGPD photodetectors can have bandwidths greaterthan 50 GHz without compromising the quantum efficiency.

Keywords

Photodetectors, RCE photodetectors, pin photodiode, bandwidth, quantum efficiency, frequency res-ponse, capacitive effects, inductive effects, waveguide photodetectors, mushroom-WGPD

i

Resumo

A análise e otimização de fotodetetores e das suas topologias são essenciais, uma vez que estesdispositivos são elementos-chave em sistemas de comunicação ótica. Um fotodetetor é caracterizadoprincipalmente pela sua largura de banda, redimento quântico e ruído.

Neste estudo, é dado ênfase à largura de banda e ao rendimento quântico de várias estruturas,como o fotodiodo pin convencional, fotodetetores de cavidade ressonante (RCE) e fotodetetores deguia de ondas (WGPD).

Estas estruturas podem detetar radiação na gama de comprimentos de onda 1, 3 - 1, 6 µm, e podemser usadass em sistemas de comunicação ótica onde seja necessária uma elevada largura de banda erendimento quântico.

Este estudo mostra que detetores do tipo RCE e WGPD podem apresentar larguras de banda su-periores a 50 GHz sem comprometer o rendimento quântico.

Palavras Chave

Fotodetetores, fotodetetores RCE, fotodíodo pin, largura de banda, rendimento quântico, respostaem frequência, efeitos capacitivos, efeitos indutivos, fotodetetores de guia de ondas, WGPD-cogumelo

ii

Índice

Abstract iKeywords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Resumo iiPalavras Chave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Índice iii

Lista de Figuras v

Lista de Tabelas vii

1 Introdução 11.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Estado da arte 32.1 Semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Fotodetetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 Parâmetros dos fotodetetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Fotodíodo pin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.1 Resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.2 Rendimento quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.3 Produto rendimento quântico - largura de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Fotodetetores de cavidade Ressonante 153.1 Rendimento quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Efeito de onda estacionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1 Efeitos do tempo de trânsito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2 Efeitos capacitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.3 Efeitos indutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Produto rendimento quântico - largura de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Espelhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5.1 InGaAsP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5.2 InAlGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.3 Refletividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6 Otimização de uma estrutura RCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Fotodetetor pin de guia de ondas (pin-WGPD) 364.1 Distribuição da densidade de portadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Densidade de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Fotodetetor de guia de ondas cogumelo (Mushroom-WGPD) 445.1 Resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1.1 Efeitos do tempo de trânsito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.1.2 Efeitos capacitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1.3 Efeitos indutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 Conclusões 50

Referências 52

iii

Anexos 54

A Resolução das equações da continuidade para buracos e eletrões no WGPD convencional 54A.1 Buracos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.2 Eletrões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

iv

Lista de Figuras

2.1 Modelo da ligação covalente para o silício [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Modelo simplificado das bandas de energia de um semicondutor [2]. . . . . . . . . . . . . 32.3 Diagrama das bandas para semicondutores de a) banda direta e b) banda indireta. . . . . 42.4 Correspondência entre Eg e λ no espetro eletromagnético [3]. . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Altura da banda proibida em função da constante da rede cristalina para vários semicon-

dutores [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.6 Resposta típica do sinal de saída como função da potência do sinal ótico de entrada [5]. 82.7 Estrutura de um fotodíodo pin e diagrama de bandas de energia [6]. . . . . . . . . . . . . 92.8 Variação do campo elétrico no fotodíodo pin ao longo da região intrínseca [1]. . . . . . . 92.9 Variação da potência no fotodíodo pin ao longo da região intrínseca. . . . . . . . . . . . . 92.10 Esquema incremental do fotodíodo pin [7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.11 Resposta em frequência para λ = 1, 55 µm e vários valores de la sem e com efeitos

capacitivos. A = 100 µm2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.12 Resposta em frequência para λ = 1, 3 µm e vários valores de la sem e com efeitos

capacitivos. A = 100 µm2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.13 Largura de banda em função do comprimento la para λ = 1, 55 µm e λ = 1, 3 µm, sem e

com efeitos capacitivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.14 Rendimento quântico em função do comprimento la para λ = 1, 55 µm e λ = 1, 3 µm. . . 132.15 Produto rendimento quântico - largura de banda em função do comprimento la, obtido

por combinação dos resultados das duas figuras anteriores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1 Estrutura de um fotodetetor RCE [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Rendimento quântico em função do comprimento de onda com αd = 0, 1 e R2 = 0, 9,

para vários valores de R1 e L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Rendimento quântico de pico em função do coeficiente de absorção normalizado αd. . . 173.4 Rendimento quântico máximo em função do coeficiente de absorção normalizado αd para

R1 = R2e−2αd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5 Efeito de onda estacionária em função da espessura da região de absorção normalizada,βd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.6 Rendimento quântico em função da espessura da região de absorção. . . . . . . . . . . . 203.7 Rendimento quântico em função de L1, para βd = π/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.8 Estrutura de um fotodetetor RCE. Sistema de eixos e dimensões usadas na análise da

resposta em frequência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.9 Largura de banda em função da relaçãoL2

Lpara d = 0, 2 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.10 Largura de banda em função da relaçãoL2

Lpara L = 1 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.11 Largura de banda máxima em função do comprimento total sem e com efeitos capaciti-vos, para A = 100 µm2 e A = 1000 µm2, com d = 0, 2 µm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.12 Produto rendimento quântico - largura de banda máxima em função do comprimento totalconsiderando os efeitos capacitivos, A = 100 µm2 e R2 = 0, 9. . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.13 Circuito equivalente do fotodetetor RCE onde se incluem os efeitos capacitivos e indutivos. 263.14 Largura de banda máxima em função da espessura da região de absorção para A =

100 µm2 e L = 0, 6 µm, com e sem efeitos indutivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.15 Largura de banda máxima em função da indutância parasita para A = 100 µm2 e L =

0, 6 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.16 Produto rendimento quântico - largura de banda máxima em função da espessura da

região de absorção, d, para L = 0, 6 µm e A = 100 µm2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.17 Espelho com nove camadas [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.18 Magnitude da refletividade do espelho de base em função do comprimento de onda, para

λ = 1, 55 µm e diferente número de camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.19 Fase da refletividade do espelho de base em função do comprimento de onda, para

λ = 1, 55 µm e diferente número de camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

v

3.20 Magnitude da refletividade do espelho de topo em função do comprimento de onda, paraλ = 1, 55 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.21 Fase da refletividade do espelho de topo em função do comprimento de onda, para λ =1, 55 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1 Estrutura de um fotodetetor WGPD [10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Distribuição da densidade de buracos para a) 0 GHz, b) 40 GHz e c) 80 GHz. . . . . . . 394.3 Distribuição da densidade de eletrões para a) 0 GHz, b) 40 GHz e c) 80 GHz. . . . . . . 414.4 Densidade de corrente em função da frequência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5 Largura de banda em função da espessura da região de absorção, d, com e sem efeitos

capacitivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1 Estrutura de um mushroom-WGPD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2 Resposta em frequência para diferentes larguras da região de absorção, WC . . . . . . . . 475.3 Resposta em frequência para diferentes espessuras da região de absorção, xa. . . . . . 485.4 Resposta em frequência para diferentes espessuras da região de absorção, xa, e dife-

rentes valores de LS : LS = 0, LS = 0, 02 nH e LS = 0, 2 nH. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

vi

Lista de Tabelas

2.1 Parâmetros usados nas simulações para o In0.53Ga0.47As. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Parâmetros usados nas simulações para o InP e o In0.53Ga0.47As, λ = 1, 55 µm [7]. . . 223.2 Parâmetros dos binários GaAs, InP , InAs, GaP e AlAs a 300 K, [1]. . . . . . . . . . . . 303.3 Índice de refração dos materiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Dispositivos otimizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1 Condições iniciais e de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

vii

1. Introdução

Ao longo de várias décadas verificaram-se grandes avanços no domínio das telecomunicações. En-quanto as fibras óticas são conhecidas como dispositivos quase ideais para a transmissão de sinaisóticos, os semicondutores tornaram-se a tecnologia de preferência para os detetores óticos em virtudedas suas propriedades. Devido a grandes avanços na área dos materiais foi possível uma otimizaçãodo desempenho destes dispositivos optoeletrónicos, o que permitiu ritmos de transmissão elevadospara os sistemas de comunicação ótica.

Um sistema de comunicação ótica é constituído pelo transmissor, canal de transmissão e recetor.Todos os elementos definem, no seu todo, a operacionalidade do sistema, portanto cada elemento deveadaptar-se às características e potencialidades dos restantes.

O fotodetetor é um dos elementos essenciais de qualquer sistema de comunicação ótica. De modoa acompanhar os avanços alcançados para o desempenho dos restantes componentes é essencial quehaja também uma melhoria das suas principais características como a largura de banda, o rendimentoquântico, o ruído e a potência de saturação.

Neste estudo, será dado ênfase à largura de banda e ao rendimento quântico de várias estruturas,como o fotodiodo pin convencional, fotodetetores de cavidade ressonante (RCE) e fotodetetores de guiade ondas (WGPD). A largura de banda determina o ritmo de transmissão do sistema de comunicação,e o rendimento quântico está relacionado com a sensibilidade do fotodetetor.

Um fotodíodo pin convencional pode ter uma elevada largura de banda se a região de absorção forfina, no entanto o rendimento quântico tomará valores baixos. Para aumentar o rendimento quânticoserá necessária uma maior espessura da região de aborção que, por sua vez, aumentará o tempo detrânsito dos portadores e, consequentemente, conduzirá a uma diminuição da largura de banda.

Para melhorar tanto a largura de banda como o rendimento quântico foram propostas novas estru-turas. Uma destas estruturas consiste num fotodíodo pin inserido numa cavidade de Fabry-Perot comespelhos de elevada refletividade em ambas as extremidades, este dispositivo é denominado fotode-tetor de cavidade ressonante (Resonant Cavity-Enhanced - RCE). A sua região de absorção pode sermuito fina mas, mesmo assim, consegue-se obter um elevado rendimento quântico devido à interferên-cia construtiva da luz na cavidade, na condição de ressonância.

Uma solução alternativa consiste em iluminar o dispositivo na direção perpendicular à de deriva, oque permite atuar no rendimento quântico e na largura de banda de forma independente. Esta estruturaé conhecida por fotodetetor de guia de ondas (Waveguide Photodetector - WGPD) em que o guia deondas é a própria região de absorção. Neste dispositivo é possível obter elevado rendimento quânticoe elevada largura de banda aumentando o comprimento da região de absorção e diminuindo a suaespessura.

1

1.1 Motivação

As exigências atuais na área das telecomunicações, assim como o rápido desenvolvimento e de-sempenho dos sistemas de comunicação, obrigam à procura de soluções novas e mais eficientes paraos diferentes componentes destes sistemas, nos quais se incluem os fotodetetores.

Os materiais e as estruturas utilizadas no desenvolvimento dos fotodetetores definem a respostaem frequência dos mesmos e, com base no trabalho já desenvolvido, sabe-se que os fotodetetoresconvencionais não possuem simultaneamente uma elevada largura de banda e rendimento quânticonecessários para os sistemas de comunicação ótica de última geração.

Algumas das limitações impostas pelos fotodetetores convencionais podem ser ultrapassadas comfotodetetores de cavidade ressonante (RCE - Resonant Cavity Enhanced) ou fotodetetores de guias deonda. Estes dispositivos, com a estrutura adequada, permitem uma maior largura de banda e rendi-mento quântico.

Neste trabalho é feita a análise, simulação e otimização das várias estruturas referidas com vista àsua utilização em sistemas de comunicação ótica que exijam uma elevada largura de banda e rendi-mento quântico.

1.2 Objetivos

Neste trabalho pretende fazer-se um estudo comparativo de fotodetetores com diferentes estruturase materiais, para deteção de radiação no intervalo 1, 3 µm < λ < 1, 6 µm, para aplicação em sistemasde comunicação óticos com ritmos de transmissão elevados. Para tal será feito o estudo dos princípiosbásicos de funcionamento destes dispositivos, dos materiais utilizados e da sua estrutura.

Para otimização, projeto e análise numérica destes dispositivos serão feitas várias simulações emMATLAB, re os resultados vão ser comparados com os obtidos por outros autores.

2

2. Estado da arte

2.1 Semicondutores

Para obter fotodetetores com as características exigidas pelos sistemas de comunicação ótica atuaisé necessário conhecer as propriedades elétricas e óticas dos materiais utilizados no seu fabrico.

Devido às suas propriedades elétricas únicas, os semicondutores são os materiais de excelênciautilizados no fabrico dos dispositivos eletrónicos. Além dessas propriedades elétricas também as pro-priedades óticas são importantes para aplicações em dispositivos optoeletrónicos como, por exemplo,nos fotodetetores.

As propriedades elétricas e óticas dos materiais semicondutores podem ser analisadas de formasimplificada recorrendo ao modelo da ligação covalente, Figura 2.1, e/ou ao do modelo das bandas deenergia, Figura 2.2.

Figura 2.1: Modelo da ligação covalente parao silício [1].

Figura 2.2: Modelo simplificado das bandasde energia de um semicondutor [2].

O modelo da ligação covalente, Figura 2.1, consiste numa representação bidimensional dos átomose das suas ligações com os átomos vizinhos envolvendo o modelo da partilha de eletrões no campoelétrico dos núcleos atómicos.

O modelo das bandas de energia, Figura 2.2, é o modelo básico para o explicar funcionamento dosfotodetetores e representa os intervalos de valores de energia permitidos e proibidos para os eletrõesem função da distância. Neste diagrama EC corresponde ao mínimo absoluto de energia da banda decondução e EV ao máximo absoluto da de valência. Ao intervalo de valores de energia entre EC eEV , dá-se o nome de banda proibida, cuja altura Eg, para uma dada temperatura, é expressa em eV

(eletrão-Volt).

De acordo com o modelo das bandas de energia apresentado só é possível caracterizar as tran-sições entre bandas em termos da alteração do valor da energia do eletrão. No entanto também háalterações do momento. Um diagrama com a relação energia-momento do eletrão reflete uma formamais elaborada e mais completa para apresentar o andamento das bandas de energia.

3

Existem duas representações básicas possíveis para este diagrama, a que representa semicondu-tores de banda direta, Figura 2.3a, e a que representa semicondutores de banda indireta, Figura 2.3b.No caso dos semicondutores de banda direta o máximo absoluto da banda de valência e o mínimoabsoluto da banda de condução encontram-se ambos associados ao mesmo valor do momento.

EC

EV EG

BC

BV

(a)

SEMICONDUTORES 1.10

característica dos semicondutores e isolantes. Contudo WG dos semicondutores é menor que

WG dos isolantes. Em princípio, um isolante possui 4GW ! eV. Nos metais as bandas de

condução e valência sobrepõem-se não havendo portanto uma banda de energia proibida.

Os electrões partilhados possuem energias na banda de valência que, a 0 K, está

totalmente preenchida. A uma temperatura superior a 0 K há ligações que se partem pelo que

vai haver electrões na banda de condução com energias próximas de WC. De acordo com o

modelo das bandas referido só é possível caracterizar as transições entre bandas em termos da

alteração do valor da energia do electrão. No entanto, em geral, há que incluir também

alterações do momento.

A relação energia-momento é uma forma mais elaborada e mais completa para

apresentar o andamento das bandas. Há duas representações básicas possíveis e que envolvem

o que se designa por semicondutores de banda directa e semicondutores de banda indirecta.

Nos semicondutores de banda directa o topo da banda de valência e o mínimo absoluto da

banda de condução estão associados ao mesmo valor do momento. Nos semicondutores de

banda indirecta o mínimo absoluto da banda de condução e o máximo absoluto da banda de

valência estão associados a valores diferentes do momento, Fig. 1.6.

WC

WVW V

W C WGW G

W W

p

(a) (b)

p

Fig. 1.6 – (a) Semicondutores de banda directa; (b) Semicondutores de banda indirecta.

Nos semicondutores de banda directa as transições de electrões envolvem basicamente

variações de energia e portanto quando um electrão transita da banda de condução para a

banda de valência a energia é fornecida sob a forma dum fotão com um valor próximo de WG.

EG

EC

EV

BC

BV

(b)

Figura 2.3: Diagrama das bandas para semicondutores de a) banda direta e b) banda indireta.

Para que ocorra a transição de eletrões da banda de valência para a banda de condução é neces-sário que incida no semicondutor um fotão com energia de valor igual ou superior ao da altura da bandaproibida, Eg.

A relação entre Eg e o comprimento de onda λ do fotão incidente decorre diretamente da energiado fotão dada por:

Efotao = hf [J ] (2.1)

em que h é a constante de Planck, h = 6, 63× 10−34Js e f representa a frequência da radiação.

A relação entre a frequência e o comprimento de onda do fotão é:

f =c

λ[Hz] (2.2)

em que c é a velocidade da luz no vácuo, c ' 3× 108m/s.

Assim resulta para o valor de Eg:

Efotao = Eg =hc

λ[J ] (2.3)

Com a energia expressa em eV(1eV = 1, 6× 10−19J

), e o comprimento de onda expresso em µm,

a relação (2.3) pode ser escrita como:

Eg '1, 243

λ(µm)[eV ] (2.4)

No espetro eletromagnético, Figura 2.4, pode ver-se diretamente a relação entre Eg e λ.

4

Figura 2.4: Correspondência entre Eg e λ no espetro eletromagnético [3].

Os semicondutores podem ser simples ou compostos. Semicondutores simples são o silício, Si, e ogermânio, Ge, ambos de banda indireta. Os semicondutores compostos possuem mais que um tipo deátomos e podem resultar da combinação de elementos do Grupo 14 da Tabela Periódica, dos Grupos13 e 15 e dos Grupos 12 e 16.

Os semicondutores podem classificar-se em binários, ternários ou quaternários e podem ser debanda direta ou indireta.

Um semicondutor puro designa-se por intrínseco e possui uma densidade igual de eletrões na bandade condução e buracos na banda de valência. A adição de impurezas de substituição permite obtersemicondutores tipo-n ou tipo-p em que os eletrões ou os buracos são dominantes.

2.2 Materiais

Para a região de absorção deve escolher-se um material com altura da banda proibida ligeiramenteinferior à energia do fotão correspondente ao maior comprimento de onda especificado para o sistemade comunicação ótica. Para a deteção de radiação no intervalo 1, 3 µm < λ < 1, 6 µm e, observando aFigura 2.5, verifica-se que, usando o semicondutor composto binário InP para o substrato (n+ e p+),o semicondutor composto ternário Ga0.47In0.53As é não só adequado para a região de absorção comotambém permite obter heterojunções de boa qualidade com o InP pois possuem a mesma constantede rede cristalina.

Figura 2.5: Altura da banda proibida em função da constante da rede cristalina para vários semi-condutores [4].

5

2.3 Fotodetetores

Um fotodetetor é um dispositivo que converte, em geral, um sinal ótico num sinal elétrico, sob aforma de corrente ou de tensão, para mais tarde ser processado ou armazenado.

O principal mecanismo de deteção usado nos fotodetetores de material semicondutor é o efeitofotoelétrico interno, que pode ser explicado através do modelo das bandas de energia. Fotões comenergia superior à da banda proibida podem ser absorvidos pelo semicondutor dando origem a pareseletrão-buraco. No caso de existir pelo menos uma junção retificadora, o campo elétrico associado àdiferença de potencial de contacto pode atuar sobre os pares eletrão-buraco gerados dando origem aoaparecimento de uma corrente elétrica ou tensão no circuito exterior.

2.3.1 Parâmetros dos fotodetetores

Vários parâmetros são usados para caracterizar um fotodetetor, de forma a definir se são adequadosou não para determinada aplicação. Nos parágrafos seguintes são descritos alguns desses parâmetros,[5].

Resposta espetral

Um fotodetetor está limitado a um intervalo específico e finito do espetro eletromagnético, determi-nado pelo material utilizado e pela estrutura do dispositivo. É imperativo existir compatibilidade entre oconteúdo espetral do sinal ótico e a resposta espetral do detetor.

Rendimento quântico

O rendimento quântico, η, traduz a probabilidade de um fotão incidente gerar um par eletrão-buraco,que contribui para a corrente no fotodetetor. Este parâmero depende do comprimento do dispositivo, la,e do coeficiente de absorção, α, do material, sendo dado pela expressão:

η = (1−R) ηi(1− e−αla

)(2.5)

R representa a refletividade na superfície do dispositivo e ηi o rendimento quântico interno. O ren-dimento quântico é, assim, uma função do comprimento de onda dos fotões incidentes uma vez que αdepende do λ.

O rendimento quântico é tipicamente definido pelas propriedades óticas do material semicondutor epela estrutura do fotodetetor.

Responsividade

A responsividade, R, de um fotodetetor relaciona o sinal de saída com um determinado sinal óticode entrada. É, em geral, definida como a razão entre a corrente ou tensão de saída, iS ou vS , e apotência do sinal ótico de entrada, PS .

Para um fotodetetor com saída em corrente a responsividade é definida como:

R =iSPS

[AW−1] (2.6)

6

Para um fotodetetor com saída em tensão a responsividade é definida como:

R =vSPS

[VW−1] (2.7)

Potência equivalente de ruído

A potência equivalente de ruído (NEP - Noise Equivalent Power ) de um fotodetetor é definida comoa potência de entrada necessária para que a razão sinal-ruído (SNR) seja unitária na saída do detetor,SNR = 1.

A expressão para a NEP de um fotodetetor, com ou sem ganho interno e com saída em corrente,pode ser definida como:

NEP =i2n

1/2

R[W ] (2.8)

na qual i2n1/2

é o valor eficaz da corrente de ruído de entrada.

No caso do sinal de saída ser em tensão tem-se:

NEP =v2n

1/2

R[W ] (2.9)

em que v2n1/2

é o valor eficaz da tensão de ruído de entrada.

Detetividade

A detetividade caracteriza a facilidade que um fotodetetor tem para detetar um sinal ótico de baixaintensidade. É definida como o inverso da potência equivalente de ruído do fotodetetor:

D =1

NEP[W−1] (2.10)

Linearidade e gama dinâmica

A linearidade de um fotodetetor significa que o sinal de corrente ou tensão de saída é linearmenteproporcional ao sinal ótico de entrada. Para que não haja distorção no sinal elétrico de saída, relati-vamente ao sinal ótico de entrada, é essencial que o fotodetetor tenha uma resposta linear. No casode o dispositivo cumprir com esta especificação, o rendimento quântico η e a responsividade R sãoconstantes independentes da potência do sinal de entrada.

No entanto, na prática, todos os fotodetetores têm um limite para a sua resposta linear, pois a partirde certo valor de potência do sinal ótico de entrada, PSat, a resposta do fotodetetor começa a saturar,Figura 2.6, definindo assim a gama dinâmica (DR - Dynamic Range) do mesmo.

7

(a) Saída em corrente. (b) Saída em tensão.

Figura 2.6: Resposta típica do sinal de saída como função da potência do sinal ótico de entrada[5].

Rapidez e resposta em frequência

A rapidez de um fotodetetor encontra-se diretamente relacionada com a sua resposta em frequên-cia. Esta determina a capacidade do fotodetetor de seguir um sinal ótico de elevada frequência. Paraque tal seja possível, o dispositivo deve ter uma velocidade de resposta superior à variação temporalmais rápida do sinal de entrada, o que equivale a ter uma largura de banda que abrange a largura debanda do sinal.

No domínio do tempo, a rapidez de um fotodetetor é caracterizada pelo tempo de subida, tr, e pelotempo de descida, tf . O tempo de subida é definido como o intervalo de tempo que a resposta demoraa subir de 10% a 90% do seu valor final.

A largura de banda de um fotodetetor é limitada tanto pelo tempo de trânsito dos portadores, comopela constante de tempo RC.

2.4 Fotodíodo pin

Um fotodíodo pin é caracterizado por possuir uma região intrínseca (i) colocada entre duas regiõesfortemente dopadas (p+ e n+) onde se estabelecem os contactos metálicos, como se pode observarna Figura 2.7.

A iluminação pode incidir do lado p ou do lado n. Em condições normais de funcionamento o dis-positivo encontra-se polarizado inversamente, com valores da tensão de polarização tais que a regiãode depleção se estende a toda a região intrínsica (i). Desta forma, o campo elétrico nesta região éaproximadamente constante, ou seja, é considerado uniforme, Figura 2.8, e suficientemente elevadopara que os portadores de carga possuam uma velocidade tal que pode ser aproximada pela corres-pondente velocidade de saturação.

Devido à incidência de iluminação existe um acréscimo de pares eletrão-buraco na região de absor-ção (i), Figura 2.7, o que origina uma corrente no circuito exterior determinada pelo movimentos dosportadores sob a ação do campo elétrico nessa região.

8

Figura 2.7: Estrutura de um fotodíodo pin ediagrama de bandas de energia [6].

Figura 2.8: Variação do campo elétrico no fo-todíodo pin ao longo da região intrínseca [1].

Figura 2.9: Variação da potência no fotodíodopin ao longo da região intrínseca.

Sob o ponto de vista de sinal o fotodíodo pin pode ser representado pelo seu circuito equivalente,Figura 2.10, onde são contabilizados os efeitos capacitivos.

Figura 2.10: Esquema incremental do fotodíodo pin [7].

Rd é a resistência de fugas e C1 a capacidade associada à junção. A resistência em série RS

equivale à resistência nas regiões homogéneas do díodo e à resistência parasita dos contactos. A ca-pacidade em paralelo, Cp, representa a capacidade parasita dos contactos e encapsulamento.

A resposta em frequência do fotodíodo é determinada por todos estes parâmetros, sendo conve-niente eliminar ou reduzir os efeitos parasitas. Para tal, e de forma a ter um fotodíodo mais rápido e

eficiente, deve ter-se Rd →∞, RS = 0 e Cp = 0. A capacidade de junção pode ser dada por C1 =εnA

w,

onde A é a área da secção do dispositivo, εn a permitividade elétrica do material e w a espessura daregião de absorção.

2.4.1 Resposta em frequência

De forma a permitir sistemas de comunicação ótica com ritmos de transmissão elevados, o tempode resposta dos fotodíodos deve ser curto. Tal como foi dito anteriormente, o seu valor está limitadotanto pelo tempo de trânsito dos portadores na região depleta, como pelo pela constante de tempo RCdo circuito equivalente.

9

O tempo de trânsito dos portadores é diretamente proporcional ao comprimento da região de ab-sorção la e inversamente proporcional à velocidade dos portadores (vns e vps) as quais dependem domaterial. Aumentando a velocidade e/ou diminuindo o comprimento da região depleta la é possívelreduzir o tempo de trânsito.

Os efeitos capacitivos podem ser minimizados se se diminuir a área da secção transversal A e au-mentar o comprimento la.

Para o In0.53Ga0.47As identificam-se vários parâmetros na Tabela 2.1, [7].

Tabela 2.1: Parâmetros usados nas simulações para o In0.53Ga0.47As.

Parâmetros λ = 1, 3 µmλ = 1, 3 µmλ = 1, 3 µm λ = 1, 55 µmλ = 1, 55 µmλ = 1, 55 µm Unidades

Coeficiente de absorção α 1, 5× 106 0, 67× 106 m−1

Velocidade de saturação dos eletrões vns 6, 11× 104 m/s

Velocidade de saturação dos buracos vps 4, 8× 104 m/s

Área A 100 µm2

Capacidade parasita Cp 0, 02 pF

Permitividade elétrica εn 14, 1 ε0 F/m

A resposta em frequência de um fotodíodo pin de comprimento la, considerando apenas o tempo detrânsito dos portadores na região depleta, é dada por, [8]:

I (ω) = qφ1αla

[f (αla)− e−αlaf (iωτna)

αla + iωτna− f (αla)− f (iωτpa)

αla − iωτpa

](2.11)

em que τna e τpa são o tempo de trânsito dos eletrões e buracos respetivamente e f (x) =1− e−x

x.

A função de transferência do circuito equivalente da Figura 2.10, desprezando Rd, é dada pelaseguinte expressão:

HRC =I0I1

=1

−ω2RLRSCpC1 + iω (C1 (RL +RS) +RLCp) + 1(2.12)

considerando RS = 0 obtêm-se:

HRC '1

iωRL (C1 + Cp) + 1(2.13)

A resposta em frequência de um fotodíodo pin, considerando os efeitos capacitivos e o tempo detrânsito dos portadores na região depleta, pode ser calculada por:

H =I (ω)

I0×HRC (2.14)

com I0 = qφ1αla

[f (αla)− e−αla

αla− f (αla)− 1

αla

].

Para analisar a resposta em frequência dos fotodíodos pin, usando os parâmetros definidos na Ta-bela 2.1, procedeu-se à simulação em MATLAB do dispositivo para diferentes comprimentos de onda,diferentes áreas e diferentes comprimentos la. A Figura 2.11 mostra a resposta em frequência em fun-ção de la, de um dispositivo com A = 100 µm2 e radiação incidente λ = 1, 55 µm sem e com efeitos

10

capacitivos. Os resultados obtidos para λ = 1, 3 µm estão representados na Figura 2.12.

10−1 100 101 102 1030

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Resposta em frequencia em funcao do comprimento lapara h = 1.55µm

Frequencia (GHz)

10−1 100 101 102 1030

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Resposta em frequencia em funcao do comprimento lapara h = 1.55µm considerando efeitos capacitivos

Frequencia (GHz)

_ la=4_ la=1_ la=1/2

_ la=4_ la=1_ la=1/2

Figura 2.11: Resposta em frequência para λ = 1, 55 µm e vários valores de la sem e com efeitoscapacitivos. A = 100 µm2.

10−1 100 101 102 1030

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Resposta em frequencia em funcao do comprimento lapara h = 1.3µm

Frequencia (GHz)

10−1 100 101 102 1030

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Resposta em frequencia em funcao do comprimento lapara h = 1.3µm considerando efeitos capacitivos

Frequencia (GHz)

_ la=4_ la=1_ la=1/2

_ la=4_ la=1_ la=1/2

Figura 2.12: Resposta em frequência para λ = 1, 3 µm e vários valores de la sem e com efeitoscapacitivos. A = 100 µm2.

Na Figura 2.13 mostra-se a evolução da largura de banda em função de la para λ = 1, 55 µm e

11

λ = 1, 3 µm, RL = 50 Ω, sem e com efeitos capacitivos, para A = 100 µm2 e A = 1000 µm2.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

100

200

300

400

500

600Largura de banda em funcao do comprimento la

Comprimento la (µm)

Larg

ura

de b

anda

(GH

z)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Largura de banda em funcao do comprimento laconsiderando efeitos capacitivos


Larg

ura

de b

anda

(GH

z)

h = 1.55µmh = 1.3µm h = 1.55µm e A=100µm2

h = 1.55µm e A=1000µm2

h = 1.3µm e A=100µm2

h = 1.3µm e A=1000µm2

Figura 2.13: Largura de banda em função do comprimento la para λ = 1, 55 µm e λ = 1, 3 µm,sem e com efeitos capacitivos.

Tal como se pode observar no gráfico obtido em 2.13, sem efeitos capacitivos, quanto menor foro comprimento da região depleta maior é a largura de banda, ou seja, mais rápido é o dispositivo, jáque o tempo de trânsito dos portadores de carga é menor. Com a inclusão da capacidade de junção,a constante de tempo RC vai diminuir a largura de banda. Para comprimentos acima de 1 µm os efei-tos capacitivos não exercem praticamente nenhuma influência na largura de banda, sendo o tempo detrânsito dominante. Abaixo de 1 µm os efeitos capacitivos começam a fazer-se sentir e são responsá-veis pelo aparecimento do máximo na largura de banda. Também se conclui que, para os dois valorestestados do comprimento de onda, a largura de banda não varia apreciavelmente.

2.4.2 Rendimento quântico

No cálculo do rendimento quântico de um fotodíodo pin, usou-se a expressão dada por (2.5) emque se considera R = 0, ou seja, nenhum fotão incidente é refletido, e ηi = 1, ou seja, todos os fotõesincidentes são absorvidos.

Variando o comprimento la obtiveram-se as curvas do rendimento quântico para λ = 1, 55 µm eλ = 1, 3 µm, Figura 2.14.

12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Rendimento quantico em funcao do comprimento la


Ren

dim

ento

qua

ntic

o

h = 1.55µmh = 1.3µm

Figura 2.14: Rendimento quântico em função do comprimento la para λ = 1, 55 µm e λ = 1, 3 µm.

Da análise do gráfico verifica-se que o rendimento quântico aumenta com o comprimento la, poispara comprimentos menores o dispositivo não consegue absorver todos os fotões incidentes. Parala = 4/α garante-se que praticamente todos os fotões são absorvidos, sendo o rendimento quânticoaproximadamente 1. Fixando la verifica-se que o rendimento quântico é superior para λ = 1, 3 µm emvirtude de, para este comprimento de onda, o coeficiente de absorção ser mais elevado do que paraλ = 1, 55 µm.

Os resultados da Figura 2.14 podem ser substancialmente mais baixos se a condição R = 0 não severificar. Por exemplo, com as as regiões n e p de InP , a refletividade na interface com o ar, incidêncianormal, é de aproximadamente 30%. É, por isso, essencial que o dispositivo possua uma camada anti-refletora para garantir η elevado. O valor de ηi não é tão crítico desde que o semicondutor seja debanda direta.

2.4.3 Produto rendimento quântico - largura de banda

O produto rendimento quântico - largura de banda obtém-se combinando os resultados da Figura2.14 e Figura 2.13, e mostra-se na Figura 2.15.

13

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 45

10

15

20

25

30

35Produto dxBW em funcao do comprimento la


dxB

W (G

Hz)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Produto dxBW em funcao do comprimento laconsiderando efeitos capacitivos


dxB

W (G

Hz)

h = 1.55µmh = 1.3µm

h = 1.55µm e A=100µm2

h = 1.55µm e A=1000µm2

h = 1.3µm e A=100µm2

h = 1.3µm e A=1000µm2

Figura 2.15: Produto rendimento quântico - largura de banda em função do comprimento la,obtido por combinação dos resultados das duas figuras anteriores.

Da Figura 2.15 e 2.14, conclui-se que o valor máximo obtido para o produto rendimento quântico- largura de banda não ultrapassa 20 GHz para um rendimento quântico ligeiramente superior a 0, 5.Assim, torna-se clara a dificuldade em conciliar elevada rapidez e rendimento quântico num fotodíodopin, não sendo estes dispositivos adequados para os sistemas de comunicação por fibra ótica comexigências de largura de banda da ordem dos 50 GHz.

14

3. Fotodetetores de cavidadeRessonante

Tal como se concluiu através das simulações feitas para os fotodíodos pin, dispositivos mais curtosapresentam uma melhor resposta em frequência, ou seja, uma maior largura de banda, mas em con-trapartida têm um rendimento quântico mais baixo. Deste modo os fotodíodos pin descritos no capítuloanterior, não permitem a otimização simultânea da largura de banda e do rendimento quântico.

Com o objetivo de melhorar o rendimento quântico, sem afetar a rapidez do dispositivo, desenvolveu-se o conceito de fotodetetor de cavidade ressonante (RCE - Resonant Cavity-Enhanced), Figura 3.1.Nestes fotodetetores a região de absorção, colocada numa cavidade de Fabry-Perot, possui um coefici-ente de absorção, α, muito superior ao coeficiente de absorção, αex, das regiões adjacentes. Em geralpode-se desprezar αex face a α.

Região de absorção 0Z Z L

exD exDiE

fE bE

1L 2L

Radiação incidente

d

...

Camadas reflectoras 4O

Figura 10 – Representação esquemática de um fotodetector com cavidade de Fabry-Perot [28].

Os espelhos e os contactos são fabricados com materiais cuja absorção, para os

comprimentos de onda de interesse, é desprezável. Admite-se que as regiões entre os

espelhos e a zona de absorção possuem um coeficiente de absorção , muito menor que

D. Deste modo, desde que a região de absorção não seja muito fina ou as camadas

exteriores muito espessas, pode-se desprezar

exD

exD face a D. Nestas condições o rendimento

quântico pode ser expresso como [28]:

2

121 2 1 2 1 2

11 1

1 2 cos 2

dd

d d

R eR e

R R e L R R e

DD

D D

½° °K u® ¾ E M M ° °¯ ¿

(48)

em que R1 é a reflectividade associada ao espelho 1, R2 a reflectividade do espelho 2, E a

constante de propagação, M1 e M2 são os desvios de fase resultante da interacção da luz com

as multicamadas reflectoras 1 e 2, respectivamente.

O efeito associado à cavidade é dado pela expressão entre chavetas e mostra que K é uma

função periódica de 1 O . O valor de pico de K obtém-se quando

1 2cos 2 1LE M M (49)

e vale

212

1 2

11 1

1

dd

pd

R eR e

R R e

DD

D

K

(50)

que, se , 1dD

212

1 2

1 11

1 1p

R dR

R R d

DK

ª º D¬ ¼

d D (51)

21

Figura 3.1: Estrutura de um fotodetetor RCE [8].

O fotodetetor possui ainda faces espelhadas, refletoras, obtidas por deposição de várias camadasde material semicondutor ou dielétrico com espessura de λ/4, colocadas nos extremos da cavidade.Esta configuração permite que, mesmo para espessuras pequenas da região de absorção, o rendi-mento quântico possa ser elevado.

3.1 Rendimento quântico

Na condição de ressonância, a luz incidente interfere construtivamente com a componente refletidanos espelhos da base. Desta forma é possível obter um rendimento quântico elevado, mesmo quandoa região de absorção é muito fina, sem afetar a resposta em frequência.

A cavidade ressonante determina que rendimentos quânticos elevados só possam ser obtidos paracertos valores do comprimento de onda, λ. Esta característica permite olhar para os fotodetetores RCEcomo dispositivos muito sensíveis para determinados comprimentos de onda ou ainda como um detetorintegrado com um filtro.

O rendimento quântico da estrutura RCE da Figura 3.1, admitindo que a absorção de luz só temlugar na região de absorção, pode ser expresso como [11]:

15

η =

[ (1 +R2e

−αd)1− 2

√R1R2e−αdcos (2βL+ ψ1 + ψ2) +R1R2e−2αd

]× (1−R1)

(1− e−αd

)(3.1)

em que R1 é a refletividade associada ao espelho de topo, R2 a refletividade associado ao espelho dabase, β a constante de propagação, e ψ1 e ψ2 são os desvios de fase resultante da interação da luz

com as faces refletoras 1 e 2, respetivamente. A constante de propagação β =2nπ

λ, em que n é o

índice de refração do meio e λ o comprimento de onda no vazio da radiação incidente.

De (3.1) conclui-se que o rendimento quântico é uma função periódica do inverso do comprimentode onda. A Figura 3.2 representa o rendimento quântico, η, em função do comprimento de onda, λ,para vários valores de R1 e L, fixando-se αd = 0, 1 e R2 = 0, 9.

0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.960

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Rendimento quantico em funcao do comprimento de onda com _d = 0.1 e R2=0.9

Comprimento de onda, h [µm]

Ren

dim

ento

qua

ntic

o, d

R1=0.05, L=2.5 µmR1=0.3, L=2.5 µmR1=0.7, L=2.5 µmR1=0.9, L=2.5 µmR1=0.7, s1+s2=f(L=3.5 µm)R1=0.7, s1+s2=f(L=2.5 µm), L=3.5 µm(1−e−_d)

Figura 3.2: Rendimento quântico em função do comprimento de onda com αd = 0, 1 e R2 = 0, 9,para vários valores de R1 e L.

As curvas obtidas para as várias simulações, foram comparadas com o rendimento quântico do foto-díodo pin estudado anteriormente (linha a preto). Inicialmente o comprimento de onda correspondenteao máximo do rendimento quântico foi definido para λ0 = 0, 9 µm através de:

θ = 2βL+ ψ1 + ψ2 = 2π + 2L (β − β0) (3.2)

com β0 =2πn

λ0e n = 3, 48.

Mantendo L = 2, 5 µm variou-se o valor de R1 e verificou-se que aumentando este valor atéR1 = 0, 7 o rendimento quântico de pico aumentava, diminuindo apenas quando R1 = 0, 9 (linhas acheio). Para R1 = 0, 7 e comprimento L = 3, 5 µm, mantendo-se o comprimento de onda de pico,verificou-se que aumentava a seletividade do fotodetetor (linha traço-ponto roxa) e que a distância en-tre dois picos consecutivos diminuía. De seguida, mantendo β0 para L = 2, 5 µm definiu-se L = 3, 5 µm

e verificou-se que o comprimento de onda correspondente ao máximo de η se deslocava-se para a es-querda e a distância entre máximos também diminuía. Neste caso, o η para λ0 = 0, 9 µm está mesmoabaixo do valor obtido para o fotodíodo pin.

16

O rendimento quântico de pico, ηp obtém-se quando cos θ = 1 e é dado por:

ηp =

[ (1 +R2e

−αd)(1−√R1R2e−αd

)2]× (1−R1)

(1− e−αd

)(3.3)

O valor de ηp depende pois do produto αd, de R1 e R2.

O estudo da variação de ηp com o coeficiente de absorção normalizado αd, para diferentes combi-nações de valores das reflectividades R1 e R2, está representado na Figura 3.3.

10−1 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Pico do rendimento quantico na ressonancia em funcao do coeficiente de absorcao normalizado

Coeficiente de absorcao normalizado, _d

Ren

dim

ento

qua

ntic

o, d

p

R2=0, R1=0.3R2=0.9, R1=0.3R2=0.9, R1=0.5R2=0.9, R1=0.7R2=0.9, R1=0.9R2=0.99, R1=0.7

Figura 3.3: Rendimento quântico de pico em função do coeficiente de absorção normalizado αd.

A Figura 3.3 mostra que aumentando a refletividade do espelho de base, R2, se obtém maior ren-dimento quântico de pico. Também se verifica que para um valor de R2 fixo, 0, 9, quanto maior for R1

menor é o máximo de ηp. Os valores máximos de ηp, para as várias combinações de valores de refle-tividade, estão associados a diferentes valores de αd. Assim, para um dado valor de αd, existe umacombinação R1, R2 que permite obter o valor máximo de ηp.

Da equação (3.3) deduz-se que, para um dado αd, ηp é máximo quando R1 = R2e−2αd [11]. Nestas

condições o valor máximo de ηp, ηmax, pode ser expresso como:

ηmax =

(1 +R2e

−αd)(1−R2e−2αd)

×(1− e−αd

)(3.4)

A Figura 3.4 representa o rendimento quântico máximo, ηmax, em função de αd.

17

10−3 10−2 10−1 100 1010

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Rendimento quantico maximo em funcao do coeficiente de absorcao normalizado, para R1 = R2

−2_d)

Coeficiente de absorcao normalizado, _d

Ren

dim

ento

qua

ntic

o m

axim

o, d

max

R2=0R2=0.7R2=0.9R2=0.99

Figura 3.4: Rendimento quântico máximo em função do coeficiente de absorção normalizado αdpara R1 = R2e

−2αd.

Os resultados obtidos na Figura 3.4 demonstram que, para um dado αd, quanto maior for o valorde R2, maior é ηmax. Quando R2 = 0, sem efeito de cavidade, rendimentos quânticos maiores que90% só se conseguem com regiões de absorção de espessura superior a 2 µm (com α ' 106m−1).Em contrapartida, quando R2 = 0, 99 é possível obter rendimentos quânticos da mesma ordem, comregiões de absorção muito mais finas, ∼ 0, 045 µm.

3.2 Efeito de onda estacionária

O efeito de onda estacionária, Standing Wave Effect - SWE, deve-se ao aparecimento, na cavidade,de uma onda estacionária resultante da interferência da onda transmitida com a onda refletida nosespelhos, dando origem a uma distribuição espacial do campo elétrico. Para regiões de absorção muitofinas este efeito faz com que o valor do rendimento quântico dependa da posição da região de absorçãona cavidade, [12]. É usual definir-se um coeficiente de absorção efetivo:

αeff = α · SWE (3.5)

que, na cavidade, passa a ser uma função da posição da região de absorção.

O SWE pode ser expresso como:

SWE = 1 +2√R2

β0d (1 +R2)[sin (β0d) cos (2β0L2 + β0d+ ψ2)] (3.6)

Para detetores com espessuras da região de absorção superiores a meio comprimento de onda,d > λ0/2n, o efeito de onda estacionária pode ser desprezado. Pelo contrário, para espessuras muitofinas, este efeito deve ser considerado. O efeito de onda estacionária é implicitamente dependente dafase, ψ1, do espelho de topo através da condição de ressonância (2β0L+ ψ1 + ψ2 = 2mπ), e explicita-mente dependente do comprimento de onda através da constante de propagação β0 = 2πn/λ0.

18

Considerando um espelho de base ideal (R2 = 1 e ψ2 = 0), um espelho de topo real (ψ1 = 0),L1 = L2 e a condição de ressonância, a expressão obtida em (3.6) pode ser simplificada:

SWE = 1 + cos (mπ)sin (β0d)

β0d= 1± sin (β0d)

β0d(3.7)

A Figura 3.5 representa SWE em função da espessura da região de absorção normalizada, βd.

10−2 10−1 100 101 1020

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Efeito de onda estacionaria em funcao da espessura da regiao de absorcao normalizada, d

Espessura da regiao de absorcao normalizada, ` d

SWE

Figura 3.5: Efeito de onda estacionária em função da espessura da região de absorção normali-zada, βd.

Na Figura 3.5 estão representados os extremos da função SWE, nas condições especificadas an-teriormente. Os resultados obtidos mostram que para maiores espessuras da região de absorção, ovalor de SWE se aproxima de 1, ou seja, αeff ' α.

Da expressão (3.2) obtém-se, na condição de ressonância,:

ψ1 + ψ2 = 2mπ − 2β0L = 0⇔ L =mπ

β0(3.8)

Para efeitos de simulação escolhe-se L = 9π/β0 ' 2µm e R2 = 0, 9, para um λ0 = 1, 55 µm.Inicialmente estuda-se o rendimento quântico em função da espessura da região de absorção comL1 = L2 comparando os casos com e sem SWE, Figura 3.6.

19

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Rendimento quantico para L1=L2 e L=9//`0 µm

Espessura da regiao de absorcao, d ( µm)

Ren

dim

ento

qua

ntic

o, d

Sem SWECom SWE

Figura 3.6: Rendimento quântico em função da espessura da região de absorção.

Analisando a Figura 3.6 verifica-se que para valores de d superiores a 0, 2 µm, o efeito de ondaestacionária pode ser desprezado. Tal não acontece para espessuras mais finas em que é visível adiferença no rendimento quântico com e sem SWE.

Tendo em consideração a equação (3.6), conclui-se que o efeito de onda estacionária não tem qual-quer efeito no rendimento quântico para espessuras da região de absorção normalizada βd = mπ,independentemente da posição da cavidade ressonante no fotodetetor.

No caso de βd = π/2 já se espera que haja variação do rendimento quântico com a posição da regiãode absorção, Figura 3.7.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98Rendimento quantico para `d=//2 em funcao de L1 para L=9//`0 µm

L1 ( µm)

Ren

dim

ento

qua

ntic

o, d

Sem SWECom SWE

Figura 3.7: Rendimento quântico em função de L1, para βd = π/2.

20

Da análise da Figura 3.7, e calculando a primeira e a segunda derivada da equação (3.6), conclui-seque os valores de L2 para os quais o rendimento é máximo são definidos por:

L2 =mπ − β0d

2β0(3.9)

sendo m um número par inteiro e positivo e L1 = L− d− L2.

3.3 Resposta em frequência

A resposta em frequência do fotodetetor RCE irá ser investigada tendo em linha de conta os efeitosdo tempo de trânsito, os efeitos capacitivos e os efeitos indutivos que, para as frequências em questão,poderão ser importantes.

No estudo da resposta em frequência de um fotodetetor RCE analisou-se a estrutura representadaesquematicamente na Figura 3.8.

Abstract-This paper presents the frequency response analysis of dual depletion PIN photodiodes. This structure differs from the conventional PIN photodiode because an intrinsic layer of the same semiconductor material as the N and P regions is placed next to the absorption region. The simulation model takes into account the capacitive and the transit time effects, and can be applied to multilayer structures in situations of non-uniform illumination and arbitrary electric field profile. The results indicate that better bandwidths may be obtained with this type of structure compared to those for the conventional PIN photodiode.

I. INTRODUCTION In optical communication systems the main element at the

receiver is the photodetector which should have good responsivity, high bandwidth and low noise. The PIN structure seems to fulfill these requirements and yet it is very simple to fabricate. For the wavelength range between 1.0 and 1.6 Pm, the most adequate materials are those from the InGaAsP family. For InP substrates the lattice matched InGaAs semiconductor material seems to be the obvious choice for the absorption region [1].

The frequency response of PIN photodiodes depends mainly on the transit time and on the capacitive effects. It is seen that transit time effects are dominant for long devices and the capacitive effects for short devices. These combined effects limit the bandwidth to a maximum value which decreases when the area and the series resistance of the device increase [2]. In order to increase the bandwidth maximum a dual depletion PIN structure has been proposed because it is likely to have lower capacitance and transit time than the conventional PIN structure [3].

This paper presents a comprehensive study of the frequency response of dual depletion PIN photodiodes taking into account the location of the drift region relative to the n and p contacts and the direction of the incident light. The simulation model used in the frequency response analysis of the PIN structure will be adapted in order to treat this new structure [2,4]. From these results it is possible to get some insight regarding the device’s structural parameters that optimize its frequency response.

II. DEVICE STRUCTURE AND MODELING

The structures under investigation are shown in Fig. 1. They consist of two highly doped p+ and n+ contacts of InP and, between them, one region of intrinsic InP (D) and one region of lightly doped In0.53Ga0.47As (A). The light may be incident from either side but it will be absorbed only by the ternary semiconductor. Under normal operation the device is

reverse biased and the electric field in the A and D layers is assumed to be so high that the optical generated carriers will drift away to the contacts with their corresponding saturation velocities.

n+

n-

p+

InP InP In0.53Ga0.47As

x0

) )' A D

InP

la la+ ld

n+

n-

p+


x0

) )' A D

InP

ld la+ ld Fig. 1. Schematics of the dual depletion structures under investigation.

The light may be incident from either side. The frequency response, for each of the structures and the

illumination conditions shown in Fig.1, is obtained by considering the transit time and the capacitive effects. The numerical model is briefly presented in the following paragraphs.

A. Transit time effects Regarding the transit time effects the frequency response

calculations are based on a relatively simple, yet very general method, which can be applied to multi-layer structures in situations of non-uniform illumination [5]. By assuming that the carriers’ drift velocity is constant in the drift (D) and absorption (A) layers there are analytical solutions for the continuity equations in these regions. It is then possible to characterize each region by a set of four linear coefficients, T, RJG

, SG

and D which verify the following relations:

2,1 2 1

2,1 2 2 1

2,1 2 1 1

2,1 2 1 2 1

T T T

T

T T T

S S T S

R R T R

D R S D D

G G G

G G G

GG

where subscripts (1), (2) and (2,1) refer to the 1st region, 2nd region and the union of the two regions respectively, according to the x-axis shown in Fig. 1.

Frequency Response Analysis of Dual Depletion PIN Photodiodes

Cláudio C. Fernandes* and Jorge T. Pereira** *DEEC, Instituto Superior Técnico

**Instituto de Telecomunicações, DEEC, Instituto Superior Técnico Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa, Portugal

[email protected]









n+

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2,1 2 2 1

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2,1 2 2 1

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2,1 2 2 1

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2,1 2 2 1

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2,121

2,1221

2,1211

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2,1221

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2,1221

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n-

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2,1221

2,1211

2,12121

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##









n+

n-

p+


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la la+ ld

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n-

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2,1 2 1

2,1 2 2 1

2,1 2 1 1

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n-

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2,1 2 2 1

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2,1 2 2 1

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T

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G G G

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#######

# # # # # # # # #####L#

## InP

mirror mirror

C C

Sub

Figura 3.8: Estrutura de um fotodetetor RCE. Sistema de eixos e dimensões usadas na análiseda resposta em frequência.

A região de absorção (A) é de In0.53Ga0.47As e encontra-se colocada entre duas regiões de deriva(D) intrínsecas de InP . As regiões de contacto (C), n+ e p+, são de InP e fortemente dopadas. Nasregiões D e de contacto a absorção de luz é considerada desprezável. A cavidade é constituída pelasregiões A, D e C. Nas extremidades da cavidade encontram-se espelhos que podem ser obtidos pordeposição de várias camadas de material dielétrico ou semicondutor, de espessura λ/4, sendo que asua refletividade pode ser ajustada de forma a obter o valor pretendido.

Admite-se que os portadores de carga, para esta configuração, são gerados apenas na região deabsorção e que a iluminação é feita do lado p.

Para o In0.53Ga0.47As e o InP identificam-se vários parâmetros na Tabela 3.1, para λ = 1, 55 µm.

21

Tabela 3.1: Parâmetros usados nas simulações para o InP e o In0.53Ga0.47As, λ = 1, 55 µm [7].

Parâmetros InPInPInP In0.53Ga0.47AsIn0.53Ga0.47AsIn0.53Ga0.47As Unidades

Coeficiente de absorção α αInP αIn0.53Ga0.47As 0, 67× 106 m−1

Velocidade de saturação dos eletrões vns 8, 11× 104 6, 11× 104 m/s

Velocidade de saturação dos buracos vps 7× 104 4, 8× 104 m/s

Área A 100 µm2

Capacidade parasita Cp 0, 02 pF

Permitividade elétrica εn 12, 56 ε0 14, 1 ε0 F/m

O comprimento de onda escolhido foi λ = 1, 55 µm pois verifica-se que para este valor a atenuaçãona fibra ótica é mínima e é possível obter, em determinadas condições, dispersão nula.

3.3.1 Efeitos do tempo de trânsito

No que diz respeito à resposta em frequência devido aos efeitos do tempo de trânsito dos portadoresde carga, os cálculos basearam-se num método bastante geral e relativamente simples, [7], que podeser aplicado a estruturas com várias camadas, como é o caso. Cada região é caracterizada por umconjunto de quatro coeficientes lineares, T ,

−→R ,−→S e D, que verificam as seguintes relações:

T2,1 = T2T1−→S 2,1 =

−→S 2 + T2

−→S 1

−→RT

2,1 =−→RT

2 T1 +−→RT

1

D2,1 =−→RT

2

−→S 1 +D2 +D1

(3.10)

em que (2), (1) e (2, 1) representam a região 2, 1 e a junção das duas, respetivamente.

A aplicação deste método no caso do fotodetetor RCE, em que existem três regiões, consiste emescolher duas regiões, uma região de deriva e a de absorção (de acordo com o eixo da Figura 3.8),e obter, através de (3.10), o valor dos coeficientes para o conjunto das duas regiões. Seguidamenterepete-se o procedimento para região resultante, (D +A), e para a região de deriva que resta.

As regiões de deriva, nas quais a absorção de luz é desprezável, são caracterizadas pelos coefici-entes

−→R e T :

T =

[e−iωτpd 0

0 eiωτnd

]−→R = Lk

[f (iωτpd)

f (−iωτnd)

](3.11)

onde k = 1, 2, τpd =Lkvps

e τnd =Lkvns

. A função f(θ) =1− e−θ

θ.

Para a região de absorção, os quatro coeficientes referidos podem ser expressos como:

T =

[e−iωτpa 0

0 eiωτna

]−→R = d

[f (iωτpa)

f (−iωτna)

]

22

−→S = qαφ1d

[f (iωτpa + αd)

−f (αd− iωτna)

]

D = qαφ1d2

[f (αd)− f (iωτpa) e−αd

αd+ iωτpa− f (αd)− f (−iωτna) e−αd

αd− iωτna

](3.12)

onde τpa =d

vpse τna =

d

vns.

A resposta em frequência I(ω) do dispositivo é dada por:

I(ω) =δ(ω)

L1 + L2 + d, com δ(ω) = D − RnSn

Tnn(3.13)

em que Rn e Sn são as entradas (2, 1) dos coeficientes−→R e

−→S , respetivamente, e Tnn é o elemento

(2, 2) do coeficiente T .

Inicialmente fez-se o estudo da variação da largura de banda com o comprimento L1 e, consequen-temente, L2 para uma espessura da região de absorção fixa, d = 0, 2 µm, para diferentes comprimentosL, Figura 3.9.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910

20

30

40

50

60

70

80

90

100Largura de banda em funcao da relacao L2/L para d=0.2 µm

L2/L

BW (G

Hz)

L=0.5 µmL=1 µmL=2 µm

Figura 3.9: Largura de banda em função da relaçãoL2

Lpara d = 0, 2 µm.

A Figura 3.9 mostra, como seria de esperar, que o máximo da largura de banda aumenta com adiminuição do comprimento total L. Por sua vez, as diferenças observadas para a largura de bandaquando a região de absorção está encostada à direita ou à esquerda da cavidade, estão associadas àsdiferenças nas velocidades de saturação dos eletrões e buracos. Este mesmo efeito explica tambémporque, para cada L, o máximo é obtido quando L2 > L1.

O estudo da largura de banda para diferentes espessuras da região de absorção, para um compri-mento fixo L = 1 µm está representado na Figura 3.10.

23

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.830

35

40

45

50

55

60Largura de banda em funcao da relacao L2/L para L=1 µm

L2/L

BW (G

Hz)

d=0.5 µmd=0.2 µmd ~ 1 µm

Figura 3.10: Largura de banda em função da relaçãoL2

Lpara L = 1 µm.

A situação correspondente a d ' 1 µm simula um fotodíodo pin. Esta curva não varia comL2

Le é

apenas usada como termo de comparação com as outras duas estruturas analisadas. Verifica-se que alargura de banda obtida para diferentes espessuras da região de absorção numa estrutura RCE é sig-nificativamente superior à obtida na simulação de um fotodíodo pin nas mesmas condições. Conclui-seainda que é possível obter melhor resposta em frequência para espessuras d menores.

3.3.2 Efeitos capacitivos

Para incluir os efeitos capacitivos recorre-se novamente ao circuito equivalente usado para os foto-díodos pin, Figura 2.10. As considerações feitas anteriormente serão as mesmas. A diferença residena capacidade C1 que, neste caso, é dada por:

1

C1=

1

CD1+

1

CA+

1

CD2(3.14)

onde CD1 = εdA

L1, CA = εa

A

d, e CD2 = εd

A

L2representam as capacidades associadas a cada uma das

três regiões, sendo εd e εa a permitividade elétrica da região de deriva e de absorção, respetivamente.

A função de transferência para o circuito é a mesma obtida anteriormente, equação (2.12), e seráaproximada por (2.13) devido às considerações feitas.

Deste modo, a resposta em frequência do dispositivo será obtida através do produto entre a res-posta em frequência devido ao tempo de trânsito e a associada aos efeitos capacitivos.

A Figura 3.11 representa os resultados obtidos para a largura de banda máxima em função docomprimento total, L, quando se consideram os efeitos capacitivos e duas áreas distintas, com d =

0, 2 µm. Como termo de comparação representa-se na mesma figura a curva correrpondente apenasao tempo de trânsito.

24

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 410

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

L (µm)

BW (G

Hz)

Largura de banda em funcao do comprimento L, para d=0.2 µmcom e sem efeitos capacitivos

Sem efeitos capacitivosA = 100 µm2

A = 1000 µm2

Figura 3.11: Largura de banda máxima em função do comprimento total sem e com efeitoscapacitivos, para A = 100 µm2 e A = 1000 µm2, com d = 0, 2 µm

Comparando os resultados obtidos para uma estrutura RCE, Figura 3.11, e para um fotodíodo pin,Figura 2.13, verifica-se que, considerando apenas os efeitos do tempo de trânsito e para um compri-mento de 1 µm, se obtém uma largura de banda de aproximadamente 27 GHz para a estrutura pin ede aproximadamente 60 GHz para a estrutura RCE.

Ao incluir os efeitos capacitivos verifica-se que o RCE possuí uma largura de banda máxima deaproximandamente 57 GHz e, para o pin com a mesma área, obtém-se aproximadamente 46 GHz,Figura 2.13.

Para estes dispositivos, o produto rendimento quântico - largura de banda traduz uma relação im-portante, pois estabelece a ligação entre sensibilidade e rapidez. A Figura 3.12 ilustra este produto,para duas espessuras diferentes da região de absorção, A = 100 µm2 e R2 = 0, 9:

25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 45

10

15

20

25

30

35

40

45

L (µm)

Produto rendimento−largura de banda em funcao do comprimento Lconsiderando efeitos capacitivos

d x

BW

(GH

z)

d = 0.1 µmd = 0.3 µm

Figura 3.12: Produto rendimento quântico - largura de banda máxima em função do comprimentototal considerando os efeitos capacitivos, A = 100 µm2 e R2 = 0, 9.

Para o comprimento de onda e a área referidos, o produto η × BW máximo obtido foi de aproxi-madamente 42 GHz. No caso do fotodíodo pin o resultado foi de aproximadamente 13, 5 GHz, Figura2.15, o que traduz uma melhoria considerável do RCE face ao fotodíodo pin convencional.

3.3.3 Efeitos indutivos

Os efeitos indutivos são incluídos no circuito incremental do fotodíodo, através de uma bobina LS

em série com a resistência de carga, RL, Figura 3.13. Os efeitos indutivos podem surgir associadosaos fios de ligação ou ser incluídos deliberadamente no circuito do detetor com o fim de compensar emparte os efeitos capacitivos e, consequentemente, melhorar a sua resposta em frequência.

Figura 3.13: Circuito equivalente do fotodetetor RCE onde se incluem os efeitos capacitivos eindutivos.

Admitindo Rd muito elevado e RS = 0, a função de transferência para o circuito da Figura 3.13 podeescrever-se:

HRLC =1

1− ω2LS (Cp + C1) + iωRL (Cp + C1)(3.15)

Como anteriormente, a resposta em frequência é obtida multiplicando, para cada frequência, a equa-ção (3.15) pela resposta devida ao tempo de trânsito. Os resultados mostram que, para determinados

26

valores de LS , há um aumento da largura de banda do fotodetetor.

Fez-se um estudo comparativo da largura de banda máxima obtida para um fotodetetor RCE com esem efeitos indutivos. Considera-se um dispositivo com iluminação do lado p, L = 0, 6 µm, RL = 50 Ω

e A = 100 µm2. Os valores de L1 e L2 foram escolhidos de modo a garantir que os tempos de trânsitodos eletrões e buracos sejam iguais, verificando a relação:

L1 =vpvnL2 (3.16)

O cálculo da largura da banda máxima adotou a seguinte metodologia: para cada valor da espes-sura da região de absorção, d, calculou-se a largura de banda para vários valores de LS e retirou-se oseu valor máximo.

Na Figura 3.14 encontra-se representada a largura de banda máxima em função da espessura daregião de absorção com e sem efeitos indutivos.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.740

50

60

70

80

90

100Largura de banda maxima em funcao da espessura da regiao de absorcao para L=0.6 µm e A=100 µm2

Espessura da regiao de absorcao ( µm )

BWm

ax (G

Hz)

Com LS

Sem LS

Figura 3.14: Largura de banda máxima em função da espessura da região de absorção paraA = 100 µm2 e L = 0, 6 µm, com e sem efeitos indutivos.

A Figura 3.14, mostra que a inclusão dos efeitos indutivos pode aumentar a largura de banda deaproximadamente 30 GHz.

Nas condições especificadas anteriormente, obteve-se o gráfico da largura de banda máxima emfunção de LS , Figura 3.15. Para tal, para cada valor de LS , calculou-se a largura de banda para váriosvalores da espessura da região de absorção d e retirou-se o seu valor máximo.

27

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 130

40

50

60

70

80

90

100Largura de banda maxima em funcao da espessura da indutancia parasita para L=0.6 µm

BWm

ax (G

Hz)

Indutancia parasita (nH)

A=100 µm2

Figura 3.15: Largura de banda máxima em função da indutância parasita para A = 100 µm2 eL = 0, 6 µm.

Através do gráfico da Figura 3.15 juntamente com o gráfico da Figura 3.14, é possível obter o valorótimo para d e LS que conduz a uma determinada largura de banda máxima. Por exemplo, se sepretender atingir uma largura de banda máxima de 80 GHz, é necessária uma espessura d = 0, 25 µm

e uma indutância parasita LS = 0, 17 nH.

3.4 Produto rendimento quântico - largura de banda

Para efeitos de simulação utilizou-se um dispositivo com L = 0, 6 µm, RL = 50 Ω, A = 100 µm2 eiluminação do lado p. A refletividade do espelho de base foi definida para R2 = 0, 99 tendo R1 o valorcorrespondente para obter o máximo do pico do rendimento quântico.

28

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

10

20

30

40

50

60

70

80

90Produto rendimento quantico largura de banda maxima em funcao da espessura da regiao de absorcao para L=0.6 µm e A=100 µm2

Espessura da regiao de absorcao ( µm )

d x

BW

max

(GH

z)

on=op

L1=L2

Figura 3.16: Produto rendimento quântico - largura de banda máxima em função da espessurada região de absorção, d, para L = 0, 6 µm e A = 100 µm2.

Os resultados da Figura 3.16 mostram que se obtém uma melhor largura de banda se a região deabsorção for colocada na posição que permite a igualdade dos tempos de trânsito dos portadores decarga, do que se for colocada no centro da cavidade. Pode-se também verificar que com a estruturautilizada é possível obter 80 GHz de produto redimento quântico - largura de banda para uma espessuramenor, bastante mais elevado do que o valor de 13, 5 GHz obtido para o fotodíodo pin convencionalcom a mesma espessura da região de absorção que o comprimento da cavidade.

3.5 Espelhos

O desempenho de um fotodetetor RCE depende essencialmente das caraterísticas da cavidade. Osmateriais utilizados nas regiões de deriva e nos espelhos não devem absorver a radiação a ser dete-tada, neste caso 1, 55 µm, e os últimos devem ter refletividade elevada.

Tal como foi dito no início do capítulo 3, as camadas refletoras colocadas nos limites da estrutura,são obtidas por deposição de várias camadas de material semicondutor ou dielétrico com espessuraλ/4, alternando as camadas com maior e menor índice de refração, Figura 3.17. Geralmente é utilizadoum número ímpar de camadas, sendo que a primeira e a última camada é do material com o maioríndice de refração.

29

6.3. Dielectric Mirrors 193

material n material ncryolite (Na3AlF6) 1.35 magnesium fluoride (MgF2) 1.38Silicon dioxide SiO2 1.46 polystyrene 1.60cerium fluoride (CeF3) 1.63 lead fluoride (PbF2) 1.73Silicon monoxide SiO 1.95 zirconium oxide (ZrO2) 2.20zinc sulfide (ZnS) 2.32 titanium dioxide (TiO2) 2.40bismuth oxide (Bi2O3) 2.45 silicon (Si) 3.50germanium (Ge) 4.20 tellurium (Te) 4.60

Thin-film coatings have a wide range of applications, such as displays; camera lenses,mirrors, and filters; eyeglasses; coatings for energy-saving lamps and architectural win-dows; lighting for dental, surgical, and stage environments; heat reflectors for movieprojectors; instrumentation, such as interference filters for spectroscopy, beam split-ters and mirrors, laser windows, and polarizers; optics of photocopiers and compactdisks; optical communications; home appliances, such as heat reflecting oven windows;rear-view mirrors for automobiles.

6.3 Dielectric Mirrors

The main interest in dielectric mirrors is that they have extremely low losses at opticaland infrared frequencies, as compared to ordinary metallic mirrors. On the other hand,metallic mirrors reflect over a wider bandwidth than dielectric ones and from all incidentangles. However, omnidirectional dielectric mirrors are also possible and have recentlybeen constructed [763,764]. The omnidirectional property is discussed in Sec. 8.8. Here,we consider only the normal-incidence case.

A dielectric mirror (also known as a Bragg reflector) consists of identical alternatinglayers of high and low refractive indices, as shown in Fig. 6.3.1. The optical thicknessesare typically chosen to be quarter-wavelength long, that is, nHlH = nLlL = λ0/4 at someoperating wavelength λ0. The standard arrangement is to have an odd number of layers,with the high index layer being the first and last layer.

Fig. 6.3.1 Nine-layer dielectric mirror.

Fig. 6.3.1 shows the case of nine layers. If the number of layers is M = 2N + 1, thenumber of interfaces will be 2N + 2 and the number of media 2N + 3. After the first

194 6. Multilayer Structures

layer, we may view the structure as the repetition ofN identical bilayers of low and highindex. The elementary reflection coefficients alternate in sign as shown in Fig. 6.3.1 andare given by

ρ = nH − nLnH + nL

, −ρ = nL − nHnL + nH

, ρ1 =na − nHna + nH

, ρ2 =nH − nbnH + nb

(6.3.1)

The substrate nb can be arbitrary, even the same as the incident medium na. Inthat case, ρ2 = −ρ1. The reflectivity properties of the structure can be understood bypropagating the impedances from bilayer to bilayer. For the example of Fig. 6.3.1, wehave for the quarter-wavelength case:

Z2 =η2LZ3

= η2L

η2HZ4 =

!nHnL

"2

Z4 =!nHnL

"4

Z6 =!nHnL

"6

Z8 =!nHnL

"8

ηb

Therefore, after each bilayer, the impedance decreases by a factor of (nL/nH)2.After N bilayers, we will have:

Z2 =!nHnL

"2Nηb (6.3.2)

Using Z1 = η2H/Z2, we find for the reflection response at λ0:

Γ1 =Z1 − ηaZ1 + ηa

=1−

!nHnL

"2N n2H

nanb

1+!nHnL

"2N n2H

nanb

(6.3.3)

It follows that for large N, Γ1 will tend to −1, that is, 100 % reflection.

Example 6.3.1: For nine layers, 2N + 1 = 9, or N = 4, and nH = 2.32, nL = 1.38, and na =nb = 1, we find:

Γ1 =1−

!2.321.38

"8

2.322

1+!

2.321.38

"8

2.322

= −0.9942 ⇒ |Γ1|2 = 98.84 percent

ForN = 8, or 17 layers, we have Γ1 = −0.9999 and |Γ1|2 = 99.98 percent. If the substrateis glass with nb = 1.52, the reflectances change to |Γ1|2 = 98.25 percent for N = 4, and|Γ1|2 = 99.97 percent for N = 8. ⊓$

To determine the bandwidth around λ0 for which the structure exhibits high reflec-tivity, we work with the layer recursions (6.1.2). Because the bilayers are identical, theforward/backward fields at the left of one bilayer are related to those at the left of thenext one by a transition matrix F, which is the product of two propagation matrices ofthe type of Eq. (6.1.2). The repeated application of the matrix F takes us to the right-mostlayer. For example, in Fig. 6.3.1 we have:

#E2+E2−

$= F

#E4+E4−

$= F2

#E6+E6−

$= F3

#E8+E8−

$= F4

#E10+E10−

$

Figura 3.17: Espelho com nove camadas [9].

Os materiais semicondutores utilizados devem ter a constante de rede adaptada à do substrato que,no fotodetetor estudado, será o InP , de forma a evitar a introdução de imperfeições na interface. Paraminimizar o número de camadas, a diferença entre os índices de refração dos materiais constituintesdo espelho deve ser a maior possível. Além disto, a altura da banda proibida destes materiais deve sersuperior à da região de absorção, para que não haja absorção.

Uma das combinações de materiais sugeridas para os espelhos é InGaAs/InAlAs, pois apresentapropriedade elétricas bem conhecidas e funcionamento no intervalo de radiação 1, 3 µm a 1, 55 µm, [13].A desvantagem desta combinação de materiais reside na pequena diferença entre os seus índices derefração, o que requer um elevado número de períodos para obter uma refletividade do espelho próximada unidade. Outro inconveniente é o facto de a altura da banda proibida do InGaAs, quando adaptadoao InP , ser praticamente igual à energia do fotão incidente de comprimento de onda 1, 55 µm. Assimsendo, o uso de espelhos InGaAs/InAlAs está limitado a maiores comprimentos de onda, quando seimpõe a adaptação de redes indicada.

Para o intervalo definido, 1, 3 µm a 1, 55 µm, é necessário o uso de materiais semicondutores qua-ternários, tais como InGaAlAs ou InGaAsP .

Na Tabela 3.2 apresentam-se os valores de alguns parâmetros importantes dos semicondutoresbinários que estão na base dos quaternários referidos.

Tabela 3.2: Parâmetros dos binários GaAs, InP , InAs, GaP e AlAs a 300 K, [1].

Parâmetros GaAsGaAsGaAs InPInPInP InAsInAsInAs GaPGaPGaP AlAsAlAsAlAs

Permitividade elétrica ε∞ 11, 1 9, 6 12, 3 8, 5 8, 16

Constante de rede a [Å] 5, 6533 5, 8687 6, 0583 5, 4512 5, 6605

Altura da banda proibida Eg [eV] 1, 424 1, 34 0, 354 2, 26 2, 153

3.5.1 InGaAsP

O quaternário In1−xGaxAsyP1−y permite obter semicondutores com adaptação de rede ao InP ecuja altura da banda probida pode variar entre 0, 75 e 1, 35 eV .

30

No caso dos parâmetros que variam linearmente com a composição, tais como a constante de redee a permitividade elétrica relativa, o seu valor pode ser obtido através de uma interpolação linear dosparâmetros dos binários associados, neste caso o InAs, InP , GaAs e GaP . Para o parâmetro físicogenérico P , a expressão da interpolação é dada por [14]:

PIn1−xGaxAsyP1−y = PInAs (1− x) y + PInP (1− x) (1− y) + PGaAsxy + PGaP (1− y)x (3.17)

Atendendo a que a constante de rede varia linearmente com a composição, a condição para adap-tação da rede do In1−xGaxAsyP1−y ao InP , obtida a partir de (3.17), pode ser escrita como [15]:

x ≈ 0, 5y − 0, 032 (3.18)

A altura da banda proibida já não pode ser obtida de (3.17) e a sua relação em termos da composi-ção, à temperatura ambiente, é dada por [15]:

Eg = 1, 35− 0, 738y + 0, 138y2 (3.19)

Ao escolher um semicondutor com Eg = 1, 3 eV e rede adaptada ao InP , obtém-se o ternárioInAs0.07P0.93 com um índice de refração n = 3, 13 e constante de rede a = 5, 8807 Å.

3.5.2 InAlGaAs

O quaternário InwAlvGa1−w−vAs permite obter semicondutores, com adaptação de rede ao InP ,cuja altura da banda proibida pode variar entre 0, 75 e 1, 43eV .

Tal como no caso referido anteriormente o valor dos parâmetros que variam linearmente com acomposição pode ser obtido de:

PInwAlvGa1−w−vAs = PInAsw + PAlAsv + PGaAs (1− w − v) (3.20)

A adaptação de rede ao InP satisfaz a seguinte relação entre as concentraçoes w e v:

v = 27, 701− 52, 0868w (3.21)

A altura da banda proibida do quaternário InwAlvGa1−w−vAs, à temperatura ambiente pode serexpressa como [16]:

Eg = 0, 354w + 3, 017v + 1, 423 (1− w − v)− 0, 99wv − 0, 51w (1− w − v) + 0, 04v (1− w − v) (3.22)

Para Eg = 0, 85 eV e rede adaptada ao InP , obtém-se o quaternário In0.53Al0.09Ga0.38As comíndice de refração n = 3, 39 e constante de rede a = 5, 8687 Å.

3.5.3 Refletividade

A refletividade do espelho e a respetiva fase dependem do comprimento de onda da radiação inci-dente e do número de períodos. O máximo da refletividade, obtido para um determinado comprimentode onda, aumenta com o número de períodos podendo tomar valores bastante próximos da unidade.

31

Na Tabela 3.3 indicam-se os índices de refração utilizados na determinação do módulo e da fase darefletividade dos espelhos de topo e de base. No cálculo da refletividade utilizou-se o algoritmo descritoem [9].

Tabela 3.3: Índice de refração dos materiais.

Espelho na nb nH nL

Topo 3, 09 1 3, 39 3, 13

Base 3, 09 3, 09 3, 39 3, 13

Para obter um espelho com refletividade R2 ' 0, 99 são necessárias 35 camadas, N , tal como sepode observar na Figura 3.18:

1450 1500 1550 1600 16500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X: 1550Y: 0.9875

Magnitude da refletividade do espelho em funcao do comprimento de onda, para h = 1.55 µm

h (nm)

Ref

letiv

idad

e

N=25N=30N=35

Figura 3.18: Magnitude da refletividade do espelho de base em função do comprimento de onda,para λ = 1, 55 µm e diferente número de camadas.

32

1450 1500 1550 1600 1650−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Fase da refletividade do espelho em funcao do comprimento de onda, para h = 1.55 µm

h (nm)

Fase

(rad

/ /)

N=25N=30N=35

Figura 3.19: Fase da refletividade do espelho de base em função do comprimento de onda, paraλ = 1, 55 µm e diferente número de camadas.

Tendo uma espessura da região de absorção d = 0, 09847 µm (caso ótimo obtido para o produtorendimento quântico - largura de banda) tem-se R1 ' 0, 87, valor que se obtém com 13 pares decamadas, Figura 3.20.

1450 1500 1550 1600 16500.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

X: 1550Y: 0.8733

Magnitude da refletividade do espelho em funcao do comprimento de onda, para h = 1.55 µm

h (nm)

Ref

letiv

idad

e

N=12N=13N=14

Figura 3.20: Magnitude da refletividade do espelho de topo em função do comprimento de onda,para λ = 1, 55 µm.

33

1450 1500 1550 1600 1650−4

−3

−2

−1

0

1

2

3Fase da refletividade do espelho em funcao do comprimento de onda, para h = 1.55 µm

h (nm)

Fase

(rad

/ /)

N=12N=13N=14

Figura 3.21: Fase da refletividade do espelho de topo em função do comprimento de onda, paraλ = 1, 55 µm.

3.6 Otimização de uma estrutura RCE

Tendo como base o estudo de cada um dos parâmetros de um fotodetetor RCE, dos espelhos erespetivas refletividades, foi possível proceder à otimização desta estrutura para diferentes áreas dasecção transversal, A.

Para cada área foi determinado o produto rendimento quântico - largura de banda máximo calcu-lando, para cada d, este produto para vários valores de LS . Foi considerada uma capacidade parasita

CP = 0, 02 pF , um comprimento da cavidade total L =2π

β0= 0, 4454 µm e uma refletividade do espelho

de base R2 = 0, 99.

Tabela 3.4: Dispositivos otimizados.

Área [µm2][µm2][µm2] d [nm]d [nm]d [nm] BW [GHz]BW [GHz]BW [GHz] η [%]η [%]η [%] LS [nH]LS [nH]LS [nH] BW × η [GHz]BW × η [GHz]BW × η [GHz]

100 73, 2 86, 66 95, 11 0, 0826 82, 43

75 73, 2 97, 37 95, 11 0, 0622 92, 61

50 64, 2 111, 48 94, 55 0, 0622 105, 41

25 64, 2 128, 39 94, 55 0, 0622 121, 40

Pelos resultados apresentados em 3.4 pode-se verificar que para menores áreas da secção trans-versal, A, se obtém maior largura de banda, BW . Para uma estrutura RCE otimizada com uma áreade 100 µm2, e comparativamente à estrutura RCE sem estar otimizada, é possível aumentar o produtorendimento quântico - largura de banda quase em 5 GHz, o que se traduz numa diferença ainda maiorrelativamente ao fotodíodo pin convencional.

É de salientar que, para cada valor da espessura da região de absorção ótimo, é necessário otimizar

34

o número de camadas do espelho de topo de forma a obter o valor de refletividade correspondente aR1 = R2e

−2αd e, por sua vez, o rendimento quântico máximo.

35

4. Fotodetetor pin de guia de ondas(pin-WGPD)

Uma solução alternativa a fotodetetores de cavidade ressonante, que permite melhorar de formaindependente a largura de banda e o rendimento quântico, consiste em iluminar o fotodetetor numadireção perpendicular à dos terminais de corrente, Figura 4.1. Desta forma é possível aumentar a lar-gura de banda reduzindo a espessura da região de absorção, d, e obter um rendimento quântico maiselevado aumentando o seu comprimento, L. Estes dispositivos são denominados de Fotodetetores deGuia de Ondas (WGPD), onde o guia de onda é a própria região de absorção.

Nos WGPD a distribuição de portadores não varia apenas ao longo do comprimento da região deabsorção, como no caso do pin convencional, mas também ao longo da sua espessura, d.466 IEEE TRANSACTIONS ON ELECTRON DEVICES, VOL. 52, NO. 4, APRIL 2005

Fig. 1. Schematic layer structures of (a) a WGPD and (b) a WG-fed PD.The thickness of the absorption layer (InGaAs) is . The length of thetop-electrode is , and the length of the pseudo-window is . The axis isalong the length of the absorption layer and the axis is along the thicknessof the layer. The width of the layer is perpendicular to the plane of thefigure and is not shown here.

analysis, in general, an absorptive pseudo-window has been as-sumed, and the analysis can also be applied to the case of a non-absorptive pseudo-window.

It can be seen that for edge illumination, the photon distribu-tion decays exponentially along the length of the absorbinglayer, the decay constant being determined by the absorptioncoefficient . The carriers flow along the thickness of thedevice. So, the current is also nonuniformly distributed alongthe direction. For the undepleted portion of the absorp-tion layer, there is no drift current and carriers move only alongthe direction by means of diffusion until the carriers survivingrecombination reach the depletion layer. In the depleted region,there is mainly drift along direction and diffusion along thedirection.

To obtain the current density, it is necessary to solve the cur-rent continuity equations. Let us consider the case of holes andassume that the holes are moving at their saturation velocity.The continuity equations are then given by

(1)

and

(2)

where is the hole density, is the saturation velocityof holes, is the hole diffusion coefficient, is the recombi-nation time-constant of holes, is the incident photon density,

the unit impulse function. Input intensities are assumed not

to be high enough to cause saturation and the small number ofphotogenerated carriers are assumed to have no screening ef-fect. These equations are solved with initial and boundary con-ditions. The initial condition is , at . Let usdenote the Laplace transform of by omittingthe Laplace variable in the argument, for brevity. Assumingthat as , then the carrier decay at ispredominantly controlled by recombination, and it can be shownfrom (1) that

(3)

As thecarriersapproach where theyenter into thedeple-tion region, the electrons and holes are swept by the electric fieldalong the direction, and thus,drift is the main mechanismfor thecarrier flow in the direction. Therefore, (2) must besolved to ob-tain the current density in the PD. This equation is solved numeri-cally by dividing and into a number of small segments, where

is the thickness and is the length of the absorption layer of thePD under depletion. To obtain an approximate boundary condi-tion at , the diffusion term in the Laplace-transformed (2)is replaced by using (3). Doing the substitution and solving for

at , it can be shown that

(4)

Assuming that diffusion is negligible at , i.e., at theright-hand side of the PD, the value of at that boundarycan be obtained as

(5)

Using (4) and (5) as the boundary conditions, the Laplace-transformed (2) is numerically solved for . Similarly

can also be solved. Then the current density in the fre-quency domain can be calculated taking the integration over thethickness [14] as shown below

(6)

where is the saturation velocity of electrons.

Radiação Incidente

Figura 4.1: Estrutura de um fotodetetor WGPD [10].

A estrutura a ser analisada está representada na figura 4.1. Nesta estrutura a corrente devida àiluminação só existe entre os contactos metálicos, numa região previamente depleta devido à tensãode polarização inversa. A zona onde não existe contacto metálico é denominada de pseudo-janela e éusada para aumentar a fiabilidade do dispositivo.

4.1 Distribuição da densidade de portadores

No WGPD, a distribuição de fotões decai exponencialmente ao longo da direção x, sendo o de-caimento determinado pelo coeficiente de absorção, α. Devido ao campo elétrico associado à tensãoaplicada entre os contactos metálicos, vai haver movimento de portadores ao longo da espessura daregião de absorção, d, ou seja, a corrente tem uma distribuição não-uniforme.

Na região não depleta, S, não existe corrente de deriva, os portadores de carga apenas se deslo-cam por difusão na direção x até atingir a região depleta onde passa a existir essencialmente deriva nadireção y.

Para obter a densidade de corrente é necessário resolver as equações da continuidade que, paraos buracos tomam a forma:

∂p (x, y, t)

∂t−Dp

∂2p (x, y, t)

∂x2= αg0e

−αxδ (t)− p (x, y, t)

τp, x < S (4.1)

36

e

∂p (x, y, t)

∂t+ vp

∂p (x, y, t)

∂y−Dp

∂2p (x, y, t)

∂x2= αg0e

−αxδ (t)− p (x, y, t)

τp, x ≥ S (4.2)

e, para os eletrões:

∂n (x, y, t)

∂t−Dn

∂2n (x, y, t)

∂x2= αg0e

−αxδ (t)− n (x, y, t)

τn, x < S (4.3)

e

∂n (x, y, t)

∂t− vn

∂n (x, y, t)

∂y−Dn

∂2n (x, y, t)

∂x2= αg0e

−αxδ (t)− n (x, y, t)

τn, x ≥ S (4.4)

Nas expressões apresentadas anteriormente k (x, y, t) representa a densidade de portadores k, Dk

o coeficiente de difusão, vk a velocidade de saturação, τk o tempo de vida, g0 a densidade de fotõesincidentes e δ (t) o impulso unitário.

Considera-se que a intensidade do sinal de entrada não é suficientemente elevado para causarsaturação e que não existe efeito de blindagem. A resolução das equações (4.1), (4.2), (4.3) e (4.4)encontra-se no anexo A, assumindo as condições iniciais e de fronteira presentes na Tabela 4.1, [10]:

Tabela 4.1: Condições iniciais e de fronteira

Buracos Eletrões

• p (x, y, 0) = 0 • n (x, y, 0) = 0

• P (+∞, y) = 0 • N (+∞, y) = 0

• em t = 0→ P (S, 0) = 0 • em t = 0→ N (S, d) = 0

• P (S + L, 0) = 0 • N (S + L, d) = 0

• em x = S + L a difusão é desprezável

Desta desenvolvimento obtiveram-se as seguintes condições de fronteira e expressões para x < S:

P (x, y) =αg0

α2Dp −(s+ 1

τp

) α2Dp

s+ 1τp

e−

√(s+ 1

τp

)Dp

x − e−αx , x < S (4.5)

P (S, y) =αg0

s+ 1τp

[1− e−

(s+ 1

τp

)(yvp

)]e−αS +α2Dp

α2Dp −(s+ 1

τp

)e−

√(s+ 1

τp

)Dp

S − e−αS (4.6)

P (S + L, y) =αg0e

−α(S+L)

s+ 1τp

[1− e−

(s+ 1

τp

)(yvp

)](4.7)

N (x, y) =αg0

α2Dn −(s+ 1

τn

) ( α2Dn

s+ 1τn

e−

√(s+ 1

τn )Dn

x − e−αx), x < S (4.8)

N (S, y) =αg0

s+ 1τn

[1− e(s+

1τn

)( y−dvn)]e−αS +

α2Dn

α2Dn −(s+ 1

τn

) (e−√ (s+ 1τn )

DnS − e−αS

) (4.9)

37

N (S + L, y) =αg0e

−α(S+L)

s+ 1τn

[1− e(s+

1τn

)( y−dvn)]

(4.10)

De forma a obter a representação gráfica das densidades de portadores assumiu-se que a difusãoera desprezável na zona depleta, obtendo-se, então, as expressões (4.11) e (4.12) para x ≥ S:

P (x, y) =αg0e

−α(S+x)

s+ 1τp

[1− e−

(s+ 1

τp

)(yvp

)], x ≥ S (4.11)

N (x, y) =αg0e

−α(S+x)

s+ 1τn

[1− e(s+

1τn

)( y−dvn)], x ≥ S (4.12)

Para efeitos de simulação considerou-se um dispositivo com S = 0, comprimento L = 2 µm, espes-sura da região de absorção d = 0, 6 µm e tempos de vida τn = τp = 20 µs, [17].

As Figuras 4.2 e 4.3 representam a distribuição de buracos e eletrões no domínio da frequência,respetivamente, em função de x e y.

00.5

11.5

22.5

33.5

4

05

1015

2025

300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 1023

x (0.5 µm)

Distribuicao de densidade de buracos a 0 GHz

y (0.02 µm)

P(x,

y)

(a)

38

00.5

11.5

22.5

33.5

4

05

1015

2025

300

1

2

3

4

5

6

x 1023

x (0.5 µm)


y (0.02 µm)

P(x,

y)

(b)

00.5

11.5

22.5

33.5

4

05

1015

2025

300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 1023

x (0.5 µm)


y (0.02 µm)

P(x,

y)

(c)

Figura 4.2: Distribuição da densidade de buracos para a) 0 GHz, b) 40 GHz e c) 80 GHz.

39

00.5

11.5

22.5

33.5

4

05

1015

2025

300

1

2

3

4

5

6

7

x 1023

x (0.5 µm)

Distribuicao de densidade de electroes a 0 GHz

y (0.02 µm)

N(x

,y)

(a)

00.5

11.5

22.5

33.5

4

05

1015

2025

300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x 1023

x (0.5 µm)

Distribuicao de densidade de eletroes a 40 GHz

y (0.02 µm)

N(x

,y)

(b)

40

00.5

11.5

22.5

33.5

4

05

1015

2025

300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 1023

x (0.5 µm)

Distribuicao de densidade de electroes a 80 GHz

y (0.02 µm)

N(x

,y)

(c)

Figura 4.3: Distribuição da densidade de eletrões para a) 0 GHz, b) 40 GHz e c) 80 GHz.

Os valores representados nas Figuras 4.2 e 4.3 estão em unidades arbitrárias, mas podem ser usa-dos para efeitos de comparação pois estão identicamente dimensionados.

Como se pode observar pela Figura 4.2, e sabendo que os buracos se movem no sentido positivo dey (em direção ao elétrodo negativo), a densidade destes portadores tem tendência a aumentar nessesentido. No entanto a frequência também influencia a distribuição de buracos na zona depleta, cau-sando um retardamento dos mesmos para frequências mais elevadas e fazendo com que o máximo deP (x, y) se encontre mais afastado de y = d.

Analogamente, Figura 4.3, os eletrões movem-se no sentido negativo de y (em direção ao elétrodopositivo), tendo a densidade destes portadores tendência a aumentar nesse mesmo sentido. O efeitoda frequência reflete-se no afastamento do máximo de N (x, y) do elétrodo negativo, y = 0, fazendo-sesentir para frequências mais elevadas.

4.2 Densidade de corrente

Devido à distribuição não-uniforme da densidade portadores ao longo de x, também a densidade decorrente terá uma distribuição não-uniforme na mesma direção.

Utilizando as equações (4.11) e (4.12) é possível calcular a densidade de corrente através da inte-gração ao longo da espessura, d, expressão (4.13), [10].

J (x) =q

d

∫ d

0

[N (x, y) vn + P (x, y) vp] dy (4.13)

Na Figura 4.4 pode-se analisar a densidade de corrente, J (x), como função da frequência, f , paradiferentes valores de x.

41

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 501

2

3

4

5

6

7x 109 Densidade de corrente em funcao da frequencia

f (GHz)

J(x)

x=0 µmx=0.8 µmx=1.6 µm

Figura 4.4: Densidade de corrente em função da frequência.

Tal como se pode observar na Figura 4.4, os portadores que maior contribuição têm para a fotocor-rente são os que se encontram mais próximos da superfície onde incide a radiação.


Para o estudo da resposta em frequência irão ser considerados os efeitos do tempo de trânsito e osefeitos capacitivos.

Sendo a densidade de corrente, J , uma função de x, a densidade de corrente total como funçãoda frequência, I (ω), pode ser obtida integrando J (x) ao longo do comprimento do dispositivo , L,expressão (4.14).

I (ω) =1

L

∫ L

0

J (x) dx =q

Ld

∫ L

0

∫ d

0

[N (x, y) vn + P (x, y) vp] dy dx (4.14)

De forma a obter a largura de banda em função da espessura da região de absorção, d, para aestrutura apresentada considerou-se L = 20 µm e largura W = 6 µm, Figura 4.5. A inclusão dosefeitos capacitivos foi feita recorrendo à expressão (2.12), com RS = 6 Ω, RL = 50 Ω, Cp = 6 fF e

C1 =εnA

d=εnWL

d.

42

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

50

100

150

200

250

300Largura de banda em funcao da espessura d

d (µm)

BW (G

Hz)

sem efeitos capacitivoscom efeitos capacitivos

Figura 4.5: Largura de banda em função da espessura da região de absorção, d, com e semefeitos capacitivos.

Analisando a Figura 4.5 verifica-se que para as dimensões definidas e, considerando os efeitoscapacitivos, o máximo da largura de banda obtido é de 46, 33 GHz, para uma espessura d = 0, 41 µm.Para d = 0, 55 µm obteve-se BW = 43, 56 GHz com efeitos capacitivos e BW = 54, 06 GHz semefeitos capacitivos, valores próximos dos obtidos por outros autores [10].

43

5. Fotodetetor de guia de ondascogumelo (Mushroom-WGPD)

Mesmo sendo possível otimizar de forma independente a largura de banda e o rendimento quânticode um WGPD, existe um compromisso entre a capacidade do fotodetetor, C1, e a sua resistência para-sita, RS . Para aumentar a largura de banda é necessário reduzir ambos. No entanto a diminuição daárea do fotodetetor conduz a uma diminuição da capacidade da junção mas dá origem a um aumentoda resistência parasita, [18].

Uma nova estrutura, denominada mushroom-WGPD, foi proposta para ultrapassar este compro-misso entre capacidade e resistência de contacto, Figura 5.1

p+ InP

n+ InP

p+ InGaAsP

n+ InGaAsP

i InGaAs xa

xp

L

xz

y

WPD

WC

Figura 5.1: Estrutura de um mushroom-WGPD.

Para esta estrutura será estudada a sua resposta em frequência, considerando os efeitos do tempode trânsito, os efeitos capacitivos e indutivos.


5.1.1 Efeitos do tempo de trânsito

Para a análise dos efeitos do tempo de trânsito assume-se que o campo elétrico é suficientemteelevado para que os portadores se desloquem à sua velocidade de saturação, que as camadas n e pdo fotodetetor se encontram fortemente dopadas fazendo com que os eletrões e os buracos atinjam osterminais do dispositivo instantaneamente, assim que entram nesta região, e que a difusão dos porta-dores gerados fora da região de absorção seja desprezável. Ainda se considera que o coeficiente deabsorção das regiões n e p é muito menor que o da região intrínseca podendo-se, portanto, desprezara geração de portadores fora desta região.

De acordo com o sitema de eixos representado na Figura 5.1 a luz incide segundo a direção x e oritmo de geração é dado por [18]:

44

g (x) = g0αe−αxδ (t− t0) , onde g0 =

Pihν

(5.1)

em que Pi é a potência da luz incidente, h é a constante de Planck, ν é a frequência da luz incidente, αé o coeficiente de absorção efetivo do material da região de absorção (inclui o factor de confinamento)e t0 é o instante em que a luz incide no fotodetetor.

A geração dos portadores dá-se ao longo da direção x e o seu movimento é na direção perpendiculary. Considerando a geração uniforme para cada x, o ritmo de geração ao longo da região de absorçao,G, é:

G =

∫ L

0

g (x) dx = g0(1− e−αL

)(5.2)

em que L é o comprimento da região de absorção.

O número total de eletrões gerado é dado por:

Nph (t) = G

(1− vnt

xa

)[u (t)− u

(t− xa

vn

)](5.3)

De igual modo, o número total de buracos é:

Pph (t) = G

(1− vpt

xa

)[u (t)− u

(t− xa

vp

)](5.4)

Para obter a corrente no domínio da frequência é necessário calcular as transformadas de Fourierde (5.3) e (5.4) e subsituí-las na expressão:

Iph (ω) =q

xa[vnNph (ω) + vpPph (ω)] (5.5)

Para os eletrões ter-se-á:

Nph (ω) = G

1

jω+

vn

1− e−jωxavn

ω2xa

(5.6)

e para os buracos:

Pph (ω) = G

1

jω+

vp

1− e−jωxavp

ω2xa

(5.7)

A resposta em frequência do fotodetetor, F (ω), tendo em linha de conta só o tempo de trânsito, édada por:

45

F (ω) =IphIopt

=(1− e−αL

)vn + vpjωxa

+

v2n

1− e−jωxavn

ω2x2a

+

v2p

1− e−jωxavp

ω2x2a

(5.8)

em que Iopt =qPihν

.

5.1.2 Efeitos capacitivos

O circuito incremental do fotodetetor, onde se incluem os efeitos capacitivos e indutivos, está repre-sentado na Figura 3.13. Desprezando o efeito de Rd, a sua função de transferência pode ser expressacomo:

H (ω) =1

1 + iω [C1 (RL +RS) + CpRL]− ω2 [LS (Cp + C1) +RLRSC1Cp]− iω3LSRSC1Cp(5.9)

No caso do mushroom-WGPD a capacidade da junção, C1, é dada por:

C1 =εnACxa

com AC = L×WC (5.10)

onde AC é a área da região de absorção, εn é a permitividade elétrica do material e L e WC são ocomprimento e largura da região de absorção, respetivamente.

A resistência de contacto, RS , depende fundamentalmente da densidade de dopante e dimensãoda região p+, e é dada por:

RS =ρxpAPD

com APD = L×WPD (5.11)

em que ρ, xp, APD e WPD são a resistividade do material, a espessura, a área e a largura da região decontacto, respetivamente.

Num WGPD convencional a área APD e AC têm o mesmo valor. No entando, num mushroom-WGPD, a largura da região de absorção, WC , é menor que a das restantes camadas do fotodetetor,WPD, o que faz com que as áreas referidas sejam diferentes.

Considerando só os efeitos capacitivos a resposta em frequência é dada por:

I (ω) = F (ω)H (ω) (5.12)

A Figura 5.2 representa a resposta em frequência para várias larguras da região de absorção, WC ,RL = 50 Ω, e combinações diferentes da área do fotodetetor, APD, e espessura da região de absorção,xa. A espessura xa pode tomar os valores 0, 1 µm e 0, 5 µm e a área os valores 24 µm2, 72 µm2 e100 µm2. Assumiu-se que Cp = 0, 02 pF , RS = 0, WPD = 6 µm, LS = 0 e xp = 0, 5 µm. O comprimentodo fotodetetor é calculado para cada área usando a expressão L = APD/WPD. Tendo sido fixada alargura WPD = 6 µm, no caso em que WC = 6 µm teremos a estrutura de um WGPD convencional.

46

0 1 2 3 4 5 620

40

60

80

100

120

140Largura de banda em funcao de WC, Cp=0.02 pF e RL=50 Ω

WC (µm)

BW (G

Hz)

A=24 µm2, xa=0.1 µmA=24 µm2, xa=0.5 µmA=72 µm2, xa=0.1 µmA=72 µm2, xa=0.5 µmA=100 µm2, xa=0.1 µmA=100 µm2, xa=0.5 µm

Figura 5.2: Resposta em frequência para diferentes larguras da região de absorção, WC .

Os resultados obtidos indicam que o mushroom-WGPD tem uma melhor resposta em frequênciaque o WGPD convencional, para espessuras da região de absorção menores, xa = 0, 1 µm. A diminui-ção da largura WC traduz-se na diminuição de C1, e, consequentemente, num aumento da largura debanda.

Para uma maior área do fotodetetor, observa-se que a largura de banda diminui, devido ao aumentoda capacidade do dispositivo.

Aumentando a espessura da região de absorção para xa = 0, 5 µm, o desempenho do mushroom-WGPD é praticamente o mesmo que o do WGPD convencional. Este facto deve-se a que, para maioresespessuras da região de absorção, a largura de banda é limitada pelo tempo de trânsito dos portado-res, sendo muito pouco afetada pelos efeitos capacitivos. Assim sendo, a diminuição de WC não iráter grande vantagem em termos de largura de banda comparativamente com o WGPD convencional,mesmo para uma área maior do fotodetetor.

A Figura 5.3 mostra a resposta em frequência para várias espessuras da região de absorção, xa,WC = 1, 5 µm, e combinações diferentes de área do fotodetetor, APD, e resistência de carga, RL. Aárea pode tomar os valores 24 µm2, 72 µm2 e 100 µm2, e a resistência de carga 25 Ω e 50 Ω.

47

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200Largura de banda em funcao de xa, Cp=0.02 pF

xa (µm)

BW (G

Hz)

A=24 µm2, RL=25 Ω

A=24 µm2, RL=50 Ω

A=72 µm2, RL=25 Ω

A=72 µm2, RL=50 Ω

A=100 µm2, RL=50 Ω

Figura 5.3: Resposta em frequência para diferentes espessuras da região de absorção, xa.

Como esperado, a largura de banda diminui com o aumento da espessura da região de absorção,xa, pois aumenta o tempo de trânsito dos portadores. No entanto, para espessuras muito finas, acapacidade do fotodetetor aumenta diminuindo a largura de banda, sendo os efeitos capacitivos a li-mitar o seu valor. A Figura 5.3 mostra que, para a mesma resistência de carga, RL, o aumento daárea do fotodetetor, que resulta no aumento da constante de tempo RC, diminui a largura de banda dodispositivo. Analogamente, para a mesma área APD, a largura de banda diminui com o aumento de RL.

5.1.3 Efeitos indutivos

A inclusão dos efeitos indutivos na resposta em frequência mostra-se na Figura 5.4. Consideram-sevários valores da espessura da região de absorção, xa, RL = 50 Ω, APD = 72 µm2, e três valoresdistintos de LS : 0 H, 0, 02 nH e 0, 2 nH.

48

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

10

20

30

40

50

60

70

80

90Largura de banda para varias LS, A=100 µm2, Cp=0.02 pF e RL=50 Ω

xa (µm)

BW (G

Hz)

LS=0 nH

LS=0.02 nH

LS=0.2 nH

Figura 5.4: Resposta em frequência para diferentes espessuras da região de absorção, xa, ediferentes valores de LS : LS = 0, LS = 0, 02 nH e LS = 0, 2 nH.

Ao incluir os efeitos indutivos, e para determinados valores de LS , obtém-se uma compensação dosefeitos capacitivos, conduzindo a um aumento da largura de banda do fotodetetor.

Para uma indutância de baixo valor, LS = 0, 02 nH, surge uma elevação na resposta em frequência,e a largura de banda aumenta relativamente à situação sem efeitos indutivos.

Aumentando LS a largura de banda apresenta um decréscimo para algumas espessuras da regiãode absorção. Assim sendo, é necessário adequar o valor de LS às dimensões do fotodetetor e à resis-tência de carga de forma a conseguir otimizar a sua largura de banda.

49

6. Conclusões

Os fotodetetores, como elementos básicos de sistemas de comunicação ótica, têm sido alvo cons-tante de evolução essencialmente no que diz respeito à sua rapidez e rendimento quântico.

Ao longo deste trabalho, tanto para o fotodíodo pin como para o fotodetetor de cavidade ressonante,foi estudada a sua resposta em frequência e rendimento quântico. No caso do WGPD apenas foi estu-dada a respetiva resposta em frequência.

A resposta em frequência do fotodíodo pin foi analisada para diferentes espessuras da região deabsorção, la. Considerando apenas os efeitos do tempo de trânsito verifica-se que a largura de bandaaumenta com a diminuição de la. A inclusão dos efeitos capacitivos na resposta em frequência do foto-detetor irá definir o máximo da largura de banda pois, para espessuras menores estes efeitos tornam-sedominantes através da constante de tempo RC, resultando numa diminuição da largura de banda. Paraespessuras maiores não se observa influência dos mesmos na largura de banda.

Relativamente ao rendimento quântico é possível concluir que este aumenta com o comprimento la.Para regiões intrínsecas demasiado finas o dispositivo não consegue absorver todos os fotões inciden-tes num espaço tão curto, apresentando rendimentos quânticos muito baixos.

Para este dispositivo e estrutura estudados, o máximo obtido para o produto rendimento quântico-largura de banda não ultrapassa os 20 GHz, para uma largura de banda ligeiramente superior a 40 GHz

e um rendimento quântico de aproximadamente 50%, tornando-se evidente a dificuldade em conciliarelevada rapidez com elevada sensibilidade do fotodetetor.

Para o fotodetetor RCE é possível obter rendimentos quânticos mais elevados que para o fotodíodopin, para regiões de absorção mais finas, desde que seja feita uma escolha criteriosa de vários pa-râmetros, nomeadamente as refletividades dos espelhos. Estes resultados apenas se verificam paradeterminados comprimentos de onda tornando este dispositivo muito seletivo.

No estudo do rendimento quântico foi também incluído o efeito de onda estacionária (SWE), rele-vante nos casos em que a espessura da região de absorção é muito pequena.

Para o estudo da resposta em frequência do RCE utilizou-se uma estrutura em que a região deabsorção se encontrava inserida entre duas regiões de deriva. Os resultados obtidos mostraram umamelhoria relativamente aos obtidos para o fotodíodo pin convencional. Considerando os efeitos dotempo de trânsito e os efeitos capacitivos obteve-se uma largura de banda de 57 GHz em comparaçãocom 46 GHz da estrutura pin. A maior diferença reside no produto rendimento quântico - largura debanda tendo-se obtido 42 GHz para o RCE face a 13, 5 GHz da estrutura pin convencional.

Foram também considerados os efeitos indutivos observando-se que a largura de banda aumentavaaproximadamente 30 GHz para um valor adequado da indutância parasita, LS .

Considerando os elementos parasitas e o SWE fez-se o estudo do produto rendimento quântico -largura de banda obtendo-se o valor de 80 GHz para uma espessura da região de absorção bastantebaixa.

Para o fotodetetor RCE foi também feita uma análise dos materiais e refletividades dos espelhos, eotimizada a estrutura para diferentes áreas do fotodetetor.

Numa estrutura WGPD convencional a resposta em frequência devido ao efeito do tempo de trânsitofoi obtida através do estudo da densidade de portadores ao longo da região de absorção. A inclusão

50

dos efeitos capacitivos permitiu obter uma largura de banda máxima de 43, 56 GHz. Valores superioressão expetáveis para áreas menores e dispositivos em que os efeitos associados à capacidade parasitae resistência série são menores. A inclusão dos efeitos indutivos pode também melhorar a resposta emfrequência do WGPD.

Para ultrapassar o compromisso entre a capacidade da junção e a resistência de contato do WGPD,analisou-se o fotodetetor mushroom-WGPD tendo em conta os efeitos do tempo de trânsito, capacitivose indutivos. Os resultados obtidos mostram um aumento da largura de banda relativamente ao WGPDconvencional, para determinadas combinações de parâmetros do dispositivo.

51

Referências

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[14] Y. Zhang et al., “Design and Comparison of GaAs, GaAsP and InAlAs Quantum-well Active Regionsfor 808-nm VCSELs,” Optics Express, vol. 19, no. 13, pp. 12569–12581, 2011.

[15] Y. Yamazoe et al., “Bandgap Energy of InGaAsP Quaternary Alloy,” Jpn. J. Appl. Phys., vol. 19,no. 8, p. 1473, 1980.

[16] E. H. Li, “Material Parameters of InAlGaAs Systems for Use in Quantum Well Structures at Lowand Room Temperatures,” Physica E, vol. 5, no. 4, p. 215–273, 2000.

[17] R. Ahrenkiel et al., “Recombination Lifetime of In0.53Ga0.47As as a Function of Doping Density,”Appl. Phys. Letters, vol. 72, no. 26, pp. 3470–3472, 1998.

52

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simple_Band_Diagram.png

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http://www.cat.ernet.in/newsletter/news/lasernews/ln992/ln992a01.html

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http://www.ece.rutgers.edu/~orfanidi/ewa

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[18] Y. M. El-Batawy and M. J. Deen, “Analysis, Circuit Modeling, and Optimization of Mushroom Wa-veguide Photodetector (Mushroom-WGPD),” J. Lightwave Technol., vol. 23, no. 1, pp. 423–431,2005.

[19] K. Kato et al., “110-Ghz, 50% - Efficiency Mushroom-mesa Waveguide p-i-n Photodiode for a1.55µm wavelength,” Photonics Technology Letters, IEEE, vol. 6, no. 6, pp. 719–721, 1994.

53

A. Resolução das equações dacontinuidade para buracos e eletrõesno WGPD convencional

A.1 Buracos

Considerando o caso dos buracos, e assumindo que se deslocam à sua velocidade de saturação,vp, equação da continuidade para x < S é dada por:

∂p (x, y, t)

∂t−Dp

∂2p (x, y, t)

∂x2= αg0e

−αxδ (t)− p (x, y, t)

τp, x < S (A.1)

Sabendo que a transformada de Laplace da densidade de buracos é:

Lp (x, y, t) = P (x, y) (A.2)

e fazendo a transformada de Laplace da equação (A.1) obtém-se:

sP (x, y)−Dp∂2P (x, y)

∂x2= αg0e

−αx − P (x, y)

τp⇔

⇔ Dp∂2P (x, y)

∂x2− P (x, y)

(s+

1

τp

)= −αg0e−αx, x < S

(A.3)

As solução da equação (A.3) é:

P (x, y) = Ph (x, y) + Pp (x, y) (A.4)

na qual,

Ph (x, y) = Ae

√(s+ 1

τp

)Dp

x+Be

−

√(s+ 1

τp

)Dp

x(A.5)

Pp (x, y) = − αg0e−αx

α2Dp −(s+ 1

τp

) (A.6)

A equação é resolvida com recurso a condições iniciais e de fronteira. A condição inicial é:

p (x, y, 0) = 0 (A.7)

Assumindo que:

P (+∞, y) = Ae

√(s+ 1

τp

)Dp

(+∞)= 0⇔ A = 0 (A.8)

então o decaimento de portadores, em x = 0, é controlado predominantemente pela recombinaçãoe

54

P (x, y)

(s+

1

τp

)= αg0e

−αx ⇔ P (x, y) =αg0e

−αx(s+ 1

τp

) (A.9)

Igualando as equações (A.4) e (A.8) em x = 0:

P (0, y) =αg0(s+ 1

τp

) = B − αg0

α2Dp −(s+ 1

τp

) ⇔ B =αg0

α2Dp −(s+ 1

τp

) × α2Dp

s+ 1τp

(A.10)

Assim sendo,

P (x, y) =αg0

α2Dp −(s+ 1

τp

) α2Dp

s+ 1τp

e−

√(s+ 1

τp

)Dp

x − e−αx , x < S (A.11)

A equação da continuidade para x ≥ S é dada por:

∂p (x, y, t)

∂t+ vp

∂p (x, y, t)

∂y−Dp

∂2p (x, y, t)

∂x2= αg0e

−αxδ (t)− p (x, y, t)

τp, x ≥ S (A.12)

Com transformada de Laplace:

sP (x, y) + vp∂P (x, y)

∂y−Dp

∂2P (x, y)

∂x2= αg0e

−αx − P (x, y)

τp(A.13)

Derivando duas vezes a equação (A.10) obtém-se:

∂2P (x, y)

∂x2=

α3g0

α2Dp −(s+ 1

τp

)e−

√(s+ 1

τp

)Dp

x − e−αx (A.14)

Substituindo em (A.13):

P (x, y) =αg0e

−αx

s+ 1τp

+Dpα

3g0

α2Dp −(s+ 1

τp

)e−

√(s+ 1

τp

)Dp

x − e−αx 1

s+ 1τp

+ Ce−(s+ 1

τp

)(yvp

)(A.15)

No instante t = 0 considera-se que não existem portadores em x = S, ou seja:

P (S, 0) = 0⇔ C = −αg0e−αx

s+ 1τp

− Dpα3g0

α2Dp −(s+ 1

τp

)e−

√(s+ 1

τp

)Dp

x − e−αx 1

s+ 1τp

(A.16)

Tem-se então a seguinte condição de fronteira:

P (S, y) =αg0

s+ 1τp

[1− e−

(s+ 1

τp

)(yvp

)]e−αS +α2Dp

α2Dp −(s+ 1

τp

)e−

√(s+ 1

τp

)Dp

S − e−αS (A.17)

Assumindo que a difusão é desprezável em x = S + L:

∂p (x, y, t)

∂t+ vp

∂p (x, y, t)

∂y= αg0e

−αxδ (t)− p (x, y, t)

τp, x ≥ S (A.18)

Fazendo a transformada de Laplace da equação (A.18):

55

vp∂P (x, y)

∂y+ P (x, y)

(s+

1

τp

)= αg0e

−αx (A.19)

Sendo a solução da equação (A.19):

P (x, y) =αg0e

−αx

s+ 1τp

+De−(s+ 1

τp

)(yvp

)(A.20)

Sabendo que:

P (S + L, 0) = 0⇔ D = −αg0e−α(S+L)

s+ 1τp

(A.21)

A condição de fronteira para x = S + L é:

P (S + L, y) =αg0e

−α(S+L)

s+ 1τp

[1− e−

(s+ 1

τp

)(yvp

)](A.22)

A.2 Eletrões

Considerando o caso dos eletrões, e assumindo que se deslocam à sua velocidade de saturação,vn, o método utilizado para obter a expressão para x < S e as condições de fronteira é o mesmo.

Tendo como equações da continuidade:

∂n (x, y, t)

∂t−Dn

∂2n (x, y, t)

∂x2= αg0e

−αxδ (t)− n (x, y, t)

τn, x < S (A.23)

e

∂n (x, y, t)

∂t− vn

∂n (x, y, t)

∂y−Dn

∂2n (x, y, t)

∂x2= αg0e

−αxδ (t)− n (x, y, t)

τn, x ≥ S (A.24)

E assumindo que:

• a condição inicial é n (x, y, 0) = 0;

• N (+∞, y) = 0;

• no instante t = 0 não há portadores em x = S ⇒ N (S, d) = 0;

• em x = S + L a difusão é desprezável;

• N (S + L, d) = 0.

Obtêm-se as seguintes expressões:

N (x, y) =αg0

α2Dn −(s+ 1

τn

) ( α2Dn

s+ 1τn

e−

√(s+ 1

τn )Dn

x − e−αx), x < S (A.25)

N (S, y) =αg0

s+ 1τn

[1− e(s+

1τn

)( y−dvn)]e−αS +

α2Dn

α2Dn −(s+ 1

τn

) (e−√ (s+ 1τn )

DnS − e−αS

) (A.26)

N (S + L, y) =αg0e

−α(S+L)

s+ 1τn

[1− e(s+

1τn

)( y−dvn)]

(A.27)

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