FOTOGRAMETRIA II

(notas de aulas)

TEORIA DAS ORIENTAÇÕES (ANALÍTICA/DIGITAL): Dedução da equação de

coplanaridade, Orientação Relativa e Orientação Absoluta.

Júlio Kiyoshi Hasegawa

Presidente Prudente

2013

Orientação Relativa Analítica

A equação de Coplanaridade

Definindo três vetores ( )321 ,, VVV , a condição de coplanaridade entre eles pode ser definida

por:

( ) 0231 =•× VVV (01)

Considerando agora ao estereomodelo, a condição de coplanaridade pode ser definida

pelos 2 CP´s e o ponto Pi no espaço objeto.

V2

(V1 x V3)

V3

V1

VeVd

B

x

y

y

xe

e

d

d

Oe

Od

Pi

pdi

pei

Aplicando a Condição de coplanaridade: (

rVex

rVd ).

rB = 0

Onde o vetor

rVe pode ser dado por:

rVe = ( ) ( ) ( )X X i Y Y j Z Z kp c

e

p c

e

p c

e− + − + −r r r

(02)

Considerando a equação de transformação isogonal no espaço:

][ ´´

31

´´

21´

´´

11 pppe

e

cp zmymxmXX ++=− λ

][ ´´

32

´´

22´

´´

12 pppe

e

cp zmymxmYY ++=− λ (03)

][ ´´

33

´´

23´

´´

13 pppe

e

cp zmymxmZZ ++=− λ

Fazendo:

´´

31

´´

21´

´´

11 pppe zmymxmu ++= ;

´´

32

´´

22´

´´

12 pppe zmymxmv ++= ; (04)

´´

33

´´

23´

´´

13 pppe zmymxmw ++= .

Substituindo as equações 04 nas 03:

eeecp uXX λ=−

eeecp vYY λ=− (05)

eeecp wZZ λ=− .

O vetor dVr pode ser dado por:

dVr = kZZjYYiXX d

cpdcp

dcp

rrr)()()( −+−+− (06)

e realizando o mesmo tratamento matemático das equações 02, obtém-se:

dddcp uXX λ=−

dddcp vYY λ=− (07)

dddcp wZZ λ=− .

rB = ( ) ( ) ( )X X i Y Y j Z Z kc

d

c

e

c

d

c

e

c

d

c

e− + − + −r r r

(08)

dddddd

eeeeee

ec

dc

ec

dc

ec

dc

wvu

wvu

ZZYYXX

λλλ

λλλ

)()()( −−−

= 0

0))(())(())(( =−−+−−+−− eddeec

dcdedeed

ec

dcdeedde

ec

dcde vuvuZZwuwuYYwvwvXX λλλλλλ

Dividindo por deλλ , obtém:

0))(())(())(( =−−+−−+−− eddeec

dcdeed

ec

dcedde

ec

dc vuvuZZwuwuYYwvwvXX (09)

As equações de colinearidade

)()()(

)()()(

333231

131211

e

cp

ee

cp

ee

cp

e

e

cp

ee

cp

ee

cp

e

e

pZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfx

−+−+−

−+−+−−=

)()()(

)()()(

333231

232221

e

cp

ee

cp

ee

cp

e

e

cp

ee

cp

ee

cp

e

e

pZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfy

−+−+−

−+−+−−=

)()()(

)()()(

333231

131211

d

cp

dd

cp

dd

cp

d

d

cp

dd

cp

dd

cp

d

d

pZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfx

−+−+−

−+−+−−= (10)

)()()(

)()()(

333231

232221

d

cp

dd

cp

dd

cp

d

d

cp

dd

cp

dd

cp

d

d

pZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfy

−+−+−

−+−+−−=

Determinação dos elementos de orientação

Pode-se calcular de várias formas: - fixando os parâmetros de orientação dos projetores (injunção nos elementos de

orientação). Vamos considerar somente 2 casos dos 50 possíveis: 1

o caso: Quando o sistema de coordenadas do modelo coincide com o sistema da foto da

esquerda - dependente 1) Foto da esquerda fixa e orientada (orientação conhecida)

2) A componente bx da base é mantida conhecida ⇒ fixar a coordenadas X da foto da direita.

x'

y'

x"

y"

Y

P(X Y Z)

X

Z

C' C"

f bx = cte bz

by

2o caso: Quando os centros perspectivos estão sobre o eixo X do modelo. – rotina do B8.

1) by = bz = 0; ⇒ Yec = Yc

d e Z

ec = Zc

d

2) bx = cte; ⇒ Xcd = X

ec + base;

3) Fixar o elemento angular, por exemplo ωe = 0;

Z

X

Y

xL

yL zL

f

f

xR

yR

zR

P(X,Y,Z)

C

Equações de coplanaridade:

[ ][ ][ ][ ]

[ ][ ][ ][ ]

[ ][ ][ ][ ] 0)

)((

)

)((

)

)((

´´

32

´´

22´

´´

12

""

31

""

21´

""

11

""

32

""

22´

""

12

´´

31

´´

21´

´´

11

""

33

""

23´

""

13

´´

31

´´

21´

´´

11

´´

33

´´

23´

´´

13

""

31

""

21´

""

11

´´

33

´´

23´

´´

13

""

32

""

22´

""

12

""

33

""

23´

""

13

´´

32

´´

22´

´´

12

=++++

−++++−

+++++

−++++−

+++++

−++++−

pppppp

pppppp

e

c

d

c

pppppp

pppppp

e

c

d

c

pppppp

pppppp

e

c

d

c

zmymxmzmymxm

zmymxmzmymxmZZ

zmymxmzmymxm

zmymxmzmymxmYY

zmymxmzmymxm

zmymxmzmymxmXX

κ ϕ ω κ ϕ ωe e e

c

e

c

e

c

e d d d

c

d

c

d

c

dX Y Z X Y Z, , , , , , , , , , ,

2.3. Orientação Absoluta Terminada a orientação relativa - num sistema de coordenadas arbitrárias sem definição

de escala e o eixo z não está orientado em relação ao sistema de coordenadas terrestres

utilizadas.

Modelo matemático de transformação

X

Y

Z

M

X X

Y Y

Z Z

T

=

−

−

−

−λ 1

0

0

0

'

'

' e

X

Y

Z

M

X

Y

Z

X

Y

Z

'

'

'

'

'

'

=

+

λ0

0

0

(11)

X, Y e Z são as coordenadas “observadas” do modelo estereoscópico;

X’, Y’ e Z’ são as coordenadas 3D dos pontos de apoio;

X0, Y0 e Z0 são os parâmetros de translação da transformação;

λ é o fator de escala da transformação; e

M é a matriz de rotação.

X

Y

Z

a b c

d e f

g h i

X

Y

Z

j

k

l

=

′

′

′

+

e

X

Y

Z

a b c

d e f

g h i

X j

Y k

Z l

′

′

′

=

′−

′−

′−

−1

(11)