11Elizabete Alves de Freitas

C U R S O T C N I C O E M S E G U R A N A D O T R A B A L H O

Funo: definio, domnio e imagem

matemtica

coordenadora da Produo dos materias Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco

coordenador de edio Ary Sergio Braga Olinisky

coordenadora de Reviso Giovana Paiva de Oliveira

Design Grfico Ivana Lima

Diagramao Ivana Lima Jos Antnio Bezerra Jnior Mariana Arajo de BritoVitor Gomes Pimentel

arte e ilustrao Adauto HarleyCarolina CostaHeinkel Huguenin

Reviso tipogrfica Adriana Rodrigues Gomes

Design instrucional Janio Gustavo Barbosa Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Jeremias Alves A. Silva Margareth Pereira Dias

Reviso de Linguagem Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade

Reviso das Normas da aBNt Vernica Pinheiro da Silva

adaptao para o mdulo matemtico Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho

Reviso tcnica Rosilene Alves de Paiva

equipe sedis | universidade federal do rio grande do norte ufrn

Projeto Grfico

Secretaria de Educao a Distncia SEDIS

Governo Federal

ministrio da educao

Voc ver

por aqui...

Objetivo

1Matemtica a11

...o incio de um estudo sobre alguns elementos da lgebra, como o Sistema de Coordenadas Cartesianas formalizado por Descartes, em 1637, na obra La Gemetrie. Ver tambm o conceito de uma relao entre conjuntos e o conceito de funo, como tambm os conceitos de domnio, de contradomnio e de imagem de uma funo, como elaborar o estudo do sinal de uma funo e como determinar o domnio de uma funo real. Na prxima aula, concluiremos o estudo sobre funes iniciado aqui, dando maior enfoque construo de grficos de funes de vrios tipos.

Neste material, apresentamos o contedo atravs de diversos exemplos e disponibilizamos, aps cada contedo apresentado, algumas atividades (com questes subjetivas) e, ao final de todo o contedo, uma lista de exerccios (com questes objetivas). E, na seo Auto-avaliao, ao final desta aula, voc encontrar mais uma oportunidade para verificar sua aprendizagem e, se necessrio, redirecion-la.

Na seo Para consulta, disponibilizamos um material de apoio para uma consulta rpida que lhe auxiliar na resoluo de atividades relacionadas com o contedo aqui estudado.

Saber construir um sistema de coordenadas cartesianas, localizando nesse sistema alguns pontos dados, bem como descrever as coordenadas de pontos situados em planos cartesianos.

Saber conceituar relaes entre conjuntos, bem como os conjuntos domnio, contradomnio e imagem de uma relao entre dois conjuntos.

Saber conceituar funo, assim como domnio, contradomnio e imagem de uma funo.

Saber realizar o estudo do sinal de uma funo.

Determinar o domnio de uma funo real.

Matemtica a11

Para comeo de conversaNa compra de um tecido, o preo a se pagar depende da metragem comprada, ou seja, o preo da compra est em funo do comprimento do tecido comprado.

Em um termmetro de mercrio, a temperatura indicada depende da altura atingida pela coluna desse elemento qumico, quando esse se dilata, ou seja, a temperatura dada em funo da altura do mercrio contido em sua coluna central.

So muitas as situaes do cotidiano nas quais utilizamos o conhecimento intuitivo de funo, porm no estudo de funes, precisamos compreender alguns conceitos mais formais. Conceitos esses que veremos nesta aula e na prxima. Vamos comear nossos estudos?

1 quadrante2 quadrante

3 quadrante 4 quadrante

II Q

III Q IV Q

I Q

Eixo

das

ord

enad

as

y

Eixo das abscissas x

Matemtica a11

conhecendo a Linguagem das funesSistema de coordenadas cartesianasQuando voc envia um e-mail pela internet ou um torpedo pelo celular, precisa incluir informaes sobre o destinatrio (a pessoa ou grupo de pessoas) que vai receber a mensagem.

Essas informaes so as coordenadas para a localizao do destinatrio.

Em outras situaes do dia a dia tambm utilizamos sistemas de coordenadas, como o nome de um bairro, o nome de uma rua e um nmero nessa rua que indica a localizao de um domiclio, por exemplo. Um ponto sobre a superfcie terrestre pode ser localizado tambm por dois nmeros chamados de latitude e de longitude.

Do mesmo modo, para localizar um ponto sobre um plano, podemos tomar como base o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas.

Plano cartesiano

Para localizar um ponto no plano, podemos inserir nesse plano um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas chamado comumente de plano cartesiano.

O plano cartesiano, como voc pode ver no grfico 1, formado pela unio de dois eixos perpendiculares entre si que se cruzam no ponto O origem de ambos os eixos. O eixo horizontal chamado de eixo das abscissas, eixo dos x ou eixo OX . O eixo vertical chamado de eixo das ordenadas, eixo dos y ou eixo OY .

Regime de capitalizao

O conceito do que

chamamos hoje

de coordenadas

cartesianas j era

utilizado por alguns

matemticos, quando

Ren Descartes

(1596-1650), ou

cartesius (em latim),

o formalizou em sua

obra La Gomtrie

(1637).

Grfico 1 Plano Cartesiano

0II Qy

x

III Q IV Q

I Q

P(4;3)

T(4;-3)S(-4;-3)

R(-4;3)

4-4

3

-3

x > 0 e y < 0

x > 0 e y > 0 x < 0 e y > 0

x < 0 e y < 0

Matemtica a11

Os eixos dividem um plano formando quatro ngulos retos. Cada uma dessas partes do plano chamada de quadrante. Os quadrantes so enumerados no sentido anti-horrio. Temos assim, iniciando do canto superior direita, primeiro quadrante (I Q), segundo quadrante (II Q), terceiro quadrante (III Q) e quarto quadrante (IV Q).

No plano cartesiano, como pode ser visto no grfico 2, cada ponto P do plano cartesiano formado por um par ordenado (a; b) de nmeros reais, indicados entre parnteses, que representam a abscissa e a ordenada do ponto, respectivamente. Cada ponto, indicado por um par ordenado de nmeros chamados de coordenadas do ponto.

Para marcar um ponto P em um plano cartesiano, basta traar uma perpendicular ao eixo dos y que passa pela abscissa a e uma perpendicular ao eixo dos y que passa pela ordenada b, como pode ser visto no Grfico 2.

As coordenadas do ponto O (origem do plano cartesiano) (0; 0), ou seja, os dois eixos se encontram no ponto dos eixos onde x = 0 e y = 0. As coordenadas do ponto P, no Grfico 3, (4; 3). A abscissa 4 e a ordenada 3. Indicamos o ponto por P (4; 3).

O primeiro nmero indica a medida do deslocamento horizontal, a partir da origem, para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). O segundo nmero indica a medida do deslocamento vertical, a partir da origem, para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo).

Observe os sinais de x e de y em cada quadrante, no grfico 3:

0

II Qy

x

III Q IV Q

I Q

b P(a;b)

a

Grfico Localizao do ponto P (a; b)

Grfico Sinais das coordenadas em cada quadrante

exemplo 1

Grfico Pontos A e B no plano cartesiano

0

y

x

A(0;3)

B(1;0)

1

3

Matemtica a11

Observe com ateno:

os pontos que se encontram sobre os eixos cartesianos no pertencem a nenhum quadrante;

todo ponto sobre o eixo dos y tem abscissa nula;

todo ponto sobre o eixo dos x tem ordenada nula;

dois pontos so iguais se as abscissas forem iguais e se as ordenadas forem iguais. Ou seja, (a; b) = (m; n), se, e somente se, a = m e b = n.

Veja o exemplo a seguir.

O ponto A(0; 3) localiza-se sobre o eixo OY , pois tem abscissa nula.

O ponto B(1; 0) localiza-se sobre o eixo OX , pois tem ordenada nula.

Os pontos A e B no se localizam sobre nenhum quadrante.

Responda aqui

1Praticando...

v

x0

Matemtica a11

1. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos:

A (0; 0) B ( 5; 0)

C (0; 5) D (3; 2)

E (4; 2) F (2; 4)

G (2; 3) H (1; -4)

I (3; 0) J (0; 3)

. Determine o valor real de m para que o ponto C(8; m 5) se localize sobre o eixo das abscissas.

. Calcule o valor real de r para que o ponto D(r 25

; 5) se localize sobre o eixo das ordenadas.

. Calcule os valores reais de t para que o ponto H

75;t 2

2

pertena

ao 2 quadrante.

. Calcule entre os nmeros reais os valores de a e de b de modo que pontos M(a 3; 2) e N(2; b + 5) sejam iguais.

exemplo

Figura 1 Diagrama do produto cartesiano AXB

Figura Diagrama do produto cartesiano BXA

B A

.1

.2

5.

7. .3

BXA = {(5; 1), (5; 2), (5; 3), (7; 1), (7; 2), (7; 3)}

Figura Diagrama do produto cartesiano AXA

A A

.1

.2

.3

1.

2.

3.

AXA = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}

7Matemtica a11

Produto cartesianoSendo A e B dois conjuntos no vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados de modo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B.

AXB = {(x; y) x A e y B}

Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}. Assim, podemos obter os produtos cartesianos AXB, BXA, AXA e BXB como voc pode ver a seguir.

A B

1.

2.

.5

.73.

AXB = {(1; 5), (1; 7), (2; 5), (2; 7), (3; 5), (3; 7)}

exemplo

Figura Diagrama do produto cartesiano BXB

B B

5.

7.

.5

.7

BXB = {(5; 5), (5; 7), (7; 5), (7; 7)}

0

yF G H

C D E

x

C (1;5)D (2;5)E (3;5)F (1;7)G (2;7)H (3;7)

1 2 3

5

7

Grfi co Produto cartesiano AXB

8Matemtica a11

H duas maneiras de representar o produto cartesiano. Uma delas a representao por um diagrama, como fi zemos no exemplo 2 ou por uma representao em um plano cartesiano. Veja como fazer uma representao de AXB no plano cartesiano, no exemplo a seguir.

Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}.

Temos AXB = {(1; 5), (2; 5), (3; 5), (1; 7), (2; 7), (3; 7)}, como voc pode observar no grfi co 5.

Matemtica a11

Praticando...

1. Complete o quadro com as coordenadas de cada um dos pontos destacados no plano cartesiano do grfico 6.

Ponto Abscissa OrdenadaABCDEFGHIJKLMNPRT

. Construa um plano cartesiano para representar o produto cartesiano CXD, onde C = {1, 3, 5, 7} e D = {0, 2, 4}.

Responda aqui

F T A

H T

C N G

B R P

MK

L

I

D

E

0

y

x1 5 8-3-6

5J7

-4

-7

Grfico Pontos em um plano cartesiano

exemplo

10Matemtica a11

Relao entre conjuntos

Chama-se relao de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano AXB. Em uma relao R de A em B todo par ordenado tem a forma (a; b), tal que a A e b B. Uma relao de A em B tambm chamada de relao binria de A em B.

Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}, o conjunto {(1; 7), (2; 7), (3; 7)} uma relao, pois um subconjunto do produto cartesiano AXB.

Observe que 1A, 2A, 3A e 7B.

(3;7)(2;7)(1;7)

0

y

x1 2 3

5

7

Grfi co 7 A relao R1 no plano cartesiano

A

D(R1) Im(R

1)

B1.

2.

.5

.73.

Figura Diagrama de R1

exemplo

11Matemtica a11

Na relao R1, o conjunto A chamado de conjunto de partida e o conjunto B, conjunto

de chegada ou contradomnio da relao. Os primeiros elemento de cada par ordenado de R

1 formam o domnio da relao, cuja notao D(R

1). Ou seja, D(R

1) = {1; 2; 3} =

A. Na relao R1, o conjunto de partida coincide com o domnio da relao.

Os segundos elementos de cada par ordenado de R1 compem o conjunto-imagem da

relao, cuja notao Im (R1). Ou seja, Im(R

1) = {7}.

Que tal mais um exemplo?

Considere os conjuntos C = {-2; 0; 1; 2} e D = {0; 2; 3; 4}. Construa o diagrama da relao R

2 = {(x; y) | x C e y D, onde y = x2}.

1. Passo: devemos desenhar uma linha circular para cada conjunto e inserir seus elementos correspondentes no interior dessas linhas.

C D-2.

0.

1.

.0.2

.3

.42.

. Passo: indicar com setas as correspondncias entre os elementos do domnio da relao e os do conjunto-imagem.

Observe que, na relao R2, o domnio no coincide com o conjunto de

partida. O conjunto de partida C e o domnio de R2 D(R

2) = { 2, 0,

2}. O conjunto de chegada (ou contradomnio) D e o conjunto-imagem Im(R

2) = {0, 4}.

Figura Diagrama de R2

Praticando...

Responda aqui

1Matemtica a11

1. Determine o domnio, o contradomnio e o conjunto-imagem em cada uma das relaes R:AB a seguir, quando:

a) A = {1, 2, 3}, B = {-1, 0, 1, 2} e R = {(a; b) AXB| b = a 2}

b) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) AXB| b = 2 a}

c) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) AXB| b = 2 a2}

d) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 4} e R = {(a; b) AXB| b = a2}

e) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) AXB| b = a2 1}

exemplo

1Matemtica a11

Funes no Plano cartesianoConsidere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {8, 9, 10, 11, 12, 13} e a relao de A em B descrita por R

3 = {(1; 8), (2; 9), (3; 9), (4; 10)}.

Observe a representao dessa relao no diagrama (Figura 7).

A B1.

2.

3.

.8.9.10.11.12.134.

Figura 7 Diagrama de R3

Note que todo elemento do conjunto A est relacionado a um nico elemento do conjunto B. Com essa caracterstica especial, essa relao chamada de funo.

Toda relao de A em B, em que cada elemento do conjunto A tambm elemento do domnio da relao e cada um desses elementos se corresponde com um nico elemento no conjunto-imagem, chamada de funo de A em B. Ou seja: uma relao em AXB, que associa cada elemento x, do conjunto A, a um nico y em B denominada uma funo f de A em B.

Uma das notaes mais comuns para representar uma funo de A em B, : f: AB.

Veja que nem todas as relaes so funes, como voc pode observar nos dois exemplos a seguir.

Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. A relao R4 = {(1,

5), (2, 6), (3, 6), (4, 7), (1, 7)} no uma funo em AXB, pois o valor 1 do domnio da relao est associado a dois valores distintos do contradomnio, que so 5 e 7.

A B1.

2.

3.

.5.6.7

4.

Figura 8 Diagrama de R4

exemplo 7

1Matemtica a11

Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. A relao R5 = {(1, 5), (2, 6), (4, 7)} no

uma funo em AXB, pois nem todos os elementos domnio da relao (o conjunto A) esto associados a elementos do contradomnio (o conjunto B). Veja que o valor 3 (do domnio) no tem correspondente no contradomnio.

A B1.

2.

3.

.5.6.7

4.

Figura Diagrama de R5

So trs conjuntos especiais associados funo: o domnio, o contradomnio e o conjunto-imagem.

O domnio o conjunto que contm todos os elementos x para os quais a funo deve ser defi nida.

O contradomnio o conjunto que contm os elementos que podem ser relacionados a elementos do domnio.

O conjunto-imagem o conjunto de valores que efetivamente se corresponde com o domnio da funo. O conjunto-imagem um subconjunto do contradomnio.

Uma funo f: AB continua sendo uma relao, por isso os conceitos de domnio (D), contradomnio (CD) e conjunto-imagem (Im) continuam vlidos. Ou seja: se R uma funo f: AB, temos que:

o domnio da relao R e da funo f o mesmo conjunto A, ou seja, D(R) = D(f) = A;

O contradomnio da relao R e da funo f o conjunto B, ou seja, CD(R) = CD(f) = B.

Agora observe os exemplos a seguir.

exemplo 10

1Matemtica a11

exemplo 8Seja a funo f: definida pela lei de formao f(x) = x + 2. Qual a imagem de x = 2?

O que precisamos determinar o valor de f( 2), ou seja, o valor da funo quando x = 2.

Logo, basta substituir o valor de x por 2 e calcular o valor numrico da expresso resultante.

Assim: f (2) = 2 + 2 f( 2) = 0.

Ou seja, a imagem de 2 0.

exemplo Seja a funo f: definida pela lei de formao f(x) = x + 2. Qual o elemento do domnio cuja imagem igual a 2?

O que se quer descobrir nessa questo qual o valor de x que tem f(x) igual a 2, ou seja:

f(x) = 2 x + 2 = 2 x = 2 2 x = 4

O valor do domnio que tem imagem 2 x = 4.

O aluguel de imveis teve reajuste anual de 12%. Qual a lei de formao da funo que calcula o novo valor aps o reajuste do aluguel de imveis? Quanto se pagar mensalmente pelo aluguel de um apartamento cujo contrato previa o pagamento mensal de R$ 300,00, no contrato anterior?

1Matemtica a11

Podemos calcular o valor aps o reajuste multiplicando a taxa de reajuste (12% = 0,12) pelo valor x do aluguel e somando esse produto ao valor original x. Assim, a lei de formao da funo do reajuste do aluguel f(x) = 0,12x + x f(x) = 1,12x.

Calcular o novo valor do aluguel o mesmo que calcular o valor de f(300), ou seja, a imagem de 300. Assim: f(300) = 1,12 X 300 = 336.

O valor a ser pago no novo contrato R$ 336,00.

Praticando...

1. Determine a imagem de x = 3 na funo real f(x) =

x 23

.

. Qual o elemento do domnio da funo f: , f(x) = x + 3 que tem imagem igual a 2?

. Na funo f: , definida pela lei de formao f(x) = x 5, determine

o valor de f32

.

. Considere os conjuntos A = {3, 1, 0, 1, 3} e B = {9, 3, 0, 1, 3, 27}. Determine o domnio, o contradomnio e o conjunto imagem da funo f ={(x; y) com x A e y B y = 3x2}.

. Certo modelo de automvel tem depreciao anual de preo de 10% sobre o preo de compra x. Determine a lei de formao para a funo f que calcula o valor do automvel aps depreciao do preo ao final de t anos.

Responda aqui

f(x)

Leonhard euler (1707-

1783), mdico, telogo,

astrnomo e matemtico

suo, desenvolveu,

entre outros trabalhos,

a idia de funo. Foi

o responsvel tambm

pela adoo do smbolo

f(x) para representar uma funo f de x.

17Matemtica a11

Domnio de uma funo real e outras caractersticasEm geral, se costuma representar uma funo por sua lei de formao uma lei que associa elementos do domnio da funo a elementos do contradomnio da funo. Costuma-se denotar por f(x) o elemento que a funo f associa ao elemento x.

exemplo 1

exemplo 11

18Matemtica a11

A funo f: , tal que f(x) = x + 1 a funo que relaciona todo o valor de x do domnio ao valor x + 1 no contradomnio.

1.

2.3.

.2...

......

...

.3

.5.4

4.

Figura 10 Diagrama de f(x) = x + 1

A funo f: , tal que f(x) = x2 a funo que relaciona todo o valor de x do conjunto domnio ao valor de seu quadrado (x2) no contradomnio.

1.

2.3.

.1...

......

...

.4

.16.9

4.

Figura 11 Diagrama de f(x) = x2

exemplo 1

exemplo 1

1Matemtica a11

Quando queremos garantir que uma relao seja funo, devemos definir para essa relao um domnio no qual sua lei de formao tenha sentido, ou seja, um domnio no qual, atravs dessa lei de formao, cada um dos seus elementos tenha um nico correspondente no contradomnio.

Em geral, quando no h indicao em contrrio, o domnio de uma funo f um subconjunto de , a no ser nos casos que isso est explicitamente indicado de outra forma. Toda funo que tem como domnio um subconjunto de chamada de funo real.

possvel determinar o domnio de uma funo real conhecendo apenas a lei de formao dessa funo.

Quando a varivel aparece no denominador ou no radicando de um radical de ndice par, na lei de formao da funo, temos que lembrar quais so as condies para que essa lei de formao resulte em um nmero real.

Veja mais alguns exemplos:

Determine o domnio da funo real f(x) =x 9 .

Para que o radical x 9 resulte em um nmero real, o radicando deve ser

um nmero no negativo, ou seja, x 9 0 x 9

A funo real f(x) =x 9 tem como domnio o conjunto:

D(f)={x x 9}

Determine o domnio da funo real f(x) =x+ 15 x

.

Como na expresso x+ 15 x

, o denominador tem que ser diferente de zero, temos:

5 x 0 x 5 x 5

Logo, o domnio da funo real f(x) =x+ 15 x D (f) = {x |x 5}.

exemplo 1

0Matemtica a11

Determine o domnio da funo real f(x) =x 2x 4

.

Como o radical x 4 encontra-se no denominador, o radicando x 4 no

pode ser negativo nem nulo. Ou seja, x 4 > 0 x > 4.

Assim, D(f) = {x | x > 4} o domnio da funo real f(x) =x 2x 4

.

Cada funo, nos exemplos a seguir, tem caractersticas distintas. As funes apresentam a mesma lei de formao, mas o domnio no o mesmo. Observe qual o conjunto imagem em cada exemplo:

exemplo 17

A funo f: [0,2] , definida pela lei de formao f(x) = x2, apresenta D(f) = [0,2], CD(f) = e Im(f) = [0,4].

exemplo 1

A funo f: , definida pela lei de formao f(x) = x2, apresenta

D(f) = , CD(f) = e Im(f) = +.

Praticando...

Responda aqui

1Matemtica a11

1. Dada a funo f: , tal que f(x) = 3 x, calcule:

a) f(2) b) f(1) c) f(0) d)f12

. Observe o grfico da funo f: AB, em que A = {2, 1, 0, 1, 2} e B = {3, 2, 1, 0, 1}. Determine:

a) f(2) b) f(1) c) f(0) d) f(1) e) f(2) f) 2f(2)

f(2) + f(1)

. Considere: f: AB, em que A = {2, 1, 0, 1, 2} e B = {3, 2, 1, 0, 1}. Qual o valor do domnio de f possui como imagem o nmero 4:

. Determine os valores do domnio da funo f: * , definida pela lei

de formaof(x) =x2 + 1

x que possui imagem igual a 2.

. Determine o domnio de cada funo real a seguir:

a) f(x) =3x 52 4x

b) f(x) =3x+ 15 c)

f(x) =3x+ 54 2x

Matemtica a11

estudo de sinal de uma funoSendo uma funo de domnio D, dizemos que:

f positiva para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) > 0;

f negativa para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) < 0;

f nula para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) = 0.

Observe que o sinal de f(x) para um elemento x no o sinal desse elemento x. O sinal de f(x) para um dado elemento x o sinal da imagem desse elemento.

exemplo 18

Dada a funo f: , definida pela lei de formao f(x) = 5 x, observe que o sinal da funo para x = 0, x = 3 negativo, para x = 5 nulo e para x = 6 positivo.

Realizar o estudo do sinal de uma funo analisar para quais valores do domnio a funo positiva, negativa ou nula. Veja o exemplo a seguir.

exemplo 1

Praticando...

Matemtica a11

Considere a funo f: , tal que f(x) = x 4. Determine o estudo do sinal da funo.

Para determinar para quais valores do domnio a funo assume cada um dos sinais, basta substituir a lei de formao nas seguintes expresses:

f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0.

Assim:

f(x) > 0 x 4 > 0 x > 4

f(x) = 0 x 4 = 0 x = 4

f(x) < 0 x 4 < 0 x < 4

Ou seja, o estudo do sinal da funo :

f(x) > 0, quando x > 4

f(x) = 0, quando x = 4

f(x) < 0, quando x < 4

1. Determine o sinal da funo f: , f(x) = x 5, para

a) x = 1 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 5 e) x = 6

. Elabore o estudo de sinal da funo f: , definida pela lei de formao

f(x) =x 32

.

Responda aqui

Agora que voc resolveu todas as atividades, que tal resolver a lista de exerccios a seguir?

Matemtica a11

exer

cci

osRE

VISO

Matemtica a11

1. Os valores reais de t para os quais o ponto P (3m 5; 2m + 1) se localiza no terceiro quadrante so

a) todos os nmeros reais menores que

53.

b) todos os nmeros reais maiores que

53.

c) todos os nmeros reais menores que 12.

d) todos os nmeros reais maiores que 12.

. O valor real de m para que o ponto Am 7

2;12

pertena ao eixo das

ordenadas

a) 12

. b) 7. c) 2. d) -7.

. Os valores reais de t para os quais o ponto B (3t + 15; 4t 2 36) pertena ao eixo das abscissas so

a) 1 e 1. b) 2 e 2. c) 3 e 3. d) 5 e 5.

. O domnio da funo real f(x) =8x 125x 1

formado por todos os nmeros reais

a) maiores que 0,2. b) menores que 0,2.

c) maiores que 0,2. d) menores que 0,2.

. Um termmetro de parede apresenta as indicaes de temperatura conforme o quadro a seguir. A lei de formao da funo que relaciona a temperatura (em graus Celsius) e a altura da coluna de mercrio do termmetro

a) f(x) = 8x 5 b) f(x) = 8 4x c) f(x) =8x 125x 1

d) f(x) = 5x 12

Temperatura em graus Celsius

Altura da coluna em milmetros

0 4

5 12

25 44

30 52

Res

post

a

Matemtica a11

auto-avaliao

7Matemtica a11

Nesta aula, voc aprendeu: a utilizar o Sistema de Coordenadas Cartesianas, na localizao de pontos; a representar relaes entre conjuntos atravs de um plano cartesiano ou em diagramas de setas; a conceituar e identificar o domnio, o contradomnio e o conjunto-imagem de uma relao entre conjuntos; a conceituar e identificar funes, o domnio, o contradomnio e o conjunto-imagem de uma funo e analisar o sinal de uma funo.

1. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos:

A (0; 4) B ( 6; 0)

C (0; 0) D (3; 2)

E (5; 3) F ( 1; 6)

G ( 2; 3) H (7; 4)

I (5; 0) J (0; 6)

. Calcule o valor real de m para que o ponto C75;3 + 2m

2

se localize

sobre o eixo das abscissas.

. Determine o valor real de r para o ponto D (5;3r 25

) se localizar sobre o eixo das ordenadas.

. Determine os valores reais de a e de b de modo que:

( 5; 2a + 8) = (b + 5; 2).

. Determine a imagem de x = 3 na funo real f(x) =2 x6

.

. Dada a funo f: tal que f(x) = 5 x, calcule:

a) f( 3) b) f(0) c) f

12

d)

3f(5)f(2) + f(1)

7. Determine o sinal da funo f: , f(x) = 2 x6

, para

a) x = 1 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 5 e) x = 6

Para consulta

1 quadrante2 quadrante

3 quadrante 4 quadrante

II Q

III Q IV Q

I Q

Eixo

das

ord

enad

as

y

Eixo das abscissas x

Grfico 1 Plano Cartesiano

0

II Q y

x

III Q IV Q

I Q

P(4;3)

T(4;-3)S(-4;-3)

R(-4;3)

4-4

3

-3

x > 0 e y < 0

x > 0 e y > 0 x < 0 e y > 0

x < 0 e y < 0

Grfico Sinais das coordenadas em cada quadrante

8Matemtica a11

Sistema de coordenadas cartesianas

Sinais das coordenadas em cada quadrante

Produto cartesiano

Sendo A e B dois conjuntos no vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados de modo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B. Ou seja, AXB = {(x; y) |x A e y B}.

Relao entre conjuntos

Chama-se relao de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano AXB. Na relao R:AB, o conjunto A chamado de conjunto de partida e o conjunto B o conjunto de chegada ou contradomnio da relao. Os primeiros elementos de cada par ordenado de R formam o domnio da

Matemtica a11

relao, cuja notao D(R). Os segundos elementos de cada par ordenado de R compem o conjunto-imagem da relao, cuja notao Im(R).

Funes no Plano cartesiano

Toda relao de A em B, onde cada elemento do conjunto A tambm elemento do domnio da relao e cada um desses elementos se corresponde com um nico elemento no conjunto-imagem, chamada de funo de A em B. Ou seja: Uma relao em AXB, que associa cada elemento x, do conjunto A, a um nico y em B denominada uma funo f de A em B. Notao: f: AB.

So trs os conjuntos especiais associados funo: o domnio, o contradomnio e o conjunto-imagem.

O domnio o conjunto que contm todos os elementos x para os quais a funo deve ser definida.

O contradomnio o conjunto que contm os elementos que podem ser relacionados a elementos do domnio.

O conjunto-imagem como o conjunto de valores que efetivamente se correspondem com o domnio da funo. O conjunto-imagem um subconjunto do contradomnio.

estudo de sinal de uma funo

Sendo uma funo de domnio D, dizemos que:

f positiva para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) > 0;

f negativa para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) < 0;

f nula para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) = 0.

Observe que o sinal de f(x) para um elemento x no o sinal desse elemento x. O sinal de f(x) para um dado elemento x o sinal da imagem desse elemento.

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RefernciasBARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Cludio Xavier da. matemtica: aula por aula: ensino mdio. So Paulo: FTD, 2000. p. 43-70.

DANTE, Luiz Roberto. Funes. In: DANTE, Luiz Roberto. matemtica: contexto e aplicaes. Ensino Mdio. So Paulo: tica, 2003. p. 30-48.

PAIVA, Manoel. A linguagem das funes. In: PAIVA, Manoel. matemtica. So Paulo: Moderna, 2003. p. 56-67.

PEREIRA, Rossana M. M.; SODR, Ulysses Sodr. ensino mdio: relaes e funes. Disponvel em: . Acesso em: 12 out. 2008.

WIKIPDIA. Funo. Disponvel em: . Acesso em: 1 out. 2008.

anotaes

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anotaes

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