Função do 2º Grau - Campus Sertão · então a função assume como valor máximo 6 quando x = 1...

Função do 2º Grau

Alex Oliveira

Apresentação

A função do 2º grau, também chamada defunção quadrática é definida pela expressão dotipo:

y = f(x) = ax² + bx + c onde a, b e c são números reais e a 0.

Exemplos:f(x) = 3x2 – 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1.

g(x) = x2 – 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4.

h(x) = 20x2, em que a = 20, b = 0 e c = 0.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

Apresentação

Num campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezescom outro, em turno e returno. Assim, o número p de partidas docampeonato é dado em função do número de clubesparticipantes, conforme vemos na tabela seguinte:

Pela tabela, vemos que o número p de partidas é dado por:

p(n) = n(n - 1) = n2 - n


Número de clubes Número de partidas

2 2(2 - 1) = 2

3 3(3 - 1) = 6

4 4(4 - 1) = 12

5 5(5 - 1) = 20

n n(n - 1)

Apresentação

Na queda livre dos corpos, o espaço (s)

percorrido é em função de tempo (t) por

uma função quadrática s(t) = 4,9t2, em que a

constante 4,9 é a metade da aceleração da

gravidade, que é 9,8 m/s2.


Gráfico da função

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c naparábola que representa a função quadrática f(x) =ax2 + bx + c.


x1x2

V

Parábola

Eixo de Simetria

c

O

Vértice

Vamos praticar...

O gerador é um aparelho que transforma qualquer tipode energia em energia elétrica. Se a potência P (emwatts) que certo gerador lança num circuito elétrico édada pela relação P(i) = 20i – 5i2, em que i é aintensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador,determine o número de watts que expressa a potência Pquando i = 3 ampéres.

Dada a função P(i) = 20i – 5i2, iremos substituir o i por 3,sendo assim:

P(i) = 20i – 5i2 P(3) = 20.3 – 5.32 P(3) = 60 – 5.9 P(3)= 60 – 45 P(3) = 15

Logo, quando a intensidade da corrente elétrica é de 3ampères a potência do gerador será de 15 watts.


Parâmetro a

Responsável pela concavidade e abertura daparábola.

o Se a > 0 a concavidade é para cima.

o Se a < 0 a concavidade é para baixo.

Além disso, quanto maior for o valor absolutode a, menor será a abertura da parábola(parábola mais “fechada”), independentementeda concavidade.


Parâmetro b

Indica se a parábola cruza o eixo y no ramo

crescente ou decrescente da parábola.

o Se b > 0 a parábola cruza o eixo y no ramo

crescente.

o Se b < 0 a parábola cruza o eixo y no ramo

decrescente.

o Se b = 0 a parábola cruza o eixo y no vértice.


Parâmetro c

Indica onde a parábola cruza o eixo y.

o A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).


Eixo x

A parábola pode interceptar o eixo x em um,

dois ou nenhum ponto, dependendo do valor

de = b2 – 4.a.c da equação correspondente.

f(x) = 0 ax2 + bx +c = 0


= 0 uma raiz real dupla - a parábola interceptaro eixo x em um só ponto.

> 0 duas raízes reais distintas - a parábola interceptaro eixo x em dois pontos.

< 0 nenhuma raiz real - a parábola não interceptaro eixo x.

Vértice da parábola

A determinação do vértice da parábolaajuda a elaboração do gráfico e permitedeterminar a imagem da função, bem comoo valor máximo ou mínimo.

O vértice de uma parábola dada por f(x) =ax2 + bx + c, a 0, também pode sercalculado assim:

V−𝒃

𝟐𝒂,−𝟒𝒂


Imagem

Utilizando o vértice da parábola iremos determinar aimagem da função. Exemplos:

f(x) = -4x2 + 4x + 5

xv = −𝑏

2𝑎

−4

−8

1

2

yv = −4𝑎

−(16+80)

−16

−96

−16= 6

V𝟏

𝟐, 6

Como, a = -4, a < 0 assim a concavidade será para baixo,então a função assume como valor máximo 6 quando x =

1

2.

Logo, Im(f) = {y R | y 6}


Imagem

g(x) = 2x2 – 8x

xv = −−8

2.2−

−8

4 -(-2) 2

yv = −4𝑎 −

64 −4.2.0

4.2 −

64

8 -8

V(2, -8)

Como, a = 2, a > 0 assim a concavidade será paracima, então a função assume valor mínimo-8 quando x = 2.

Logo, Im(g) = {y R | y -8}


Valor máximo ou mínimo

De modo geral, quando:

a > 0 yv é o valor mínimo de f Im(f) = {y

R | y yv};

a < 0 yv é o valor máximo de f Im(f) = {y

R | y yv};


Vamos praticar...

Dada a função quadrática f(x) = 3x2 – 10x + 3, vamos determinar:

a) Se a concavidade da parábola definida pela funçãoestá voltada para cima ou para baixo;Concavidade: voltada para cima, pois a = 3 e, portanto, a > 0.

b) Os zeros da função;f(x) = 0 3x2 – 10x + 3 = 0, onde a = 3, b = -10 e c = 3

= 100 – 4.3.3

= 100 – 36

= 64

x = 10 ± 64

6 x =

10 ± 8

6

x1 = 18

6= 3

x2 = 2

6=

𝟏

𝟑


Vamos praticar...

c) O vértice da parábola definida pela função;

V−𝒃

𝟐𝒂,−𝟒𝒂

V𝟏𝟎

𝟔,−𝟔𝟒

𝟏𝟐 V

𝟓

𝟑,−𝟏𝟔

𝟑

d) Intersecção com o eixo x;

O gráfico intercepta o eixo x em (x1; 0) e (x2; 0), como

x1 = 3 e x2 =1

3temos que (3; 0) e

1

3; 0 são os pontos

que o gráfico intercepta o eixo x.

e) Intersecção com o eixo y;

O gráfico intercepta o eixo y em (0; c), como c = 3

temos que (0; 3) é o ponto que o gráfico intercepta o

eixo y.


Vamos praticar...

f) Eixo de simetria;

O eixo de simetria é a reta que passa por V e é

paralela ao eixo y. Assim, x = 𝟓

𝟑

g) Im(f);

Como, a = 3, a > 0 assim a concavidade será para

cima, então a função assume valor mínimo−𝟏𝟔

𝟑quando x =

𝟓

𝟑.

{y R | y −𝟏𝟔

𝟑}


Vamos praticar...

Uma bala é atirada de um canhão. A trajetóriada bala descreve uma parábola de equação y =-0,1x2 + 15x, onde x e y são medidos emmetros.

o Determine, em metros, a altura máxima atingidapela bala;O valor máximo (ou mínimo) dessa função é o y do

vértice da parábola, ou seja, y = −4𝑎

. Então a altura

máxima da bala é:

y =−[225 − 4. −0,1 .(0)]

4.(−0,1)

−[225 − 0]−0,4

−225

−0,4 562,5 m


Vamos praticar...

o O alcance do disparo é a diferença entre as

raízes da equação -0,1x2 + 15x = 0.

= 225

x = −15 ± 225

2.(−0,1)

x1 = −15 +15

2.(−0,1)

0

−0,2 0

x2 = −15 − 15

2.(−0,1)

−30

−0,2 150

Assim, o alcance do disparo é de 150 – 0 = 150 m.


Construção da Parábola

É possível construir o gráfico de uma função do2º grau seguindo apenas o roteiro deobservação seguinte:

o O valor do coeficiente a define a concavidade daparábola;

o Os zeros definem os pontos em que a parábolaintercepta o eixo x;

o O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0),ou máximo (se a< 0);

o A reta que passa por V e é paralela ao eixo y éo eixo de simetria da parábola;

o Parábola corta o eixo y em (0, c).


Vamos praticar...

Construa o gráfico da função 3x2 - 4x + 1.

o O valor do coeficiente a define a concavidade

da parábola, a = 3, a > 0, logo a concavidade

será para cima.


Vamos praticar...

o Os zeros definem os pontos em que a parábola

intercepta o eixo dos x;

f(x) = 3x2 - 4x + 1 f(x) = 0 3x2 - 4x + 1 = 0

3x2 - 4x + 1 = 0

= 16 – 4.3.1

= 16 – 12

= 4

x = 4 ± 4

2.3 x =

4 ± 4

6

x1 = 4+2

6

6

6= 1

x2 = 4−2

6

2

6=

1

3


x2 = (𝟏

𝟑; 0)

x1 = (1; 0)

Vamos praticar...

o O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou

máximo (se a < 0);

V−𝒃

𝟐𝒂,−𝟒𝒂

V𝟒

𝟐.𝟑,−𝟒

𝟒.𝟑 V

𝟒

𝟔,−𝟒

𝟏𝟐 V

𝟐

𝟑,−𝟏

𝟑

o A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o

eixo de simetria da parábola;

o Eixo de simetria é x = 2/3


x1 = (1; 0)

x2 = (𝟏

𝟑; 0)

V(𝟐

𝟑; −𝟏

𝟑)

Vamos praticar...

o Parábola corta o eixo y em (0; c).

Logo, a parábola corta o eixo y em (0; 1)


x1 = (1; 0)

x2 = (𝟏

𝟑; 0)

V(𝟐

𝟑; −𝟏

𝟑)

(0; 1)

Vamos praticar...

O movimento de um projétil, lançado para

cima verticalmente, é descrito pela

equação 𝑦 = −40𝑥2 + 200𝑥 . Onde y é a

altura, em metros, atingida pelo

projétil x segundos após o lançamento. Qual

a altura máxima atingida e o tempo que

esse projétil permanece no ar?


Vamos praticar...

A altura máxima do projétil pode ser obtidousando o vértice da parábola, como a altura éy, a altura máxima do projétil (ymáx) será acoordenada y do vértice da parábola:

𝒚𝒎𝒂𝒙 =−

𝟒𝒂

𝒚𝒎𝒂𝒙 =−(2002 − 4 . −40 . 0 )

4 . (−40)

𝒚𝒎𝒂𝒙 =−40000

−160= 250 metros


Vamos praticar...

O tempo que o projétil permanece no ar pode ser obtidopelo equação que descreve o movimento do projétil,onde y será a altura final do projetil após chegar no solo,assim y = 0, resolvendo a equação, teremos:

−40𝑥2 + 200𝑥 = 0 = 2002 − 4 . −40 . 0 = 40000

𝑥 =−200 ± 40000

2 . (−40)

𝑥 =−200 ± 200

−80


x’ = −200 + 200

−80

x’ = 0

−80

x’ = 0 s

x’’ = −200 − 200

−80

x’’ = −400

−80

x’’ = 5 s

Vamos praticar...


As duas raízes obtidas mostram o tempo

quando a altura do projetil é zero, ou seja,

quando está no solo, podemos ver que o

tempo 0 s é quando o projetil ainda não e

lançado e o tempo de 5 s é o tempo que foi

necessário para o projetil fazer o movimento

e retornar ao solo.

Assim a resposta para o tempo que ele

permanece no ar é 5 s.

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