Função Zeta de Riemann

por Jos Carlos Santos [Departamento de Matemtica Pura da Faculdade de Cincias da Universidade do Porto]

A Hiptese de Riemann -150 Anos Em 1859, Bernhard Riemann, ento com 32 anos, foi eleito para a Academia das Cincias de Berlim. Fazia ento parte do regulamento daquela instituio que os novos membros deviam fazer um relatrio sobre a pesquisa que estavam a realizar. O relatrio entregue por Riemann era curto (foi publicado em oito pginas) e tinha por ttulo Sobre o nmero de nmeros primos que no excedem uma grandeza dada. aqui que surge a hiptese de Riemann, que talvez o mais famoso problema em aberto da matemtica.

C(n) Para compreender o problema, convm recuar a 1650, ano em que foi publicado o l ivro Novse quadraturx

arithmeticBe seu se additionefractionum, de Pietro Mengol i . E u m l ivro sobre soma de sries, duas das quais so

1 1 1

2 ) - l + ^ + ^ + ^ + ...

a demonstrado que a primeira (a srie harmnica) diverge e o autor levanta o problema de saber qual a soma da segunda. Este problema foi novamente levantado por Jacob Bernoull i em 16891. Trs anos mais tarde, o mesmo Jacob Bernoull i comea a estudar as sries

(1) para cada n e N \ {1}.

E m 1735, Euler provou que (2) igual a * 7 6 e, pouco tempo depois, calculou (n) para cada nmero natural par n, para alm de ter obtido o produto euleriano

n ) = ] [ ( 1 - p - " ) - 1 , (2) p primo

o qual vlido para cada nmero real n > 1. Isto mostra que h u m a relao entre a funo C e a distribuio dos nmeros primos. No a nica ligao da funo C Teoria dos Nmeros. Por exemplo, se s > 1, ento

j i = i

onde d(n) o nmero de divisores de n. Alm disso, se s > 2, ento

'O texto em questo foi publicado em Basileia, o que deu origem a designar-se por "problema de Basileia" o problema de determinar o valor de (2).

8|

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[A Hiptese de Riemann - 150 anos]

onde a(n) a soma dos divisores de n.

Conjectura de Legendre

Para cada x e E , seja n{x) o nmero de nmeros primos menores ou iguais a x. Por exemplo, JI(1)=0, TI(2) = 1 e 71(71)=2. N o f i m do sculo XVIII, Legendre observou que aparentemente se tem

n(xy \ogx'

(3)

querendo isto dizer que o quociente das duas funes tende para 1 quando x tende para +oo. Pela mesma altura, Gauss (com apenas 15 ou 16 anos de idade) tambm conjecturou que se tem (3), mas tambm fez a conjectura equivalente

n(x)~ dt. V h k g *

Que as duas conjecturas so equivalentes resulta de se ter

7 i l i m ^ ^

X-> + 00 rX 1 j J 2 o i t d t

= 1,

que algo que se prova facilmente. N o entanto, /* Vlog t d t u m a melhor aproximao de 7t(x) do que ^ /j Pode ver pela figura 1.

Figura 1: Grficos de %{x) (a vermelho), /^["^t (averde)e x/\0gX (a azul)

A f i g u r a 1 tambm sugere que n(x) sempre maior do que */iog x e que a diferena vai aumentando medida que x cresce. Isto levou Legendre a conjecturar, em 1800, que u m a funo que aproxima 7t(x) ainda melhor do que^/iog*

log(%) - 1,08366

No claro o que que ele tinha em mente ao escrever isto, pois se o quociente de 7t(x) por x/\0g x tender de facto para 1, ento o quociente 7t(x) por qualquer funo do tipo x/(i0g(x) + 4) tambm tende para 1.

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quarta-feira, 19 de Agosto de 2009 16:59:16


Gauss no publ icou nada sobre este tpico; o que se sabe sobre as observaes dele acerca do assunto vem nas suas cartas pessoais e no seu dirio. E m contrapartida, a conjectura de Legendre era bem conhecida dentro da comunidade matemtica e mencionada por, pelo menos, A b e l , Dirichlet e Cebisev na primeira metade do sculo XIX. Fo i alis Cebisev a primeira pessoa a fazer progressos em direco a u m a demonstrao da conjectura. E m 1848 provou que

para x suficientemente grande tem-se

0,89 X ; dt < n(x) < 1,11 : dt; h l o g t w ' J 2 l o g t '

n u m certo sentido (que ele precisou) nenhuma funo da forma x

a l o g x + (3 aproxima melhor a funo 71 do que x/[0g(x) - 1 ) '

caso o limite

l i m ^ d t X-> + 00 fX 1

J 2 l o g t

exista, ento o seu valor s pode ser 1.

O artigo de Riemann

O artigo de Riemann no u m artigo de matemtica no sentido usual do termo. E sobretudo u m programa de pesquisa que pretende levar a u m a demonstrao da conjectura de Legendre.

A expresso (1) para C(w) foi definida para valores naturais de n > 1. Naturalmente, definir C(w) daquele modo contnua a fazer sentido para qualquer ne ]1, +QO[. O que Riemann fez foi definir (s) para qualquer nmero complexo s diferente de 1. A definio dele complexa (sem trocadilhos!), mas vamos ver como se pode prolongar ao conjunto dos nmeros complexos s tais que SR (s) > 0 (e com s * 1). Para comear, convm definir ns = e s l o g n , para cada s e C . No difcil provar que

, . 1 1 1 ? W = l + 2 7 + 3 7 + ? + - (4)

converge (e at converge absolutamente) quando SR(s) > 1. N o entanto, a srie (4) diverge quando 5R(s) < 1. Por outro lado, se SR(s) > 1 tem-se

Z f - I Y 1 4 ' + 2 Z ( 2 n ) s n=l

+ 2 1

n=l Z _ l 7 l s

I ( - 1 )

Logo, ^ 0 0 (5)

1 - 2 1

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Acontece que o numerador do membro da direita desta igualdade u m a srie que converge sempre que SR(s) > 0. Isto permite ento definir (s) para cada nmero complexo s com parte real positiva, excepto aqueles para os quais 2 1 _ s = 1, ou seja, excepto para os nmeros s da f o r m a l com n e Z . Por outro lado, se se definir

(2 se n for mltiplo de 3 , _ 1 1 caso contrario

ento clculos semelhantes aos anteriores mostram que

1 - 3 ! - s (6)

Isto permite definir (s) para cada nmero complexo s com parte real positiva, excepto os nmeros s da forma 1 SR(s)>0.

27TTI

igi , com n s Z . A s expresses (5) e (6) em conjunto permitem definir (s) para cada s e C \ {1} tal que

Riemann encontrou u m a expresso analtica que permitia definir (s) para cada s e C \ {1}. natural que no se possa prolongar a 1, pois o limite de (s) quando s tende para 1 por valores reais maiores do que 1 +oo. Isto tanto pode ser demonstrado a partir de (4) como (mais facilmente) a partir de (5).

Considerando agora C como u m a funo de C \ {1} e m C , Riemann mostrou facilmente que C(s) = 0 quando s u m inteiro par menor do que 0 e observou que resulta do produto euleriano (2) que (s) no tem zeros tais que SR(s) > 1. Riemann tambm provou que, a no ser quando s ou 1- s u m inteiro par menor do que 0, (s) = 0 se e s se C(l - s) = 0. Resulta disto tudo que, com excepo dos inteiros pares menores do que 0 (que se designam por zeros triviais da funo Q , todos os zeros da funo C esto na faixa crtica: {s e C I 0 < SR(s) < 1}.

Prova-se facilmente que, para cada s e C \ {1}, C(s) = C(s)- E m particular, se s for u m zero da funo , ento s tambm o . Consequentemente, se se est procura de zeros da funo C basta procurar aqueles que tm parte imaginria maior ou igual a 0 e vo ser s estes que sero considerados a partir deste ponto.

Riemann fez u m a estimativa de quantos zeros h na faixa crtica com parte imaginria entre 0 e T (T > 0) e obteve

T /T\ T 2TT 2t (7)

E m seguida, Riemann afirmou que este nmero tambm era u m a estimativa para o nmero de zeros p situados na recta crtica [Vi + ti I t e R} tais que 0 < 3(p) < T. Fo i neste contexto que formulou a sua famosa hiptese:

Todos os zeros no triviais da funo esto na recta crtica.

natural nesta fase ocorrer u m a pergunta. O que que tudo isto tem a ver com a conjectura de Legendre? At aqui, a nica relao que foi vista entre a funo C e nmeros primos foi o produto euleriano (2). Para se ver a relao entre as duas coisas, considere-se a funo de Mbius [x: N {-1,0,1}, assim definida: se n e N , ento

se n for mltiplo de algum quadrado perfeito maior do que 1, n(n)=0; caso contrrio, n(n)=l (respectivamente -1) caso n tenha u m nmero par (resp. mpar) de factores primos. Seja tambm, para cada xe]l,+oo[,

Li(x) = !dt = l i m ( ( r^dt+ r^ dt\. J0 log t ^o+\Jo logt J 1 + l o g t )

Riemann conjecturou que

n=l (8)

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seria u m a excelente aproximao de n(x). Empiricamente isto plausvel; por exemplo, se n ( e N ) < 1 000 000, ento a diferena entre Jt(n) e a soma dos quatro primeiros termos no nulos da srie (8) no excede 37. Para se ter u m a ideia da ordem de grandeza dos nmeros com que se est a trabalhar, basta ver que 7t(l 000 000) = 78 498.

rX 1 Como Li(x) e J2 j- dt diferem por u m a constante (-1,04516), ha u m a relao clara entre a aproximao de

K(X) que Riemann conjecturou e a conjectura de Legendre.

Convm observar que existe u m a relao directa entre a funo de Mbius e a funo : se s e C e se 5R(s) > 1, ento

()(^)-Aps Riemann

O artigo de Riemann estava to avanado em relao ao seu tempo que tiveram de decorrer mais de trinta anos at haver avanos relativamente ao que l vem. S em 1896 que Jacques Hadamard e Charles de la Valle Poussin demonstraram (independentemente u m do outro) a conjectura de Legendre, a qual passou a ser conhecida por teorema dos nmeros primos. A demonstrao envolveu o estudo dos zeros da funo mas o que provaram foi somente que esta no tem zeros na fronteira da faixa crtica, ou seja, no tem zeros da forma it ou 1+z'f (f s M.). Para se ter u m a ideia da complexidade do estudo deste problema, basta ver o grfico da restrio de II ao eixo dos imaginrios puros, representado na figura 2. At hoje, ningum conseguiu provar que existe algum 8 < VS> tal que todos os zeros no triviais da funo Q estejam na faixa {s e CI I (if) I (f e [0,100])

O artigo de Riemann continuou a ser fonte de inspirao para muitos matemticos que trabalharam nesta rea. Parte desse trabalho consistiu em encontrar as demonstraes de muitas afirmaes a feitas por Riemann, as quais, aparentemente, eram por ele encaradas como estando completamente demonstradas. U m exemplo entre outros consiste na estimativa (7) apresentada por Riemann para o nmero de zeros da funo no rectngulo que tem por vrtices 0,1,1 + Ti e Ti (T> 0). S em 1905 que v o n Mangoldt conseguiu demonstrar que estava correcta.

Desde o f i m do sculo XIX que se estudam por mtodos numricos os zeros da funo na faixa crtica. De facto, o prprio Riemann j fizera isso, mas no revelou esse facto no artigo de 1859. Foi somente em 1932 que Car l L u d w i g Siegel publ icou u m a anlise dos apontamentos de Riemann que estavam depositados na Universidade de Gttingen. Fo i a descoberta u m a frmula, actualmente conhecida por frmula de RiemannSiegel, que permite encontrar zeros da funo . Riemann chegou a usar essa frmula para introduzir os trs primeiros zeros da funo da forma Vi + ti ( > 0): correspondem a tomar-se f~14,135, f~21,022 e f~25,011. Levando essa anlise u m pouco mais longe, pode-se mostrar que no h mais zeros da funo na faixa crtica com parte imaginria positiva e menor ou igual ao maior dos trs. Esta anlise numrica aos zeros da funo foi levada cada vez mais longe ao longo dos anos; os primeiros dez zeros situados na faixa crtica podem ser vistos na figura 3. Conhecem-se actualmente bilies de zeros da funo situados na faixa crtica e tm todos parte real igual a V2.

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50i

40i : 30i t

20i ! 10

i

Figura 3 : Os primeiros dez zeros no triviais da funo

Este tipo de verificaes numricas so provavelmente encaradas por muitas pessoas como u m a prova, para todos os efeitos prticos, da hiptese de Riemann. Para se ver o cuidado que se deve ter com este tipo de "demonstraes", considere-se novamente a figura 1. Como se pode a ver, tem-se sempre (i. e. sempre que

rX 1 rX 1 l TI(X). Ser que a desigualdade L i (x) > it(x) se verifica para qualquer x > 1? De facto no; em 1914 Litt lewood provou que h nmeros x tais que L i (x) < JI(X). N o entanto, os nmeros para os quais se tem esta desigualdade so to grandes que nunca se encontrou nenhum.

Naturalmente, foram surgindo ao longo dos anos resultados tericos cada vez mais precisos sobre os zeros da funo Riemann. Por exemplo, em 1914 H a r d y demonstrou que a funo tem u m a infinidade de zeros na recta crtica. Sete anos mais tarde, H a r d y e Lit t lewood demonstraram que existe a lgum nmero K > 0 tal que o nmero de zeros da funo no segmento que une Vi a Vi + ti maior do que Kt, desde que seja suficientemente grande. E m 1942, Selberg provou que o mesmo verdade se se tiver Kt log em vez de Kt.

Outras formulaes

A hiptese de Riemann formulada em termos da localizao dos zeros de u m a funo de C \ {1} em C cuja definio no tr ivial . Felizmente, h outros enunciados equivalentes mais fceis de compreender. U m deles : a funo

TT(X) Li(x)

Vxlogx x I-

l imitada. Outro enunciado equivalente pode ser obtido a partir da funo de Mbius. o seguinte: para cada s>0,

lim = 0-neM n V 2 +

Convm ver o que significa o numerador da expresso anterior. Diz-se que u m nmero natural n livre de quadrados se no for mltiplo de nenhum quadrado perfeito maior do que 1. Resulta da definio da funo u que, se n e N , ento I E L n(fc) I a diferena entre o nmero de naturais em [l,n] livres de quadrados que tm u m nmero par de factores primos e o nmero de naturais em [l,n] livres de quadrados que tm u m nmero mpar de factores primos. A s s i m , por exemplo, h 13 nmeros livres de quadrados menores ou iguais a 20:

13

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12,3,5,6,7,10,11,13,14,15,17,19,

estando sublinhados aqueles que tm u m nmero par de factores primos, que so cinco no total. Logo, I E M n(k) I =3. U m enunciado equivalente hiptese de Riemann : se e > 1 e se n e N for suficientemente grande, ento I E W M W I . E m 1897, Mertens props u m a conjectura muito mais forte, a hiptese de Mertens:

Se n e N , ento I E W I

Durante muito tempo, todos os dados numricos disponveis apoiavam esta hiptese, mas, de facto, falsa, o que s foi provado em 1985. N o entanto, ainda no se conhece nenhum contra-exemplo hiptese de Mertens, mas sabe-se que u m tal contra-exemplo tem que ser maior do que 10".

Concluso

Tudo o que foi escrito atrs deve explicar porque que a hiptese de Riemann u m problema em aberto to famoso. Desde que foi formulada que tem captado a imaginao de alguns dos maiores matemticos de mundo. Conta-se, por exemplo, que o exemplar de H u r w i t z das obras completas de Riemann tinha a lombada gasta de tal modo que se o deixasse cair ele abria na pgina onde est formulada a hiptese. Outro matemtico fascinado por ela foi Andr Weil , que declarou certa vez numa entrevista que, durante muito tempo, acalentou a ambio de a demonstrar e de publicar a demonstrao em 1959, no centenrio da publicao da hiptese. Mas aquele ano passou sem que ele tivesse tido sucesso. Depois, o seu desejo passou a ser somente o de compreender a demonstrao quando algum a publicasse. Perto do f im da v ida , desejava somente que a demonstrao fosse feita em v i d a dele, mas nem essa ambio foi satisfeita.

Convm dizer que u m a conjectura formulada por Wei l sobre os zeros de certas funes de u m a varivel complexa anloga hiptese de Riemann e foi demonstrada por Pierre Deligne em 1974. Este facto frequentemente apresentado como u m dos argumentos mais convincentes para a plausibilidade da hiptese de Riemann.

E m 1900, Hilbert fez u m a palestra no Congresso Internacional de Matemticos onde exps u m a lista de 23 problemas matemticos particularmente importantes. E provavelmente a lista de problemas mais famosa da histria da matemtica, mas no ano 2000 surgiu outra que tem rivalizado com a de Hilbert em termos de impacto meditico: a lista dos problemas do milnio, do Instituto C l a y de Matemtica. No admira que o nico problema comum a ambas as listas seja a hiptese de Riemann. 1*3

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