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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-RIDO
PR-REITORIA DE PESQUISA E PS-GRADUAO
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MATEMTICA
ANTNIO JOSIMRIO SOARES DE OLIVEIRA
O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE FUNO EXPONENCIAL EM UM AMBIENTE
DE MODELAGEM MATEMTICA
MOSSOR
2013
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ANTNIO JOSIMRIO SOARES DE OLIVEIRA
O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE FUNO EXPONENCIAL EM UM
AMBIENTE DE MODELAGEM MATEMTICA
Dissertao apresentada Universidade
Federal Rural do Semirido UFERSA,campus Mossor, para a obteno do
ttulo de Mestre em matemtica.
Orientador: Prof. Dr. Antonio Ronaldo
Gomes Garcia
Este trabalho contou com o apoio financeiro da CAPES
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Ficha catalogrfica preparada pelo setor de classificao ecatalogao da Biblioteca Orlando Teixeira da UFERSA
O46o Oliveira, Antnio Josimrio Soares de.
O ensino e a aprendizagem de funo exponencial em umambiente de modelagem matemtica. /Antnio Josimrio
Soares de Oliveira.Mossor-RN: 201395f.: il.
Dissertao (Mestrado em Matemtica) UniversidadeFederal Rural do Semi-rido. Pr-Reitoria de Pesquisa ePs-Graduao
Orientador: Prof.Dr. Antonio Ronaldo Gomes Garcia
1.Aprendizagem significativa. 2. Modelagem matemtica.
3.Funo exponencial. I Titulo.
CDD: 511.8
Bibliotecria: Marilene Santos de Arajo
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A Deus, pelo dom da vida, sabedoria e
perseverana para superar as
dificuldades que a vida nos impe
diariamente.
Aos meus pais, Gilvan Soares de Oliveira
e Francisca Soares de Oliveira, pelos
valiosos ensinamentos, pelo exemplo de
superao, dignidade e honradez.
A minha esposa Maria Sandilene e aos
meus filhos Deborah Kamilly e Douglas
Kauan, pelo carinho, apoio e incentivo nas
horas que eu mais precisei.
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AGRADECIMENTOS
A Deus, por sempre ter me guiado nos momentos alegres e difceis. A certeza de
sua presena me fortalece.
Aos meus pais, Gilvan Soares de Oliveira e Francisca Soares de Oliveira, que no
mediram esforos na criao dos seus filhos, dando-lhes uma educao pautada na
dignidade, na austeridade, no respeito e na honradez.
A minha esposa Maria Sandilene, pela compreenso nos momentos de ausncia,
pelo carinho, pelo companheirismo, pela confiana e pela posio sempre otimista,mesmo diante das dificuldades.
Aos meus filhos, Deborah Kamilly e Douglas Kauan, pela compreenso de minha
ausncia, pelo carinho, pelas palavras de incentivo e por serem inspiraes
constantes em minha vida.
Aos meus familiares, irmos, sogros e cunhados, pelo apoio, pelo incentivo, pelaconfiana e por sempre estarem torcendo por mim a cada batalha enfrentada.
Ao coordenador do Curso (PROFMAT UFERSA) e meu orientador, Prof. Dr.
Antonio Ronaldo Garcia, pela dedicao, pelo apoio, pela objetividade, pela
humildade e pela presteza com que atendeu a todos ns e, principalmente, pelas
orientaes, pelo apoio, incentivo e pela confiana na minha pessoa.
Ao Programa de Ps-Graduao da Universidade Federal Rural do Semirido-
UFERSA, que atravs de sua Coordenao me oportunizou a realizao de um
grande sonho.
Aos colegas do curso, que contriburam significativamente com suas discusses,
didticas ou conceituais, para o enriquecimento do meu currculo e para a concluso
desse curso.
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"Em tempo de mudanas, os dispostos a
aprender sempre so os que herdaro o
futuro. Os que acham que j aprenderam
tudo descobriro estar preparados apenas
para viver num mundo que j no mais
existe."
(Eric Haffer).
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RESUMO
Diante da necessidade urgente de se buscar novas estratgias de ensino de
Matemtica, frente ao baixo rendimento de nossos alunos e a fim de minimizar os j
reiterados problemas do ensino de Matemtica no Brasil, o presente trabalho, ao
reconhecer a importncia da Modelagem Matemtica como uma metodologia de
ensino que deve ser incorporada prtica pedaggica do professor, tem como
objetivo apresentar uma proposta de atividade educacional para o Ensino Mdio
com a Funo Exponencial em um ambiente de Modelagem Matemtica, articulada
com a Resoluo de Problemas. Fundamentando-se, principalmente, nos trabalhos
de Bassanezi (1999, 2009, 2012) e Barbosa (1999, 2003, 2004, 2009) sobre aModelagem Matemtica e motivados por estudos de Lima (1999, 2006) sobre o
ensino de funes, a atividade apresentada explora, sobretudo, a conexo existente
entre as funes exponenciais e as progresses geomtricas. Espera-se, como
resultados, que o ensino da Funo Exponencial num ambiente de Modelagem
Matemtica possibilite ao aluno, por meio da problematizao/ investigao e do
conhecimento slido das caractersticas/propriedades dessas funes, juntamente
com estratgias eficientes, definir qual o modelo matemtico que descreve (modela)um dado problema, opondo-se a um ensino em que as frmulas (modelos) j vm
prontas e acabadas, como comumente ocorre na maioria de nossos livros didticos.
Neste sentido, o desenvolvimento de atividades com a Funo Exponencial
baseadas na Modelagem Matemtica promove, sobretudo, uma aprendizagem
significativa, que permita ao aluno no s aplicar procedimentos, mas sim, diante de
problemas matemticos ou no, refletir sobre eles a fim de interpret-los e
solucion-los usando, de forma consciente, mtodos e conhecimentos apropriados.
Palavras-chave: Aprendizagem Significativa. Modelagem Matemtica. Funo
Exponencial
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ABSTRACT
In view of the urgent necessity of searching for new mathematics teaching strategies
in face of the low performance of our students and in order to minimize the reiterated
problems of mathematics teaching in Brazil, the present paper, by recognizing the
importance of mathematics modeling as a teaching methodology which should be
incorporated to the teacher educational practice, it has as objective to present a
proposal of educational activity for High School with the exponential function in an
environment of mathematical modeling, articulated with solutions to problems. Basing
especially in BASSANEZIs works (1999, 2009, 2012) and BARBOSA (1999, 2004,
2009) on mathematics modeling and motivated by LIMAs studies (1999, 2006) onfunctions teaching, the presented activity explores mainly the existing connection
between exponential functions and geometric progressions. We expect as results
that the exponential function teaching in a mathematical modeling environment
enables the students through problematization/investigation and solid knowledge of
characteristics / properties of these functions, along with efficient strategies, defining
what mathematical model describes/models a given problem, opposing a teaching in
which formulas (models) already come ready and finished, as it usually happens inmost our textbooks. In doing so, the development of activities with exponential
functions based on mathematical modeling promotes, above all, a significant
learning that makes not only applying procedures, but in view of mathematical
problems or not, reflect on them in order to interpret and solve them using, in a
conscious way, methods and proper knowledge.
Keywords: Significant learning. Mathematical modeling. Exponential function.
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SUMRIO
1 INTRODUO....................................................................................................... 10
2 O ENSINO DE MATEMTICA NO BRASIL: PROBLEMAS E SOLUES........ 15
2.1 OS TRS COMPONENTES DO ENSINO DA MATEMTICA, SEGUNDO
LIMA...........................................................................................................................19
2.1.1 Conceituao...................................................................................................19
2.1.2 Manipulao.....................................................................................................20
2.1.3 Aplicaes........................................................................................................20
2.2 O QUE DIZEM AS ORIENTAES CURRICULARES OFICIAIS.......................22
2.2.1 A Resoluo de Problemas............................................................................24 2.2.2 O recurso Histria da Matemtica..............................................................25
2.2.3 O recurso s Novas Tecnologias...................................................................26
2.2.4 O recurso aos Jogos.......................................................................................30
3 A MODELAGEM MATEMTICA............................................................................32
3.1 A MODELAGEM MATEMTICA NA CONCEPO DA EDUCAO
MATEMTICA ...........................................................................................................32
3.2 PORQUE USAR A MODELAGEM MATEMTICA...............................................373.3 COMO FAZER MODELAGEM MATEMTICA.....................................................43
3.4 ALGUNS OBSTCULOS APONTADOS PARA SE FAZER MODELAGEM
MATEMTICA............................................................................................................48
4 AS FUNES.........................................................................................................52
4.1 BREVE HISTRICO SOBRE O CONCEITO DE FUNO.................................52
4.2 PORQUE ESTUDAR FUNO............................................................................59
4.3 SOBRE A DEFINIO DE FUNO...................................................................634.3.1 A Funo Exponencial....................................................................................64
4.3.1.1 A Funo Exponencial nos livros didticos....................................................67
5 ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMTICA COM A FUNO
EXPONENCIAL..........................................................................................................70
5.1 CULTURA DE BACTRIAS.................................................................................73
5.2 DESINTEGRAO RADIOATIVA........................................................................75
5.3 O FRUTICULTOR............................................................................................... 78
5.4 CRESCIMENTO POPULACIONAL......................................................................80
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5.5 ELIMINAO DO LCOOL PELO ORGANISMO HUMANO.............................83
CONCLUSES......................................................................................................... 86
REFERNCIAS......................................................................................................... 89
APNDICE ACaracterizao das Funes Quadrticas...................................94
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1 INTRODUO
So recorrentes os problemas que afetam o ensino de matemtica no Brasil.
Os professores constantemente denunciam a falta de interesse por parte dos
alunos ou muitas vezes reclamam que eles esto cada vez mais aprendendo menos.
De fato, a experincia em sala de aula tem mostrado que o nvel e a qualidade da
aprendizagem dos alunos em matemtica decrescem a cada dia. H quase um
consenso entre alguns alunos e educadores que de fato a matemtica difcil e,
portanto, aprend-la quase impossvel. H outros mais radicais que chegam a
questionar sobre a necessidade real do ensino de matemtica no ensino bsico.
Certamente esta tese agradaria a muitos alunos e tericos da educao, quedesconhecendo a verdadeira matemtica ou at mesmo resignadospelo destino,
esbanjam teorias contrrias a necessidade de se estudar matemtica. evidente
que esta no a melhor soluo.
necessrio reconhecer, no entanto, que em alguns casos os alunos tm
razo quando dizem que desconhecem a real necessidade da matemtica para sua
formao e para a sua vida. Na realidade, a matemtica que tem sido ensinada por
muitos professores no tem utilidade nenhuma, pois na maioria das vezes seresume a um emaranhado de frmulas prontas e a aplicao mecnica de
procedimentos, e poucas vezes criam condies para que os alunos apliquem os
conceitos estudados na resoluo de problemas reais de seu cotidiano. Dessa
forma, quem de fato convive com a matemtica sabe que o verdadeiro problema que
assola o ensino dessa disciplina tem origens na m formao inicial e continuada
dos professores.
Nesse sentido, conscientes e otimistas da possibilidade de umaaprendizagem significativa em Matemtica, mesmo sabendo que, devido a sua
prpria natureza, o caminho que leva a uma verdadeira aprendizagem nessa rea
do conhecimento muito mais difcil e longo, que acreditamos que alguma coisa
tem que ser feita para reverter este estado de coisas. Pensar num ensino de
matemtica que leve o aluno a pensar, a construir conhecimentos, a compreend-la
e us-la em vrios contextos, aliado a capacidade de resolver problemas,
matemticos ou no, certamente um primeiro passo para que se amenizem os
velhos e novos problemas que afetam o processo de ensino e aprendizagem de
Matemtica.
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Ento, torna-se urgente e necessria a busca de metodologias de ensino de
matemtica que privilegie, sobretudo, a capacidade do aluno de construir a sua
prpria aprendizagem, de aplicar de forma proveitosa os conhecimentos
matemticos e no simplesmente reproduzi-los. Cabe, nesse contexto, que o
professor se torne um verdadeiro orientador do processo de aprendizagem e no
algum que, supostamente, tem a nica palavra nesse processo. Assim, a
Modelagem Matemtica, articulado com um ensino pautado na Resoluo de
Problemas, indicada por muitos professores e educadores matemticos como uma
estratgia de ensino que contribuir de forma decisiva para um processo de ensino e
aprendizagem de matemtica mais til e efetivo.
No que diz respeito ao ensino dos contedos em sala de aula, o que se v uma supervalorizao de regras, frmulas e procedimentos em detrimento de uma
abordagem que priorize uma aprendizagem mais significativa, onde os alunos
possam de fato apreender os conceitos e aplic-los na resoluo de problemas
diversos, que sejam do seu cotidiano ou originados da prpria lgica interna da
matemtica. Da a necessidade de se trabalhar com metodologias de ensino que
promovam um ambiente em sala de aula que permita a conexo dos contedos
matemticos entre si e com outros de importncia diria do aluno.Dessa forma, frente a essas consideraes, o presente trabalho apresenta
uma proposta de ensino de funo exponencial em um ambiente de Modelagem
Matemtica, destacando principalmente as propriedades exclusivas desse tipo de
funo por acreditar, sobretudo, que essa forma de abordar as funes exponenciais
contribuir para uma melhor construo do significado do conceito dessas funes
por parte do aluno. Objetivamente, esses estudos sero guiados pelo seguinte
questionamento: como trabalhar o ensino e a aprendizagem de funo exponencialem um contexto de Modelagem Matemtica, de forma a garantir uma aprendizagem
significativa desse tpico importante da Matemtica?
A escolha do tema foi motivada principalmente pelas inquietaes pessoais
como professor de Matemtica por sentir um certo desconforto ao trabalhar com as
funes e perceber que os principais problemas propostos na maioria dos livros
didticos j trazem o tipo de funo que resolve uma dada questo, cabendo ao
aluno fazer apenas o clculo correspondente. Observaes essas que foram de
encontro com preocupaes semelhantes publicadas num livro intitulado Exame de
textos: anlise de livros de matemtica para o ensino mdio de Lima (2001), onde
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foi feita uma anlise criteriosa dos principais livros de matemtica do ensino mdio
adotados nas escolas brasileiras.
Aliado a isso, temos a necessidade de pautar o processo de ensino e
aprendizagem de matemtica em metodologias que favoream uma aprendizagem
eficaz e verdadeira que se caracteriza por [...] envolver o indivduo como um todo.
Esta deve ir ao encontro de suas necessidades, gerando assim um desequilbrio
para o mesmo, o que resulta em uma energia impulsora para que v busca daquilo
que necessita aprender. (RIPPLINGER & BLANCHER, 2006, p. 3).
abundante o nmero de trabalhos cientficos, como artigos, dissertaes,
TCC e atividades referentes Modelagem Matemtica, colocando essa opo
metodolgica para as aulas de Matemtica como uma tendncia atual no ensino dematemtica. Barbosa (2004, p.2), ao apresentar algumas idias tericas sobre a
Modelagem Matemtica, destaca alguns argumentos em favor de sua incluso no
currculo: motivao, facilitao da aprendizagem, preparao para utilizar a
matemtica em diferentes reas, desenvolvimento de habilidades gerais de
explorao e compreenso do papel scio-cultural da matemtica. Assim, nota-se
que o trabalho com a Modelagem Matemtica cria, sobretudo, um ambiente de
problematizao e investigao em sala de aula.Especificamente, em relao ao ensino de funes no Ensino Mdio foram
referncias para nossos estudos as dissertaes de mestrado de Brucki (2011) e
Schnardie (2011) que pesquisaram e sugeriram atividades, respectivamente, com
as funes exponenciais e afins, usando a Modelagem Matemtica como ambiente
de ensino.
muito comum vermos questes sobre funes do tipo: Certa substncia
radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidadeainda no desintegrada da substncia S = S0. 2
-0,25t, em que S0 representa a
quantidade de substncia que havia no incio[...](UEG-GO). A pergunta que se
deve fazer: Por que o modelo matemtico apropriado para esta situao a funo
do tipo exponencial e no a funo afim, por exemplo? Atividades deste tipo exigem
apenas do aluno a necessidade de escolher o procedimento adequado para resolver
o problema, no contribuindo em nada para uma independncia intelectual por
parte do aluno.
Nesse sentido, ressalta-se a problemtica desta pesquisa: apresentar uma
proposta de atividade com a Funo Exponencial para o Ensino Mdio em um
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ambiente de Modelagem Matemtica, abordando, principalmente, a relao dessas
funes com as progresses aritmticas e geomtricas. A esse respeito, Barreto
(2008, p. 2) conclui que ao se trabalhar com as funes a nfase deve estar no
conceito, suas propriedades, interpretao grfica e aplicaes, ao invs, do
enfoque tradicional que privilegia as manipulaes algbricas e uma linguagem
excessivamente formal.
A justificativa para escolha de uma atividade com as funes exponenciais se
deve necessidade de delimitao do tema e por reconhecer que essas funes
aparecem com maior freqncia em situaes reais do cotidiano do aluno, como na
Matemtica Financeira, em situaes de crescimento populacional, na anlise do
pH de substncias e da desintegrao radioativa de alguns elementos, bem comoem situaes de eliminao de algumas drogas pelo organismo, como veremos logo
adiante.
Quanto aos aspectos metodolgicos, o trabalho apresenta uma proposta de
atividade de ensino da funo exponencial em um contexto de Modelagem
Matemtica. Para tanto, considerando a natureza e objetivos do trabalho, foi
realizada uma reviso bibliogrfica minuciosa de alguns trabalhos que tratam da
mesma temtica, como artigos cientficos, monografias, dissertaes e livrosdidticos. Dessa forma, optou-se por uma pesquisa de abordagem qualitativa em
que considera que h uma relao dinmica entre o mundo real e o sujeito, isto ,
um vnculo indissocivel entre o objetivo e a subjetividade do sujeito que no pode
ser traduzido em nmeros. (SILVA, MENEZES, 2001, p.20).
Para tanto, as pesquisas foram ancoradas, principalmente, em autores como
Barbosa (1999, 2003, 2004, 2009) e Bassanezi (1999, 2002, 2012), que tm se
dedicado ao estudo da Modelagem Matemtica na perspectiva de EducaoMatemtica. Nesse mesmo sentido, orientaes curriculares oficiais, como os
Parmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o Ensino Fundamental e para o
Ensino Mdio (1998, 1999), as Orientaes Curriculares Nacionais para o Ensino
Mdio (2006) e os PCN + Ensino Mdio (2002) foram suportes tericos importantes
para concretizao desses estudos.
Da mesma forma, Chaves (2006); Machado Jnior (2004); Figueredo e
Bisognim (2006) e Leite (2008), entre outros, desenvolveram pesquisas no sentido
de apontar atividades com Modelagem Matemtica para serem aplicadas em sala de
aula com grupos de professores e alunos. Machado Jnior, ao citar Blum (1995),
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define Modelagem Matemtica, por exemplo, como sendo um processo de
construo de modelos que transforma uma situao com referncia na realidade
em uma situao matemtica.
Diversos trabalhos j foram realizados sobre o ensino da Funo
Exponencial. Brucki (2011) desenvolveu estudos com uma turma de alunos de uma
escola estadual paulista sobre atividades de Modelagem Matemtica para o ensino
da Funo Exponencial, destacando, principalmente, a relao existente entre essas
funes e as Progresses Geomtricas. Dentre suas concluses, podemos
destacar: a Modelagem possibilita uma aprendizagem significativa, uma vez que
essa metodologia por si s motivadora. Alm do mais, a Modelagem permite que
os alunos faam uma relao teoria-prtica dos contedos estudados, a fim deresolver situaes-problema do seu cotidiano.
DOMINONI (2005), por sua vez, apresenta em seu trabalho dissertativo de
mestrado uma sequncia de atividades em um grupo de alunos de escola particular
de uma cidade paranaense, explorando principalmente as diversas formas de
representao da Funo Exponencial. Esta concluiu que o conhecimento de
diversas formas de registro de representao da Funo Exponencial por parte dos
alunos contribui de forma positiva para a construo do conceito desta funo.Para finalizar, estruturalmente o trabalho ser desenvolvido em quatro
captulos. No captulo 1, sero discutidos alguns problemas que afetam o ensino de
Matemtica no Brasil, bem como, sero apontadas algumas solues para esses
problemas, conforme alguns educadores matemticos e especialistas. No captulo 2,
ser apresentado um referencial terico sobre a Modelagem Matemtica,
destacando, principalmente, o seu conceito e a sua importncia no ensino de
Matemtica. No captulo3, ser feito um breve relato sobre a evoluo histrica doconceito de funo, sobre a importncia de seu ensino e sobre a definio de funo
exponencial. Finalmente, no captulo 4, sero apresentados alguns problemas com a
funo exponencial, ilustrando situaes do dia a dia do aluno que so modeladas
por uma funo do tipo exponencial.
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2 O ENSINO DE MATEMTICA NO BRASIL: PROBLEMAS E SOLUES
Nas ltimas dcadas, muito se tem discutido sobre a educao brasileira, em
particular, sobre o rendimento de nossos alunos em matemtica. Participaes em
avaliaes nacionais, como SAEB (Sistema Nacional de Avaliao da Educao
Bsica), ENEM (Exame Nacional do Ensino Mdio), ENADE (Exame Nacional de
Desempenho de Estudantes), Prova Brasil, e internacionais como PISA (Programa
Internacional de Avaliao de Alunos), entre outras, tm demonstrado,
enfaticamente, um quase analfabetismo matemtico. S para termos uma ideia de
nossa fragilidade em matemtica, na ltima edio do PISA, em 2009, ficamos na
57 posio, num ranking de 65 pases.Os fatores que explicam esse desempenho muito baixo em matemtica so
os mais diversos. Educadores matemticos e tericos da educao garantem que
faltam metodologias acertadas, falta didtica que d conta de responder
diversidade de personalidades e carncias cognitivo-afetivas de nossos alunos. Por
outro lado, alguns professores e matemticos acreditam que o maior problema a
falta de domnio dos contedos por parte dos professores que lecionam Matemtica.
De qualquer forma, pelo menos um fato consensual: alguma coisa tem quer serfeita para amenizarmos essa situao, em que a maioria dos alunos termina o
ensino bsico sem dominar se quer as quatro operaes bsicas.
Alguns pesquisadores e professores tm apontado causas e sinalizam
caminhos que podem amenizar esses ndices. Druck (2010, p.1) destaca a m
formao dos professores como uma das causas responsveis por esses problemas
e justifica:
Em geral, os professores recebem durante sua formao uma
overdose de teorias pedaggicas, sociologia da educao e
psicologia infantil, em detrimentos de contedos matemticos
e de boas prticas de ensino. A Aritmtica Elementar, raiz de
todo o conhecimento matemtico estudada superficialmente,
e os gregos Pitgoras, Thales, Arquimedes e outros esto
expulsos das salas de aula pelo pouco domnio da Geometria
por grande parte dos professores [...].
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Nesse caso, a professora citada argumenta que um dos principais problemas
na formao inicial do professor de Matemtica o excesso de teorias, mtodos, em
detrimento de uma formao voltada mais para o domnio de contedos. De fato,
quem tem uma mnima experincia com a matemtica sabe que um bom domnio
dos contedos a serem ensinados em sala de aula um requisito necessrio e
indispensvel para orientar e mediar, a contento, o processo de ensino e
aprendizagem de matemtica. Com efeito, consenso que ningum pode ensinar
aquilo que no sabe e no aprendeu, muito menos ser capaz de promover uma
aprendizagem significativa, verdadeira de contedos que ele mesmo no domina.
Contrapondo-se a esse entendimento, Bassanezi (1999, p. 16) se expressa
da seguinte forma:
a deficincia do professor de matemtica no est no conjunto
de contedos matemticos aprendidos - muitas vezes, ele
estudou matemtica de modo excessivo, tendo como
referncia os contedos que ele precisa ensinar nos cursos do
ensino fundamental e mdio , mas sim na essncia do
processo que orientou sua formao. Isto , em geral, asdisciplinas so tratadas de modo independente uma das
outras, consideradas como prontas/acabadas, sem origem e
sem futuro e, quase sempre apresentadas/desenvolvidas sob
o regime formalista dos teoremas e suas demonstraes; as
aplicaes, quando sugeridas, s dizem respeito ao prprio
contedo recm-ensinado. Em resumo, a matemtica
trabalhada, num programa tradicional da Licenciatura, tem sidointeiramente privada de originalidade/ criatividade e apresenta-
se desvinculada da fonte geradora dos contedos que a
constituem.
Nesse contexto, o autor concorda que temos problemas na formao do
professor, mas no acredita que haja deficincias em termos de contedos, e sim na
sua qualificao/atuao didtico-pedaggica, evidenciadas numa postura
tradicional, formalista de abordar os contedos em sala de aula.
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Druck (2010, p.2) insiste e revela que muitos professores que no dominam
os contedos matemticos recorrem a tcnicas e modismos, afetando cada vez este
quadro: Essa combinao perversa acabou por produzir o pano de fundo para o
desastre que hora assistimos: aulas montonas e confusas, cheias de frmulas sem
sentido, com a consequente falta de interesse e baixssimo nvel de conhecimento
matemtico dos alunos. De qualquer forma, a formao precria do professor se
revela como um dos principais fatores que afetam a qualidade do ensino de
matemtica no Brasil.
Por outro lado, educadores matemticos tm apontado quase que
sistematicamente que a matemtica que est sendo dada em sala de aula sem
utilidade para o aluno, intil para a sua vida, obsoleta para o momento em quevivemos, o que deixa os alunos desmotivados. Na realidade, o dia-a-dia do trabalho
na sala de aula uma tentativa de transmisso de um conhecimento deslocado dos
interesses dos alunos e que, para grande parte dos educadores, motivo de
frustrao. (BARASUOL, 2006, p.2). A esse respeito, Bassanezi (1999, p.1) tambm
comenta:
Na verdade, a produo matemtica tem ocorrido de modosupostamente desvinculado de um contexto scio-cultural-
poltico e com pouca preocupao em tornar-se utilitria ou
mais bem definida em suas metas - o que, de certo modo,
diferencia a Matemtica de outras Cincias. De fato, tal
produo apresenta-se como fruto exclusivo da mente
humana, resultando numa linguagem que almeja
essencialmente elegncia e rigor.
Nas entrelinhas podemos concluir que h uma preocupao em trazer a
matemtica para o contexto do aluno, trabalhar situaes do dia a dia, dar mais
sentido aos contedos e, sobretudo, dotar os alunos de conhecimentos e
procedimentos matemticos a fim de resolver problemas reais de seu cotidiano.
Nesse mesmo sentido, Druck (2003) traz algumas preocupaes quanto
contextualizao ao afirmar que muitos professores no possuem conhecimento
matemtico necessrio para decidir sobre qual matemtica est por trs de
algumas situaes concretas. Algumas vezes, cita a autora, na busca incessante de
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se trabalhar a matemtica no contexto do aluno, surgem propostas didtico-
pedaggicas das mais variadas, muitas vezes inadequadas, como a criao da
'matemtica junina' ou fazer a interpretao matemtica de um poema religioso.
Ainda nessa mesma direo, muitos professores e matemticos tm
compartilhado preocupaes quanto forma de se abordar alguns contedos
matemticos em sala de aula. Lima et al.(2001), ao analisarem os principais livros
didticos de Matemtica adotados no Ensino Mdio, concluram que a maioria
desses livros trazem uma srie de enunciados cuja veracidade no demonstrada
nem justificada, o que impede os jovens de desenvolverem o seu esprito crtico,
aprender a raciocinar e, sobretudo, tomar decises baseada na anlise cuidadosa
dos fatos.De fato, a experincia tem mostrado que um ensino baseado na transmisso
de contedos por parte do professor, em que o aluno recebe passivamente os
contedos e os reproduz, conforme regras e procedimentos, no garantem uma
aprendizagem efetiva. Qualquer que seja a rea do conhecimento, o aluno tem que
participar ativamente do processo e construo do conhecimento, entender que os
mesmos so responsveis, com uma adequada orientao e mediao do professor,
num contexto de erros e acertos, de forma perseverante, pela sua aprendizagem.Chaves e Bisognim ([s.d], p.1) corroboram essa opinio, ao fazerem a seguinte
ponderao:
Critica-se, no entanto, os contedos transmitidos
exclusivamente de maneira tradicional. Para essa pedagogia,
o aluno atento explicao e o professor apropriado de uma
didtica coerente e clara, so fatores necessrios e suficientespara que se possa assegurar e efetivar o processo de
aprendizagem. A prtica, no entanto, tem mostrado que no
to simples assim, que a realidade de uma sala de aula evoca,
muitas vezes, por um fazer diferenciado.
Vale ressaltar que, qualquer que seja a mtodo de ensino usado pelo
professor, no obteremos resultados positivos se no tivermos professores
conscientes da importncia de seu papel histrico-social enquanto orientador e
mediador do processo de ensino e aprendizagem, compromissados com a qualidade
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do ensino, que tenham sobriedade para questionar e no ceder a orientaes de um
sistema cada vez mais assistencialista e paternalista, que prioriza a quantidade em
detrimento da qualidade. Da mesma forma, nenhum mtodo, nenhuma orientao
de cunho pedaggico funciona se o nosso aluno real no estiver motivado,
compromissado com a sua aprendizagem, se no desempenhar o seu verdadeiro
papel de aluno na acepo prpria da palavra.
2.1 OS TRS COMPONENTES DO ENSINO DA MATEMTICA, SEGUNDO LIMA.
Considerando que a matemtica tem suas caractersticas prprias, assim
como as demais reas das cincias e seus contedos exigem meios apropriadospara sua aquisio, Lima (1999), de forma simples e franca, sugere trs
componentes bsicos aos quais o ensino de matemtica deve se apoiar:
conceituao, manipulao e aplicao.
O autor acredita que o conhecimento e a adoo por parte dos professores
desses trs componentes, utilizados de forma no divorciada e equilibrada,
permitiro que os alunos entendam e reconheam o mtodo matemtico. Alm do
mais, iro dot-los de habilidades para lidar desembaraadamente com osmecanismos do clculo e dar-lhes condies para mais tarde saberem utilizar seus
conhecimentos em situaes da vida real [...]. (LIMA, 1999, p.1). A seguir, iremos
descrev-los:
2.1.1 Conceituao
Segundo o autor, a conceituao compreende a formulao correta dasdefinies, o domnio da notao/linguagem de uma certa teoria, o enunciado
preciso das proposies , a prtica de formas distintas de raciocnio, como o
dedutivo, por exemplo, a deduo(quando possvel) das frmulas e o
estabelecimento de conexes entre diversos conceitos, ou seja, o saber.
o saber fazer relaes entre temas matemticos, considerando os seus
diversos contextos, e interpretar/reformular corretamente situaes e ideias
matemticas. Pertencem a esse componente, tambm, a prtica e a compreenso
da demonstrao, uma vez que demonstrar validar uma verdade matemtica, seja
um teorema ou uma proposio, atravs da razo e no pela imposio.
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Cabe destacar que um bom domnio dos conceitos matemticos por parte dos
alunos garante, de forma consciente e consistente, a aplicao desses conceitos na
resoluo de situaes-problemas Na realidade, esse componente corresponde ao
que se faz, normalmente, nas chamadas aulas tericas.
2.1.2 Manipulao
Sabemos que o ensino de matemtica, na viso de muitos professores e
alunos, resume-se a manipulao, que o saber fazer, ou seja, colocar em prti ca
(manipular) via mtodos, algoritmos e frmulas, os conceitos matemticos. Para
Lima (1999), a manipulao gil de equaes, de frmulas, de construesgeomtricas, de expresses numricas, acompanhadas do desenvolvimento de
atitudes mentais, permite aos que fazem matemtica uma abordagem consciente e
objetiva das situaes (problemas) matemticas. Outrossim, permite o treinamento
desses procedimentos indispensveis para um fazer matemtico eficaz e gil. o
que se faz geralmente ao se propor os chamados exerccios de fixao.
No entanto, o autor observa que prtica no Brasil a supervalorizao da
manipulao, decorrente, muitas vezes, da forma como a maioria dos livros didticostratam a matemtica, priorizando clculos mecnicos e repetitivos, trazendo listas
extensas de questes do tipo calcule, em prejuzo de questes relacionadas ao dia
a dia do aluno ou a questes de investigaes internas da matemtica.
No h dvida que o excesso de manipulao tem guiado a grande maioria
de nossos professores na seleo e organizao dos contedos a serem dados em
sala de aula. Da por que reas importantes da Matemtica, como Geometria, por
exemplo, tm sido abandonadas, por exigir no s a manipulao mecnica, mas,sobretudo, o raciocnio dedutivo e a capacidade visual, caractersticas que
geralmente no so intrnsecas ao um ensino baseado simplesmente no domnio de
procedimentos.
2.1.3 Aplicaes
Certamente, a possibilidade de aplicaes de conceitos e procedimentos
matemticos para resolver problemas, sejam eles relacionados ao cotidiano, a
questes de outras reas, sejam cientficas ou tecnolgicas, ou a questes prprias
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da matemtica, o momento mais motivante e prazeroso para os alunos. Muitas
vezes este momento d sentido e responde a muitas perguntas de por que de se
estudar certos contedos. Para Lima (1999), as aplicaes so o emprego das
noes e teorias da Matemtica para obter resultados, concluses em situaes do
dia a dia ou em questes de outras reas do conhecimento, ou seja, o ato de
contextualizar os conceitos e procedimentos matemticos. O mesmo ressalta que o
trabalho com aplicaes em Matemtica desenvolve, entre outras habilidades, a
criatividade, a autoestima, a capacidade de resolver problemas e, sobretudo, justifica
e torna menos cansativo o ato de aprender.
Para o mesmo autor, o trabalho com as aplicaes no ensino de Matemtica
deve ser uma constante em sala de aula e desenvolvido num ambiente de resoluode situaes-problemas:
Cada novo captulo do curso deveria comear com um
problema cuja soluo requeresse o uso da matria que vai a
ser ensinada. muito importante que o enunciado do
problema no contenha palavras que digam respeito ao
assunto que vai ser estudado naquele captulo. De resto, asaplicaes mais interessantes, durante todo o curso, so
exemplos e exerccios cujo objeto principal no o assunto
que est sendo tratado. Por exemplo: problemas sobre
logaritmos em que a palavra logaritmo no aparea no
enunciado ou exerccios que se resolvam com trigonometria,
mas que no falem em seno, cosseno, etc. (LIMA, 1999, p. 6).
Dessa forma, o uso equilibrado e no dissociado destes trs componentes no
ensino da Matemtica trar como resultados uma aprendizagem efetiva e duradoura,
um ensino que valorize mais o raciocnio, o ato de fazer pensar e menos baseado na
reproduo e repetio de conceitos e procedimentos.
Objetivamente, o principal ponto de convergncia desse estudo com as
concepes de Lima (1999) (artigo este que teve uma contribuio importante na
escolha do tema deste trabalho) foi a constatao de que a maioria dos alunos do
Ensino Mdio no sabe diferenciar qual o modelo matemtico adequado para
modelar uma dada situao. Por exemplo, se um dado problema resolvido usando
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a funo afim, quadrtica ou exponencial, quando no se tem explicitamente o tipo
de funo que deve ser usada.
Claro, quando se defende a valorizao das aplicaes no ensino da
matemtica no se pretende, de forma alguma, minimizar ou relativizar a importncia
de conceitos e procedimentos, mas sim reconhecer que a principal finalidade da
conceituao e da manipulao em Matemtica a possibilidade de aplicaes
dessas ferramentas dentro da prpria Matemtica ou em problemas que tm
referncia no dia a dia do aluno.
Da mesma forma, no podemos adotar uma viso maniquesta e acreditar
que devemos tirar das salas de aulas contedos que no permitam uma
contextualizao fora da matemtica, como defendido por alguns educadores. Bastalembrar que, em geral, os matemticos no produzem matemtica pensando, num
primeiro momento, em aplicaes imediatas. Agora, historicamente, percebemos
que muita matemtica considerada terica e menos utilitria teve aplicaes
surpreendentes, como, por exemplo, a inesperada aplicao da teoria dos nmeros
primos na Criptografia, entre outros casos.
2.2 O QUE DIZEM AS ORIENTAES CURRICULARES OFICIAIS
No se pode negar que o professor hoje dispe de um vasto material relativo
a orientaes curriculares, sejam elas didticas ou pedaggicas, que podem auxili-
los na seleo e organizao dos contedos.
Juntamente com os documentos de Secretarias Municipais e Estaduais de
Educao, temos, seguramente, os Parmetros Curriculares Nacionais (PCN), sejam
eles direcionados para o Ensino Fundamental ou Mdio e suas complementaes,como um dos principais documentos institucionais que orientam a prtica
pedaggica docente no mbito da educao brasileira. Desse modo, considerando
que as concepes expressas nestes documentos contribuiro para uma mudana
de postura dos professores, se eles forem interpretados corretamente, iremos
descrever suas principais propostas e opinies.
Grosso modo, os PCN para o Ensino Fundamental (1998) apontam como
obstculos enfrentados pelo Brasil em relao ao ensino de matemtica a m
formao, a falta de polticas educacionais concretas, interpretaes equivocadas de
concepes pedaggicas e, principalmente, a no adoo dessas propostas por
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partes dos professores. Vale notar que essas orientaes, mesmo sendo voltadas
para o ensino fundamental, tm carter geral e se aplicam, portanto, a qualquer nvel
de ensino.
Como exemplo de inovaes mal sucedidas, o documento alerta sobre a
forma comum e no adequada de trabalhar a resoluo de problema como opo
metodolgica: [...] quando incorporada, aparece como um item isolado,
desenvolvido paralelamente como aplicao da aprendizagem, a partir de listagens
de problemas cuja resoluo depende basicamente da escolha de tcnicas ou
formas de resoluo memorizadas pelos alunos. (BRASIL, 1998, p.22). Um outro
obstculo apontado, no menos importante, fruto de interpretaes equivocadas por
parte de docentes e do corpo pedaggico das escolas, diz respeito a forma comoesses profissionais veem a ideia de contexto na sala de aula:
[...] ao se trabalhar apenas com o que se supe fazer parte do
dia-a-dia do aluno. Embora as situaes do cotidiano sejam
fundamentais para conferir significados a muitos contedos a
serem estudados, importante considerar que esses
significados podem ser explorados em outros contextos comoas questes internas da prpria Matemtica e dos problemas
histricos. Caso contrrio, muitos contedos importantes sero
descartados por serem julgados, sem uma anlise adequada,
que no so de interesse para os alunos porque no fazem
parte de sua realidade ou no tm uma aplicao prtica
imediata. (BRASIL, 1998, p.23).
Da mesma forma, o documento critica a forma de como a Histria da
Matemtica vendo sido trabalhada em sala de aula: muitas vezes se resume a
apresentao de fatos ou biografias de autores, empobrecendo esse recurso to
importante para as aulas de Matemtica, por mostrar a trajetria de construo e
reconstruo de conceitos e procedimentos matemticos. Alm do mais, o trabalho
com Histria da Matemtica deixa claro para os alunos que essa rea do saber
fruto da produo humana e que muitas vezes reflete momentos e necessidades
histricas. Alm do mais, mostra fatos importantes da construo ou reconstruo
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dos conhecimentos matemticos, que podem apontar formas de se abordar certos
conceitos em sala de aula.
2.2.1 A Resoluo de Problemas
A fim de orientar e amenizar as dificuldades apontadas, os autores desse
documento sugerem a resoluo de problemas como uma das principais
metodologias de ensino em Matemtica. Em termos gerais, a atividade com
resoluo de problemas pressupe que sejam apresentados aos alunos situaes
desafiadores (problemas), sejam elas construdas/geradas na prpria Matemtica ou
relacionadas ao seu dia a dia, que demandem por parte do aluno a necessidade degerenciar informaes, escolher conceitos e procedimentos adequados na busca da
resoluo do problema.
Da, como consequncia, essa metodologia permite a criao de um ambiente
desafiador, privilegiando o desenvolvimento do raciocnio, trocas de experincias
entre alunos, e, sobretudo, a necessidade de justificar o processo de resoluo.
Nessa viso, o ensino na perspectiva de resoluo de problemas se ope ao um
ensino voltado para a reproduo e memorizao de conceitos, frmulas eprocedimentos. Os PCN (BRASIL, 1998, p.40-41) ainda caracterizam e definem mais
precisamente, em forma de princpios, a resoluo de problemas:
a situao-problema o ponto de partida da atividade matemtica e no a
definio. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e
mtodos matemticos devem ser abordados mediante a explorao de
problemas, ou seja, de situaes em que os alunos precisem desenvolver
algum tipo de estratgia para resolv-las;
o problema certamente no um exerccio em que o aluno aplica, de forma
quase mecnica, uma frmula ou um processo operatrio. S h problema se
o aluno for levado a interpretar o enunciado da questo que lhe posta e a
estruturar a situao que lhe apresentada;
aproximaes sucessivas de um conceito so construdas para resolver um
certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu
para resolver outros, o que exige transferncias, retificaes, rupturas,
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segundo um processo anlogo ao que se pode observar na Histria da
Matemtica;
um conceito matemtico se constri articulado com outros conceitos, por meio
de uma srie de retificaes e generalizaes. Assim, pode-se afirmar que o
aluno constri um campo de conceitos que toma sentido num campo de
problemas, e no um conceito isolado em resposta a um problema particular;
a resoluo de problemas no uma atividade para ser desenvolvida em
paralelo ou como aplicao da aprendizagem, mas uma orientao para a
aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender
conceitos, procedimentos e atitudes matemticas.
Nesse contexto, o ensino atravs da resoluo de problemas permite que os
alunos desenvolvam sua capacidade de aprender a aprender, habituando-os a
determinar por si prprios respostas s questes que os inquietam, sejam elas
questes escolares ou da vida cotidiana, ao invs de esperar uma resposta j pronta
dada pelo professor ou pelo livro-texto (PINTO; SOARES,[s.d], p.1) e, como
consequncia, promove o desenvolvimento de atitudes como perseverana, deformas eficazes de aprender , contribui para a conquista da autoestima e,
principalmente, mostra que o fazer matemtico se d num ambiente de tentativas,
de acertos e erros. Afinal de contas, a produo de matemtica ocorre, como j
falado, num contexto de resoluo de problemas, sejam eles matemticos ou de
demandas cientficas, tecnolgicas ou sociais.
2.2.2 O recurso Histria da Matemtica
Os PCN tambm apontam alguns recursos que podem propiciar contextos e
contriburem na estratgia de busca de solues num trabalho com Resoluo de
Problemas. Dentre eles, podemos destacar o recurso Histria da Matemtica. Ao
reconhecer a importncia dessa ferramenta para o processo de ensino e
aprendizagem de Matemtica, os autores justificam sua relevncia:
Ao revelar a Matemtica como uma criao humana, ao
mostrar necessidades e preocupaes de diferentes culturas,
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em diferentes momentos histricos, ao estabelecer
comparaes entre os conceitos e processos matemticos do
passado e do presente, o professor cria condies para que o
aluno desenvolva atitudes e valores mais favorveis diante
desse conhecimento. (BRASIL, 1998, p.42).
Nesse sentido, o recurso Histria da Matemtica se mostra como um aliado
forte no processo de ensino e aprendizagem de matemtica por mostrar o caminho
longo trilhado por esse conhecimento, sua evoluo, sua importncia na
consolidao de outras reas, como a tecnolgica, e, sobretudo, ilustra muito bem
para os alunos que suas dificuldades hoje de aceitar/compreender alguns conceitostambm foram sentidas no passado pelos matemticos, ou seja,
O aluno reconhecer a Matemtica como uma criao
humana, que surgiu a partir da busca de solues para
resolver problemas do cotidiano, conhecer as preocupaes
dos vrios povos em diferentes momentos histricos,
identificando a utilizao da Matemtica em cada um deles eestabelecer comparaes entre os conceitos e processos
matemticos do passado e do presente. (PORTANOVA, [s.d],
p.1).
Da, a necessidade do reconhecimento de que a matemtica est sendo
sempre aprimorada, incorporando novos conceitos e mtodos, refletindo momentos
e necessidades da sociedade. Outrossim, [...] o recurso Histria da Matemticapode esclarecer ideias matemticas que esto sendo construdas pelo aluno,
especialmente para dar respostas a alguns porqus e, desse modo, contribuir para a
constituio de um olhar mais crtico sobre os objetos de conhecimento. (BRASIL,
1998, p.42).
2.2.3 O recurso s Novas Tecnologias
As novas tecnologias, sejam elas de comunicao ou de informtica, esto
cada vez mais presentes no dia a dia dos nossos alunos. Recursos tecnolgicos
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como computadores, celulares, tablets, o acesso aos meios de comunicao ou at
mesmo as calculadoras, sendo usados de forma consciente e planejada, podem se
tornar aliados fortes no processo de ensino e aprendizagem de Matemtica. Ento
no podemos neg-las, muito menos tir-las do meio escolar; pelo contrrio,
devemos encontrar formas eficazes de incorpor-las ao ensino.
Sabidamente, o simples fato de se ter contato com novas tecnologias, com
uma grande quantidade de informaes diariamente, no significa para o usurio
uma automtica contribuio para a sua aprendizagem, algumas vezes podem at
atrapalhar. Da a necessidade da escola desenvolver um trabalho contnuo a fim de
conscientizar seus alunos quanto ao uso proveitoso e responsvel desses recursos,
devidamente orientados pelos professores. Nesse sentido, os PCN (1998), fazendoreferncia a recursos como calculadoras, computadores e outras tecnologias, listam
algumas de suas contribuies para o processo de ensino e aprendizagem de
Matemtica:
relativiza a importncia do clculo mecnico e da simples manipulao
simblica, uma vez que por meio de instrumentos esses clculos podem ser
realizados de modo mais rpido e eficiente;
evidencia para os alunos a importncia do papel da linguagem grfica e de
novas formas de representao, permitindo novas estratgias de abordagem
de variados problemas;
possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela
realizao de projetos e atividades de investigao e explorao como partefundamental de sua aprendizagem;
permite que os alunos construam uma viso mais completa da verdadeira
natureza da atividade matemtica e desenvolvam atitudes positivas diante de
seu estudo
consensual que a matemtica tem papel decisivo na produo e execuode novos recursos tecnolgicos, mas vale lembrar que o conhecimento matemtico
ou suas linguagens, muitas vezes, so necessrios tambm para o uso adequado
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desses recursos. Da, que muita gente fica privado dessas ferramentas por se
sentirem incapazes de manuse-los ou se sentem inseguros de us-los e, neste
caso, um razovel conhecimento matemtico pode ajudar.
Especificamente, em relao ao uso de computadores, os autores sustentam
que eles podem ser usados, principalmente, como fonte de informao, como
auxiliar no processo de construo de conhecimentos e, em alguns casos, como
ferramenta para realizar algumas atividades como a construo de planilhas
eletrnicas, banco de dados, etc.
Certamente, de todos os recursos ditos tecnolgicos, a calculadora tem tido o
seu uso mais questionado no ensino de Matemtica. A questo que se levanta se
sua utilizao traz benefcios ou prejuzos para a aprendizagem. Alguns acreditamque se a calculadora no for bem usada, com atividades planejadas e direcionadas,
ela pode deixar os alunos mal acostumados, ou seja, em alguns casos troca -se o
clculo mental por um simples clculo mecnico.
Alm do mais, o uso abusivo da calculadora, dependendo do nvel escolar,
pode reduzir e dificultar algumas habilidades aritmticas. Uma vez um colega
comentou que um aluno seu do Ensino Mdio perguntou se poderia usar a
calculadora para somar 40 + 40!. muito provvel que esse aluno se quer observouo que estava somando. Esse fato isolado, mas emblemtico, ilustra muito bem
nossa preocupao com o mau uso da calculadora.
Claro, no simplesmente com este intuito que a calculadora deve ser usada.
Os prejuzos que podemos ter pelo uso da calculadora podem estar relacionados
forma de como ela usada. Neste sentido, os PCN tm nos apontado alguns
caminhos:
[...] constata-se que ela um recurso til para verificao de
resultados, correo de erros, podendo ser um valioso
instrumento de autoavaliao. A calculadora favorece a busca
e percepo de regularidades matemticas e o
desenvolvimento de estratgias de resoluo de situaes-
problema, pois ela estimula a descoberta de estratgias e a
investigao de hipteses, uma vez que os alunos ganham
tempo na execuo dos clculos. Assim elas podem ser
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utilizadas como eficiente recurso para promover a
aprendizagem de processos cognitivos. (BRASIL, 1998, p.28).
Assim, o uso adequado da calculadora pode desenvolver algumas
habilidades, como a descoberta de regularidades, a verificao e interpretao de
resultados, acompanhados da devida justificativa matemtica, e a confirmao ou a
refutao de hipteses. Ademais, as propriedades de algumas operaes podem ser
abordadas e exploradas na calculadora.
Finalmente, no podemos deixar de fazer referncias a alguns programas de
computadores (os softwares) que podem ser um suporte pedaggico a mais para
professores e alunos. Existem vrios softwares educacionais, em particular deMatemtica, que permitem a construo e aplicao de conceitos. Muitos deles
possibilitam a visualizao de propriedades e de demonstraes de relaes, o
que seguramente torna o ensino e aprendizagem de matemtica mais motivante e
realstico para o aluno. A esse respeito, Romero (2006) apresenta mais algumas
contribuies do uso dos softwareseducacionais para as aulas de Matemtica:
A tecnologia, especificamente os softwares educacionaisdisponibiliza oportunidade de motivao e apropriao do
contedo estudado em sala de aula, uma vez que em muitas
escolas de rede pblica e particular, professores utilizam
recursos didticos como lousa e giz para ministrarem suas
aulas, este um dos diversos problemas que causam o
crescimento da qualidade no satisfatria de ensino,
principalmente na rede estadual. (idem, 2006, p.1).
evidente que os alunos devem ter conscincia de que os recursos
tecnolgicos devem ser um aliado seu no processo de aprendizagem e que,
portanto, deve ser usado no somente dentro do ambiente de sala de aula, mas,
principalmente, fora das salas de aulas, j que, neste caso, os recursos disponveis
so bem mais variados.
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2.2.4 O recurso aos Jogos
Os jogos so, sem sombra de dvida, um dos recursos mais importante para
a motivao dos alunos, por ser natural o ato de brincar ede jogar. Assim, podem
ser utilizados na Matemtica como pano de fundo para se propor problemas
criativos, que demandem a criao de estratgias, o desenvolvimento do raciocnio
rpido, a capacidade de concentrao e, sobretudo, a aplicao, dependendo da
situao, de conceitos matemticos. Alm do mais,
os jogos podem ser utilizados para introduzir contedos,
verificar a aprendizagem, fixar conceitos j estudados eresgatar contedos anteriores. Essa prtica ir melhorar o
relacionamento entre os alunos e tambm entre alunos e
professor. Sero reforados valores de respeito, reciprocidade
e confiana. (PASDIORA, 2008, p.6).
Recorremos Flemming (2009, p.34) para citarmos mais algumas razes
para trabalharmos com jogos nas aulas de Matemtica: os jogos podem minimizaras dificuldades de aprendizagens e, principalmente, facilitar o resgate de conceitos e
propriedades Matemticas de forma mais espontnea e natural. No deixando de
lembrar que seu uso pode desenvolver outras atitudes, como o conhecimento e o
respeito a regras pr-estabelecidas e favorecem o trabalho coletivo. Nesse sentido,
os jogos
podem contribuir para um trabalho de formao de atitudes,enfrentar desafios, lanar-se busca de solues,
desenvolvimento da crtica, da intuio, da criao de
estratgias e da possibilidade de alter-las quando o resultado
no satisfatrio necessrias para aprendizagem da
Matemtica. (BRASIL, 1998, p.47).
Portanto, objetivamos com este captulo (no o considere parte!) fazer um
panorama do ensino da matemtica do Brasil, mostrando algumas dificuldades e
apontando solues para super-las, segundo educadores, professores e as
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orientaes curriculares oficiais. Acreditamos, enfim, que no nos distanciamos do
tema em pauta, mas justificamos a necessidade de se criar novas formas e mtodos
para o ensino da Matemtica.
Explicitamente, percebemos que qualquer que seja a metodologia ou recurso
usado no ensino de Matemtica o objetivo maior criar ambientes de ensino que
permitam uma aprendizagem real, significativa, em que o aluno, lanando mo de
conhecimentos e mtodos, possa us-los para resolver problemas, sejam eles
escolares ou de sua realidade. E, seguramente, a adeso Modelagem Matemtica,
num ambiente de resoluo de problemas, permitir darmos um passo importante no
sentido de amenizar os j recorrentes e propagados problemas que afetam o
processo de ensino e aprendizagem de Matemtica no Brasil. Claro, no captulo quese segue, iremos definir e caracterizar a Modelagem Matemtica como uma
importante estratgia de ensino que deve ser incorporada a nossa prtica
pedaggica.
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3 A MODELAGEM MATEMTICA
Conscientes da necessidade de se buscar alternativas no sentido de
minimizar os j falados problemas do ensino de Matemtica no Brasil, educadores,
pesquisadores e professores apontam algumas possibilidades. Dentre elas,
podemos destacar a Resoluo de Problemas e a Modelagem Matemtica como
metodologias de ensino que devem ser incorporadas prtica pedaggica do
professor de Matemtica. No h dvidas, no entanto, que nas ltimas dcadas a
Modelagem Matemtica vem ganhando adeptos e se tornando uma das principais
alternativas metodolgicas de ensino de Matemtica, por aproximar o aluno da sua
realidade, ou seja, permite a to sonhada relao teoria e prtica na Matemtica.Nesse sentido, pretendemos neste captulo caracterizar em termos mais
especficos a Modelagem Matemtica como um ambiente de ensino e
aprendizagem, uma vez que o nosso trabalho sugere o ensino da Funo
Exponencial baseado nessa metodologia de ensino.
Inspirados em Barbosa (2004), nos guiaremos, principalmente, pelas
seguintes questes: O que Modelagem Matemtica? Por que Modelagem
Matemtica? Como fazer Modelagem Matemtica? Quais so os obstculosapontados na aplicao da Modelagem Matemtica?
3.1 A MODELAGEM MATEMTICA NA CONCEPO DA EDUCAO
MATEMTICA
No so recentes no Brasil estudos, pesquisas e argumentos em prol do uso
da Modelagem Matemtica no ensino de Matemtica. Debates sobre a necessidadede se trabalhar as aplicaes em matemtica certamente conduziram reflexes a
respeito de usar os conceitos matemticos para problematizar/investigar e resolver
problemas que tm alguma relao com a realidade dos alunos, levando a uma
conscincia da importncia do papel scio- cultural que a Matemtica desempenha.
Pesquisadores sustentam que o surgimento da Modelagem Matemtica como
estratgia de ensino no Brasil se deu na dcada de 70, tendo como um dos
pioneiros o professor Aristides Camargos Barretos, da PUC do Rio de Janeiro, que
realizou, na poca, a sua principal experincia de Modelagem em sala de aula numa
turma de Clculo Diferencial e Integral, obtendo bons resultados. Posteriormente, os
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professores D'Ambrsio e Bassanezi (ambos da UNICAMP) se engajaram em
discusses no mbito nacional e internacional sobre o uso da Modelagem
Matemtica; o que os levaram, posteriormente, a criar e coordenar cursos e projetos
com a finalidade de criar grupos de pesquisa e estudos em Modelagem Matemtica.
Mais tarde, Bassanezi se tornou um dos principais especialistas e disseminadores
da Modelagem Matemtica, sendo referncia para muitos pesquisadores e
estudiosos do tema. Temos ainda estudos mais recentes dos
professores/pesquisadores Barbosa e Biembengut que tm dado contribuies
tericas e prticas importantes sobre a Modelagem Matemtica.
Diversas so as concepes sobre a Modelagem Matemtica na perspectiva
da Educao Matemtica, contudo no h divergncias quanto aos seus objetivos.Bassanezi (1999, p.15) define Modelagem Matemtica como a arte de transformar
problemas da realidade em problemas matemticos, resolv-los e, ento, interpretar
suas solues na linguagem do mundo real. Nesse contexto, o autor acredita que
essa forma de atuar/conceber o ensino de Matemtica aproxima o aluno, de certa
forma, da Matemtica que feita nos laboratrios,que muitas vezes empresta a
sua teoria/linguagem para solucionar ou deixar mais claros fenmenos e fatos de
outras reas do conhecimento:
Desse modo, a Matemtica tem penetrado fortemente na
Economia, Qumica, Biologia, entre outras, na perspectiva da
utilizao de modelos, quase sempre apoiados nos
paradigmas que nortearam a Fsica - como as leis de
conservao e analogias consequentes. Outras reas como
Sociologia, Psicologia, Medicina, Lingustica, Msica, e mesmoa Histria, comeam a acreditar na possibilidade de ter suas
teorias modeladas por meio da linguagem matemtica. (idem,
p.11).
Dessa forma, o processo de Modelagem Matemtica, em particular, visa
problematizar, investigar e solucionar situaes/problemas vindo de outros
contextos, como, por exemplo, de questes originadas em outras reas ou que
tenham origem ou referncia na realidade do aluno, resultando na obteno de um
modelo matemtico que traduza, em termos matemticos, a situao colocada.
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Alm do mais, se busca trabalhar os contedos matemticos de uma forma
que possibilite a construo dos conceitos matemticos, buscando relaes destes
com o dia a dia [...]. (BURAK; BARBIERI, 2005, p.2). Resulta, ento que um modelo
matemtico um conjunto consistente de equaes ou estruturas matemticas,
elaborado para corresponder a algum fenmeno - este pode ser biolgico, social,
psicolgico, conceitual ou at mesmo outro modelo matemtico (BASSANEZI,
1999, p.12) ou em termos mais simples, como dizem Biembengut e Hein (2000),
um conjunto de frmulas e relaes matemticas que traduz um fenmeno ou um
problema real.
De forma mais ampla, Bassanezi (idem, p.11) completa que modelo um
processo artificial que ocorre quando procuramos agir/refletir sobre uma poro darealidade, na tentativa de explicar, compreender ou modific-la. O mesmo ainda
pondera que um modelo nunca encerra uma verdade definitiva, uma vez que ele
representa uma aproximao da realidade analisada. Na mesma direo desses
autores, Barasuol (2006, p.3) considera a Modelagem Matemtica como um
processo que envolve a obteno de um modelo matemtico e complementa:
Este sob certa tica, pode ser considerado um processoartstico, visto que, para se elaborar um modelo, alm de
conhecimento apurado de matemtica, o modelador deve ter
uma dose significativa de intuio e criatividade para
interpretar o contexto, saber discernir que contedo
matemtico melhor se adapta e tambm ter senso ldico para
jogar com as variveis envolvidas.
Assim, um ensino de Matemtica que prioriza atividades, sejam elas simples
ou mais complexas, que tenham como objetivo a interpretao via matemtica de
fatos e situaes, permitir o seu reconhecimento, por parte de alunos e sociedade
em geral, da sua utilidade, da sua presena nas questes que dizem respeito vida
do aluno. Ademais, situaes de ensino nesses moldes desenvolvem, sem dvida,
um sentimento, por parte do aluno, de ser um agente ativo de sua aprendizagem,
levando em considerao que ele faz parte do processo de construo das solues
e no um mero reprodutor de algoritmos e estratgias do professor. Acrescentamos,
enfim, que uma Matemtica til e interessante no deve se distanciar do contedo
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programtico bsico existente (BASSANEZI, 1999), sob pena de reduzir cada vez
mais a qualidade e o nvel do ensino de Matemtica.
Barbosa (2009), que tem publicado diversos estudos tericos e,
principalmente, tem relatado experincias de atividades em sala de aula com
Modelagem Matemtica, define essa metodologia de ensino em termos mais simples
como o ato de abordar situaes do dia a dia ou de outras cincias por meio da
Matemtica; o que nos parece uma definio mais adequada para os objetivos de
nosso trabalho. Em outro momento, o mesmo autor explicita melhor o que entende
por ambiente de Modelagem:
[...] o ambiente de Modelagem est associado problematizao e investigao. O primeiro refere-se ao ato de
criar perguntas e/ou problemas enquanto que o segundo,
busca, seleo, organizao e manipulao de informaes e
reflexo sobre elas. Ambas atividades no so separadas,
mas articuladas no processo de envolvimento dos alunos para
abordar a atividade proposta. Nela, podem-se levantar
questes e realizar investigaes que atingem o mbito doconhecimento reflexivo. (BARBOSA, 2004, p.3).
Nesse sentido, um ambiente de Modelagem Matemtica possibilita, por parte
do aluno, a aplicao de teorias, linguagem, procedimentos e algoritmos da
Matemtica, assim como a construo de novos conceitos , para abordar situaes
que se relacionam, de alguma maneira, com o seu cotidiano. Alm do mais, a
despeito de vrias concepes mais abrangentes, essa metodologia deve ser vistaapenas como uma estratgia de aprendizagem, onde o objetivo principal no de se
chegar a um modelo, mas seguir etapas aonde o contedo matemtico vai sendo,
no decorrer do processo, sistematizado e aplicado. (MACLYNE; SANTOS, 2007.
p.8).
Barbosa (2009) ainda explica que a Modelagem Matemtica no nico
ambiente de ensino e aprendizagem que tem como objetivo a busca da resoluo de
um problema. Uma outra metodologia com os mesmos objetivos a Resoluo de
Problemas. No entanto, a primeira se diferencia da segunda por trabalhar temas
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interdisciplinares, que tm origem ou tem relao do cotidiano dos mesmos, o que
no ocorre geralmente com atividades de resoluo de problemas.
Todavia, considerando a natureza e os objetivos deste trabalho, adota-se a
concepo de que a Modelagem Matemtica est vinculada a um ambiente de
Resoluo de Problemas, mas como dito antes, se busca objetivamente, como essa
alternativa metodolgica, solucionar problemas provenientes do dia a dia dos alunos.
Explicando melhor: em particular, pretendemos sugerir atividades de ensino da
Funo Exponencial - via a resoluo de problemas contextualizados - baseadas,
em seus objetivos e mtodos, na Modelagem Matemtica. Na realidade, esse
entendimento tem suporte nas Orientaes Curriculares Nacionais para o ensino
Mdio que dizem: A modelagem matemtica, percebida como estratgia de ensino,apresenta fortes conexes com a ideia de resoluo de problemas apresentada
anteriormente [...]. (BRASIL, 2006, p.84).
Especificamente, pretende-se, com este trabalho, apresentar situaes-
problema que leve o aluno a decidir, apoiado nas caractersticas das principais
funes elementares (afins, quadrticas, exponenciais, etc..) sobre qual o modelo
matemtico adequado que modela tal situao. Essa viso de se ensinar/apreender
os conceitos matemticos, em particular das funes, se contrape a posturaadotada geralmente pelos professores e autores de livros didticos, que do os
modelos (frmulas) j prontos e acabados, sem necessidade do aluno agir, intervir,
refletir sobre qual o modelo adequado para uma dada situao.
Finalmente, Barbosa (2009); a par da importncia da Modelagem Matemtica
para motivar nossos alunos e favorec-los na aprendizagem de Matemtica; atenta
para o fato de que a busca de modelos matemticos tem sua importncia na
sociedade como um todo. Ele lembra, como exemplo, que muitas empresas detransportes procuram uma representao matemtica que relacione seus custos e
receitas, e da elas podem usar esses modelos para justificar, por exemplo, seus
aumentos. Da mesma forma, as entidades de fiscalizao, 'sobre um ponto de vista
tcnico,tomam esses modelos para analisarem possveis irregularidades. Enfim, o
autor sugere que por trs da produo de um modelo pode estar o interesse de
quem os produz, o que torna essa produo um processo no neutro. Da, sobre
esse ponto de vista, a Modelagem Matemtica perpassa as salas de aula para ter
sua importncia tambm no exerccio de nossa cidadania:
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Parece-me que, do ponto de vista da cidadania, h um
argumento mais crucial: a necessidade de os alunos
perceberem a natureza enviesada dos modelos matemticos e
o papel que eles podem ter na sociedade e nas cincias. Isso
no significa o esquecimento do contedo matemtico, mas
seu posicionamento como um 'meio' para convidar os alunos a
enxergarem seu uso para alm dos limites da disciplina
escolar. (BARBOSA, 2009, p.2).
Nesta perspectiva, a preocupao do autor embasa algumas de nossas
reflexes que sero citadas e explicitadas em momento posterior de que a falta deum repertrio bsico em matemtica, ou uma aprendizagem deficiente nesta rea do
conhecimento, por parte dos alunos e cidados em geral, acaba por privar essas
pessoas do exerccio pleno de sua cidadania.
3.2 PORQUE USAR A MODELAGEM MATEMTICA
Muitos professores e matemticos tm compartilhado preocupaes quanto forma de se abordar os contedos matemticos em sala de aula. Da, a necessidade
premente do professor de Matemtica mudar sua a postura. No h mais espao
para um ensino pautado na supervalorizao de regras, frmulas e procedimentos
em detrimento de uma abordagem que priorize uma aprendizagem significativa,
onde os alunos possam de fato apreender os conceitos e aplic-los na resoluo de
problemas diversos, que sejam do seu cotidiano ou originados na prpria lgica
interna da Matemtica.Muitos afirmam que essa metodologia tradicional do ensino de Matemtica,
que se limita a expor os contedos, resolver e propor exerccios para que os alunos
exercitem seus conhecimentos, sem o incentivo da participao ativa deles na
construo e busca de solues est ultrapassada e que, portanto, um fator
preponderante para o atual fracasso do processo de ensino e aprendizagem de
Matemtica. Alis, a esse respeito, Barasuol assevera enfaticamente que:
Esta forma de apresentao dos contedos depreende-se uma
concepo de Matemtica em que a criatividade totalmente
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desfigurada, induzindo os alunos impotncia frente
sabedoria do mestre, que aparentemente encontra de imediato
os melhores caminhos para a soluo de questes
matemticas, em verdade, esse modo de proceder s
possvel porque o professor j conhece antecipadamente
aquele contedo. (BARASUOL, 2006, p.2).
No entanto, acreditamos que o problema no est s na forma de expor os
contedos, mas, sobretudo, se os contedos so selecionados e organizados com o
objetivo de alcanar uma aprendizagem verdadeira, desenvolver o raciocnio e a
capacidade de aplicar adequadamente conceitos e procedimentos para resolverproblemas. De outra forma: no adianta garantir a todo custo a audincia dos
alunos, como aulas muito divertidas e com um certo apelo teatral, como hoje
podemos presenciar em alguns casos . Assim, devemos
descobrir novas formas de estabelecer o processo de ensino-
aprendizagem, com a inteno de no somente melhorar a
qualidade das aulas, mas tambm de adotar estratgias quelevem o aluno a questionar e traar novos caminhos, como
forma de ultrapassar as dificuldades que se apresentam.
(MACLYNE; SANTOS, 2007, p.8).
Por isso, inadivel a necessidade de perseguir e assegurar uma
aprendizagem slida, que leve o aluno a pensar e aplicar, conscientemente, seus
conhecimentos matemticos para resolver seus problemas, sejam escolares ou no.Nesse sentido, acreditamos que a Modelagem Matemtica se impe como uma
metodologia que pode contribuir de forma decisiva na busca de uma aprendizagem
efetiva e mais reflexiva, pois:
Atravs dela o aluno tem condies de desenvolver sua
capacidade de reflexo, deixando de ser um mero repetidor e
copiador de conhecimentos, podendo analisar, interpretar e
discutir teoricamente o vivido na prtica, podendo assim
avaliar as dificuldades encontradas, objetivando uma
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aprendizagem mais interessante e agradvel. (SIQUEIRA;
NATTI, 2009, p.4).
Desse modo, estamos convictos de que um ensino de Matemtica que
contemple em sua metodologia atividades simples ou mais complexas de
Modelagem Matemtica despertar o interesse dos alunos pela investigao e
pesquisa, tornar as aulas mais dinmicas e produtivas, o que resultar numa
aprendizagem mais eficiente e til.
Os Parmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio (1999), ao
apontar algumas competncias e habilidades que devem ser desenvolvidas em
Matemtica, em particular sobre o campo investigao e compreenso, nos remetema algumas caractersticas peculiares da Modelagem Matemtica que podemos usar
a nosso favor para justificar o seu uso em sala de sala:
Identificar o problema (compreender enunciados, formular questes etc).
Procurar, selecionar e interpretar informaes relativas ao problema.
Formular hipteses e prever resultados.
Selecionar estratgias de resoluo de problemas.
Interpretar e criticar resultados numa situao concreta.
Distinguir e utilizar raciocnios dedutivos e indutivos.
Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos,
esboos, fatos conhecidos, relaes e propriedades.
Discutir ideias e produzir argumentos convincentes.
Por outro lado, as Orientaes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdioreiteram as caractersticas citadas anteriormente e destacam algumas competncias
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e procedimentos que o aluno pode desenvolver ao se trabalhar na sala de aula com
atividades de Modelagem Matemtica:
selecionar variveis que sero relevantes para o modelo a
construir; problematizar, ou seja, formular o problema terico
na linguagem do campo matemtico envolvido; formular
hipteses explicativas do fenmeno em causa; recorrer ao
conhecimento matemtico acumulado para a resoluo do
problema formulado, o que, muitas vezes, requer um trabalho
de simplificao quando o modelo originalmente pensado
matematicamente muito complexo; validar, isto , confrontaras concluses tericas com os dados empricos existentes; e
eventualmente ainda, quando surge a necessidade, modificar
o modelo para que esse melhor corresponda situao real,
aqui se revelando o aspecto dinmico da construo do
conhecimento. (BRASIL, 2006. p.85).
No h dvida que essas habilidades relacionadas Modelagem Matemticapor si ss deveriam ser considerados argumentos suficientes para garantir a adoo
por parte dos professores dessa estratgia de ensino na Matemtica.
Em Barbosa (2003, p.3), so citadas algumas razes para incluir a
Modelagem Matemtica no currculo:
Motivao: os alunos sentir-se-iam mais estimulados para o estudo de
matemtica, j que vislumbrariam a aplicabilidade do que estudam na escola;
Facilitao da aprendizagem: os alunos teriam mais facilidade em
compreender as ideias matemticas, j que poderiam conect-las a outros
assuntos;
Preparao para utilizar a matemtica em diferentes reas: os alunos teriam a
oportunidade de desenvolver a capacidade de aplicar matemtica em
diversas situaes, o que desejvel para moverem-se no dia-a-dia e no
mundo do trabalho;
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Desenvolvimento de habilidades gerais de explorao: os alunos
desenvolveriam habilidades gerais de investigao;
Compreenso do papel sociocultural da matemtica: os alunos analisariam
como a matemtica usada nas prticas sociais.
Mas ele chama ateno, sobretudo, para o ltimo desses argumentos, por
acreditar que ele est diretamente conectado com o interesse de formar sujeitos
para atuar ativamente na sociedade e, em particular, capazes de analisar a forma
como a matemtica usada nos debates sociais (idem, 2004, p.2). Nessaperspectiva, o autor considera que a Modelagem Matemtica pode ajudar as
pessoas a tomarem decises e refletirem sobre as aplicaes da Matemtica usadas
nas prticas sociais. Siqueira e Natti (2009, p.5) corroboram esse entendimento ao
afirmarem que essa alternativa metodolgica, alm de desenvolver a capacidade de
aplicar os conceitos matemticos em diversos contextos, promove uma
aprendizagem significativa, [...] adquirindo conhecimentos voltados para sua
cidadania, tornando-o cidado crtico, reflexivo e participante, atuando como agenteda transformao de seu ambiente, participando mais ativamente no mundo do
trabalho, das relaes sociais, da poltica e da cultura.
Percebe-se, ento, que as diversas defesas em favor da Modelagem
Matemtica feitas por pesquisadores e professores recaem principalmente sobre a
sua importncia social, ou seja, oferecer ao aluno e a sociedade em geral a
oportunidade de reconhecer a Matemtica como um instrumento eficaz de atuao
nas questes sociais. Dessa forma, os ganhos que se podem ter de seu uso no sereduzem apenas ao desenvolvimento de capacidades cognitivas, intelectuais, mas
sim na possibilidade concreta de tornar o ensino de Matemtica mais atraente, mais
criativo e agradvel. Ademais, permitir a entrada de temas de relevncia social
nas aulas de Matemtica, o que pode contribuir para diminuir a rejeio e o medo
que os nossos alunos tm da Matemtica. Chaves e Bisognim ([s.d],p.2) reforam
essa concepo:
Um dos mais relevantes aspectos com o qual o ensino por
meio da Modelagem contribui, o social, pois atravs da
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valorizao de temas atuais e da realidade, podemos trazer
para a sala de aula assuntos em que, ao mesmo tempo em
que se ensina Matemtica, desperta-se para problemas atuais
da sociedade, problemas ambientais, econmicos, financeiros,
dentre outros. O aluno sai de uma posio passiva, e como
cidado integrado no mundo no qual faz parte, tem condies
de contribuir, provocar mudanas, interagir, integrar e tomar
decises.
Finalmente, do ponto de vista do ensino das funes, alguns professores e
educadores sustentam que o fato mais importante no tratamento de algumas
funes, como afins, quadrticas e exponenciais, por exemplo, descobrir qual tipo de funo mais adequado para modelar um problema. Na realidade, o que
vemos, na maioria dos livros didticos e na prtica em sala de aula, so situaes
em que o tipo de funo que modela tal situao j est explicitado na questo,
empobrecendo o processo de aprendizagem, dificultando o desenvolvimento do
pensamento matemtico, ou seja, deixa-se de
colocar os alunos em um processo de aprendizagem quevalorize o raciocnio matemtico nos aspectos de formular
questes, perguntar-se sobre a existncia de soluo,
estabelecer hipteses e tirar concluses, apresentar exemplos
e contra- exemplos, generalizar situaes, abstrair
regularidades, criar modelos, argumentar com fundamentao
lgico-dedutiva (BRASIL, 2006, p. 70).
Ainda, nesse sentido, Lima et al. (2006) afirmam que uma vez decidido o
modelo adequado para um determinado problema, o tratamento matemtico da
questo no oferece maiores dificuldades. Portanto, as maiores dvidas que
ocorrem so referentes escolha do instrumento apropriado para o problema em
questo. Da por que o trabalho com Modelagem Matemtica possibilitar ao aluno,
por meio da problematizao, da investigao e do conhecimento slido das
caractersticas/propriedades das funes elementares, juntamente com estratgias
eficientes, definir qual o modelo matemtico que descreve a situao em questo,
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opondo-se a um ensino em que as frmulas (modelos) j vm prontas e acabadas,
como comumente ocorre com a maioria de nossos livros didticos.
3.3 COMO FAZER MODELAGEM MATEMTICA
No pretendemos aqui, de forma alguma, mostrar a forma correta de fazer
Modelagem em sala de aula. Pelo contrrio, desejamos apresentar algumas
maneiras, sendo resultados de convices tericas e experincias de alguns
autores, de organizar e conduzir a Modelagem Matemtica como um ambiente de
ensino, ou seja, de que forma aquelas concepes de Modelagem Matemtica
luz da Educao Matemticase materializa em sala de aula como um ambiente deensino e aprendizagem e adotar uma como pano de fundo para desenvolvermos
nossa atividade.
Barbosa (2009) fala em casos para se referir s diferentes formas de se
trabalhar Modelagem Matemtica em sala de aula. Esses casos mostram, na
realidade, o nvel de complexidade da atividade proposta e as tarefas do professor
e do aluno no desenvolvimento e busca da soluo do problema. No que se segue,
iremos detalhar essa classificao:
a) Caso 1: o professor apresenta a situao-problema e seus dados qualitativos e
quantitativos, ou seja, fornece as informaes necessrias sua resoluo, cabendo
aos alunos apenas o processo de investigao e sistematizao da resoluo, dessa
forma no preciso procurar dados fora da sala de aula. O autor acrescenta ainda
que neste caso o desenvolvimento da atividade mais previsvel para o professor,
pois ele j conhece antecipadamente o problema e certamente os dadosnecessrios para sua resoluo. No entanto, para os alunos a atividade ainda
desconhecida, o que favorece o surgimento de outras possibilidades de solues. O
mesmo sugere que esse tipo de atividade deve ser feita em grupos, cabendo ao
professor sanar eventuais dvidas, fazer algumas formalizaes e coordenar as
discusses sobre as possveis solues. Em resumo, ele divide o caso 1 em trs
momentos (BARBOSA, 2009, p.20-21):
o convite o professor apresenta a situao-problema e discute com os
alunos;
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o trabalho em grupo os alunos, organizados em grupos, buscam produzir
uma resoluo para a situao, tendo o acompanhamento do professor;
a socializao os grupos de alunos apresentam suas resolues para
discusso da turma;
a formalizaoo professor pode fazer formalizaes (ou institucionalizao)
de estratgias ou de tpicos matemticos.
b) Caso 2: o professor apresenta a situao-problema para os alunos investigarem,
mas no disponibiliza os dados para a sua resoluo. Assim, os alunos tm que sair
da sala de aula e procurar informaes quantitativas e qualitativas sobre o problema
em questo para resolv-lo. Neste caso, os alunos devem traar a sua prpria
estratgia de soluo, alm do mais, esse tipo de atividade demanda mais tempo
para sua execuo e a participao dos alunos mais efetiva e decisiva.
c) Caso 3: os alunos formulam problemas sobre temas de seu interesse, buscam e
coletam informaes necessrias a sua resoluo. Neste caso, a atividade deModelagem feita de forma mais aberta, podendo ser desenvolvida em forma de
pequenos projetos, j que temos um processo mais complexo e longo.
Percebemos que esses trs casos mostram algumas possibilidades/formas de
se trabalhar Modelagem Matemtica na sala de aula. A escolha por um caso ou
outro depende dos objetivos e experincia do professor, podendo optar por
atividades mais simples e prticas (caso 1) que esto mais voltadas para a
investigao e que podem ser feitas articuladas com a Resoluo de Problemas ouat mesmo desenvolver atividades mais complexas e longas (caso 1 e 2). Em
qualquer que seja o caso, alerta o autor, devem ser sugeridas atividades sobre
situaes que tenham referncia na realidade. Notamos, ainda, que em todos os
casos o professor tem um papel decisivo, atuando como um orientador das
atividades e revisor dos processos, bem como fica muito claro a diviso de
responsabilidades entre professor e alunos, como mostra o quadro a seguir:
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Caso 1 Caso 2 Caso 3
Elaborao do
problema
Professor Professor Professor/alunos
Coleta de dados Professor Professor/alunos Professor/alunos
Resoluo Professor/alunos Professor/alunos Professor/alunos
Quadro 1. Tarefas do professor e alunos no processo de Modelagem
Ainda nesse contexto, a escolha de uma atividade de Modelagem Matemtica
mais simples ou mais elaborada depende tambm do perfil dos alunos, das
convices do professor e das condies da escola. O prefervel que o professor
comece com atividades mais simples de investigao, em forma de Resoluo de
Problemas, e depois passe a fazer tarefas mais elaboradas que demandem mais
pesquisa e atuao dos alunos. De qualquer forma, como diz Biembengut (2009), a
Modelagem Matemtica como mtodo de ensino pode ser feita de forma eficaz e
simples da seguinte maneira: se expe o assunto, delimita o problema, desenvolve o
contedo, apresenta exemplos, resolve e interpreta o problema em questo.
Bassanezzi, por sua vez, admitindo que Modelagem Matemtica simplesmente uma estratgia utilizada para obtermos alguma explicao ou
entendimento de determinadas situaes reais(BASSANEZZI, 2012, p.9) , lista e
explica algumas etapas a serem seguidas ao se trabalhar com essa estratgia de
ensino na sala de aula. Inicialmente, o autor assegura que o primeiro passo
encontrar dados experimentais ou at mesmo algumas concluses de especialistas
sobre o tema escolhido e que esses dados geralmente so apresentados atra
