Aula 01- Funções Definição de função, representação de funções, função crescente e...

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Aula 01- Funções Definição de função, representação de funções, função crescente e decrescente, função linear e polinomial

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Aula 01- Funções

Definição de função, representação de funções, função crescente e

decrescente, função linear e polinomial

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Definição de Funções

Dados A e B dois conjuntos de :

uma função é uma relação ou correspondência que a cada elemento de A associa um único elemento de B.

As funções servem para descrever o mundo real em termos matemáticos.

R:f A B

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Domínio e Imagem

Seja f uma função. O conjunto de todos os que satisfazem a definição da f é chamado domínio da f e denotado por . O conjunto de todos os tais que y = f (x), onde , é chamado imagem da f e denotado por .

f

xR

( )D f

yR( )x D f

Im( )f

x ( )f x

entrada

Domínio saída

Imagem

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Idéia de função

1

243 9

x

2x

2( )f x x

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Idéia de função

1

21

23 1

31

5

5

1( )f x

x

0

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Exemplos

1) ( ) 2f x x ( ) Im( )D f f R22) ( )f x x ( ) Im( ) [0, ) e D f f R

13) ( )f x

x *( ) Im( ) D f f R

4) ( ) 4f x x ( ) ; 4 D f x x R

Im( ) [0, )e f

2

15) ( )

1f x

x

*( ) 1, 1 , Im( )D f f R R

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Plano Cartesiano

O plano cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais tal que:

( , )x y ( , ) / ,x y x y

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 1 2 3

O plano cartesiano é representado por duas retas numéricas reais que se interceptam a um ângulo de 900.

90º

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Plano Cartesiano

O plano cartesiano é utilizado como sistema de referência para localizar pontos em um plano.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 1 2 3

Origemx(Eixo das abscissas)

(Eixo das ordenadas)y

o1 quadrante

(I)

o2 quadrante

(II)

o3 quadrante

(III)

o4 quadrante

(IV)

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Plano Cartesiano

A forma geral de um par ordenado é: (abscissa,ordenada).

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

x

A (2, 3)B (-2, 4)C (-3, -2)D (1, -3)E (2, 0)F (0, -1)

A (2, 3)B (-2, 4)

C (-3, -2)D (1, -3)

E (2, 0)

F (0, -1)

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Gráfico de uma função

O gráfico de uma função y = f (x) é o seguinte subconjunto do plano x0y

( ) , ( ) ; ( )G f x f x x D f

variável

independente variável

dependente

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Gráficos de funções

1)

x ( )f x0 0

1 2

01

2

y

x

2y x

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Os exemplos

2)

x

y 2y x x ( )f x

0

1

1

2

0

1

1

4

1

2

4

1

1

0

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Função do 1º grau ou Afim

Esta função é definida por:

onde . Notemos que:

1) 2) é chamado coeficiente angular3) é o coeficiente linear

( ) .f x a x b ,a bR

( ) Im( )D f f Rab

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Gráfico da função afim

4) Uma função afim pode ser determinada se dois de seus valores são conhecidos.

Exemplo: Dados temos

Logo .

(1) 12 e (2) 14f f

( ) .f x a x b

(1) 12

2. (2) 14

a b f

a b f

( ) 2. 10f x x

2 e 10a b

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Gráfico de uma função afim

5) O gráfico é uma reta que passa pelos pontos

ou seja, . Logo, se temos

P (0, ) e Q ( / )b b a

0 e 0a b

Q

P

y

x

. ( 0, 0)y a x b a b

(0) , ( / ) 0f b f b a

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Função do 1º grau ou Afim

6) Além disso como vale

De um modo geral para

(1) .1f a b a b

(1) (0)1 0

f fa b b a

1 2

1 2

( ) ( )f x f xx x

1 2 1 2, comx x x x R

1 2

1 2

. ( . )a x b a x bx x

1 2

1 2

.( )a x xx x

a

taxa de variação

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Casos especiais

Seja

1. Se então (constante)

2. Se e então (linear) Para temos a função identidade.

( ) .f x a x b

0a ( )f x b

1a 0b ( ) .f x a x0a

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Gráficos dos casos especiais

1. Função afim Constante:

0y b

0y b 0y b

( )y f x b

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Gráficos dos casos especiais

2. Função linear: ( ) .y f x a x

y

x

. ( 0)y a x a

. ( 0)y a x a

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Gráficos dos casos especiais

Função Identidade:

1 e 0a b

( )y f x x

y x

x

y

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Função Quadrática

Sejam , com . A função

tal que , para

todo , é chamada função quadrática ou

função polinomial do segundo grau.

:f 2f x ax bx c

, ,a b c 0a

x

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Atividade 1

Em cada uma das funções quadráticas

definidas abaixo, determine seus

coeficientes.

a) b)

c) d)

e) f)

22 4 5f x x x

24 3f x x x 24 2f x x x

22 5f x x

22 5 4f x x x

23

4f x x

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Gráfico de uma função quadrática

Sendo uma função quadrática

definida por , esboce o seu gráfico.

:f

2f x x

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Para resolver este problema, vamos,

inicialmente, construir uma tabela,

escolhendo alguns valores para e

encontrando os correspondentes para .

Desta forma, determinaremos pares

ordenados . ,x y

x

y

Gráfico de uma função quadrática

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Gráfico de uma função quadrática

x 2y x ,x y

43

2

34

16 4,16

16 4,16

9

9

3,9

3,9

4 2,4

2 4 2,4

1 1

11 1,1

1,100 0,0

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Sendo uma função quadrática

definida por , esboce o seu

gráfico.

:f

2 1f x x

Gráfico de uma função quadrática

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Gráfico de uma função quadrática

x 2 1y x ,x y

43

2

3

4

17 4,17

17 4,17

10

10

3,10

3,10

5 2,5

2 5 2,5

1 2

21 1,2

1,2

10 0,1

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Sendo uma função quadrática

definida por , esboce o seu

gráfico.

:f

2 1f x x

Gráfico de uma função quadrática

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Gráfico de uma função quadrática

x 2 1y x ,x y

43

2

34

15 4,15

15 4,15

8

8

3,8

3,8

3 2,3

2 3 2,3

1 0

01 1,0

1,0

10 0, 1

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Gráfico de uma função quadrática

Sendo uma função quadrática

definida por , esboce o seu gráfico.

:f

2f x x

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Gráfico de uma função quadrática

x 2y x ,x y

4

3

2

3

4

16 4, 16

16 4, 16

9

9

3, 9

3, 9

4 2, 4

2 4 2, 4

1 1

11 1, 1

1, 1

00 0,0

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Ponto Importante do Gráfico

• O vértice ( , )v vV x y

2v

bx

a

4vya

( , )v vV x y

vx

vy

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Funções Crescentes e Decrescentes

Uma função é dita crescente, se

Uma função é dita decrescente, se

:f R R

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

:f R R

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

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Exemplo

Função afim: ( )f x ax b

x

y0a

1x2x

1( )f x

2( )f x

crescente

x

y0a

1x2x

1( )f x2( )f x

decrescente

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Função Sobrejetora

:f A B

fA B

é sobrejetoraf , talque ( ) y B x A f x y

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Exemplo

1) : ; ( ) 3 1f f x x

f

1

y

x1

3

e CD( )f Note que o gráfico nos fornece

Im( )f

Logo, Im( ) CD( )f f

é sobrejetoraf

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Exemplo22) : ; ( )f f x x

fy

x

e CD( )f Note que o gráfico nos fornece

Im( )f

Logo, Im( ) CD( )f f

não é sobrejetoraf

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Exemplo23) : ; ( )f f x x

fy

x

e CD( )f Note que o gráfico nos fornece

Im( )f

Logo, Im( ) CD( )f f

é sobrejetoraf

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Função Injetora

é injetora Ou equivalentemente, Esta definição é mais prática para os cálculos.

:f A B

fA B

f 1 2 1 2 1 2, , se ( ) ( )x x A x x f x f x

1 2 1 2se ( ) = ( ) .f x f x x x

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Exemplo

31) : ; ( )f f x x y

x

3 3 3 32 1 1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x x x

2 21 2 1 1 2 2( )( ) 0x x x x x x

é injetoraf

1 2x x 1 2 0x x

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Exemplo22) : ; ( )f f x x

fy

x

22( ) 2 4f x

temos

não é injetora.f

214 ( 2) ( )f x 12 x 2 2,x Sendo

Pode-se mostrar a

graficamente . Basta traçar retas

horizontais no plano cartesiano

se uma reta tocar o gráfico em dois

pontos, então f não é injetiva

injetividade de uma função

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Exemplo23) : ; ( )f f x x

y

é injetoraf

1 2Sejam , ex x R

1 2( ) ( )f x f x 2 21 2x x

1 2x x 1 2já que , x x R

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Função Bijetora

é bijetora é sobrejetora e injetora Ou ainda: é bijetora:

fA B

f 1 2 1 2 1 2, , se ( ) ( )x x A x x f x f x

:f A B f

Im ( ) contradomínio f x B

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Exemplo

1) : ; ( ) 3 1f f x x

f

1

y

x1

3

1 2Note que , temos:x x

Sabemos que é sobrejetora pois

Im( ) CD( )

f

f f

1 2x x

é Bijetoraf

Logo é injetorafComo é sobrejetora e injetoraf

1 23 3x x 1 23 1 3 1x x

1 2( ) ( )f x f x

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Exemplo22) : ; ( )f f x x

fy

x

E como Im( ) CD( ) temos quef f

1 2Pois , temos x x 2

2 2( )f x x1x 2x 21 1( )x f x

Sabemos que é injetoraf

é sobrejetoraf

Como é sobrejetora e injetoraf

é Bijetoraf

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Função Par

1) : ; ( ) é par poisf f x x

:f A B

Exemplos

f

y

x

( )f x

talque ( ) ( )f x f x x A

( )f x x x x

Obs.: O gráfico de é simétrico

em relação ao eixo .

f

y

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22) : ; ( ) 1 é par pois,f f x x

f

y

x

Obs.: O gráfico de é simétrico

em relação ao eixo .

f

y

( )f x ( )f x x 2( ) 1x 2 1x

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Função Ímpar

31) : ; ( ) é ímpar pois,f f x x

Exemplosy

x

:f A B talque ( ) ( )f x f x x A

Obs.: O gráfico de é simétrico

em relação à origem.

f0

( )f x ( )f x x 3( )x 3x f

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2) : ; ( ) é ímpar pois,f f x x

Obs.: O gráfico de é simétrico

em relação à origem.

f

( )f x x

( )f x x

Logo,

( ) ( )f x f x x

y

x

0

f

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Função que não é nem par e nem Ímpar2: ; ( )f f x x x

2x x x 2( )x x

( ) ( ) ef x f x f

y

xObs.: O gráfico de não é simétrico

nem em relação à origem,

nem em relação ao eixo .

f

y

0

2( ) ( )x x ( )f x

( )f x 2x x x

( ) ( )f x f x x

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