Estudo de algumas funções complexas de uma variável complexa ...
Funções de mais de uma variável
description
Transcript of Funções de mais de uma variável
Funções de mais de uma variável
Derivadas Parciais
Everton Lopes
Derivadas Parciais
• Dada uma função de duas variáveis z = f(x,y), podemos, a partir de f, formar duas
funções de uma só variável, bastando para isto considerarmos a outra variável constante.
• g1(x) = f(x,yo)
• g2(y) = f(xo,y)
Quando isto acontece, dizemos que temos as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.
Derivadas Parciais
Seja z = f(x,y). A derivada parcial de f em relação à variável x é uma função denotada por , tal que,
seu valor num ponto (x,y) do domínio de f é dado por ,
se esse limite existir
Analogamente, a derivada parcial de f em relação à variável y é definida como
xf
x)y,x(f)y,xx(f
lim)y,x(xf
0x
y)y,x(f)yy,x(f
lim)y,x(yf
0y
Derivadas ParciaisObservemos que, no primeiro caso, para , demos um
acréscimo à variável x, mantendo y constante e no
segundo caso, para , demos um acréscimo à variável y,
mantendo x constante.
Também são usadas as seguintes notações:
xf
yf
)y,x(f)y,x(fD)y,x(xf
x1
)y,x(f)y,x(fD)y,x(yf
y2
Derivadas ParciaisPodemos usar também as seguintes expressões para as
derivadas parciais num ponto (xo,yo):
Exemplo 1: Usando a definição calcule as derivadas parciais da função f(x, y) = 3x + 2y
Exemplo 2: Usando a definição calcule as derivadas parciais da função f(x, y) = 4x2 + 5xy
o
ooo
oxxoo xx
)y,x(f)y,x(flim)y,x(
xf
o
ooo
oyyoo yy
)y,x(f)y,x(flim)y,x(
yf
Derivadas Parciais Observemos que teríamos o mesmo resultado se
tivéssemos derivado f, supondo y constante para e derivado f supondo x constante para .• Todas as regras para funções de uma variável se
aplicam nesse caso.• De maneira análoga, define-se e calcula-se as derivadas
parciais para funções de mais de duas variáveis• Exercícios no quadro
xf
yf
Derivadas ParciaisInterpretação Geométrica:• Seja z = f(x,y). O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y). Consideremos a curva C1 obtida quando
interceptamos o plano y = yo com a superfície z = f(x,y). A equação de C1 é dada por :
)y,x(fzyy
:Co
o1
yo
xo
zo
C111
t1
Derivadas Parciais
Tomando y = yo temos que z = f(x, yo) = g(x) e )x(g)y,x(xz
ooo
é o coeficiente angular de t1, reta tangente a C1
no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo ).
Assim, t1 tem as seguintes equações
)xx)(y,x(xfzz
yy
oooo
o
Derivadas Parciais
Consideremos agora a curva que é o traço da superfície z = f(x,y) sobre o plano x = xo
)y,x(fzxx
:Co
o2
Tomando x = xo temos que z = f(xo, y) = g(y) e )y(g)y,x(yz
ooo
é o coeficiente angular de t2, reta tangente a C2
no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo )
Assim, t2 tem as seguintes equações
)yy)(y,x(yfzz
xx
oooo
o
Derivadas ParciaisExemplos:1) Encontre as equações da reta tangente à curva de
intersecção da superfície z = x2 + y2 com o plano y = 1 no ponto ( 2, 1, 5 ).2) Determine as equações da reta tangente à curva que é
intersecção da superfície com o plano x = 2 no ponto em que y = 1.
22 y2x10z
Derivadas ParciaisInterpretação FísicaUma derivada parcial também pode ser interpretada como
uma taxa de variação. Se z = f(x,y), temos que a taxa média de variação de f em
relação à variável x, mantendo-se y constante, é dada por
x)y,x(f)y,xx(f
xz
x x+x
y
Derivadas Parciais
)y,x(xz
oo
)y,x(yz
oo
Assim,
no ponto Po(xo,yo), por unidade de variação de x, para y constante, isto é, y = yo.Interpretação análoga é dada para
dá a taxa instantânea de variação de z = f(x,y)
Exercícios no quadro
Derivadas Parciais de ordem superior
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida em
D R2, tal que e
As derivadas parciais são funções de x e y. Logo, é natural se pensar nas derivadas parciais dessas funções. Estasderivadas são chamadas de derivadas parciais de 2a ordem e são em número de 4
xf
yf
existam em D.
xx2
2f
x
fxf
x
( Deriva-se duas vezes em relação a x )
Derivadas Parciais de ordem superior
yy2
2f
y
fyf
y
( Deriva-se duas vezes em relação a y )
xy2
fxyf
xf
y
( Deriva-se em relação a x e depois em relação a y )
yx2
fyxf
yf
x
( Deriva-se em relação a y e depois em relação a x )
Os dois últimos casos são chamados de derivadas parciais de 2a ordem mistas.
Derivadas Parciais de ordem superior
Observações:• Analogamente, define-se as derivadas parciais de2a ordem para funções de mais de duas variáveis• Analogamente define-se derivadas parciais de 2a ,3a,
n-ésima ordem.Exemplo: Encontre as derivadas parciais indicadas1) f(x,y) = x2 + y3; fxx; fyy; fxy; fyx
2) f(x,y) = exseny + lnx + lny fxx; fyy; fxy; fyx
3) f(x,y) = ln( cos(x2 – y )) fxx; fyy; fxy; fyx
Derivadas Parciais de ordem superior
• Observação: Vimos nos três exemplos anteriores que as derivadas fxy e fyx são iguais. Isto nem sempre ocorre mas, para a maioria das funções com as quais iremos trabalhar as derivadas mistas são iguais, ou seja, não importa a ordem de derivação fxy = fyx. Este fato está expresso num teorema chamado de Teorema de Schwartz que nos diz que se f for uma função contínua em determinada região do plano com derivadas parciais contínuas, então fxy = fyx.
Derivadas Parciais de ordem superior
• As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial é chamada de equação de Laplace em homenagem ao matemático Pierre Laplace ( 1749 –1827 ). As soluções dessa equação são chamadas de funções harmônicas e são importantes no estudo da condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. No exemplo anterior temos uma
função harmônica u(x,y) = yxln 22
Derivadas Parciais de ordem superior
• A equação da onda , sendo a uma
constante, descreve o movimento de uma onda ( onda do mar, onda de som, onda luminosa, onda de uma corda vibrante, etc ). Uma solução para a equação da onda é uma função u(x,t). Por exemplo, se u(x,t) representa o deslocamento da corda de um violino, no instante t e x a distância a uma extremidade da corda, então u(x,t) satisfaz a equação da onda. Neste caso, a constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada.
2
22
2
2
x
uat
u
u(x,t)
x