Fundamentos Matemáticos para Geofísica I - Funções de uma Variável

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Funções de uma Variável

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSPARA GEOFÍSICA I

Rodrigo S. PortugalPossui graduação, mestrado e doutorado em Matemática Aplicada e Computacional pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). De 2002 a 2004, atuou como Consultor Científico para a gerência de Tecnologia Geofísica da Petrobras; em seguida, assumiu a posição de professor doutor do Departamento de Geologia e Recursos Naturais do Instituto de Geociências da Unicamp até julho de 2009, quando passou a trabalhar como pesquisador em geofísica de reservatórios para a empresa Schlumberger. Desde abril de 2012, trabalha como especialista em pesquisa e desenvolvimento na empresa OGX. Considera-se um entusiasta da área de geofísica matemática, tendo acumulado experiência em pesquisa e desenvolvimento em geociências, especialmente em geofísica aplicada, principalmente em temas relacionados ao imageamento e à inversão sísmica.

FUNDAM

ENTOS M

ATEMÁTICOS PARA GEO

FÍSICA IPO

RTUGAL

As teorias e técnicas geofísicas usualmente são descritas por meio de leis e equações matemáticas. Este livro tem como objetivo principal o provimento de uma fundamentação matemática aos estudantes de geofísica, geoengenharia, geologia, entre outros, para que construam uma base teórica minimamente suficiente para a compreensão de tais teorias e técnicas. Portanto, foi adotada a estratégia de se apresentar uma grande variedade de tópicos e não a profundidade de cada um.

Este volume contém 372 exercícios, dentre os quais podem ser encontrados alguns mais aplicados, outros mais técnicos e outros mais teóricos. Com a finalidade de dar um sabor mais palatável a todo o ferramental matemático apresentado, ao longo de todo o texto são inseridas seções especiais de aplicação em geofísica e geociências.

O texto está organizado levando-se em consideração a necessidade de apresentar uma grande quantidade de teoria baseada em cálculo diferencial e integral de uma variável, sem, no entanto, o aprofundamento visto nos cursos mais tradicionais.

As teorias e técnicas geofísicas usualmente são As teorias e técnicas geofísicas usualmente são descritas por meio de leis e equações matemáticas. As teorias e técnicas geofísicas usualmente são 1

Funções

2Operações sobre funções

3Exemplos de funções em geofísica

4Derivada - definições e propriedades

5Aplicações da derivada I - estudo de funções

6Aplicações da derivada II - aproximação de Taylor

7Integral - definições e propriedades

8Aplicações da integral

9Integral imprópria

10Equações diferenciais de primeira ordem

11Série de potências

12Série de Fourier

13Transformada de Fourier

RODRIGO S. PORTUGAL

Fundamentos Matemáticos para Geofísica I Funções de uma Variável

Lançamento: 2012

Rodrigo S. Portugal

ISBN: 9788521204848 Formato: 17x24 cm Páginas: 422

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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSPARA GEOFÍSICA I

Rodrigo S. PortugalPossui graduação, mestrado e doutorado em Matemática Aplicada e Computacional pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). De 2002 a 2004, atuou como Consultor Científico para a gerência de Tecnologia Geofísica da Petrobras; em seguida, assumiu a posição de professor doutor do Departamento de Geologia e Recursos Naturais do Instituto de Geociências da Unicamp até julho de 2009, quando passou a trabalhar como pesquisador em geofísica de reservatórios para a empresa Schlumberger. Desde abril de 2012, trabalha como especialista em pesquisa e desenvolvimento na empresa OGX. Considera-se um entusiasta da área de geofísica matemática, tendo acumulado experiência em pesquisa e desenvolvimento em geociências, especialmente em geofísica aplicada, principalmente em temas relacionados ao imageamento e à inversão sísmica.

FUNDAM

ENTOS M

ATEMÁTICOS PARA GEO

FÍSICA IPO

RTUGAL

As teorias e técnicas geofísicas usualmente são descritas por meio de leis e equações matemáticas. Este livro tem como objetivo principal o provimento de uma fundamentação matemática aos estudantes de geofísica, geoengenharia, geologia, entre outros, para que construam uma base teórica minimamente suficiente para a compreensão de tais teorias e técnicas. Portanto, foi adotada a estratégia de se apresentar uma grande variedade de tópicos e não a profundidade de cada um.

Este volume contém 372 exercícios, dentre os quais podem ser encontrados alguns mais aplicados, outros mais técnicos e outros mais teóricos. Com a finalidade de dar um sabor mais palatável a todo o ferramental matemático apresentado, ao longo de todo o texto são inseridas seções especiais de aplicação em geofísica e geociências.

O texto está organizado levando-se em consideração a necessidade de apresentar uma grande quantidade de teoria baseada em cálculo diferencial e integral de uma variável, sem, no entanto, o aprofundamento visto nos cursos mais tradicionais.

As teorias e técnicas geofísicas usualmente são As teorias e técnicas geofísicas usualmente são descritas por meio de leis e equações matemáticas. As teorias e técnicas geofísicas usualmente são 1

Funções

2Operações sobre funções

3Exemplos de funções em geofísica

4Derivada - definições e propriedades

5Aplicações da derivada I - estudo de funções

6Aplicações da derivada II - aproximação de Taylor

7Integral - definições e propriedades

8Aplicações da integral

9Integral imprópria

10Equações diferenciais de primeira ordem

11Série de potências

12Série de Fourier

13Transformada de Fourier

RODRIGO S. PORTUGAL

Fundamentos Matemáticos paraGeofísica I


Rodrigo S. PortugalPesquisador SêniorSchlumberger

Conteudo

Nota do Autor v

Agradecimentos x

Notacao xiii

1 Funcoes 11.1 Definicoes e propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Funcoes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Funcao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Funcao afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Funcao quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 Funcao potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.5 Funcao racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.6 Funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.7 Funcao logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.8 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Funcoes definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.1 Funcao de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.2 Funcao sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3 Funcoes modulo, caixa e indicadora . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2 Funcao contınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Operacoes sobre funcoes 352.1 Combinacao de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Conteudo xv

2.2 Composicao de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 Operacoes morfologicas sobre funcoes . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.1 Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.2 Compressao/dilatacao . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.3 Reflexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5 Funcoes periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6 Extensoes periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.7 Funcoes pares e ımpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.8 Extensoes pares e ımpares . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.9∗ Remocao de descontinuidade de salto . . . . . . . . . . . . . 502.10∗Funcao causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.10.1∗ Construcao de uma funcao causal. . . . . . . . . . . . . 522.10.2∗ Relacoes entre extensoes par e ımpar de funcao causal . . . . . 53

Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Exemplos de funcoes em geofısica 573.1∗ A funcao gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2∗ A ondaleta de Ricker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3∗ A ondaleta de Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4∗ A funcao seno-cardinal sinc . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5∗ A curva de Hubbert para o pico da producao de petroleo . . . . . 663.6∗ A lei de Faust para velocidades sısmicas . . . . . . . . . . . . 693.7∗ A relacao de Gardner para a densidade . . . . . . . . . . . . 703.8∗ Decaimento radioativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.9∗ O modelo da gravidade normal para o globo terrestre . . . . . . 743.10∗Tempo de transito para o raio sısmico refletido . . . . . . . . . 773.11∗Estudo de simetria em dado sısmico de fonte comum. . . . . . . 78


4 Derivada – definicoes e propriedades 914.1 Derivada de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1.1 Interpretacao geometrica da derivada . . . . . . . . . . . 934.1.2 Construcao de reta tangente . . . . . . . . . . . . . . 94

xvi Conteudo

4.2 Derivadas de funcoes elementares e propriedades . . . . . . . . 964.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.2 Derivadas de ordens superiores. . . . . . . . . . . . . . 97

4.3 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4 Derivadas de funcoes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 101


5 Aplicacoes da derivada I - estudo de funcoes 1075.1 Estudo de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.1.1 Monotonicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.1.2 Pontos crıticos de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2∗ Determinacao do mergulho de uma interface refletora . . . . . . 1115.3∗ Calculo dos pontos de reflexao de um raio sısmico . . . . . . . . 1145.4∗ Lei de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4.1∗ Lei de Snell-Descartes para o raio refletido . . . . . . . . . 1165.4.2∗ Lei de Snell-Descartes para o raio transmitido . . . . . . . . 118Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6 Aplicacoes da derivada II - aproximacao de Taylor 1256.1 Aproximacao de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.1.1 Condicoes de interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . 1266.1.2 Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.2∗ Metodo do pendulo para medicao da gravidade residual . . . . . 1316.3∗ Campo eletrico de um dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.4∗ Tempo de reflexao de ondas sısmicas em meios multicamadas . . . 135

6.4.1∗ Aproximacao pelo metodo da composicao grafica . . . . . . . 1396.4.2∗ Aproximacao parabolica . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.4.3∗ Aproximacao hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.4.4∗ Comparacao entre as aproximacoes dos tempos de transito . . . 145

6.5∗ Aproximacao para o coeficiente de reflexao acustico . . . . . . . 1476.6∗ Dados sısmicos sinteticos de reflexao para meios multicamadas . . . 153


7 Integral – definicoes e propriedades 1577.1 Integral indefinida – o problema da antiderivada . . . . . . . . 158

7.1.1 Integrais indefinidas de funcoes elementares . . . . . . . . . 159

Conteudo xvii

7.2 Integral definida – o problema da area . . . . . . . . . . . . 1617.3 Teorema Fundamental do Calculo – conexao entre os dois problemas 1637.4 Propriedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.5 Tecnicas de integracao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.5.1 Metodo da substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . 1667.5.2 Integral por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.5.3 Metodo das fracoes parciais . . . . . . . . . . . . . . . 1707.5.4 Exemplo completo: antiderivada da secante . . . . . . . . . 1737.5.5 Metodo da substituicao trigonometrica . . . . . . . . . . . 174Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8 Aplicacoes da integral 1818.1 Funcoes definidas por integrais . . . . . . . . . . . . . . . 1828.2∗ Velocidades RMS e intervalares . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3 Grau de suavidade de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . 185

8.3.1 Alterando o grau de suavidade . . . . . . . . . . . . . . 1868.4∗ Calculo da trajetoria de raio de onda sısmica . . . . . . . . . . 187

8.4.1∗ Meio homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.4.2∗ Meio com velocidade afim na profundidade . . . . . . . . . 189Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9 Integral impropria 1959.1 Integral impropria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9.1.1 Convergencia de integrais improprias . . . . . . . . . . . 1999.1.2 A area sob a curva da gaussiana . . . . . . . . . . . . . 199

9.2 Valor principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.3 Convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2049.4 Transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.5 Introducao ao calculo fracionario . . . . . . . . . . . . . . 215

9.5.1 Integral de ordem fracionaria . . . . . . . . . . . . . . 2169.5.2 Derivada de ordem fracionaria . . . . . . . . . . . . . . 2209.5.3 Calculo fracionario de ordem meia . . . . . . . . . . . . 222

9.6 Funcao delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.7∗ O modelo convolucional para geracao de dados sısmicos sinteticos . 226

9.7.1∗ Refletividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

xviii Conteudo

10 Equacoes diferenciais de primeira ordem 23910.1 Definicoes e propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24010.2 Equacoes separaveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.2.1 Equacoes homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.3 Equacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

10.3.1 Equacoes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 24810.4 Equacoes de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25010.5∗Exemplos classicos de aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . 252

10.5.1∗ Lei de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.5.2∗ Lei do decaimento radioativo . . . . . . . . . . . . . . 25310.5.3∗ Lei do resfriamento de Newton. . . . . . . . . . . . . . 25410.5.4∗ O modelo logıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

10.6∗A curva de Hubbert – previsao do pico de producao de petroleo . . 25910.7∗Evolucao de curvatura de frente de onda em meios verticalmente

estratificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26210.7.1∗ Evolucao do raio de curvatura . . . . . . . . . . . . . . 26410.7.2∗ Evolucao da curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . 265Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

11 Serie de potencias 26911.1 Sequencias numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27011.2 Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27411.3 Tipos de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

11.3.1 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27711.3.2 Serie alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

11.4 Testes de convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27811.4.1 Teste da comparacao . . . . . . . . . . . . . . . . . 27911.4.2 Teste da razao de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . 28011.4.3 Teste da raiz de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 28111.4.4 Teste da integral de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . 282

11.5 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28411.5.1 Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28511.5.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

11.6∗Calculo de integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . 28811.7∗ Solucao de EDO por series de potencias . . . . . . . . . . . . 291

11.7.1∗ Metodo dos coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . 291

Conteudo xix

11.7.2∗ Metodo da serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 29311.8∗O potencial eletrico total de uma camada . . . . . . . . . . . 295


12 Serie de Fourier 30312.1 Series trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

12.1.1 O nucleo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 30612.2 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

12.2.1 Analise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31012.2.2 Periodizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

12.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31312.3.1 Funcao onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . 31512.3.2 Funcao onda triangular . . . . . . . . . . . . . . . . 31712.3.3 Funcao parabolica truncada . . . . . . . . . . . . . . . 320

12.4 Series de senos e de cossenos de Fourier . . . . . . . . . . . . 32312.5 Estudo da convergencia de series de Fourier . . . . . . . . . . 325

12.5.1 Estudo empırico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32612.5.2 Ordem de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 331

12.6∗Analise granulometrica via serie de Fourier . . . . . . . . . . 33212.6.1∗ Descritores de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . 336Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

13 Transformada de Fourier 34113.1 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

13.1.1 Motivacao: da serie a integral de Fourier . . . . . . . . . . 34213.1.2 Sıntese de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34513.1.3 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 34813.1.4 Transformada de Fourier na forma complexa. . . . . . . . . 34813.1.5 Transformadas seno e cosseno de Fourier . . . . . . . . . . 351

13.2 Exemplos de transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . 35413.2.1 Funcao caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35413.2.2 Funcao dente-de-serra truncada . . . . . . . . . . . . . 35513.2.3 Funcao triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35713.2.4 Funcao parabolica truncada . . . . . . . . . . . . . . . 35813.2.5 Funcao gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

13.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36213.3.1 Linearidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

xx Conteudo

13.3.2 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36413.3.3 Mudanca de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36513.3.4 Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36613.3.5 Modulacao da amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . 36713.3.6 Transformada da derivada . . . . . . . . . . . . . . . 367

13.4∗Transformada de Fourier da ondaleta de Gabor . . . . . . . . . 36913.5∗Transformada de Fourier da ondaleta de Ricker . . . . . . . . . 37113.6 Teorema da convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37313.7 Transformada de Fourier de funcoes generalizadas . . . . . . . . 376

13.7.1 Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37713.7.2 Funcao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37813.7.3 Funcao sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38013.7.4 Funcao de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . 38013.7.5 Funcoes seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . 381Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Apendice 387A Identidades trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 389B Analise do erro da aproximacao de Taylor . . . . . . . . . . . 391

B.1 Exemplos de aproximacao . . . . . . . . . . . . . . . 393C Funcoes gama e beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

C.1 Funcao gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396C.2 Funcao beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398C.3 Calculo de Γ(1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

D Numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401D.1 Definicoes e propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . 401D.2 Forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402D.3 Forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403D.4 Representacao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . 404D.5 Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405D.6 Raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

Referencias Bibliograficas 411

Indice Remissivo 415

Capıtulo 1

Funcoes

Funcao e indubitavelmente o objeto matematico mais importante dentre todosabordados neste texto. Em geral, uma funcao e uma regra que estabelece umaconexao entre dois conjuntos, fazendo com que o comportamento da variavel de umconjunto seja vinculado ao comportamento da variavel do outro conjunto.

Este tipo de conexao, muito similar com o paradigma de causa e efeito, pode nosajudar a compreender o comportamento de certas variaveis difıceis de serem medidaspor meio de variaveis mais faceis de serem medidas. Sem sombra de duvida, esta ea motivacao basica dos estudos geofısicos, que procuram inferir propriedades impor-tantes, porem inacessıveis, da Terra, que estejam associadas por meio de funcoes apropriedades mais facilmente medidas. Um exemplo emblematico dessa metodolo-gia e a descoberta de que o nucleo externo da Terra e fluido, por meio de registrossismologicos realizados na superfıcie.

Comecaremos fornecendo definicoes basicas e intuitivas para, em seguida, apre-sentar as funcoes elementares, que sao os tipos de funcoes mais comuns que aparecemna modelagem de fenomenos naturais, em particular nas geociencias. Por fim, in-troduzimos o conceito de limite para, em seguida, definirmos uma classe de funcaolargamente utilizada, chamada funcao contınua.

1

2 Capıtulo 1. Funcoes

1.1 Definicoes e propriedades

Dados dois conjuntos, chamados de domınio e contradomınio, uma funcao e apropria associacao de todos os elementos do domınio a alguns elementos do contra-domınio. Esta associacao deve respeitar a seguinte regra: cada elemento do domıniopode ser usado somente uma unica vez. A notacao para uma funcao f e

f : A→ B ,

significando que a funcao f relaciona os pontos do domınio A aos pontos do con-tradomınio B. Alem disso, a notacao

y = f(x)

nos diz que um elemento x do domınio esta associado ao elemento y do contra-domınio, por meio da funcao f .

Observe que a regra nada diz se todos os pontos do contradomınio devem serutilizados ou nao. O subconjunto do contradomınio que contem todos os pontosassociados a pontos do domınio e chamado de imagem da funcao e denotado porIm(f). Alem disso, a regra permite que mais de um ponto do domınio esteja asso-ciado a um ponto do contradomınio. A Figura 1.1 ilustra um exemplo de funcaodefinida graficamente, que mostra as situacoes permitidas pela regra da definicao defuncao.

Figura 1.1: Esquema ilustrativo de uma funcao. Observe que os pontos docontradomınio B podem ser utilizados uma, nenhuma ou ate mais de uma vez.A imagem de f e o subconjunto de B que contem todos os pontos utilizados(cırculos cheios).

Capıtulo 2

Operacoes sobre funcoes

Neste capıtulo, apresentaremos as tecnicas mais basicas de se construir novasfuncoes a partir de funcoes previamente definidas, fazendo uso de operacoes tais comocombinacao e composicao de funcoes. Em princıpio, tais operacoes sao aplicadas asfuncoes elementares apresentadas no Capıtulo 1, porem tambem podem ser aplicadasas proprias funcoes recem-construıdas, de modo que este processo de montagem defuncoes pode ser realizado indefinidamente, criando-se uma grande variedade defuncoes.

Em especial, damos atencao a um caso particular de composicao de funcoesque da origem a definicao de funcao inversa. Alem disso, apresentaremos as ope-racoes morfologicas sobre funcoes, que basicamente sao a composicao de uma funcaoqualquer com funcoes afim.

Por fim, introduzimos o estudo do conceito da periodicidade de funcoes, comotambem o conceito da simetria de funcoes em relacao aos eixos coordenados, pormeio da definicao de funcoes pares e ımpares. A partir de ambos conceitos, introdu-zimos mais duas maneiras de se construir novas funcoes, chamadas, respectivamente,extensoes periodicas e extensoes pares e ımpares.

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Capıtulo 7

Integral – definicoes e propriedades

Nos capıtulos anteriores, foram apresentadas diversas funcoes e suas aplicacoes,bem como maneiras de se criar novas funcoes a partir de funcoes conhecidas, usandooperacoes morfologicas, composicao entre funcoes, combinacoes algebricas, entre ou-tras, apresentadas no Capıtulo 2. Adicionalmente a maneira mais notavel apresen-tada ate entao e a operacao da diferenciacao de uma funcao, que produz a funcaoderivada, abordada nos Capıtulos 4 e 5.

Neste capıtulo, continuamos a tratar do problema de criar uma nova funcaoa partir de outra, motivados pelo simples desejo de responder a seguinte questao:qual e a funcao original cuja derivada e uma funcao qualquer dada? A respostaa essa pergunta e regulamentada pelo Teorema Fundamental do Calculo, o qualsurpreendentemente tambem trata de outra questao: como calcular a area sob umacurva definida por uma funcao em um intervalo.

Apresentamos tambem algumas das tecnicas elementares de integracao, espe-cialmente os metodo da substituicao e integracao por partes, entre outras, seguidosde um exemplo em que todas sao usadas.

157

Integral definida – o problema da area 161

7.2 Integral definida – o problema da area

Dada uma funcao f qualquer, pode ser considerado o seguinte problema: quale a area da regiao compreendida entre a curva definida pela funcao f e o eixo x,limitado pelo intervalo I = [a, b]? Veja a Figura 7.1.

Figura 7.1: A regiao cinza denota a area compreendida entre uma curva definidapelo grafico de uma funcao f limitada ao intervalo [a, b] e o eixo horizontal.

Historicamente, esse problema foi enfrentado por meio de somas exaustivasde areas de pequenos retangulos justapostos que aproximam a area como um todo.Intuitivamente, quanto maior o numero de retangulos (que ficam cada vez menores),melhor a aproximacao da area.

Com efeito, esta metodologia rudimentar da origem a definicao da integral deRiemann, cuja deducao completa nao sera apresentada neste texto. Nos limitare-mos somente a uma definicao simples que usa o conceito do limite. Porem, antesnecessitamos do conceito de particao de um intervalo.

Uma particao Pn de um intervalo [a, b] e um conjunto de n+ 1 numeros xk ∈[a, b] tais que

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b

Em outras palavras, um particao divide um intervalo [a, b] em n subintervalos jus-tapostos, nao necessariamente de mesmo tamanho. Dada uma particao, e conve-niente definir sua norma como sendo

∆x = maxk{∆xk} ,

onde ∆k = xk − xk−1, para k = 1, 2, . . . , n.

Capıtulo 8

Aplicacoes da integral

Neste capıtulo apresentamos algumas simples aplicacoes da operacao da inte-gral, que decorrem diretamente do teorema fundamental do calculo.

Em primeiro lugar, mostramos como a operacao da integral definida pode serutilizada para se definir uma nova funcao a partir de uma funcao original.

Dependendo da definicao, a operacao da integral pode ser entendida como umamedia dos valores do integrando. Com esta interpretacao, mostramos, em particular,uma aplicacao em geofısica, na qual e definida uma quantidade chamada velocidadeRMS, calculada por meio de uma integral sobre a chamada velocidade intervalar.

Introduzimos o conceito de grau de suavidade de uma funcao e mostramoscomo funcoes que possuem descontinuidades de salto podem ser “curadas” por meioda integracao, de modo que seu grau de suavidade seja aumentado, constituindo-secomo uma especie de efeito colateral qualitativo da integracao.

Por fim, apresentamos um exemplo da operacao da integracao em um problemada geofısica, especialmente de sısmica e sismologia, em que a trajetoria de um raiode onda sısmica e computada para meio com velocidade constante e tambem parameio com velocidade com taxa de variacao constante.

181

Calculo da trajetoria de raio de onda sısmica 187

Figura 8.1: Graficos da funcao de Heaviside e suas antiderivadas de primeirae segunda ordem. A esquerda, a funcao h(x), ao centro a sua antiderivada,xh(x), e, a direita, a antiderivada da antiderivada, x2h(x). Note que o grau desuavizacao vai aumentando a cada operacao de antiderivada.

(c) com base nos itens anteriores, conclua se a operacao de integracao suavizoua funcao sinal.

E8.6 Dadas as funcoes f(x) e g(x) descritas a seguir

f(x) ={

cos(x), x < 0 ,sen(x), x ≥ 0 ,

g(x) = x− κ(x) ,

onde κ(x) e a parte inteira de x, compute as funcoes

F (x) =∫ x

−af(ξ) dξ e G(x) =

∫ x

−ag(ξ) dξ ,

onde a > 0. Esboce todas as funcoes e comente sobre o grau de suavidade das funcoesf e g e suas antiderivadas F e G, respectivamente.

8.4 Calculo da trajetoria de raio de onda sısmica

No problema de propagacao de ondas sısmicas, e muito comum considerarmos ateoria dos raios, tambem chamada de optica geometrica, para construirmos solucoesaproximadas do campo de ondas. Sem entrarmos em detalhes, podemos considerarraios como sendo as trajetorias sobre as quais percorre a energia ondulatoria. Maisdetalhes sobre a teoria dos raios podem ser encontrados em Bleistein (1984).

Para simplificar o problema, consideramos somente o plano (x, z), que repre-senta um corte vertical do meio tridimensional de propagacao de ondas. Aliado

Capıtulo 9

Integral impropria

Neste capıtulo, iremos abordar um tipo de integral definida especial, chamadaintegral impropria, bem como alguns desdobramentos teoricos e aplicacoes. As in-tegrais improprias aparecem no estudo de problemas cujos intervalos de integracaosao ilimitados ou quando o integrando possui algum tipo de singularidade, ou ambosos casos.

Tais problemas necessitam de conceitos mais sofisticados sobre classes de fun-coes, das quais tratamos apenas das funcoes absolutamente integraveis.

Apresentamos a operacao da convolucao que se serve da integracao impropria,como tambem algumas aplicacoes, notadamente as transformadas convolucionaisque sao amplamente utilizadas em varios campos da matematica aplicada, tais comoequacoes diferenciais, problemas inversos e analise matematica.

Por fim, ao longo do capıtulo, apresentaremos algumas aplicacoes tais comoo estudo de funcoes ondaletas, largamente utilizadas em processamento de sinais eimagens, transformadas convolucionais.

Em particular, serao introduzidas nocoes de uma teoria peculiar denominadacalculo fracionario, cuja formula basica pode ser definida com auxılio da operacao daconvolucao e da diferenciacao convencional. Especialmente, serao tratados os casosda derivada e integral de meia ordem, chamados semiderivada e semi-integral, bemcomo suas aplicacoes em geofısica.

195

Capıtulo 13

Transformada de Fourier

O resultado principal do Capıtulo 12 e que uma funcao periodica suave porpartes pode ser representada completamente por sua serie de Fourier e que se umaserie trigonometrica e convergente entao ela representa uma funcao periodica. En-tretanto, na geofısica, e em outras disciplinas aplicadas, existe uma grande variedadede funcoes nao periodicas o que leva ao seguinte questionamento: e possıvel obteruma represencao alternativa para tais funcoes?

Neste capıtulo, portanto, abordamos resultados que mostram como uma funcaoque cumpre determinadas condicoes pode ser representada por uma integral im-propria, conhecida por integral de Fourier. Apesar de ser muito similar a uma serietrigonometrica, suas propriedades e resultados enquadram-se em uma teoria quepossui escopo mais geral, que pode ser genericamente chamada de teoria de Fourier.

Ao longo do capıtulo, sao apresentadas as condicoes para a sua existencia, bemcomo as tres formas mais comuns de representacao: forma real, complexa e polar. Nasequencia apresentamos cinco exemplos basicos que usam essencialmente a definicaoda transformada de Fourier, seguidos pela apresentacao das principais propriedades,que servem para acelera e simplificar o calculo da transformada.

Por fim, e apresentada a construcao de transformadas de Fourier de algumasfuncoes que nao cumprem as condicoes suficientes que garantem a existencia datransformada de Fourier, mas que mesmo assim admitem transformada, tais comofuncao delta de Dirac, constante, funcao de Heaviside, sinal e seno e cosseno.

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Referencias Bibliograficas

APOSTOL, T. M. (1967a). Calculus. Mlulti Variable Calculus and Linear Algebra,with Applications to Differential Equations and Probability, volume II. Secondedition. John Wiley & Sons, New York.

APOSTOL, T. M. (1967b). Calculus. One-Variable Calculus with Introduction toLinear Algebra, volume I. Second edition. John Wiley & Sons, New York.

BARRET, P. (1980). The shape of rock particles, a critical review. Sedimentology,27: 291–303.

BENDER, C. M. & ORSZAG, S. A. (1999). Advanced Mathematical Methods forScientists and Engineers: Asymptotic Methods and Perturbation Theory. Springer.

BLEISTEIN, N. (1984). Mathematical Methods for Wave Phenomena. AcademicPress, Inc., New York.

BLEISTEIN, N. (1986). Two-and-one-half dimensional in-plane wave propagation.Geophysical Prospecting, 34: 686–703.

BOYCE, W. E. & DiPRIMA, R. C. (2002). Equacoes Diferenciais Elementares eProblemas de Valores de Contorno. Livros Tecnicos e Cientıficos, Rio de Janeiro,seventh edition.

BRACEWELL, R. N. (2000). The Fourier transform and its applications. Thirdedition. McGraw-Hill, New York.

COURANT, R. (1936). Differential and Integral Calculus - Vols I and II. IntersciencePublishers, New York.

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Indice Remissivo

Afim, funcao, 8Alternada, serie, 276Analise

de Fourier, 308granulometrica, 330

Antiderivada, 157, 172da secante, 172

Aproximacaode Taylor, 125, 393

erro da, 389hiperbolica, 145, 146parabolica, 141, 146

Area, calculo de, 159Autocorrelacao, 236

Baskara, formula de, 10Bernoulli, equacao de, 248, 263, 265Bessel, equacao de, 121Beta, funcao, 220, 396

Calculo fracionario, 215–223Caixa, funcao, 24, 210, 235

transformada de Hilbert, 215Cauchy, valor principal de, 203, 213Chezy, formula de, 88Coeficiente

angular, 8de reflexao, 148, 228, 229

de Rugosidade, 335de transmissao, 229

Comparacao, teste da, 277Compressao, de funcoes, 41Concavidade, 11Condicoes de interpolacao, 126

de Hermite, 127pura, 126, 127

Continuidade, 28Contradomınio, 2Convergencia

absoluta, 199absoluta de integrais, 199condicional, 199de series de potencias, 282

Convergenteintegral impropria, 196serie, 273sequencia, 270

Convolucao, 204de duas funcoes de Heaviside, 215de duas gaussianas, 212interpretacao geometrica, 206propriedades, 205teorema da, 371

Correlacao, 236Cosseno, 20

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