GOVERNO FEDERAL

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO

CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA

PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA

CÁLCULO II – 2015.2

Funções de várias variáveis 1. Ilustração

A área de um retângulo depende de duas quantidades - comprimento e largura.

Se um objeto está localizado no espaço, a temperatura em um ponto P do objeto

depende de três coordenadas retangulares de P.

Se a temperatura de um objeto no espaço varia com o tempo , então depende de

quatro variáveis e .

O número de indivíduos de uma certa colônia de fungos depende essencialmente da

quantidade de nutrientes ( ), da quantidade de água ( ), da temperatura

( ) e da presença de uma certa proteína ( ). Experimentalmente foi obtida a

seguinte tabela:

possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é uma função

bem definida por

Definições

Suponha que seja um conjunto de -uplas de números reais . Uma função

a valores reais em é uma regra que associa um único número real

a cada elemento em . O conjunto é o domínio da função. O conjunto de valores de

assumidos por é a imagem da função. O símbolo é a variável dependente de , e

dizemos que é uma função de variáveis independentes a . Também chamamos os

de variáveis de entrada da função, e denominamos a variável de saída da função.

Se é uma função de duas variáveis independentes, normalmente denominamos essas

variáveis independentes por e , e a variável dependente , e representamos o domínio de

como a região no plano (Figura 1). Se é uma função de três variáveis independentes,

denominamos as variáveis independentes e , e a variável dependente w, e representamos

o domínio como uma região no espaço (figura 2).

2. Curvas de Nível

Gráficos gerados por computador e curvas de nível de funções de duas variáveis típicas.

Exemplo 1 Seja

a) Esboce o domínio de .

b) Represente os números , e em um eixo .

Exemplo 2 Seja uma função com domínio dado por

e

Esboce o gráfico de f e exiba os traços nos planos e .

Exemplo 3 Esboce algumas curvas de nível da função do Exemplo 2.

Exemplo 4 Se , esboce algumas curvas de nível de .

Exemplo 5 Determine o domínio D e a imagem e a imagem w para cada função dada abaixo.

a) ; b) c)

;

d)

e)

; f)

3. Limites e continuidade

Se os valores de estão arbitrariamente próximo de um número real fixado

para todos os pontos suficientemente próximo de um ponto . Para se estimar o

limite de uma função de duas variáveis no ponto é necessário calcular esse valor

por todas as trajetórias que passem por . Se em todos os casos o resultado for sempre

o mesmo, ou seja, , diz-se que o limite existe e seu valor é . Caso o limite não exista em

alguma trajetória ou dê um valor diferente para trajetórias diferentes, dizemos que o limite

não existe.

Definição Dizemos que uma função se aproxima do limite á medida que se

aproxima de e escrevemos

Se, para todo número existe um número correspondente tal que, para todo

no domínio de (Figura 3)

sempre que

Propriedades dos Limites

Exemplo 1 Calcule os limites:

a)

; b)

; c)

d)

; e)

; f)

Teste dos dois caminhos para a não existência de um limite

Se uma função tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes no

domínio de quando se aproxima de , então

não existe.

4. Continuidade

Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de

limites.

Definição Uma função é contínua no ponto se:

1. F for definida em

2.

existe;

3.

Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos de seu domínio.

Exemplo 01 Mostre que

é contínua em todo ponto, exceto

na origem.

5. Derivadas parciais

Se for um ponto do domínio de uma função , o plano vertical

cortará a superfície na curva (Figura 4). Essa curva é o gráfico da

função no plano . A coordenada horizontal nesse plano é ; a coordenada

vertical é . O valor de se mantém constante em , portanto não é uma variável.

Definimos a derivada parcial de em relação à no ponto como a derivada

ordinária de em relação à no ponto . Para distinguir as derivadas parciais

das derivadas ordinárias, utilizamos o símbolo no lugar da letra empregada anteriormente.

Na definição, representa um número real, positivo ou negativo.

Definição A derivada parcial de em relação a no ponto é

Dede que o limite exista.

O coeficiente angular da curva no ponto no plano

é o valor da derivada parcial de em relação a em . Na (Figura 4) temos o

coeficiente angular negativo.

Definição A derivada parcial de em relação a no ponto é

Dede que o limite exista.

O coeficiente angular da curva no ponto no plano

é o valor da derivada parcial de em relação a em . Na (Figura 5) temos o

coeficiente angular negativo.

Notações para derivadas parciais

,

, ,

, ,

,

,

Figura 4

Interseção do plano y = y0 com a superfície

z = ƒ(x, y) vista de um ponto acima do

primeiro quadrante do plano xy.

Figura 5

Interseção do plano x = x0 com a superfície

z = ƒ(x, y), vista de cima do primeiro

quadrante no plano xy.

As figuras 4 e 5 combinadas. As retas tangentes no ponto (x0, y0, ƒ(x0, y0)) determinam um

plano que, nesta figura, pelo menos, parece ser tangente à superfície.

Teorema Sejam o gráfico de e um ponto de onde e

existem. Sejam e os traços de nos planos e , respectivamente, e sejam

e as tangentes a e e (Ver Figura 6).

(i) O coeficiente angular de no plano é

(ii) O coeficiente angular de no plano é .

Teorema Seja uma função de duas variáveis e . Se e são contínuas em

uma região aberta , então em .

Exemplo ache as derivadas parciais de se

Incrementos e diferenciais

Se é uma função de duas variáveis e , então os símbolos e denotam incremento de

e . Em termos desta notação, podemos escrever

Define-se como segue o incremento a variável dependente

Definição Seja , e sejam e incrementos de e , respectivamente. O

incremento de é

Vide Figura 7

Exercícios

Funções

Problema 01 De acordo com uma das leis de Poiseuille, a velocidade do sangue ( ) a

uma distância (em cm) do eixo de um vaso sanguíneo de raio (em cm) e comprimento

( ) é dado por

. Onde ( ) é a pressão no interior do

vaso. Suponha que um certo vaso tem de raio e de comprimento.

a) Com que velocidade o sangue está circulando a uma distância de do vaso se a

pressão no vaso é ?

b) Com que velocidade o sangue está circulando no eixo do vaso sanguíneo se a pressão no

vaso é ?

Problema 02 Dada a função e , ache a

função e seu domínio.

Problema 03 Descreva o domínio da função . Represente

num gráfico a região espacial que contém todos os pontos do domínio de . Calcule os

valores de indicados abaixo, se possível.

a) b) c)

Problema 04 Em cada parte descreva o gráfico da função num sistema de coordenadas .

a)

b) c)

Problema 05 Encontre o domínio e a imagem da função

.

Limite

Nos Problemas 06 – 17. Determine se o limite existe. Se existir, determine seu valor.

Coordenadas Esféricas e

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Nos Problemas 18 – 27. Determine as derivadas parciais das funções a seguir.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

Problema 28 Mostre que

satisfaz a Equação do Calor

Uma função é dita harmônica se ela satisfaz a Equação de Laplace. Para duas dimensões é

dada por

. Para três dimensões é dada por

Nos Problemas 29 – 36. Verifique que as funções dadas são harmônicas.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

http://www.univasf.edu.br/~pedro.macario/ Página 10

Se ficarmos em uma praia e tiramos uma fotografia das ondas, essa foto mostrará um padrão

regular de picos e depressões em dado instantes. Veremos o movimento vertical periódico no

espaço em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da

água com o passar das ondas. Veremos movimentos periódicos no tempo. Na física, essa bela

simetria é expressa pela Equação de Onda Unidimensional.

Nos Problemas 37 – 40 verifique que as funções são solução da equação da onda.

37. 38.

39. 40.

Regra da Cadeia de Duas Variáveis

Teorema se e forem diferenciáveis em e se for diferençável

no ponto , então é diferencial em e

Onde as derivadas comuns são calculadas em e as derivadas parciais são calculadas em

.

Problema 41 Sendo , encontre .

Problema 42 Sendo , use a regra da cadeia para encontrar

quando .

Problema 43 Encontre para

Regra da Cadeia de Três Variáveis

Teorema se e forem diferenciáveis em e se for

diferençável no ponto , então é

diferencial em e

Onde as derivadas comuns são calculadas em e as derivadas parciais são calculadas em

.

[Digite o título do documento] Prof. Pedro Macário de Moura

http://www.univasf.edu.br/~pedro.macario/ Página 11

Problema 44 Sendo . Encontre .

Regra da Cadeia de Duas Variáveis

Teorema se e tiverem derivadas parciais de primeira ordem no ponto

e se for diferençável no ponto , então

tem derivadas parciais de primeira ordem no ponto dadas por

Problema 44 Encontre e se

Regra da Cadeia de Duas Variáveis

Teorema se e tiverem derivadas parciais de primeira

ordem no ponto e se for diferençável no ponto ,

então tem derivadas parciais de primeira ordem em

dadas por

Nos Problemas 45 – 46 encontre e .

45. .

46. e .

Problema 47 Encontre

e

para

Uma função é denominada homogênea de grau se para todo

.

Nos Problemas 48 – 50 mostre que a função é homogênea e determine seu grau

48. 49. 50.