Funções potência da forma · técnicas usadas na demonstração das propriedades da função...

Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 08

Parte 8 Matemática Básica 1

Funções potência da forma f (x) = xn,com n ∈ N


Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → R

x �→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸︷︷︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!



f : R → R

x �→ y = f (x) = xn , com n um número par.

(1) A função f é par (isto é, f (−x) = f (x) para todo x ∈ R).

(2) A função f é crescente em [0,+∞[.Prova: use a identidade

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é o intervalo [0,+∞[. Prova: será feita nadisciplina de cálculo.


Folha 1


f : R → R

x �→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.

(1) A função f é ímpar (isto é, f (−x) = −f (x) para todo x ∈ R).

(2) A função f é crescente em R =]−∞,+∞[.Prova: use a identidade

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é R =]−∞,+∞[. Prova: será feita nadisciplina de cálculo.


Proposição

Seja f : R → R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.


Revisão: funções da forma x elevado a n


Funções potência: a função raizquadrada


Folha 2

A função raiz quadrada

f : [0,+∞[ → [0,+∞[x �→ y = f (x) = x2

� Já demonstramos que f : [0,+∞[→ [0,+∞[ é injetiva.

� Já mencionamos que f : [0,+∞[→ [0,+∞[ é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

� Logo f : [0,+∞[→ [0,+∞[ é bijetiva e, portanto, inversível.

� A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremosa notação √

x

para representarf−1(x).

� Note então que, se a ≥ 0, então√

a é o único número real ≥ 0 que, elevadoao quadrado, dá o número real a.


Explicando. . .Se a ≥ 0, então

√a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número

real a.

f : [0,+∞[ → [0,+∞[x �→ y = f (x) = x2

f−1 : [0,+∞[ → [0,+∞[x �→ y = f−1(x) =

√x

� a ≥ 0, pois como vamos calcular√

a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, queé igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞[.

�√

a é único, pois se não fosse único, f−1 não seria uma função.

�√

a ≥ 0, pois√

a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual aodomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞[.

�√

a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois

(√

a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.


A função raiz quadrada

(Ir para o GeoGebra)


Propriedades

� ∀a ∈ R,√

a2 = |a|.

� ∀a, b ≥ 0,√

a · b =√

a ·√

b e ∀a, b ≤ 0,√

a · b =√−a ·

√−b.

� ∀a ≥ 0, ∀b > 0,√

ab=

√a√b

e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,√

ab=

√−a√−b.

� A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ √a <

√b.

� ∀a, b ≥ 0,√

a + b ≤ √a +

√b.


Folha 3

Propriedade: demonstração

∀a ∈ R,√

a2 = |a|.

Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale tambémque p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como

√a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao

quadrado é igual a a2, segue-se que√

a2 = p = |a|.



∀a, b ≥ 0,√

a · b =√

a ·√

b e ∀a, b ≤ 0,√

a · b =√−a ·

√−b.

Demonstração. Considere o número p =√

a · √b. Note que p =√

a · √b ≥ 0 comoproduto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (

√a · √b)2 = a · b. De fato:

p2 = (√

a ·√

b)2 = (√

a)2 · (√

b)2 = a · b.

Como√

a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-se que

√a · b = p =

√a · √b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0,

√a · b =

√−a · √−bfica como exercício.



∀a ≥ 0, ∀b > 0,√

ab=

√a√b

e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,√

ab=

√−a√−b.

Demonstração. Considere o número p =√

a/√

b. Note que p =√

a/√

b ≥ 0 comodivisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (

√a/

√b)2 =

a/b. De fato:

p2 =

(√a√b

)2

=(√

a)2

(√

b)2=

ab.

Como√

a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-se que

√a/b = p =

√a/

√b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,

√a/b =

√−a/√−b fica como exercício.



A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ √a <

√b.

Demonstração. Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,√

b > 0, b − a > 0 e√b +

√a > 0. Uma vez que

(b − a) = (√

b −√a) · (

√b +

√a),

podemos escrever que √b −√

a =b − a√b +

√a.

Assim,√

b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular,

√a <

√b.

Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então√

a ≤ √b.


Folha 4


∀a, b ≥ 0,√

a + b ≤ √a +

√b.

Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e√

a +√

b ≥ 0como soma de dois números ≥ 0. Note também que

√a · √b ≥ 0 como produto de dois

números ≥ 0. Agora

0 ≤ √a ·

√b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·

√b ⇒ a + b ≤ a + 2 · √a ·

√b + b ⇒ a + b ≤ (

√a +

√b)2.

Como 0 ≤ a + b ≤ (√

a +√

b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que

√a + b ≤

√(√

a +√

b)2.

Mas, pela primeira propriedade,√(√

a +√

b)2 = |√a +√

b| = √a +

√b.

Portanto, vale que√

a + b ≤ √a +

√b.



∀a, b ≥ 0,√

a + b ≤ √a +

√b.

Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, porexemplo, a = 9 e b = 16:

√a + b = 5 < 7 = 3+4 =

√a+

√b. Quando vale a igualdade?

Resposta:

a, b ≥ 0 e√

a + b =√

a +√

b ⇔ a = 0 ou b = 0.


Exercício

As funções f (x) =

√x − 1x − 2

e g(x) =√

x − 1√x − 2

são iguais?

Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, porexemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:

Df = (−∞, 1] ∪ (2,+∞[ e Dg = (2,+∞[.

Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞[, as duas funções sãoiguais:

f∣∣∣∣(2,+∞[

= g∣∣∣∣(2,+∞[

.


Funções potência: a função raizn-ésima


Folha 5

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0,+∞[ → [0,+∞[x �→ y = f (x) = xn , com n par.

� Já demonstramos que f : [0,+∞[→ [0,+∞[ é injetiva.

� Já mencionamos que f : [0,+∞[→ [0,+∞[ é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

� Logo f : [0,+∞[→ [0,+∞[ é bijetiva e, portanto, inversível.

� A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n


� Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.


A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : ]−∞,+∞[ → ]−∞,+∞[x �→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

� Já demonstramos que f : ]−∞,+∞[→]−∞,+∞[ é injetiva.

� Já mencionamos que f : ] − ∞,+∞[→] − ∞,+∞[ é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

� Logo f : ]−∞,+∞[→]−∞,+∞[ é bijetiva e, portanto, inversível.

� A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n


� Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√

a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.


A função raiz n-ésima

(Ir para o GeoGebra)


Cuidado!

Se n é par,o domínio de f (x) = n

√x = x1/n é [0,+∞[.

Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n

√x = x1/n é R.


Folha 6

Propriedades da função raiz n-ésima para n par

� Se n é par, ∀a ∈ R,n√

an = |a|.

� Se n é par, ∀a, b ≥ 0, n√

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0, n√

a · b = n√−a · n

√−b.

� Se n é par, ∀a ≥ 0, ∀b > 0, n

√ab=

n√

an√

be ∀a ≤ 0, ∀b < 0, n

√ab=

n√−an√−b

.

� A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

� Se n é par, ∀a, b ≥ 0, n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.


Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar

� Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√

an = a.

� Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√

a · b = n√

a · n√

b.

� Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

√ab=

n√

an√

b.

� A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

� Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0, n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.


Observações

� As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)an−i bi .

� Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n

√a + b ≤ n

√a + n

√b

da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1 − 1 = − 3

√2 > −2 = 3

√−1 + −3√−1.


Mais propriedades

� Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√

xm = ( n√

x)m.

� Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√

xm = ( n√

x)m.

� Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√

m√

x = n m√

x .

� Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√

m√

x = n m√

x .


Folha 7

Funções da formax elevado a menos n


Funções da forma x elevado a menos n

y = f (x) = x−n =1xn , com n ∈ N e x �= 0

(1) f é uma função par se n é um número par e f é uma funçãoímpar se n é um número ímpar.

(2) f é uma função decrescente no intervalo (0,+∞[.

(3) Se 0 < x < 1, então1xn <

1xn+1 .

(4) Se 1 < x , então1

xn+1 <1xn .






Folha 8

Funções da forma x elevado a p/q(fração irredutível)


Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível)

y = f (x) = xp/q, com p ∈ Z−{0}, q ∈ N e p/q fração irredutível

(1) Se p > 0, q > 0 e q é par, então, por definição,

xp/q =q√

xp

para todo x ≥ 0.

(2) Se p > 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição,

xp/q =q√

xp

para todo x ∈ R.



y = f (x) = xp/q, com p ∈ Z−{0}, q ∈ N e p/q fração irredutível

(1) Se p < 0, q > 0 e q é par, então, por definição,

xp/q =1

x−p/q =1

q√

x−p

para todo x > 0.

(2) Se p < 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição,

xp/q =1

x−p/q =1

q√

x−p

para todo x ∈ R− {0}.


Exemplos

x5/3 =3√x5, ∀x ∈ R. x3/8 =

8√x3, ∀x ≥ 0.

x−5/4 =1

x5/4 =1

4√

x5, ∀x > 0.

x−2/3 =1

x2/3 =1

3√

x2, ∀x �= 0.


Folha 9


Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível?

3/2 = 6/4 mas

2√x3 está definida para x ≥ 0

enquanto que

4√x6 está definida para x ∈ R.


E potências irracionais?


Como calcular 3√

2?

Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de√

2!

Aproximação de√

2 Aproximação de 3√

2

1.4 31.4 = 375 = 4.6555367217460790 . . .

1.41 31.41 = 3141100 = 4.7069650017165727 . . .

1.414 31.414 = 3707500 = 4.7276950352685357 . . .

1.4142 31.4142 = 370715000 = 4.7287339301711910 . . .

1.41421 31.41421 = 3141421100000 = 4.7287858809086143 . . .


Folha 10

Funções potência da forma · técnicas usadas na demonstração das propriedades da função...

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