FUNÇÕES - sistemas de informação 2013-1

CAMPANHA NACIONAL DE ESCOLAS DA COMUNIDADE INSTITUTO DE ENSINO SUPERIOR CENECISTA

1

CURSO: SISTEMAS DE INFORMAÇÃO DISCIPLINA: Matemática Discreta

SEMESTRE/ANO: 1o / 2013 TURMA: 1.º Período PROFESSORA: Janaina M. O. Almeida

FUNÇÕES

Conceito Considere dois conjuntos numéricos A e B. Chama-se função a toda relação de A em B de modo que cada elemento do conjunto A se associa a somente um elemento do conjunto B.

Exemplo 1: Os pares (2; -1), (3; 4) e (6; 7) constituem uma função. Exemplo 2: Os pares (2; -1), (3; 4), (3; 7) e (6; 8) não constituem uma função, pois há um elemento

de A que possui mais de um correspondente em B.

Assim, se há uma função, temos que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto

B. Além disso, o conjunto A é o conjunto da variável independente, enquanto o conjunto

B é o conjunto da variável dependente.

A

2

3

6

B -1

4

7

A

2

3

6

B

-1

4

7

8


2

Neste caso, A é o domínio da função, B é o contradomínio da função e y é a imagem da função.

Tipos de funções

Função sobrejetora

É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio.

Exemplo:

Função injetora

Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio, possuem imagens distintas, isto é:

x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) .

Exemplo:

A

x

B

y


3

Função bijetora

Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora.

Exemplo:

Exemplos de funções

Exemplo 1:

A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças para informática:

Número de peças Custo (R$) 1 1,20 2 2,40 3 3,60 4 4,80 5 6,00 6 7,20 7 8,40 8 9,60

a) O que é dado em função do quê? b) Qual a fórmula matemática que associa o número de peças (x) com o custo (c)? c) Qual é o custo de 10 peças? E de 20 peças? E de 50 peças? d) Com um custo de R$ 120,00, quantas peças podem ser produzidas?

Exemplo 2: Uma fábrica produz um determinado produto. Se ela produzir, em u m mês, x toneladas do produto, sua despesa mensal (custo), em milhares de reais, é dada pela função C = 163 +x . a) Em fevereiro, a fábrica não produziu nada. Qual foi, no caso, sua despesa? b) Em março, ela produziu 3 toneladas. Qual foi o custo total no mês? c) Em abril, a produção foi de 11 toneladas. Qual foi o custo médio por tonelada, nesse

mês? d) Em junho, a fábrica produziu 16 toneladas. Por quanto deve vender a tonelada para ter,

no mês, lucro de 20%?


4

Exemplo 3: Existem critérios diferentes para a numeração de sapatos. O número n dos sapatos de uma pessoa é função do comprimento c de seu pé, em cm. No Brasil, a fórmula para essa

função é n = 4

285 +c .

a) Quanto calça uma pessoa cujo pé mede 24 cm? b) Qual é a medida aproximada do pé de uma pessoa que calça 43? c) Verifique se essa fórmula funciona para o seu caso. d) Para que medidas de pé, em centímetros, a numeração dos sapatos dá um valor

inteiro exato?

Coordenadas cartesianas A notação (a; b) é usada para indicar o par ordenado de números reais a e b, no qual o número a é a primeira coordenada e o número b, é a segunda coordenada. Observe que os pares ordenados (3; 4) e (4; 3) são diferentes, pois a primeira coordenada de (3; 4) é 3, enquanto a primeira coordenada de (4; 3) é 4.

Sistema de eixos ortogonais

Um sistema de eixos ortogonais é constituído por dois eixos perpendiculares, Ox e Oy, que têm a mesma origem O.

Damos o nome de plano cartesiano a um plano munido de um sistema de eixos ortogonais.

Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes:

x

y

1.° quadrante

2.° quadrante

3.° quadrante

4.° quadrante


5

Função Constante Uma função polinomial cuja lei é do tipo f(x) = k, em que k ∈ IR é chamada de função constante, pois para qualquer valor real atribuído à variável x sua imagem será sempre: Im = {k}. Veja algumas funções constantes:

f(x) = 1 y = -9 g(x) = 3

O gráfico de uma função constante f(x) = k, k ∈ IR é sempre uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo x), interceptando o eixo das ordenadas (eixo y) no ponto (0, k).

Função Afim Função afim é toda função real do tipo y = ax + b em que a e b são constantes reais, sendo a ≠ 0. São observações a respeito da função afim: Sua expressão analítica é definida por meio de um polinômio de 1.° grau. O número real diferente de zero a é o coeficiente angular (indica o quanto y “sobe”

ou “desce” a cada unidade acrescida em x) e o real b é o coeficiente linear da função (indica a ordenada em que o gráfico intercepta o eixo y).

Seu gráfico cartesiano é uma reta não paralela a qualquer dos eixos coordenados. O crescimento ou decrescimento da função estão relacionados com o sinal da taxa a

de variação: a reta é ascendente para a > 0 e descendente para a < 0. Exemplos de função afim: y = 2x – 5 f(x) = - ½ x + 4 g(x) = - x – 3

x

y k 0

D(f) = IR Im (f) = k


6

Função Linear Função linear é toda função real do tipo y = f(x) = ax em que a é uma constante real diferente de zero. Sobre a função linear é importante observar que: Sua expressão analítica é definida por meio de um polinômio de 1.° grau, que não contém o termo independente da variável. Seu gráfico cartesiano é uma reta não paralela a qualquer dos eixos coordenados e contém o ponto (0,0), origem do plano cartesiano. O sinal da taxa de variação a (coeficiente angular) indica se a função é crescente ou decrescente.

a > 0 ⇒ função crescente ⇒ reta ascendente a < 0 ⇒ função decrescente ⇒ reta descendente

Exemplos de função linear: y = 3x f(x) = -2x g(x) =

x31

Observações: Conhecendo-se dois pontos de uma reta A(xA; yA) e B(xB; yB), a taxa de variação a é

dado por:

AB

AB

xxyy

xya

−−

=∆∆

=

Exercícios

QUESTÃO 1 Esboce os gráficos das funções:

a) y = - 4 b) y = x + 2 c) y = 3x

d) y =1 - x21

QUESTÃO 2 Estude o sinal das seguintes funções:

a) y = 2x – 6 b) y = - 4x + 8


7

QUESTÃO 3 O gráfico a seguir é uma linha reta. Ele mostra a variação do valor V de um automóvel, t anos após ele ser comprado.

QUESTÃO 4 Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 13,35 ºC em 1995 para 13,8 ºC em 2010. Seguindo a tendência de aumento linear observada entre 1995 e 2010, a temperatura média em 2012 deverá ser de a) 13,83 ºC. b) 13,86 ºC. c) 13,92 ºC. d) 13,89 ºC.

QUESTÃO 5 Uma estudante oferece serviços de digitação de textos. O preço a ser pago pela digitação inclui uma parcela fixa de R$ 20,00 mais R$ 1,00 por página traduzida. Em determinado dia, ela digitou um texto e recebeu R$ 80,00 pelo serviço. Calcule a quantidade de páginas que foi digitada.

QUESTÃO 6 O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada.

Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é a) y 4300x= b) y 884 905x= c) y 872 005 4300x= + d) y 876 305 4300x= + e) y 880 605 4300x= +

8

25,5

13,5

t (anos)

V (R$ 1.000,00) a) Por quanto ele foi comprado?

b) Qual é a taxa de variação de seu valor?

c) Quanto ele valerá 10 anos após ser comprado?

d) Quantos anos após a compra ele não terá valor algum?


8

QUESTÃO 7 Uma empresa fabrica roteadores de um único modelo e vende os produtos por R$ 60,00 a unidade. Devido ao aluguel e a outras despesas fixas que não dependem da quantidade produzida, a empresa tem um custo fixo anual de R$ 96 000,00. Além do custo fixo, a empresa tem que arcar com custos que dependem da quantidade produzida, chamados custos variáveis, tais como matéria-prima, por exemplo; o custo variável por roteador é R$20,00. Em 2012, a empresa lucrou R$ 60 000,00. Para dobrar o lucro em 2013, em relação ao lucro de 2012, a quantidade vendida em 2013 terá de ser x% maior que a de 2012. O valor mais próximo de x é: a) 120 b) 100 c) 80 d) 60 e) 40

QUESTÃO 8 Luíza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico abaixo, a reta c representa o custo total mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de x bolsas.

Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender a) no mínimo 2 bolsas. b) pelo menos 1 bolsa. c) exatamente 3 bolsas. d) no mínimo 4 bolsas.


9

QUESTÃO 9 Todos os anos, no mundo, milhões de bebês morrem de causas diversas. É um número escandaloso, mas que vem caindo. O caminho para se atingir o objetivo dependerá de muitos e variados meios, recursos, políticas e programas - dirigidos não só às crianças, mas às suas famílias e comunidades.

Admitindo-se que os pontos do gráfico acima pertencem a uma reta, a mortalidade infantil em 2015, em milhões, será igual a

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

QUESTÃO 10

Uma fábrica de cartuchos tem custo fixo mensal de R$ 5000,00. Cada cartucho fabricado custa R$ 25,00 e é vendido por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$4.000,00, ela deverá fabricar e vender mensalmente x cartuchos. O valor de x é: a) 300 b) 350 c) 400 d) 450 e) 500

QUESTÃO 11 Uma pessoa adquire um equipamento de informática pelo preço de R$ 860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do equipamento será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar que: (a) Em três anos, o equipamento valerá 50% do preço de compra. (b) Em nove anos, o preço do equipamento será um múltiplo de nove. (c) É necessário um investimento maior que R$ 450,00 para comprar esse equipamento

após sete anos. (d) Serão necessários 10 anos para que o valor desse equipamento seja inferior a

R$200,00. (e) O equipamento terá valor de venda ainda que tenham decorrido 13 anos.


10

Equação do 1.° grau

Conceito Chama-se equação do 1.° grau, na variável x, a qualquer expressão algébrica que possa ser reduzida à forma: Ax + B = 0, com A ∈ IR, B ∈ IR, A ≠ 0.

Exemplos:

3x + 5 = 0

x – 9 = 0

-x + 4 = 0

05

23=

−x

2x + 3 = 4x – 9

654

32

=+x

Solução Chama-se solução ou raiz de uma equação a um valor real que, ao ser substituído na equação, torna a igualdade verdadeira.

Exemplo: Considere a equação 5x – 15 = 0

Para x = 3, a expressão reduz-se a 5(3) – 15 = 0

15 – 15 = 0

0 = 0

que é verdadeiro. Portanto, x = 3 é raiz da equação 5x – 15 = 0

Para x = 2, a expressão reduz-se a

5(2) – 15 = 0

10 – 15 = 0

-5 = 0

que é falso. Portanto, x = 2 não é raiz da equação 5x – 15 = 0

Assim, para obter a solução de uma equação do 1.° grau, podemos utilizar o processo dedutivo, que consiste em isolar a variável x, realizando para isto operações inversas na ordem inversa.

ATIVIDADES 1) Resolver as equações:

a) 2x – 3 =9

b) 52

43

=x

d) 10 + x = 9 – 2x

e) 51

25104

=− x

f) 610

915

4+

=+ xx

g) 5

946

510 −=

− xx

i) xx −=−3511

52

73


11

c) – 4x = 28 h) 3x – 12 = 10 – x

j) 1

291

32

41

=+

+x

2) Um pagamento foi acrescido de 50% de seu valor, resultando em um total a ser pago de R$300,00. Qual o valor da dívida original?

3) Um produto teve seu preço aumentado em 20% para pagamento a prazo, resultando um total de R$600,00. Qual era o preço à vista do produto?

4) Duas pessoas têm, juntas, R$ 135,00. Quanto possui cada uma delas, sabendo-se que uma possui o dobro da outra?

5) Um garoto gastou a metade do dinheiro que possuía para ingressar em um evento esportivo e mais R$ 5,00 para pagamento de um hot-dog e refrigerante. Se ele ainda ficou com R$ 10,00, quanto possuía ao chegar ao evento?

6) Em um retângulo, um dos lados mede 2/3 da medida do outro lado. Determine as dimensões do retângulo se seu perímetro é de 100cm.

7) Uma pessoa fez um acordo com uma administradora para pagar o saldo de seu cartão de crédito em três vezes sem juros. O primeiro pagamento corresponde à metade da dívida e o segundo pagamento, R$300,00. Qual o valor da dívida, se o último pagamento era de 20% da dívida original?

Inequação do 1.° grau

Conceito Chama-se inequação do 1.° grau, na variável x, a qualquer expressão algébrica que possa ser reduzida a uma das formas:

Ax + B < 0

Ax + B > 0

Ax + B ≥ 0

Ax + B ≤ 0

Com A ∈ IR, B ∈ IR, A ≠ 0.

Exemplos: 2x – 4 < 0

x – 5 > 0

2x – 8 ≥ 3x – 9

6x – 4 ≤ 3x

Para obtermos o conjunto solução de uma inequação do 1.° grau, podemos utilizar o processo dedutivo, que consiste em isolar a variável x, realizando, para isto, operações inversas na ordem inversa, como foi feito na determinação da solução da equação do 1.° grau.


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Devemos observar que, em desigualdades, toda vez que multiplicamos ou dividimos ambos os membros por um número negativo, devemos inverter o sinal da desigualdade.

Exemplos: Resolver a inequação 4x > -12

Para isolar x, devemos dividir ambos os membros da inequação por 4 que é um número positivo. Devemos manter o sinal da desigualdade:

412

44

>x

ou x > 3.

Resolver a inequação 4 - 3x > 13

De acordo com o processo dedutivo, temos:

-3x > 13 – 4

-3x > 9

-x > 39

-x > 3

x < -3

ATIVIDADES 1) Resolver as inequações:

a) 5x ≥ 20 f) 3

145

2 +≤

− xx

b) 2x ≤ 4 g) – 0,2x ≥ 0,6 – 1,2x

c) – 4x ≥ 16 h) 132

41

49

+≤+ xx

d) 83

51

>x i) 32,0

214,0 +−≤− xx

e) 104

1<

− x j) 571

31

+−≥+− xx

2) A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação q = 100 – 2p. Determinar os valores de p para os quais a quantidade vendida é de no mínimo 40 unidades.


13

3) Um feirante vende seu produto com margem de lucro de 40% sobre o preço de custo. Se adquirir a unidade por R$ 2,00, qual a quantidade que deverá vender para lucrar, no mínimo, R$ 120,00?

SISTEMAS DE EQUAÇÕES

Uma equação do primeiro grau é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja o sistema de duas equações:

=−==

18233832

yxyx

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações.

x = 10 e y = 6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

S = { (10,6) }

Método de substituição

O método da substituição consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis e aplicar o resultado à outra equação.

Para entender o método, consideremos o sistema:

Determinamos o valor de x na 1.ª equação;

x = 4 - y

Substituímos esse valor na 2.ª equação.

2 . (4 - y) - 3y = 3


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Resolvemos a equação formada.

8 - 2y –3y = 3

8 - 2y -3y = 3

-5y = -5 ⇒ Multiplicamos por (-1 )

5y = 5

y = 1

Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.

x + 1 = 4

x = 4 – 1

x = 3

A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

S = {(3, 1)}

Método da adição Resolva o sistema abaixo:

Adicionamos membros a membros as equações:

2x = 16

x = 8


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Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinando y:

8 + y = 10 y = 10 - 8

y = 2 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2). S = {(8, 2)} Um outro exemplo:

Resolver o sistema:

=+−=+

1941335

yxyx

Multiplicando a primeira equação por 4 e a segunda por 5, obtemos:

=+−=+

54520521220

yxyx

Somando membro a membro as duas equações, temos:

157575757

54520521220

=

=

=

+

=+−=+

y

y

yyxyx

Substituímos o valor de y no sistema original, em qualquer uma das equações:

=+−=⇒=⇒−=⇒=+⇒=+

1942105313513)1(351335

yxxxxxyx

S = {(2; 1)}


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EXERCÍCIOS

QUESTÃO 01

Resolver os sistemas:

=+−−=−

=+=+−

=−=+

101204792

)

2935146

)

2351110

)

yxyx

c

yxyx

b

yxyx

a

−=+=−−

=+

=+

=+

=+

5,33,08,54,0

)

652

641

)

352

13310 )

yxyx

f

qp

qpe

yx

yxd

QUESTÃO 02

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

QUESTÃO 03

Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

QUESTÃO 04 Um caminhão transportou, em duas viagens, 50 toneladas de soja. Sabendo que, na primeira viagem, o caminhão, carregado, pesou 45 toneladas e que, na segunda, o caminhão e a carga pesaram 35 toneladas, calcule a quantidade de soja transportada na primeira viagem e o peso do caminhão vazio. QUESTÃO 05 Três pessoas, A, B e C, pesavam, respectivamente, x kg, y kg e z kg. Após seis meses de

caminhadas regulares e controle alimentar orientado, constatou-se que A perdeu 5 kg, B

perdeu 10 kg e C perdeu 12 kg.

Findo esse período, sabe-se que:

A tem 10 kg a menos que B;

C tem 10 kg a mais que B;


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as três pessoas juntas pesam 180 kg.

Qual é o peso atual de C?

a) 55 kg b) 69 kg c) 70 kg d) 70 kg e) 82 kg Quais eram os pesos de A, B e C antes das caminhadas regulares e controle alimentar orientado? QUESTÃO 06 Maria comprou na feira tomate, pimentão e cenoura. Os tomates e os pimentões pesaram juntos 4 kg; os tomates e as cenouras pesaram juntos 4,5 kg; e os pimentões com as cenouras pesaram 2,5 kg. A quantidade de tomate que Maria comprou foi de:

a) 0,8 kg b) 0,75 kg c) 1,5 kg d) 2,2 kg e) 3 kg

Função Quadrática

Definição A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão

do tipo:

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a ≠ 0.

Exemplos:

a) y = x² + 3x + 2 ( a = 1; b = 3; c = 2)

b) y = x² ( a = 1; b = 0; c = 0)

c) y = x² - 4 ( a = 1; b = 0; c = -4)

Gráfico de uma função quadrática O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.


18

Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:

Representação gráfica

Exemplo:

Construa o gráfico da função y = x²:

Como na função do 1.º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x y = f(x) = x² -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9

Note que os pontos: A e A’, B e B’, C e C’ são simétricos (estão a uma mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.

Coordenadas do vértice A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por:

2ab- x =


19

Exemplo:

Determine as coordenadas do vértice da parábola y = x² - 4x + 3

Temos: a = 1, b = -4 e c = 3

2 24

2.(1)4)(

2ab- x ==

−−==

Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y? Basta substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y. Neste caso, para determinarmos a coordenada y da parábola y = x² - 4x + 3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)² - 4.(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1

Logo, as coordenadas do vértice serão V = (2,-1). Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o

valor da coordenada x

=

2ab- x de através e substituindo este valor na função, achamos

a coordenada y.

Raízes (ou zeros) da função quadrática Denominam-se raízes da função quadrática os valores de x para os quais ela se anula.

y = f(x) = 0 Exemplo: na função y = x² - 4x + 3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x’ = 1 e x’’ = 3. Vejamos o gráfico:

Note que quando x’ = 1 e x” = 3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.


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Como determinar a raiz ou zero da função quadrática Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau.

Exemplo:

Determine a raiz da função y = x² + 5x + 6. Fazendo y = f(x) = 0, temos x² + 5x + 6 = 0 Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula:

4acb Δque em ,2a

Δb- x 2 −=±

=

Concavidade da parábola

Se a > 0, a concavidade da parábola fica voltada para cima. Se a < 0, a concavidade da parábola fica voltada para baixo. Exemplos:

Y = f(x) = x² - 4 y = f(x) = -x² + 4

a = 1 (ou seja, a > 0) a = - 1 (ou seja, a < 0)

Quando a concavidade está voltada para cima (a > 0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a < 0), o vértice representa o valor máximo.

Discriminante

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de ∆ = 0, o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero. Exemplo:

y = f(x) = x² + 2x + 1 x² + 2x + 1 = 0

∆ = b2 – 4ac = (2)2 – 4.(1).(1) = 0 x’ = x’’ = -1 (que também é o x do vértice) As coordenadas do vértice serão V = (-1, 0)


21

Quando o discriminante é maior que zero

Quando o valor de ∆ > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos (são as raízes ou

zeros da função).

Exemplo:

y = f(x) = x² - 4x + 3 x² - 4x+3=0

∆ = b2 – 4ac = (-4)2 – 4.(1).(3) = 4 x’ = 1 x’’ = 3

Quando o discriminante é menor que zero

Quando o valor de ∆ < 0, a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da

função.

Exemplo: y = f(x) = x² - x + 2

∆ = b2 – 4ac = (-1)2 – 4.(1).(2) = - 7

Resumindo:

∆ = 0 ∆ > 0 ∆ < 0

a > 0 a > 0 a > 0

∆ = 0 ∆ > 0 ∆ < 0

a < 0 a < 0 a < 0

Esboço do gráfico

Para desenhar o gráfico da função, calculamos as raízes da função e as coordenadas do vértice. Verificamos se a concavidade da parábola fica voltada para cima ou para baixo e aí, sim, esboçamos o gráfico da função. Exemplo:


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Função y = – x2 – 4x – 3 1ª etapa: Raízes ou zeros da função – x2 – 4x – 3 = 0

Aplicando a fórmula a

bx2

∆±−= , obtemos:

x’ = -1 ou x” = -3. 2ª etapa: Coordenadas do vértice Coordenada x: 2

1)2.(4)(

2ab- x −=

−−−

==

Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função y = – x2 – 4x – 3 = – (–2)² –4.( –2) (–3) = 1 Portanto, V (-2, 1) 3ª etapa: Concavidade da parábola y = – x2 – 4x – 3. Como a = -1< 0, a concavidade estará voltada para baixo.

Exercícios

QUESTÃO 01 As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, ache as coordenadas do vértice que a representa: a) f(x) = x² - 4x + 5 b) f(x) = x² +4x – 6 c) f(x) = 2x² +5x - 4 d) f(x) = -x² + 6x – 2 e) f(x) = -x² - 4x +1 QUESTÃO 02 Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes: a) f(x) = 3x² - 7x + 2 b) f(x) = -x² + 3x – 4 c) f(x) = -x² + 3/2x + 1 d) f(x) = x² - 4


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QUESTÃO 03 Construa o gráfico das seguintes funções: a) f(x)= x² - 16x + 63 b) f(x)= 2x² - 7x + 3 c) f(x)= 4x² - 4x +1 d) f(x)= -x² + 4x – 5 e) f(x)= -2x² +8x- 6 QUESTÃO 04 O custo diário de produção de um artigo é C = 50 + 2x + 0,1x2, onde x é a quantidade diária produzida. Cada unidade do produto é vendida por R$ 6,50. Qual o intervalo de variação de x para que não haja prejuízo? (Obs.: L = R – C) a) 19 ≤ x ≤ 24 b) 20 ≤ x ≤ 25 c) 21 ≤ x ≤ 26 d) 22 ≤ x ≤ 27 e) 23 ≤ x ≤ 28 QUESTÃO 05 Certa indústria fabrica um único tipo de produto, que é vendido ao preço unitário de x reais. Considerando que a receita mensal dessa indústria, em reais, é calculada pela expressão

R(x) = 80.000x – 8 000x², então, para que seja gerada uma receita mensal de R$ 200.000,00, cada unidade do produto fabricado deve ser vendida por: (A) R$ 6,00 (B) R$ 5,50 (C) R$ 5,00 (D) R$ 4,50 (E) R$ 4,00 QUESTÃO 06 O lucro de uma Empresa é calculado pela fórmula L(x) = 10.(1 - x).(x - 2) em que x é a quantidade vendida. Podemos afirmar que o lucro é a) máximo para x = 2 b) positivo para qualquer valor de x c) positivo para x > 2 d) positivo para 1 < x < 2 QUESTÃO 07 Um carrinho se move sobre um arco de parábola de uma montanha-russa, de modo que sua altura em relação ao solo, em metros, é dada em função do tempo t, medido em segundos, pela equação h(t) = 2t2 - 8t + 11. Então o menor valor de h, em metros, é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6


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QUESTÃO 08 O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por:

C = 2510 - 100n + n2.

Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo?

Equação do 2.° grau Chama-se equação do 2.° grau na variável x a qualquer expressão algébrica que possa ser reduzida à forma:

Ax2 + Bx + C = 0, com A ∈ IR, B ∈ IR, C ∈ IR e A ≠ 0.

Exemplos: -x2 + 12x = 0 e x2 – 5x + 6 = 0

ATIVIDADES 1) Resolver as equações:

a) x2 –5x + 6 = 0

b) x2 –2x – 15 = 0

c) x2 –4x + 4 = 0

d) –x2 + 10x – 21 = 0

e) 4x2 + 4x + 1 = 0

f) 5x2 – 20x = 0

g) –3x2 + 12x = 0

h) 4x2 = 0

i) x2 – 64 = 0

j) –5x2 – 100 = 0

2) Determine as dimensões de um retângulo com área de 80m2, sabendo-se que um lado tem 2m a mais que o outro.

Inequações do 2.° grau Exemplos: x2 – 10x + 21 > 0

x2 – 100 ≥ 0

ATIVIDADES 1) Resolva as inequações.

a) x2 – 2x – 15 ≥ 0

b) x2 – 4x + 4 > 0

c) x2 - 16 < 0

d) x2 – 3x > 2x – 6

e) –x2 + 12x > 20

FUNÇÕES - sistemas de informação 2013-1

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