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Funcoes Trigonometricas


(13-03-08)

Funcoes Trigonometricas Matematica II 2008/2009


Funcoes periodicas

Muitos dos fenomenos correntes tem um comportamento periodico,isto e, um comportamento que se repete em perıodos de tempoiguais. Entre outros exemplos temos, o comportamento das mares,as contraccoes da musculatura do coracao, o ciclo respiratorio(inspiracao e expiracao), o movimento do pendulo de um relogio,etc. Para estabelecermos modelos que descrevam este tipo decomportamento necessitamos de estudar funcoes periodicas, isto e,funcoes cujo valor se repete em intervalos regulares.

Uma funcao f diz-se periodica se existir um numero T tal que

f(x + T ) = f(x)

qualquer que seja o x. O numero T designa-se por perıodo dafuncao f .



Observe que se uma funcao tem perıodo T entaof(x + nT ) = f(x) para todo n inteiro, ou seja, e tambemperiodica de perıodo nT .

Dada uma funcao periodica f chamamos perıodo fundamental def ao menor dos T > 0 (se existir) para o qual f e periodica deperıodo T .



Seno e cosseno de angulos

Consideremos uma circunferencia centrada na origem do planocartesiano e com raio r conforme ilustra a figura seguinte.



Designemos por α o angulo definido pelas semi-rectas OA e OP .Se as coordenadas do ponto P forem (x, y) entao definimos duasquantidades a custa destas coordenadas (x, y) e do raio r:

sin(α) =y

r

(designada seno do angulo α)

cos(α) =x

r

(designada cosseno do angulo α)



A partir de posicoes de pontos na circunferencia podemos marcartodo o tipo de angulos. A tabela seguinte indica os valores do senoe do cosseno de quatro angulos tıpicos.

posicao de P tipo de angulo seno cosseno

P ≡ A angulo nulo 0 1

P ≡ B angulo recto 1 0

P ≡ C angulo raso 0 −1

P ≡ D – −1 0

P ≡ A angulo giro 0 1



Designemos por β o angulo que resulta de dividirmos um angulorecto ao meio.

Determinemos o seno e o cosseno deste angulo.Pelo Teorema de Pitagoras temos

r2 = x2 + y2



r2 = x2 + y2

Como x = y entaor2 = x2 + x2

r2 = 2x2

r =√

2.|x|Como x > 0 (pois P esta no primeiro quadrante) entao |x| = x e

r =√

2x

Assim

sin(β) =y

r=

x√2x

=1√2

=

√2√

2√

2=

√2

2

logo (como x = y entao sinβ = cos β),

cos(β) =

√2

2



Medida de angulos

A unidade de medida de angulos mais usada e o grau. Contudo, nateoria que iremos desenvolver a seguir, a unidade mais adequada eo radiano.

Conversao de graus em radianos e de radianos em graus

graus radianos

0 0

45 π

4

90 π

2

180 π

270 3π

2

360 2π



Conversao de graus em radianos e de radianos em graus

Para sabermos quanto mede em radianos, um angulo de a graus,fazemos uma regra de tres simples:

180 graus −−− π radianos

a graus −−− x radianos

logo x = πa

180Para sabermos quanto mede em graus, um angulo de a radianos,fazemos uma regra de tres simples:

180 graus −−− π radianos

x graus −−− a radianos

logo x = 180a

π



Funcoes Seno e Cosseno

Seja x um numero tal que 0 ≤ x ≤ 2π. Podemos marcar sobre acircunferencia a posicao de P que corresponde ao angulo commedida x e considerar o seno e o cosseno deste angulo.

Assim, fazemos corresponder ao numero x um numero designadopor sin(x) e outro numero designado por cos(x). Assim, definimosduas funcoes, designadas seno e cosseno embora, por enquanto, oargumento esta compreendido entre 0 e 2π.



Estando o ponto P na posicao indicada, se der uma voltacompleta a partir dessa posicao, entao o novo angulo mede α + 2πradianos. Os valores do seno e do cosseno deste novo angulo saoiguais aos do angulo inicial, isto e,

sin(α + 2π) = sin(α)

cos(α + 2π) = cos(α)

Este raciocınio pode ser feito para todo o angulo x, assim

sin(x + 2π) = sin(x)

cos(x + 2π) = cos(x)

para todo o x.



Ou ainda,sin(x + 2kπ) = sin(x)

cos(x + 2kπ) = cos(x)

para k ∈ Z.

As funcoes seno e cosseno sao ambas periodicas de perıodo(fundamental) 2π.



Os graficos das funcoes seno e cosseno demonstram bem o seucaracter periodico.

Grafico da funcao seno (y = sin(x))

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Grafico da funcao cosseno (y = cos(x))

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2



Valores do seno e do cosseno a saber

graus radianos sin(x) cos(x)

0 0 0 1

30 π

612

√3

2

45 π

4

√2

2

√2

2

60 π

3

√3

212

90 π

2 1 0

180 π 0 −1

270 3π

2 −1 0

360 2π 0 1



Algumas propriedades das funcoes seno e cosseno

1 −1 ≤ sin(x) ≤ 1−1 ≤ cos(x) ≤ 1

2 sin2(x) + cos2(x) = 1

3 sin(x + 2π) = sin(x)cos(x + 2π) = cos(x)

4 sin(x + y) = sin(x). cos(y) + cos(x) sin(y)

5 cos(x + y) = cos(x). cos(y) − sin(x) sin(y)

6 sin(x − y) = sin(x). cos(y) − cos(x) sin(y)

7 cos(x − y) = cos(x). cos(y) + sin(x) sin(y)

A partir destas propriedades podemos deduzir outras.



Por exemplo:Fazendo x = π

2 obtemos

1 sin(π

2 + y) = cos(y)

2 cos(π

2 + y) = − sin(y)

3 sin(π

2 − y) = cos(y)

4 cos(π

2 − y) = sin(y)

Fazendo x = π obtemos

1 sin(π + y) = − sin(y)

2 cos(π + y) = − cos(y)

3 sin(π − y) = sin(y)

4 cos(π − y) = − cos(y)



Derivadas

Derivada de f(x) = sin(x)

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h

= limh→0

sin(x + h) − sin(x)

h

= limh→0

sin(x) cos(h) + cos(x) sin(h) − sin(x)

h

= limh→0

sin(x)[cos(h) − 1] + cos(x) sin(h)

h

= limh→0

[sin(x)[cos(h) − 1]

h+

cos(x) sin(h)

h]

= limh→0

[sin(x)cos(h) − 1

h+ cos(x)

sin(h)

h]



Derivada de f(x) = sin(x) (cont.)

Demonstra-se que

limh→0

cos(h) − 1

h= 0 e lim

h→0

sin(h)

h= 1

Assim,

f ′(x) = limh→0

[sin(x)cos(h) − 1

h+ cos(x)

sin(h)

h]

= sin(x) limh→0

cos(h) − 1

h+ cos(x) lim

h→0

sin(h)

h= sin(x) × 0 + cos(x) × 1= cos(x)

Assim,[sin(x)]′ = cos(x)



Derivada de f(x) = cos(x)

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h

= limh→0

cos(x + h) − cos(x)

h

= limh→0

cos(x) cos(h) − sin(x) sin(h) − cos(x)

h

= limh→0

cos(x)[cos(h) − 1] − sin(x) sin(h)

h

= limh→0

[cos(x)[cos(h) − 1]

h− sin(x) sin(h)

h]

= limh→0

[cos(x)cos(h) − 1

h− sin(x)

sin(h)

h]



Derivada de f(x) = cos(x) (cont.)

f ′(x) = limh→0

[cos(x)cos(h) − 1

h− sin(x)

sin(h)

h]

= cos(x) limh→0

cos(h) − 1

h− sin(x) lim

h→0

sin(h)

h= cos(x) × 0 − sin(x) × 1= − sin(x)

Assim,[cos(x)]′ = − sin(x)


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