FUNDAMENTOS DE COMBUSTAOPME-5228

Prof. Dr. Guenther Carlos Krieger Filho

19 de marco de 2007

1 INTRODUCAO

Combustao: Rapida oxidacao gerando CALOR e LUZ; tambem oxidacaolenta acompanhada de relativamente baixa liberacao de calor e nen-huma luz (Webster’s Dictionary)

−→ Transforma a ENERGIA contida nas ligacoes quımicas em energiainterna

1.1 Motivacao

• Consumo de energia mundial

• Poluentes

1.2 Tipos

- Solidos

- Lıquidos

- Gasosos

- Pre-misturada

- Nao pre-misturada

Ex: Carvao, MCI, c/carburacao /coletor admissao, queimadores, aoleo, gas, motor diesel.

2 COMBUSTAO E TERMODINAMICA

2.1 Revisao de Relacoes de Propriedades

- Propriedades Extensivas x Intensivas

V = vm ou vN (1)

- Equacao de Estado

- Relacao entre P, T e v

- Gas Ideal −→ Forcas intermoleculares negligenciadas

1

PV = NRuT↓

Const. Univ. dos GasesRu = 8315J/[Kmol.K]

(2)

PV = mRT↓

Const. do Gas R= Ru/WW→peso molecular [Kg/Kmol]

(3)

Pv= RT ou P= ρRT (4)

−→ Em processos de combustao a hipotese de gas ideal e valida devidoas altas temperaturas⇔ baixa densidade.

- Equacao Calorıfica de Estado

u = u(T,P) (5)

h = h(T, p) (6)

du=

(∂u∂T

)

v︸ ︷︷ ︸

≡cv

dT +

(∂u∂v

)

Tdv (7)

dh=

(∂h∂T

)

p︸ ︷︷ ︸

≡cp

dT +

(∂h∂p

)

Tdp (8)

para gas ideal u = u(T)⇒(

∂u∂v

)

T= 0

e

h≡ u+ pv= u+RT︸ ︷︷ ︸

h=h(T)

e

(∂h∂p

)

T= 0

entao:

u(T)−ure f =

Z T

Tre f

cvdT (9)

h(T)−hre f =

Z T

Tre f

cpdT (10)

2

cp depende de T

Obs.: (9) e (10) sao u e h sensıvel. Nao estao incluidos mudanca de fase eligacoes quımicas

2.2 Misturas de Gases Ideais

N1moles da especie 1N2moles da especie 2, etc.

• Fracao molar da especie ”i”

Xi ≡Ni

N1+N2 + ...+Ni + ...+Nn=

Ni

Ntot(11)

Analogamente,

• Fracao massica da especie ”i”

Yi ≡mi

m1+m2 + ...+mi + ...+mn=

mi

mtot(12)

Ainda:

∑i

Xi =∑i Ni

Ntot=

Ntot

Ntot= 1 (13)

∑i

Yi =∑i mi

mtot=

mtot

mtot= 1 (14)

e mais

Yi =mi

mtot=

NiMWi

NtotMWmist= xi

MWi

MWmist(15)

Xi =Ni

Ntot=

Kmoli︷ ︸︸ ︷

mi/MWi

mtot/MWmist︸ ︷︷ ︸

Kmolmist

= yiMWmist

MWi(16)

• Peso molecular da mistura

3

MWmist =N1

NtotMW1 +

N2

NtotMW2+ ...

Ni

NtotMWi + ... = ∑i xiMWi

↓ ↓[

KgmistKmolmist

]Ponderacao de cada

peso molecular com fracaomolecular correspondente

(17)ou

MWmist =

m1

mtot.

1MW1

︸ ︷︷ ︸KgiKg .

KmoliKgi

+m2

mtot.

1MW2

+ ...

−1

=1

∑iyi

MWi

(18)

• Pressao parcial da especie ”i”−→ e como se a especie ”i”estivesse sozinha a mesma T e mesmo V. Para

gases ideais (nao interagem) a pressao total (moleculas chocam-secom paredes):

P = ∑i

Pi (19)

ainda:

P = NRuT

PPi

=NRuTNiRuT

=NNi−→ Pi = Pxi (20)

• Entalpia e Entropia de mistura de gases ideais- Entalpia:

hmist = ∑i

yihi (21)

hmist = ∑i

xihi (22)

lembre-se:hi = hi(T)⇒ (gases ideais)

e portantohmist = hmist(T)

- Entropia:

4

smist(T,P) = ∑i

yisi(T,Pi) (23)

smist(T,P) = ∑i

xisi(T,Pi) (24)

Da 2a eq’s TDS aplicada a gas ideal:

si(T,Pi) = si(T,Pre f)−RlnPi

Pre f(25)

si(T,Pi) = si(T,Pre f)−RnlnPi

Pre f(26)

2.3 Calor latente de vaporizacao ou entalpia de vaporizacao

hf g(T,P) = hvapor(T,P)−hliq(T,P) (27)

• Equacao de Clausius-Clapeyron (Van Wylen)

dPsat

Psat=

hf g

RdTsat

T2sat

(28)

assume-se:

vliq≪ vvapor

vapor⇒ gas ideal

hf g = cte

Determina-se Psat dado Tsat1, Tsat2, Psat1.

2.4 1a Lei da Termodinamica

• Sistema Fechado (massa Fixa)

m,EQ

W

Massa fixa

Fronteira

5

1Q2 − 1W2 = ∆E1−2

↓ ↓ ↓Calor lıquido trocadoentre os estados 1 e 2

Trabalho lıquidoentre os estados 1 e 2

Variacao da energia do sistemaentre os estados 1 e 2

(29)

E = m

u︸︷︷︸

interna

+12

v2︸︷︷︸

cinetica

+ gz︸︷︷︸

potencial

(30)

uma forma especıfica

1q2−1 w2 = ∆e1−2

na forma da taxa: (÷∆t)

Q−W =dEdt

(31)

• Sistema aberto ou volume de controleSuperfıcie de controle

Volume de controle

Qvc Wvc

m(e+Pv)i m(e+ pv)odmvc

dt= 0,

dEcv

dt= 0

para regime permanente (∂()∂t = 0)

Qvc − Wvc = me0− mei+ m x (P0v0−Pivi)↓ ↓ ↓

Qualquer trabalho quenao o de bombeamento Fluxo massico

Trabalho lıquidoassociado a forcas de pressaoonde o fluido cruza as fronteiras,trabalho de ”bombeamento”

(32)ainda na forma:

Qvc−Wvc = m

[

(h0−hi)+12(v2

0−v2i )+g(z0−zi)

]

(33)

6

2.5 Estequiometrica

• Mistura Estequiometrica: Quantidade exata de oxidante (O2) para aqueima completa do combustıvel.

• Mistura Rica: Menos ar que o necessario.

• Mistura Pobre: Mais ar que o necessario.

• Balanco Atomico- Atomos se conservam nas reacoes de combustao. Especies

nao.

- Combustao completa sem dissociacao de C e H emCO2 e H2O

para hidrocarbonetos:

CxHy +a(O2+3.76N2)−→ xCO2+(y/2)H2O+3.76aN2 (34)

- balanco de O:a = x+y/4

- composicao do ar: 21% vol. O2, 79% vol. N2

• Razao ar/combustıvel estequiometrica

(A/F)st = (mar

mf uel)st =

4.76a1

War

Wf uel(35)

CH4+Ar −→ 17.11

H2+O2−→ 8.0

C(s) +Ar −→ 11.4

• Razao de Equivalencia Φ

Φ =(A/F)stq

(A/F)real=

(F/A)real

(F/A)stq(36)

Φ < 1: mistura pobre (mais ar)Φ = 1: mistura estequiometricaΦ > 1: mistura rica (menos ar)

7

Φ e um parametro de ”controle” importante no desempenho de muitosprocessos de combustao.

• Excesso de Ar

% excesso de ar=1−Φ

Φ.100%

2.6 Entalpia Absoluta (ou standard) e Entalpia de Formacao

• Entalpia Absoluta da especie ”i”

hi(T) = h◦f ,i(Tre f) + ∆hs,i(T)

↓ ↓ ↓Entalpia absolutada especie ”i”

entalpia de formacao da especie ”i”no estado de referencia (◦)(Tre f =298.15 K; P

◦=1 atm)

Entalpia sensıveldevido a mudanca de

temperatura de Tre f para T

(37)

Convencao Especies que, no estado padrao, se encontram com seu estadonatural (mais comum), a entalpia de formacao vale Zero

ex: Oxigenio a T = 298.15 K p = 1 atm e O2 entao: h◦

f ,O2

para formar O, tem-se que romper O = O, h◦f ,O = 498390kJ/kmol−O2

498390kJ/kmol−O2

��

O2 −−−−−−−−−−−−− > O+O

8

2.7 Entalpia de Combustao e Poder Calorıfico

−qvc

REAGENTESmistura esteq. ar/combcondicoes padrao

PRODUTOScombust. completa (CO2, H2O)

condicoes padrao

1a Lei:

Qvc−Wvc = m(ho−hi)

÷m

qvc−wvc = ho−hi

wvc = 0

qvc = ho−hi = hprod−hreag (38)

• Entalpia de reacao (∆hR)

∆hR≡ qvc = hprod−hreag (39)

• Poder calorıfico (HHV, LHV, PCS, PCI)

∆hc≡−∆HR

Nf uelou ∆hc =

∆hc

M f uel(40)

PCS (superior)→ H2O liquido nos produtosPCI (inferior)→ H2O gasoso nos produtos

2.8 Temperatura de Chama Adiabatica

• A pressao constante (Fornos, turbinas, etc.) da Eq. (33) tem-se:

Qvc − Wvc = m(ho−hi)= 0 = 0 ho = hi

(41)

9

b b

Reagentes Produtos

T

h (kJ/kgmist)

ho = hi

Ti Tad

→ Concentracoes dos produtosEquilıbrio quımico (CO, H, O, OH)Combustao completa (CO2, H2O)

• A volume constante (MCI) da Eq. (29) e (30)

1Q2 − 1W2 = m(u2−u1)= 0 = 0

u2 = u1

uprod = ureag

(42)

2.9 2a Lei e Equilıbrio Quımico

- Reator adiabatico, volume cte, massa fixa:

CO+12

O2 =⇒CO2 (43)

Em temperaturas elevadas,CO2 pode se dissociar segundo:

(CO+12

O2)reagentes frios =⇒(

(1−α)CO2+αCO+α2

O2

)

produtos quentes(44)

α e fracao deCO2 que se dissocia.

α = 1⇒ nao ha liberacao de calor e a mistura permanece inalterada(CO,O2)

α = 0⇒Nao ha dissociacao. A liberacao de calor e maxima. P e T sao osmaximos permitidos pela 1a lei.

10

3000

(1-α)

TF

0

⇒ Como determinar o valor de α? ⇒ 2a lei

- Entropia da mistura no reator:

Smist(Tf ,P) =3

∑i=1

Nisi(Tf ,Pi) = (1−α)sCO2 +αsCO+α2

sO2 (45)

para especie ”i”: (Gas Ideal)

si = s◦i (Tre f)+

Z Tf

Tre f

cp,idTT−Ruln

Pi

P◦(46)

Plotando-se Smist x (1−α) ve-se que ha um maximo (1−α)≈ 0.5

- 2a Lei

Para o reator em analise (Q = 0, V = cte,m= cte)1a Lei:

δQ−δW = dU

Assumindo processos reversıveis e portanto P e T uniformes a cadainstante no reator;

δW = pdV

e entao:

δQ = dU + pdV (47)

Balanco de entropia:

dS=δQT

+ δσ︸︷︷︸

Irreversib.

11

entao:

TdS−Tδσ = dU + pdV (48)

como para todo processo real δσ > 0:

TdS−dU− pdV≥ 0 (49)

por (47)⇒ dU = 0 e pdV = 0mas dV = 0 e δQ = 0 (para o reator em analise) entao

TdS≥ 0 =⇒ (dS)U,V,m≥ 0 (50)

ou seja: Para a mistura no reator em analise, um processo so pode ocorrerna direcao em que haja um acrescimo na entropia.Qualquer processo, tanto partindo de α = 0 ou de α = 1, ao atingir oSmax se estabiliza. Caso contrario, haveria decrescimo da entropia.

- Energia livre de Gibbs (G)

Util para sistemas onde P e T sao constantes.

G≡ H−TS (51)

Reator massa fixa, P e T uniformes e fixas1a Lei:

dU = δQ−δW

δW = pdV

de (51):

G = (U + pV)−TS

e

dG= dU + pdV+Vdp−TdS−SdT

ou

dG−Vdp+SdT=−(TdS−dU− pdV︸ ︷︷ ︸

≥0 eq. (49)

)

entao:

12

dG−Vdp+SdT≤ 0 (52)

para o reator

(dG)P,T,m≤ 0 (53)

ou seja: para o reator, onde P, T e massa sao fixos, todo processo so podeocorrer na direcao em que haja diminuicao da energia livre de GIBBS.

G

(1-α)0

Gmin

(1-α) equilıbrio

⇒ determinar a concentracao das especies (CO2, CO, O2) no estado deequilıbrio significa minimizar G.

- Energia livre de Gibbs da especie ”i” Entalpia de formacao:

h◦f ,i(T) = h

◦i (T)︸ ︷︷ ︸

hprod

− ∑j=elementos

υ′j h◦j(T)

︸ ︷︷ ︸

hreag.

(54)

υ′j ⇒ Coef. estequiom. do elemento j na reacao de formacao de ”i”ex: C+2H2→CH4

Gibbs de formacao:

g◦f ,i(T) = (h

◦−Ts◦)prod

︸ ︷︷ ︸

g◦prod

−(h◦−Ts

◦)reag

︸ ︷︷ ︸

g◦reag

(55)

ainda:

g◦f ,i(T) = (h

◦

i −Ts◦i )

︸ ︷︷ ︸

produto

−( ∑j elem.

υ′jh◦

j − ∑jelem.

υ′jTs

◦j)

︸ ︷︷ ︸

reag.

13

g◦f ,i(T) = h

◦

f ,i−Ts◦i + ∑jelem.

υ′jTs

◦j (56)

- Gibbs da especie ”i” a T ∀:

gi,T = hi(T)−T[si(T,Pi)−si(T,P◦)+si(T,P

◦)]

gi,T = h◦

i (T)−Ts◦i (T)

︸ ︷︷ ︸

g◦i (T)

−T

[Z T

Tre f

cpdTT−Ruln

(Pi

P◦

)]

mas T = ctee entao:

gi(T) = g◦i (T) + TRuln

(PiP◦

)

↓ ↓g da especie ”i”

a P = P◦, T ∀

g da especie ”i”a Pi e T ∀

(57)

Analogamente a entalpia absoluta:

g◦i,T = (g

◦f ,i)Tre f +[g

◦i (T)−g

◦i (Tre f)] (58)

Elementos, estado padrao, natural: g◦f ,i = 0

- Energia de Gibbs da mistura

Gmist = ∑Nigi,T = ∑Ni

[

g◦i,T +RuT ln

(Pi

P◦

)]

(59)

condicao de equilıbrio para dada P e T:

dGmist = 0 (60)

ou

∑dNi

[

g◦i,T +RuT ln

(Pi

P◦

)]

︸ ︷︷ ︸

A

+∑Nid

[

g◦i,T +RuT ln

(Pi

P◦

)]

︸ ︷︷ ︸

B

= 0 (61)

B = 0 pois d(lnPi) = dPi/Pi mas ∑dPi = 0, entao:

dGmist = 0 = ∑dNi

[

g◦i,T +RuT ln

(Pi

P◦

)]

(62)

14

Para um sistema geral:

aA+bB+ · · · ⇔+eE+ f F + . . . (63)

A alteracao no numero de moles e proporcional ao coeficiente este-quiometrico:

dNA = −kadNB = −kb...

...dNE = +kedNF = +k f

(64)

substituindo (64) em (62) tem-se:

−a

[

g◦A,T +RuT ln

(PA

P◦

)]

−b

[

g◦B,T +RuT ln

(PB

P◦

)]

− . . .

+e

[

g◦E,T +RuT ln

(PE

P◦

)]

+ f

[

g◦F,T +RuT ln

(PF

P◦

)]

+ · · ·= 0 (65)

re-agrupando tem-se:

−(

eg◦E,T + f g

◦F,T + · · ·−ag

◦A,T−bg

◦B,T− . . .

)

︸ ︷︷ ︸

A

= RuT ln(PE/P

◦)e(PF/P

◦) f .etc.

(PA/P◦)a(PB/P◦)b.etc.︸ ︷︷ ︸

B(66)

A⇒ variacao da energia de Gibbs padrao (∆G◦T)

∆G◦T ≡

(

eg◦E,T + f g

◦F,T + · · ·−ag

◦A,T−bg

◦B,T− . . .

)

(67)

para T = Tre f : veja eq. (58)

∆G◦T =

(

eg◦f ,E + f g

◦f ,F + · · ·−ag

◦f ,A−bg

◦f ,B− . . .

)

Tre f=T(68)

B⇒ constante de equilıbrio (Kp)

Kp≡ (PE/P◦)e.(PF/P

◦) f .etc.

(PA/P◦)a.(PB/P◦)b.etc.(69)

Assim, o estado de Equilıbrio Quımico, para uma dadaPe T fica definidopor:

∆G◦T =−RuT ln(Kp) (70)

15

ou

Kp = exp(

−∆G◦T/RuT

)

Analise qualitativa de (27) e (28):

∆G◦T positivo⇒ ln(Kp) negativo⇒ Kp < 1⇒ favorece reagente

∆G◦T negativo⇒ ln(Kp) positivo⇒ Kp > 1⇒ favorece produtos

Ainda:

∆G◦T = ∆H

◦−T∆S◦

(71)

Kp = e−∆H◦/RuT .e∆S

◦/Ru

∆S> 0 (sempre)∆H < 0 (reacao exotermica)

}

Kp > 1⇒ Favorece Produtos

- Sistemas Complexos

[⇒] mais de uma reacao

ex. CO2⇔CO+ 12O2

O2⇔ 2O

• O→ sai da nova equacao de equilıbrio

• Balanco de Elementos:

No atomos de C

No atomos de O=

xCO+xCO2

xCO+2xCO2 +2xO2

• Conservacao de massa (moles):

xCO+xCO2 +xO2 +xO = 1

⇒ sistema de 4 eq’s e 4 incognitas

• Eq’s nao lineares

• Solucao metodo de Newton Generalizado

• Codigos: CHEMEIN IV, TURNS

16

- Equilıbrio Quımico

[ex:] Combustao propano(C3H8)/ar

• Sistema P, T constantes Hreag = Hprod

∆G◦i =−RuT ln(Kp)

• Produtos: CO2,CO, H2O, H2, H, OH, O2, O, NO, N2, N

• major/menor especies

• Tad (Φ≈ 1.05) rica

• Dissociacao em Φ = 1 (O2,CO,H2) comparar com ”combustao com-pleta”

• Nıveis de NO︸︷︷︸

formacao lenta

≫ combustao ”real”

APLICACOES

• Recuperadores, Regeneradores

• EGR: Exaust Gas Recirculation

3 CINETICA QUIMICA

3.1 Introducao

• Processos de combustao que nao atingem equilıbrio

• Formacao de poluentes

• Ignicao e extincao da chama

• Problema: Fluidomecanica↔ cinetica quımica

3.2 Reacao Global e Reacoes Elementares

Global:

1F +aOx⇒ bPr (72)

Taxa de consumo de combustıvel (exper.)

ddt

[XF ] =−kG(T)[Xf ]n[XOx]

m (73)

17

[ ]⇒ Kmol/m3

n, m⇒ ajuste da curva experimental

- Modelo ”Caixa Preta”

- E improvavel a moleculas de Ox colidirem simultaneamente com 1molecula de combustıvel, quebrar ligacoes e construir as novas queformam os produtos.

ex: global2H2+O2−→ 2H2O (74)

Reacoes elementares:

H2+O2 −→ HO2+H (75)

H +O2 −→ OH +O (76)

OH+H2 −→ H2O+H (77)

H +O2+M −→ HO2+M (78)

Especies intermediarias ou radicais:HO2, H, OH, O, (Eletrons desbalanceados)(127) × (75):

2H2+O2−→ 2H2O

- Quebra 4 lig.- Forma 4 lig.

H2+O2−→ HO2+H

- Quebra 1 lig.- Forma 1 lig.

HO2 ”ganha”de OH pois:

H2+O2−→ 2OH

- Quebra 2 lig.- Forma 2 lig.

H de eq.(75) reage com O2 eq.(76) e forma dois novos radicais OH e O,OH reage com H2 e forma o produto H2O

Descricao completa: Mais de 20 reacoes

18

3.3 Taxa de Reacao Elementar

- Reacoes Bimolecularesduas moleculas colidem, reagem e formam duas moleculas difer-entes.

A+B−→C+D (79)

A taxa na qual a reacao se processa e proporcional as concentracoes dosreagentes:

ddt

[A] = −kbimolec[A][B]

↓definido a partir da teoriadas colisoes moleculares[

m3Kmol−s

]

(80)

- Segunda Ordem Global:

[A]m.[B]n = [A]1[B]1

m+n = 2

- Teoria das colisoes moleculares

σ

2σ

∆t

v=velocidade

• Volume ”Raspado”:

vπ4(2σ)2∆t = vπσ2∆t

• Densidade de moleculas distribuidas randomicamente:n

Vtot

19

• Numero de colisoes experimentadas pela molecula livre:

Z≡ colisoestempo

=n

Vtot.vπσ2∆t

∆t=

nVtot

vπσ2 (81)

• Da teoria cinetica dos gases:

v =

(8kBTπmA

)1/2

(82)

(kB= constante de Boltzmann)

Frequencia de colisoes:

Zc =√

2( n

V

)

πσ2v (83)

• Para moleculas diferentes A e B

2σAB = σA +σB

Zc =√

2(nB

V

)

πσ2ABvA (84)

Colisoes de uma UNICAmolecula A com TODAS moleculas B.

N◦ total de colisoes por unidade de tempo e volume:eq. (143) × nA

V

ZAB

V=(nA

V

)(nB

V

)

πσ2AB

(v2

A +v2B

)1/2(85)

ZAB

V=(nA

V

)(nB

V

)

πσ2AB

(8kBT

πµ

)1/2

(14a)

µ=mAmB

mA+mB

para relacionar com eq. (253):

− ddt

[A] =

(N◦ de colisoes A e B

unidade tempo e vol.

)

(Prob. colisoes efetivas)

(KmolA

N◦ molecular de A

)

− ddt

[A] =

(ZAB

V

)

PN−1AV (86)

20

NAV=N◦ Avogrado

P = Probabilidade de colisoes efetivas

P =

{→ Energia de ativacao Ea

→ Steric factor p (fator geometrico da molecula)

entao (259) torna-se:

− ddt

[A] = PN+1AV σ2

AB

[8πkBT

µ

]1/2

exp

[

− Ea

RuT

]

[A][B] (87)

comparando-se (260) com (253):

k(T) = PNAVσ2AB

[8πkBT

µ

]1/2

exp

[

− Ea

RuT

]

(88)

Teoria das colisoes nao e suficiente para determinar Ea e PEntao, usa-se a expressao empırica de ARRHENIUS:

k(T) = Aexp

(

− Ea

RuT

)

(89)

A = Fator pre-exponencial

Ajuste com dados experimentais:

k(T) = ATbexp

(

− Ea

RuT

)

b

b

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

ln(k)

1/T

Ea

R

- Outras Reacoes Elementares

21

• UnimolecularA−→ B (90)

ouA−→ B+C (91)

ex:O2 −→ O+OH2 −→ H +H

}

Dissociacao

Taxas

- A alta pressao:ddt

[A] =−kuni[A] (92)

1a. ordem

- A baixa pressao:ddt

[A] =−k[A][M] (93)

• TermolecularA+B+M −→C+M (94)

3a. ordem

ex:H +H +M −→ H2+M

Recombinacao

M absorve a energia e evita a dissociacao de H2

3.4 Taxa de Reacao de Mecanismos Multi-Passos

- Sequencia de reacoes elementares

- Taxas de cada reacao

• Taxa de producao/destruicao de qualquer especie

22

H2+O2

kf1⇄kb1

HO2+H R1

H2+O2

kf2⇄kb2

OH+O R2

OH+H2

kf3⇄kb3

H2O+H R3

H +O2 +Mkf4⇄kb4

HO2+M R4

Producao lıquida de O2:

ddt

[O2] = kb1[HO2][H]+kb2[OH][O]

+kb4[HO2][M]

−kf 1[H2][O2]−kf 2[H][O2]

−kf 4[H][O2][M]

H:

ddt

[H] = kf 1[H2][O2]+kb2[OH][H]+

kf 3[OH][H2]+kb4[HO2][M]

−kb1[HO2][H]−kf 2[H][O2]

−kb3[H2O][H]−kf 4[H][O2][M]

Genericamente:

ddt

[Xi](t) = fi ([Xi](t), [X2](t), . . .[Xn](t))

condicao inicial[Xi](0) = [Xi]0

- Conservacao: Massa, Momentum, Energia.

- Equacao de estado

Sistema de Eq. Diferenciais Ordinarias de 1a OrdemStiff (Rıgido) devido as grandes diferencas nas escalas de tempo.

23

3.5 Notacao Compacta

Novamente com o sistema H2 - O2:

∀ reacao:

N

∑j=1

ν′jiXj ⇔

N

∑j=1

ν′′ji Xj i = 1,2, . . .L (95)

N : no de especies; L : no de reacoes elementaresj : O2, H2, H2O, HO2, O, H, OH, M, (252); i : R1, R2, R3, R4, (75)

ν′ji =

1 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 01 0 0 0 0 1 0 1

em reagentes

ν′′ji =

0 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 0 1

em produtos

Taxa da Reacao (qi):

qi = kf i

N

∏j=1

[Xj ]ν′ji −kbi

N

∏j=1

[Xj ]ν′′ji (96)

Taxa de Producao (ω j ) da especie j :

ωi =L

∑j=1

(ν′′ji −ν

′ji )qi j = 1,2, . . .N (97)

3.6 Relacao entre Taxas de Reacao e Constante de Equilıbrio

Taxas: imprecisao na medicao da cinetica quımica

Equilıbrio: confiavel

Reacao:

A+Bkj⇆kb

C+D (98)

24

Para especie A:

ddt

[A] =−kf [A][B]+kb[C][D] (99)

No equilıbrio, ddt [A] = 0 entao:

[C][D]

[A][B]=

kf (T)

kb(T)(100)

no capıtulo 2, definimos Kp:

Kp =(PC/P

◦)c(PD/P

◦)d . . .

(PA/P◦)a(PB/P◦)b . . .(101)

concentracao molar:

[Xi] = xiP/RuT = Pi/RuT (102)

Pode-se escrever Kp como:

Kp = Kc(RuT/P◦)c+d+···−a−b−... (103)

ou

Kp = Kc(RuT/P◦)∑ν′′−∑ν′ (104)

onde

Kc =[C]c[D]d . . .

[A]a[B]b . . .=

∏prod[Xi]ν′′i

∏reag[Xi]ν′i

(105)

e entao:

kf (T)

kb(T)≡ Kc(T)≡ [C][D]

[A][B](106)

Kc=constante de equilıbriobaseada na concentracao molar

Para reacao bimolecular

Kc = Kp = exp(

−∆G◦T/RuT

)

(107)

25

3.7 Aproximacao de Regime Permanente (Steady-State)

• Simplifica a analise do mecanismo

• Tipicamente usada para radicais

• Reacao de formacao do intermediario e lenta e a de destruicao erapida, de forma que sua taxa de variacao temporal e nula.Ex: Mecanismo de Zeldovich para NO

O+N2kf1→ NO+N (lenta)

N+O2kf2→ NO+O (rapida)

Producao lıquida de N:

d[N]

dt= kf 1[O][N2]−kf 2[N][O2] (108)

com a aproximacao de Steady-State:

d[N]

dt= 0 = kf 1[O][N2]−kf 2[N][O2] (109)

entao:

[N]ss=kf 1[O][N2]

kf 2[O2](110)

d[N]ss

dt=

ddt

(kf 1[O][N2]

kf 2[O2]

)

(111)

- REACOES UNIMOLECULARES-DEPENDENCIA DA PRESSAOConsidere o mecanismo:

A+Mke→ A∗+M (112)

A∗+Mkde→ A+M (113)

A∗kuni→ Produtos (114)

d[Produtos]

dt= kuni[A

∗] (115)

d[A∗]dt

= ke[A][M]−kde[A∗][M]−kuni[A

∗] (116)

Aplicando SS para o intermediario A∗:

d[A∗]dt

= 0 −→ [A∗]ss=ke[A][M]

kde[M]+kuni(117)

26

Substituindo (207) em (252)

d[Produtos]

dt=

kunike[A][M]

kde[M]+kuni=

ke[A][M]kdekuni

[M]+1(118)

Para uma reacao GLOBAL:

Akapp→ Produtos (119)

−d[A]

dt=

d[Produtos]

dt= kapp[A] (120)

Equacionando (143) e (208):

kapp =ke[M]

kdekuni

[M]+1(121)

- Dependencia da pressao:

P ↑, [M]︸︷︷︸[

Kmolm3

]

↑

entao a altas pressoes, o termo com [M] domina e no limite tem-se:

kapp(P→ ∞) =kekuni

kde︸ ︷︷ ︸

independiente de [M]

(122)

a baixas pressoeskde[M]

kuni≪ 1

ekapp(P→ 0) = ke[M]

︸ ︷︷ ︸

depende de [M]

(123)

27

3.8 Reacoes em Cadeia e de Ramificacao

Reacoes em cadeia: producao de um radical, que em outra reacao sub-sequente, produz outro radical ate uma reacao que recombina o rad-ical formando uma especie estavel.Mecanismo Hipotetico:Global:

A2+B2→ 2AB

Reacao iniciadora da cadeia:

A2+Mk1−→ A+A+M

Reacao propagadora da cadeia:

A+B2k2−→ AB+B

B+A2k3−→ AB+A

Reacao terminal da cadeia:

A+B︸ ︷︷ ︸

Recombinacao

+Mk4−→ AB

︸︷︷︸

especie estavel

+M

=⇒d[A2]

dt;

d[B2]

dt;

d[AB]

dtSteady-state para A e B −→ Analise de sensibilidade

3.9 Sistema H2−O2

• Propulsao de foguetes

• Subsistema na combustao de hidrocarbonetosIniciadoras

H2+M → H +H +M (H.1)H2+O2 → HO2+H (H.2)

PropagacaoO,H,OH

H +O2 −→ O+OH (H.3)O+H2 −→ H +OH (H.4)H2+OH −→ H2O+H (H.5)O+H2O −→ OH +OH (H.6)

28

Terminais

H +H +M −→ H2+M (H.7)O+O+M −→ O2+M (H.8)H +O+M −→ OH +M (H.9)H +OH+M −→ H2O+M (H.10)

PropagacaoHO2,H2O2

H +O2 +M −→ HO2+M (H.11)HO2 +H −→ OH+OH (H.12)HO2 +H −→ H2O+O (H.13)HO2 +O −→ O2+OH (H.14)HO2 +HO2 −→ H2O2+M2 (H.15)HO2 +H2 −→ H2O2+H (H.16)H2O2 +OH −→ H2O+HO2 (H.17)H2O2 +H −→ H2O+OH (H.18)H2O2 +H −→ HO2+H2 (H.19)H2O2 +M −→ OH+OH +M (H.20)

Dependendo de P e T as reacoes reversas sao tambem importantes.→ 40 reacoes; ESPECIES: H2, O2, H2O, OH, O, H, HO2, H2O2.

- LIMITES DE EXPLOSAOpara T = 500◦, por exemplo,

ate P≈ 1.5mmHg

NAO EXPLODE

{

Predominam reacoes de parede:

radicalkwall−→Absorcao

1.5 < P < 50mmHg

EXPLODE

{H.3-H.4 prevalecem em relacao a reacao de parede

(Tab 4.4)P ↑, [radical] ↑ linear, d[A2]dt ↑ geometrica

p > 50mmHg

NAO EXPLODE

competicao entreRAMIFICACAO H.3 e TERMINAL H.11HO2 e ”estavel”→ destruicao na parede

29

P > 3000mmHg{H.16 abre a cadeia de H2O2

Conclusao: Mecanismo detalhado ajuda explicar observacoes exper-imentais e formular modelos produtivos de combustao.

3.10 Sistema Metano

• Largamente estudado

• Contem sistemaCOe parte H2

• Fase gasosa→ aplicacoes industriais

- Mecanismos Simplificados para

• Baixa temperatura (< 800K)

• Alta temperatura (> 1500K)

- Mecanismo detalhado de FRENKLACH et al.

149 reacoes; 33 especies

144 reacoes reversas

- Simplificacoes sao feitas usando SS para alguns radicais

3.11 Formacao de NO

• ”Minor Specie” problematica→ poluicao

ROTAS(PATHS) :

-Mecanismo termico ou Zeldovich-Mecanismo Prompt ou Fenimore-Mecanismo N2O-Intermediario-Mecanismo Fuel

- NO-Termico (Zeldovich)

• dominante a altas T e larga faixa Φ

- NO-Fenimore (prompt)

• combustao rica Φ > 1.0

30

- N2O-Mecanismo

• Mistura extremamente pobre e baixa T

- Fuel NO

• Quando o combustıvel contem N

Mecanismo de Zeldovich (Termico)

O+N2 ⇔ NO+N N.1N+O2 ⇔ NO+O N.2

extended:N+OH⇔ NO+H N.3

• kf ’s, (kb’s) tabelados.

• O, O2, e OH aparecem tambem no mecanismo de oxidacao do com-bustıvel.

• Normalmente, as escalas de tempo das reacoes de oxidacao do com-bustıvel sao mais rapidas que as de NO. Assim, os mecanismos po-dem ser des-acoplados eO2,O,OH eN2 sao assumidos emEQUILIBRIO.

• Hipoteses:- N esta em REG. PERMANENTE

- [NO] << [NO]eq. Reacao reversa deN.1,N.2,N.3 sao desprezadas.Assim:

d[NO]

dt= 2kN.1, f [O]eq[N2]eq (124)

• Problemas e Conclusoes:- Hipotese Equilıbrio O, OH (Superequilıbrio O e OH)

- Alta Ea de N.1 (319.050kJ/kmol) (dependencia de T)

- Baixa T (< 1800K)→ insignificante- NO→ post-flame calculation (mais lento que o combustıvel)

Mecanismo Fenimore (Prompt)

• NOformado rapidamente na regiao da frente de chama (pre-misturada)

• Associado a combustao de hidrocarbonetos

31

• Radicais HC atacam N2:

CH +N2 ⇔ HCN+N N.4C+N2 ⇔ CN+N N.5

para Φ 6 1.2 segue:

HCN+O ⇔ NCO+H N.6NCO+H ⇔ NH +CO N.7NH +H ⇔ N+H2 N.8N+OH ⇔ NO+H N.9

para Φ > 1.2⇔ sequencias mais complexasMecanismo N2O-intermediario

Φ < 0.8, baixa T

O+N2 +M ⇔ N2O+M N.10H +N2O ⇔ NO+NH N.11O+N2O ⇔ NO+NO N.12

Importante em GT, pre-misturada e pobre

Fuel NO

• N vem do combustıvel (carvao 2%)

• N→ HCN em NH3→ prompt

4 FENOMENOS DE TRANSPORTEMOLECULAR

• Transferencia de Energia (Calor) e Massa.

4.1 Transferencia de Massa

Lei de Fick

• Sistema nao reativo composto de duas especies A e B.

• Fluxo de massa de A, caso 1-D:

m′′A = YA

(

m′′A + m

′′B

)

− ρDABdYAdx

↓ ↓ ↓Fluxo massicode A (kg/m2s)

Fluxo massicode A devido ao escoamentoda mistura (kg/m2s)

Fluxo massicode A devido a difusaomolecular (kg/m2s)

(125)

32

Fluxo massico:m′′A = mA/A (126)

Coeficiente de difusao binario: DAB [m2/s]

YA(m′′A + m

′′B) = YAm

′′ ≡ Fluxo ”BULK” de A

−ρDABdYA

dx≡ Fluxo difusivo de A; m′′A,di f .

Dependencia do gradiente deYA

Sinal negativo (fluxo positivono sentido do gradiente negativo)

ainda:m′′

= m′′A + m

′′B

↓Fluxo massico

da mistura [kg/m2s]

(127)

Para caso 1-D; substituindo (125) em (127):

m′′=

(

YAm′′−ρDAB

dYA

dx

)

+

(

YBm′′−ρDBA

dYB

dx

)

m′′= (YA +YB)m

′′−ρDABdYA

dx−ρDBA

dYB

dx

mas da conservacao da massa: YA +YB = 1, entao:

−ρDABdYA

dx−ρDBA

dYB

dx= 0 (128)

∑m′′i,di f . = 0 (129)

m′′i,di f . ∝ dYi

dx → Difusao ordinaria

m′′i,di f . ∝ dT

dx → Difusao termica (Soret)

m′′i,di f . ∝ dP

dx → Difusao por pressao

33

4.2 Difusao, aspecto molecular

• Conceitos e expressoes oriundas da teoria cinetica dos gases- Moleculas nao interativas

- Mistura binaria

- Sem escoamento ”Bulk”

- 1-D

- Igual peso molecular

- Gradientes Suaves→ linear

+

+

+

+ + +

b

b

b

YA

YA(x+a)

YA(x)

YA(x−a)

x

v

x

y

x−a x x+a

λ

σ

a a

• Velocidade media das moleculas de A

v≡(

8k0TπmA

)1/2

(130)

• Frequencia de colisao por unid. de area

Z′′A =

14

(nA

V

)

v (131)

• Caminho livre medio:

λ =1√

2π(ntot

V

)σ2

(132)

34

• Distancia perpendicular media entre planos da ultima e proxima co-lisao:

a =23

λ (133)

O fluxo lıquido de A no plano x e dado pela diferenca no fluxo demoleculas de A nos sentidos positivo e negativo de x:

m′′A = m

′′A,(+)x− m

′′A,(−)x (134)

oum′′A = (Z

′′A)x−amA− (Z

′′A)x+amA (135)

(Z′′A)x−a: Numero de moleculas de A cruzando o plano x, vindas do plano

x−a, por unidade de tempo e area

Ainda: ρ≡ mtot

vtot,

Z′′AmA =

14

na.mA

mtot.ρv=

14YAρv (136)

Com a hipotese do gradiente linear:

dYA

dx=

YA,x+a−YA,x−a

2a=

YA,x+a−YA,x−a

4λ/3(137)

subst. (136) em (249):

m′′A =

14

ρv(YA,x−a−YA,x+a) (138)

(253) em (252):

m′′A =−ρ

vλ3

dYA

dx(139)

Comparando (207) com (125):

DAB =~vλ3

(140)

com as expressoes (130) a (133):

DAB =23

(k3

BTπ3mA

)1/2T

σ2P(141)

com PV = nkBT ou

35

(12b)

DAB ∝ T3/2P−1

para o fluxo massico:

(12c)

ρDAB ∝(

PT

)(

T3/2P−1)

∝ T1/2

em geral, a fraca dependencia de T, e desconsiderada e ρD = cte.- Comparacao com conducao

• Sistema analogo, para transporte molecular de energia

• Frequencia de colisoes de todas moleculas:

Z′′=

14

(ntot

V

)

v (142)

• Modo de armazenagem de energia:

Translacao→ Energia Cinetica

• Fluxo lıquido de energia (cinetica):

Q′′x = Z

′′(ke)x−a−Z

′′(ke)x+a (143)

energia cinetica da molecula:

ke =12

mv2 =32

kBT (144)

Fluxo lıquido de energia relacionada com T:

Q′′x =

32

kBZ′′(Tx−a−Tx+a) (145)

mas:dTdx

=Tx+a−Tx−a

2a(146)

Subst. (146) em (259) com (142) e (133):

Q′′x =−1

2kB

( nV

)

vλdTdx

(147)

36

Lei de Fourier:

Q′′x =−k

dTdx

(148)

Comprarando (262) com (261):

k =12

kb

( nV

)

vλ (149)

ou

k =

(k3

B

π3mσ4

)1/2

T1/2 (150)

entao:k ∝ T1/2 (151)

ρDAB ∝ T1/2

Para gases reais, a dependencia de T e maior.

4.3 Equacao (1D) da conservacao das especies

• Volume de controle 1D

• Fluxo Bulk e de difusao (ordinaria)

• Reacao quımica no V.C.

dmAdt

m′′′AV

[m′′AA]x

∆x

[m′′AA]x+∆x

- Balanco de massa da especie A:

dmA,VCdt = [m

′′AA]x − [m

′′AA]x+∆x + m

′′′AV

↓ ↓ ↓ ↓Taxa de variacaotemporal de Ano V.C.

Fluxo massicode A paradentro de V.C.

Fluxo massicode A para forade V.C.

Producao/Destruicaode A no V.C.

devido as reacoesquımicas

(152)

com as relacoes:

mA,VC = YAmVC = YAρVVC e VVC = A∆x

37

(152) pode ser reescrita como:

A∆x∂∂t

(ρYA) = A

[

YAm′′−ρDAB

∂YA

∂x

]

x−A

[

YAm′′−ρDAB

∂YA

∂x

]

x+∆x+ m

′′AA∆x

÷ por A∆x e fazendo lim∆x→0:

∂∂t

(ρYA) =− ∂∂x

[

YAm′′−ρDAB

∂YA

∂x

]

+ m′′′A (153)

para regime permanente:

m′′′A−

ddx

[

YAm′′−ρDAB

dYA

dx

]

= 0 (154)

5 ACOPLAMENTOTERMO-QUIMICODE SISTEMAS REATIVOS

• Termodinamica

• Cinetica Quımica

• Equacoes de Conservacao 1DModelos simplificados de combustao→ T, xi , P

5.1 Reator de massa fixa e pressao constante

GAS

Hipotese: Mesma taxa de reacao em todos os pontos; nao ha gradientes(T ,Yi , ρ, P), um conjunto T,Yi descreve o sistema

1a lei:

Q−W = mdudt

(155)

ou, com h≡ u+ pv; p = cte

dhdt

=dudt

+ pdvdt

(156)

38

asumindo unica forma de trabalho

w = pdvdt

(157)

substituindo (156) e (271) em (269):

Qm

=dhdt

(158)

para a entalpia da mistura tem-se:

h =Hm

=∑N

i=1Nihi

m(159)

diferenciando (159) tem-se:

dhdt

=1m

[

∑i

(

hidNi

dt

)

+∑i

(

Nidhi

dt

)]

(160)

para gas ideal hi = hi(T) entao:

dhi

dt=

∂hi

∂TdTdt

= cp,idTdt

(161)

para o termo dNidt tem-se:

Ni = V[Xi] (162)

dNi

dt≡ Vωi (163)

ωi → vem da cinetica quımica

Subs. (163) e (161) em (274) e entao em (272):

dTdt

=(Q/V)−∑i(hiωi)

∑i([Xi]cp,i)(164)

onde:

hi = h◦

f ,i +Z T

Tre f

cp,idT (165)

V =m

∑([Xi]Wi)←→ cons. de massa e def. de Xi (166)

39

ainda:ddt

[Xi] =ddt

(Ni/V) =1V

dNi

dt︸ ︷︷ ︸

ωi

−Ni1

V2

dVdt

(167)

entao:

ddt

[Xi] = ωi − [Xi]1V

dVdt

(168)

de eq. gas ideal:

PV = ∑i

NiRuT (169)

entao:

1V

dVdt

=1

∑i Ni∑ dNi

dt+

1T

dTdt

(170)

Subst. (163) em (170) e entao em (168):

ddt

[Xi] = wi− [Xi]

[∑ wi

∑ j [Xj ]+

1T

dTdt

]

(171)

Sistema: (164), (171) com (165) e (166)condicoes iniciais: T(t = 0) = T0

[Xi]t=0 = [Xi]0

5.2 Reator massa fixa, volume constante

GAS

hipotese:

• Homogeneo (idem 5.1)

• diferenca: W = 0 poisV = cte

1a Lei:dudt

=Qm

(172)

40

Analogamente a (269) obtem-se:

dTdt

=Q/V−∑i(uiwi)

∑i [Xi]cv,i(173)

para gases ideais: ui = hi−RuT e cv,i = cp,i−Ru entao:

dTdt

=Q/V +RuT ∑i wi−∑i(hiwi)

∑i [[Xi](cp,i−Ru)](174)

Taxa de crescimento da pressao:

PV = ∑i

NiRuT (175)

VdPdt

= RuTddt ∑i

Ni +Ru∑i

NidTdt

(176)

com definicoes de [Xi] e wi , (175) e (176) formam-se:

P = ∑i[Xi]RuT (177)

dPdt

= RuT ∑i

wi +Ru∑i[Xi]

dTdt

(178)

Sistema: (174), (178)

+

{ddt [Xi] = wi

h → eq.(165)

5.3 Reator perfeitamente Misturado (PSR)

YiTPV

mYi,inhi,in

mYi,out

hi,out

Hipotese:

• Homogeneo- Para Especie i:

dmi,VCdt = m

′′′i V + mi,in − mi,out

↓Geracao/Destruicao

(179)

41

- Continuidade:

dmVC

dt= min− mout (180)

Geracao/Destruicao:

m′′′i = wiWi (181)

Ignorando fluxo difusivo, o fluxo mi e:

mi = mYi (182)

Subst. (182), (181) em (179) para SS:

wiWiV + m(Yi,in−Yi,out) = 0 (183)

Yi,out e a propria fracao massica no reator, (homogeneo) entao:

wi = f ([Xi]out,T) (184)

Balanco de energia: SS

Q = m(hout−hin) (185)

Q = m

(

∑i

Yi,outhi(Tout)−∑i

Yi,inhi(Tin)

)

(186)

tempo de residencia:

tR = ρV/m (187)

e

ρ =PWmist

RuT(188)

Sistema:

N eq’s (183), (184), (185), (188)Incognitas: N Yi ’s, T, PDados: tR, V ou m, Yi,in

• Nao tem dependencia temporal (SS)

• Equacoes algebricas (nao ode)(usar Newton generalizado)

42

5.4 Plug-Flow Reactor (PFR)

escoamentoV.C.

Hipoteses:

1) Regime permanente

2) Nao ha mistura axial (nem molecular nem turbulenta)

3) Propriedades uniformes na direcao perpendicular ao escoamento,1D

4) Escoamento sem atrito

5) Gas ideal

- Continuidade:ddx

(ρVxA) = 0 (189)

- Momentum:

∆x

(PA)x

(ρV2x A)x

(PA)x+∆x

(ρV2x A)x+∆x

dpdx

+ρVxdVx

dx= 0 (190)

- Energia:

ddx

(h+V2x /2)+

Q′′Perimetro

m= 0 (191)

- Especie:dYi

dx− wiWi

ρVx= 0 (192)

aindah = h(T,Yi)

43

dhdx

= cpdTdx

+N

∑i=1

hidYi

dx

e

P =ρRuTWmist

apos ”algum”algebrismo:

dρdx

=

(

1− RucpMWmist

)

ρ2V2x

(1A

dAdx

)+ ρRu

VxcpMWmist∑N

i=1MWiωi

(

hi− MWmistMWi

cpT)

P(

1+V2

xcpT

)

−ρV2x

(193)

dTdx

=V2

x

ρcp

dρdx

+V2

x

cp

(1A

dAdx

)

− 1Vxρcp

N

∑i=1

hiωiMWi (194)

dYi

dx=

ωiMWi

ρVx(195)

dtRdx

=1Vx

(196)

Condicoes iniciais:

T(0) = T0

ρ(0) = ρ0

Yi(0) = Yi,0 i = 1, . . .NtR(0) = 0

6 EQUACOES DE CONSERVACAO SIMPLIFICADAS

- Sistemas reativos→Modelagem fısico-matematica para analise de chamas

6.1 Conservacao da Massa (continuidade)

- 1D

dmVCdt

Area Amx

∆x

mx+∆x

44

dmVC

dt= mx− mx+∆x (197)

mVC = ρVVC

VVC = A∆xm = ρVxA

d(ρA∆x)

dt= [ρVxA]x− [ρVxA]x+∆x (198)

÷ A∆x e lim∆x→0:∂ρ∂t

=−∂(ρVx)

∂x(199)

Regime permanente:

d(ρVx)

dx= 0 (200)

ou

ρVx = cte (201)

generalizando:

∂ρ∂t

+∇.(ρ~V) = 0 (202)

6.2 Conservacao da Especie

Hipoteses:

- So difusao ordinaria

- Mistura binaria

- Regime permanente

ddx (m′′YA) − d

dx

(

ρDABdYAdx

)

= m′′′A↓ ↓ ↓

Fluxo massico de Adevido a adveccao

por unidade de volume

(kg/s−m3)

Fluxo massico de Adevido a difusao molecular

por unidade de volume(kg/s−m3)

Taxa de producao lıquidade A devido as reacoes quımicaspor unidade de volume

(kg/s−m3)

(203)

ou

45

dm′′idx

= m′′′i (204)

Generalizando:

∂(ρYi)dt + ∇ · m′′i = m′′′i

↓Fluxo liquido de ”i”

por difusao e por conveccao

por unidade de volume

(205)

m′′i ≡ ρYivi

↓velocidade da especie:Difusao ordinaria,

(206)

m′′ = ∑i

m′′i = ∑i

ρYivi (207)

mas m′′ ≡ ρV onde V → Velocidade da misturaentao:

V = ∑Yivi (208)

Velocidade de difusao:

vdi f f = vi − V↓ ↓

Especie Mistura

entao:

m′′i,di f f ≡ ρYi(vi−V) (209)

e como

m′′i = m′′Yi + m′′i,di f f↓ ↓Bulk Difusao

(210)

entao:

ρYivi = ρVYi +ρYi(vi−V) (211)

Para difusao ordinaria com a Lei de Fick, o fluxo da especie ”A”e:

m′′A = m′′YA−ρDAB∇YA (212)

veja (249)

- Aplicar (205) para sistema esferico, sistema com simetria axial

46

6.3 Conservacao de Momentum

- Regime permanente

∑~F = m~Vout− m~Vin (213)

sistema 1D, negligenciando forcas viscosas e gravit.

PA|x

∆x

PA|x+∆x

entao (213) torna-se:

PA|x− PA|x+∆x = mvx+∆x− mvx (214)

÷ A∆x lim∆x→0:

−dPdx

= m′′dvx

dx(215)

mas m′′ = ρvx entao:

−dPdx

= ρvxdvx

dx(216)

Eq. de Euler 1D

Para variacao de energia cinetica desprezıvel:

d(v2x/2)

dx≈ 0 =⇒ vx

dvx

dx≈ 0

entao (216) torna-se:dPdx

= cte (217)

ou

P = cte (218)

2D, ∆z= 1, direcao X:

47

b

τxx|x ∆y (1)

P|x ∆y (1)

τxx|x+∆x ∆y (1)

P|∆x+x ∆y (1)

ρ∆x∆y gx(1)

∆y

∆x

τxy∣∣y ∆x (1)

τyx∣∣y+∆y ∆x (1)

y

x

Balanco de Forcas

[ρVx∆y(1)Vx]x [ρVx∆y(1)Vx]x+∆x

[ρVy∆x(1)Vx]y

[ρVy∆x(1)Vx]y+∆y

∆y

∆x

Fluxo de Momentum

aplicando (213):

(τxx|x+∆x− τxx|x)∆y(1)+(τyx|y+∆y− τyx|y

)∆x(1)

+(P|x−P|x+∆x)∆y(1)+ρgx∆x∆y(1) =(ρVxVx|x+∆x−ρVxVx|x)∆y(1)+(ρVyVx|y+∆y−ρVyVx|y

)∆x(1)

(219)

÷ ∆x∆y e fazendo lim∆x→0, lim∆y→0:

∂(ρVxVx)

∂x+

∂(ρVyVx)

∂y︸ ︷︷ ︸

Momentum

=∂τxx

∂x+

∂τyx

∂y− ∂P

∂x︸ ︷︷ ︸

Forcas

+ρgx (220)

Para componente y (Analogo):

∂(ρVxVy)

∂x+

∂(ρVyVy)

∂y=

∂τxy

∂x+

∂τyy

∂y− ∂P

∂y+ρgy (221)

Para geometria cilındrica com simetria axial:componente axial (x)

∂∂x

(ρrVxVx)+∂∂r

(ρrVxVr) =∂∂r

(rτrx)+ r∂τxx

∂x− r

∂P∂x

+ρrgx (222)

componente radial (r)

∂∂x

(ρrVrVx)+∂∂r

(ρrVrVr) =∂∂r

(rτrr )+ r∂τrx

∂x− r

∂P∂r

(223)

48

Fluidos Newtonianos:

τxx = µ[

2∂Vx∂x −

23(∇.~V)

]

τrr = µ[

2∂Vr∂r −

23(∇.~V)

]

τrx = µ[

2∂Vx∂r + ∂Vr

∂x

](224)

onde:

(∇ ·~V) =1r

∂∂r

(rVr)+∂Vx

∂xJatos livres:

→ Similaridade com C.L. fluido/solido

• Largura << Comprimento

• ∂()∂r ≫

∂()∂x

• Vx≫Vr

Aplicando nos termos das Eq’s de momentum:

∂∂r

(rτrx)≫ r∂τxx

∂xe

τrx = µ∂Vx

∂rpois

∂Vx

∂r≫ ∂Vr

∂xentao, componente axial:

∂∂x

(ρrVxVx)+∂∂r

(ρrVxVr) =∂∂r

(

rµ∂Vx

∂r

)

− r∂P∂x

+ρrgx (225)

Por analise de ordem de grandeza para direcao radial conclui-se:

∂P∂r≈ 0 (226)

Para um plano em x, a pressao e praticamente constante.entao:

xρ∞

y

gx

P(x) P∞

49

∂P∂x ≈ ∂P∞

∂x = −ρ∞gx

↓Fluido em reposo

(227)

entao (225) torna-se:

1r

∂∂x(rρVxVx) + 1

r∂∂r (rρVxVr) = 1

r∂∂r

(

rµ∂Vx∂r

)

+ (ρ∞−ρ)g

↓ ↓ ↓ ↓Fluxo de momentum axialpor adveccao axial

Fluxo de momentum axialpor adveccao radial Forca Viscosa

Forca deempuxo

(228)

Vx→ (228)Vr → Continuidade (202)ρ→ Gas ideal3 incognitas, 3 eq’s

6.4 Conservacao de Energia

1a Lei: Reg. permanente

(Q′′x− Q′′x+∆x

)A−WVC = m′′A

[(

h+V2

x

2+gz

)

x+∆x−(

h+V2

x

2+gz

)

x

]

(229)

∆x

[

m′′A(

h+ V2x

2 +gz)]

x[Q′′xA

]

x

[Q′′xA

]

x+∆x

[

m′′A(

h+ V2x

2 +gz)]

x+∆x

WV.C.

Para V.C. onde nao haja trabalho ”tecnic” WVC = 0, desprezando ∆epot:÷ A e fazendo lim∆x→0, (229) torna-se:

−dQ′′xdx

= m′′(

dhdx

+VxdVx

dx

)

(230)

Fluxo de calor

- Sem Radiacao

- Lei de Fourier - conducao

50

Q′′ = −k∇T + ∑m′′i,di f f hi

↓ ↓ ↓Vetor fluxode calor Conducao

Fluxo devidoa difusao de ”i”

(231)

mas (209)m′′i,di f f ≡ ρYi(vi−V)

aindam′′i = ρvixYi , ρVx = m′′, h = ∑Yihi

subst. em (231) e entao em (230):

ddx

(

∑him′′i

)+

ddx

(

−kdTdx

)

+ m′′VxdVx

dx= 0 (232)

ddx

(

∑him′′i

)= ∑m′′i

dhi

dx+∑hi

dm′′idx

dm′′idx

= m′′′i −→ (204)

entao a equacao da energia 1D torna-se:

∑m′′idhi

dx+

ddx

(

−kdTdx

)

+ m′′VxdVx

dx=−∑him

′′′i (233)

Formalismo de Shvab-ZeldovichReescrevendo (231)

Q′′ =−k∇T +∑m′′i,di f f hi

usando Lei de Fick:

Q′′ =−kdTdx−∑ρD

dYi

dxhi

Para mistura caracterizada por um unico D:

Q′′x =−kdTdx−ρD∑hi

dYi

dx(234)

ainda: com a regra da derivada do produto;

Q′′x =−kdTdx−ρD

d∑hiYi

dx+ρD∑Yi

dhi

dx(235)

usando h≡ ∑hiYi e dh= cpdT tem-se:

51

∑Yidhidx = ∑Yicp,i

dTdx = cp

dTdx

↓Mistura

entao:

Q′′x =−kdTdx−ρD

dhdx

+ρDcpdTdx

(236)

mas difusividade termica α≡ kρcp, entao:

Q′′x = −ραcpdTdx − ρDdh

dx + ρDcpdTdx

↓ ↓ ↓fluxo de

entalpia sensıveldevido a conducao

Fluxo deentalpia absolutadevido a difusaodas especies

fluxo de entalpiasensıvel devido adifusao das especies

(237)

Numero de Lewis

Le≡ αD

= 1

Conducao︷ ︸︸ ︷

Fluxo de entalpia sensıvel

Fluxo de entalpia sensıvel︸ ︷︷ ︸

Difusao

Para a maioria dos sistemas de combustao

Le=αD

= 1 (238)

entao (237) torna-se:

Q′′x =−ρDdhdx

(239)

Substituindo na eq. (230) torna-se:

ddx

(

ρDdhdx

)

= m′′dhdx

+ m′′VxdVx

dx(240)

usando

h = ∑Yih◦f ,i +

Z T

Tre f

cpdT

tem-se:

52

ddx

[

ρD∑h◦f ,i

dYidx +ρDd

R

cpdTdx

]

= m′′∑h◦f ,i

dYidx + m′′ d

R

cpdTdx + m′′Vx

dVxdx

A B(241)

Usando Lei de Fick e conservacao da Especie eq.(204)para os termos A e B

− ddx

[

∑h◦f ,i

(

m′′Yi−ρDdYi

dx

)]

=− ddx

[

∑h◦f ,im′′i

]

=−∑h◦f ,im′′′ (242)

rearranjando:

m′′d

R

cpdT

dx− d

dx

[

ρDd

R

cpdT

dx

]

+ m′′VxdVx

dx=−∑h

◦f ,im′′′i

desprezando o termo da energia cinetica m′′VxdVxdx = 0

m′′ dR

cpdTdx − d

dx

[

ρDdR

cpdTdx

]

= −∑h◦f ,im′′′i

↓ ↓ ↓Taxa de transportede entalpia sensıvel

devido a CONVECCAO,por unidade de volume

Taxa de transportede entalpia sensıvel

devido a DIFUSAO,por unidade de volume

Taxa de producaode entalpia sensıveldevido as reacoesquımicas

EQ. DE ENERGIA DE SHVAB-ZELDOVICH

Generalizando:

∇.

[

m′′Z

cpdT−ρD∇(

Z

cpdT

)]

=−∑h◦f ,im′′′

Hipoteses adicional: cp, ρ, D constantes

7 Chamas pre-misturadas laminares

7.1 Introducao

• Reagente e oxidante ja misturados

• Aplicacoes: fogoes, bico de bunsen, industria de vidro, turbina degas

• Estudo - pre-requisito para chamas turbulentas

Velocidade da chamaEspessura da chama

}P,T,

φF

53

7.2 Descricao fısica

chama:

Propagacao, em velocidadesub-sonica, auto-sustentavelde uma regiao de combustaolocalizada

Localizada × reator homogeneoSub-sonica × super-sonica

↓ onda ↓Deflagracao Detonacao

Velocidade da chama

Reagentes

SL

Frente de chama

Reagentes

vu

SL

Frente de chama

tipicamente:

Temperatura

Reagentes

Zonapre-aquecimento

Zonade reacao

No tubo: Observador ”montado”na frente de chama (que separa queimadode nao-queimado) ve a mistura nao-queimada se aproximar com avelocidade SL

No queimador plano: A frente de chama e estavel pois a velocidade dachama (SL) e igual e oposta a da mistura nao-queimada (vu)

54

Pela continuidade:ρuSLA≡ ρuvuA = ρbvbA (243)

ρu→ Unburnedρb→ Burned

chama tıpica: Bico de Bunsen

arFuel

Cone externo(Difusao)

Cone interno(Pre-misturada)

SL

Cone internovu

vu

vu,n vu,t

αα

cone interno: mistura ricacone externo: CO+Arpara a chama estabilizar:

SL = vusinα (244)

Forma e determinada pelo perfil de vu e transf. de calor para o tubo.

7.3 Analise Simplificada

Objetivo: Expressao analıtica simples para velocidade laminar SL

Hipoteses:

1. Fluxo 1D, area constante, Regime permanente.

2. ∆Ec, ∆Ep,Wτ, qRAD= 0

3. P = ctena frente de chama

4. difusao da calor (Fourier) e massa (Fick binaria)

5.

Le≡αD

=k

ρcpD= 1

55

6. cp,mist = cte

7. 1 Reacao global: F +Ox→ Produtos

8. φ≤ 1 (esteq. ou pobre)(Todo F e consumido na frente de chama)

→V.C.

V.C.

m

∆x

T(x)

xx =−∞ x = +∞

• Conservacao da massa:d(ρvx)

dx= 0 (245)

ou

m′′ = ρvx = cte (246)

• Conservacao das especies:

dm′′i

dx= m

′′′i (247)

com a lei de Fick:d[

m′′Yi−ρDdyidx

]

dx= m

′′′i (248)

para a reacao:

1 kg f uel+ ν kg oxidizer−→ (ν+1) kg prod.

entao:

m′′′F =

1ν

m′′′Ox

=− 1ν+1

m′′′Pr (249)

Aplicando (248) para combustıvel, oxidante e prod.

56

• Combustıvel:

m′′dYF

dx−

d(

ρDdYFdx

)

dx= m

′′′F (250)

• Oxidante:

m′′dYOx

dx−

d(

ρDdYOxdx

)

dx= νm

′′′F (251)

• Produtos:

m′′dYPr

dx−

d

(

ρDdYPr

dx

)

dx=−(ν+1)m

′′′F

Conservacao da energia

Utilizando a eq. da energia de Zeldovich

m′′d

R

cpdT

dx+

ddx

[

−ρDd

R

cpdT

dx

]

=−∑h◦f ,im

′′′i

para cp,mist = cte:

m′′cpdTdx− d

dx

[

(ρDcp)dTdx

]

=−∑h◦f ,im

′′′i (252)

onde:−∑h

◦f ,im

′′′i =−

[

h◦f ,Fm

′′′F +h

◦f ,Oxνm

′′′F −h

◦f ,Pr(ν+1)m

′′′F

]

ou−∑h

◦f ,im

′′′i =−m

′′′F∆hc =−m

′′′F

(

h◦f ,F +h

◦f ,Oxν−h

◦f ,Pr(ν+1)

)

mas como Le = kρcpD = 1 (252) torna-se:

m′′dTdx− 1

cp

d(kdT

dx

)

dx=−m

′′′F∆hc

cp(253)

em′′ = ρuSL

Solucao:

• Supor um perfil de T e aplicar em (8b)

57

• Condicoes de contorno

T(x→−∞) = Tu (254)

dTdx

(x→−∞) = 0 (255)

T(x→+∞) = Tb (256)

dTdx

(x→+∞) = 0 (257)

T(x)

δ

{T = TbdTdx = 0

T = TudTdx = 0

}

xx =−∞ x = +∞

autovaloresm′′eδ

Integrando (253) de x =−∞ ate x = +∞:

m′′ T|TbTu− k

cp

dTdx

∣∣∣∣

dTdx =0

dTdx =0

=−∆hc

cp

Z +∞

−∞m′′′Fdx (258)

entao:

m′′(Tb−Tu) =−∆hc

cp

Z +∞

−∞m′′′Fdx (259)

mas m′′′F so e nao nulo entre Tu e Tb na regiao δ, entao:

dTdx

=Tb−Tu

δou dx=

δTb−Tu

dT (260)

substituindo em (259):

m′′(Tb−Tu) =−∆hc

cp

δ(Tb−Tu)

Z Tb

Tu

m′′′FdT (261)

definindo

m′′′F ≡

1(Tb−Tu)

Z Tb

Tu

m′′′FdT (262)

entao (261) torna-se:

m′′(Tb−Tu) =−∆hc

cpδm

′′′F (263)

58

a outra equacao e obtida integrando-se (253) de x = −∞ ate x = δ/2; m′′′F e

nulo (assume-se) para −∞ < x≤ δ/2Notando que:

em x = δ/2

T =Tb+Tu

2(264)

e (260)dTdx

=Tb−Tu

δentao (258) torna-se:

m′′(

Tb +Tu

2−Tu

)

− kcp

(Tb−Tu

δ

)

= 0

m′′δ2− k

cp= 0 (265)

Resolvendo (263) e (265) simultaneamente:

m′′ =

[

2kc2

p

(−∆hc)

(Tb−Tu)m′′′F

]1/2

(266)

e

δ =2k

(cpm′′)(267)

Aplicando: SL ≡ m′′/ρu; α≡ k/ρucp

e∆hc = (ν+1)cp(Tb−Tu)

Velocidade:

SL =

[

−2α(ν+1)m′′′F

ρu

]1/2

(268)

Espessura:

δ =

[

−2ρuα

(nν+1)m′′′F

]1/2

(269)

ouδ = 2α/SL (270)

59

7.4 Fatores que influenciam SL

Temperatura, das Eq. (268) e (269)

α ∝ T1.75

P−1 α =k(T)

ρucp(T)

m′′′F

ρu∝ TuPn−1︸ ︷︷ ︸

ρu

T−nb exp

(−EA

RuTb

)

n : ordem da reacao globalT ≡ 0.5(Tb+Tu)combinando:

SL ∝ T0.875

T0.5u T−n/2

b exp

( −EA

2RuTb

)

P(n−2)/2 (271)

δ ∝ T0.875

T−0.5u Tn/2

b exp

(+EA

2RuTb

)

P−n/2 (272)

para hidrocarboneto n≈ 2.0, EA≈ 1.67·108

Caso A B CTu(K) 300 600 300Tb(K) 2000 2300 1700SL/SLA 1 2.89 0.43δ/δA 1 0.52 1.82

Pressao, da Eq. (272), para n≈ 2.0

SL ∝ P(n−2)/2≡ cte

Dados experimentais mostram, entretanto

P ∝ P−0.5

Razao de equivalencia

→ afeta, basicamente, Tb (ver Cap.2)SL, maximo em Φ levemente ricoδ, mınimo em Φ≈ 1.0

60

Tipo de combustıvel

EtilenoC2H4, acetilenoC2H2 > C3-C6 HC′sHidrogenio H2 >> outros

• Difusao termica e massica

• Cinetica H2muito mais rapida queCO→CO2

Correlacoes experimentais:

tipoParaCH4:

SL(cm/s) = 10+3.71·10−4 [Tu(K)]2 (273)

e outras

7.5 Extincao da chama (quenching)

→ Lampada de Sir Humphrey Davey→ Valvula corta-chamaA chama ao passar por um canal estreito se extingue ao inves de propagar- Analise

Qcond

d

δ

Frente dechama plana

- Balanco de energia para o V.C. que contem a frente de chama:

Q′′′V = Qcond (274)

A satisfacao de (274) e o limite para que a chama ainda se mantenha epor conseguinte se propague para dentro do canal

Q′′′ =−m′′′F∆hc (275)

Objetivo: determinar d que satisfaca (274)Calor de conducao:

Qcond =−kAdTdx

∣∣∣∣parede

(276)

61

Area: A = 2δL (”L”perpendicular ao papel)

Gradiente de temperatura:

Assumindo distribuicao linear da parede (Tw) ate o centro (Tb):∣∣∣∣

dTdx

∣∣∣∣≡ Tb−Tw

d/2≡ Tb−Tw

d/b

correcao (b > 2)

entao (274) torna-se:

(

−m′′′F∆hc

)

(δdL) = k(2δL)Tb−Tw

d/b(277)

Assumindo Tw = Tu e usando (265)ainda ∆hc = (ν+1)cp(Tb−Tu)

d = 2√

bα/SL (278)

d =√

bδ (279)

7.6 Limites de flamabilidade

- Faixa de mistura comb/ar onde a propagacao da chama se mantem

Experimento: Tubo extremidades abertas φ = 50mm, l = 1.2mDevido a transf. de calor, e dependente do aparto exp.

Tu

Tmax

Tad

xδtabela (8.9)

7.7 Ignicao

→ Aplicacoes emMCI, TG, queimadores→ E mais simples (equip.) que chama piloto

62

Analise simplificada

• Considere amassa demistura contida numa esfera em torno do pontode ignicao

• Usando o criterio (ja usado para extincao) do balanco de calor geradoe transferido:

↑Q′′′

VQcond

0r

Rcrit

T

Tb

Q′′′V = Qcond (280)

−m′′′F∆hc4πR3

crit/3 =−k4πR2crit

dTdr

∣∣∣∣crit

(281)

• Se o raio da esfera que contem amistura for menor que Rcrit , A perdade calor impede a sustentacao da propagacao.

• Gradiente de temperatura no gas ”frio”

dTdr

∣∣∣∣Rcrit

=−(Tb−Tu)

Rcrit(282)

subst. (281) em (282):

R2crit =

3k(Tb−Tu)

−m′′′F∆hc

(283)

ainda com SL e δ:

Rcrit =√

6αSL

(284)

Rcrit =√

6δ2

(285)

- Energia mınima de ignicao Assume-se que o ignitor forneca a ener-gia necessaria para elevar a temperatura da mistura ate Tb

63

Eign = mcrit cp(Tb−Tu) (286)

onde

mcrit = ρb43

πR3crit (287)

entao:

Eign = 61.6ρbcp(Tb−Tu)

(αSL

)3

(288)

Para gas real:Rb = Ru/Wb

Eign = 61.6P

(cp

Rb

)(Tb−Tu

Tb

)(αSL

)3

(289)

Influencia da pressao: direta em (289) e indireta em α, SL (271)

Eign ∝ P−2

influencia da temperatura:

Tb, SL→ Eign

8 Estabilizacao

→ Evitar Flashback (Chama entra no tubo) e Liftoff (chama descola dotubo)→ Questao de seguranca contra explosao e operacao sem falhas→ Ambos os fenomenos sao relacionados com SL e vu na saıda do tubo

• Flashback

- Transiente devido a reducao ou corte da mistura

SL > vu

- Se φ > dquenchinga chama se propaga para dentro do tubo

- Controle: Tipo de combustıvel, φ, vu, geometria

• Liftoff

- Associado a T.C. junto a borda do tubo

- Como a chama ”colada”a borda da chama fica bem proxima daborda do tubo.

64

- Como aumento da velocidade (vu), o cone diminui

α = sin−1(

SL

vu

)

e a borda da chama se afasta da borda do tubo.

- Se a velocidade aumenta mais ainda, a chama ”pula”para umaposicao longe da borda do tubo. Esta velocidade e vli f to f f

- Para vu > vli f to f f a chama nao se mantem mais (blowout).

Liftoff e Blowout:

Efeitos de T.C. e radicais junto a borda do tubo.

SL

1. Chama estabilizada. Junto a parede:

vu≈ 0 e SL ≈ 0

devido a T.C. e radicais para a parede

2. vu ↑ (aumento do fluxo)SL ↑ devido a diminuicao de perda de calor e radicais para parede.Novo ponto estavel (proximo)

3. vu ↑ → diluicao com ar fresco passa a dominar(> Q ↓)→ a chama se ”estabiliza”longe do tubo

4. vu ↑ (> vli f to f f ) → em nenhum ponto do jato, ocorre aumento de SL

para satisfazervu≈ SL

e a chama apaga.

9 CHAMASDE DIFUSAO LAMINARES

aplicacoes:

• Cone externo bico-bunsen

• Fornos e fogoes domesticos (parcialmente pre-mistura)

• Problemas de emissoes deCOe NO

65

9.1 Analise jato laminar nao reativo

2R

xc

x = 0

x = x1

x = x2

0 1

x

vx,0/veouYF 0 R

1

r

0 r

1

0

1

r

vx/ve,YF

• Na reacao central (Potencial core) efeitos viscosos e de difusao sao”negligenciados”.Acima de xc os efeitos viscosos e difusivos se fazem notar em todo ojato.

• A medida que o jato avanca, ele arrasta ar do meio em repouso. Aquantidade de momentum se conserva:

Fluxo de momentum (J)no jato em qualquer

posicao x= Fluxo de momentum (Je)

na saıda do jato

Jx = Je

2πZ ∞

0ρ(r,x)v2

x(r,x)rdr = ρev2eπR2 (290)

Entao a velocidade decai a medida que o jato ”abre”.

• Massa emomentum sao transportados pelosmesmos processos conveccaoe difusao → similaridade nas distribuicoes de velocidade (vx(r,x)) ede combustıvel (YF(x, r)).No centro do jato (YF(0,R)

) e fora (YF = 0)⇒ alto gradiente → fick →difusao radialA massa de combustıvel se conserva:(o jato nao reage)

2πZ ∞

0ρ(r,x)vx(r,x)YF(r,x)rdr = ρeveπR2YF,e (291)

onde YF,e = 1.0

Problema: determinar vx e YF(r,x)

66

Hipoteses: 1.

ρ = cte

• iguais pesos moleculares• Gas ideal• P e T cte

2. Difusao molecular→ Lei de Fick3. Difusao de momentum e especies igual e const.

SC ≡νD

= 1

4. Difusao axial negligenciada (solucao so e valida apos certo afas-tamento da saıda)

Eq’s de conservacao → Simplificando as eq’s vistas no Cap. 7, para ρ =cte, Sc = 1

Conservacao de massa:∂vx

∂x+

1r

∂(vr r)∂r

= 0 (292)

Cons. momentum axial: (ρ = cte)

vx∂vx

∂x+vr

∂vx

∂r= ν

1r

∂∂r

(

r∂vx

∂r

)

(293)

Cons. especies: para o combustıvel

vx∂YF

∂x+vr

∂YF

∂r= D

1r

∂∂r

(

r∂YF

∂r

)

(294)

ainda:YOX = 1−YF (295)

Condicoes de contorno: incognitas: vx(r,x), vr(r,x) e YF(r,x)na linha de centro (simetria), r = 0

vr(0,x) = 0 (296)

∂vx

∂r(0,x) = 0 (297)

∂YF

∂r(0,x) = 0 (298)

67

fora do jato (r→ ∞)

vx(∞,x) = 0 (299)

YF(∞,x) = 0 (300)

na saıda do jato: (x = 0)

vx(r ≤R,0) = ve

vx(r > R,0) = 0(301)

YF(r ≤ R,0) = YF,e = 1YF(r > R,0) = 0

(302)

Solucao: Assumindo perfis similares (mesma forma) para a velocidade, adistribuicao e so funcao da variavel de similaridade r/x(ver Schlichting)

vx =38π

Je

µx

[

1+ξ2

4

]−2

(303)

vr =

(3Je

16πρe

)1/2 1x

ξ− ξ3

4(

1+ξ2

4

)2 (304)

Je = ρev2eπR2 (305)

ξ =

(3ρeJe

16π

)1/2 1µ

rx

(306)

µ→ viscosidade dinamica

substituindo:

vx/ve = 0.375

(ρeveR

µ

)( xR

)−1[

1+ξ2

4

]−2

(307)

na linha de centro:

vx,0/ve = 0.375

(ρeveR

µ

)

︸ ︷︷ ︸

Rej≡ ρeveRµ

( xR

)−1(308)

Rej ↓ decaimento ↑- Taxa de abertura do jato (spreading rate)

68

0

0.5

1.0

r1/2 r

v x(r

)/v x

,0 x

α

r1/2

com (307) e (308):r1/2 = 2.97Re−1

j (309)

α≡ tan−1(r1/2/x) (310)

Rej ↑, α ↓- Campo de concentracoes:Se ν = D (Sc = 1) a forma da curva e a mesma

YF =38π

QF

Dx

[

1+ξ2

4

]−2

(311)

QF = veπR2

para Sc = 1

YF = 0.375Rej

( xR

)−1[

1+ξ2

4

]−2

(312)

na linha de centro:YF,0 = 0.375Rej(

xR

)−1 (313)

veja que x!6= 0

( xR

) ∼> 0.375Rej (314)

9.2. Descricao fısica de chama/jato

x

x = L fsuperfıcie dachama,

lugar geometricoΦ = 1

Φ > 1

Φ < 1

2Rx = 0

L f : Comprimento da chama

69

• Combustıvel difunde radialmente para fora, ar difunde radialmentepara dentro

• Superfıcie da chama: estreita regiao Φ = 1

• Regiao anular (ex. temperatura)

• Topo da chama: gases quentes → empuxo → Aceleracao do fluido→ estreitamento

• Hidrocarbonetos:

– Formacao de fuligem na base

– Oxidacao no topo

– Cor amarela

• Comprimento da chama: da analise de jato eq. (311) para YF = YST er = 0→ (ξ = 0)

L f ≈38π

Vazao de comb.︷ ︸︸ ︷

QF

DYF,ST

independe de ”R”

9.3. Analise Teorica Simplificada

Burke/Shumann (1928)→ Ropper (1977)

Hipoteses:

1. Fluxo laminar, Reg. permanente, simetria axial, ar ambiente em re-pouso

2. Especies: comb. (F), oxidante (Ox), produtos (Pr), (F) e (Ox) naocoexistem

YF Ox

rrsupchamaΦ=1

70

3. Na sup. da chamaΦ = 1, reacoes quımicas com velocidade ”infinita”

”Flame-Sheet Approximation”

Fora da ”folha”nao ha reacao

4. Transporte molecular→ Lei de Fick

5. Difusividades termicas e de especies iguais→ Le= αD = 1

6. Sem Radiacao

7. Difusao axial negligenciada

8. Chama vertical para cima (g ↓)

• Equacoes Basicas

Massa:1r

∂(rρvr)

∂r+

∂(ρvx)

∂x= 0 (315)

Momentum axial:

1r

∂∂x

(rρvxvx)+1r

∂∂r

(rρvxvr)−1r

∂∂r

(

rµ∂vx

∂r

)

= (ρ∞−ρ)g (316)

Especies: (da eq. 217) com m′′′i = 0 fora da chama

1r

∂∂x

(rρvxYi)+1r

∂∂r

(rρvrYi)−1r

∂∂r

(

rρD∂Yi

∂r

)

= 0 (317)

i : F dentro da chamai : Ox fora da chamaTodo o fenomeno da reacao esta embutido e tambem define o con-torno da chama (e da eq. 317) ainda

YPr = 1−YF −YOx (318)

Energia: Eq. de Shvab-Zeldovich com ∑h◦j ,im

′′′i = 0 eq. (43) cap. 7.4

∂∂x

(

rρvx

Z

cpdT

)

+∂∂r

(

rρvr

Z

cpdT

)

− ∂∂r

(

rρD∂

R

cpdT

∂r

)

= 0

(319)

71

→ Descontinuidade na superfıcie da chama→ A chama e a propria cond. de contornoainda

ρ =PMWmist

RuT(320)

MWmist =

(

∑ Yi

MWi

)−1

(321)

Resumo do modelo: 6 eq.’s, 6 incog. (vr , vx, T, YF ,YOx, P)

Cond. Contorno: Definidas na posicao da chama, que e desconhecida.Mais facil seria C.C. em r = 0,x e r = ∞,x

Modelo de escalar conservativo (Conserved Scalar Approach)

fracao da mistura (f)

f ≡ Massa de material cuja origem e o jatoMassa da mistura

(322)

f = 1.0

F

f = 0

1kgF+νkgOx→ (ν+1)kgPr (323)

f = YF +

(1

ν+1

)

YPr (324)

Eq. da conservacao da fracao de mistura

- f e carbono (C) ou Hidrogenio (H) presente no combustıvel- Amassa dos elementos (C ouH) se conserva durante as reacoes quımicastermo de fonte e nulopara a massa de combustıvel (YF )

m′′ dYF

dx− d

dx

(

ρDdYF

dx

)

= m′′′F (325)

Para os produtos (YPr)

72

m′′ dYPr

dx− d

dx

(

ρDdYPr

dx

)

= m′′′Pr (326)

÷ (ν+1)

m′′ ddx

(YPr

(ν+1)

)

− ddx

[

ρDddx

(YPr

(ν+1)

)]

=1

(ν+1)m′′′Pr (327)

da conservacao da massa:

m′′′Pr

(ν+1)=−m

′′′F (328)

Subst. em (327) e somando com (325):

m′′ ddx

(YF +YPr

(ν+1)

)

− ddx

(

ρDddx

(YF +YPr

(ν+1)

))

= 0 (329)

Eq. (329) nao tem termo de fonte.

Usando a definicao de f

m′′ d( f )

dx− d

dx(ρD

d fdx

) = 0 (330)

Entao, a fracao de mistura f e um escalar conservativo. Em coorde-nadas cilındricas:

∂∂x

(rρvx f )+∂∂r

(rρvr f )− ∂∂r

(

rρD∂ f∂r

)

= 0 (331)

- Nao ha descontinuidade na chama- Condicoes de contorno:

∂ f∂r

= 0 (simetria) (332)

f (∞,x) = 0 (so ar) (333)

f (r ≤ R,0) = 1f (r > R,0) = 0

}

(so comb.) (334)

Localizacao da chama (Φ = 1):

f (r,x) = fst (335)

73

Entalpia Absoluta

Da Eq da energia de Shvab-Zeldovich:

∂∂x

(rρvxh)+∂∂r

(rρvrh)− ∂∂r

(

rρD∂h∂r

)

= 0 (336)

Cond. de contorno:

∂h∂r

(0,x) = 0 (337)

h(∞,x) = hOx (338)

h(r ≤R,0) = hF

h(r > R,0) = hOx

}

(339)

Equacoes Adimensionais

x∗ ≡ x/Rr∗ ≡ r/Rv∗x ≡ vx/ve

v∗r ≡ vr/ve

h∗ ≡ h−hOx,∞hF,e−hOx,∞

Na saıda do bocal: h = hF,e⇒ h∗ = 1em r→ ∞ h = hOx,∞ ⇒ h∗ = 0ρ∗ ≡ ρ

ρe

Entao:continuidade:

∂∂x∗

(ρ∗v∗x)+1r∗

∂∂r∗

(r∗ρ∗v∗r ) = 0 (340)

Momentum axial:

∂∂x∗

(r∗ρ∗v∗xv∗x)+∂

∂r∗(r∗ρ∗v∗r v∗x)−

∂∂r∗

[(µ

ρeveR

)r∗ ∂v∗x∂r∗

]

=gRv2

e

(ρ∞

ρe−1

)

r∗

(341)Fracao de mistura

∂∂x∗

(r∗ρ∗v∗x f )+∂

∂r∗(r∗ρ∗v∗r f )− ∂

∂r∗

[(ρD

ρeveR

)

r∗∂ f ∗

∂r∗

]

= 0 (342)

74

Entalpia

∂∂x∗

(r∗ρ∗v∗xh)+∂

∂r∗(r∗ρ∗v∗r h)− ∂

∂r∗

[(ρD

ρeveR

)

r∗∂h∗

∂r∗

]

= 0 (343)

C.C. v∗r (0,x∗) = 0

∂v∗x∂r∗

(0,x∗) =∂ f∂r∗

(0,x∗) =∂h∗

∂r∗(0,x∗) = 0

v∗x(r∗ ≤ 1,0) = f (r∗ ≤ 1,0) = h∗(r∗ ≤ 1,0) = 1

v∗x(r∗ > 1,0) = f (r∗ > 1,0) = h∗(r∗ > 1,0) = 1

Hipotese adicional

- Empuxo negligenciado na eq. (341)ainda:Numero de Schmidt

Sc≡Difusividade Momentum

Difusividade Massa=

νD

=µ

ρD(344)

Assumindo Sc = 1 eq. (341) torna-se:

∂∂x∗

(r∗ρ∗v∗xζ)+∂

∂r∗(r∗ρ∗v∗r ζ)− ∂

∂r∗

(1Re

r∗∂ζ∂r∗

)

= 0 (345)

onde

ζ = v∗x = f = h∗ e Re=ρeveR

µ

Resolvendo (345→ ζ) e continuidade (340→ v∗r )o problema e resolvido- Relacoes de estadofalta ainda

ρ∗( f )↓

Gas Ideal

(T,Yi)

entao ρ = ρ( f )

no ”Flame Sheet Model”:- Dentro da chama ( fst < f ≤ 1)

75

YF =f − fst

1− fst(346)

YOx = 0 (347)

YPr =1− f1− fst

(348)

- Na chama ( f = fst)

YF = 0 (349)

YOx = 0 (350)

YPr = 1 (351)

- Fora da chama (0≤ f ≤ fst)

YF = 0 (352)

YOx = 1/ fst (353)

YPr = f/ fst (354)

onde

fst =1

(ν+1)(355)

ν= Coef. Massico da reacao Est.

Relacao T = T( f )

Assume-se:

1. cp,F = cp,Ox = cp,Pr ≡ cp

2. h◦f ,Ox = h

◦f ,Pr = 0

entao a equacao calorica:

h = ∑Yihi = YF∆hc +cp(T−Tre f ) (356)

∆hc≡ h◦f ,F +νh

◦f ,Ox− (ν+1)h

◦f ,Pr

Subst. (356) na definicao de h∗ (pg 105)

76

h∗ =YF∆hc +cp(T−TOx,∞)

∆hc +cp(TF,e−TOx,∞)≡ f (357)

Entao:

T = ( f −YF)∆hc

cp+ f (TF,e−TOx,∞)+TOx,∞ (358)

Com as expressoes paraYF nas tres regioes da chama, chega-se a:

• Dentro da chama

T = T( f ) = f

[

(TF,e−TOx,∞)− fst

1− fst

∆hc

cp

]

+TOx,∞ +fst

(1− fst)cp∆hc

(359)

• Na chama ( f = fst)

T = fst

(∆hc

cp+TF,e+TOx,∞

)

+TOx,∞ (360)

• Fora da Chama

T = f

(∆hc

cp+TF,e+TOx,∞

)

+TOx,∞ (361)

Resumo:

YF( f )YOx( f )YPr( f )

Eq’s da 35 a 40

T( f )→ Eq’s da 45 a 47

10 Combustao de Lıquidos

10.1 Aplicacoes:

• Motores diesel

• Caldeiras e fornos a oleo

• Turbinas a gas aeronauticas

• foguetes

77

10.2 Modelo Simplificado de Combustao de Gotas

Hipoteses 1. Chama esferica em torno da gota. Ar parado. Gotas naointeragem entre si.

2. Processo quase-estatico (a cada instante)

3. Combustıvel e lıquido unico, sem solubilidade com gases. Equilıbriode fases (lıquido/vapor ) na interface

4. Pressao uniforme e constante

5. Fase gasosa: vapor de combustıvel, oxidante e produtos. Zonainterna e zona externa.

6. Flame sheet model

7. Le= 1

8. Sem radiacao

9. Propriedades (k,cp,ρD) constantes

10. gota de combustıvel→ so fase lıquida do combustıvel

Objetivo: determinar a taxa de queima de gota (mF ) dados diametro ini-cial da gota e condicoes longe da gota (T∞,Yox)

• Conservacao da massa: Processo de queima (evaporacao) quaseestatico. Entao:

m= mF = ρvr4πr2 = cte (362)

e

d(ρvr r2)

dr= 0 (363)

• Conservacao das especiesRegiao interna (Combustıvel vapor)

m′′A = YA(m

′′A + m

′′B)

︸ ︷︷ ︸

Bulk Flow

−ρDAB∇YA︸ ︷︷ ︸

Difusao

(364)

m′′A≡ m

′′F = mF/4πr2 (365)

m′′B = m

′′Pr = 0 (veja hipotese 3) (366)

78

Produtos formam uma camada estatica atraves da qual o vapor decombustıvel flui.Entao em coordenadas esfericas:

m′′A = m

′′F =

mF

4πr2 = YFmF

4πr2 −ρDdYF

dre

mF =−4πr2 ρD(1−YF)

dYF

dr(367)

condicoes de contorno para (367):

• Na interface lıquido/vaporYF(rs) = YF,s(Ts) (368)

• Na chamaYF(r f ) = 0 (369)

definindo ZF ≡ 1/4πρD, a solucao de (367) e dada por:

YF(r) = 1+C1exp(−ZFmF /r) (370)

Aplicando a C.C. (368) determina-seC1.

YF(r) = 1− (1−YF,s)exp(−ZFmF /r)exp(−ZFmF /rs)

(371)

Aplicando a C.C. de contorno (369):

YF,s = 1− exp(−ZFmF /rs)

exp(−ZFmF /r f )(372)

Regiao externa (oxidante)- Oxidante e transportado radialmente para a chama, onde:

1kgF+νkgOx→ (ν+1)kgPr (373)

Flame Sheet

mF

mOx = νmF

mPr = (ν+1)mF

79

m′′A≡ m

′′Ox =−νm

′′F (374)

m′′B≡ mPr = +(ν+1)m

′′F (375)

Entao: (por 364)

mF = +4πr2 ρDν+YOx

dYOx

dr(376)

C.C.

YOx(r f ) = 0 (377)

YOx(r→ ∞) = YOx,∞ ≡ 1 (378)

integrando (376):

YOx(r) =−ν+C1exp(−ZFmF /r) (379)

aplicando C.C. (377):

YOx(r) = ν[

exp(−ZFmF /r)exp(−ZFmF /r f )

−1

]

(380)

aplicando C.C. (378):

exp(+ZFmF /r f ) = (ν+1)/ν (381)

ainda:

YPr(r) = 1−YOx(r) (382)

- Conservacao da energiaEquacao da energia de Zhvab-Zeldovich

+

r = rs

m

Qr

mhr

Qr+∆r

mhr+∆r

r r +∆r

80

1r2

ddr

[

r2(

ρvr

Z

cpdT−ρDddr

Z

cpdT

)]

=−∑h◦f ,im

′′′i

• Fora da chama m′′′i = 0

• Propriedades constantes

• Le= α/D = kg/ρcpgD = 1

pode-se escrever:

ddr

(

r2dTdr

)

=mFcpg

4πkg

dTdr

(383)

por conveniencia define-se:

ZT = cpg/4πkg

entao:

ddr

(

r2dTdr

)

= ZTmF

dTdr

(384)

Veja que para Le= 1→ ZF = ZT

C.C. de (384):

Regiao Interna=

{T(rs) = Ts

T(r f ) = Tf(385)

Regiao Externa=

{T(r f ) = Tf

T(r→ ∞) = T∞(386)

Solucao geral de (384)

T(r) =C1exp(−ZTmF /r)

ZTmF

+C2 (387)

Regiao interna (rs≤ r ≤ r f )Aplicando (385):

T(r) =(Ts−Tf )exp(−ZTmF /r)+Tf exp(−ZTmF /rs)−Tsexp(−ZTmF /r f )

exp(−ZTmF /rs)−exp(−ZTmF /r f )(388)

Regiao Externa (r f < r < ∞)Aplicando (386):

81

T(r) =(Tf −T∞)exp(−ZTmF /r)+exp(−ZTmF/r f )T∞−Tf

exp(−ZTmF /r f )−1(389)

- Balanco de energia na superfıcie da gota

mFhliq mFhvap

Qi−l Qg−i =−[

−k4πr2sdTdr

∣∣∣∣rs

]

Inter f acer=rs

GasLıq

Entao

Qg−i = mF(hvap−hliq)+ Qi−l (390)

ou

Qg−i = mFhf g+ Qi−l (391)

Qi−l → dentro da gotaModelo de camadas

1. Exterior Ts

2. Interior T0

Entao:

Qi−l = mFcpl(Ts−T0) (392)

Qi−l

mF≡ qi−l = cpl(Ts−T0) (393)

usando Fourier na eq (390):

−[

−kg4πr2dTdr

]

rs

= mF(hf g+qi−l ) (394)

usando (388) para obterdTdrtorna-se:

dTdr

=(Ts−Tf )ZTmF exp(−ZTmF /r)

r2[exp(−ZTmF /rs)−exp(−ZTmF /r f )

] (395)

82

avaliando para r = rs, rearranjando e usando definicao de ZT :

cpg(Tf −Ts)

(qi−l +hf g)

exp(−ZTmF /rs)[exp(−ZTmF /rs)−exp(−ZTmF /r f )

] +1 = 0 (396)

- Balanco de energia na ”Flame Sheet”

Qf−i =−[

−k4πr2fdTdr

∣∣∣∣r−f

]

Qf−∞ = −k4πr2fdTdr

∣∣∣∣r+

f

mFhF

mOxhOx

mPrhPr

FlameSheetr=r f

entao na chama:

mFhF + mOxhOx− mPrhPr = Qf−i + Qf−∞ (397)

mas:

hF ≡ h◦f ,F +cpg(T−Tre f ) (398)

hOx ≡ h◦f ,Ox+cpg(T−Tre f) (399)

hPr ≡ h◦f ,Pr +cpg(T−Tre f) (400)

e o calor de combustao ∆hc

∆hc(Tre f)≡ (1)h◦f ,F +(ν)h

◦f ,Ox− (1+ν)h

◦f ,Pr (401)

usando relacoes entre mF , mOx, mPr, (373)eq. (397) torna-se:

mF [hF +νhOx− (ν+1)hPr] = Qf−i + Qf−∞ (402)

Subst. (401) e (398)(399)(400):

mF∆hc + mFcpg[(Tf −Tre f )+ν(Tf −Tre f)− (ν+1)(Tf −Tre f)

]= Qf−i + Qf−∞

(403)Fazendo Tf = Tre f (escolha arbitraria):

mF∆hc = Qf−i + Qf−∞ (404)

83

Usando mais uma vez Fourier:

mF∆hc = kg4πr2f

dTdr

∣∣∣∣r−f

− kg4πr2f

dTdr

∣∣∣∣r+

f

↓ ↓ ↓Taxa na qual

energia quımica econvertida em termica

na chama

Taxa na qual calore conduzido da chamapara a direcao da interface

liq/vap

Taxa na qual calore conduzido da chamapara longe da chama

(405)

dTdr

∣∣r−fe dT

dr

∣∣r+

fsao obtidos das expressoes (389) e (395)

chega-se entao a:

cpg

∆hc

[

(Ts−Tf )exp(−ZTmF /r f )

exp(−ZTmF /rs)−exp(−ZTmF /r f )− (T∞−Tf )exp(−ZTmF /r f )

[1−exp(−ZTmF /r f )

]

]

−1 = 0

(406)- Equilıbrio liquido/vaporRelacao de Clauisius-Clapeyron para gas ideal:

dPv

dT=

Pvhf g

RT2

integrando-se:

PV = exp(C)exp

[−hf g

RT

]

Entao, na interface Pv = PF,s, T = Ts

PF,s = Aexp

(−BTs

)

(407)

mas fracao molar de combustıvel e:

XF,s =PF,s

P(408)

ou

YF,s = XF,sMWF

XF,sMWF +(1−XF,s)MWPr(409)

subst. (407), (408) em (409) tem-se:

YF,s =Aexp(−B/Ts)MWF

Aexp(−B/Ts)MWF +[P−Aexp(−B/Ts)MWPr](410)

84

Resumo

Equacao Incognitas PrincıpioI (10) mF , r f , YF,s Especie F na regiao internaII (20) mF , r f Especie Oxna regiao externaIII (35) mF , r f , Tf , Ts Balanco energia Interface Liq/VapIV (45) mF , r f , Tf , Ts Balanco energia chamaV (49) Ts, YF,s Equilıbrio fases Liq/Vap

5 Eq’ e 5 incognitasRearranjando:

mF =4πkgrs

cpgln

[

1+∆hc/ν+cpg(T∞−Ts)

qi−l +hf g

]

(411)

em termos do Numero de Transferencia B

Bo,q =∆hc/ν+cpg(T∞−Ts)

qi−l +hf g(412)

mF4πkgrs

cpgln(1+Bo,q) (413)

- Constante de taxa de queima e tempo de vida da gotapara a gota:

dmd

dt=−m (414)

onde a massa da gota e

md = ρlV = ρlπd3/6 (415)

Subst. (413) e (415) em (414) e diferenciando:

dDdt

−4kg

ρl cpgDln(Bo,q+1) (416)

mais comum:dD2

dt=−8kg

ρl cpgln(Bo,q+1)

︸ ︷︷ ︸

k

(417)

ou seja:dD2

dt= cte= k→ constante de taxa de queima

85

D2

D20

t

−k

1

Integrando (417) no tempo:

Z D2

D20

dD2 =−Z t

0kdt (418)

D2(t)−D20 =−kt → Lei D2 (419)

Tempo de vida da gota: (td)fazendo

D2(td) = 0⇒ td = D20/k (420)

ver fig. (10.13)para as constantes termo-fısicas:

cpg = cpF(T) (421)

kg = 0.4kF(T)+0.6kOx(T) (422)

ρl = ρl (Ts) (423)

T = 0.5(Ts+Tf ) (424)

→ Extensao do modelo para conveccao→ Reacoes envolvendo:

Nusselt → Gradiente de temperatura adimensional na gota

Sherwood → Gradiente de concentracao adimensional na gota

- Combustor Unidimensional

∆xx = 0

Ar Secundario

V.C. Produtos

F

Ox

x = L

Simplificacoes: • Distribuicao uniforme de gotas• Sem recirculacao• Vaporizacao uniforme (e constante)

86

Hipoteses: 1. Sistema de duas unicas fases:

gas: produtoslıquido: combustıvel

2. Propriedades uniformes na direcao radial. Nao ha difusao nemaxial nem radial.

3. dPdx = 0

4. Combustıvel: gotas de mesmo φ em ∀ posicao (x, r)5. Evaporacao da gota→ Teoria anterior6. Fase gasosa: equilıbrio ou sem dissociacao

Objetivo: • Gas:Fluxo massica mg(x)Temperatura Tg(x)Velocidade vg(x)

• Lıquido:Diametro da gota D(x)Taxa de evaporacao mg(x)Velocidade da gota vd(x)

Analise: • Conservacao da massa

V.C.(mg)x

(ml )x

(mg)x+∆x

(ml )x+∆x

∆x

m′a ·∆x

para regime permanente:

ml |x + mg|x + m′a ·∆x = ml |x+∆x + mg|x+∆x

rearranjando e tomando lim→ 0:

dml

dx+

dmg

dx= m′a (425)

integrando:

mg(x) = mg(0)+ ml(0)− ml(x)+

Z x

0m′adx (426)

considerando so a fase liquida:

87

(ml )x (ml )x+∆x

∆x

m′jg ·∆x

ml |x− ml |x+∆x = m′lg ·∆x

m′lg ·∆x→ taxa de vaporizacaoentao:

dml

dx=−m′lg

expressando ml em funcao do fluxo de gotas (N) e da massa de umagota md:

ml = Nmd (427)

ouml = NρlπD3/6 (428)

dml

dx=

π4

NρlDdD2

dx(429)

relacionando dx= vddt

dD2

dx=

1vd

dD2

dt(430)

(subst. na eq. (417)) (431)

dD2

dt= − k

vd(432)

ainda:

ml ,0 = NρlπD30/6 (433)

subindice 0 denota entrada do combustorentao:

N =6ml ,0(πρlD3

0

) (434)

solucao de (429) da D(x) e mg(x) (426)fase gasosavelocidade:

88

vg = mg/ρgA (435)

ρg = P/RgTg (436)

Rg = Ru/MWg (437)

vg =mgRuTg

(MWgPA)(438)

conservacao da energia

d(mghg)

dx+

d(ml hl)

dx= m′aha (439)

rearranjando:

dhg

dx=

[

m′aha−hgdmg

dx−hl

dml

dx

]

/mg (440)

hg = f (Tg,Pg,Φg) → dhg

dx=

∂hg

∂TdTdx

+∂hg

∂ΦdΦdx

(441)

igualando (430) e (417):

dTdx

=

[(

m′aha−hgdmg

dx−hl

dml

dx

)/

mg−∂hg

∂ΦdΦdx

]/∂hg

∂T(442)

onde hg,∂hgT ,

∂hg∂Φ podem ser calculados para equilıbrio (T , P, Φ)

ainda:

dTdx

=

[

(ha−hg)m′a+(hg−hl )dml

dx

]/

mg−∂hg

∂ΦdΦdx

∂hg

∂T

(443)

integrando tem-se Tg(x)falta determinar dΦ

dx

89

Composicao da fase gasosa (Φ(x))

em x = 0

mg(0) = mf (0)+ ma(0) (444)

(F/O)x =mF,x

ma,x=

mg(x)− ma,0−R x

0 m′adx

ma,0+R x

0 m′adx

ou

(F/O)x = mg

[

ma,0+Z x

0m′adx

]−1

−1 (445)

derivamos:

d(F/O)x

dx=

dmg

dx

[

ma,0+Z x

0m′adx

]−1

− mgm′a

[

ma,0 +Z x

0m′adx

]−2

(446)

entao:

Φ(x) = (F/O)x/(F/O)Φ=1 (447)

e

dΦ(x)dx

=1

(F/O)Φ=1

d(F/O)x

dx(448)

Conservacao de Quantidade de Movimento - Gota

unica forca→ arrastroVg

Vd

Vrel = Vg−Vd

~F = m~a

Fd = mddvd

dt(449)

mas dx= vddt

90

Fd = mdvddvd

dt(450)

CD = f (ReD,rel)≈24

reD,rel+

6

1+√

ReD,rel+0.4 (451)

para 0≤ ReD,rel ≤ 2 ·105

mas

Cd =Fd/(πD2/4)

ρgv2rel/2

(452)

subst. (452) em (450):

dvd

dx=

3CDρgv2rel

4ρlDvd(453)

Resumo Combustor de liquido 1DProblema de valor inicial

x = 0⇒ Temperatura e fluxo

Massa lıquido-diametro da gota

dD2

dx= f1 com D(0) = D0 (454)

massa gas

mg = mg(0)+ ml(0)− ml(x)+Z x

0madx (455)

onde

mg(0) = mF,0+ ma,0

Energia gas

dTg

dx= f2 (456)

com

Tg(0) = Tg,0

91

Momentum gota

dvd

dx= f3 (457)

com

vd(0) = vd,0

relacoes algebricas ∂h/∂T, ∂h/∂Φ, hg

92

Figura 1: Interpretacao grafica da entalpia absoluta, calor de formacao, eentalpia sensıvel

93