Fundamentos de Matematica I

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Licenciatura em Ciências

Gil da Costa Marques

Fundamentos de Matemática I

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Universidade de São Paulo - USPReitor: João Grandino RodasPró-reitora de graduação: Telma Maria Tenório Zorn

Universidade Virtual do Estado de São Paulo - UnivespPresidente: Carlos VogtDiretor Acadêmico: Waldomiro Pelágio Diniz de Carvalho LoyollaDiretor Administrativo: Márcio Luiz de Andrade Netto

Curso de Licenciatura em CiênciasCoordenação Geral: Gil da Costa Marques

Coordenação dos Módulos Módulos 1 e 2: Enos PicazzioMódulos 3 e 4: Sônia Godoy Bueno Carvalho Lopes e Maria Aparecida ViscontiMódulos 5 e 6: Sonia Maria Vanzella Castellar

Direção de PoloPiracicaba: Quirino Augusto de Camargo CarmelloRibeirão Preto: Wagner Eustáquio Paiva Avellar São Carlos: Dagoberto Dario MoriSão Paulo: Raphael Liguori NetoJaú: Marcos Vinícius FolegattiLorena: Nei Fernandes de Oliveira JuniorSantos: José Roberto Cardoso



1ª Edição

São Paulo | 2014

Copyright © 2014 by Autores.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Fundamentos de Matemática I / Gil da Costa Marques. – 1. ed. – São Paulo: USP/Univesp/Edusp, 2014. Licenciatura em Ciências, Módulo 1: Terra e Universo.460 p.; 19 x 24 cm.

ISBN 978-85-314-1470-1 (Edusp)

Direitos reservados a

USP – Universidade de São PauloRua da Reitoria, 109, Cidade Universitária05508-050 – São Paulo – SP – BrasilTel.: (11) 3091-3500usp.br

Univesp – Universidade Virtual do Estado de São PauloSecretaria de Desenvolvimento Econômico, Ciência e Tecnologia do Estado de São Paulo Rua Bela Cintra, 847 – 8º andar – Consolação – 01415-903 – São Paulo – SP – BrasilTel.: (11) 3218-5694univesp.ensinosuperior.sp.gov.br

Printed in Brazil 2014Foi feito o depósito legal

O curso semipresencial de Licenciatura em CiênciasO curso semipresencial de licenciatura na área de ciências é uma parceria entre a Universidade de São Paulo (USP) e o Programa Universidade Virtual do Estado de São Paulo (UNIVESP).

A oferta de educação superior com qualidade, de forma flexível e mais personalizada, encontra neste curso uma alternativa viável e atual. O seu oferecimento irá garantir a formação de professores com maior conhecimento dos diferenciados conteúdos englobados pela área de Ciências e melhor fluência tecnológica, condição indispensável para o acompanhamento das mudanças no âmbito educacional ocasionadas pela revolução digital das últimas décadas.

O Curso de Licenciatura em Ciências foi credenciado em 23 de janeiro de 2013, conforme parecer do CNE/MEC publicado no diário oficial nesta data.

O principal objetivo do curso semipresencial de Licenciatura em Ciências é a formação de professores, na área de Ciências, para atuação no Ensino Fundamental. Neste sentido, o curso deverá garantir a sua formação como um professor que tenha a compreensão abrangente e integrada das Ciências da Natureza e, ao mesmo tempo, a postura como intelectual crítico e reflexivo, preparado para orientar e estimular os alunos para o aprendizado significativo das ciências.

Estrutura e organização curricular

O curso de Licenciatura em Ciências está organizado em oito módulos:

1 Terra e Universo

2 Ambiente da Terra

3 Vida e Meio Ambiente.

4 Ser Humano e Meio Ambiente.

5 Ser Humano, Saúde e Sociedade.

6 Trabalho Humano, Tecnologia e Sociedade.

7 Conceitos da Ciência e os fundamentos teórico-metodológicos do ensino de Ciências: temas em evidência nas pesquisas em ensino de Ciências.

8 Conceitos da Ciência e os fundamentos teórico-metodológicos do ensino de Ciências: finalização e aplicação de projetos de ensino de Ciências.

Sobre a presente publicação

Tendo em vista a não existência no mercado de textos voltados para a formação de professores de ciências, o programa previa a produção de textos a serem entregues aos alunos. Assim, uma das características mais marcantes do curso de Licenciatura em Ciências é a produção de material didático entregue semanalmente aos alunos ao longo do período de oferecimento do curso.

A coleção agora tornada pública resultou do esforço coletivo dos docentes da USP envolvidos no Curso de Licenciatura em Ciências.

Este material foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA) do Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP) para o projeto Licenciatura em Ciências (USP/Univesp).

Créditos

Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.

Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.

Revisão de Técnica: Maria Cristina Bonomi e Shirlei Nabarreti Dezidério.

Design Instrucional: Juliana Moraes Marques Giordano, Maria Angélica S. Barrios (estagiária), Melissa Gabarrone, Michelle Carvalho e Vani Kenski.

Projeto Gráfico: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira, Priscila Pesce Lopes de Oliveira e Rafael de Queiroz Oliveira.

Editoração: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.

Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.

Ilustração de capa: Aline Antunes.

Fotografia: Jairo Gonçalves.

Impressão e acabamento: Mundial Gráfica. Papel offset 90 g/m2, capa cartão supremo 250 g/m2.

1. Introdução à Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 .2 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 .3 Subconjuntos e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 .4 O conjunto dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 .4 .1 A relação de ordem em . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 .5 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 .5 .1 Vizinhança de um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 .5 .2 Comprimento de um segmento (distância entre dois pontos numa reta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1 .6 Operações com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 .6 .1 União . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 .6 .2 Intersecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 .6 .3 Diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 .6 .4 Produto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 .1 O conceito de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 .2 Gráficos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 .3 Construindo gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 .4 Algumas funções simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 .5 Funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 .6 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 .7 Outras definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 .8 Exemplos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Aplicações à geometria analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 .2 Relações e funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 .3 Retas e segmentos de retas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 .3 .1 Posição relativa de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 .4 Ângulos e medidas de ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 .4 .1 Mais sobre ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 .5 Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 .6 Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 .6 .1 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 .6 .2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3 .6 .3 Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 .6 .4 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4. Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734 .1 Potenciação de expoente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754 .2 Funções polinomiais de grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754 .3 Função polinomial do segundo grau ou função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784 .4 Análise do gráfico de uma função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804 .5 Gráficos das funções polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 .6 Raízes das funções polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854 .7 Raízes da função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874 .8 Ponto de máximo ou de mínimo da função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5. Aplicações na Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955 .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975 .2 O Movimento uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975 .3 O movimento uniformemente variado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995 .4 O problema geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035 .5 Equações básicas do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055 .6 Trajetória do projétil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085 .7 Altura máxima (hmax) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085 .8 Tempo de queda ou de voo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105 .9 Alcance do Projétil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115 .10 Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5 .10 .1 Lançamento na vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145 .10 .1 .1 Lançamento para cima (v0y = v0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155 .10 .1 .2 Lançamento para baixo (v0y = − v0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165 .10 .1 .3 Queda livre (v0y = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5 .10 .2 Lançamento na horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185 .10 .3 Lançamento a partir do solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6. Funções Exponenciais e Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236 .1 Potência de expoente real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256 .2 Funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276 .3 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286 .4 Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316 .5 Função logarítmica como função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6 .6 O Número de Napier (o número e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366 .7 Curta História do número e e dos Logaritmos Neperianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7. Aplicações das funções exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417 .1 Nas Ciências Econômicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437 .2 Radioatividade e aplicações na Medicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7 .2 .1 Meia-vida e vida média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467 .3 Na Biologia Celular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497 .4 Escalas logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7 .4 .1 A escala Richter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497 .4 .2 O pH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7 .5 Física Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527 .6 Distribuição de moléculas na atmosfera terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537 .7 Distribuição de velocidade de moléculas num gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547 .8 Movimento num fluido viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557 .9 Corrente elétrica num circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587 .10 Altura do colarinho da cerveja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7 .11 Lei de Newton do resfriamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8. Trigonometria no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618 .1 Trigonometria nos primórdios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638 .2 Ângulos no triângulo retângulo: o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648 .3 Definição de seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658 .4 Propriedades dos senos e cossenos: a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698 .5 Outras razões trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768 .6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9. Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819 .1 Coordenadas cartesianas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839 .2 A circunferência trigonométrica; orientação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839 .3 Definição de seno e cosseno de um número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1869 .4 O seno e o cosseno da soma ou diferença de dois números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899 .5 Outras funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 .6 Gráficos das funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959 .7 Funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959 .8 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9 .8 .1 Movimento harmônico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9 .8 .2 Velocidade e aceleração no movimento harmônico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029 .8 .3 Movimento ondulatório: ondas harmônicas unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039 .8 .4 Ondas estacionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059 .8 .5 Sons dos instrumentos musicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079 .8 .6 Corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099 .8 .7 Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

10. Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21110 .1 O Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21310 .2 Definição de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21510 .3 Funções contínuas e descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22010 .4 Limites quando a variável independente cresce indefinidamente em valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . 22410 .5 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22710 .6 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22810 .7 Alguns Teoremas sobre limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Teorema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Teorema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Teorema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Teorema 4 – Teorema da conservação do sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Teorema 5 – Limite da função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Teorema 6 – Teorema do Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Teorema 7 – Consequência do Teorema do Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Teorema 8 – Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Teorema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

10 .8 Uma observação adicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23610 .9 Propriedade da substituição direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23710 .10 Outros limites de interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23810 .11 Calculando limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

11. Derivadas de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24511 .1 O cálculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24711 .2 Diferenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24811 .3 Taxa de variação média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24911 .4 Taxa de variação instantânea e pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25011 .5 Primeiros exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

11 .5 .1 Função polinomial geral de grau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25211 .5 .2 Função polinomial geral de grau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

11 .5 .3 Função polinomial de grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25411 .5 .4 Vazão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

11 .6 Interpretação geométrica da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25511 .7 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

12. Derivadas das Funções Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112 .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312 .2 Derivada de y = axn, n ∈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

12 .2 .1 Derivada de y = 1/x para x ≠ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312 .2 .2 Derivada de y = axn, para x ≠ 0, n = −m, m ∈ , isto é, n é um número inteiro negativo . . . . . . . 266

12 .3 Derivadas das funções seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26912 .4 Derivada da função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27312 .5 Derivada da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

13. Técnicas de Diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27913 .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28113 .2 Derivada da soma ou da diferença de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28213 .3 Derivada do produto de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313 .4 Derivada de uma função composta: a Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28513 .5 Derivada do quociente de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28713 .6 Derivada de y = xα, onde α ∈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29013 .7 Derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29213 .8 Diferencial de uma função de uma variável real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29513 .9 As regras de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

14. O Teorema do Valor Médio e Aplicações das Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30514 .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30714 .2 O crescimento/decrescimento de uma função num intervalo e os pontos de extremo . . . . . . . . . . . . 30714 .3 A concavidade do gráfico de uma função num intervalo contido em seu domínio e os pontos de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31014 .4 O Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31314 .5 Determinação dos pontos de máximo, mínimo e de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31814 .6 Um estudo de caso: o gráfico de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31914 .7 Taxa de variação média e instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32114 .8 Geometria: a reta tangente a uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32314 .9 Determinação dos Pontos de Máximo, Mínimo e de Inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32614 .10 Cinemática: velocidade e aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

14 .10 .1 Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32914 .10 .2 Velocidade escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33014 .10 .3 Aceleração escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

14 .11 Dinâmica: A Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33414 .12 Cinética química . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33614 .13 Tendências de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

15. Séries e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33915 .1 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34115 .2 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34315 .3 Séries especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34415 .4 Arquimedes e a quadratura da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34515 .5 Sobre a Convergência de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34715 .6 Séries de Taylor e de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34815 .7 Aproximações Polinomiais de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

16. Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35516 .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35716 .2 Cálculo de Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35716 .3 O cálculo de uma área por meio de um processo limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35916 .4 Soma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36216 .5 Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36416 .6 O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36616 .7 Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36716 .8 Integrais definindo funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

17. Efetuando Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37317 .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37517 .2 Algumas Propriedades da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

Propriedade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Propriedade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Propriedade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377Propriedade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

17 .3 Uma primeira técnica de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37917 .3 .1 Mudança de Variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37917 .3 .2 Primitivação por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

18. Outras Técnicas de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39118 .1 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39318 .2 Integrais de funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39518 .3 Uso de funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39618 .4 Integração de Quociente de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39918 .5 Alguns exemplos resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

18 .5 .1 Primitivação por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40018 .5 .2 Primitivação de frações racionais transformando-as em frações parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40518 .5 .3 Primitivação com substituições trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

19. Aplicações do Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41319 .1 Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41519 .2 Área da região compreendida entre duas curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41819 .3 Trabalho e Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42319 .4 Valores médios de grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42519 .5 Somas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42819 .6 Propagação de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42919 .7 Sinais periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

20. Introdução às Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43320 .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43520 .2 Equações Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43620 .3 Equações Lineares de Primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

20 .3 .1 Equações de Primeira ordem não homogêneas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43720 .3 .2 Equações lineares homogêneas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43820 .3 .3 Equações com um termo não Homogêneo Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

20 .4 Equações Lineares de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44320 .4 .1 Equações Lineares de Segunda ordem lineares não-homogêneas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44420 .4 .2 Casos especiais de Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . 447

20 .5 Equações Lineares Homogêneas de segunda ordem: caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45020 .6 Solução da Equação Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

20 .6 .1 Oscilações Superamortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45320 .6 .2 Oscilações Amortecidas Criticamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45420 .6 .3 Oscilações Subamortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45520 .6 .4 Oscilações forçadas: fonte de corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

20 .7 Equações diferenciais Não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

1INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS


1.1 Introdução1.2 Conceitos básicos1.3 Subconjuntos e intervalos1.4 O conjunto dos números reais

1.4.1 A relação de ordem em 1.5 Intervalos

1.5.1 Vizinhança de um ponto1.5.2 Comprimento de um segmento (distância entre dois pontos numa reta)

1.6 Operações com conjuntos1.6.1 União1.6.2 Intersecção 1.6.3 Diferença1.6.4 Produto cartesiano de conjuntos

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

17


Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1

1.1 IntroduçãoGeorg Cantor (1845-1918) recebeu o crédito por ter revolucio-

nado a matemática com a Teoria dos Conjuntos, que foi desenvolvida

por ele a partir de 1874.

Cantor iniciou seus estudos procurando uma formalização para o

conceito de infinito, chegando à conclusão de que existem diferentes

ordens de infinitos. A classificação dessas ordens se torna possível

quando essa questão é formulada em termos de números, denomi-

nados por ele transfinitos. A introdução desses conceitos levou-o a

desenvolver um formalismo matemático, conhecido hoje como Teoria dos Conjuntos.

De acordo com Howard Eves, citação encontrada em seu livro História da Matemática,

“A moderna teoria matemática dos conjuntos é uma das mais notáveis criações do espírito humano”

e ela adquire enorme importância em várias áreas da matemática, fazendo com que esse ferra-

mental seja essencial quando se estudam os fundamentos da matemática. Esse é o caso do cálculo

diferencial e integral. E isso justifica sua inclusão num texto dedicado ao cálculo, por exemplo.

Pode-se considerar a Teoria dos Conjuntos como um formalismo interdisciplinar: ela serve

como um elo entre a matemática, de um lado, e a filosofia e a lógica, de outro lado. Daí se infere

a relevância dessa teoria para toda a ciência.

1.2 Conceitos básicosIntuitivamente, um conjunto M é uma coleção de objetos defi-

nidos e separados, mas que formam um todo. Os objetos pertencentes

à coleção são os elementos do conjunto. Objetos podem ser entendi-

dos no sentido mais abrangente possível. Podem ser tanto reais quanto

imaginários. No entanto, na matemática é mais usual trabalharmos

com objetos associados a números.

Figura 1.1: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, matemático russo (1845-1918).

Figura 1.2: Conjunto de objetos.

18

1 Introdução à Teoria dos Conjuntos


Utilizamos a notação que envolve o símbolo { } para designar conjuntos. Assim, represen-

tamos o conjunto M, formalmente, como:

1.1

O fato de um objeto mi ser ou não elemento de um conjunto é indicado, respectivamente, por:

1.2 1.3e

Por exemplo, o conjunto dos números inteiros, representado pela letra , é tal que seus

elementos são dados por:

1.4

Muitas vezes, conjuntos são definidos a partir de uma propriedade P a ser satisfeita pelos seus

elementos. Assim, utilizamos a seguinte notação nesse caso:

1.5

A notação acima deixa explícito que o conjunto M é constituído por todos os elementos mi que

satisfazem a propriedade P. Nessa notação, o conjunto dos números naturais seria especificado como

o conjunto formado pelos números inteiros não negativos. Admitindo-se que ni ∈ , escrevemos:

1.6

Quando não existem elementos que satisfaçam uma determinada propriedade, dizemos que o

conjunto é vazio. Ele é representado pelo símbolo:

1.7

M m m m m= { }1 2 3 4, , , ....

m Mi ∈ m Mi ∉ou

= − − − −{ }0 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , , , .....

M m m Pi i= { } satisfaz

= ≥{ }n ni i 0

∅ { } ou

Figura 1.3: Conjunto de números.

19



Por exemplo, o conjunto de elementos constituído pelos números reais tais que mi2 = −1, isto é:

1.8

é um conjunto vazio, uma vez que não existe número real que

satisfaça à condição imposta.

Conjuntos iguais são aqueles que têm os mesmos elementos.

Por exemplo, o conjunto de raízes do polinômio de segundo grau

x2 – 3x + 2 = 0 é igual ao conjunto {1, 2}.

Para conjuntos A e B iguais, escrevemos:

A = B.

1.3 Subconjuntos e intervalosDenominamos subconjunto de um conjunto M a qualquer coleção M1 de objetos, que são ele-

mentos de M. Dizemos que o conjunto M1 está contido em M e, para indicar esse fato, escrevemos:

1.9

Por exemplo:

1.10

Escrevemos, analogamente, quando um conjunto B contém o

conjunto A (Figura 1.5):

1.11

Figura 1.4: Dois conjuntos que têm os mesmos elementos. São iguais, portanto.

M m mi i= −{ } = 2 1

M M1 ⊂

a b

Figura 1.5: a. A é um subconjunto de B. b. C é um subconjunto de D.

1 5 1 2 4 5, , , ,{ }⊂ { }

B A A B ou ⊃ ⊂

20



Alguns dos subconjuntos dos números inteiros são:

1.12

conjunto esse muitas vezes designado por conjunto dos números naturais (). Tomando-se o

negativo dos números do subconjunto de 1.12, obtemos outro subconjunto do conjunto dos

números inteiros:

1.13

O conjunto dos inteiros excluindo o número zero:

1.14

Introduzimos ainda os subconjuntos dos números inteiros:

1.15

1.16

Alguns subconjuntos do conjunto são os seguintes:

a. Conjunto dos números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}

b. Conjunto dos números ímpares: {..., -3, -1, 1, 3, ...}

c. Conjunto dos números primos: {2,-2, 3, -3,5,-5, 7, -7,11,-11, 13,-13, 17, -17...}

d. Conjunto dos números positivos, múltiplos de 3 e menores do que 10: {3, 6, 9}

+ = { }0 1 2 3 4, , , , ,...

− = − − − −{ }0 1 2 3 4, , , , ,...

* , , , , , , , ,...= − − − −{ }1 1 2 2 3 3 4 4

+ = { }* , , , ,...1 2 3 4

− = − − − −{ }* , , , ,...1 2 3 4

Figura 1.6

Figura 1.7

Figura 1.8

Figura 1.9

21



Exemplos

• ExEmplo 1Vamos representar explicitamente os seguintes conjuntos:

a. * = {ni | ni > 0}. Logo, * = {1, 2, 3, ...}.

b. B x x= ∈ − ={ } : 2 3 12A equação 2x - 3 = 12 admite x = 15/2 como única raiz, e 15/2 é um número racional.Logo, B = {15/2}.

c. C x x= ∈ − ≤{ } : 3 5Resolvendo a inequação modular |x − 3| ≤ 5, temos:

Logo, C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

1.4 O conjunto dos números reaisConjuntos numéricos são aqueles cujos elementos são números. O conjunto de todos os números,

que podem ser colocados em correspondência biunívoca com os pontos do espaço localizados

sobre uma reta orientada (com um ponto de referência denominado origem), é o conjunto dos

números reais. Tal conjunto é representado pela letra .

O conjunto dos números racionais é representado pela letra . Por definição, fazem parte

desse conjunto todos os números que podem ser escritos como quocientes de números inteiros.

Explicitamente, escrevemos:

1.17

O conjunto é um subconjunto do conjunto , isto é, ⊂ .

− ≤ − ≤− ≤ ≤

5 3 52 8

xx

Figura 1.10: A reta real.

� � �= = ∈ ∈{ }∗x x a b a b / ,

22



Evidentemente, temos também ⊂ e ⊂ , isto é, o conjunto dos números naturais e

aquele dos números inteiros são subconjuntos de .

Em se tratando de números reais, é costumeira a introdução de outros conjuntos além

daqueles já definidos. Assim, se excluirmos o elemento zero, colocamos (como feito acima) um

asterisco *, *, *,... para indicar o conjunto correspondente. Temos assim que para ni inteiro,

por definição:

1.18

Definimos por exemplo, no caso dos números reais:

1.19

1.20

1.21

1.22

1.4.1 A relação de ordem em

Para dois elementos pertencentes ao conjunto dos números reais valem as operações usuais

de adição e multiplicação. Podemos introduzir ainda uma relação conhecida como relação

de ordem. Ela será representada pelo símbolo ≤. Se a e b forem dois elementos distintos de

(a ≠ b), a notação a < b significa que, para tais números, vale a relação de ordem a ≤ b.

Se a, b, c e d ∈ , a relação de ordem goza das seguintes propriedades:

• para números arbitrários, temos a ≤ b ou a ≥ b;

• se as duas condições, a ≤ b e b ≤ a, forem satisfeitas, então, b = a;

• se a ≤ b e b ≤ c, então, a ≤ c;

• se a ≤ b e c ≤ d, então, a + c ≤ b + d.

Figura 1.11

∗ = { }n ni i > 0

+ = ∈ ≥{ }x x 0Figura 1.12

− = ∈ ≤{ }x x 0Figura 1.13

+ = ∈ >{ }* x x 0Figura 1.14

− = ∈ <{ }* x x 0Figura 1.15

23



1.5 IntervalosA partir de dois números reais, designados por a e b, de tal sorte que a ≤ b, podemos definir

conjuntos especiais a partir desses números, que denominamos intervalos.

Intervalo aberto é aquele definido por:

1.23

Intervalo aberto à esquerda é o conjunto:

1.24

Intervalo aberto à direita é o conjunto:

1.25

Finalmente, definimos um intervalo fechado como aquele cujos elementos incluem os

extremos do intervalo, ou seja,

1.26

Os intervalos 1.23, 1.24, 1.25 e 1.26 podem ser entendidos como subconjuntos dos núme-

ros reais estendidos, ou seja, o conjunto de números reais incluindo −∞ e +∞.

De acordo com essa interpretação, podemos introduzir os seguintes intervalos:

1.27

Em particular, o intervalo ]−∞, +∞[ denota o conjunto de números reais.

Figura 1.16: Intervalo aberto ]a,b[a b x a x b,] [ = ∈ < <{ }

Figura 1.17: Intervalo semifechado à direita ou intervalo semiaberto à esquerda.

a b x a x b,] ] = ∈ < ≤{ }

Figura 1.18: Intervalo semifechado à esquerda ou intervalo semiaberto à direita

a b x a x b,[ [ = ∈ ≤ <{ }

Figura 1.19: Intervalo fechado [a,b]a b x a x b,[ ] = ∈ ≤ ≤{ }

−∞] ] −∞] [ +∞[ [ +∞] [, , , , , , ,b b a a e

24



Utilizando essa simbologia, o conjunto será representado pelo intervalo aberto, sem limite

definido e sem pontos extremos:

1.28

Todo intervalo é dotado da propriedade:

1.29

ou seja, se dois números pertencem ao intervalo, então, o mesmo vale para qualquer número

entre eles.

1.5.1 Vizinhança de um ponto

Dado um ponto x0 no eixo real ou um elemento do conjunto dos números reais, definimos

uma vizinhança completa desse ponto representada por V(x0) a um intervalo aberto I que o

contenha, ou seja, x0 ∈ I.Definimos a vizinhança-ε de x0 sobre o eixo real, denotada por Vε(x0), como o intervalo aberto:

1.30

1.5.2 Comprimento de um segmento (distância entre dois pontos numa reta)

Antes de introduzirmos o conceito de distância entre dois pontos pertencentes à reta ou

de comprimento de um segmento de reta, introduzimos o módulo ou valor absoluto de um

número real.

Seja x um número real ou, analogamente, a coordenada cartesiana de um ponto sobre a reta

real. Escrevemos, assim, x ∈ . O módulo de um número real ou seu valor absoluto, represen-

tado por |x|, é definido por:

1.31

−∞ +∞] [ =,

∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ∈x y I x z y z I, ,

V x x xε ε ε0 0 0( ) = − +] [,

xx x

x x=

≥− <

se se

00

25



Da definição 1.31 segue-se que, |x| ≥ 0 e x ≤|x|; se y for outro número real:

1.32

Dados dois pontos quaisquer, x1 e x2, podemos introduzir um intervalo fechado que os

contenha. Tal intervalo corresponde a um segmento de reta. Definimos o comprimento do

segmento ou distância entre esses dois pontos como:

1.33

1.6 Operações com conjuntosDefinimos algumas operações que envolvem conjuntos, como veremos a seguir:

1.6.1 União

A união de dois conjuntos A e B é representada por:

1.34

é um novo conjunto cujos elementos são aqueles que pertencem a um dos dois conjuntos,

ou a ambos, isto é, os elementos pertencem a pelo menos um dos conjuntos. Formalmente,

escrevemos “A união B” da seguinte maneira:

1.35

xy x y=

d x x x x1 2 2 1,( ) = −

A B∪

A B x x A x B∪ = ∈ ∈{ } ou

Figura 1.20: União de conjuntos.

26



• ExEmplo 2Considere os conjuntos:

1.36

1.37

1.38

Pode-se verificar que as seguintes propriedades são válidas:

• A B B A∪ = ∪

• A B C A B C∪ ∪( ) = ∪( )∪• A A B⊂ ∪( )• A B⊂ se, e somente se, A B B∪ =

• A A A∪ =

• A A∪∅ =

• ExEmplo 3Ao resolver uma inequação como (x2 − 5x + 6)(2x − 1) ≤ 0, podemos dar o conjunto-solução na forma de um intervalo. Vejamos:

x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = − 2 ou x = −32x − 1 = 0 ⇔ x = 1/2

Estudando o sinal do produto das duas funções

y1(x) = x2 − 5x + 6y2(x) = x − 1/2

temos:

A ={ }1 2 4 6 7 9 11, , , , , ,

B ={ }0 2 5 6 7 10 12, , , , , ,

A B∪ ={ }0 1 2 4 5 6 7 9 10 11 12, , , , , , , , , ,

1.39

1.40

1.41

1.42

1.43

1.44

Figura 1.21: Variação de sinal das funções y1(x) = x2 − 5x + 6 e y2(x) = x − 1/2

27



Logo, (x2 − 5x + 6)(2x − 1) ≤ 0 quando x ≤ −3 ou −2 ≤ x ≤ 1/2, isto é,

S = ]−∞, −3] ∪ [−2, 1/2]

1.6.2 Intersecção

A intersecção de dois conjuntos, representada por:

1.45

que se lê “A intersecção B”, é um novo conjunto cujos elementos são comuns a ambos os

conjuntos. Evidentemente, pode acontecer que não haja elementos em comum e, nesse caso,

A ∩ B é o conjunto vazio. Dizemos, então, que A e B são disjuntos.

Formalmente, escrevemos:

1.46

No exemplo dado anteriormente:

1.47

Pode-se verificar que as seguintes propriedades são válidas:

• A B B A∩ = ∩• A B C A B C∩ ∩( ) = ∩( )∩• A B A∩ ⊂• A B⊂ se, e somente se, A B A∩ =• A A A∩ =• A∩∅ =∅

A B∩

Figura 1.22: Intersecção de conjuntos.

A B x x A e x B∩ = ∈ ∈{ }

A B∩ ={ }2 6 7, ,

1.48

1.49

1.50

1.51

1.52

1.53

28



1.6.3 Diferença

Podemos definir o conjunto diferença (C) de dois conjuntos

A e B, que é indicado por A – B, como aquele cujos elementos

pertencem ao conjunto A, mas não pertencem ao conjunto B. Ele

é representado por:

1.54

Se B for um subconjunto de A ou o próprio conjunto (B ⊂ A), dizemos que o conjunto

diferença é o complemento de B em A.

Exemplos:

• {1, 2} − {vermelho, preto, branco} = {1, 2}.

• {1, 2, verde} − {vermelho, branco, verde} = {1, 2}. • {1, 2} − {1, 2} = ∅. • {1, 2, 3, 4} − {1, 3} = {2, 4}.

• ExEmplo 4Dados dois conjuntos A e B não disjuntos, isto é, A ∩ B ≠ ∅, podemos representar num diagrama o conjunto (A ∪ B) − (A ∩ B).

Figura 1.23: A diferença entre os conjuntos A e B representada por A – B é o conjunto dos elementos que estão em A, mas não estão em B.

C A B= −

1.55

1.56

1.57

1.58

Figura 1.24: Conjunto (A ∪ B) − (A ∩ B).

29



1.6.4 Produto cartesiano de conjuntos

A partir de dois conjuntos A e B, podemos criar um novo conjunto mediante uma operação

denominada produto cartesiano desses conjuntos, representado por:

1.59

Esse novo conjunto (o produto cartesiano de A e B) é construído mediante a associação de

todo elemento do primeiro conjunto a todo elemento pertencente ao outro. Assim, o produto

cartesiano A × B de dois conjuntos é formado por elementos que são pares ordenados (a, b) tais que a é um elemento de A e b é um elemento de B.

Temos, assim, que:

1.60

• ExEmplo 5

• {1, 2} × {vermelho, branco} = {(1, vermelho), (1, branco), (2, vermelho), (2, branco)};

• {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Algumas propriedades dos produtos cartesianos são:

• A×∅ =∅• A B C A B A C s× ∪( ) = ×( )∪ ×( )• A B C A C B C∪( ) × = ×( )∪ ×( )• A B C A B A C× ∩ = × ∩ ×( ) ( ) ( )• ( ) ( ) ( )A B C A C B C∩ × = × ∩ ×

A B×

A B x y x A y B× = ( ) ∈ ∈{ }, e

1.61

1.62

1.63

1.64

1.65

1.66

1.67

30



O produto cartesiano

1.68

é um conjunto que pode ser colocado em correspondência

biunívoca com os pontos do plano.

O produto cartesiano

1.69

é um conjunto que pode ser colocado em correspondência biunívoca com os pontos do espaço.

1.70

Figura 1.25: Plano cartesiano.

×

2 = × = ( ) ∈ ∈{ }x y x y, e

× × = 3

3 = ( ) ∈ ∈ ∈{ }x y z x y z, , , e

Figura 1.26: O espaço tridimensional é o conjunto 3.


2.1 O conceito de função2.2 Gráficos de funções2.3 Construindo gráficos2.4 Algumas funções simples2.5 Funções compostas2.6 Função inversa2.7 Outras definições2.8 Exemplos simples

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

2FUNÇÕESGil da Costa Marques

33



2.1 O conceito de funçãoO conceito de função evoluiu, de forma significativa, nos últimos três séculos. Ele passou

por várias generalizações e ampliações. O termo “função” parece ter sido introduzido por

Leibniz, em 1694. Newton, por exemplo, utilizava a palavra “fluente” para designar algo que

varia à medida que o tempo passa. A posição, a velocidade e a aceleração de um corpo seriam,

na linguagem de Newton, os fluentes importantes da mecânica.

Nas várias formulações empregamos o conceito de variável, que Lejeune Dirichlet (1805-1859)

definia assim: uma variável é um símbolo que representa um elemento qualquer de um determinado

conjunto de números.

Johann Bernoulli considerava como função qualquer expressão envolvendo uma só variável

e algumas constantes. Para Euler, função seria uma fórmula que envolvesse variáveis e constantes,

conceito esse difundido no ensino médio. A Euler devemos também a notação f (x) para

designar uma função da variável x. Joseph Fourier (1768-1830)

ampliou tal conceito para incorporar uma relação mais geral entre

as variáveis denominada “série”.

Bernoulli formulou um conceito de função centrado na ideia

de relação entre conjuntos de números. É uma definição muito

ampla, que pode ser formulada da seguinte maneira: se duas va-

riáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se

atribui um valor a x, corresponde, mediante a aplicação de uma

lei ou regra, um valor de y, então se diz que y é uma função

de x. Também definia variáveis independentes e dependentes da

seguinte forma: a variável x, à qual se atribuem valores, é chamada

variável independente e a variável y, cujos valores dependem dos

valores de x, é chamada variável dependente.

Os valores possíveis que x pode assumir pertencem a um conjunto

denominado domínio da função. Os valores assumidos por y per-

tencem a um conjunto numérico denominado contradomínio de f.

Figura 2.1: Leonhard Paul Euler (1707 - 1783), matemático suíço.

Figura 2.2: Johann Bernoulli (1667 - 1748), matemático suíço.

34

2 Funções


Mais geralmente, no contexto da

teoria dos conjuntos, o conjunto A é

denominado domínio de f (indicado

como Dom f ) ao passo que o conjunto B

é o contradomínio de f (indicado como

CD f ). O conjunto constituído pelos

elementos de B que são imagem de algum elemento do conjunto A é um subconjunto de B

denominado conjunto imagem de f (indicado como Im f, ou I ).

Como exemplo, sejam:

2.1

2.2

e consideremos duas associações de elementos

de A a elementos de B.

A primeira associação, representada pela Figura

2.4a, que associa a um número real positivo o

mesmo número acrescido de +1, define uma

função. A segunda associação, pela falta da exi-

gência de associar um elemento de A a apenas

um elemento de B, bem como por haver ele-

mentos de A que não têm imagem em B, não

define uma função de A em B.

A teoria dos conjuntos permite-nos ampliar o conceito de função de forma a abarcar relações entre conjuntos constituídos por elementos de qualquer natureza, ou seja, os conjuntos acima referidos não são, neces-sariamente, conjuntos de números. De acordo com essa definição mais geral, se considerarmos dois conjuntos A e B, uma função é uma relação que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B. Esse elemento,

y = f (x), é chamado imagem de x.

Figura 2.3: Domínio, contradomínio e o conjunto imagem de uma função.

Figura 2.4: a) Associação que define uma função; b) associação que não define uma função

a

b

A ={ } 1 2 3 4 5, , , ,

B ={ } 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,

35



Na Figura 2.4a, o domínio da função e o seu conjunto imagem são dados por

2.3

2.4

No primeiro exemplo de função podemos notar a existência de uma regra (mesmo número

acrescido de +1) para determinar um elemento do conjunto imagem.

Um segundo exemplo de função está ilustrado na Figura 2.5, na

qual consideramos dois conjuntos numéricos:

2.5

2.6

Ao associarmos a todo ponto do conjunto A um e apenas um ponto do conjunto B temos

em mãos outro exemplo de função. Observe que, nesse caso, também dispomos de uma regra

(a cada número associamos o mesmo número acrescido de +5). Temos, assim, a seguinte associação

• Ao ponto x = 1 associamos o ponto imagem y = 6. Isto é: y(1) = 6.

• Ao ponto x = 4 associamos o ponto imagem y = 9. E, portanto: y(4) = 9.

• Ao ponto x = 7 associamos o ponto imagem y = 12. O que implica y(7) = 12.

Portanto, nesse exemplo o domínio é D = {1, 4, 7}, o contradomínio CD é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12}

e o conjunto imagem é I = {6, 9, 12}.

Entretanto, também poderíamos ter feito outro tipo de associação de modo que

• ao ponto x = 1 corresponda y = 4• ao ponto x = 4 corresponda y = 8• ao ponto x = 7 corresponda y = 9

e, nesse caso, não dispomos de uma regra como antes para associar os elementos de A a elementos

de B. Assim mesmo temos uma função cujo domínio é {1, 4, 7} e cuja imagem é {4, 8, 9}.

Podemos introduzir ainda o conceito de função de mais de uma variável. Por exemplo, se

uma grandeza física z depende de duas variáveis, x e y, representamos tal dependência por:

2.7

Dom , , , ,f D A= = ={ } 1 2 3 4 5

Im , , , ,f I B= ={ }⊂ 2 3 4 5 6

A ={ } 71 4, ,

B ={ } 6,7,8,9,121 4, ,

z f x y= ( ),

Figura 2.5: Outro exemplo de função.

36

2 Funções


Para adquirir uma sólida formação científica, é importante ter familiaridade com esse

conceito. Construir essa familiaridade é o que será buscado nos textos subsequentes.

2.2 Gráficos de funçõesCredita-se ao Bispo Nicole d’Oresme, ainda no século XIV, a invenção dos gráficos. Essa foi

a forma que ele encontrou para provar a equivalência entre o movimento uniformemente

variado e um movimento uniforme com uma velocidade adequada. Galileu também utilizou

gráficos em seus estudos dos mesmos movimentos.

Resultados experimentais são frequentemente apresentados em gráficos, a partir dos quais pode-

mos fazer previsões teóricas. Os gráficos são, assim, utilizados para apresentar o comportamento de

alguma grandeza que depende de outra (ou outras). Na Figura 2.6b, exibimos um gráfico, que

representa o comportamento da intensidade de radiação emitida por um objeto aquecido como

função da frequência da radiação por ele emitida. Trata-se de um gráfico que revolucionou a Física.

Numa linguagem simples pode-se dizer que o gráfico de uma função é uma figura na qual é possível visualizar como uma grandeza varia quando outra varia. É a união, portanto, de fatos relativos a números com a geometria.Tendo em vista que figuras são conjuntos de pontos, cada ponto desse conjunto é caracterizado por um par ordenado. Os valores da variável y são representados no eixo vertical ao qual denominamos eixo das ordenadas. No eixo horizontal, o eixo das abscissas, exibimos os valores da variável independente, x.Do ponto de vista formal, o gráfico de uma função é uma curva que nunca se cruza, constituída pela coleção de todos os pares ordenados (x, y) tais que y = f (x).

Figura 2.6: a) Gráfico de uma função. b) Gráfico obtido a partir da teoria quântica.

ba

37



Dado um gráfico, é possível encontrar o valor da variável dependente associada a um deter-

minado valor da variável independente x. Para tanto, basta considerar o valor da variável inde-

pendente e, a partir dele, traçar uma reta paralela ao eixo y até encontrar a curva que é o gráfico.

A partir desse ponto, deve-se traçar outra reta paralela agora ao eixo x até encontrar o eixo y.

Esse ponto de encontro determina o valor da variável dependente associado ao valor escolhido

da variável x (vide Figura 2.6a).

2.3 Construindo gráficos

Por exemplo, a fim de estudar o fenômeno das marés e observar

a entrada e saída de grandes navios, o pesquisador anota a altura do

nível da água no porto de Santos, em intervalos de tempo, obtendo

assim uma tabela de valores. Numa das colunas encontramos a altura

da água do mar, enquanto na outra coluna temos o valor do tempo

associado a cada altura.

Hora do dia (h) Nível de água (m)1 0,5

5 0,9

8 0,9

9 0,7

12h30 0,3

15 0,6

17 0,9

19 0,9

21 0,7

Tabela 2.1: Variação da maré 18/02/05.

Figura 2.7: Entender os horários das marés é importante para a segurança das embarcações.

Gráficos podem ser construídos a partir de dois tipos de informações. No primeiro, a função é conhecida e tudo que queremos é visualizar o seu comportamento e, para isso, construímos o gráfico. Na segunda, tudo que temos é uma tabela cujas informações foram obtidas, experimentalmente, por meio de medidas.

38

2 Funções


Para construir um gráfico a partir de uma tabela, devemos primeiro traçar dois eixos perpen-

diculares entre si e orientá-los, utilizando flechas. Ao orientarmos os eixos x e y, estamos definindo

os segmentos dos eixos para os quais as coordenadas assumem valores positivos (y > 0 e x > 0).

A partir de uma tabela, a Tabela 2.1, por exemplo,

marcamos um ponto sobre o eixo x, o qual representa

um particular valor dessa grandeza, no caso o tempo.

Agora fazemos o mesmo para a coordenada y corres-

pondente a esse valor de x. Por esses dois pontos sobre

os eixos x e y, fazemos passar dois segmentos de reta.

Observe que esses dois segmentos se encontrarão

num determinado ponto.

Fazendo o mesmo para todos os valores da tabela

teremos algo como ilustrado na Figura 2.9.

Ao interligarmos esses pontos, desenhamos uma

curva que facilita a visualização do comportamento

da função.

Quando não temos uma tabela, mas temos a expressão da função, podemos gerar a tabela a

partir de valores da variável independente x, para cara um dos quais associamos o correspon-

dente valor da variável dependente, y = f (x).

Figura 2.9: A partir dos dados de uma tabela, inserimos pontos no plano x-y. Em seguida interligamos os pontos.

Figura 2.8: Etapas da construção de um gráfico.

x1 y1 = f (x1) 2.8

x2 y2 = f (x2) 2.9

x3 y3 = f (x3) 2.10

39



Vale observar que um grande número de pontos na tabela pode melhorar a visualização do

comportamento da função, mas não garante a exatidão do gráfico, o que só poderá ocorrer com

a utilização de argumentos poderosos, como veremos mais adiante.

2.4 Algumas funções simplesPara o que se segue, consideraremos primeiro o exemplo da função identidade. Ela é defi-

nida a partir da relação:

2.11

Nesse caso associamos um elemento do conjunto de números reais ao mesmo elemento

desse conjunto.

A função identidade é um caso especial de funções lineares. A função linear mais geral

possível se escreve como:

2.12

Também temos a função constante que a todo valor da

variável independente x associa o mesmo valor b:

2.13

Definimos a função afim como aquela que resulta da soma da função

linear e da função constante:

2.14

O domínio dessa função, bem como o das duas anteriores, é o conjunto de todos os números reais,

ou seja,

2.15

f x x0 ( ) =

Figura 2.10: Gráfico de uma função constante.

f x ax a1 0( ) = ≠ com

Figura 2.11: Gráfico da função afim.

f x b( ) =

f x ax b a b( ) = + ≠ ≠ com e 0 0

D =

40

2 Funções


A imagem da função linear f1(x) = ax, a ≠ 0, é igual ao conjunto de todos os reais, bem como

a imagem da função afim f(x) = ax + b, a ≠ 0, isto é, I = .

No caso da função constante, f(x) = b, a imagem é o conjunto {b}, isto é, I = {b}.

A função inverso de x associa a cada número real diferente de

zero o inverso do seu valor. Ela é definida, portanto, como:

2.16

O domínio dessa função é o conjunto dos números reais dife-

rentes de zero, e seu conjunto imagem é o conjunto de números

reais e diferentes de zero, isto é:

2.17

A função módulo de x, representada por |x|, é

definida a partir da definição do módulo de um

número real, isto é:

2.18

O gráfico da função módulo de x é apresentado na

Figura 2.13.

A função definida como a raiz quadrada da variável x é definida por:

2.19

Ela associa a todo número real positivo ou nulo o valor da sua raiz quadrada. Note-se que o

domínio D, bem como o conjunto imagem I, da função raiz quadrada é o conjunto definido por:

2.20

o conjunto dos reais positivos ou iguais a zero, isto é, dos números reais não negativos.

Figura 2.12: Gráfico da função inverso de x.

f xx21( ) =

Figura 2.13: Gráfico da função módulo de x.

D I= =∗ *

f x xx xx x3

00

( ) = =≥

− <

se se

f x x4 ( ) =

D I= = +

41



Finalmente, introduzimos a função quadrática ou função polinomial do segundo grau, mais

simples entre todas. Escrevemos:

2.21

Nesse caso, o domínio da função é enquanto o conjunto imagem I dessa função é o

conjunto dos números reais não negativos, isto é:

2.22

Mediante a multiplicação de uma função por um número real, a, obtemos outra função.

A adição de funções gera, igualmente, uma nova função. Assim, a partir de 2.21 e 2.16, podemos

escrever uma nova função dada por:

2.23

Também podemos multiplicar funções, obtendo uma nova função, bem como fazer a divisão

de uma função por outra. Em cada caso é preciso sempre estar atento ao domínio da nova função.

f x x52( ) =

D I x R x= = ∈ ≥{ }= + 0

Figura 2.14: a) Gráfico da função quadrática b) Gráfico da função da raiz quadrada.

a b

f x af x bf x ax bx6 5 2

2 1( ) = ( ) + ( ) = +

42

2 Funções


Exemplo

Um exemplo simples pode ser o seguinte:

f x x

g x x( ) = +

( ) =

2 1

3

A função produto de f e g é:

e a função quociente de f e g é:

k xf xg x

xx

( ) = ( )( )

=+2 1

3

Vale observar que:• domínio de f : • domínio de g: • domínio de h: • domínio de k: *

2.5 Funções compostasSejam duas funções g e f. A partir delas pode-se definir duas funções compostas. A função

composta de g com f, g f, é a função definida por:

2.24

A função composta de f com g, f g, é a função definida por:

2.25

h x f x g x x x( ) = ( ) ⋅ ( ) = +( )3 12

g f x g f x( )( ) = ( )

f g x f g x( )( ) = ( )

43



Repare que a operação de composição de funções não é comutativa, isto é, em geral as

funções definidas anteriormente são diferentes.

2.26

ExemplosDadas as funções definidas por f (x) = 3x −1 e g(x) = x2

Determine:

a) ( f g)(x) e b) (g f )(x)

→ Resolução:

a) Consideremos primeiramente o caso a)

Assim, para obtermos a função composta devemos, na função f, colocar x2 no lugar de x;

b) No caso b), consideramos

Agora, na função g, no lugar de x colocamos 3x − 1:

E isso demonstra a afirmação expressa em 2.26.

f g x g f x ( )( ) ≠ ( )( )

f x x

g x xf g x f g x f x

( ) = −

( ) =

⇒ ( )( ) = ( )( ) = ( )

3 12

2

f g x f x x x( )( ) = ( ) = ( ) − = −2 2 23 1 3 1

g x x

f x xg f x g f x g x

( ) =( ) = −

⇒ ( )( ) = ( )( ) = −( )

2

3 13 1

g f x g x x x x

g f x x x

( )( ) = −( ) = −( ) = − +

( )( ) = − +

3 1 3 1 9 6 1

9 6 1

2 2

2

44

2 Funções


2.6 Função inversaDefinimos a função inversa de f, designada por f −1(x), como a função que, quando composta

com f, leva-nos à função identidade, ou seja,

2.27

Na expressão acima assumimos que f seja uma função inversível, isto é, que ela admita uma

função inversa.

ExemplosDada a função

f x x( ) = −2 3,

determine f −1(x)

→ Resolução:

Fazemos y = f (x) y x= −2 3 ( I )

Em seguida, na equação (I) isolamos x:

Agora, na equação (II) trocamos x por y (e y por x):

Assim: f x x− ( ) = +1 32

Verifiquemos que

f f x x

−( )( ) =1 e que f f x x−( )( ) =1

f f x f f x x

− −( )( ) = ( )( ) =1 1

( II )y x x y x y= − ⇔ = + ⇔ =

+2 3 2 3 32

y x=

+ 32

45



De fato, f f x f f x

f x x x

− −( )( ) = ( )( ) =

=+

=

+

− =

1 1

32

2 32

3.

e f f x f f x f x x x− − −( )( ) = ( )( ) = −( ) = − +=1 1 1 2 3 2 3 3

2

2.7 Outras definiçõesUma função é considerada uma função par se para ela vale a propriedade:

2.28

Definimos uma função como uma função ímpar se para ela vale:

2.29

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y, enquanto o gráfico de uma

função ímpar é simétrico em relação à origem.

Uma função periódica de período p é aquela para a qual se aplica a seguinte propriedade:

2.30

f x f x−( ) = ( )

f x f x−( ) = − ( )

ba

Figura 2.15: Gráficos típicos de uma função par (a) e de uma função ímpar (b).

f x p f x+( ) = ( )

46

2 Funções


Um gráfico típico de uma função periódica é apresentado na Figura 2.16.

Uma função é estritamente crescente num intervalo I se, para dois elementos a e b quaisquer

pertencentes ao intervalo (a, b ∈ I ), vale a propriedade:

2.31

Uma função é estritamente decrescente num intervalo I se, para dois elementos a e b quaisquer

pertencentes ao intervalo (a, b ∈ I ), vale a propriedade

2.32

2.8 Exemplos simplesO conceito de função é importante na física e em outras áreas do conhecimento porque

muitas vezes uma grandeza física, y, depende de outra ou outras, usualmente o tempo ou as

Figura 2.16: gráfico de uma função periódica de período 2π.

a b f a f b> ⇒ ( ) > ( )

a b f a f b> ⇒ ( ) < ( )

Figura 2.17: Funções crescentes ou decrescentes em certos intervalos.

47



coordenadas. No caso de apenas uma variável independente representaremos tal dependência

da seguinte forma:

2.33

que se lê y é função de x.

Na mecânica, a variável independente é o tempo. As variáveis que podem depender do

tempo são as coordenadas, a velocidade, a aceleração e, em alguns casos, a própria força.

Nos exemplos abaixo, tanto o domínio da função quanto o contradomínio são o conjunto ,

o conjunto dos números reais.

O primeiro exemplo a ser considerado vem da geometria. A área

A de um quadrado depende do comprimento de um dos seus lados.

Se representa esse comprimento, essa dependência se escreve:

Um exemplo simples da mecânica ilustra o conceito

de função. Trata-se de um exemplo envolvendo uma

dependência linear entre grandezas. Consideremos

um corpo de massa m que esteja apoiado num plano

horizontal e preso na extremidade de uma mola.

Consideremos ainda o caso em que a outra extre-

midade da mola esteja fixada numa parede vertical.

Sem que haja qualquer tipo de interferência no

sistema massa-mola, o conjunto permanecerá em

repouso. E isto ocorre quando a mola não está sujeita

a nenhuma deformação.

Se, no entanto, esticarmos ou comprimirmos a mola

(puxando ou empurrando o corpo até uma nova posi-

ção), vamos notar que ela exerce uma força, F, sobre o

corpo de massa m. Essa força, denominada força elástica,

age de forma a restaurar a posição original, a posição de

y f x= ( )

Figura 2.18: A área do quadrado é função do seu lado .

Figura 2.19: Mola em diferentes situações e o sentido da força em cada caso.

A = 2 2.34

48

2 Funções


equilíbrio. Se adotarmos a convenção de que a origem da coordenada associada ao deslocamento

coincida com o ponto no qual não existem forças sobre a mola (a posição de equilíbrio), podemos

escrever a dependência da força em relação à coordenada da seguinte forma:

2.35

onde k é uma constante denominada constante elástica da mola. Observe que, se aumentarmos

o valor do deslocamento, em módulo, a força aumentará. O sinal menos assegura que ela está

sempre no sentido do ponto de equilíbrio. Nesse ponto, a força é nula.

Um exemplo extraído da gravitação diz respeito ao tempo de queda de um corpo, uma

vez solto de uma altura h. Tal tempo depende da aceleração da gravidade e depende da raiz

quadrada da altura. O tempo de queda pode ser visto como dependente desses dois parâmetros.

Visto como dependente da altura, escrevemos essa dependência como a função:

2.36

O gráfico dessa função, para diferentes valores da altura, é representado na Figura 2.20.

F kx= −

Tghqueda =

2

Figura 2.20: Gráfico do tempo de queda como função da altura.


3.1 Introdução3.2 Relações e funções 3.3 Retas e segmentos de retas no plano

3.3.1 Posição relativa de duas retas3.4 Ângulos e medidas de ângulos

3.4.1 Mais sobre ângulos3.5 Polígonos3.6 Cônicas

3.6.1 Parábola 3.6.2 Elipse3.6.3 Circunferência3.6.4 Hipérbole


APLICAÇÕES À GEOMETRIA ANALÍTICA3

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

51



3.1 IntroduçãoGeometria é um ramo da matemática que estuda as propriedades do espaço e as figuras que

ele comporta. No caso das figuras, procuramos analisar suas formas, tamanhos, posições relativas,

bem como deduzimos resultados (Teoremas ou Proposições) que podem ser obtidos a partir

de alguns postulados. As figuras contidas num plano são alvo de estudo da geometria dita plana.

As figuras tridimensionais são estudadas na geometria espacial.

A geometria experimentou grandes revoluções ao longo da História. A primeira delas deve ser

creditada a René Descartes, que introduziu a Geometria Analítica. Bolyai, Lobatchesvky, Gauss e

Riemmann desenvolveram geometrias não Euclidianas. Einstein associou uma propriedade do espaço à

matéria nele existente. A Teoria das Cordas e a Teoria M propõem espaços com mais de três dimensões.

Na geometria analítica, o conceito de função tem um papel central, com aplicações tanto

na geometria plana quanto na geometria espacial. Em Aplicações à geometria analítica,

analisaremos aplicações do conceito de função no estudo das retas, semirretas, segmentos de

reta, bem como de algumas figuras planas, especialmente polígonos, e, finalmente, as cônicas.

Na geometria analítica, o espaço é pensado como um conjunto (infinito) de pontos. Assim, ao

introduzir a ideia de ponto no espaço, somos levados a pensar em como caracterizar cada ponto

desse espaço. Com isso, procuramos dar uma definição mais operacional para esse conceito. Isso pode

ser feito uma vez introduzido um referencial. Adotado um determinado sistema de referência, cada

ponto do espaço pode ser especificado a partir das suas coordenadas. Um ponto pode ser especifi-

cado por meio das coordenadas cartesianas (x, y, z). Temos, assim, uma correspondência biunívoca

entre o conjunto de pontos do espaço e o conjunto das ternas ordenadas de números reais.

Um pouco de históriaSegundo os historiadores, a geometria teve início cerca de 3.000 anos antes de Cristo no Egito. A necessidade de medir com precisão as terras constantemente demarcadas após as sucessivas inundações do Nilo, ou o uso dessas demarcações para efeito de pagamento de impostos, constituiu-se no pano de fundo desse desenvolvimento inicial da geometria. A palavra geo-metria advém desses primeiros esforços de “medidas da terra”. Os babilônicos introduziram aperfeiçoamentos nessa área do conhecimento, a qual foi consolidada pelos gregos. O marco dessa consolidação foi a coletânea de livros Os Elementos, escritos por Euclides.

52

3 Aplicações à geometria analítica


3.2 Relações e funções Consideremos uma relação entre as coordenadas (x,y) no plano, que pode ser escrita gene-

ricamente como:

3.1

Uma curva no plano pode ser escrita como uma relação da forma acima. Por exemplo, a

circunferência de centro na origem é definida como a curva para a qual vale a seguinte relação:

3.2

onde R é o raio da circunferência.

Na relação 3.2 temos duas funções implícitas. A primeira delas é a função:

3.3

que descreve um arco da circunferência. A segunda é a função:

3.4

F x y,( ) = 0

x y R2 2 2+ =

y x R x+ ( ) = + −2 2

y x R x− ( ) = − −2 2

Figura 3.1: Arcos de circunferência descritos por funções.

Em a) temos y x R x+ ( ) = + −2 2 . Em b) temos y x R x− ( ) = − −2 2 .

a b

53



3.3 Retas e segmentos de retas no planoEstabelecemos uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos pontos do plano e o

conjunto dos pares ordenados de números reais. A cada ponto do plano corresponde um único

par ordenado de números reais e reciprocamente:

3.5

Dizemos então que as coordenadas do ponto P são dadas pelo par ordenado (x, y), isto é,

P = (x, y), onde x é a abscissa de P e y é a sua ordenada.

Considerando uma reta contida no plano xy (no espaço, esse plano é o plano caracterizado

pela equação z = 0), sua expressão mais geral é:

3.6

ou seja, a equação que relaciona as coordenadas x e y

dos pontos que pertencem à reta é uma equação do

primeiro grau. Muitas vezes, especialmente quando

y e x se referem a grandezas físicas, referimo-nos às

constantes a e b como parâmetros.

Um gráfico típico de uma função polinomial

de primeiro grau, também chamada função afim

(aquela sob a forma da expressão 3.6), é apresentado

na Figura 3.2.

O parâmetro b, denominado coeficiente linear da reta, pode ser facilmente identificado com o

valor da ordenada y quando x = 0, ou seja, ele corresponde ao valor da função para esse valor de x:

3.7

P ⇔( )x y,

Figura 3.2 O gráfico da função afim.

y ax b= +

y b0( ) =

54



O parâmetro a é denominado coeficiente angular da reta. Para determiná-lo, basta conside-

rar dois pontos P1 e P

2, que pertencem à reta e cujas coordenadas são:

3.8

Da expressão 3.6, uma vez que os pontos pertencem à reta, segue-se que:

3.9

Subtraindo a primeira da segunda equação, encontramos:

3.10

desde que x2 − x1 ≠ 0, isto é, P1 e P

2 não estão numa mesma reta perpendicular ao eixo x.

Uma reta não perpendicular ao eixo x é inteiramente caracterizada pelo seu coeficiente

angular (a) e pelo ponto (0, b) no qual a reta intercepta o eixo y.

A partir de um ponto A = (xA, yA) localizado sobre uma reta, podemos determinar duas

semirretas. Cada uma delas é caracterizada como o lugar geométrico dos pontos do plano que

satisfazem a expressão 3.6, bem como a uma das duas condições:

3.11

Dois pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB) sobre uma reta deter-

minam um segmento de reta. Este, por outro lado, é definido como

o lugar geométrico dos pontos do plano que satisfazem a expressão

3.6, bem como à condição:

3.12

PP

1 1 1

2 2 2

==

( , )( , )x yx y

y ax by ax b

1 1

2 2

= += +

a y yx x

yx

=−−

=∆∆

2 1

2 1

Figura 3.3: Segmento de reta.

x xx x≥≤

A

A

A Bx x x≤ ≤

55



3.3.1 Posição relativa de duas retas

No espaço tridimensional, pode-se falar de 3 posi-

ções relativas de duas retas.

Diz-se que duas retas são reversas quando elas não

estão contidas na mesma superfície plana, ou seja, não

há um plano que contenha as duas retas. Nesse caso, as

retas não se encontram.

Consideremos agora as duas situações possíveis quando duas retas estão contidas no mesmo plano.

Duas retas coplanares são ditas paralelas quando não têm ponto em comum. Examinando as

equações de duas retas paralelas, o sistema de duas equações a duas incógnitas não deve ter solução,

uma vez que não existe um ponto que esteja nas duas retas ao mesmo tempo. Sendo assim, se

3.13

então,

3.14

isto é, retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular e suas equações diferem, portanto, apenas

no que diz respeito ao parâmetro b.

Quando duas retas coplanares r e s não são paralelas, elas se interceptam em

algum ponto P no plano. Nesse caso,

dizemos que as retas são concorrentes.

O ponto de intersecção das duas retas pode ser obtido resolvendo o sistema de duas

equações a duas incógnitas:

3.15

Figura 3.4: Retas reversas.

Figura 3.5: Retas paralelas. Figura 3.6: Retas concorrentes.

y a x by a x b

1 1 1

2 2 2

= += +

a a2 1=

y a x by a x b

1 1 1

2 2 2

= += +

56



Seja P = (xP, yP) o ponto comum às duas retas. Temos então:

3.16

Note que a1 − a2 ≠ 0 pois as retas não são paralelas.

Por exemplo, o ponto de encontro das retas:

3.17

tem coordenadas (3, 11).

3.4 Ângulos e medidas de ângulosConsideremos o caso de duas retas concorrentes. As semirretas r e s, que se originam no

ponto de intersecção, têm inclinações diferentes. Para medir a inclinação definimos a grandeza

ângulo. Ângulos podem ser medidos, uma vez que podem ser comparados. No plano, com um

sistema de coordenadas, o ângulo especifica a inclinação de uma reta com relação ao eixo ho-

rizontal. No caso de duas retas concorrentes, o ângulo entre elas especifica quão inclinadas as

duas retas estão uma em relação à outra.

Para entender o conceito de ângulo, consideremos circunferências concêntricas desenhadas a

partir de um ponto P. Consideremos agora a relação entre o comprimento do arco e o raio da

circunferência. Dadas duas retas quaisquer, concorrentes no ponto P, essa relação não depende

do raio da circunferência, no sentido de que, se o raio aumenta, o

comprimento do arco aumenta na mesma proporção, e o quociente

entre o comprimento do arco e o raio permanece constante. É uma

característica das direções relativas: a inclinação entre elas.

Podemos , como veremos a seguir, fazer uso de duas unidades de

medida de ângulos.

y y y a x b a x b x b ba a1 2 1 1 2 2

2 1

1 2

= = ⇒ + = + ⇒ =−−P P P P

y a x b y a b ba a

bP P P = + ⇒ =−−

+2 2 2

2 1

1 22

y xy x

1

2

5 43 2

= −= +

Figura 3.6: Ângulo como medida de inclinação.

57



Em Física, é muito comum, no estudo do movimento circular, o uso de variáveis angulares.

Assim, é importante entender como medimos ângulos. Na medida de um ângulo podemos

utilizar qualquer uma das duas unidades: grau ou radiano.

No caso do grau, di-

vidimos a circunferência

completa em 360 partes

iguais. Um grau é a medida

do ângulo central determi-

nado por uma dessas partes.

Para a medida do ângulo em radia-

nos, determinamos o comprimento do

arco associado a ele e o dividimos pelo

valor do raio. Temos, portanto:

3.18

A circunferência toda corresponde a 2π radianos. Portanto, ao valor de 360° correspondem

2π radianos.

Voltando à equação da reta

3.19

que passa pelos pontos

3.20

Figura 3.7: Com o transferidor medimos ângulos em graus.

Figura 3.8: Definição de grau como unidade de medida de ângulos.

Sugerimos aqui que se dê uma boa olhada no transferidor. A medida de um ângulo em graus é efetuada determinando-se quantas vezes o ângulo é maior do que aquele de um grau.

Figura 3.9: Definição de radiano como unidade de medida de ângulos. ϕ =sR

y ax b= +

PP

1 1 1

2 2 2

==

( , )( , )x yx y

58



que têm abscissas diferentes, podemos escrever seu coeficiente angular, em termos do ângulo θ

que ela forma com o eixo x, como:

3.21

3.4.1 Mais sobre ângulos

Levando-se em conta a possibilidade de três retas serem concorrentes num único ponto,

isto é, existir um ponto comum a todas elas, os ângulos formados, em relação a uma delas, são

ângulos adjacentes (Figura 3.10).

Duas retas concorrentes definem quatro ângulos. Os pares de ângulos não adjacentes são

denominados opostos pelo vértice (Figura 3.11).

Os ângulos opostos pelo vértice são iguais.

O ângulo entre duas retas de coeficientes angulares definidos pelos ângulos θ1 e θ2 é dado

pela diferença desses ângulos:

3.22

Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas for igual a 90° (Figura 3.12).

a y yx x

=−−

=2 1

2 1

tgθ

θ θ θ= −1 2

Figura 3.12: Ângulos complementares.Figura 3.10: Ângulos adjacentes. Figura 3.11: Ângulos opostos pelo vértice.

Ângulo reto é aquele cuja medida é igual a 90°. Ângulo raso é aquele cuja medida é igual a 180°.Ângulos agudos são aqueles cujas medidas são menores do que 90°. Ângulos obtusos são aqueles cujas medidas excedem 90°.

59



Dizemos que duas retas concorrentes são perpendiculares se qualquer um dos quatro

ângulos por elas formados for um ângulo reto.

Retas perpendiculares obedecem à seguinte relação entre seus coeficientes angulares:

3.23

Por exemplo, as retas

3.24

são perpendiculares.

3.5 PolígonosUma classe relevante de figuras planas são aquelas que podem ser geradas a partir de um

conjunto de pontos A1, A2, ......An pertencentes ao plano. Analisaremos o caso em que nenhum

conjunto de três deles, contíguos, pertencem a uma mesma reta.

Cada um desses pontos tem coordenadas dadas por:

3.25

A distância d(A1, A2) entre dois pontos A1 e A2 no plano é dada pela expressão:

3.26

Figura 3.13: a) Um ângulo agudo b) Um ângulo obtuso c) Duas retas perpendiculares.Figura 3.14: Retas perpendiculares em perspectiva.

a b c

aa1

2

1= −

y x

y x

1

2

5 415

3

= −

= − +

A A A A1 1 1 2 2 2= = = =( , ); ( , );...; ( , );...; ( , )x y x y x y x yi i i n n n

d y y x xA A1 2 1 22

1 22,( ) = −( ) + −( )

60



Suponhamos que os pontos A1, A2, ..., An sejam ligados por segmentos de reta, sucessiva-

mente, isto é, unimos o ponto A1 ao ponto A2, depois A2 ao ponto A3, e assim por diante até

voltarmos ao ponto A1.

Algumas das figuras geradas por meio do procedimento acima têm um grande apelo estético.

Em Aplicações à geometria analítica, analisaremos as curvas resultantes do processo

acima descrito quando utilizamos segmentos de reta para interligar os pontos em sucessão.

A curva resultante tem o nome de polígono.

Os pontos A1, A2, ..., An são denominados vértices do polígono. O segmento entre cada par

de pontos é denominado lado do polígono.

Podemos classificar os polígonos em côncavos e convexos. Estes últimos são mais interes-

santes, pois eles incluem os polígonos regulares não estrelados.

Figura 3.15: Polígonos Irregulares.

Para entender a diferença entre as duas categorias, basta considerar a reta que contém algum dos lados. Podemos agora antever duas situações: para pelo menos um dos lados a reta aludida acima corta o polígono, ou para nenhum dos lados isso ocorre. Neste último caso, dizemos que o polígono é convexo. De outra forma, isto é, no primeiro caso, ele é dito côncavo.

Figura 3.16: À esquerda, um polígono convexo; à direita, um polígono côncavo.

61



Nomeamos os polígonos de acordo com o número de seus lados. Triângulos são polígonos

com três lados. São denominados quadriláteros aqueles com quatro lados. Dando continuidade

à nomenclatura, utilizamos sempre os prefixos gregos para designá-los. Eles são chamados

pentágonos (aqueles com 5 lados), hexágonos (os que contêm 6 lados), heptágonos (7), octó-

gonos (8), eneágonos (9), decágonos (10), e assim por diante.

São chamados polígonos regulares aqueles que têm todos os lados congruentes (de mesmo

comprimento), bem como são congruentes todos os ângulos (de mesma medida). O fato notável

em relação aos polígonos regulares é poderem todos eles ser construídos com os instrumentos

euclidianos: a régua e o compasso. Para construí-los devemos saber como dividir uma circun-

ferência em partes iguais.

Chama-se trilátero o polígono de três lados, ou seja, triângulo e trilátero são nomes dados

ao mesmo polígono. Um triângulo é equilátero quando seus três lados são congruentes; um

triângulo isósceles é aquele que tem 2 lados congruentes e um triângulo escaleno é aquele

que tem 3 lados de comprimentos diferentes. Um triângulo é dito retângulo quando tem

um ângulo reto; um triângulo é obtusângulo quando tem um ângulo obtuso; um triângulo é

acutângulo quando tem os 3 ângulos agudos.

Entre as figuras que têm 4 lados – os quadriláteros – o quadrado é aquele que tem os 4 lados

de mesmo comprimento e os 4 ângulos de mesma medida.

O perímetro de um polígono é dado pela soma dos comprimentos de seus lados, isto é,

3.27

Figura 3.17: Polígonos regulares.

P d d d dn n n= + + ⋅⋅⋅ + +−( , ) ( , ) ( , ) ( , )A A A A A A A A1 2 2 3 1 1

62



A área S de um polígono pode ser expressa em função das coordenadas dos pontos

A1, A2, ......An. Assim, no caso de um triângulo, no espaço, podemos escrever sua área em função

das coordenadas dos vértices como:

3.28

3.6 CônicasAs cônicas são curvas obtidas pela

intersecção da superfície de um cone

circular reto de duas folhas com um

plano. A seguir, apresentaremos de

maneira sucinta as cônicas não dege-

neradas, isto é, a parábola, a elipse e a

hipérbole. Como veremos adiante, uma

circunferência é uma particular elipse.

S y y x x y y x x y y x x= +( ) −( ) + +( ) −( ) + +( ) −( ) 12 1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1

a b

Figura 3.18: A área de um triângulo, um polígono de três lados, pode ser calculada por meio das coordenadas de seus vértices. No exemplo a) um triângulo retângulo e, em b) um triângulo qualquer.

Figura 3.19: As curvas cônicas.

63



3.6.1 Parábola

Num plano, consideremos uma reta r e um ponto

não pertencente a ela. Uma parábola é o lugar geomé-

trico dos pontos do plano que se situam a distâncias

iguais do ponto (denominado foco) e da reta, que é

conhecida como diretriz (vide Figura 3.20). Essa

definição é atribuída a Pappus.

A distância entre dois pontos é dada pela expressão 3.26.

Considerando um sistema cartesiano em que o foco da parábola é o ponto F = (0, p), isto

é, o foco se encontra no eixo vertical, a distância de um ponto qualquer, P = (x, y), sobre a

parábola até o foco F será dada por:

3.29

A distância desse ponto P = (x, y) até a reta diretriz, cuja equação é y = −p, é definida como a

diferença entre as ordenadas do ponto P e do ponto, de mesma abscissa de P, que está na diretriz.

Assim,

3.30

Igualando as duas distâncias, obtemos:

3.31

donde obtemos a coordenada y de um ponto sobre a parábola como função da coordenada x.

Explicitamente, escrevemos:

3.32

Figura 3.20: A definição de parábola como lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de uma reta e de um ponto.

d x y p( , ) ( )P F = + −2 2

d r y p y p( , ) ( )P = − − = +

y p x y p+ = + −2 2( )

y px= 4 2

64



A equação geral da parábola, quando a escrevemos em termos das coordenadas cartesianas,

é expressa sob a forma de uma função polinomial de segundo grau, a qual pode ser escrita de

duas formas inteiramente equivalentes:

3.33

onde o termo Δ é dado por

3.34

Considerando um referencial cartesiano deslocado, de tal forma que a origem desse novo

sistema coincida com o ponto que é o vértice da parábola V ba a

=− −

2 4

, ∆, então, no novo

sistema cartesiano x′y′, Vx′y′ = (0,0), e um ponto P = (x, y) no sistema inicial será escrito no novo

sistema como P = = + +

= + +

−

( ', ') , ,x y x b

ay

ax b

ay b ac

a2 4 24

4

2∆.

Assim, no novo sistema de coordenadas, a equação da parábola é:

3.35

onde, a partir de 3.32, a constante a é dada em termos da ordenada do foco como

3.36

Vale notar, portanto, que efetuar translações ao longo dos eixos x e y corresponde a fazer

uma mudança do sistema de coordenadas.

y x ax bx c a x ba a

( ) = + + = +

−2

2

2 4∆

∆ = −b ac2 4

y x a x' ' ( ')( ) = 2

a p= 4

Figura 3.21: Por meio da mudança do sistema de coordenadas podemos simplificar a expressão de uma função quadrática.

65



A parábola é uma cônica. Isso porque ela pode ser

obtida como a intersecção da superfície do cone com

um plano que é paralelo à geratriz da superfície, de

acordo com a Figura 3.22.

3.6.2 Elipse

Seja dado um número real positivo a. No plano, consideremos dois pontos, denominados

focos, que distam um dado valor 2c, onde c é um número real positivo, c < a. Uma elipse é o

lugar geométrico dos pontos do plano, cuja soma das distâncias aos focos é igual a 2a. Ou seja,

sendo r e r′ tais distâncias, escrevemos para os pontos localizados sobre a elipse:

3.37

Adotando um sistema cartesiano de forma que a origem coincida com o centro da elipse (vide

Figura 3.23), temos que os focos são os pontos de coordenadas F1 = (c, 0) e F2 = (−c, 0) ou

3.38

onde ε é um parâmetro, menor do que 1 e maior do que 0, conhecido como excentricidade

da elipse,

ε = c/a.

Figura 3.22: A parábola como uma cônica.

Figura 3.23: Definição da elipse como lugar geométrico dos pontos P do plano tais que PF1 + PF2 = 2a, onde F1F2 = 2c, c < a.

r r a+ =' 2

F F 1 20 0= ( ) = −( )ε εa a, ,

66



A partir da definição de elipse, a soma das distâncias nos leva à identidade:

3.39

Depois de algumas manipulações relativamente simples, a equação 3.39 é equivalente à equação:

3.40

Tendo em vista que na elipse os dois semieixos - maior

e menor - e a metade da distância focal se relacionam

conforme o Teorema de Pitágoras (Figura 3.24):

3.41

a equação para a elipse pode ser escrita como:

3.42

A relação acima não define uma função. No entanto, se analisarmos os dois ramos da elipse (a parte

acima do eixo x e a parte abaixo desse eixo), então, podemos considerar os gráficos de duas funções:

3.43

Com as ferramentas do Cálculo Integral será possível mostrar

que a área de uma elipse é dada pela expressão:

3.44

A elipse é uma cônica, resultante de intersecção de um plano

com uma superfície cônica (vide Figura 3.25).

x a y x a y a−( ) + ( ) + +( ) + ( ) =ε ε2 2 2 2 2

Figura 3.24: Na elipse, a2 = b2 + c2.

xa

ya

+

−=

2 2

2 211

( )ε

a a b b a2 2 2 2 21= + ⇒ = −ε ε

xa

yb

+

=

2 2

1

Figura 3.25: A elipse como uma cônica.

y b xa

y b xa

+

−

= −

= − −

1

1

2

2

A ab= π

67



3.6.3 Circunferência

A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de um ponto

dado, denominado centro da circunferência. Essa distância é identificada com o comprimento

característico da circunferência - o seu raio.

Uma circunferência é uma particular elipse, cujos semieixos - maior e menor - são iguais.

Consequentemente, numa circunferência, não existem os focos (pois c = 0 na caracterização da

elipse, conforme Figura 3.24). Então, uma circunferência é uma elipse cuja excentricidade é

nula (ε = 0). Escrevemos dessa maneira:

3.45

3.6.4 Hipérbole

Seja dado um número real positivo a. Num plano, consideremos dois pontos, denominados focos,

que distam um dado valor 2c, onde c é um número real positivo, c > a. Uma hipérbole é o lugar

geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias aos focos é, em valor absoluto, igual a

2a. Ou seja, sendo r e r′ tais distâncias, escrevemos para os pontos localizados sobre a hipérbole:

3.46

ou seja,

3.47

Na expressão 3.47, 2a é a distância entre os vértices

da hipérbole. O sinal + ou – se aplica a cada um dos

ramos da hipérbole, uma vez que a hipérbole é uma

curva contendo dois ramos, cada um deles tendo um

foco distinto (vide Figura 3.26).

r a RC= =

Figura 3.26: Hipérbole como lugar geométrico satisfazendo a 3.46.

| ' |r r a− = 2

r r a− = ±' 2

68



Adotando-se um sistema cartesiano de forma que a origem coincida com o centro da

hipérbole (vide Figura 3.26), temos que os focos são os pontos de coordenadas F1 = (c, 0) e

F2 = (−c, 0) ou

3.48

onde ε é um parâmetro, maior do que 1, conhecido como excentricidade da hipérbole,

ε = c/a.

A partir da definição de hipérbole, a diferença das distâncias nos leva à identidade:

3.49

Depois de algumas manipulações relativamente simples, a equação acima é equivalente à equação:

3.50

Definimos agora o parâmetro positivo b por meio da relação:

3.51

e, assim, a equação da hipérbole pode ser escrita como:

3.52

É importante notar que a equação acima foi deduzida para a situação considerada em que

os focos da hipérbole se encontram no eixo das abscissas.

De maneira análoga, pode-se deduzir a equação para o caso em que os focos da hipérbole se

encontram no eixo das ordenadas, obtendo:

3.53

F a F a1 20 0= ( ) = −( )ε ε, ,

x a y x a y a−( ) + ( ) − +( ) + ( ) = ±ε ε2 2 2 2 2

xa

ya

−

−=

2 2

2 2 11

( )ε

b a a b a2 2 2 2 2 1= − ⇒ = −ε ε

xa

yb

−

=

2 2

1

yb

xa

−

=

2 2

1

69



As relações 3.52 e 3.53 não definem funções. No entanto, podemos encontrar a hipérbole

como reunião de dois gráficos, em cada caso.

A partir de 3.52, isolando a variável y, temos duas possibilidades. A primeira delas é:

3.54

cujo gráfico se encontra acima do eixo x (Figura 3.27).

A outra possibilidade é:

3.55

cujo gráfico se encontra abaixo do eixo x (Figura 3.28).

y b xa

+ =

−

2

1

Figura 3.27: O gráfico de y b xa

+ =

−

2

1 .

y b xa

− = −

−

2

1


− = −

−

2

1.

70



A partir de 3.53, isolando a variável y, temos novamente duas possibilidades. A primeira

delas é:

3.56

cujo gráfico se encontra acima do eixo x.

A outra possibilidade é:

3.57

cujo gráfico se encontra abaixo do eixo x.

y b xa

+ = +

1

2


+ = +

1

2

.

y b xa

− = − +

1

2


− = − +

1

2

.

71



A hipérbole é igualmente uma cônica, resultante da intersecção de um plano com uma

superfície cônica (vide Figura 3.31).

Figura 3.31 : A hipérbole é uma cônica.


4.1 Potenciação de expoente natural4.2 Funções polinomiais de grau n4.3 Função polinomial do segundo grau ou função quadrática4.4 Análise do gráfico de uma função quadrática 4.5 Gráficos das funções polinomiais4.6 Raízes das funções polinomiais4.7 Raízes da função quadrática4.8 Ponto de máximo ou de mínimo da função quadrática


FUNÇÕES POLINOMIAIS4

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

75



4.1 Potenciação de expoente naturalAntes de abordar as funções polinomiais, devemos introduzir uma operação com números

reais, denominada potenciação. Assim, definimos a potência n do número real a, com n ∈ *,

representada por an, como o resultado do produto do número a n vezes, ou seja,

4.1

Por exemplo, no caso de n = 3, temos:

4.2

ou seja, o produto sucessivo de a três vezes.

O resultado da potenciação de um número real é um outro número real. Por exemplo,

4.3

A potenciação é uma operação bastante simples sempre que o expoente for um número

inteiro positivo.

4.2 Funções polinomiais de grau nA operação potenciação com expoente natural permite-nos definir uma ampla classe de funções,

denominadas genericamente funções polinomiais. Por exemplo, a função cúbica ou função poli-

nomial de terceiro grau é definida a partir da potenciação, uma vez que é uma função da forma:

4.4

que associa a cada valor da variável independente o seu cubo multiplicado pela constante a:

4.5

a a a an

n

= . . ... . vezes

��

a a a a3 = . .

3 3 3 3 3 9 27

3 3 3 3 3 9 27

3

3

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

−( ) = −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) = − ⋅ = −

f x ax( ) = 3

f x a x x x( ) = ⋅ ⋅( )

76

4 Funções Polinomiais


Um exemplo simples de função cúbica é aquela que expressa o volume de uma esfera como

função do seu raio. Nesse caso, a dependência do volume em relação ao raio R se escreve:

4.6

Analogamente, podemos definir uma função envolvendo uma potência arbitrária, n, da

variável dependente, onde n ∈ *:

4.7

Um polinômio de grau n é definido como uma soma de parcelas do tipo a f xnn. ( ) , para n

inteiro positivo ou, equivalentemente, uma combinação linear de funções do tipo 4.7. Assim,

um polinômio de grau n (Pn(x)), é definido pela expressão geral:

4.8

ou, analogamente,

4.9

Desse modo, um polinômio de grau n pode ser definido como uma soma de monômios

cujos graus variam de zero até n – um monômio de grau zero é uma constante – que é um

número real:

4.10

Da definição acima, temos que uma função afim é, por definição, um polinômio de primeiro

grau, ou seja,

4.11

V R=43

3π

f x x x x xn n

n

( ) . .= = ... . vezes

��

P x a f x a f x a f x ann

nn

n( ) = ( ) + ( ) + + ( ) +−−

11

11

0...

P x a x a x a x ann

nn

n( ) = + + + +−−

11

1 0...

P x a xnii

i

n

( ) ==∑

0

P x a x a11 0( ) = +

77



Por exemplo, a velocidade escalar de uma par-

tícula de massa m sujeita a uma força constante

F, atuando ao longo de uma curva, é dada, como

função do tempo t decorrido, por:

4.12

Nesse caso, a variável independente é o tempo,

acima designado por t, enquanto os parâmetros a1

e a0 são, respectivamente, a aceleração da partícula

(a1 = F/m) e a sua velocidade inicial (a0 = V(0) = V0). Um polinômio é par se:

4.13

Nesse caso, n deve ser necessariamente um número par e todos os coeficientes das potências

ímpares devem ser nulos. Por exemplo, o polinômio:

4.14

é um polinômio par.

Um polinômio é dito ímpar se:

4.15

Nesse caso, n deve ser um número ímpar, bem como todos os coeficientes das potências

pares devem ser nulos. Assim, o polinômio

4.16

é um polinômio ímpar.

Figura 4.1: Gráfico de uma função polinomial do primeiro grau ou função afim.

V t Fmt V( ) =

+ 0

P x P xn n( ) = −( )

P x x x4 4 213 36( ) = − +

P x P xn n( ) = − −( )

P x x x x5 5 313 36( ) = − +

78



4.3 Função polinomial do segundo grau ou função quadrática

A função polinomial do segundo grau ou o polinômio de segundo grau mais geral é da forma:

4.17

Na expressão acima, empregamos a forma convencional de apresentar as funções quadráticas,

ou seja, em termos de parâmetros designados pelas letras a, b e c. As constantes a, b e c são

denominadas, respectivamente, coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante

ou termo livre. O coeficiente quadrático é o único que não pode ser nulo, pois, nesse caso, a

função não seria do segundo grau.

O gráfico de um polinômio do segundo grau é uma curva denominada parábola. Isto foi

discutido em Aplicações à geometria analítica, seção 3.6.1.

O movimento dos projéteis na superfície terrestre provê mais de um exemplo de grandezas

que dependem, quadraticamente, umas das outras. Por exemplo, a coordenada y associada à

posição de um projétil depende da coordenada x da seguinte forma:

4.18

onde g é a aceleração da

gravidade, y0 é o valor da

coordenada y quando do

início do movimento,

isto é, quando x = 0, e

a velocidade inicial do

projétil tem componentes

(v0x , v0y).

y x ax bx c( ) = + +2

y x g xv

v xv

yx

yx

( ) = −

+

+2 0

2

00

0

Figura 4.2: A trajetória de um projétil é descrita por uma função quadrática.

79



A seguir, escreveremos 4.17 de uma forma inteiramente equivalente, e muito útil, como se verá.

Admitindo-se o parâmetro a não nulo (a ≠ 0), podemos escrever as seguintes igualdades:

4.19

donde inferimos que

4.20

onde o termo ∆ é dado por

4.21

Embora seja pouco comum, vamos usar, muitas vezes, esta última forma da função quadrá-

tica. Em particular, se recorrermos a um artifício definido como translação de eixos (mudanças

de eixos na direção vertical e horizontal), ela se torna útil para escrever a equação da parábola

de uma forma mais simples. De fato, se redefinirmos as variáveis de acordo com as expressões:

4.22

então, o polinômio do segundo grau pode ser escrito, nessas novas variáveis, como:

4.23

Observe que efetuar translações ao longo dos eixos x e y corresponde a realizar uma

mudança do sistema de coordenadas.

y ax bx c a x bax ca

a x bax ca

ba

ba

= + + = + +

= + + + −

2 2 22

2

2

24 4

= + + +

+

a x bax b

aca

x ba

22

2

2

42

� �� −−

= +

−

−

∆

ba

a x ba

b aca

2

2

2 2

24 24

4

��

y x ax bx c a x ba a

( ) = + + = +

−2

2

2 4∆

∆ = −b ac2 4

′ = +

′ = −−

x x ba

y y b aca

24

4

2

′ ′( ) = ′y x ax 2

80



As transformações 4.22 podem ser pensadas como translações dos eixos na direção horizontal

e na direção vertical. Assim, mediante uma nova escolha de eixos, escolha essa definida por 4.22,

podemos reduzir a expressão 4.17 ou 4.20 a uma forma bastante simples, que é dada em 4.23.

No que se segue, utilizaremos, indistintamente, qualquer uma das expressões 4.17, 4.20 ou 4.23.

De acordo com a expressão 4.13, podemos constatar que a função polinomial sob a forma

4.23 é uma função par. Assim, constatamos que a parábola dada em 4.20 apresenta um eixo de

simetria, que é a reta dada por:

4.24

4.4 Análise do gráfico de uma função quadrática Podemos classificar as parábolas a partir de suas características. Uma primeira característica é a

concavidade. Uma segunda diz respeito ao fato de ela interceptar ou não o eixo x.

Figura 4.3: Por meio da translação de eixos, podemos simplificar a forma da função quadrática.

x ba

= −2

Uma função quadrática pode exibir dois tipos de concavidade. A concavidade é considerada positiva se a curva “está virada para cima”. Se ocorrer o oposto, a concavidade da curva é negativa. Nesse caso, dizemos, numa linguagem coloquial, que ela está “vira-da para baixo”. Posteriormente, daremos uma definição mais pre-cisa de concavidade de uma curva.

81



Levando em conta ainda a forma 4.23, podemos verificar que a concavidade é determinada

pelo sinal do parâmetro a da função. A concavidade será negativa se o parâmetro a for negativo.

E será positiva se a for positivo. Isso pode ser facilmente observado na Figura 4.4.

Assim, o parâmetro a determina

também o quão “aberta” ou “fechada”

será a parábola. Quanto maior o valor

desse parâmetro tanto mais fechada será

a parábola (vide Figura 4.5).

A parábola pode interceptar ou não o

eixo x. Para determinar se a curva inter-

cepta o eixo x, basta procurar os valores

de x que tornam y = 0. A tais valores,

quando existem, damos o nome de raízes

da função ou raízes do polinômio. Cada

ponto em que a parábola cruza o eixo x é obtido por meio de um par ordenado da forma

(xr, 0), onde xr é uma das raízes do polinômio de segundo grau, isto é:

4.25

Assim, o gráfico de um polinômio do segundo grau pode interceptar duas vezes o eixo x (se ele

possuir duas raízes distintas), interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma raiz ou duas

raízes iguais), ou nunca interceptá-lo (se não houver raízes reais). De acordo com a análise que

Figura 4.4: A concavidade da função depende do sinal do parâmetro a.

Figura 4.5: Comportamento da parábola quando variamos o parâmetro a.

ax bx cr r2 0+ + =

82



faremos na seção 4.7, tais casos podem ser decididos por meio da relação entre os parâmetros

a, b e c. O resultado é o seguinte:

Se

4.26

Assim, a função quadrática, por exemplo,

4.27

intercepta o eixo x duas vezes pois, nesse caso, ∆ = 9 − 4.1.2 = 1, ao passo que a função

4.28

intercepta o eixo x apenas uma vez, pois ∆ = 4 − 4.1.1 = 0 . A função

4.29

não intercepta o eixo x.

∆ > ⇔ >

∆ = ⇔ =

∆ < ⇔ <

0 40 40 4

2

2

2

b acb acb ac

o gráfico corta o eixo x duas vezes

o gráfico corta o eixo x uma única vez

o gráfico não corta o eixo.

Figura 4.6: A parábola para diferentes possibilidades de ∆.

y x x x( ) = − +2 3 2

y x x x( ) = − +2 2 1

y x x( ) = +2 1

83



Exemplos

• ExEmplo 1Estude a função:

4.30

com relação às suas intersecções com os eixos coordenados.

→ REsolução:Primeiramente, observamos que, nesse caso, temos: a = 1, b = −6, c = 5.

a. Intersecção com o eixo 0y:Para encontrar o valor de y, basta tomar x = 0 na equação 4.30.Obtemos:

4.31

Portanto, o gráfico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (0,5).Observamos também que, como a = 1 > 0, a concavidade é para cima.

b. Intersecção com o eixo x:Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0, ou seja, pontos x para os quais:

4.32

Vamos determinar o valor de ∆:

4.33

Logo, a função dada admite duas raízes reais, ou seja, seu gráfico cortará o eixo horizontal em dois pontos.

y f x x x= ( ) = − +2 6 5

y( )0 0 6 0 5 52= ( ) − ( ) + =

x xi i2 6 5 0− + =

∆ = − = −( ) − ( ) ( ) = − =b ac2 24 6 4 1 5 36 20 16

84



4.5 Gráficos das funções polinomiaisGráficos típicos de funções polinomiais são apresentados nas figuras abaixo. O polinômio da

Figura 4.7d é um polinômio par. Os demais gráficos são de funções que não são pares nem ímpares.

Pode-se ver, pelos gráficos, que as funções polinomiais não são limitadas, isto é, elas podem

crescer indefinidamente, decrescer indefinidamente, ou ambos.

A curva associada ao gráfico de uma função polinomial de grau n pode cortar o eixo x um

certo número de vezes. Esse número é igual ou menor do que n. Aos pontos em que o gráfico

intercepta o eixo x damos o nome de raízes do polinômio.

a

b

c d

Figura 4.7: Alguns gráficos de funções polinomiais

85



Os polinômios, em geral, exibem pontos de máximo ou de mínimo locais. Por exemplo,

o gráfico da Figura 4.7c exibe dois máximos locais e um mínimo local, enquanto que a

Figura 4.7d apresenta dois máximos locais e três mínimos locais.

4.6 Raízes das funções polinomiaisA determinação das raízes de um polinômio de grau n se faz mediante a resolução de uma

equação algébrica. De fato, designando por xi a i-ésima raiz de um polinômio, por definição, xi

deve satisfazer à equação algébrica:

4.34

ou seja,

4.35

Podemos ter até n soluções reais para tal equação. Não existir solução, no conjunto dos

números reais, é, também, uma possibilidade. O estudo das raízes de um polinômio tem desa-

fiado os matemáticos. Assim, desde o século XVI, sabe-se encontrar a solução para as seguintes

equações cúbicas e quadráticas:

4.36

Nos casos mais gerais, o problema é complexo. O caso mais simples entre todos é aquele em

que o polinômio é fatorável, de tal forma que se pode escrevê-lo como produto de polinômios

de primeiro grau:

4.37

Por exemplo, o polinômio dado por 4.14 pode ser escrito como

4.38

P xni( ) = 0

a x a x a x an in

n in

i+ + + + =−−

11

1 0 0...

x mx nx px qx ri i

i i i

3

4 2

0

0

+ − =

+ + + =

P x a x x x x x xnn n( ) = −( ) −( ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −( )1 2

P x x x x x x x4 4 213 36 2 2 3 3( ) = − + = −( ) +( ) −( ) +( )

86



Ele tem, portanto, quatro raízes e elas são representadas pelo conjunto

4.39

O polinômio ímpar, dado por 4.16, pode ser escrito como

4.40

Ele tem, portanto, cinco raízes, constituindo o conjunto:

4.41

Figura 4.8 Gráfico do polinômio P4 indicando suas raízes.

− −{ }3 2 2 3, , ,

P x x x x x x x x x5 5 313 36 2 2 3 3( ) = − + = −( ) +( ) −( ) +( )

Figura 4.9 Gráfico do polinômio P5 indicando suas raízes.

− −{ }3 2 3, , 0,2,

87



4.7 Raízes da função quadráticaAnalisaremos, a seguir, o problema da determinação das raízes de uma equação do segundo

grau. A solução desse problema é bastante simples e se aplica a qualquer função polinomial de

segundo grau.

A equação que nos permite determinar as raízes da função quadrática, de acordo com a

notação da seção precedente, é dada por:

4.42

onde a ≠ 0.

De 4.20 vemos que ela pode ser escrita como:

4.43

E, portanto, tais valores, se existirem, devem satisfazer à identidade:

4.44

Ora, como é possível observar, a fim de que existam valores xi que satisfaçam à relação acima,

é necessário que o lado direito de 4.44 seja positivo ou nulo, ou seja:

4.45

Tendo em vista a expressão 4.43, obtemos a seguinte expressão:

4.46

Uma vez que o coeficiente a é não nulo, temos:

4.47

ax bx ci i2 0+ + =

a x ba

b acai +

−

−( )=

24

40

2 2

x ba

b aca ai +

=

−( )=

24

4 4

2 2

2 2

∆

∆ ≥ 0

a x ba ai +

−

∆

=

2 40

2

2

x ba ai +

=

∆2 4

2

2

88



E, portanto, se ∆ ≥ 0, as raízes são dadas da seguinte maneira:

4.48

Concluímos então que, dependendo do valor de ∆, podemos ter até três possibilidades:

4.49

Assim, para ∆ > 0, encontramos as duas raízes dadas pelos valores:

4.50

Se, no entanto, ∆ = 0, as duas raízes se reduzem a uma só:

4.51

De 4.50 ou 4.51, podemos concluir que a soma das raízes (S ) e o seu produto (P) são dados,

respectivamente, por:

4.52

Finalmente, é fácil verificar que, em termos das raízes dadas por 4.50 ou 4.51, um polinô-

mio do segundo grau pode ser escrito como:

4.53

Por exemplo, as raízes da função 4.27 são determinadas pela equação:

4.54

x ba ai + = ±

∆2 2

duas raízes reais diferentes

duas raízes reais iguais (uma única raiz)

não há raízes reais

∆ > ⇔∆ = ⇔

00

duas raízes reais diferentesduas raízes reais iguaiis (uma única raiz).não há raizes reais∆ < ⇔

0

x ba a

b b aca

x ba a

b b aca

1 2

2

2 2

2

2 44

2

2 44

2

= − − =− − −

= − + =− + −

∆

∆

x x ba1 2 2

= = −

S x x ba

P x x ca

= + =−

= ⋅ =

1 2

1 2

ax bx c a x bax ca

a x x x x2 21 2+ + = + +

= −( ) −( )

x xi i2 3 2 0− + =

89



cujas soluções, de acordo com 4.50, são:

4.55

enquanto a equação

4.56

admite apenas uma raiz, já que, nesse caso, ∆ = 0. Tal raiz, de acordo com a expressão 4.51, é

dada por:

4.57

A função 4.29 não tem raízes reais, pois ∆ < 0.

• ExEmplo 2Determine as raízes do polinômio dado por 4.30 (y f x x x= ( ) = − +2 6 5).

→ REsolução:A partir da expressão 4.21, encontramos ∆ = 16 e, portanto,

4.58

x

x

1

2

3 9 82

1

3 9 82

2

=− −

=

=+ −

=

x xi i2 2 1 0− + =

x x1 222

1= = =

Figura 4.10: Gráficos de funções quadráticas exibindo duas, uma ou nenhuma raiz.

∆ = =16 4

90



e, a partir daí,

4.59

ou seja,

4.60

4.8 Ponto de máximo ou de mínimo da função quadrática

Finalmente, lembramos que uma parábola exibe um ponto em que a variável y atinge um

valor máximo (ou um valor mínimo). Qualquer que seja o caso (máximo ou mínimo), esse

valor de y será representado genericamente por ym.

O valor da variável independente, x, para o qual ocorre o valor máximo (ou mínimo) da

função polinomial do segundo grau, será designado por xm. Como a cada par de valores das

variáveis corresponde um ponto (x , y) no plano, esse ponto muito especial da parábola é:

4.61

Esse ponto é o vértice da parábola.

Existe uma forma sistemática de determinar o ponto de máximo ou de mínimo de um

polinômio do segundo grau. Para isso, reescrevemos a função do segundo grau utilizando a

expressão 4.20, ou seja,

4.62

Da expressão acima, resulta que o máximo ou o mínimo da função quadrática ocorrerá para o

valor de x, para o qual o primeiro termo entre parênteses do lado direito se anula, isto é, xm é tal que:

4.63

x bai =

− ± ∆=− −( ) ±

( )=

±2

6 42 1

6 42

x

x

1

2

6 42

1

6 42

5

=−

=

=+

=

x ym m,( )

y a x ba a

= +

−

∆

2 4

2

2

x bam + =

20

91



ou seja, para

4.64

Outro modo de determinar a abscissa do vértice é lembrar que, havendo raízes reais, o

vértice se situa num ponto cuja abscissa é a média aritmética das raízes:

4.65

ao passo que o valor de ym, isto é, o valor máximo (ou mínimo) será determinado substituindo-se

em 4.62 o valor dado por 4.64, ou seja,

4.66

Obtemos, assim, explicitamente:

4.67

Assim, o ponto de máximo ou de mínimo tem coordenadas dadas por:

4.68

Os pontos de mínimo, isto é, os vértices das funções quadráticas 4.27, 4.28 e 4.29, são dados,

respectivamente, por:

4.69

x bam = − 2

x x x bam =

+= −1 2

2 2

y y x a x ba a

aa am m m= ( ) = +

−

∆

= −

∆

= −

∆2 4

04 4

2

22

2

ya

bacm = −

∆= − +

4 4

2

x y ba

bacm m, ,( ) = − − +

2 4

2

32

14

1 0 0 1, , ,−

( ) ( )

Figura 4.11: Vértices das funções quadráticas 4.27, 4.28 e 4.29.

92



No caso da função:

4.70

a abscissa do vértice (xv) é dada por:

4.71

ao passo que, de 4.66, vemos que a ordenada do vértice é dada por:

4.72

• ExEmplo 3A Figura 4.12 apresenta o gráfico de uma função quadrática. Escreva a expressão que define a função. Determine as coorde-nadas do vértice:

→ REsolução:Lembrando a forma geral da função quadrática y = ax2 + bx + c, o problema que se coloca é o de determinar os coeficientes a, b, e c.Da Figura 4.12 inferimos que as raízes são x1 = −1 e x2 = 3.Considerando, agora, a forma fatorada de uma função polinomial do segundo grau, escrevemos:

4.73

Resta-nos, portanto, determinar o valor do parâmetro a. Para isso, observe que o gráfico corta o eixo y no ponto (0,2), isto é, para x = 0, temos y = 2:

4.74

Donde inferimos que

4.75

Substituindo esse valor de a em 4.73, obtemos:

4.76

y x x= − +2 6 5

x bav =−

=− −( )( )

=2

62 1

3

yam =−∆

=−( )

= −4

164 1

4

Figura 4.12: Gráfico de uma função quadrática

y a x x x x a x x a x x= −( ) −( ) = +( ) −( ) = − −( )1 221 3 2 3

y a( ) ( )0 2 0 2 0 32= = − ⋅ −

− = ⇔ = −3 2 23

a a

y x x= − − −( )23

2 32

93



ou, de modo equivalente,

4.77

Para determinar as coordenadas do vértice, lembramos primeiramente que a abscissa do vértice é, essencialmente, a média aritmética das abscissas das raízes. Assim, nesse caso, obtemos:

4.78

Da expressão 4.66, que dá o valor da ordenada do vértice, obtemos:

4.79

Portanto, o vértice é o ponto (1, 8/3). Observe que, nesse caso, a concavidade da parábola é para baixo e a função admite um valor máximo, que é 8/3.

• ExEmplo 4Uma pessoa quer construir um galinheiro de forma retangular, usando um muro reto já construído como um dos lados do galinheiro. Dado que essa pessoa tem material para construir 60 metros de cerca de uma altura fixa, determine os valores de x e z, de modo que a área do galinheiro seja a maior possível (possa abrigar o maior número possível de galinhas).

→ REsolução:Tendo em vista que o galinheiro é retangular, a sua área, denominada y, é dada pelo produto dos lados:

4.80

Os lados x e z devem respeitar a limitação imposta pela quantidade de material à disposição. Assim, escrevemos para a soma dos três lados do galinheiro:

4.81

Donde concluímos que, com o material existente, a relação entre os lados é dada por:

4.82

y x x= − + +23

43

22

x x x bam =

+=− +

=−

=

−

−

=1 2

21 32 2

43

2 23

1

yam =−∆

=−

−

=4

649

4 23

83

Figura 4.13: A situação descrita no Problema 4.

y xz=

x z x+ + = 60

z x= −60 2

94



Portanto, escrevendo a área da construção em função do comprimento do lado, x, obtemos:

4.83

Como a < 0, a concavidade da parábola, que é o gráfico da função y = f (x), é para baixo e a função admite um valor máximo para a abscissa dada por:

4.84

Assim, para esse valor de x, o valor do outro lado será dado por:

4.85

Portanto, para que o galinheiro tenha a área máxima, devemos ter:

4.86 Figura 4.14: O problema resolvido.

y x x x x= −( ) = − +60 2 2 602

x x bam= =−

=−−( )

=2

602 2

15

z x= − = − ( ) =60 2 60 2 15 30

x z= =15 30 metros e metros


5.1 Introdução5.2 O Movimento uniforme5.3 O movimento uniformemente variado5.4 O problema geral5.5 Equações básicas do movimento5.6 Trajetória do projétil5.7 Altura máxima (h)5.8 Tempo de queda ou de voo5.9 Alcance do Projétil5.10 Casos particulares

5.10.1 Lançamento na vertical5.10.1.1 Lançamento para cima (v0y = v0)5.10.1.2 Lançamento para baixo (v0y = − v0) 5.10.1.3 Queda livre (v0y = 0)

5.10.2 Lançamento na horizontal5.10.3 Lançamento a partir do solo


5APLICAÇÕES NA DINÂMICA

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

97



5.1 IntroduçãoAs aplicações mais simples e interessantes das funções polinomiais dizem respeito ao estudo

dos movimentos quando estes se dão de forma que a força sobre um determinado corpo seja

constante, tanto ao longo de uma curva no plano quanto no espaço.

5.2 O Movimento uniformeNum movimento ao longo de uma curva predeterminada, quando a soma das forças que

agem sobre o corpo for não nula, mas de tal forma que a componente da força ao longo da

direção tangencial à curva seja nula, classificamos esse movimento como uniforme.

Galileu definiu o movimento uniforme tal qual o fazemos ainda hoje: é aquele para o qual

a distância percorrida pelo móvel é proporcional ao tempo despendido para percorrê-la. Assim,

num movimento uniforme, os espaços e a velocidade (constante) variam com o tempo de

acordo com as expressões:

5.1

onde v0 e s0 são, respectivamente, velocidade e espaço inicial.

Nesse caso, o coeficiente do termo de primeiro grau, isto é, o coeficiente angular do poli-

nômio do primeiro grau é a velocidade do movimento.

Figura 5.1: Gráficos do espaço e da velocidade escalar no movimento uniforme.

s t v t sv t v( )( )

= +=

0 0

0

98

5 Aplicações na Dinâmica


Exemplos

• ExEmplo 1Consideremos o caso em que dois automóveis estejam inicialmente a uma distância de 40 quilôme-tros um do outro na mesma estrada. Suponhamos que a velocidade de cada um, em valor absoluto, seja constante, 60 km/h e 100 km/h, respectivamente. Temos dois casos a considerar, conforme o sentido dos dois movimentos seja o mesmo ou não, a fim de determinar o tempo para que os dois veículos se encontrem.No caso em que os automóveis se movimentam no mesmo sentido, especificado pelo mesmo sinal da velocidade, podemos escrever para cada um dos veículos:

5.2

Na situação considerada, as unidades de tempo e de espaço serão a hora e o quilômetro, respectiva-mente. Ademais, nas expressões acima, partimos do pressuposto de que o veículo mais lento está na frente do mais rápido e de que as distâncias são medidas a partir de um ponto de referência comum a ambos, no qual t = 0, e que dista s

0 do ponto onde se encontra o automóvel mais rápido. O ponto

de encontro é caracterizado pelo tempo de encontro tE, instante em que os espaços percorridos são

iguais. Temos, portanto,

5.3

A igualdade acima ocorre quando as duas retas, que são os gráficos associados aos dois movimentos, se cruzam. O tempo de encontro é dado, portanto, por:

5.4

ou seja, após 1 hora, os dois veículos se encontram.O primeiro terá rodado 60 quilômetros durante esse intervalo de tempo enquanto o segundo terá rodado 100 quilômetros.

Figura 5.3: Gráficos do espaço × tempo e o instante do encontro entre os dois veículos.

s t t ss t t s

1 0

2 0

60 40100

( )( )= + += +

Figura 5.2: Condições iniciais do movimento de dois veículos em movimento uniforme.

s t s tE E1 2( ) ( )=

60 40 100 10 0t s t s tE E E+ + = + ⇔ =

99



No caso em que os dois automóveis se movimentam em sentidos opostos, as equações horárias são:

5.5

E, portanto,

5.6

ou seja, após 1/4 hora, isto é, 15 minutos, os dois veículos se encontram.

5.3 O movimento uniformemente variadoExistem duas definições para o que denominamos movimentos uniformemente variados.

Na primeira delas, dizemos que tais movimentos ocorrem quando a força (ou a soma das forças)

é constante. A segunda definição diz que são movimentos ao longo de uma curva em que a

componente da força na direção tangencial à curva é constante. Essa segunda definição se aplica

apenas ao caso específico do movimento que se dá ao longo de uma curva predefinida. Como

se vê, essas definições não são equivalentes.

De acordo com a definição de aceleração, podemos escrever, no segundo caso de movimento

uniformemente variado:

5.7

onde F0 é a componente tangencial da força (admitida constante).

A velocidade escalar v da partícula depende do tempo de acordo com uma função afim ou

polinomial do primeiro grau, cujos parâmetros são a aceleração (o coeficiente angular da reta) e a

velocidade inicial (o valor da ordenada quando a reta cruza esse eixo). Explicitamente, escrevemos:

5.8

s t t ss t t s

1 0

2 0

60 40100

( )( )= − + += +

− + + = + ⇔ =60 40 100 140 0t s t s tE E E

Fm

a00= ,

v a t v= +0 0

100



A dependência do espaço em relação ao tempo é dada por uma função polinomial do

segundo grau:

5.9

onde agora s0 e v0 representam, respectivamente, o espaço inicial e a velocidade escalar inicial.

Nesse tipo de movimento, podemos verificar que, se a aceleração for positiva (ou negativa),

a concavidade da parábola - gráfico da função estabelecida em 5.9 - será positiva (ou negativa).

Em algum instante de tempo, aqui denominado t0, o corpo cujo movimento estamos anali-

sando estará na origem dos espaços. Esse tempo é dado por:

5.10

Assim, nesse caso, as raízes estão associadas aos tempos que correspondem à passagem da partí-

cula pela origem. Como sabemos, pode ocorrer o caso de haver dois instantes de tempo (quando

a partícula vai e volta); nesse caso, v02 > 2a

0s

0, ou seja, o discriminante da equação do segundo grau

é positivo. Pode acontecer também o caso de haver apenas um instante de tempo, o que ocorre

quando v02 = 2a

0s

0, ou seja, o discriminante da equação do segundo grau é nulo. Esse é o caso de

uma raiz apenas do polinômio de segundo grau. Finalmente, pode haver o caso em que nenhum

instante de tempo satisfaça a condição 5.10. Este último caso ocorre quando v02 < 2a

0s

0, isto é, o

discriminante da equação do segundo grau é negativo e, nesse caso, o polinômio não terá raízes.

Os pontos de máximo ou mínimo têm um significado físico especial, uma vez que o instante

t em que isso ocorre é aquele para o qual a velocidade se anula, isto é, para o instante em que

o espaço é máximo ou mínimo, temos:

5.11

o que implica que, nesse instante de tempo, a velocidade se anula:

5.12

s t a t v t s( ) = +0 20 02

+ ,

a t v t s00

20 0 02

0 + + = .

t vam = −

0

0

v t a t vm m( ) = + =0 0 0

101



Isso significa que, no instante de tempo associado ao máximo ou mínimo, temos uma inver-

são do movimento, o qual se refletirá na inversão do sinal da velocidade. Assim, nesse instante, a

partícula inverte o sentido do movimento.

• ExEmplo 2Os espaços ocupados por uma partícula que se movimenta ao longo do eixo Ox são dados pela função x(t) = t ² – 4t – 5, onde a coordenada x é expressa em metros e o tempo t, t ≥ 0, em segundos.a. Em que instante(s) a partícula passa pela origem dos espaços?b. Esboce o gráfico cartesiano que ilustre a variação do espaço percorrido em função do tempo.c. Determine o instante em que ocorre a inversão do movimento da partícula.

→ REsolução: a. A função x(t) = t ² – 4t – 5 é uma função polinomial do segundo grau (cuja forma geral

é y = ax² + bx + c). Na origem, o espaço é x = 0; logo, para saber os instantes em que a partícula passa pela origem, determinam-se as raízes de x(t) = t² – 4t – 5 = 0. Para tanto, podemos utilizar a fórmula de Baskara:

xb b ac

aba

=− ± −

=− ± ∆2 4

2 2

No presente caso, Δ = (–4)² – 4(1)(–5) = 16 + 20 = 36 e 36 = 6.

Logo,

Temos então duas raízes possíveis:

t14 6

25=

+= e t2

4 62

1=−

= − ,

que fornecem os instantes de tempo medidos em segundos.A raiz t

2 = −1 deve ser descartada, pois t ≥ 0 (o tempo será assumido sempre positivo).

Portanto, a partícula passa pela origem no instante t = 5 segundos.

t =− −( ) ±

( )=

±4 62 1

4 62

.

102



b. O gráfico cartesiano da função polinomial de segundo grau é uma parábola. Para desenhá-la podemos, por exemplo, construir uma tabela de valores (os mais significativos), a partir de x(t) = t² – 4t – 5:

Tabela 5.1: Coordenadas para diversos valores do tempo.

t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x(m) –5 –8 –9 –8 –5 0 +7 16 27

Observe que, matematicamente, a parábola tem existência no semieixo negativo, isto é, para valores negativos da variável inde-pendente. Mas, no caso, como o domínio da função é constituído pelos valores do tempo t tais que t ≥ 0, considera-se o trecho da parábola que se encontra no semieixo positivo, isto é, para valores positivos da variável independente. O eixo de simetria é a reta paralela ao eixo das ordenadas, que passa por t = 2 e define o ponto de máximo ou de mínimo; dobrando-se a figura por essa reta, um ramo da parábola se sobrepõe ao outro.

c. O instante em que ocorre a inversão de movimento é o ponto de mínimo ou de máximo da função quadrática. No presente caso, isso ocorre no instante de tempo

t = 2 e x(2) = xmin = − 9.

No intervalo 0 ≤ t ≤ 2, a partícula se afasta da origem cada vez mais lentamente; para t > 2, a partícula se aproxima e passa pela origem (t = 5), afastando-se, em seguida, cada vez mais rapidamente.

• ExEmplo 3Os espaços ocupados por dois pontos materiais A e B (os quais denominaremos corpos), que se movem ao longo de uma curva, têm coordenadas espaços que são expressas, em função do tempo, da seguinte maneira:

sA = 20 + 5t e sB = 30t – 5 t ²,

onde S é dado em metros (m) e o tempo t (t ≥ 0) em segundos, sendo os espaços determinados a partir de uma origem comum.a. Qual a posição (ou espaço s ) ocupada pelos pontos materiais no instante t = 0?b. Qual a distância entre eles? E qual se encontra à frente?c. Em que instante os objetos estarão lado a lado?d. Esboçar, num mesmo diagrama, os gráficos cartesianos que representam as funções que

caracterizam os movimentos.

→ REsolução: a. No instante t = 0, o corpo A ocupa a posição sA = 20 + 5 (0) = 20 e o corpo B, a posição

sB = 30(0) – 5 (0)² = 0 (ele se encontra na origem dos espaços).

Figura 5.4: Gráfico da função x(t) = t ² – 4t – 5, no qual é possível visualizar a posição da partícula em função do tempo.

103



b. Δs = sB – sA = 0 –(20) = –20 ou, invertendo, Δs = sA – sB = 20 – 0 = 20 (o corpo A encontra-se 20 metros à frente de B).

c. Quando estiverem lado a lado, as suas posições serão iguais, ou seja, sA = sB. Então, igualando-se as duas equações, temos:

20 + 5t = 30t – 5t²

donde:t ² – 5t + 4 = 0,

cujas raízes são: t1 = 1 s e t

2 = 4 (ambas pertencentes ao domínio constituído pelos valores de t

tais que t ≥ 0). Isso significa que os corpos estarão lado a lado nesses dois instantes. Em quais posições? Para saber, basta substituir esses valores, em s = 20 + 5t e em sB = 30t – 5 t ², obtendo, respectivamente, s

A = 25 e s

B = 40, que representam

as posições dos corpos para os espaços expressos em metros.d. A Figura 5.5 mostra os pontos onde os corpos estão lado

a lado.Vale observar que, para valores de t tais que 0 ≤ t < 1, o corpo A encontra-se à frente de B. Para 1 < t < 4, o corpo B está à frente de A; para a posição do corpo B, cuja equação é polinomial de segundo grau, o ponto de máximo ocorre em t = 3 → sB = 45; nesse ponto, ocorre uma inversão de movimento: o corpo B começa a retroce-der (volta para a origem) e é ultrapassado pelo corpo A no instante t = 4 (como sempre, em todo o exercício, t é dado em segundos (s) e s é dado em metros (m)).

5.4 O problema geralAo tratar do movimento de projéteis, consideraremos a superfície da Terra como se fosse

plana. Para os fenômenos corriqueiros aqui estudados, essa aproximação é muito boa.

Consideraremos um sistema cartesiano de tal forma que o eixo x seja paralelo ao solo e o

eixo y seja ortogonal a ele.

A situação física que gostaríamos de estudar neste momento é a seguinte: um projétil (uma

bola de beisebol, por exemplo) é lançado de um ponto num certo instante de tempo. Seja

o instante de tempo dado por t = t0, e sejam (x

0 , y

0) as coordenadas cartesianas do ponto de

lançamento do projétil.

Figura 5.5: Os pontos onde os gráficos se cruzam indicam as coordenadas espaços onde os corpos A e B estão lado a lado.

104



Admitamos que ele seja lançado com uma velocidade inicial tal que suas componentes sejam

dadas por:

5.13

Suponhamos ainda que ele seja lançado a partir de uma altura h. Essa é a altura do lançamento.

Assim, o ponto de lançamento do projétil tem coordenadas cartesianas dadas por:

5.14

Muitas vezes especificamos as condições iniciais do movimento

a partir do módulo da velocidade inicial v0 e do ângulo θ0, definido

como o ângulo formado pelo vetor velocidade com a horizontal

(eixo x). Esse ângulo é conhecido como ângulo de tiro.

Assim, outra forma de especificar as condições iniciais, em

relação à velocidade inicial, é por meio das grandezas (v0 ,θ0 ). As

componentes do vetor velocidade inicial são relacionadas a estas

últimas por meio das relações:

5.15

5.16

v0x e v0y

Figura 5.6: Para pequenas altitudes a força da gravidade se mantém constante.

Figura 5.7: Ângulo de tiro.

x y x h0 0 0, , .( ) = ( )

v vx0 0 0= cosθ

v vy0 0 0= senθ .

105



Veremos a seguir que é possível, a partir dos dados já fornecidos, isto é, das condições iniciais,

prever a posição da partícula, bem como a sua velocidade para qualquer instante de tempo.

No mais das vezes, após o lançamento, ocorrem dois acontecimentos importantes.

O primeiro deles (que ocorre sempre) é a queda do objeto. Seja tq o instante de tempo em que

ocorre a queda do projétil; o tempo de voo é definido como o tempo no qual ele esteve viajando.

Ele é dado pela diferença entre os instantes de tempo da queda (tq) e do lançamento (t0):

5.17

Durante o tempo do percurso ou tempo de voo, o

projétil percorre uma distância horizontal conhecida

como alcance.

O segundo acontecimento importante, e que vale a pena

destacar, é o fato de que, após decorrido um certo tempo

desde o lançamento, o projétil atinge uma altura máxima, a

partir da qual tem início o seu movimento de queda.

Admite-se que a aceleração da gravidade ( g) seja

constante. Como apontado antes, isso vale para alturas máximas atingidas não muito grandes.

Assim, a partir da posição e da velocidade da partícula em cada ponto, estaremos interessados,

em particular, na determinação dos seguintes parâmetros:

• a altura máxima atingida;

• o tempo de queda (o tempo de duração do voo livre);

• o alcance do projétil na posição horizontal;

Para atingir esses objetivos, precisamos primeiramente determinar as equações básicas

do movimento.

5.5 Equações básicas do movimentoA aplicação realista mais simples que podemos fazer das leis de Newton diz respeito ao

movimento das partículas sob a ação da gravidade. A análise desse movimento fica considera-

velmente simplificada quando notamos que a força da gravidade não muda muito ao considerar

Figura 5.8: Condições iniciais.

t t tv q= − 0.

106



movimentos próximos da superfície terrestre (alguns quilômetros acima da superfície). São

movimentos que ocorrem no cotidiano como, por exemplo, a queda de uma maçã.

Adotamos um sistema cartesiano em que o eixo das abscissas (o eixo x) é considerado como

paralelo à superfície terrestre e o eixo y na direção perpendicular à superfície. Consideramos

a Terra como se fosse plana e, como a gravidade aponta sempre para o interior da Terra, des-

prezando a força de resistência do ar, e tendo em vista a escolha do referencial acima, a força

gravitacional tem apenas uma componente:

5.18

Como a aceleração da gravidade aponta na direção

perpendicular à superfície terrestre, o sistema de coorde-

nadas cartesianas mais indicado é aquele em que um dos

eixos é paralelo ao solo (o eixo x) e o outro eixo (eixo y)

é paralelo à aceleração da gravidade.

Podemos estudar o movimento do projétil com a

composição de dois movimentos. Essa ideia foi proposta

primeiramente por Galileu: um movimento na direção

vertical (eixo y) e outro movimento na direção horizontal (eixo x).

Ao longo do eixo x, como não existe aceleração nessa direção, o movimento é uniforme

e escrevemos:

5.19

onde x0 é a coordenada inicial (no tempo t = t0) e v0x é a componente da velocidade inicial ao

longo do eixo x.

A componente da velocidade no eixo x é constante e dada por:

5.20

ao passo que, ao longo do eixo y, a aceleração é constante e dada pela aceleração da gravidade g.

Figura 5.9: Escolha do referencial e das coordenadas.

F mgy = −( )

x x v t tx= + −( )0 0 0 ,

v vx x= 0 ,

107



O movimento no eixo y é, portanto, uniformemente variado e, para a orientação de eixos con-

siderada, escrevemos para a componente da velocidade na direção vertical a seguinte expressão:

5.21

onde v0y é a componente vertical da velocidade inicial.

Para determinar a posição em qualquer instante de tempo, basta conhecer cada uma das

variáveis x e y em qualquer instante de tempo. Essas coordenadas por sua vez são dadas, para um

instante de tempo qualquer, a partir do lançamento, pelas expressões:

5.22

5.23

onde h e x0 determinam a posição da partícula no momento do lançamento do projétil.

Para as componentes da velocidade, em qualquer t, valem as seguintes expressões:

5.24

5.25

Essas são as equações básicas do movimento. Podemos, a partir delas, obter todas as infor-

mações sobre esse movimento. A conclusão à qual chegamos é a de que, dadas a posição inicial

(x0, h) e a velocidade inicial, determinadas a partir das componentes (v0x, v0y), podemos determinar

a posição e velocidade do projétil em qualquer instante (t) depois do lançamento.

v v g t ty y= − −( )0 0 ,

x x v t tx= + −( )0 0 0

y h v t t g t ty= + −( ) − −( )0 0 02

2,

v vx x= 0

v v g t ty y= − −( )0 0 .

108



5.6 Trajetória do projétilDeterminemos agora a trajetória da partícula. Para isso, escrevemos o tempo como se fosse

dependente da coordenada x (na verdade, como sabemos, é o inverso). Obtemos:

5.26

Substituindo a expressão acima em 5.23, encontramos a equação para a trajetória:

5.27

Pode-se facilmente verificar que essa equação descreve uma trajetória e que a curva a ela

associada é uma parábola.

5.7 Altura máxima (hmax)Admitiremos que os tempos serão contados a partir do instante do lançamento, ou seja,

faremos para simplificar:

5.28

Como é bem sabido, desde que sua velocidade inicial não seja muito alta, isto é, desde que

ela não atinja a velocidade de escape (termo para a velocidade acima da qual um objeto lançado

não retorna mais à Terra), todo projétil retorna à Terra depois de algum tempo. Assim, ele sobe,

sobe, até atingir uma altura máxima. Nesse ponto ele retorna. No ponto de retorno teremos a

inversão do sinal da componente vertical da velocidade, ou seja, nesse ponto sua velocidade na

direção vertical é nula. Assim, o ponto no qual ele “para no ar”, olhando apenas seu movimento

na vertical, pode ser determinado a partir da condição de velocidade nula no instante de tempo tm:

5.29

t t x xv x

− =−

00

0

.

y h v x xv

g x xvy

x x

= +−

−

−

0

0

0

0

0

2

2

t0 0= .

v ty m( ) = 0

109



Essa equação, por outro lado, também nos permite determinar o instante de tempo, (tm), em

que o objeto atinge a altura máxima. Utilizando a expressão 5.21 esse instante é dado por:

5.30

As coordenadas do projétil nesse instante de tempo, fazendo uso agora das expressões 5.22

e 5.23, são dadas pelas expressões:

5.31

5.32

Estas expressões podem ser escritas ainda, em termos das condições iniciais (módulo da

velocidade e ângulo de tiro), como:

5.33

5.34

A altura máxima é dada, portanto, como um acréscimo da altura de lançamento, cujo valor

depende do módulo da velocidade inicial e da sua direção. Para atingir a altura máxima, mantida a

mesma velocidade em módulo, devemos atirar o objeto para cima (ângulo de tiro igual a θ = π/2).

No entanto, nesse caso, o alcance na horizontal será nulo.

tvgmy= 0 .

x t x x vvg

xv vgm h x

y x y( ) = = + = +max 0 0

00

0 0

y t h h vvg

g vg

hvgm y

y y y( ) = = + −

= +

( )max .0

0 02

0

2

2 2

x x vghmax

cos= +00

2

senθ θ

h h vgmax .= + 02

2sen²θ

Figura 5.10: A altura máxima em comparação com a altura de lançamento.

110



5.8 Tempo de queda ou de vooTodo projétil cai depois de decorrido um intervalo de tempo denominado tempo de voo,

expresso em 5.17. É o tempo de duração da viagem do projétil. Com a escolha de referencial

aqui efetuada, o tempo de voo é determinado a partir da condição

5.35

ou seja, nesse momento, a coordenada do projétil na vertical é nula, indicando que ele terá

atingido o solo nesse instante. A condição acima leva-nos a uma equação do segundo grau para

a determinação do tempo de voo. Essa equação é, a partir de 5.35 e 5.23:

5.36

A única solução aceitável para a equação acima, uma vez que esse tempo deve ser necessa-

riamente positivo, é, usando 5.16:

5.37

y tV( ) = 0,

h v t g ty V V+ − =02

20.

Figura 5.11: Tempo decorrido até o projétil atingir o solo.

tgv v gh

gv v ghV y y= + ( ) +

= + ( ) +( )1 2 1 20 0

2

0 02sen senθ θ

111



5.9 Alcance do ProjétilQuando o projétil atinge o solo, suas coordenadas são dadas por:

5.38

Assim, o valor da coordenada x no instante em que ele atinge o solo, levando-se em conta a

expressão para o tempo de voo em 5.37 e a expressão em 5.15, é:

5.39

Denomina-se alcance do projétil, a, a diferença de abscissas associadas ao ponto de saída do

projétil e seu ponto de chegada ao solo, isto é:

5.40

Levando-se em conta a expressão 5.40, vemos que o alcance depende da altura da qual

lançamos o projétil, do módulo da velocidade inicial e do ângulo de tiro. Explicitamente, temos:

5.41

Ao atingir o solo, o projétil tem velocidade tal que suas componentes são dadas por:

5.42

x t x v ty t

V x V

V

( ) = +

=0 0

0( ) .

x t x vgv v gh x v

gv vV

xy y( ) = + + ( ) +

= + + (0

00 0

2

00

0 02 cos sen senθθ θ)) +( )2 2gh .

a x t xV= ( ) − 0.

Figura 5.12: O alcance é a distância máxima atingida na direção horizontal.

a vgv v gh v

gv v ghx

y y= + ( ) +

= + ( ) +( )0

0 0

2 00 0

22 2cos sen sen .θθ θ

v v

v t v gt v gh

x

y v v

=

( ) = − = − ( ) +

0

0 02 2

cos

sen sen .

θ

θ θ

112



• ExEmplo 4 Um projétil é lançado a partir do solo com veloci-dade v0 = 600 m/s e com ângulo de tiro θ = 53°. Dados: cos53° = 0,6 e sen53° = 0,8. Desprezando-se a resistência do ar, o projétil descreve uma trajetória parabólica, conforme ilustra a Figura 5.13.

Figura 5.13: Projétil lançado do ponto A com velocidade V0, com ângulo de tiro θ com a horizontal. A distância AC é o alcance do projétil.

a. Qual a altura máxima alcançada pelo projétil (ou seja, quando atinge a posição B)?b. Qual o tempo de voo?c. Qual o alcance AC do projétil?d. Escreva a equação da trajetória.

→ REsolução: Para responder às questões levantadas, devemos analisar as quatro equações (duas na direção do eixo 0x e duas na direção do eixo 0y) que descrevem o movimento de um projétil.Primeiramente, vamos nos concentrar na velocidade de lançamento V0 com ângulo de tiro θ.Essa velocidade deve ser decomposta em duas componentes: v0x = v0cosθ e v0y = v0senθ. Como θ = 53° e v0 = 600 m/s, tem-se: v0x = 360 m/s e v0y = 480 m/s. Além disso, no instante t = 0 o projétil se encontra na origem, ou seja, x0 = y0 = 0. Assim, as equações horárias do movimento são:

Tabela 5.2: Equações horárias do movimento, analisando os eixos horizontal e vertical.

Direção horizontal ou eixo 0x Direção vertical ou eixo 0y

vx = v0x = 360 m/s constantex = x0 + v0xt = 360t

ay = g = 10 m/s2

vy = v0y − gt = 480 − 10.t

y = y0 + v0yt − 12

gt2 = 0 + 480t − 5t2

Agora podemos responder aos quesitos:a. Para calcular a altura máxima necessitamos conhecer o instante t em que o projétil atinge essa

altura. Esse instante pode ser calculado escrevendo vy = 480 − 10·t = 0, de onde se obtém t = 48 s. Substituindo-se esse valor na equação do espaço y = 480t – 5t² = 480(48) – 5(48)² = 11.520 m.

b. Uma vez que no instante t = 0 o projétil se encontrava na origem, quando ele retornou ao solo, tem-se y = 0. Assim, y = 480t – 5t² = 0, ou seja, t(480 − 5t) = 0, de onde se encontram duas soluções: t' = 0 e t" = 480/5 = 96 s. O instante t' = 0 é o instante inicial em que o projétil se encontrava na origem (no solo) e t" = 96 s é o instante de tempo em que, após voar pelo espaço, o projétil retorna ao solo. Portanto, o tempo de voo é de 96 s.

Figura 5.14: Esquema ampliado evidenciando as componentes da velocidade nas direções horizontal e vertical.

113



c. O alcance do projétil é a distância entre os pontos A(0; 0) e C(xC; 0), ou seja, o alcance é igual ao valor de xC. Como determinar xC? Basta substituir t = 96 s (instante em que o projétil atinge o solo, depois de voar durante 96 s) na equação x = 360t. Obtemos x = 360(96) = 34.560 m.

d. Para se obter a equação da trajetória: y = f (x), basta eliminar a variável tempo entre as equa-ções x = 360·t e y = 480t – 5t². Assim, de x = 360·t segue-se que t = x/360 que, substituído em y = 480t – 5t ², resulta y = (4x)/3 – (x2)/25920, que é a equação de uma parábola.

• ExEmplo 5Uma bola de tênis é lançada com velocidade horizontal v0x = 10 m/s de uma altura h = 45 m do solo, conforme ilustra a Figura 5.15. Após o lançamento, a bola fica animada de um movimento que pode ser analisado em duas direções: vertical e horizontal. Trata-se de um movimento balístico.

A Figura 5.15a indica que, se a gravidade da Terra fosse nula, a trajetória da bola seria retilínea e horizontal. Mas devido à gravidade, ao mesmo tempo em que a bola avança horizontalmente, ela cai verticalmente. Pelo princípio da interdependência dos movimentos, o movimento na horizontal se processa de maneira simultânea e independente em relação ao movimento na vertical. Assim, as equações desse movimento balístico são:• Na horizontal, o movimento é uniforme e as equações que o representam são:

• vx(t) = v0x • x(t) = x0 + v0xt.

• Na vertical, o movimento é acelerado e as equações são:

• vy(t) = v0y − gt e y(t) = y0 – 12

gt ²

a. Escrever as 4 equações para o movimento balístico da bola de tênis.b. Determinar quanto tempo depois a bola atinge o solo.c. Determinar as coordenadas do ponto de impacto da bola contra o solo.d. Encontrar as velocidades vx e vy da bola quando ela colide com o solo.e. Determinar a equação da trajetória da bola.

a b

Figura 5.15: a. O jogador lança uma bola de tênis horizontalmente com velocidade v0x de uma altura h do solo; b. A força sobre a bola na direção horizontal é nula; assim, a velocidade na horizontal é constante (escrevemos vx = v0x).

114



→ REsolução: a. As condições iniciais, no sistema SI, são: x

0 = 0 e v0x = 10 ; y

0 = 45, v0y = 0 (como o lança-

mento é horizontal, no instante t = 0, a bola não tem velocidade vertical) e g = 10. Assim:• vx(t) = 10 e x(t) = 10t.• vy(t) = – 10t e y(t) = 45 – 5t² .b. Para saber quanto tempo depois de solta a bola chega ao solo, devemos fazer uso da equação

y(t) = 45 – 5t ². Quando a bola atinge o solo, y = 0, ou seja, 45 − 5t ² = 0, de onde t = + 3 (t = − 3 deve ser descartado). Portanto, a bola atinge o solo 3 segundos após o lançamento.

c. Sabendo-se que, quando t = 3, a bola atinge o solo e as coordenadas x e y são assim deter-minadas: x = 10.t = 30 e y = 45 – 5t² = 45 – 5(3)² = 0. Assim, as coordenadas do ponto de impacto são (30; 0).

d. As velocidades podem ser determinadas pelas respectivas equações, bastando substituir t = 3. Assim: vx(t) = 10 (vale observar que vx não depende do tempo, pois, na horizontal, o movi-mento é uniforme) e vy(t) = − 10t = −10(3) = −30.

e. A equação da trajetória relaciona a variável y com a variável x. Para isso, elimina-se t das equações y(t) = 45 – 5t ² e x(t) = 10t. Assim: t = x/10 e, após substituição,

y(x) = 45 – 5(x/10)² = 45 – x2/20.

5.10 Casos particularesAs expressões obtidas até aqui para as grandezas relevantes (tempo de voo, alcance, altura

máxima) são muito gerais. Com o intuito de estudar casos simples e de interesse, analisaremos três

situações distintas: lançamento na vertical, lançamento horizontal e lançamento a partir do solo.

5.10.1 Lançamento na vertical

No caso do lançamento na vertical, a componente da velocidade na direção horizontal é

nula, ou seja, por definição:

5.43

uma vez que θ = π/2.

v t v vx x0 0 0 0( ) = = =cos ,θ

115



Nessas circunstâncias, o movimento se dá apenas ao longo do eixo y, e suas equações básicas

são aquelas dadas pelas expressões 5.22 – 5.25. Nesse caso, considerando apenas a velocidade

inicial, temos três situações possíveis:

5.10.1.1 Lançamento para cima (v0y = v0)

Nesse caso, o corpo atingirá a altura máxima dada agora por:

5.44

o que ocorrerá depois de um intervalo de tempo dado por:

5.45

e atingirá o solo depois de um tempo (o tempo de voo) dado por:

5.46

• ExEmplo 6 Uma bola é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v0y = 6 m/s de um ponto situado a uma altura y0 = 20 metros do solo, conforme ilustra a Figura 5.17. Considerando g = 10 m/s², a equação do espaço é y(t) = 20 + 6t – 5t ² e a da velocidade é vy (t) = 6 – 10.t . Adotamos as unidades do SI (m; s).Calcular:a. A altura máxima atingida pela bola.b. A velocidade com que a bola atinge o solo.c. O tempo de voo da bola.

Fig. 5.17 O operador lança uma bola verticalmente para cima.

H h vg

= + 02

2,

Figura 5.16: Lançamento na vertical para cima.

t vgm = 0 .

t t ghvV = + +

m .1 1 2

02

116



→ REsolução: a. Enquanto a bola estiver animada de velocidade de ascensão (vy ≠ 0) ela continua subindo. Até

quando? Até que sua velocidade, momentaneamente, seja nula (vy = 0). Nesse instante, a altura alcançada pela bola é máxima. Então, devemos calcular o tempo t para o qual vy = 0 e substituir em y = y(t) para calcular y = y

max. Logo, de vy = 0 segue-se que vy(t) = 6 – 10.t = 0, ou seja, t = 0,6 s.

Substituindo em y(t) = 20 + 6t – 5t ² = 20 + 6(0,6) – 5(0,6)² = 21,8 m. Portanto, ymax

= 21,8 m.b. Para determinar a velocidade com que a bola atinge o solo devemos conhecer o instante t

em que a bola atinge o solo. Como proceder? 1.º quando a bola atinge o solo y = 0; portanto, da condição y(t) = 20 + 6t – 5t ² = 0 obtemos

o instante t procurado. 2.º uma vez conhecido o tempo t em que a bola atinge o solo, obteremos a velocidade procurada

fazendo uso da expressão vy(t) = 6 – 10.t. Então, vejamos: se y(t) = 20 + 6t – 5t ² = 0, obtemos as raízes t’ ≅ 2,7 s e t” ≅ –1,49 s. O tempo negativo deve ser ignorado, pois o domínio das funções é constituído pelos valores de t tais que t ≥ 0. Assim, a bola atinge o solo no instante t ≅ 2,7 s. E a velocidade será vy(t) = 6 – 10.t = 6 – 10(2,7) = –21 m/s. O sinal negativo deve ser interpretado: como o referencial 0y foi orientado positivamente para cima, a velocidade que é vertical para baixo (quando atinge o solo) assume valor algébrico negativo. Podemos dizer que a bola atinge o solo com velocidade de módulo |vy| ≅ 21 m/s e sentido em direção ao centro da Terra.

c. O tempo t é medido desde o instante em que a bola foi lançada. Nesse caso, o tempo de voo é o intervalo de tempo que a bola fica no ar, ou seja, desde 0 (lançamento) até atingir o solo (t). Esse tempo foi calculado no item b, ou seja, t ≅ 2,7 s = t

voo.

5.10.1.2 Lançamento para baixo (v0y = − v0)

Nesse caso, utilizando 5.37, concluímos que o projétil segue na descendente até atingir

o solo depois de um tempo de voo dado por:

5.47

Figura 5.18: Lançamento para baixo.

t vg

ghvV = + −

0

021 2 1 .

117



5.10.1.3 Queda livre (v0y = 0)

Nesse caso, o tempo de queda (que é o tempo de voo) é dado, de acordo com 5.37, por:

5.48

o qual não depende da massa. Todos os corpos demoram o mesmo tempo para cair.

Utilizando esse valor do tempo na expressão da velocidade na

direção vertical (equação 5.25), vemos que o corpo atinge o solo

com velocidade:

5.49

Como já descobrira Galileu, essa velocidade não depende da massa.

• ExEmplo 7Uma manga madura desprende-se de um galho localizado numa altura igual a 16,2 metros. Esse fenômeno é entendido como movimento de queda na vertical, cujas equações genéricas são:

vy(t) = v0y – gt e y(t) = y0 + v0yt – 1

2 gt ², onde as variáveis com símbolos “0” são aquelas relacionadas

às condições iniciais, ou seja, no instante t = 0 (no caso, quando a manga se desprende do galho).a. Escreva as equações do espaço y(t) e da velocidade vy(t) do movimento de queda vertical da

manga.b. Determine o tempo de queda e a velocidade com que a manga atinge o solo.

→ REsolução:

a. Vamos considerar g = 10 m/s². Quando a manga se desprende (t = 0), a velocidade é v0y = 0

e a altura é y0 = 16,2 m. Logo, as equações tornam-se: y(t) = y0 + v0yt – 12

gt ² = 16,2 – 5t ² e

vy(t) = v0y – gt = –10t.b. Fazendo y(t) = 0 determina-se o instante em que a manga atinge o solo. Esse tempo é o

tempo de queda. Logo, y(t) = 16,2 – 5t ² = 0 → t = ± 1,8 s. Descarta-se o tempo nega-tivo, e o resultado t = 1,8 s, que é o tempo de queda da manga. A velocidade com que a manga atinge o solo é obtida substituindo-se t = 1,8 s na equação da velocidade. Assim, Vy(t) = –10t = – 10(1,8) = –18 m/s. O sinal negativo indica que a velocidade é vertical para baixo (uma vez que o eixo dos espaços 0y foi adotado como positivo para cima).

t hgq =

2 .

Figura 5.19: Queda livre.

v ghy = − 2 .

118



5.10.2 Lançamento na horizontal

O lançamento na horizontal é caracterizado pelo fato de ele se processar com um ângulo

de tiro igual a zero, ou seja,

5.50

pois θ = 0.

O tempo de voo é igual ao tempo de queda livre de uma altura h, isto é,

e o alcance será dado por:

5.51

5.10.3 Lançamento a partir do solo

Nesse caso, basta fazer h = 0, nas expressões gerais, para o tempo de voo, altura máxima e alcance.

O ponto a ser ressaltado é ser o tempo de voo duas vezes maior do que aquele requerido

para atingir a altura máxima, ou seja, o tempo despendido para subir (atingir a altura máxima)

é igual ao tempo necessário para descer. Temos assim:

5.52

v t v vy y0 0 0 0( ) = = =senθ ,

Figura 5.20: Lançamento na horizontal.

t hgq =

2

a v hg

= 02 .

t t vgv = =2 2 0

msen .θ

119



Em muitos casos, é importante determinar para que valor do ângulo de tiro obtemos a

máxima eficiência em termos de alcance. Uma alternativa para aumentar o alcance é aumentar

o valor do módulo da velocidade inicial. Essa solução esbarra no fato de que temos limites, ou

físicos ou do artefato utilizado para efetuar o lançamento, para obtermos incrementos no valor

dessa grandeza. A alternativa, para um valor fixo da velocidade, é escolher melhor o parâmetro

ângulo de tiro. Lembrando que, nessas circunstâncias, o alcance depende do ângulo de tiro de

acordo com a expressão:

5.53

podemos verificar, por meio do gráfico da função acima, que o valor máximo do alcance

ocorrerá quando o ângulo de tiro for igual a 45 graus.

• ExEmplo 8 Um atirador mira sua arma para uma fruta pendurada a uma altura H = 32 metros acima da altura da sua arma. O projétil é ejetado com velocidade V0 = 40 m/s, com ângulo de tiro (veja Figura 5.22).

Figura 5.21: Lançamento a partir do solo.

a vg

vg

θ θ θ θ( ) = =02

02

2 2sen sencos ,

Figura 5.22: Atirador mirando uma fruta presa no galho. No momento em que ele aciona o gatilho, a fruta se desprende do galho. O projétil atingirá a fruta?

120



No instante em que a arma é disparada, a fruta se solta da árvore. Determinar a posição do ponto de impacto fruta/projétil.Dados: D = 24 metros; senθ = 0,80 e cosθ = 0,60.Desprezar a resistência do ar.

→ REsolução: Como a fruta se solta no instante em que o projétil é disparado, os dois movimentos são simultâneos. Para escrever as equações horárias, precisamos identificar as condições iniciais (t

0 = 0).

As coordenadas iniciais do projétil são x = 0 e y = 0 e as componentes de sua velocidade inicial são: v0x = v0cosθ = 40 × 0,60 = 24 m/s; v0y = v0senθ= 40 × 0,80 = 32 m/s.As coordenadas iniciais da fruta: x

0 = D = 24 m; y

0 = H = 32 m e v0y = 0; v0x = 0

Tabela 5.3: Condições iniciais e equações horárias do projétil e da fruta.

Projétil Fruta

Direção horizontal Direção verticalMovimento

unidimensional

x0P = 0axP = 0

v0xP = 24 m/svxP = v0xP = 24 m/s

xP = 24·t

y0P = 0ayP = −10 m/s² (−g)

v0yP = 32 m/svyP= 32 – 10·tyP = 32·t – 5·t ²

x0F = D = 24 my0F = H = 32 m

vyF = −10·tyF = 32 − 5·t ²

A Figura 5.23 ilustra o ponto de encontro entre a fruta e o projétil.

No ponto de impacto, as coordenadas x e y tanto da fruta quanto do projétil são iguais.xfruta = xprojétil = 24 m

yfruta = yprojétil Da segunda condição inferimos que:

32 − 5t ² = 32t – 5t²,

Figura 5.23: As coordenadas do ponto de impacto do projétil e da fruta, consideradas como ponto material, são coincidentes.

121



ou seja, o impacto ocorre para o tempo dado por32 = 32t

Portanto, para t = 1 s, ocorre o impacto do projétil contra a fruta. A determinação da ordenada y do ponto de impacto pode ser feita por meio da equação horária de y = f (t) tanto da fruta quanto do projétil. Então:

y = 32 – 5(1)² = 27 m.Portanto, o projétil encontra a fruta no ponto de coordenadas x = 24 m e y = 27 m.


6.1 Potência de expoente real6.2 Funções inversas 6.3 Função exponencial6.4 Função logarítmica6.5 Função logarítmica como função inversa 6.6 O Número de Napier (o número e)6.7 Curta História do número e e dos Logaritmos Neperianos

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I


FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS6

125



6.1 Potência de expoente realOs arqueólogos lograram êxito em encontrar cerca de meio milhão de tábulas de argila na

região da Mesopotâmia. Por meio delas os pesquisadores descobriram que a civilização, que ali

habitou em tempos tão remotos quanto 2000 anos antes de Cristo, já tinha conhecimento da

operação de potenciação. De fato, algumas tábulas contêm tabelas que exibem valores de an para

n de 1 até 10 e para valores de a relativamente grandes (até a = 225).

Podemos generalizar a operação definida em Funções Polinomiais, para o caso da

potência n do número real a, com n∈∗, representada por an, considerando agora expoente um

número real qualquer.

Em primeiro lugar, sendo a um número real não nulo e z um número inteiro qualquer,

• se z ≥ 0, az é a potência definida em “Funções Polinomiais”

• se z < 0, então −z > 0 e definimos az = 1/(a−z)Convém notar que, para z = −1, estamos definindo, em 6.1, o número inverso de a.

Sendo agora a um número real não nulo e p/q um número racional, com p e q inteiros não

nulos, definimos

6.2

A existência de ap/q e a validade de 6.2 irão depender do sinal de a em combinação com o

fato de p e q serem pares ou ímpares.

Assim, para z = ½,

6.3

só existe se a ≥ 0.

Estamos, portanto, ampliando o conceito de potenciação de um número, a fim de incluir

potências de números reais. Até o presente momento definimos potências com expoente

racional. Adiante, definiremos potências de expoente real, como por exemplo 22 ou 3π.

6.1

( )p p qq pqa a a= =

12a a=

126

6 Funções Exponenciais e Logarítmicas


A extensão da operação de potenciação até aqui estabelecida permite-nos introduzir,

como já fizemos para os números inteiros e positivos, funções de expoente racional, como

por exemplo a função

6.4

cujo domínio é o conjunto dos números reais não negativos.

Podemos construir uma tabela, atribuindo valores para a variável independente e determi-

nando os correspondentes valores da variável dependente:

Tabela 6.1: Valores da função raiz quadrada.

x = 0 f (0) = 0

x = 1 f (1) = 1

x = 4 f (4) = 2

x = 9 f (9) = 3

x = 16 f (16) = 4

A Figura 6.1 apresenta os gráficos das funções f(x) = x e g(x) = − x .

( )12f x x=

Figura 6.1: (a) gráfico da função f(x) = x e (b) gráfico da função g(x) = − x .

a b

127



A Figura 6.2 apresenta os gráficos das funções f(x) = 1/x e g(x) = −1/x.

6.2 Funções inversas Funções de expoente real podem ser utilizadas para ilustrar o conceito de função inversa de

uma forma relativamente simples. Para ilustrar isso, consideremos a função f (x) = xz. De modo

geral, respeitadas as condições de domínio, ela tem como função inversa a função cujo expoente

na variável independente é o inverso do expoente da função dada, isto é:

6.5

De fato, pode-se facilmente verificar que

6.6

Assim, por exemplo, as funções f (x) = x2 e g(x) = x1/2 são funções inversas uma da outra,

respeitadas as condições de domínio.

A função f (x) = x tem inversa, que coincide com ela mesma, isto é f −1(x) = x. De fato, 1 1( ) ( ( )) ( )f f x f f x f x x− −= = = .

a b

Figura 6.2: (a) Gráfico da função f (x) = 1/x e (b) gráfico da função g(x) = −1/x.

( )1

1 , 0zf x x z− = ≠

( ) ( )( )1

1 1zz

zz

zf f x f x x x x− − = = = =

128



Analogamente, a função f(x) = 1/x tem inversa que coincide com ela mesma, isto é

f −1(x) = 1/x. De fato, 1 1 1 1( ) ( ( )) 1f f x f f x f xx

x

− − = = = =

.

6.3 Função exponencialNuma das tábulas do Louvre, encontra-se um problema de juros compostos. Nesse problema,

formulado em cerca de 1700 a.C., procura-se determinar por quanto tempo se deve aplicar

uma quantia, admitindo-se uma rentabilidade de 20% ao ano, para que ela dobre de valor. Vem,

portanto, talvez da Babilônia, o primeiro exemplo de uso da função exponencial.

A função exponencial de base a, onde a > 0 e a ≠ 1, é a função f (x) definida por:

6.7

Para valores de a > 1, essa função é sempre crescente. Para valores de 0 < a < 1, no entanto,

ela é uma função decrescente.

Consideremos o caso da função exponencial de base 2. Nesse caso, escrevemos

6.8

É importante observar que funções inversas uma da outra possuem gráficos que são simétricos em relação à reta y = x. Isso se deve ao fato de a composta de duas funções inversas uma da outra ser a função identidade. Como exemplo, a Figura 6.3 apresenta os gráficos das

funções f(x) = x3 e g(x) = 3 x no mesmo sistema de coordenadas, bem como a reta y = x.

Figura 6.3: Gráficos das funções f(x) = x3 e g(x) = 3 x .

com a > 0 e a ≠ 1( ) xf x a=

( ) 2xf x =

129



Para ilustrar o conceito de função exponencial, recorremos ao

exemplo, narrado no livro de Malba Tahan, do Marajá, que a fim

de saldar uma dívida concordou em fazer o pagamento a Sessa (um

dos seus súditos) da seguinte maneira: no primeiro ano, o súdito

receberia apenas um grão de trigo. No segundo ano, ele receberia

míseros dois grãos de trigo, duplicando daí em diante, a cada ano, o

número de grãos até a última casa do tabuleiro de xadrez.

Assim, o número de grãos N seria dado em função do número de

anos n e expresso pela fórmula

6.9

O súdito elaborou a Tabela 6.2, baseada em uns poucos anos:

Tabela 6.2: Número de grãos a cada ano, até o sétimo ano.

Número de anos 1 2 3 4 5 6 7

Número de grãos de trigo 2 4 8 16 32 64 128

Depois de 8 anos, deveria depositar na última casa

da primeira fileira do tabuleiro apenas 256 grãos.

Uma bagatela, portanto. Não entendendo de funções

exponenciais, o soberano aceitou, para sua desgraça,

essa forma de pagamento.

Figura 6.4: Ilustração da “Recompensa de Sessa”, um conto de Malba Tahan, do livro Lendas do oásis.

2 .nN =

Figura 6.5: Gráficos das funções exponenciais f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x = 2–x.

Para Pensar!

Quantos grãos seriam depois de 20 anos? E depois de 40?

130



Definimos a função exponencial de base e como a função

6.10

Mais usual na ciência é a função exponencial dependente de dois parâmetros a e b, definida por

6.11

que também pode aparecer escrita da seguinte maneira:

6.12

Alguns gráficos das funções exponenciais envolvendo o número e são apresentados na

Figura 6.6.

A função exponencial mais importante entre todas, do ponto de vista científico, é a função exponencial que tem como base o número e. Esse número, assim como o número π, é um dos números mais importantes das ciências. Ele será discutido no final deste texto.

( ) .xf x e=

( ) ( )1

xbx bf x ae a e= =

( )2 .bxf x Ae−=

Figura 6.6: Gráficos de funções exponenciais envolvendo o número e.

131



Um bom exemplo da relevância da função exponencial de base e diz respeito ao decaimento

de substâncias radioativas. Nesse caso, o número de átomos N que compõem uma determinada

substância varia com o tempo (t ) de acordo com a expressão

6.13

onde N0 é o número de átomos presentes no instante de tempo t = 0 e λ é uma constante

característica do material, que recebe o nome de constante radioativa.

Definimos ainda funções exponenciais especiais considerando combinações de funções

exponenciais. Por exemplo, definimos as funções: seno hiperbólico e cosseno hiperbólico como

aquelas dadas pelas combinações:

6.14

6.4 Função logarítmicaA descoberta dos logaritmos foi motivada pela busca de simplificações em expressões algé-

bricas ou aritméticas complexas. Com os logaritmos podemos reduzir multiplicações, divisões,

potências e raízes a expressões muito mais simples, contendo apenas somas (ou diferenças) de

números ou multiplicações (ou divisões) mais simples.

É o caso, por exemplo, da determinação do número c, que resulta da seguinte expressão:

6.15

que, sem logaritmos, é complicada...

Antes da invenção do logaritmo de um número, tais operações eram muito trabalhosas. Era a

época das grandes navegações e havia, então, a necessidade de se trabalhar com números muito

grandes sem, evidentemente, o auxílio de qualquer instrumento de cálculo.

0 ,tN N e−λ=

senh e cosh 2 2

x x x xe e e ex x− −− +

= =

( )( )

11515

37

7,2 4

14c =

132



Ao criar os logaritmos, Napier encontrou uma forma de simplif icar

os cálculos.

O logaritmo, agora designado por x, de um número positivo a, na base b, b > 0 e b ≠ 1, é o expoente x, da base b, necessário para que se obtenha o

número a. Ou seja,

6.16

Assim, levando-se em conta a definição, representamos esse número da

seguinte maneira:

6.17

Vale observar que a base b do logaritmo é a mesma base da exponencial associada e que

6.18

O raciocínio de John Napier para inventar o logaritmo de um número baseava-se na procura

de uma forma de associar os números de uma progressão geométrica

6.19

aos números da progressão aritmética

6.20

Essa associação é tal que o produto bm.bn de dois termos da progressão geométrica está asso-

ciado à soma de dois termos m + n da progressão aritmética. Essa é a simplificação introduzida

por Napier quando do cálculo envolvendo produtos de dois números.

Assim, dados dois números quaisquer a1 e a2, tais que

6.21

Figura 6.7: John Napier (1550-1617), escocês, foi teólogo e matemático.

.xb a=

log xbx a b a= ⇔ = , onde b > 0 e b ≠ 1, e a > 0.

log log xb bx a b= =

2 3, , ,..., ,..., ,...m nb b b b b

1,2,3,..., ,..., ,...m n

1

2

1

2

x

x

a ba b=

=

133



lembrando que

6.22

então, a fim de encontrar o produto a1a2, somamos os expoentes do produto das potências de

mesma base b, para em seguida encontrar o número inicialmente procurado.

Levando-se em conta, então, a propriedade das potências de mesma base acima, concluímos que

o logaritmo do produto de dois números é igual à soma dos logaritmos desses números, isto é, 6.23.

6.23

É usual a adoção de uma convenção mediante a qual escrevemos os logaritmos na base 10

suprimindo a referência a essa base. Assim, escrevemos:

6.24

Assim, podemos escrever, por exemplo,

6.25

A expressão acima constitui um exemplo para a propriedade geral, que pode ser demonstrada

por indução finita sobre o número p:

6.26

E portanto, por exemplo, no caso do logaritmo de base 10, podemos escrever:

6.27

uma vez que log10 = 1.

1 2 1 21 2

x x x xa a b b b += =

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2log log logb b ba a a a x x= + = +

( )10log log .x x=

( ) ( ) ( )log 10.1000 log 10 log 1000 1 3 4.= + = + =

( )log log .pa ab p b=

( )10log 10 log10 ,p p p= =

134



Assim, para quaisquer dois elementos da progressão geométrica mencionada anteriormente,

Napier encontrou o resultado:

6.28

Observe que, da definição de logaritmo, temos

6.29

qualquer que seja a base b, b > 0 e b ≠ 1.

E que:

6.30

sempre que a > 0.

Briggs, contemporâneo de Napier, elaborou as tabelas de logaritmos que mais foram difundidas.

As tabelas de logaritmos hoje em dia mais utilizadas são aquelas na base 10, além daquelas

na base e, mais úteis nas Ciências.

A título de exemplo, consideremos a expressão 6.15:

6.15

Para calcular o número c, tomamos o logaritmo, por exemplo, na base 10, nos dois membros

da igualdade. Encontramos então:

6.31

A solução agora envolve o recurso a tabelas de logaritmos.

Napier passou cerca de 20 anos desenvolvendo os logaritmos, bem como escrevendo tabelas

para os seus logaritmos, tendo percebido que, afinal, muitas vezes, os problemas envolvem o

processo inverso, isto é, descobrir um número dado o seu logaritmo.

( )log log .+= = +n m n ma aa a a m n

log 1 0b =

( )1log logb b aa

= −

( )( )

11515

37

7,2 4

14c =

( ) ( ) ( )10 10 10 101 1 3log log 7,2 log 4 log 14

15 5 7c = + −

135



6.5 Função logarítmica como função inversa Definimos a função logaritmo de base b como a função:

6.32

a qual associa, a um número real positivo, o seu logaritmo na base b.

O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais estritamente positivos,

isto é, +*.

Muitas vezes, essa função é definida como a função inversa da função exponencial. De fato,

pode-se verificar que, se escrevermos a função logarítmica como a função inversa da função g(x),

6.33

onde

6.34

então,

6.35

Na Figura 6.8 apresentamos os gráficos das funções g(x) = 2x e g−1(x) = log2x, que são

inversas uma da outra e, portanto, têm seus gráficos simétricos em relação à reta y = x.

( ) logbf x x= onde b > 0 e b ≠ 1

( )1 logbg x x− =

( ) xg x b=

( )( ) ( )( ) ( )1 log log xb bg g x g x b x− = = =

Figura 6.8: Os gráficos da função exponencial e logarítmica de mesma base 2.

136



Outros gráficos de funções logarítmicas em diferentes bases, todas maiores do que 1, são apresen-

tados na Figura 6.9. É importante ressaltar que a função logaritmo assume valores negativos quando

a variável independente assume valores pertencentes ao intervalo ]0,1[.

Outros gráficos de funções logarítmicas em diferentes bases, todas maiores do que 0 e

menores do que 1, são apresentados na Figura 6.10. É importante ressaltar que agora a

função logaritmo assume valores positivos quando a variável independente assume valores

pertencentes ao intervalo ]0,1[.

6.6 O Número de Napier (o número e)Consideremos um número muito próximo de 1, que designaremos por n1. Consideremos o

caso em que ele é uma função de um número inteiro e positivo n, da seguinte maneira:

6.36

Vamos fazer uma tabela (Tabela 6.3) atribuindo valores para n, e para cada um deles deter-

minamos o correspondente valor de n1.

Figura 6.9: Gráficos típicos de funções logarítmicas, de bases maiores do que 1. Figura 6.10: Gráficos típicos de funções logarítmicas, de

bases maiores do que 0 e menores do que 1.

( )111n nn

= +

137



Tabela 6.3: Valores da função 6.36.

n n1

10 1,1

102 1,01

103 1,001

104 1,0001

... ...

1010 1,0000000001

... ...

Consideremos agora números definidos pela potenciação, de expoente n, do número n1,

definido por:

6.37

Podemos agora acrescentar uma nova coluna à tabela anterior, com resultados evidentemente

aproximados:Tabela 6.4: Valores da função 6.37 para diferentes valores de n.

n n1 (n1(n))n

10 1,1 2,5937

102 1,01 2,7048

103 1,001 2,7169

104 1,0001 2,7184

... ... ...

1010 1,0000000001

... ...

O número e é definido por meio de um limite quando o número n cresce indefinidamente,

o que é expresso dizendo que “n tende ao infinito”. Formalmente, escrevemos:

6.38

( )( )111

nn

n nn

= +

1lim 1n

ne

n→∞

= +

138



6.7 Curta História do número e e dos Logaritmos Neperianos

Com o intuito de resolver o problema apresentado no início da seção sobre logaritmos

(a seção 6.4), Napier fez um raciocínio interessante. Considerou uma solução em que o valor

de a da progressão geométrica diferisse pouco do caso trivial, no qual a = 1. Pensou numa

progressão geométrica de tal forma que o número a se diferenciasse pouco do número 1.

Escolheu a = 0,9999999, que pode ser escrito, numa boa aproximação, como:

6.39

Em seguida, procurou escrever um número N, começando pelos inteiros, de tal forma que

esse número pudesse ser escrito como o produto de um número grande (107) vezes o número

a = 0,9999999 elevado a um expoente L resultando um número qualquer, inclusive um número

pequeno. Escreveu assim:

6.40

Percebeu assim, grosso modo, que qualquer número poderia ser escrito em termos de uma

potência de a. Lembramos que sua primeira escolha foi tal que o valor desse número a é muito

próximo de 1. Assim, números próximos de 1 requerem um valor de L pequeno. No entanto,

à medida que nos afastamos do valor 1, essa escolha nos leva a valores de L extremamente

grandes em módulo. Considere, por exemplo, o valor de L = 107. O número a ele associado é

o número e de Napier:

6.41

Napier definiu L como o logaritmo do número N. A escolha feita por Napier, do fator 107,

se deve à necessidade de evitar decimais. Observe que, dividindo-se tanto N quanto L pelo fator

já mencionado, obtemos, de 6.40, 6.42.

77

11 101 10

a −−= − ≅

+

( )7 77

110 10 0,99999991 10

LLN −

= ≅ +

( )71071 10 2,7182818e −= + ≅

139



6.42

Donde obtemos um sistema de logaritmos na base 1/e, onde e é um número - o número de

Napier, o qual pode ser identificado como o dado, aproximadamente, por:

6.43

Napier descobriu, assim, um número que, dentro de boa aproximação, é dado por 6.41.

Sua definição mais exata envolve grandes números, como previsto por Napier. A melhor

definição desse número, também conhecido como número de Euler (que, posteriormente, o

popularizou), é aquela vista em

6.38

de onde decorre que

6.44

Definimos a função logaritmo natural (ln) como a função logaritmo de base e. Ou seja,

6.45

Sua inversa é a função exponencial de base e

6.46

Os logaritmos neperianos, aqueles inventados

por Napier, muitas vezes são confundidos com os

logaritmos naturais, que estão definidos acima.

A rigor, isso não é verdade, uma vez que os

7 710 10

7 7

110 1 10

L

N−

= +

( )7

710107

7

1 1 1 101 10e

−−−

= = + +

1lim 1n

ne

n→∞

= +

1 1lim .1 1/

n

ne n→∞

= +

Figura 6.11: Gráfico da função exponencial de base e: f(x) = ex e da função logarítmica de base e: f −1(x) = ln x no mesmo sistema de coordenadas.

( ) ln log .ef x x x= =

( ) xf x e=

140



logaritmos originais de Napier têm mais a ver com logaritmos definidos na base 1/e.

Os logaritmos neperianos são definidos por:

6.47

O nome logaritmo foi cunhado por Napier ao procurar dar a ele a conotação de “número

da razão”, uma vez que Logos em grego significa razão.

1/7 7

(log ) log10 10e

Nap x x =


7.1 Nas Ciências Econômicas7.2 Radioatividade e aplicações na Medicina

7.2.1 Meia-vida e vida média7.3 Na Biologia Celular7.4 Escalas logarítmicas

7.4.1 A escala Richter7.4.2 O pH

7.5 Física Estatística7.6 Distribuição de moléculas na atmosfera terrestre7.7 Distribuição de velocidade de moléculas num gás7.8 Movimento num fluido viscoso7.9 Corrente elétrica num circuito RC7.10 Altura do colarinho da cerveja7.11 Lei de Newton do resfriamento

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I


ApLICAçõEs DAs FuNçõEs ExpONENCIAIs E LOGARítMICAs7

143



7.1 Nas Ciências EconômicasO melhor exemplo de utilização da função exponencial nas ciências econômicas é aquele

que nos permite analisar e comparar resultados (denotados por R) de aplicações de uma quantia,

denominada montante principal (P), a uma taxa de juros anual j. O resultado leva em conta o

conceito de juro composto, que será explicado a seguir.

Considerando o primeiro ano, o resultado da aplicação é dado pela soma do capital aplicado

acrescido do rendimento da aplicação, isto é, para o primeiro ano podemos escrever o resultado

R(1) da aplicação da seguinte maneira:

7.1

Ao se iniciar o segundo ano, tudo se passa como se tivéssemos aplicado o resultado do

primeiro ano, raciocinando em seguida como antes. Assim, o resultado ao término do segundo

ano, R(2), se escreve:

7.2

Utilizando agora o resultado 7.1 em 7.2, obtemos para o segundo ano:

7.3

Assim, de modo geral, o resultado da aplicação a uma taxa de juros anual pode ser escrito

como função do tempo (número de anos), t, sob a forma de uma função exponencial:

7.4

Por exemplo, aplicando um montante de R$10.000,00 a uma taxa de juros (compostos) de

8% ao ano, então, o resultado como função do número de anos será:

7.5

R P jP P j1 1( ) = + = +( )

R R jR R j2 1 1 1 1( ) = ( ) + ( ) = ( ) +( )

R P j2 1 2( ) = +( )

R t P j t( ) = +( )1

R t t t( ) = +( ) = ( )10000 1 0 08 10000 1 08, ,

144

7 Aplicações das funções exponenciais e logarítmicas


Ao término do quinto ano, o aplicador verificará que o saldo da sua aplicação, em reais, será:

7.6

Muita vezes, há interesse em saber o resultado da aplicação quando os resultados não são

lançados anualmente, mas, como é mais usual, mensalmente, bimestralmente, trimestralmente etc.

No primeiro caso (mensal), temos 12 períodos de um mês em cada ano. No segundo, 6 períodos

de dois meses; no terceiro, 4 períodos de 3 meses.

Seja m o número de períodos em um ano e suponhamos o capital aplicado a uma taxa anual.

Considerando a taxa de juros no período como a taxa anual dividida pelo número de

períodos em um ano, o saldo (ou resultado) do primeiro ano será dado pela expressão:

7.7

enquanto, para o segundo, teremos:

7.8

Assim, o saldo da aplicação (ou resultado anual) como função do tempo será dado:

7.9

Retomando o exemplo anterior, analisemos agora o efeito da aplicação do mesmo montante,

mas considerando depósitos na conta da aplicação feitos trimestralmente. Temos agora

7.10

Ao término do primeiro ano, o resultado será dado, em reais, por:

7.11

S R t= =( ) = ( ) ≅5 10000 1 08 14 693 285, . ,

R P jm

m

1 1( ) = +

R R jm

P jm

m m

2 1 1 12

( ) = ( ) +

= +

R t P jm

mt

( ) = +

1

R tt

t( ) = +

= ( )10000 1 0 08

410000 1 02

44, ,

R 1 10000 1 02 10 824 324( ) = ( ) ≅, . ,

145



Trata-se, portanto, de uma forma de remuneração melhor do que aquela em que o resultado

é lançado anualmente.

Considere agora o caso em que aplicamos um montante de R$10.000,00. Admitindo que

obtenhamos depois de um ano o montante de R$31.384,28, qual o valor da taxa de juros mensal?

De 7.4 resulta que

7.12

e, portanto,

7.13

donde obtemos aproximadamente:

j ≅ 10% mensais

Consideremos a expressão 7.9, no caso em que os resultados são lançados continuamente,

simulando uma situação de hiperinflação. Nesse caso, tomamos o limite em que o número de

períodos tende a infinito. O resultado, nessa situação de juros rendendo continuamente (e não

em saltos) é o seguinte:

7.14

Colocando mjn= , podemos escrever:

7.15

Levando em conta que

7.16

31 384 28 10 000 1 12. , .= +( )j

log log ,1 112

3 138428+( ) =j

R t P jmm

mt

cont ( ) = +

→∞

lim 1

R t P jm

Pnm

mjjt

n

n

cont ( ) = +

= +

→∞

→∞lim lim1 1 1

jt

enn

n

= +

→∞

lim 1 1

146



vemos que o resultado da aplicação aumenta continuamente de acordo com o crescimento exponencial:

7.17

Mais adiante, serão retomadas essas questões envolvendo limites, no tema específico sobre

limite de uma função. O intuito aqui foi mostrar uma situação importante que envolve a função

exponencial de base e.

7.2 Radioatividade e aplicações na Medicina7.2.1 Meia-vida e vida média

Partículas que compõem a matéria ou o núcleo dos átomos, como os nêutrons, desaparecem,

dando lugar a outras. Essa é a base da emissão espontânea por parte de substâncias radioativas.

A principal característica dos decaimentos radioativos é o fato de que a diminuição do

número de átomos, representada por −dN, num intervalo de tempo dt, é proporcional ao

intervalo e ao número de átomos existentes N, ou seja, vale a lei do decaimento:

7.18

onde o sinal menos indica a redução do número de átomos e a constante λ é a constante de

decaimento, que é uma característica de cada substância. Pode-se mostrar, utilizando 7.18, que

R t Pe jtcont ( ) =

Figura 7.1: O decaimento radioativo leva à transmutação de elementos químicos.

dN Ndt= −λ

147



o número de átomos de um determinado tipo numa substância radioativa varia com o tempo

de acordo com a expressão:

7.19

Define-se a vida média τ da substância como o inverso da constante de decaimento, isto é:

7.20

Da expressão acima deduz-se que a vida média de um radioisótopo é o tempo necessário

para que o número de átomos presentes se reduza a uma fração igual a 1/e da quantidade inicial.

De 7.19 resulta que, por definição, quando t = τ,

7.21

Assim, em termos da vida média τ, escrevemos:

7.22

Outra grandeza física relevante é a meia-vida, denotada por T1/2, definida como o intervalo

de tempo necessário para que o número de átomos radioativos se reduza à metade. Assim,

7.23

Tomando o logaritmo de ambos os lados dessa equação, concluímos que a meia-vida se

relaciona com a vida média ou a constante de decaimento da seguinte forma:

7.24

A meia-vida de substâncias compostas apenas por um elemento radioativo difere enor-

memente de elemento para elemento, assim como difere para diferentes isótopos radioativos.

Por exemplo, a meia-vida do Urânio 238 (U238

) é T1/2 = 4,5 × 109 anos, isto é, 4,5 bilhões de anos.

N t N e t( ) = −0

λ

τλ

=1

N N e Ne

( )τ = =−0

1 0

N t N et

( ) =−

0

1τ

N T N N eT

1 20

02

1 2

/

/

( ) = =−

τ

T1 2 2 1 2/ ln ln= =τλ

148



Dura, portanto, por muito tempo e, por isso, esse dado é utilizado em processos de datação de

rochas; presumivelmente, está entre os objetos mais velhos do nosso planeta. A meia-vida do

Carbono 14, C14

é de 5.600 anos, sendo ele muitas vezes utilizado na datação de fósseis.

Alguns Isótopos utilizados na medicina, no diagnóstico médico, têm meias-vidas relativa-

mente curtas. Por exemplo, o Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares (IPEN)

produz quatro radioisótopos. Dois deles são produzidos no reator e dois deles no acelerador

Cíclotron, cujas meias-vidas são apresentadas na Tabela 7.1.

Tabela 7.1: Meias-vidas de alguns radioisótopos

Reator - IPENIodo - 131 8,02 dias

Samário - 153 46,7 horas

Cíclotron (Acelerador) - IPEN

F-18 110 min

Iodo - 123 13 horas

Gráficos 7.1 e 7.2: Gráficos do decaimento exponencial.

É curioso observar que um deles se reduz à metade num prazo menor do que duas horas, ou seja, qualquer que seja o seu uso, é importante ser transportado rapidamente. Assim, o uso de radioisótopos na medi-cina muitas vezes impõe problemas de logística na sua distribuição aos hospitais pelas várias cidades do País. Uma demora demasiada levará a uma redução significativa de um material raro, encarecendo ainda mais o próprio diagnóstico.

149



7.3 Na Biologia CelularA E. Coli é uma bactéria muito utilizada na Biologia

Celular. Uma das características mais úteis é a sua facili-

dade de reprodução. Sob determinadas condições, uma

cultura dessa bactéria tem o número de células duplicado

a cada quinze minutos. Se numa cultura iniciamos com

10.000 células, ao cabo de n períodos de 15 minutos, o

número de células será dado por:

7.25

Assim, depois de 12 horas, isto é, 48 períodos de 15 minutos, encontraremos um total de:

7.26

7.4 Escalas logarítmicasQuando grandezas físicas atingem grandes valores, é usual utilizarmos uma escala na qual a

grandeza é expressa em termos do seu logaritmo (na base 10). A seguir apresentamos dois exemplos.

7.4.1 A escala Richter

Esta escala é utilizada para expressar, de forma indireta, a intensidade

dos terremotos. Um terremoto produz ondas sísmicas, que podem ser

caracterizadas pela sua amplitude. Como veremos a seguir, pode-se

relacionar a energia liberada com a amplitude das ondas sísmicas.

As amplitudes das ondas sísmicas dependem da distância epicen-

tral (a distância até o epicentro do terremoto). Para entender essa

dependência, o primeiro passo dado por Richter foi o de construir

Figura 7.2: Reprodução de uma bactéria.

N ncn( ) . ( )= 10 000 2

Nc ( ) . ( ) .48 10 000 2 10 000 28147497671065648= = ⋅ bactérias.

Figura 7.3: Charles Francis Richter (1900-1985)

150



um diagrama cartesiano; nele são colocados no eixo das ordenadas os valores, para um mesmo

sismo, dos logaritmos das amplitudes, enquanto no eixo das abscissas são colocados os valores

das distâncias epicentrais relativas às diversas estações sismológicas, expressas em quilômetros.

Tal diagrama reflete, em última análise, o efeito da atenuação da onda propagada, a qual se

refletirá na amplitude do movimento do solo no local de observação.

De acordo com o observado, tais curvas são paralelas quando considerados eventos

distintos (Gráfico 7.3). Esse fato indica que a razão

entre duas amplitudes associadas a uma dada distância

epicentral nas duas curvas é independente da mesma.

Richter considerou, então, uma curva de atenu-

ação teórica, a qual seria associada a um ponto cuja

distância epicentral seria de 100 km. A essa curva foi

dado o nome de curva padrão.

A magnitude de um terremoto na escala Richter,

indicada por M, de um sismo, é dada pela diferença

dos valores das curvas de atenuação, ou seja,a diferença

entre o valor do logaritmo da amplitude A associado

ao sismo e aquele associado ao valor da curva padrão,

A0, para o mesmo valor da distância epicentral.

Escrevemos assim:

7.27

A energia liberada num terremoto (intimamente associada ao seu poder de destruição) pode

ser escrita, em função da amplitude A, aproximadamente, como:

7.28

onde C é uma constante. Assim, uma diferença de 2 graus na escala Richter implica um aumento

da energia liberada por um fator 1.000 e isso porque:

7.29

Gráfico 7.3: Amplitude de monitoramento do solo.

M A A= −log log10 10 0

E CA=3

2

1 000 102 32. ( )=

151



7.4.2 O pH

É sempre possível encontrar íons de Hidrogênio numa solução aquosa. O termo será aqui

entendido como qualquer íon decorrente da protonização de um elemento ou de uma molécula.

A água pode ser protonizada, dando lugar ao hidrônio H3O+.

Consideremos o caso da própria água. Na água pura é possível encontrar a molécula da água

como aceitadora de prótons (o seu lado ácido), bem como doadora de prótons (nesse caso,

exibe o seu lado base). Isso decorre da reação:

7.30

A reação acima é bastante rara, uma vez que apenas uma molécula em cada 550.000.000 de

moléculas da água é ionizada a cada instante de tempo considerado. O fato é que a concentração

de qualquer um dos íons é muito baixa. A concentração de qualquer um deles é dada por:

7.31

Assim, se tomarmos o negativo do logaritmo na base 10 do valor da concentração do íon

H3O na unidade acima, obteremos:

7.32

O pH de uma solução aquosa é definido pela concentração de hidrônios nessa solução:

7.33

Tendo em vista a igualdade dos dois tipos de íons na água, dizemos que ela, com o pH igual

a 7, é neutra. Soluções aquosas com o valor de pH abaixo desse valor são denominadas soluções

ácidas. Aquelas com o pH acima desse valor são denominadas soluções alcalinas (ou básicas).

H O H O H O OH2 2 3+ → ++ −

10 107 7− −=mol/litro M

− =+logCH O3

7

pHH O

= − +logC3

152



7.5 Física EstatísticaA função exponencial é de grande importância na física estatística. Para entender isso,

lembramos que o postulado fundamental da mecânica estatística é o que assume que a ocupação

de qualquer microestado acessível a um sistema físico é igualmente provável. Escrevemos, portanto,

para qualquer microestado, a seguinte expressão que representa a probabilidade de encontrá-lo:

7.34

onde N é o número de microestados acessíveis ao sistema físico considerado.

A entropia de um sistema é proporcional ao logaritmo natural do número de estados, ou seja:

7.35

onde a constante k é a constante de Boltzmann. Da expressão acima, resulta que o número de

estados acessíveis é dado por:

7.36

E, portanto, a probabilidade de encontrarmos o sistema num dos seus possíveis microestados é:

7.37

o que dá à entropia uma interpretação probabilística. Assumimos que o volume, o número de

moléculas ou constituintes, bem como a sua energia, são fixos.

Dentro do contexto do Ensemble Canônico, onde há a hipótese de a energia não ser fixa,

postulamos que num sistema, que se encontra imerso num banho térmico a uma temperatura(T ), a probabilidade de o encontrarmos com uma energia E é dada pela expressão:

7.38

onde Z pode ser determinado a partir da condição de que a soma das probabilidades seja igual a 1.

PN

=1

S k N= ln

N eSk

=

P eSk=

−

P EZe

EkT( ) =

−1

153



7.6 Distribuição de moléculas na atmosfera terrestre

Os átomos (ou moléculas) num gás não têm a mesma velocidade; assim, o que importa

não é a velocidade ou a energia cinética unitária de cada átomo (ou molécula), uma vez que

não há como medi-la. Podemos, no entanto, determinar os valores médios da velocidade e de

outras grandezas físicas, como fizeram Maxwell e Boltzmann. A teoria de Maxwell-Boltzmann

é baseada em métodos estatísticos.

Para um sistema de partículas, a energia a que se refere a expressão 7.38 é a soma da energia

cinética e a energia potencial (U ). No caso de uma partícula de massa m sujeita a um campo

gravitacional constante de intensidade g, a energia é dada por

7.39

Sem considerar a questão da velocidade das moléculas dos gases

que compõem a atmosfera terrestre, podemos inferir que a densidade

de um gás cujas moléculas têm massa m, e admitindo-se a tempera-

tura constante e igual a T, depende exponencialmente da altura h

em relação à superfície terrestre. Escrevemos:

7.40

Essa distribuição é conhecida como distribuição

barométrica.

Figura 7.4: Moléculas num gás têm diferentes velocidades.

E mv mgz= −12

2

Gráfico 7.4: Distribuição barométrica.

ρ ρh emghkT( ) =

−

0

154



7.7 Distribuição de velocidade de moléculas num gás

Fazendo uso da estatística de Maxwell-Boltzmann, podemos inferir a probabilidade de

encontrarmos um certo número, dN, de partículas com velocidades no intervalo entre v e v + dv. Assim, a teoria prevê que a distribuição de velocidades das moléculas que compõem um gás

rarefeito contendo N moléculas de massa m é dada, em função da temperatura T, pela expressão:

7.41

onde a função f é denominada função de distribuição e, de acordo com a estatística de Maxwell-

Boltzmann, ela é dada por:

7.42

onde K é a constante de Boltzmann, cujo valor é 1.38 ×10−23J·T −1.

De posse do tratamento estatístico de um grande número de moléculas, a teoria atômica

permite fazer previsões relativamente simples a respeito do comportamento dos gases ideais.

Por exemplo, o valor mais provável da velocidade é aquele para o qual a distribuição atinge o valor

máximo. A velocidade mais provável das moléculas depende da temperatura da seguinte forma:

7.43

dN v T f v T dv( , ) ,= ( )

f v T N mkT

e vmv kT( , )/

/=

−2 3 22 22

π

Gráfico 7.5: Velocidade mais provável, média e quadrática média. Gráfico 7.6: Distribuição da velocidade molecular de Maxwell-Boltzmann para diferentes gases.

v kTmm =

2

155



A média da velocidade ao quadrado:

7.44

é dada pela expressão:

7.45

enquanto a energia média, para um gás ideal, é igual à energia cinética média. De cada molécula

é dada, de acordo com 7.45, pela expressão:

7.46

Através da expressão acima, a teoria cinética associa a temperatura à energia interna do gás,

ou seja, associamos a temperatura ao estado de movimento dos constituintes.

Através de expressões como 7.43 ou 7.45, a teoria cinética permite inferir valores para a

velocidade das moléculas. Por exemplo, a velocidade mais provável das moléculas de hidrogênio

num gás mantido a uma temperatura de 100 graus K é de 910 m/s.

7.8 Movimento num fluido viscosoNo segundo volume dos Principia, Newton discute o movimento de um corpo quando

imerso num fluido viscoso. No início do volume II, ele enuncia o tema a ser estudado:

ou seja, analisa, logo no início do seu segundo livro, o caso de uma força proporcional à velocidade.

Consideremos o caso de um barco na água. Ao desligarmos o motor de popa, ele para depois

de um determinado tempo, tempo esse que depende da velocidade inicial.

v dvv f v T N mkT

dvv e mv kT2 2

0

3 24 2

0

42

2

= ( ) =

+∞−

+∞

∫ ∫,/

/ππ

v kTm

v qm2 23( ) = =

E mv kT= =

2

23

2

SECTION I.

Of the motion of bodies that are resisted in the radio of the velocity.

Figura 7.5: Título no segundo volume dos Principia.

156



Sobre um objeto em movimento num fluido,

como um barco, atua uma força decorrente

das colisões do objeto com as moléculas que

compõem o fluido. Admitiremos que essa força

seja da forma:

7.47

onde o coeficiente b depende da viscosidade do fluido e da forma geométrica do objeto nele

imerso. O sinal menos na expressão acima significa apenas que a força é contrária ao movi-

mento, ou seja, ela tem o sentido contrário ao sentido do movimento, o qual tem o sentido da

velocidade, pois, como sabemos, a velocidade sempre indica para onde a partícula vai logo em

seguida. O sinal menos indica que essa força atua sempre de modo a impedir o movimento.

Consideraremos apenas o caso do movimento numa direção. No primeiro exemplo, consi-

deraremos o caso de um objeto que se movimenta num fluido de tal forma que não existam

outras forças, além da força viscosa agindo na direção do movimento. Admitiremos que a força

depende linearmente da velocidade.

Um bom exemplo dessa situação é o de um barco que, a partir de um determinado

momento, desliga o motor. No caso, temos várias forças agindo sobre ele. Na direção normal à

superfície do lago agem duas forças. A força peso

é equilibrada pela força de empuxo. Na direção

tangencial temos apenas a força decorrente das

colisões do barco com as partículas que compõem

o fluido. Assim, nessa direção - a tangencial, temos

a equação de Newton escrita como:

7.48

A solução para a equação acima é:

7.49

F bV= −

Figura 7.7: Representação das forças que agem sobre o barco. mdV tdt

bV t( )= − ( )

V t V t e t t( ) = ( ) − −( )0

0γ

Figura 7.6: Ilustração de um barco em movimento.

157



onde

7.50

De 7.49 infere-se que a velocidade do barco decresce exponencialmente com o tempo.

A posição do móvel varia como uma função decrescente do tempo de acordo com a expressão:

7.51

A conclusão é a de que o barco percorre uma distância

7.52

até ele parar.

Consideremos agora outro exemplo. Uma pequena esfera é

colocada no interior de um fluido viscoso. No início, ela adquire

uma aceleração, mas depois de um intervalo de tempo verificamos

que a sua velocidade assume um valor constante. Ela para de acelerar.

O mesmo comportamento, de objetos que, ao caírem,

adquirem velocidade constante, vale para qualquer f luido.

Assim, também, objetos que caem na superfície da Terra exibem

o mesmo comportamento.

No caso em apreço devemos adicionar a força gravitacional à

expressão 7.48. Obtemos assim:

7.53

A solução para a velocidade em função da velocidade inicial (no caso em que a esfera é solta,

essa velocidade é nula);

7.54

γ =bm

x t x t V e t t( ) = ( ) − −( )− −( )0

0 0 1γ

γ

∆x t V( ) = 0

γ

Figura 7.8: Pequena esfera no interior de um fluido viscoso.m dv

dtbV t mg= − ( ) +

V t g V t g ey yt t( ) = −

+ ( ) +

− −( )

γ γγ

00

158



A primeira conclusão a que chegamos é a de que, independentemente do valor da velocidade

inicial, a partícula atinge uma velocidade final, que é constante, e que é dada por:

7.55

Observamos que essa velocidade final é exatamente aquela para a qual a força exercida pelo

líquido se torna igual à força gravitacional. De fato, de 7.53, vemos que

7.56

Assim, na atmosfera terrestre (um fluido viscoso), a velocidade de um objeto que cai cresce

até atingir um determinado valor. A partir desse valor, ela fica praticamente constante, uma vez

que o termo da velocidade que depende do tempo decresce exponencialmente.

7.9 Corrente elétrica num circuito RCUm circuito é uma interconexão de elementos elétricos (ou dispositivos) formando

um caminho fechado de tal forma que uma corrente elétrica possa fluir por esse caminho.

Na Figura 7.9 apresentamos o exemplo mais simples de um circuito RC. Trata-se de um cir-

cuito que contém apenas um capacitor, cuja capacitância é C e um resistor, cuja resistência é R.

Nesse caso, eles se encontram dispostos em série.

V gy final( ) = −

γ

− ( ) − =bV mgy final 0

Figura 7.9: Circuito RC e gráfico do comportamento da corrente elétrica quando fechamos a chave.

159



Levando-se em conta a lei de Kirchoff, ao ligarmos a chave, veremos que a diferença

de potencial entre as placas do capacitor obedece a uma lei equivalente a um decaimento

exponencial, ou seja:

7.57

onde V0 é a diferença de potencial do capacitor no instante em que acionamos a chave

(o instante de tempo t = 0). A corrente elétrica obedece, igualmente, a uma lei do decaimento

exponencial. Obtemos:

7.58

Nesse caso, o decaimento exponencial resulta da perda de energia dos elétrons ao se movi-

mentarem pelo resistor. De fato, lembrando que a energia armazenada no capacitor é dada por

7.59

Constatamos que essa energia decresce exponencialmente:

7.60

onde E0 é a energia armazenada inicialmente no capacitor. Essa energia é perdida nas colisões

dos elétrons com os átomos constituintes do resistor. A taxa de perda de energia, por unidade

de tempo, é a potência dissipada. E esta decai exponencialmente. E isso segue do fato de que a

potência dissipada numa resistência é dada por:

7.61

De 7.58 e 7.61 resulta que:

7.62

V t V etRC( ) =

−

0

i tV tR

VRe

tRC( ) = ( )

=−

0

E CV=12

2

E t E e CV etRC

tRC( ) = =

− −

0

2

02

212

P Ri= 2

P t VRe

tRC( ) =

−0

2 2

160



7.10 Altura do colarinho da cervejaO Gráfico 7.7 corresponde à determinação experimental da

altura do colarinho (a altura da espuma no copo) de três marcas

diferentes de cerveja como função do tempo. Ao contar o número

N de bolhas no colarinho, o Prof. Arnd Leike, da Universidade de

München, na Alemanha, constatou que a altura do colarinho, ou mais

especificamente o número de bolhas, segue uma lei de decaimento

exponencial, ou seja, observou que:

7.63

onde N0 é o número inicial de bolhas.

7.11 Lei de Newton do resfriamento

A lei de Newton do resfriamento estabelece que um objeto se resfria obedecendo a uma

lei exponencial. Isso decorre do fato de que ele perde calor a uma taxa que é proporcional à

diferença de temperatura entre o corpo e os objetos na sua vizinhança e da hipótese de que o

calor perdido seja proporcional à temperatura do corpo.

Isso pode ser verificado experimentalmente de acordo com

o arranjo da Figura 7.10. O que se procura determinar é a

diferença ∆T = T − Tamb entre a temperatura do objeto e a do

ambiente no qual ele está imerso.

Assim, de acordo com a lei do resfriamento de Newton,

7.64

onde ∆T0 é a diferença de temperatura no instante de tempo t = 0.

GlossárioRadioisótopo: Um isótopo de um elemento radioativo.

Gráfico 7.7: Comportamento da altura do colarinho da cerveja em função do tempo.

N t N e t( ) -= 0λ

Figura 7.10: Esquema representando um objeto em contato com o ambiente e seu resfriamento em relação ao tempo.

∆ ∆T T e t= −0

λ



TriGonoMeTria no TriânGulo reTânGulo8

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a i

8.1 Trigonometria nos primórdios8.2 ângulos no triângulo retângulo: o grau8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo8.4 Propriedades dos senos e cossenos: a lei dos Senos e a lei dos Cossenos8.5 outras razões trigonométricas8.6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveis

163

Fundamentos de Matemática i


8.1 Trigonometria nos primórdiosPor alguma razão, o número 60 tinha um apelo místico para os babilônios. Como resultado,

cerca de 2.000 anos antes da era cristã, já propunham um sistema de numeração cuja base era

esse número. Tal sistema tornou-se conhecido como sexagesimal, uma vez que a base escolhida

por eles era o número 60, ou seja, nesse sistema qualquer número poderia ser expresso como

soma de potências de 60 multiplicadas por constantes adequadas. Os Babilônios propuseram

a divisão da circunferência de um círculo em 360 partes iguais, daí resultando a unidade de

medida de ângulo conhecida como grau. Dessa forma uma circunferência tem 360°.

Considerando-se dois pontos (P1, P2), ambos localizados sobre uma circunferência, é

possível construir o segmento de reta determinado por esses dois pontos (veja Figura 8.1).

Hiparco definia corda (Crd) como o comprimento desse segmento. Para medi-lo, Hiparco

introduzia uma unidade de comprimento que dependia do raio da circunferência. Para isso,

dividia o raio da circunferência em 60 partes iguais.

Traçando duas semirretas a partir da origem, passando pelos dois

pontos, P1 e P2, podemos agora introduzir o ângulo a medindo

a inclinação dessas semirretas. Claramente, a corda depende desse

ângulo. Temos assim:

8.1

Hiparco (cerca 140 a.C.) recebeu o crédito por ter iniciado a trigono-metria, ou melhor, ter introduzido, de forma indireta, o conceito de seno de um ângulo. Hiparco era pesquisador no museu de Alexandria, a primeira instituição científica financiada pelo poder público. Transformou-se num dos maiores astrônomos da antiguidade. Sua principal contribuição à matemática teve a influência da matemática dos babilônios. Credita-se a ele a introdução, nos meios científicos relevantes na época, da medida de ângulo proposta pelos babilônios. Introduziu também a função seno utilizando o número 60.

Figura 8.1: Definição de Corda associada a um ângulo.

Crd Crd= ( )a

164

8 Trigonometria no triângulo retângulo


A corda pode ser, nesse contexto, entendida como função do ângulo a.

Adotando essa forma de caracterizar ângulos, ou de medi-los, podemos agora entender

como Hiparco introduziu a função seno, como é definida nos dias de hoje. De fato, sua relação

com a função comprimento da corda é bem simples:

8.2

Escrevendo a corda como sendo dada por

8.3

e utilizando o valor do raio, sem efetuar sua divisão em 60 partes, a função seno, definida a

partir da função corda em 8.2, pode ser escrita como:

8.4

A rigor, Hiparco não estava introduzindo a função seno. Ele definia o que denominamos

seno de um ângulo. Tal definição é análoga àquela obtida a partir das relações métricas de

ângulos agudos num triângulo retângulo.

Hiparco gerou uma tabela de cordas. Essa tabela é muito semelhante a uma tabela dos senos,

desde que nos atenhamos a ângulos menores do que 180°. A fim de determinar a posição dos

corpos celestes, Hiparco teve a ideia de fazer a interpolação para gerar algo como a função corda.

Ptolomeu publicou, em sua obra O Almagesto, uma tabela de cordas para ângulos variando

dentro de intervalos de 0,5°.

8.2 Ângulos no triângulo retângulo: o grau

Um triângulo é retângulo quando possui um ângulo reto, isto é, dois de seus lados são

perpendiculares. Esses lados são denominados catetos e aquele oposto ao ângulo reto é deno-

minado hipotenusa.

senCrd

senCrda a

Ra a

2 2 2 120=

( )→

=

( )

Crd a l( ) = 2

sen a lR2

=

165



Para medir os ângulos de um triângulo retângulo utilizamos o grau como unidade de medida.

Observamos que, como o ângulo reto tem 90° por medida, os outros dois ângulos de um

triângulo retângulo são complementares, ou seja, têm como medida de sua soma 90°.

No caso de um triângulo retângulo, vale o teorema de Pitágoras, ou seja, vale a relação:

8.5

onde c é medida da hipotenusa, a e b são as medidas dos catetos.

8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo

Considerando o ângulo A, por exemplo, o lado que é

oposto a ele tem o nome de cateto oposto (o lado de medida

a ou simplesmente o lado a), enquanto o lado adjacente a ele,

e diferente da hipotenusa (o lado de medida b ou lado b), é

denominado cateto adjacente a esse ângulo. Observe que,

considerando agora o ângulo B, o lado b é o seu cateto oposto

enquanto o lado a é o seu cateto adjacente.

Você lembra?

1 grau é a medida do ângulo central obtido ao dividir uma circunferência em 360 partes iguais.

Figura 8.2: Lados e vértices do triângulo retângulo.

a b c2 2 2+ =

Figura 8.3: Lados de um triângulo retângulo.

166



A partir da notação, definimos o seno de um ângulo agudo do triângulo retângulo como

sendo o quociente do cateto oposto pela hipotenusa:

Da definição anterior obtemos, na Figura 8.3:

8.6

Podemos também definir o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo como

sendo o quociente do cateto adjacente pela hipotenusa:

Da definição anterior obtemos, na Figura 8.3:

8.7

Convém observar que num triângulo retângulo só temos como definir senos e cossenos para

os ângulos agudos.

senθ = cateto opostohipotenusa

Figura 8.4: Seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.

sen sen

A ac

B bc

= =

cosθ = cateto adjacentehipotenusa

Figura 8.5: Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.

cos cosA bc

B ac

= =

167



Exemplos

• ExEmplo 1A partir do triângulo equilátero ABC de lado l e do quadrado de lado a da Figura 8.6, preencha as lacunas da tabela:

30° 60° 45°

SenoCosseno

→ REsolução:Observemos a Figura 8.6:

a. Para o caso do triângulo equilátero ABC, de lado l:Lembrando que, num triângulo equilátero, a altura, bissetriz e mediana, traçadas a partir de um vértice, coincidem, consideremos CH a altura do triângulo equilátero ABC, relativa à base AB;pelo teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retângulo HBC, obtemos que

de onde

h l=

32

ou h l= −

32

(não convém)

Portanto, temos que:

Figura 8.6: O triângulo equilátero ABC e o quadrado DEFG.

h l l2 22

4= −

sen sen sen302

2 12

° = = = = =HCB ACBl

l

cateto opostohipotenusa

168



e

bem como:

e

b. Para o caso do quadrado DEFG, de lado a:Consideremos DF a diagonal do quadrado; pelo teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retân-gulo isósceles DEF, obtemos que

de onde

d a= 2 ou d a= − 2 (não convém)

Portanto, temos que:

Completando então a tabela:

30° 60° 45°

Seno12

32

22

Cosseno 32

12

22

Convém notar que sen 30° = cos 60° e cos 30° = sen 60° que, alias, é uma propriedade válida para qualquer par de ângulos complementares, isto é sen α = cos (90° − α) e e cos α = sen (90° − α), como adiante veremos.

cos cos cos302

32° = = = = =HCB ACB h

l

l

l

cateto adjacentehipotenusa

==3

2

sen sen60

32 3

2° = = = = =CBH h

l

l

l

cateto opostohipotenusa

cos cos60 2 12

° = = = =CBH

l

l

cateto adjacentehipotenusa

d a a2 2 2= +

senhipotenusa

45 452

22

° = ° = = =cos a aa

169



8.4 Propriedades dos senos e cossenos: a lei dos Senos e a lei dos Cossenos

Uma propriedade notável do cosseno e seno de um ângulo agudo num triângulo retângulo

é facilmente derivada a partir do teorema de Pitágoras. De fato, tomando os valores do seno e

do cosseno do ângulo agudo A no triângulo retângulo da Figura 8.3, conforme as expressões

8.6 e 8.7, e, em seguida, somando os valores dos seus respectivos quadrados, obtemos:

8.8

Utilizando o teorema de Pitágoras (8.5), resulta de 8.8 que, para qualquer ângulo agudo

num triângulo retângulo, vale a relação:

8.9

A fim de poder estabelecer a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos, que são relações úteis

entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer, não necessariamente retângulo, podendo

ser acutângulo ou obtusângulo, vamos ampliar o conceito de seno e cosseno de um ângulo.

Para tal, introduzimos as seguintes identidades:

8.10

8.11

8.12

8.13

sen cos2 22 2

2A A ac

bc

a bc

+ =

=

+2 2

+

sen cos2 2 1θ θ+ =

sen90 1° =

cos90 0° =

sen( ) sen180° − =x x

cos( ) cos180° − = −x x

170



Consideremos, em primeiro lugar, a Lei dos Senos a qual estabelece que, num triângulo

ABC qualquer, vale a seguinte relação:

onde a, b, c indicam as medidas dos lados opostos aos ângulos de vértices A, B, C, respectiva-

mente e r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Considerando um triângulo ABC qualquer, inscrito numa

circunferência de raio r, a partir do vértice B podemos encontrar,

na circunferência, um ponto diametralmente oposto D; ligando D

a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C, pois o

ângulo BCD é inscrito numa semicircunferência.

Os ângulos de vértices em A e D são inscritos na circunferência

e determinam o mesmo arco BC, logo têm a mesma medida.

Agora, no triângulo retângulo BCD, temos:

de onde

ou seja,

Repetindo o raciocínio, para os ângulos de vértices B e C, teremos as relações:

bB

rsen

= 2 e cC

rsen

= 2

Logo, podemos concluir que:

aA

bB

cC

rsen sen sen

= = = 2

Figura 8.7: Triângulo ABC qualquer, inscrito numa circunferência de raio r.

senD ar

=2

sen A ar

=2

aA

rsen

= 2

aA

bB

cC

rsen sen sen

= = = 2

171



Consideremos agora a Lei dos Cossenos, a qual estabelece que, num triângulo ABC,

qualquer, valem as seguintes relações:

onde a, b, c indicam as medidas dos lados opostos aos ângulos de vértices A, B, C, respectivamente.

Vamos provar apenas a primeira das relações e isso será suficiente, pois as três são análogas.

Analisemos as três possibilidades para o ângulo A (agudo, obtuso e reto).

a. A é um ângulo agudo.

Seja CH a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB. O triângulo AHC é retângulo e pelo

Teorema de Pitágoras,

b2 = h2 + m2

O triângulo HBC também é retângulo e, novamente pelo Teorema de Pitágoras,

a2 = h2 + n2

Além disso, m + n = c, e, eliminando h nas duas primeiras equações, obtemos:

b2 − m2 = a2 − n2

Eliminando n obtemos:

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

= + −

= + −

= + −

cos

cos

cos

Figura 8.8: Triângulo ABC em que o ângulo de vértice A é agudo.

b m a c m2 2 2 2− = − −( )

172



Portanto, b2 − m2 = a2 − c2 + 2cm − m2 e daí a2 = b2 + c2 − 2cm.

Mas (m/b) = cos A ou m b A= .cos .

de onde a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A.

b. A é um ângulo obtuso.

Seja CH a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB. O triângulo CHA é retângulo e

assim, pelo teorema de Pitágoras,

b2 = h2 + m2

Como o triângulo CHB é retângulo, pelo teorema de Pitágoras,

a2 = h2 + (m + c)2

Eliminando h, temos:

b2 − m2= a2 − (m + c)2

Simplificando a última equação, temos:

a2 = b2 + c2 + 2cm

Mas mb

H AC A A= = ° − = −cos cos( ) cos 180 , ou seja,

m = − b.cos A

Logo,

a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A .

Figura 8.9: Triângulo ABC em que o ângulo de vértice A é obtuso.

173



c. A é um ângulo reto.

Este caso é o próprio teorema de Pitágoras, pois cos A = 0.

• ExEmplo 21. Determine o valor de x no triângulo abaixo.

a.

→ REsolução:Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo da Figura 8.10, temos:

e, como sen 120° = sen 60° = 3

2 e sen 45° =

22

temos:

b.

→ REsolução:Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo ABC da Figura 8.11, temos:

uma vez que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180°.

Logo, como sen 30° = 12

e sen 45° = 2

2, temos

Figura 8.10: O triângulo dado.

100120 45sen sen°

=°

x

x = =100 2

3100

36

Figura 8.11: O triângulo dado.

10030 45sen sen°

=°

x

x =100 2

174



c.

→ REsolução:Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ABC da Figura 8.12, temos:

x2 = 16 + 25 − 2.4.5.cos 60°

ou seja, como cos 60° = 12

, temos:

x2 = 21

ou seja,

2. Mostre que a área S de um triângulo, cujos lados são a, b e c, é dada por:

S p p a p b p c= − − −( )( )( ) , onde p é o semi-perímetro do triângulo. Essa relação é devida

a Heron.

→ REsolução:Consideremos a Figura 8.13.Sabemos que a área do triângulo é dada por

Também temos sen A hb

= .

E, pela Lei dos Cossenos,

a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A

ou seja,

Como sen cos2 2 1A A + = , temos:

Figura 8.12: O triângulo dado

x = 21

Figura 8.13: O triângulo ABC.

S c h=

⋅2

cos A b c abc

=+ −2 2 2

2

hb

b c abc

+

+ −

=

2 2 2 2 2

21

175



Ou seja, 2

21

2 2 2 2 2Sbc

b c abc

+

+ −

= , pois h S

c=

2.

Multiplicando e dividindo por 2 a primeira fração, temos

ou seja,

(4S)2 + (b2 + c2 − a2)2 = (2bc)2

de onde resulta

16S2 = (2bc)2 − (b2 + c2 −a2)2

Uma vez que o segundo membro é uma diferença de quadrados, podemos escrever

16S2 = [2bc − (b2 + c2 − a2)].[2bc + (b2 + c2 − a2)]

ou ainda,

16S2 = [a2 − (b2 + c2 − 2bc)].[(b2 + c2 + 2bc)] − a2]

isto é,

16S2 = [a2 −(b − c)2].[(b + c)2 − a2]

Novamente, fatorando as diferenças de quadrados,

16S2 = [a + b − c]. [a − b + c].[b + c + a].[b + c − a]

ou

Como p a b c=

+ +2

é o semiperímetro, temos

S2 = (p − c).(p − b).p.(p − a)

ou

Ou, de outra forma,

S p p a p b p c= − − −.( ).( ).( ) .

42 2

12 2 2 2 2

Sbc

b c abc

+

+ −

=

S a b c a b c a b c b c a2

2 2 2 2=

+ −⋅− +

⋅+ +

⋅+ −

S p c p b p p a= − − −( ).( ). .( )

176



8.5 Outras razões trigonométricasNum triângulo retângulo, sempre no caso de um ângulo agudo, ainda podemos definir

outras razões entre as medidas de seus lados, além daquelas que definem o seno e o cosseno.

Definimos a tangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo como sendo o quo-

ciente do cateto oposto pelo cateto adjacente:

8.14

Temos assim que, num triângulo retângulo, como o da Figura 8.3, definimos a tangente dos

ângulos A e B, em termos dos catetos do triângulo retângulo:

8.15

Definimos também a cotangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo como sendo

o quociente do cateto adjacente pelo cateto oposto ou o inverso da tangente do mesmo ângulo:

8.16

Temos assim que a cotangente do ângulo A e a cotangente do ângulo B da Figura 8.3 são,

em termos dos catetos a e b:

8.17

Figura 8.14: Tangente de um ângulo agudo do triângulo retângulo.

tg cateto opostocateto adjacente

θ =

tg tgA ab

B ba

= =

Figura 8.15: Cotangente de um ângulo agudo do triângulo retângulo.

cotgtg

θθ

= =1 cateto adjacente

cateto oposto

cotg cotgA ba

B ab

= =

177



Definimos ainda o valor da secante de um ângulo agudo num triângulo retângulo como o

inverso do cosseno do mesmo ângulo. Temos, pois, em termos dos lados do triângulo:

8.18

Assim, para os ângulos A e B da Figura 8.3, temos:

8.19

Definimos a cossecante de um ângulo agudo num triângulo retângulo como o inverso do

seno do mesmo ângulo:

8.20

Consequentemente, os valores da cossecante do ângulo A e da cossecante do ângulo B da

Figura 8.3 são dados, em termos dos lados do triângulo

8.21

Conclui-se que, num triângulo retângulo, podemos definir diferentes valores associados a

ângulos agudos, valores esses que são quocientes entre as medidas dos lados do triângulo.

Figura 8.16: Secante de um ângulo agudo do triângulo retângulo.

secθ = hipotenusacateto adjacente

sec secA cb

B ca

= =

Figura 8.17: Cossecante de um ângulo agudo do triângulo retângulo.

cossecθ = hipotenusacateto oposto

cossec cossecA ca

B cb

= =

178



8.6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveisMedir é comparar. No cotidiano, a medida de distâncias é feita através de uma medida direta,

isto é, comparando-se as dimensões de algo com uma unidade padrão. Usualmente, adotamos o

metro como unidade padrão para medir distâncias. Na astronomia utilizamos outras unidades,

as quais serão aqui apresentadas.

Medidas diretas são inviáveis na Astronomia. Por isso, no caso dos objetos localizados fora

da Terra as medidas são efetuadas de uma maneira indireta.

Um dos métodos indiretos mais antigos de determinação das distâncias é o uso da triangu-

lação. Na Figura 8.18 esboçamos o esquema básico do uso da triangulação, para determinação

da altura (h) do monte. Ele requer a determinação de um ângulo (θ), entre as direções da base e

do cume do monte, e da distância (d) entre o observador e o monte; θ e d podem ser medidos.

O ângulo θ é medido com um instrumento denominado teodolito.

Algumas vezes utilizamos a semelhança entre triângulos.

Um dos registros mais antigos de uso desse método indireto é aquele atribuído a Tales de

Mileto (625 – 558 a.C.), o qual teria determinado a altura da pirâmide de Gizé a partir da

determinação da dimensão da sombra projetada no solo. Tomou o cuidado de efetuar tal

medida no exato momento em que o tamanho de sua sombra projetada no solo era igual à

sua altura. Nesse momento, o tamanho da sombra da pirâmide era igual à altura da pirâmide.

Figura 8.18: Determinação da altura do monte por triangulação: tgθ = h/d ou h = d × tgθ.

179



Na Figura 8.19 está representada a configuração de uma estrela, vista da Terra em duas

posições diametralmente opostas no seu movimento de translação e o Sol. A paralaxe estelar é

o desvio aparente da estrela em relação às estrelas de

fundo. O ângulo de paralaxe é p. As posições aparentes

da estrela podem ser registradas em imagens da região

do céu, obtidas em épocas diferentes. As paralaxes são

diminutas. Ou seja, são medidas em segundos de arco.

Por exemplo, a estrela mais próxima do Sol, a Próxima

Centauro (e de grande paralaxe, portanto) tem paralaxe

de meros 0,77 segundo de arco (2 décimos-milésimo

de grau). Estrelas mais distantes têm paralaxes menores

ainda.Tendo em vista a dificuldade experimental de

distinguir pontos muito próximos, esse método é

bastante limitado.

O método da paralaxe trigonométrica introduziu na Astronomia uma nova unidade de

comprimento: o parsec. Um parsec é equivalente a 3,26 anos-luz ou 206.264 unidades

astronômicas, ou ainda 31 trilhões de quilômetros. Nesta unidade, as distâncias a estrelas mais

brilhantes visualmente ficam a distâncias entre 1,3 pc (a-Centauri) e 800 pc, excluindo-se

evidentemente o Sol.

D(parsec) = 1 / p(segundo de arco)

Experimente escrever essas distâncias em km, você vai ter que escrever muitos dígitos!

Um parsec = 206265 U.A. Uma unidade astronômica, por sua vez, é equivalente a 1,49 · 108 km.

• ExEmplo 31. Na Figura 8.20 está representado um morro entre

dois pontos A e B. Um teodolito colocado no ponto C consegue mirar tanto A quanto B, informando que o ângulo ACB = 135°. Sabendo que CA = 100 m e que CB = 75 m, pede-se determinar a distância entre A e B.

Figura 8.19: Paralaxe estelar.

Figura 8.20: Encontrar a distância entre A e B.

180



→ REsolução:Pela Lei dos Cossenos, temos:

(AB)2 = (AC)2 + (BC)2 − 2AC.BC.cos 135°

Como cos 135° = − cos 45° = −2

2 então

(AB)2 ≅ 26231,6 de onde AB ≅ 161,96 m.

2. Na Figura 8.21, estão representados os pontos A e B situados em margens opostas de um rio. Para calcular a distância AB, o topógrafo considerou um ponto C de onde fosse possível mirar os pontos A e B. Em seguida, com uma trena, mediu BC, encontrando 300 m, e, com o teodolito, mediu os ângulos ACB e ABC , encontrando 85° e 75°, respectivamente. Quanto mede AB aproximadamente?

→ REsolução:Em primeiro lugar, sabendo que a soma dos ângulos de um triângulo é 180o, determinamos o ângulo A BAC = = 20°.Pela Lei dos Senos, temos:

de onde temos

ou seja, usando uma calculadora, obtemos

AB ≅ 874

GlossárioAcutângulo: Todos os ângulos são agudos.

Obtusângulo: Há no triângulo um ângulo obtuso.

Parsec: Distância produzida por uma paralaxe anual média de um segundo de arco.

Figura 8.21: Encontrar a distância entre A e B.

30020 85sen sen°

=°

AB

AB = °°

300 8520

.sensen

Agora é sua vez...Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem e realize a(s)

atividade(s) proposta(s).


9.1 Coordenadas cartesianas no plano9.2 A circunferência trigonométrica; orientação 9.3 Definição de seno e cosseno de um número real9.4 O seno e o cosseno da soma ou diferença de dois números reais 9.5 Outras funções trigonométricas9.6 Gráficos das funções trigonométricas 9.7 Funções inversas9.8 Aplicações

9.8.1 Movimento harmônico simples9.8.2 Velocidade e aceleração no movimento harmônico simples9.8.3 Movimento ondulatório: ondas harmônicas unidimensionais9.8.4 Ondas estacionárias9.8.5 Sons dos instrumentos musicais9.8.6 Corrente alternada9.8.7 Circuito LC


9FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

183



9.1 Coordenadas cartesianas no planoA melhor forma de introduzir as funções trigonométricas é fazer uso de um sistema

cartesiano de coordenadas no plano.

Um ponto P no plano tem sua posição caracterizada pelas suas coordenadas cartesianas (x, y). Elas são determinadas da seguinte forma: traçamos, a partir de P, duas retas paralelas aos

eixos, indicadas por retas tracejadas, até elas encontrarem os eixos x e y, respectivamente.

Esses pontos de encontro das retas tracejadas com os eixos definem as coordenadas cartesianas

da posição do corpo. Convencionou-se que o valor da coordenada x do ponto P será igual à

distância desse ponto de encontro até a origem se P

estiver no sentido da f lecha a partir da origem. Caso

contrário, o valor da coordenada é igual à distância

precedida de um sinal menos, isto é, as coordenadas

terão valores negativos quando o ponto P estiver no

sentido oposto ao da f lecha a partir da origem.

A mesma regra se aplica para a coordenada y.Observe que, exceto pelo sinal, as coordenadas são

definidas como projeções do ponto P sobre os eixos.

9.2 A circunferência trigonométrica; orientação Consideremos uma circunferência de centro na origem do sistema cartesiano e raio unitário.

Nessa circunferência vamos considerar o ponto A = (1, 0) como a origem para marcar os arcos.

Um sistema cartesiano é baseado na escolha de um ponto, ao qual damos o nome de ponto origem do sistema de referência, e dois eixos ortogonais entre si passando por esse ponto. Em seguida, orientamos esses eixos. Tais eixos são designados, em geral, por x (o eixo horizontal ou eixo das abscissas) e y (o eixo vertical ou eixo das ordenadas).

Figura 9.1: Coordenadas cartesianas de dois pontos no plano.

184

9 Funções trigonométricas


Já sabemos que medir é comparar. Para medir um arco qualquer AB , precisamos verificar

quantas vezes a unidade de medida “cabe” nele. A fim de medir arcos e ângulos orientados,

temos duas unidades de medida específicas: o grau e o radiano. Para medir os arcos, podemos

também encontrar seu comprimento e então as unidades usuais podem ser utilizadas, como

metros (m) no sistema MKS.

Como o raio da circunferência é unitário, cada arco de comprimento l – isto é, o arco

tem comprimento igual a l metros – tem l radianos, ou seja, o número de radianos do arco

é numericamente igual ao seu comprimento em unidades de

medida de comprimento.

Para cada número real positivo θ dado, percorremos a circun-

ferência trigonométrica no sentido anti-horário a partir de

A = (1, 0) e marcamos um arco de comprimento igual a θ

metros (isto é, um arco de θ radianos). Se o número real dado

for negativo, procedemos de maneira análoga, mas agora no

sentido horário. Se o número real for zero, a ele corresponde

o próprio ponto A.

A circunferência orientada, de raio 1, com um referencial cartesiano acoplado a ela, com

origem no seu centro, é chamada circunferência trigonométrica – ou círculo trigonométrico,

se encaramos a região do plano.

Figura 9.3: Sistema de coordenadas no centro do círculo de raio unitário.

Figura 9.2: A circunferência trigonométrica.

185



Exemplos

• ExEmplo 11. Um arco de 1 rad corresponde a um arco de quantos graus?2. E um arco de 1° tem quantos radianos?3. Encontre a medida em graus do ângulo α formado pelos ponteiros de um relógio analógico às 13h

e 20 min.

→ REsolução: 1. Uma vez que a circunferência trigonométrica (raio unitário) tem comprimento 2π m (no sistema

MKS), ela tem 2π rad e como tem 360° podemos estabelecer a seguinte regra de três:

2π rad 360°

1 rad x

de onde obtemos:

2. Novamente, por meio da regra de três, temos:

π rad 180°

x 1°

de onde obtemos:

.

3. O ponteiro das horas: em 1 hora, isto é, em 60 minutos, percorre 30° = π/6 rad.

Então, em 20 min, o ponteiro das horas “anda” π/18 rad.O ponteiro dos minutos: em 1 hora, isto é, em 60 minutos, “anda” 360° = 2π rad.Então, em 20 min, o ponteiro dos minutos “anda” (2π)/3 rad.Portanto, em radianos, o ângulo α procurado é:

ou seja, o ângulo procurado é de 80°.

x = °=

°≅ ( )°360

2180 57 32

π π,

Figura 9.4: Os ponteiros de um relógio analógico às 13h e 20 min.

x = ≅π

1800 0174rad rad.,

απ π π π π π

= − +

= − =

23 6 18

23

29

49

.

186



9.3 Definição de seno e cosseno de um número real

A função seno é definida a partir da análise das propriedades de pontos localizados sobre

uma circunferência. Não difere assim da ideia original de Hiparco. No entanto, agora,

consideramos um sistema de coordenadas com um ponto de origem localizado no centro do

círculo trigonométrico.

A cada ponto da circunferência trigonométrica corresponde um par ordenado de números

reais, pois podemos associar a qualquer ponto P sobre a circunferência de raio 1 o par ordenado

correspondente ao valor de suas coordenadas. Dessa maneira,

P ∈ circunferência (x, y), onde x ∈ e y ∈

Cada ponto P sobre a circunferência, por outro lado, pode ser caracterizado também pelo

valor do ângulo θ que lhe corresponde. Tendo em vista esse fato, tal correspondência associa, a

cada valor de θ, um valor bem definido da abscissa e um valor bem definido da ordenada do

ponto associado ao ângulo.

Ou seja, a cada valor do ângulo θ (medido em radianos), caracterizando um ponto sobre a

circunferência, podemos considerar duas funções: a primeira delas associa a abscissa do ponto,

ao passo que a segunda associa a ordenada do ponto:

9.1

e

9.2

A primeira associação define a função cosseno do ângulo θ:

9.3

f x1 : θ∈ ∈��

f y2 : θ∈ ∈��

f1 θ θ( ) = cos

187



enquanto a segunda associação define a função seno:

9.4

Ambas as funções são periódicas, de período 2π, isto é:

9.5

Para justificar esse fato, basta observar que, na circunferência, os pontos correspondentes ao

número real θ e ao número real θ + 2π (ou, de modo mais geral, θ + 2kπ, onde k é um número

inteiro) têm as mesmas coordenadas.

Por definição, as funções seno e cosseno são definidas para qualquer número real positivo

ou negativo. Isso significa que o domínio de ambas as funções é o conjunto dos números reais.

Os conjuntos imagens dessas funções são, em ambos

os casos, o intervalo [−1,1]. Podemos, portanto, escrever:

9.6

A fim de analisar as imagens das funções trigono-

métricas para um número real qualquer, que define

um arco na circunferência trigonométrica, dividimo-la

em quatro partes, determinando quatro regiões deno-

minadas quadrantes. Cada quadrante corresponde

assim a intervalos no círculo unitário, cada um deles

diferindo do anterior por π/2 radianos.

Na Figura 9.5 observamos o valor das funções

sen e cos para alguns números reais.

Definimos a função denominada tg como o quociente das duas funções trigonométricas sen

e cos, isto é,

9.7

f2 θ θ( ) = sen

cos cos

sen sen

θ θ π

θ θ π

= +( )= +( )

2

2

Figura 9.5: Círculo trigonométrico com alguns valores das funções sen e cos.

− ≤ ≤− ≤ ≤

1 11 1

sencos

θθ

tg sencos

x xx

=

188



cujo domínio é constituído por todos os números reais, tais que o denominador não seja zero,

isto é, que cos x ≠ 0, ou seja x ≠ π/2 + kπ, onde k é um número inteiro.

Analisando com cuidado a Figura 9.5, podemos compor a Tabela 9.1:

Tabela 9.1: Características e conjuntos domínio e imagem de algumas funções trigonométricas.

Função Paridade Período Sinais Domínio Imagem

sen α Ímpar

sen (−α) = −sen α 2π−−

+ +

[−1, 1]

cos α Par

cos (−α) = cos α 2π−

− +

+

[−1, 1]

tg α Ímpar tg (−α) = −tg α π

−

− +

+

x ≠ π/2 + kπ, onde k é inteiro

Podemos observar ainda que, quando:

• x = 0, obtemos na circunferência trigonométrica o ponto A = (1, 0) e, portanto,

cos 0 = 1, sen 0 = 0 e tg 0 = 0;• x = π/2, obtemos na circunferência trigonométrica o ponto B = (0, 1) e, portanto,

cos(π/2) = 0, sen(π/2) = 1 e tg(π/2) não existe;

• x = π, obtemos na circunferência trigonométrica o ponto C = (−1, 0) e, portanto,

cos π = −1, sen π = 0 e tg π = 0;• x = (3π/2), obtemos na circunferência trigonométrica o ponto D = (0, −1) e, portanto,

cos(3π/2) = 0, sen(3π/2) = −1 e tg(3π/2) não existe.

A respeito das funções sen e cos, ressaltamos que uma propriedade simples e notável é a de

que para todo número real θ:

9.8

que também se escreve

sen2θ + cos2θ = 1

e que é conhecida como relação fundamental da trigonometria.

(sen ) (cos )θ θ2 2 1+ =

189



9.4 O seno e o cosseno da soma ou diferença de dois números reais

Utilizando a circunferência trigonométrica, é possível mostrar

que, para quaisquer números reais a e b, vale a relação:

9.9

De fato, examinando a Figura 9.6 que mostra a circunferência

trigonométrica e dois pontos P = (cosa, sena) e Q = (cosb, senb), vamos

calcular a distância entre esses dois pontos de duas maneiras: usando a

“fórmula” da distância e a lei dos cossenos aplicada ao triângulo 0PQ.

Usando a fórmula da distância, temos:

9.10

e, usando a lei dos cossenos, temos:

9.11

pois cos(a − b) = cos[−(b − a)] = cos(b − a), uma vez que cos é uma função par.

Igualando 9.10 e 9.11, temos: (cosa − cosb)2 + (sena − senb)2 = 2 − 2.cos(a − b).

Desenvolvendo os quadrados, fazendo as simplificações possíveis e utilizando a relação

fundamental, temos:

ou seja,

cosa.cosb + sena.senb = cos(a − b)

ou, de modo equivalente,

cos(a − b) = cosa.cosb + sena.senb.

Figura 9.6: Os pontos P = (cosa, sena) e Q = (cosb, senb).

cos( ) cos .cos sen .sena b a b a b− = +

d a b a b2 2 2= − + −(cos cos ) (sen sen )

d a b2 2 21 1 2= + − ⋅ −cos( )

cos cos .cos cos sen sen .sen sen .cos( )2 2 2 22 2 2 2a a b b a a b b a b− + + − + = − −22 2 2 2 2− − = − −.cos .cos .sen .sen .cos( )a b a b a b

190



A partir dessa relação, podemos verificar outras relações igualmente úteis:

•

Em primeiro lugar, cos(a + b) = cos(a −(−b)).

Agora, como cos é uma função par, isto é, para todo x real, cos x = cos(−x) e sen é uma

função ímpar, isto é, sen x = −sen(−x), temos:

cos(a −(−b)) = cosa.cos(−b) + sena.sen(−b) = cosa.cosb − sena.senb

Logo, cos(a + b) = cosa.cosb − sena.senb.

•

Para encontrar sen(a + b), observamos que cos senπ2−

=x x e que cos senx x= −

π2

.

De fato,

cos cos cos sen sen senπ π π2 2 2−

= ⋅ + ⋅ =x x x x, uma vez que cos(π/2) = 0 e sen(π/2) = 1

e

pois cos(π/2) = 0 e sen(π/2) = 1.

Desse modo,

ou seja,

•

cos( ) cos .cos sen .sena b a b a b+ = − 9.12

9.13 sen( ) sen .cos sen .cosa b a b b a+ = +

cos cos cos cos sen senx x x= − −

= ⋅ −

+ ⋅

π π π π π π2 2 2 2 2 22 2

−

= −

x xsen ,π

sen( ) cos cos cosa b a b a b a+ = − +( )

= −

−

= −

π π π2 2 2

+ −

.cos sen .senb a bπ

2

sen( ) sen .cos cos .sena b a b a b+ = +

9.14 sen( ) sen .cos sen .cos .a b a b b a− = −

191



Temos:

pois cos é uma função par e sen é uma função ímpar.

• ExEmplo 24. Calcule sen, cos e tg dos números π/2 + x, π/2 − x, x −(3π)/2, 2π − x, em termos de sen x, cos x e

tg x, sendo x um número entre 0 e π/2.

•

sen( ) sen( ( )) sen .cos( ) cos .sen( ) sen .cos ca b a b a b a b a b− = + − = − + − = − oos .sen ,a b

sen sen cos sen .cos cos .π π π2 2 2+

= ⋅ + =x x x x

Figura 9.7: sen cosπ2+

=x x

cos cos cos sen sen senπ π π2 2 2+

= ⋅ − ⋅ = −x x x x

Figura 9.8: cos senπ2+

= −x x

tgsen

cos

cossen tg

sen

ππ

π22

2

1+

=

+

+

=−

= −xx

x

xx x

ππ π π2 2 2−

= ⋅ − =x x x xsen cos sen .cos cos

•

•

192



Figura 9.9: sen cosπ2−

=x x

• cos cos cos sen sen senπ π π2 2 2−

= ⋅ + ⋅ =x x x x

Figura 9.10: cos senπ2−

=x x

•

•

tgsen

cos

cossen tg

sen

ππ

π22

2

1−

=

−

−

= =

−

xx

x

xx x

x 332

32

32

π π π

= − ⋅ =sen .cos sen cos cosx x x

Figura 9.11: sen cosx x−

=

32π

• cos cos .cos sen .sen senx x x x−

= + = −

32

32

32

π π π

193



Evidentemente, sen(2π − x) = sen(−x) = −senx.

Figura 9.12: cos senx x−

= −

32π

tgsen

cos

cossen tg

xx

x

xx x

−

=

−

−

=−

= −32

32

32

1ππ

π•

•

Figura 9.14: cos( ) cos2π − =x x

tg( ) tg( ) tg2π − = − = −x x x

•

Figura 9.13: sen( ) sen2π − = −x x

cos( ) cos( ) cos2π − = − =x x x

194



9.5 Outras funções trigonométricasAs demais funções trigonométricas relevantes podem ser definidas a partir das anteriores,

respeitadas as condições de existência.

Definimos a função cotangente como o inverso da função tangente:

9.15

Definimos ainda a função secante como o inverso da função cosseno. Temos, pois:

9.16

e definimos a função cossecante como o inverso da função seno:

9.17

Essas funções são igualmente periódicas, de período 2π, no caso das funções sec e cossec, e

de período π, no caso das funções tg e cotg. Também obedecem a critérios de paridade a partir

das funções que lhes deram origem.

cotgtg

cossen

θθ

θθ

= =1

seccos

θθ

=1

cossecsen

θθ

=1

Figura 9.15: Geometria das funções trigonométricas no círculo unitário. sen α = XMcos α = OMtg α = ATcotg α = BGsec α = OScossec α = OC

195



9.6 Gráficos das funções trigonométricas Os gráficos das funções trigonométricas são apresentados a seguir.

9.7 Funções inversasAs funções trigonométricas anteriores são inversíveis apenas em subconjuntos do domínio,

isto é, globalmente, nenhuma função trigonométrica é inversível. Esse fato deve ser bastante

evidente, pois todas elas são funções periódicas e, consequentemente, valores diferentes do

domínio têm a mesma imagem, o que inviabiliza a inversibilidade.

Gráfico 9.1: Gráficos das funções trigonométricas.

É importante lembrar que uma função e sua inversa possuem gráficos simétricos com relação à reta y = x.

196



a. A função arcsen

Para que seja possível definir a função arcsen, vamos considerar a restrição da função sen ao

intervalo −

π π2 2

, , isto é:

9.18

Essa função é inversível, pois é uma função estritamente crescente e a sua inversa é a função

denominada arcsen:

9.19

Os gráficos da função arcsen e da restrição da função sen, no mesmo sistema de coordenadas,

são então os seguintes:

b. De modo análogo, para que seja possível definir a função arccos, vamos também considerar

uma restrição da função cos que agora é ao intervalo [0, π], isto é:

9.20

sen : , ,,−

−

→ − +[ ]π π

π π

2 2 2 21 1

x x sen

arcsen : , ,

arcse

− +[ ]→ −

1 12 2π π

x nn x

Gráfico 9.2: Os gráficos de sen : , ,,−

−

→ − +[ ]π π

π π

2 2 2 21 1

x x sen

e de arcsen : , ,

arcse

− +[ ]→ −

1 12 2π π

x nn x

.

Os gráficos de

y = sen x, para x∈ −

π π2 2

, ,

e de

y = arcsen xsão simétricos em relação à reta y = x.

cos : , ,

cos,0 0 1 1π π[ ] [ ]→ − +[ ]

x x

197



Essa função é inversível, pois é uma função estritamente decrescente e a sua inversa é a

função denominada arccos:

9.21

Os gráficos da função arccos e da restrição da função cos, no mesmo sistema de coordenadas,


c. A função arctg

Finalmente, para poder definir a função arctg, vamos considerar a restrição da função tg ao

intervalo −

π π2 2

, , isto é:

9.22

Observamos que essa função é inversível, pois é uma função estritamente crescente e a sua

inversa é a função denominada arctg:

9.23

arccos : , ,arccos

− +[ ]→ [ ]1 1 0 π

x x

Gráfico 9.3: Os gráficos de cos : , ,

cos,0 0 1 1π π[ ] [ ]→ − +[ ]

x x

e de arccos : , ,arccos

− +[ ]→ [ ]1 1 0 π

x x

Os gráficos de

y = cos x, para x ∈ [0, π],e de

y = arccos xsão simétricos em relação à reta y = x.

tg : , ,,−

−

→ −∞ +∞] [π π

π π

2 2 2 2

xx x tg

arctg : , ,

arctg

−∞ +∞] [→ −

π π2 2

x xx

198



Os gráficos da função arctg e da restrição da função tg, no mesmo sistema de coordenadas,


De maneira completamente análoga, podemos definir as inversas das outras três funções trigonomé-

tricas, considerando a devida restrição de domínio, a fim de obter, em cada caso, uma função inversível.

• ExEmplo 3Calcule o valor de:

a. arcsen 12 6=π

b. arcsen −

= −

12 6

π

c. arcsen sen π π6 6

=

d. arcsen sen arcsen56

12 6

π π

=

=

e. arccos cos 53 3π π

=

f. arctg tg 34 4π π

= −

Gráfico 9.4: Os gráficos de tg : , ,,−

−

→ −∞ +∞] [π π

π π

2 2 2 2

xx x tg

e de arctg : , ,

arctg

−∞ +∞] [ → −

π π2 2

x xx

.

Os gráficos de

y = tg x, para x∈ −

π π2 2

, ,

e de

y = arctg xsão simétricos em relação à reta y = x.

199



9.8 AplicaçõesSão muitas as aplicações das funções trigonométricas nas várias áreas do conhecimento, espe-

cialmente na física. A seguir, apresentaremos três delas: na descrição do movimento harmônico

simples, no estudo das ondas harmônicas, nele destacando o entendimento dos sons produzidos

pelos instrumentos musicais, e no entendimento de alguns circuitos de corrente alternada.

No movimento oscilatório mais simples (o movimento harmônico simples), o móvel exe-

cutará um movimento que é inteiramente descrito (posição, velocidade e aceleração) por meio

de funções trigonométricas.

No caso do movimento ondulatório, consideramos o caso das ondas harmônicas, as quais se

propagam de acordo com uma função trigonométrica. A natureza e as características dos sons dos

instrumentos musicais podem ser entendidas a partir do conceito de ondas estacionárias (resultado

que depende da soma de funções trigonométricas e da determinação das frequências emitidas pelas

cordas dos instrumentos. Essas frequências têm a ver com os zeros de funções trigonométricas.)

Finalmente, nos circuitos de corrente alternada, é essencial o uso dessas funções. Esse ponto

será ilustrado com a análise do circuito mais simples entre todos: o circuito LC.

9.8.1 Movimento harmônico simples

O movimento oscilatório (e, portanto, periódico) mais simples é o de dispositivos que são

denominados osciladores harmônicos simples. Na mecânica, o movimento harmônico simples

de uma partícula de massa m, cuja coordenada é x, é definido como aquele em que a força que

age sobre a partícula tem a forma

9.24

ou seja, a força é proporcional ao deslocamento, mas no sentido oposto a ele. A constante k é

denominada constante elástica.

Um exemplo simples desse tipo de força ocorre no caso em que procuramos deformar uma

substância elástica (como um elástico comum, por exemplo). Enquanto a deformação não for

muito grande, a força é proporcional ao deslocamento (ou à deformação imposta), mas atua

F x kx( ) = −

200



sempre no sentido contrário ao dele. É uma tendência ou reação natural no sentido de buscar a

restauração da forma original. Por isso, a constante k é referida como a constante elástica.

A lei de Newton se escreve, no caso do M.H.S.:

9.25

A solução geral para a equação de Newton (9.25) pode ser escrita sob a forma de uma das

funções trigonométricas (seno ou cosseno). Escrevemos:

9.26

ou, analogamente,

9.27

Trata-se de uma solução que envolve três parâmetros (A, ω, θ0) até esse ponto desconhecidos

e que serão determinados como segue.

Figura 9.16: Força elástica em ação.

ma kx= −

x t A t( ) = +cos( )ω θ0

x t A t t( ) = −[ ]cos( )cos( ) sen( )sen( )ω θ ω ωθ0 0

201



Observe primeiramente que a solução proposta (9.26) é tal que o valor máximo do deslo-

camento xm será dado por:

9.28

O parâmetro A é, portanto, a amplitude do movimento. A constante θ0 é uma fase dita

fase inicial. Como veremos depois, as constantes A e θ0 podem ser determinadas a partir das

condições iniciais, isto é, a partir da posição e da velocidade iniciais do móvel:

9.29

Analisaremos agora a constante ω. Pode-se mostrar que a expressão 9.26 envolvendo a

função cosseno é uma solução da equação 9.25 desde que a constante ω seja dada por:

9.30

E, portanto, a constante ω depende da massa e da constante elástica da mola. Veremos a seguir

que essa constante está também relacionada ao período do movimento.

Como dito anteriormente, o movimento do oscilador harmônico é periódico. O período é

determinado a partir da condição bastante geral enunciada na introdução e que, nesse caso, é:

9.31

Tendo em vista que a função seno é uma função periódica de período 2π, então, da solução

proposta em 9.26, segue-se que o período do movimento será dado pela relação

9.32

Portanto, de acordo com 9.30 e 9.32, o período do movimento harmônico simples é dado por:

9.33

x Am =

x x v v0 00 0( ) = ( ) =

ω=km

x t T x t+( ) = ( )

ω πT = 2

T mk

= =2 2πω

π

202



A frequência, sendo o inverso do período, será dada pela expressão:

9.34

A frequência do oscilador harmônico depende, portanto, da massa da partícula e da

constante elástica k.

9.8.2 Velocidade e aceleração no movimento harmônico simples

Pode-se mostrar que, num movimento harmônico simples, a velocidade da partícula em

função do tempo é dada por outra função trigonométrica, isto é, para x dado pela expressão

9.26, a velocidade é dada por:

9.35

onde as constantes A, ω e θ0 são aquelas definidas anteriormente.

A aceleração varia igualmente com o tempo. Sua variação é análoga à da posição:

9.36

onde, de novo, se aplicam as definições de A, ω e θ0 já dadas. Observe que, de 9.36 e 9.26, pode-

mos estabelecer uma relação entre a aceleração e a posição de uma partícula, a qual é dada por:

9.37

Essa relação decorre de uma propriedade geral do movimento harmônico simples, mais

especificamente, da lei de Newton (9.25).

Observando as expressões 9.35 e 9.36, notamos que os valores máximos para a velocidade

e aceleração são, respectivamente,

9.38

fT

km

= = =1

21

2ωπ π

v t A t( ) = − +ω ω θsen( )0

a t A t( ) = − +ω ω θ20cos( )

a t x t kmx t( ) = − ( ) = − ( )ω2 .

v Aa Am

m

=

=

ω

ω2

203



A seguir, apresentamos os gráficos de a × t, v × t e x × t do movimento harmônico simples.

Como se vê, trata-se, essencialmente, de gráficos de funções trigonométricas.

Observe que, quando a coordenada da posição do móvel atinge os valores máximos

(x = + A) e mínimos (x = −A), a velocidade do móvel é nula. Por outro lado, nos pontos de

maior velocidade (em qualquer direção), o valor da coordenada (e o da aceleração) é igual a zero.

9.8.3 Movimento ondulatório: ondas harmônicas unidimensionais

As ondas harmônicas constituem-se num tipo muito especial de ondas. Elas são carac-

terizadas por uma função trigonométrica, seno ou cosseno, que descreve o perfil da onda

(a sua forma, portanto). Assim, para uma onda harmônica unidimensional que se propaga com

velocidade v ao longo do eixo x, escrevemos:

9.39

onde A (na equação 9.39) é a amplitude da onda, pois é o valor máximo da função f, e k é uma

constante que caracteriza a onda harmônica. Tal constante é conhecida pelo estranho nome de

vetor de onda. Outra forma de escrever a expressão 9.39, e bastante comum, é:

9.40

Gráfico 9.5: Gráficos de a × t, v × t e x × t do movimento harmônico simples.

f x vt A k x vt A k x vt−( ) = −( )( ) −( )( ) cos sen

f x vt A kx t A kx t−( ) = −( ) −( ) cos senω ω

204



A expressão 9.40 parece introduzir uma nova constante para descrever a onda (a constante ω).

Esse não é o caso, no entanto, uma vez que essa constante se relaciona com as demais de acordo

com a expressão:

9.41

O que é notável, observando-se 9.39, é o fato de que, como as funções trigonométricas são

periódicas de período 2π, uma onda harmônica tem um perfil que se repete tanto no espaço

quanto no tempo. Isso decorre do fato de que, depois de um intervalo de tempo T, conhecido

como o período da onda harmônica, dado por:

9.42

a onda propagada, depois de decorrido esse intervalo de tempo, se torna indistinguível da onda inicial.

Portanto, de 9.41 e de 9.42, segue-se que o período do movimento ondulatório, em função

do vetor de onda k e da velocidade de propagação da onda, v, é dado por:

9.43

Define-se a frequência da onda ( f ) como o inverso do período:

9.44

A unidade de frequência mais utilizada para ondas em geral é o Hertz, definido como o

inverso do segundo.

Depois de percorrido um intervalo de distância no espaço, denominado comprimento de

onda (aqui representado pela letra λ), a onda se torna indistinguível daquela de quando iniciou

o percurso. Isso ocorre para valores de λ tais que:

9.45

kv = ω

ω πT = 2

Tkv

= =2 2πω

π

fT

kv= =

12π

kλ π= 2

205



Assim, o comprimento de onda nada mais é do

que a distância entre, por exemplo, dois máximos da

onda (veja Figura 9.17).

De 9.45 e 9.41 segue-se que existe uma relação

bem simples entre a velocidade da onda, sua frequência

e o comprimento de onda:

9.46

9.8.4 Ondas estacionárias

O estudo das ondas estacionárias é relevante para o entendimento dos sons produzidos pelos

diferentes instrumentos musicais, quer sejam eles de sopro ou de cordas. Ao dedilharmos um

instrumento de cordas, produzimos uma onda que se propaga até o ponto no qual ela está presa.

Nesse ponto, ela volta sobre si mesma. Nessas circunstâncias, devemos analisar a superposição de

duas ondas harmônicas que se propagam em sentidos opostos.

Consideremos o caso de duas ondas y1(x, t) e y2(x, t). De acordo com o princípio da super-

posição, a onda resultante é dada como uma soma das duas ondas. Escrevemos assim:

9.47

E, portanto, a onda resultante de duas ondas harmônicas viajando em sentidos opostos é

dada pela soma:

9.48

Tal onda é dita estacionária, pois, a rigor, ela não se propaga. Assim, uma onda estacionária

pode ser definida como uma onda cuja amplitude varia apenas com os pontos do espaço e sua

dependência em relação ao tempo assume a forma de um MHS:

9.49

Figura 9.17: Comprimento de onda de uma onda harmônica.

v f= λ

y x t y x t y x t, , ,( ) = ( ) + ( )1 2

y x t A kx t A kx t A kx t, sen sen sen cos( ) = −( ) + +( ) =ω ω ω2

y x t A x t, ( )sen( ) = ω

206



Assim, no caso de uma corda de um instrumento musical, cada um dos seus pontos executará

um movimento harmônico simples com uma amplitude que depende do ponto ao longo dela:

9.50

Analisando a solução 9.48, percebemos que teremos a formação de pontos, na corda, nos

quais a amplitude resultante se anula (pontos ditos nós). Formam-se pontos fixos na corda, que

não se movimentam. As posições desses pontos ocorrem para valores ao longo do eixo x de

tal sorte que eles são denumeráveis, isto é, podem ser indexados por um número inteiro. Tais

pontos (os nós) designados por xn são tais que:

9.51

Figura 9.18: Superposição de duas ondas harmônicas diferindo apenas no sentido da propagação. A onda resultante é dita estacionária.

A x A kx( ) sen= 2

senkxn = 0

207



ou seja, os nós correspondem aos zeros da função seno. Os valores associados aos nós são

expressos, genericamente, pela condição:

9.52

Se a corda tem comprimento L, então, a condição 9.51 implica uma restrição em relação aos

possíveis comprimentos de onda das ondas estacionárias produzidas por ela, isto é, fazendo xm = L

em 9.52, concluímos que só as ondas cujo comprimento de onda seja dado por:

9.53

se propagam pela corda.

Os pontos de amplitudes máximas (denominados antinós) são aqueles para os quais:

9.54

Tais valores implicam a seguinte condição:

9.55

Donde inferimos que os antinós podem ocorrer para valores

dados por:

9.56

9.8.5 Sons dos instrumentos musicais

A seguir, consideraremos os possíveis sons produzidos por uma corda de um violão, um

piano ou qualquer outro instrumento de corda.

Primeiramente, lembramos que existem três parâmetros relevantes no entendimento dos sons

produzidos quando colocamos uma corda para vibrar: o comprimento da corda (L), sua

kx x m mm m= = = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅2 1 2 3πλ

π , , ,

λmLm

m= = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅2 1 2 3 , , ,

Figura 9.19: Ilustração de nós e sua localização e antinós das cordas.

senkxm =1

kx x n nn n= =+

= ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅

2 2 12

0 1 2 3πλ

π , , , ,

x n= ⋅⋅⋅ +( )14

34

54

2 14

λ λ λ λ; ; ;

208



densidade linear (μ) e a tensão (T) à qual a corda está sujeita. A velocidade com que uma onda

se propaga numa corda depende da tensão aplicada a ela (a qual provoca uma ligeira deformação

da mesma) e da sua densidade linear. Escrevemos a velocidade em termos desses parâmetros como:

9.57

Assim, de acordo com 9.46, as fre-

quências dos sons emitidos por uma

corda são dadas por:

9.58

No entanto, tendo em vista a restri-

ção em relação aos comprimentos de

onda, expressa em 9.53, constatamos que

uma corda só produz ondas harmônicas

quando as frequências são dadas por:

9.59

O modo correspondente à menor frequência, dita fundamental, é aquele em que os nós estão

separados pelo comprimento da corda. Nesse caso, o comprimento de onda é o máximo possível.

De 9.59 segue-se que a frequência fundamental é dada por:

9.60

Além disso, as demais frequências são múltiplos inteiros da

frequência fundamental:

9.61

Temos assim vários modos de oscilação, diferindo entre si pela

frequência (Figura 9.21).

Figura 9.20: Amplitudes, ponto a ponto, associadas a uma onda estacionária numa corda.

v T=

µ,

f T=

1λ µ

f T mLT

mm

= =

1 12λ µ µ

Figura 9.21: Modos de oscilação associados a diferentes frequências. A corda vista em 4 diferentes instantes de tempo diferindo por T/8. A primeira ilustração corresponde ao modo fundamental.

fLT

11

2=

µ

f mfm = 1

209



9.8.6 Corrente alternada

Uma corrente percorrendo um circuito é deno-

minada corrente alternada, quando ela depende do

tempo de acordo com uma função seno ou cosseno.

Assim, a expressão geral para tal corrente é:

9.62

Assim, os elétrons que se movimentam ao longo de um circuito mudam de sentido perio-

dicamente. Cada elétron da corrente executa um movimento de vai e vem (um movimento

periódico). O período do movimento é dado, de acordo com 9.62, pela expressão:

9.63

e a frequência da corrente alternada (a frequência do movimento periódico dos elétrons) é:

9.64

9.8.7 Circuito LC

Neste texto iremos analisar circuitos LC. Esses componentes do circuito (capacitores e in-

dutores) podem estar ligados em série ou em paralelo.

No caso do circuito LC mais simples, admitimos apenas um indutor caracterizado por

uma indutância L e um capacitor de capacidade C. Tal circuito é apresentado na Figura 9.23.

I t I t( ) sen= +( )0 ω δ

ω πT = 2

fT

= =1

2ωπ

Saiba mais!A energia elétrica que chega às nossas casas produz correntes elé-tricas alternadas. A frequência, nesse caso, varia entre 50 e 60 hertz.

Figura 9.22: Corrente em função do tempo.

210



Veremos que a corrente resultante, quando o circuito é fechado, é uma corrente alternada da

forma 9.62.

Admitiremos que o circuito seja fechado no instante de tempo t = 0, e que, nesse instante,

o capacitor está carregado com uma carga cujo valor é Q0. Se tal valor for nulo, não haverá

corrente no circuito.

Ao fecharmos o circuito, a carga elétrica no capacitor se torna dependente do tempo, pois

ela fluirá pelo circuito. Isso leva a uma alteração da carga elétrica no capacitor (alteração da carga

em cada uma das suas placas). Gera-se assim uma corrente elétrica que percorrerá o circuito.

Pode-se mostrar que, depois de fechado o circuito, a carga elétrica do tempo será de acordo

com uma função trigonométrica:

9.65

Para a solução 9.65, a corrente elétrica será, igualmente, dependente do tempo, mas dada por

outra função trigonométrica de acordo com a expressão:

9.66

onde a frequência angular da corrente, ω0, se relaciona com os parâmetros já mencionados

(característicos dos elementos do circuito) de acordo com a expressão:

9.67

Figura 9.23: a) Circuito LC. b) Esquema de um circuito de LC forçado.

a b

Q Q t= +( )0 0sen ω δ

I I t Q t= +( ) = +( )0 0 0 0 0cos cosω δ ω ω δ

ω0 = LC

Agora é sua vez...Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem e realize a(s)

atividade(s) proposta(s).


10Gil da Costa Marques

LIMITES

Fund

amen

tos

de M

atem

[atic

a I

10.1 O cálculo10.2 Definição de limite 10.3 Funções contínuas e descontínuas10.4 Limites quando a variável independente cresce indefinidamente em valor absoluto10.5 Limites infinitos10.6 Limites laterais10.7 Alguns Teoremas sobre limites

Teorema 1Teorema 2Teorema 3Teorema 4 Teorema da conservação do sinalTeorema 5 Limite da função compostaTeorema 6 Teorema do ConfrontoTeorema 7 Consequência do Teorema do ConfrontoTeorema 8 Propriedades dos limites Teorema 9

10.8 Uma observação adicional10.9 Propriedade da substituição direta10.10 Outros limites de interesse10.11 Calculando limites

213

Fundamentos de Matem[atica I


10.1 O CálculoCálculo é uma palavra que deriva da palavra grega calculus. Essa palavra era empregada anti-

gamente para designar uma pedra utilizada para contar, para efetuar cálculos, portanto. Hoje em

dia ela tem muitos significados, pois existem muitas formas de efetuar contas, de calcular. Tendo

isso em vista, a rigor, o Cálculo discutido a seguir deve ser entendido como uma abreviação

para Cálculo Infinitesimal e ser subdivido em Cálculo Diferencial e Cálculo Integral.

O Cálculo tem evoluído significativamente desde as primeiras ideias envolvendo a deter-

minação de áreas, a partir da divisão do todo em porções cuja área seja conhecida. Assim,

suas origens remontam a séculos antes de Cristo. Newton e Leibniz recebem o crédito pela

formulação original do Cálculo Infinitesimal. A formulação rigorosa do Cálculo recebe o nome

de Análise Matemática.

Os conceitos mais importantes do Cálculo, além do de função, são os de limite, derivada e

integral. O estudo de séries infinitas é, igualmente, um dos objetos de estudo dessa ciência. Esse

tema, no entanto, será abordado apenas de passagem neste texto.

Neste texto, abordaremos o conceito de limite, que para alguns se origina no método de exaus-

tão, formulado com um grau de precisão bastante alto por Eudóxio de Cnido (408 a.C. – 347 a.C.).

Para entender o conceito de limite, consideremos o problema da determinação da área do

círculo delimitado por uma circunferência de raio R. Podemos resolver esse problema considerando

polígonos regulares de n lados inscritos na circunferência. Para cada n, seja An a área do correspon-

dente polígono. Como resultado temos, como entendera Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C), que a

área do círculo pode ser aproximada pela expressão:

10.1

com um resultado cada vez melhor à medida em que

o número n cresce indefinidamente.

Trata-se de um ramo da Matemática no qual lidamos com grandezas que variam. Nesse sentido, o cálculo pode ser definido como a forma científica de lidar com as transformações que ocorrem no mundo físico.

πR An2 ≅

Figura 10.1: Para cada circunferência, o polígono inscrito e o polígono circunscrito para alguns valores de n.

214

10 Limites


O mesmo problema também pode ser resolvido considerando os polígonos regulares

circunscritos à mesma circunferência, chegando-se evidentemente a resultados análogos.

O valor da área do polígono se aproxima do resultado exato para a área do círculo à medida

que aumentamos paulatinamente o número de lados do polígono inscrito ou circunscrito.

Assim, definimos um processo limite, mediante o qual, à medida que o número de lados dos

polígonos cresce indefinidamente, obtemos o resultado procurado, o resultado exato.

Uma vez resolvido o problema da determinação da área do círculo, o número π pode ser

definido, por exemplo, como o limite, quando o número de lados do polígono inscrito tende a

infinito, da área desse polígono, dividido pelo quadrado do raio da circunferência:

10.2

A rigor, o tratamento proposto por Arquimedes para determinar o número π envolvia

considerações sobre polígonos inscritos bem como circunscritos à circunferência, utilizando

o método da exaustão.

O número π é um número irracional, ou seja, é um número que não é racional. Isto é, não

pode ser escrito na forma de um quociente de dois números inteiros, sendo o divisor diferente de

zero. A representação decimal de π é não periódica e possui um número infinito de casas decimais.

O número e, outro número fundamental da Matemática e da Física, também é irracional e

é igualmente definido como um limite:

10.3

onde n é um número natural, isto é, a sequência de números 1 1+

∈

n

n

n

converge para o

número e.

Pode-se provar que o mesmo número também pode ser escrito como

onde x é um número real.

π =→∞

12R

An nlim

enn

n

= +

≅

→∞lim ,1 1 2 71828182845

exx

x

= +

→∞

lim 1 1

215



10.2 Definição de limite O conceito de limite ocupa um papel central no Cálculo Infinitesimal. Isso ocorre porque,

como se verá a seguir, no Cálculo Diferencial, a derivada de uma função, de acordo com a

definição de Cauchy, é introduzida por meio de um processo limite e, no Cálculo Integral, para

introduzir a integral de uma determinada função num dado intervalo, considera-se o limite de

uma soma de Riemann.

Limite é, portanto, um conceito básico do Cálculo e da Análise Matemática.

Para entender tal conceito, consideremos o exemplo de um objeto atirado a partir do chão

na direção vertical com uma velocidade de 10 m/s. Adotando-se para a aceleração da gravidade

local o valor de 10 m/s2, sua altura, h, expressa em metros e determinada a partir da superfície,

como função do tempo t, expresso em segundos, é dada por:

10.4

enquanto sua velocidade, na unidade m/s, será dada por:

10.5

Da expressão acima, concluímos que, depois de 1 segundo, o objeto para instantaneamente no

ar, retornando em seguida. Podemos agora considerar uma situação em que gostaríamos de saber

qual a tendência da altura quando consideramos valores do tempo cada vez mais próximos de um

determinado valor. Consideremos, por exemplo, o caso em que esse valor seja igual a 1 segundo.

Como sabemos, esse tempo é aquele em que o objeto atinge a sua altura máxima – para perceber

tal fato, basta examinar o vértice da parábola, que é o gráfico da função h. Anotando-se os valores

da altura, para valores cada vez mais próximos de 1 segundo, notamos que eles se aproximam

cada vez mais do valor 5 metros. Dizemos que esse valor é o limite da altura quando o tempo

tende ao valor 1 segundo, e escrevemos:

10.6

h t t t( ) = − +5 102

V t t( ) = −10 10

limth t

→( ) =

15

216

10 Limites


Assim, considerando-se uma função arbitrária f (x), quando escrevemos:

10.7

que se lê: “o limite da função f (x) quando x tende a x0 é f0” – isso significa que f (x) pode ser

feita tão próxima de f0 quanto desejarmos, tomando valores de x suficientemente próximos de

x0 (mas, em geral, diferentes de x0 ).

Dados dois números a e b sobre o eixo real, sendo a < b, considerando-se o conjunto de

números reais compreendidos entre eles, podemos definir quatro tipos de conjuntos, aos quais

damos o nome de intervalos. Cada um deles se diferencia pela inclusão ou não desses números

no referido conjunto. No caso do ponto a, a inclusão é representada pelo símbolo “[” sucedido

pela letra a e a exclusão é representada pelo símbolo “]” sucedido pela letra a. Para o ponto b,

a convenção se inverte.

Definimos, assim, o intervalo fechado como o conjunto que inclui os números a e b e o

representamos por:

10.8

O intervalo aberto é um conjunto do qual os pontos a e b estão excluídos. Ele é repre-

sentado por:

10.9

Definimos de forma análoga os intervalos semiabertos ou semifechados:

10.10

limx x

f x f→

( ) =0

0

Uma definição mais rigorosa de limite será apresentada a seguir. Para isso, no entanto, devemos recapitular o conceito de intervalo aberto.

a b,[ ]

a b,] [

[a,b[ e ]a,b]

217



Definimos também a distância entre dois números x1 e x2 como o módulo da sua diferença:

10.11

sendo que o módulo de um número foi definido no primeiro texto, no qual tratamos da

Introdução à teoria dos conjuntos. No caso de uma função, definimos, analogamente, a

distância entre os números associados às respectivas imagens:

10.12

Essa definição é conhecida popularmente como

definição ε − δ.

Pode-se definir limite, alternativamente, a partir do

conceito de vizinhança.

Assim, dizer que o limite de f (x) é f0 significa que

f (x) pode ser feito tão próximo de f0 quanto quiser-

mos, fazendo x suficientemente próximo de x0 (sem,

contudo, fazê-lo igual a esse valor).

d x x x x1 2 1 2,( ) = −

d f x f x f x f x1 2 1 2( ) ( )( ) = ( ) − ( ),

Definição

Seja uma função f (x) definida num intervalo aberto que contém o número x0 (admitimos a possibilidade de que ela não seja definida para ele). Dizemos que o limite da função f (x) é f0, quando x tende a x0, e representamos tal fato por:

10.13

se – e somente se – para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que d ( f (x), f0) < ε sempre que 0 < d (x, x0) < δ.

limx x

f x f→

( ) =0

0

Gráfico 10.1: Gráfico com a definição ε – δ de limite.

Verifique

lim( )x

x x→

− + =3

3 23 2 2 e limx

xx→

−−

=3

2 93

6

218

10 Limites


Exemplos resolvidos

Vamos determinar alguns limites:

a. limx

x→

− =3

3 1 2

O gráfico da função f x x13 1( ) = − é exibido no Gráfico 10.2.

Observamos que a função f1 está definida no ponto x = 3 e f ( )3 23= . Portanto, lim

xx

→− =

3

3 1 2.

Gráfico 10.2: Gráfico de f x x13 1( ) = − .

219



b. lim lim limx x x

x

x

x

x

x

→ → →

−

−=

−

−

−

1 3

2

1 3

2

1 3

9 113

9 19

13

9 13

xx

xx

x

+

−= +

=→

13

13

9 13

61 3

lim

O gráfico da função f x x

x2

29 113

( ) = −

− é exibido no Gráfico 10.3.

Observamos que o Gráfico 10.3 de f2 é uma reta sem o ponto de coordenadas

13

6,

. De fato, a

função f2 não está definida no ponto x =

13

.

Gráfico 10.3: Gráfico de f x x

x2

29 113

( ) = −

−.

220

10 Limites


c. lim lim limx x x

xx

x x

x x

x x

x→ → →

−−

=−( ) +( )−( ) +( )

=−( ) +( )

−4 4 4

42

4 2

2 2

4 2

442 4

4= +( ) =

→limx

x

O gráfico da função f x xx3

42

( ) = −−

:

Observamos que o Gráfico 10.4 de f3 coincide com o gráfico da função g x x( ) = + 2 exceto no ponto x = 4, onde f3 não está definida, mas g está definida e g(4) = 4.

Nos exemplos b e c, convém observar que o cálculo do limite não é tão direto como no exemplo

a. Ocorre que, em b e c, para poder calcular o limite, é preciso sair da situação incômoda que é o

quociente da forma 00

para o qual a fração dada tende.

10.3 Funções contínuas e descontínuasPara introduzir o conceito de função contínua, vamos partir da análise dos gráficos de algumas

funções. No Gráfico 10.5, apresentamos gráficos de funções contínuas no intervalo exibido

em cada caso.

Gráfico 10.4: Gráfico de f x xx3

42

( ) = −−

.

221



Entretanto, uma função do tipo f xx

( ) =1

, que

não está definida em x = 0, é contínua em todo o

seu domínio, isto é, no conjunto *, isto é, − {0},

apesar de não ser contínua no intervalo [−3, 3], exi-

bido no Gráfico 10.6, pois não é contínua em x = 0,

onde não está definida.

A definição de função contínua num ponto envolve

três condições. Dizemos que uma função f é contínua

no ponto x0 se e somente se:

i. x0 ∈ Dom f, isto é, existe o valor f (x0) ii. Existe o lim ( )

x xf x

→ 0

iii. lim ( ) ( )x x

f x f x→

=0

0

Convém tecer algumas observações a respeito da definição acima.

Em primeiro lugar, se uma função não é definida num determinado ponto, não tem

sentido questionar sua continuidade nesse ponto. É o caso, por exemplo, da função f xx

( ) =1

e o ponto x = 0.

Agora, considerando a função

que está definida em x = 0, satisfaz a primeira condição da definição, mas não a segunda e,

consequentemente, nem a terceira. Logo, não é contínua em x = 0.

Gráfico 10.5: Gráficos de funções contínuas.

Gráfico 10.6: Gráfico de f xx

( ) =1

.

g x xx

x( ) =

≠

=

1 0

0 0

se

se

222

10 Limites


Em segundo lugar, vale a pena observar o caso da função:

e o ponto x = −3.

Nesse caso, a primeira condição da definição de

função contínua está satisfeita, pois h existe em x = −3;

a segunda condição da definição também está satis-

feita, pois

mas a terceira não, uma vez que o valor desse limite não

é igual ao valor da função no ponto x = −3. De fato,

Logo, a função h não é contínua no ponto x = −3.

Gráfico 10.7: Gráfico de g x xx

x( ) =

≠

=

1 0

0 0

se

se .

h xxx

x

x( ) =

−+

≠ −

= −

2 93

3

2 3

se

se

Gráfico 10.8: Gráfico de h xxx

x

x( ) =

−+

≠ −

= −

2 93

3

2 3

se

se .

lim lim ( ).( ) lim( )x x x

xx

x xx

x→− →− →−

−+

=− +

+= − = −

3

2

3 3

93

3 33

3 6

limx

xx→−

−+

= −3

2 93

6 e h(−3) = 2.

223



No Gráfico 10.9, observamos uma função que é descontínua no ponto x = 3. Convém

notar que ela está definida nesse ponto, mas que, mesmo visualmente, se percebe que não existe

o limite quando x tende a 3.

No Gráfico 10.10, observamos outra função que não é contínua em x = x0. Nesse caso

também, ela está definida nesse ponto, mas não existe o limite quando x tende a x0.

Exemplos resolvidos

1. Vamos verificar, pela definição, que as seguintes funções são contínuas no ponto indicado.

a. f x x( ) = −3 1 em x0 = 1:

• x0 = 1 pertence ao domínio da função e f (1) = 0

• lim ( ) limx x x

f x x→ →

= −( ) =0 1

3 1 0

• Consequentemente, lim ( )x

x f→

−( ) = =1

3 1 1 0.

Assim, estando satisfeitas as três condições da definição, temos que f é contínua em x0 = 1.

b. g x xx

( ) ln= no ponto x0 = 1:

• x0 = 1 pertence ao domínio da função e g( ) ln1 11

0= =

Gráfico 10.9: Gráfico de função descontínua no ponto x = 3.

Gráfico 10.10: Gráfico de função descontínua no ponto x = x0.

Finalmente, uma observação importante é a seguinte: a continuidade de uma fun-ção é um conceito local. Dizemos que uma função é contínua num dado conjunto quando ela é contínua em cada ponto desse conjunto. E dizemos simplesmente que uma função é contínua quando ela é contínua em cada ponto de seu domínio.

224

10 Limites


• lim ( ) lim lnx xg x x

x→ →= =

1 10

• Consequentemente, lim ( ) ( )xg x g

→= =

11 0.

Assim, estando satisfeitas as três condições da definição, temos que g é contínua em x0 = 1.

2. Dada a função f xxx

x

L x( ) =

−−

≠

=

2 164

4

4

se

se

determine o valor de L a fim de que a função f seja contínua em x = 4.

Observamos que a função f no ponto x = 4 tem valor L. A fim de que f seja contínua nesse ponto,

basta tomarmos lim ( )x

xx

L f→

−−

= =4

2 164

4 .

Como lim lim ( )( ) lim( )x x x

xx

x xx

x→ → →

−−

=+ −

−= + =

4

2

4 4

164

4 44

4 8

Assim L = 8.

10.4 Limites quando a variável independente cresce indefinidamente em valor absoluto

Adotamos o símbolo

10.14

que se lê “infinito”, para representar valores de grandezas que não sejam superados por outros.

Dizer que o valor de algo tende a infinito significa que estamos considerando valores dessa

grandeza superiores a qualquer outro que possamos imaginar.

Vamos analisar o caso do limite de uma função em que a variável independente tende a +∞

ou a –∞.

∞

225



Exemplo fundamental e muito útil para o cálculo de diversos limites é o

ou o

Definição

Seja f uma função definida em ]a, +∞[. Dizemos que o limite da função f (x) é L, quando x tende a +∞, e representamos tal fato por:

10.15

se – e somente se – para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 com δ > a tal que x > δ ⇒ L − ε < f (x) < L + ε. Analogamente, seja f uma função definida em ]−∞, a[. Dizemos que o limite da função f (x) é L, quando x tende a −∞, e representamos tal fato por:

se – e somente se – para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 com –δ < a tal que x < −δ ⇒ L − ε < f (x) < L + ε.

Gráfico 10.11: O limite dessa função existe no infinito.

limx

f x L→+∞

( ) =

limx

f x L→−∞

( ) =

limx x→∞

=1 0

limx x→−∞

=1 0

226

10 Limites


Graficamente, ambos os limites podem ser visualizados no Gráfico 10.12.

Exemplos resolvidos

Podemos observar o cálculo dos limites seguintes:

a. lim limx x

x xx x

xx x

xx x

→∞ →∞

− ++ +

=− +

+ + 4 4 2

4 2

42 4

42

3 29 5

4 3 2

1 9 544

4

=

uma vez que limx x→∞

=1 02 e lim

x x→∞=

1 04

b. lim limx x

x xx x

xx x

xx x

→∞ →∞

− ++ +

=− +

+ +

4 2

4 2

22

42 4

3 79 3

4 3 7

1 9 3

= 0

c. lim lim lim (x x x

x xx x x x

x x

x x→∞ →∞ →∞

− +( ) =− +( ) + +( )

+ +( )=

−2

2 2

2

2 2

44 4

4

++

+ +( )=

−

+ +=

→∞

4

4

44

02 2

) limx x x xx

Gráfico 10.12: A função f xx

( ) =1

.

227



10.5 Limites infinitosOs valores da variável dependente podem crescer indefinidamente. Agora estamos falando

de limites para os quais, quando a variável x se aproxima de um valor, digamos x0, a função

cresce em valor absoluto, tendendo a +∞ ou a −∞.

Se uma função f é bem definida numa vizinhança que contenha o valor x0 (definida em

ambos os lados de x0), exceto possivelmente em x0, então, a expressão

10.16

significa que podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamente grandes (tão grandes

quanto quisermos) tomando x suficientemente próximo de x0, mas não igual a x0.

Analogamente, considerando f uma função definida numa vizinhança de x0, exceto possivel-

mente no valor x0, então, quando escrevemos:

10.17

isso significa que os valores de f (x) podem ser arbitrariamente grandes, porém negativos, ao

tomarmos valores de x suficientemente próximos de x0, mas não iguais a x0.

Como exemplo, podemos considerar a função exponencial f (x) = ex e a função logarítmica

g(x) = ln x, para as quais temos:

ou

bem como

Verifique!

limx x

f x→

( ) = +∞0

limx x

f x→

( ) = −∞0

limx

xe→+∞

= +∞ e limx

xe→−∞

= 0

limx

xe→+∞

− = 0 e limx

xe→−∞

= +∞

lim lnx

x→+∞

= +∞

228

10 Limites


10.6 Limites lateraisAo examinar uma função numa vizinhança de um

ponto x0, ocorre que, em alguns casos, o comportamen-

to da função quando x está próximo de x0, mas assume

valores menores que x0, é completamente diferente

do comportamento da mesma função, quando x está

próximo de x0, mas assume valores maiores do que x0.

Por exemplo, a função

A função f não é contínua em x = 1. Observamos

que, para valores próximos de x = 1, mas menores

do que 1, os correspondentes valores da função são próximos de –4, menores do que –4; para

valores próximos de x = 1, mas maiores do que 1, os correspondentes valores da função são

próximos de –1, menores do que –1. Nesse caso, dizemos que o limite à esquerda da função f para x tendendo a 1, por valores menores do que 1, difere do limite à direita da função f para x

tendendo a 1, por valores maiores do que 1.

Dizemos que o limite à esquerda da função f (x) é L1, quando x tende a x0, por valores

menores do que x0 – indicando tal fato por x x→ −0 – e representamos tal operação por:

10.18

se – e somente se – para todo número ε > 0 houver um número correspondente δ > 0 tal que

se x0 − δ < x < x0, então, |f (x) − L1| < ε.

Gráfico 10.13: Gráfico de f xx x

xx

( ) =− <

=−

5 13 11 2

se se

se x >

1

f xx x

xx

( ) =− <

=−

5 13 11 2

se se

se

x >

1

limx x

f x L→ −

( ) =0

1

229



Analogamente, dizemos que o limite à direita da função f (x) é L2 quando x tende a x0, por

valores maiores do que x0 – indicando tal fato por x x→ +0 – e representamos tal operação por:

10.19

se – e somente se – para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que, se x0 < x < x0 + δ,

então, | f (x) − L2| < ε.

Um exemplo em que os limites laterais da função, quando x tende a 0, são diferentes é o

caso de:

10.20

Analisemos o que ocorre com essa função quando nos aproximamos do valor de x = 0 pela

direita. Encontramos para esse limite à direita o seguinte valor:

10.21

limx x

f x L→ +

( ) =0

2

f x x( ) = +

−−

1 21 1

lim limx x

xf x→ →

−−

+ +( ) = +

=

0 0

1 1

1 2 1

Gráfico 10.14: Gráfico de f x x( ) = +

−−

1 21 1

230

10 Limites


De fato,

e

de onde

No entanto, o limite à esquerda é dado por:

10.22

pois

e

de onde

limx x→ +

−

= −∞0

1

limx

x→

−

+=

0

1

2 0

limx

x→

−−

++

=

0

1 1

1 2 1

lim limx x

xf x→ →

−−

− −( ) = +

=

0 0

1 1

1 2 0

limx x→ −

−

= +∞0

1

limx

x→

−

−+

= +∞

0

1

1 2

limx

x→

−−

−+

=

0

1 1

1 2 0

231



Outro exemplo interessante é o caso da função f x xx

( ) | |=

++

3 13 1

.

Em primeiro lugar, a função f não está definida no

ponto x = − 13

. Observamos que f também pode ser

escrita de outra maneira:

ou seja,

Convém observar que não existe lim ( )/xf x

→−1 3, mas

que lim ( )/xf x

→− +=

1 31, ao passo que lim ( )

/xf x

→− −= −

1 31. Evidentemente, f não é contínua no ponto

x = −1/3.

10.7 Alguns Teoremas sobre limitesA seguir, apresentaremos alguns teoremas úteis para o cálculo de limites. As demonstrações

podem ser encontradas em livros de Análise Matemática.

Teorema 1

Se uma função tem limite num ponto, então, ele é único.

Teorema 2

O limite de uma constante é a própria constante.

Gráfico 10.15: Gráfico de f x xx

( ) | |=

++

3 13 1

.

f x xx

xx

x

xx

( ) | |( )

=++

=

++

> −

− ++

3 13 1

3 13 1

13

3 13 1

se

se x < −

13

f xx

x( ) =

> −

− < −

1 13

1 13

se

se

232

10 Limites


Teorema 3

Existe o limite finito de uma função se – e somente se – os limites laterais são iguais.

Convém observar que o fato de o limite no ponto x0 existir não garante que a função seja

contínua nesse ponto. É o caso, por exemplo, de:

para a qual temos que lim ( )xf x

→=

48, mas f (4) = 1 e, portanto, f não satisfaz a terceira condição

da definição de função contínua num ponto.

Teorema 4 – Teorema da conservação do sinal

Sendo lim ( )x x

f x L→

=0

, então, para valores de x suficientemente próximos de x0, f (x) tem o

mesmo sinal que L.

Teorema 5 – Limite da função composta

Sejam f e g duas funções tais que exista a função composta g f, isto é, (g f )(x) = g( f (x)). Se lim ( )

x xf x a

→=

0

e g é uma função contínua em a, então, lim ( ( )) lim ( )x x u a

g f x g u→ →

=0

.

Esse teorema é muito útil e convém notar que, sendo a função g contínua em a e lim ( )x x

f x a→

=0

,

então, lim ( ( )) ( ) lim ( )x x x x

g f x g a g f x→ →

= = ( )0 0

.

Por exemplo, a fim de calcular limx

xx→−

++2

33

82

, observamos inicialmente que:

f xxx

x

x( ) =

−−

≠

=

2 164

4

1 4

se

se

x x x x3 28 2 2 4+ = + − +( )( )

233



Logo,

Como a função raiz cúbica é contínua, então,

e, portanto, limx

xx→−

++

=2

33 38

212 .

Teorema 6 – Teorema do Confronto

Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) numa vizinhança de x0, exceto eventualmente em x0, e se as funções f e h têm o mesmo limite quando x tende a x0:

10.23

então, o limite de g quando x tende a x0 é o mesmo que o das funções f e h, ou seja,

10.24

Por meio do Teorema do Confronto provam-se resultados importantes e um deles, o

chamado limite fundamental, que é o seguinte:

lim limx x

xx

x x→− →−

++

= − +2

33

2

2382

2 4

limx

x x→−

− + =2

23 32 4 12

lim limx x x x

f x h x L→ →

( ) = ( ) =0 0

limx x

g x L→

( ) =0

Gráfico 10.16: Gráfico alusivo ao teorema do confronto.

lim senx

xx→

=0

1

234

10 Limites


Teorema 7 – Consequência do Teorema do Confronto

Sejam f e g duas funções tais que lim ( )x af x

→= 0 e g é limitada. Então, existe o limite

lim ( ). ( )x a

f x g x→( ) e lim ( ). ( )

x af x g x

→( ) = 0.

Teorema 8 – Propriedades dos limites

Sendo c uma constante, f e g duas funções tais que existem lim ( )x x

f x L→

=0

1 e lim ( )x x

g x L→

=0

2,

então:

i. O limite da soma de duas funções é igual à soma dos respectivos limites.

10.25

Assim, por exemplo, podemos escrever:

10.26

ii. O limite da diferença de duas funções é igual à diferença dos respectivos limites, isto é:

10.27

Por exemplo,

10.28

iii. O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos respectivos limites, isto é:

10.29

lim lim limx x x x x x

f x g x L L f x g x→ → →

( ) + ( )( ) = + = ( ) + ( )0 0 0

1 2•

lim sen lim limsenx x x

x x x x x x→ → →

+ + +( ) = + +( ) + =0

2

0

2

05 3 10 5 3 10 10•

lim lim limx x x x x x


( ) − ( )( ) = − = ( ) − ( )0 0 0

1 2•

lim lim limx x x

x x x x x x→ → →

+ −( ) = +( ) − =2

4 2

2

4

2

23 5 3 5 2•

lim . lim limx x x x x x


( ) ⋅ ( )( ) = = ( ) ⋅ ( )0 0 0

1 2•

235



Assim, podemos escrever:

10.30

iv. O limite do quociente de duas funções é o quociente dos seus limites, desde que o

limite do denominador seja diferente de zero:

10.31

Assim, podemos escrever:

10.32

Para poder usar as propriedades dos limites, é preciso tomar sempre o cuidado de verificar

se as hipóteses estão satisfeitas – isto é, a existência do limite de cada uma das funções, com a

hipótese adicional no caso do quociente de funções quando o limite do denominador não pode

ser zero – sem o que essas propriedades não se aplicam.

Por exemplo, basta considerar:

Evidentemente, lim limx xx

x→ →

⋅

= =

0 0

1 1 1, mas não é igual ao produto dos limites, pois o limite

do primeiro fator não existe.

Nesse caso, também o limite do quociente não é o quociente dos limites, porque limite do

denominador é 0. Simplificando, porém, chegamos a lim lim( )x x

x xx

x→ →

− +−

= − =3

2

3

5 63

2 1.

lim lim lim.x x x

x x x x x x→ → →

+ −( ) +( ) = + −( ) +( ) = ⋅ =2

3

2

3

22 2 4 2 1 2 2 4 2 1 16 5 880

lim / lim / limx x x x x x

f x g x f x g x→ → →

( ) ( )( ) = ( ) ( )0 0 0

•

limlim

limxx

x

x xx

LL

x x

x→

→

→

+ −+

= =

+ −( )+1

4

21

2

1

4

1

2

4 2 22 2

4 2 2

2 2(( ) = =44

1

• limx x

x→

⋅

0

1

• limx

x xx→

− +−3

2 5 63

236

10 Limites


Teorema 9

Se f e g são contínuas em x0 e c é uma constante, então, as seguintes funções também são

contínuas em x0:

10.33

10.8 Uma observação adicionalAo calcular limites, muitas vezes, defrontamo-nos com expressões que envolvem +∞ ou −∞.

Para operar com esses símbolos, salientamos que:

• +∞ + (+∞) = +∞• −∞ + (−∞) = −∞• L⋅(+∞) = +∞ se L > 0

• L⋅(+∞) = −∞ se L < 0

• L⋅( −∞) = −∞ se L > 0

• L⋅( −∞) = +∞ se L < 0

• L + (+∞) = +∞ se L ∈

• L + (−∞) = −∞ se L ∈ • +∞ ⋅ (+∞) = +∞• −∞ ⋅ (−∞) = +∞• +∞ ⋅ (−∞) = −∞No cálculo de limites podemos nos defrontar com as chamadas formas indeterminadas ou

indeterminações, que são as seguintes: +∞−(+∞); −∞ − (−∞); 0 ∙ ∞; ∞∞

; 00

; 1∞; 00 e ∞0.

O que significa isso?

f gf gcffg

fg

g x

+−

( ) ≠ se 0 0

(1)

(3)

(2)

(4)

(5)

237



Um limite, ao ser resolvido, pode levar a uma expressão de um desses tipos, o que nos leva a

ter de utilizar algum artifício para conseguir resolvê-lo.

De fato, um limite que seja da forma 00

é uma indeterminação, pois, a priori, não sabemos

que resultado nos fornecerá. Pode dar qualquer coisa. Por exemplo,

• limx

xx→0

é da forma 00

, mas, resolvendo-o por simplificação, temos limx

xx→=

01;

• limx

xx→0

2 é da forma

00


xx→=

0

2 2;

• limx

xx→0

2

é da forma 00


xx→=

0

2

0;

e assim por diante.

Para cada um dos casos mencionados podemos criar exemplos simples para perceber que o

resultado do limite pode ser qualquer um.

No cálculo de limites também é possível utilizar as Regras de L’Hospital, que serão apresen-

tadas quando tivermos desenvolvido a derivada de uma função.

10.9 Propriedade da substituição diretaSe f for uma função polinomial ou racional e se o valor x0 estiver no domínio de f, então,

vale a substituição direta:

10.34

Esse fato é bastante evidente, pois uma função polinomial é contínua, bem como uma

função racional, que é o quociente de duas funções polinomiais, é contínua em todo ponto de

seu domínio – no qual o denominador não se anula.

limx x

f x f x→

( ) = ( )0

0

238

10 Limites


10.10 Outros limites de interesseDe grande utilidade, muitas vezes, é o limite dos quocientes de funções quando x tende a

zero, como é o caso de:

10.35

10.36

Em ambos os casos, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero no limite em

que a variável independente tende a zero.

Para determinar o primeiro limite, notamos que, para valores de x no intervalo 0 < x < π/2,

valem as desigualdades resumidas na expressão abaixo:

10.37

Dividindo a expressão acima por sen x > 0, obtemos:

10.38

Considerando que

10.39

resulta, de 10.38 e aplicando o Teorema do Confronto, que:

10.40

Analogamente, considerando π/2 < x < 0, mostramos que

limx

xx→0

sen

limx

xx→

−0

1cos

sen x x x< < tg

1 1< <

xx xsen cos

limcosx x→

=0

1 1

lim limx x

xx

xx→ →+ +

= =0 0

1sen

sen

lim limx x

xx

xx→ →− −

= =0 0

1sen

sen

239



Como os limites laterais existem e são iguais, segue-se que

que é o limite fundamental.

Consideremos agora o segundo limite proposto. Observamos que:

10.41

Portanto, de 10.41, obtemos:

10.42

Levando-se em conta que o limite do primeiro fator é igual a 1 e que o limite da função sen

é igual a zero quando x tende a zero, concluímos que:

10.43

10.11 Calculando limitesa. lim

x

xx→−

++

=2

3

2

84

0

É importante observar que ambos – numerador e denominador – têm limite real e o do

denominador é diferente de 0. Sendo assim, trata-se de um limite imediato, aplicando a pro-

priedade do limite do quociente.

b. lim lim ( )( )( )( )

lim (x x x

xx x

x xx x

x→− →− →−

−+ +

=− ++ +

=−

2

2

2 2 2

43 2

2 22 1

2))( )x +

=1

4

Esse limite é da forma 00

; sendo assim, não é tão imediato, mas, por fatoração e sucessiva

simplificação, é possível aplicar a propriedade do limite do quociente.

lim limx x

xx

xx→ →

= =0 0

1sen

sen

cos cos coscos

coscos

xx

x xx x

xx x

−=

−( ) +( )+( )

=−( )+( )

=1 1 1

111

2

−−+( )

sen

2

1x

x xcos

lim cos limcos

limx x x

xx

xx x

xx→ → →

−=

−+( )

=

−0 0

2

0

11

sen

sen seen

xxcos +( )1

lim cosx

xx→

−=

0

1 0

240

10 Limites


c. lim lim ( )( )( )( )x x

x xx x

x x xx x x x→ →

− +− +

=− + −

− + − −1

3

4 2 1

2

3 2

4 35 4

1 31 4 4

==+ −

+ − −=

→lim ( )

( )x

x xx x x1

2

3 2

34 4

16


; como x = 1 é raiz tanto do numerador quanto do denominador,

ambos podem ser fatorados e, após a simplificação, chegamos a um limite imediato.

d. lim ( ) limh h

x h xh

x hx h xh

x→ →

+ −=

+ + −=

0

2 2

0

2 2 22 2

Esse limite é semelhante aos anteriores: efetua-se a simplificação e, em seguida, o limite é

imediato.

e. lim lim ( )( )( )( )

lim( )x x x

xx

x xx x x→ → →

−−

=− +− +

=+

=2 2 2

22

2 22 2

12

12 2


; sendo assim, não é possível aplicar a propriedade do limite do quo-

ciente; multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador,

simplificamos e chegamos a um limite imediato.

f. lim lim ( )( )( )( )(x x

xx

x x x xx x→ →

−−

=− + + +

− +729 3 729

23 3

3

279

27 27 9 819 227 9 81

729 9 81729 27

23 3

729

23 3

)( )

lim ( )( )( )( )

x x

x x xx xx

+ +=

=− + +

− +→==

+ ++

=

=+ ++

=

→lim ( )

( )x

x xx729

23 39 8127

81 81 8127 27

92

Inicialmente, o limite é da forma 00

; sendo assim, não é possível aplicar a propriedade do

limite do quociente; multiplicamos o numerador e o denominador por expressões convenientes,

lembrando que

e que

e, em seguida, procedemos à simplificação e ao subsequente cálculo do limite, que ficou imediato.

( )( )a b a b a b+ − = −2 2

( )( )a b a ab b a b− + + = −2 2 3 3

241



g. lim lim limh h h

x h xh

x h x x h x

h x h xh

h x h x→ → →

+ −=

+ −( ) + +( )+ +( )

=+ +( )

=0 0 0

112 x

Essa situação é semelhante: multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada do

numerador.

h. lim lim( ) .

(h h

x h xh

x h x x h x h x x

h x h→ →

+ −=

+ −( ) + + +( ) +( )+0

3 3

0

3 3 23 3 3 23

)) .

lim( ) .

23 3 3 23

0 23 3 3 23

+ +( ) +( )=

=+ −

+ + +( ) +( )=

→

x h x x

x h x

h x h x h x xhllim

( ) .h x h x h x x

x

→ + + +( ) +( )=

=

0 23 3 3 23

23

1

13

Neste caso, utilizamos o fato seguinte: (a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3.

i. lim lim limx x xx x

x xx

x→ → →−

−−

=

+ + −−

=2 3 2

2

3 2

12

128

4 2 128

22

3

2 2

2 88

2 42 4 2

1

+ −−

=

=− +

− + +

= −→

xx

x xx x xx

lim ( )( )( )( ) 22

Neste caso, o limite não pode ser calculado diretamente, pois cada uma das frações não tem

limite quando x tende a 2. Efetuamos as operações indicadas, lembrando novamente a fatoração

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2),

até ser possível a simplificação e o limite se tornar imediato.

j. lim limx x

x xx x

xx x

xx x

→+∞ →+∞

− ++ −

=− +

+ −

2

2

22

22

2 915 7 8

1 2 9

15 7 8

=1

15

Um limite desse tipo é uma indeterminação da forma ∞∞

. A fim de sair da situação de inde-

terminação, colocamos a maior potência de x em evidência para permitir a simplificação e usar

o fato de que limx n

kx→+∞

= 0, sempre que k é uma constante e o expoente n é estritamente positivo.

242

10 Limites


k. lim limx x

x xx x

xx x

xx x

→−∞ →−∞

− +

+ −=

− +

+ −

2

4 2

22

42 4

7 34

1 7 3

1 1 4

=1

Esse limite é muito semelhante ao anterior, observando também o fato de que x x4 2= .

l. lim limx

x

x

x

x xe

→∞ →∞+

= +

=1 5 1 555

25

25

Lembrando que limx

x

xe

→∞+

=1 1

, o limite se torna simples ao observar que 55

25x x= ⋅ .

m. lim cosx x

x→+∞

⋅

=

1 0

Esse limite é imediato, aplicando-se a Consequência do Teorema do Confronto.

n. lim sen lim senx x

xx x

x→+∞ →+∞

= ⋅

=

1 0

o. lim sensen

lim

sen

senx x

xx

xx

xx

xx→ →

= ⋅

0 0

1512

1515

1212

1512

=

1512

Esse limite é uma aplicação quase imediata do limite fundamental.

p. lim tg lim sencosx x

xx

xx x→ →

= ⋅

=0 0

1 1

Convém observar que esse não é o limite fundamental!Para o cálculo desse limite novamente aplicamos a Consequência do Teorema do Confronto.

243



Esse limite é também uma aplicação quase imediata do limite fundamental.

q. lim lim.

x xx x x

x x x x x x

x x→+∞ →+∞+( ) −

=

+( ) −

+( ) +

+( )2

2 2

2 ++

=

=+ −

+( ) +

=+ +

→+∞ →+∞

x

x x xx x x

x

x x xx xlim ( ) lim2

22

2

2

2==

+

+

=

=

+

+

→+∞

→+∞

lim

lim.

x

x

x

xx

x

x

xx

2

1 2

2

1 2 1

2

=1

Inicialmente, observamos que o limite dado é uma indeterminação da forma ∞ − ∞ e,

para sair dessa situação, multiplicamos e dividimos pelo conjugado da expressão cujo limite

queremos calcular. Em seguida, após a simplificação, procedemos como é habitual em limites

quando x → ∞, observando que, como x > 0, x2 = x.

r. lim . ln( ) ln lim . ln ( ) lim lnx x x

x x x x xx→+∞ →+∞ →+∞

+ −[ ] = +

= +1 1 1 11 1

x

x

=

Começamos usando as propriedades do logaritmo e, em seguida, usamos o fato de a função

ln ser contínua para chegar ao resultado final, lembrando que limx

x

xe

→+∞+

=1 1

.

Agora é sua vez...Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem e realize

a(s) atividade(s) proposta(s).


Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I


11DERIVADAS DE FUNÇÕES

11.1 O cálculo diferencial11.2 Diferenças11.3 Taxa de variação média11.4 Taxa de variação instantânea e pontual11.5 Primeiros exemplos

11.5.1 Função polinomial geral de grau 111.5.2 Função polinomial geral de grau 211.5.3 Função polinomial de grau n11.5.4 Vazão

11.6 Interpretação geométrica da derivada11.7 Derivadas de ordem superior

247



11.1 O cálculo diferencialDe modo geral, grandezas físicas variam (por se constituírem em variáveis dependentes) ao

sabor da variação de outras das quais elas dependem (as variáveis independentes). O Cálculo

infinitesimal é uma área da Matemática voltada para lidar com aspectos relativos a variações de

grandezas decorrentes de variações diminutas de outras.

A base do Cálculo infinitesimal é constituída a partir de considerações sobre variações

muito pequenas (variações infinitesimais, portanto) das variáveis independentes. Tais variações

acarretam variações das grandezas (variações das funções) que delas dependem. A noção de

infinitésimo ou variação infinitesimal de uma grandeza foi introduzida por Arquimedes cerca

de 250 anos antes da era cristã.

O Cálculo diferencial se baseia no quociente das variações para definir a derivada de uma

função. Esse quociente recebe o nome de taxa de variação média da função num determinado

intervalo. No cálculo integral, consideram-se somas nas quais cada parcela é um produto do

valor de uma função pela variação infinitesimal da variável independente.

Tanto no Cálculo diferencial quanto no Cálculo integral, o conceito de limite é empregado

como uma forma de assegurar que as variações infinitesimais das duas grandezas sejam irriso-

riamente pequenas, tão pequenas quanto possam ser. É nesse sentido que tomamos o limite em

que a variação da variável independente tende a zero.

A definição de derivada a partir do conceito de limite foi introduzida por Cauchy, e permite

um tratamento formal e rigoroso desse conceito. Tais desdobramentos acabam convergindo

para a análise matemática.

Tendo em vista que uma das primeiras aplicações do Cálculo é a de encontrar a reta tan-

gente a uma curva, que é o gráfico de uma função, passando por um determinado ponto (e

essa é a interpretação geométrica da derivada de uma função), a origem do cálculo diferencial

remonta aos tempos dos geômetras gregos. Alguns conceitos básicos do Cálculo são conhecidos

e estudados há mais de dois milênios. Esse é o caso do problema da tangente a uma curva, o qual

foi analisado primeiramente por geômetras gregos, com destaque para Euclides.

A versão moderna do Cálculo se iniciou quando Isaac Newton (1643 – 1727) procurou um

novo método matemático para analisar as consequências das suas leis da dinâmica. Deu a ele

o nome de cálculo dos fluxos (ou flúxons). No entanto, as primeiras publicações nessa fase do

desenvolvimento inicial são devidas a Gottfried Leibniz (1646 – 1716).

248

11 Derivadas de funções


A notação atualmente utilizada no Cálculo possui muitas características que foram introdu-

zidas por Leibniz.

O Cálculo é fundamental para expressar e entender as leis físicas. Mas ele também é útil em

todas as áreas do conhecimento.

Como veremos, a taxa de variação de uma grandeza f com respeito a x, salvo raras exceções,

depende da variável x. Essa nova função, obtida da função dita primitiva (a função f ), é deno-

minada função derivada de f, e ela será representada pela função g(x). Utilizando a notação de

Leibniz, escrevemos essa nova função como:

11.1

O Cálculo provê um método para a determinação da taxa de variação de uma função.

Ele é baseado no conceito de diferenças da variável dependente e da variável independente (daí

o nome) e de considerações a respeito do limite do quociente das mesmas.

11.2 DiferençasPodemos visualizar o comportamento de uma função construindo o seu gráfico. Para tanto,

como explicado no texto sobre Limites, colocamos os valores assumidos pela variável indepen-

dente, x, no eixo horizontal (o eixo das abscissas) enquanto anotamos os valores da variável depen-

dente no eixo vertical (o eixo das ordenadas). Uma vez que os gráficos fornecem importantes

informações sobre as funções, suas derivadas e integrais, sua utilização é ampla no Cálculo.

Consideremos dois pontos P1 e P2 sobre um gráfico. Tais pontos têm coordenadas dadas por:

11.2

Considerando os pontos acima, podemos introduzir duas diferenças. A primeira delas é a

diferença das abscissas, diferença essa que escrevemos sob a forma:

11.3

g x df xdx

( ) ( )= ou g x df

dxx( ) ( )=

( , ) ( , ( ))

( , ) ( , ( ))

x y x f x

x y x f x

1 1 1 1

2 2 2 2

=

=e

∆ = −x x x2 1

249



A segunda diferença relevante é a diferença entre os valores assumidos pela função, quando

calculada para cada um dos dois valores de x, isto é, a diferença das ordenadas. Assim, quando

uma grandeza (variável dependente) é função de uma outra, aqui designada por x (variável

independente), então uma variação desta última grandeza a partir de um valor inicial x1, desig-

nada por ∆x, acarreta uma variação da variável dependente. Tal diferença é representada por ∆f. Por definição, temos que:

11.4

O gráfico da Figura 11.1 ilustra essas diferenças:

11.3 Taxa de variação médiaAo quociente entre a variação da variável dependente e a variação da variável independente,

isto é, o comprimento do tamanho do intervalo associado a ela,

11.5

damos o nome de razão média das variações ou taxa de variação média da função considerada,

no intervalo dado. Tal taxa depende da variação Δx considerada, bem como do particular ponto

∆ = +∆ −f f x x f x( ) ( )1 1

Figura 11.1: Uma variação Δx da variável independente acarreta uma variação Δf da variável dependente.

∆∆

=+∆ −∆

fx

f x x f xx

( ) ( )1 1

250



inicial x1. Assim, a taxa de variação média de uma função, num intervalo [x1, x1 + ∆x] contido

em seu domínio, é o quociente definido acima.

A taxa de variação média tem um significado geométrico muito simples. De fato, como

podemos ver na Figura 11.1, ela nada mais é do que o coeficiente angular da reta que passa

pelos pontos (x1, f (x1)) e (x1+ ∆x, f (x1 + ∆x)). Uma vez que, por hipótese, esses dois pontos

pertencem ao gráfico da função, essa reta é a reta secante ao gráfico por esses pontos.

11.4 Taxa de variação instantânea e pontualÉ fácil determinar a taxa de variação média de uma dada função, uma vez que ela envolve

apenas o cálculo da função para dois valores distintos da variável independente x, ou seja, ela é

definida, e portanto determinada, para um comprimento Δx do intervalo.

Podemos sempre reduzir o comprimento do intervalo, considerando valores da variável

independente cada vez mais próximos, ou seja, valores cada vez menores de Δx. Em particular,

podemos pensar em valores muito pequenos (a despeito de não termos ainda uma clareza

sobre o que isso significa). A tais valores diminutos damos o nome de valores infinitesimais.

Comprimentos de intervalos infinitesimais são denotados por dx.

O nosso interesse é determinar a taxa de variação instantânea (quando a variável inde-

pendente for o tempo), ou a taxa de variação pontual (nos demais casos), de uma função f. Tal taxa é denominada simplesmente taxa de variação de f no ponto x0. Ela é definida como

aquela que é obtida a partir de intervalos da variável x cada vez menores. Mais precisamente,

estamos interessados em obter o valor da taxa que resulta quando consideramos o limite em que o

comprimento Δx do intervalo tende a zero. Esse limite define a taxa de variação de f no ponto x0.

Figura 11.2: Diferentes valores do comprimento do intervalo levam a diferentes taxas de variação média.

251



Para calcular a taxa de variação pontual de f no ponto x0 pertencente ao domínio da função,

consideramos tanto os acréscimos positivos (∆x > 0) quanto os negativos (∆x < 0), de tal modo

que o intervalo aberto ]x0, x0 + ∆x[, se ∆x > 0, ou ]x0+ ∆x, x0[, se ∆x < 0, esteja inteiramente

contido no domínio da função. Assim, fica subentendido que, ao calcularmos o limite quando

∆x→0, estamos fazendo ∆x se aproximar de 0 tanto por valores positivos como negativos. Se o

limite assim definido existe e é finito, ele define a derivada da função em um ponto do domínio

de f. Escrevemos, assim, que a derivada é a função resultante desse processo limite, ou seja:

11.6

Chamamos a atenção para o fato de que ambas as diferenças do quociente tendem a zero

quando ∆x→0. O resultado do quociente, no entanto, tende a um valor bem definido quando

existe a derivada da função no ponto.

Figura 11.3: Conforme ∆x se aproxima de zero, o ponto (x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)) se aproxima do ponto (x0, f (x0)), e a reta continua secante ao gráfico, sendo determinada por dois pontos cada vez mais próximos. Na posição limite, quando ∆x → 0, temos a reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, f (x0)).

dfdx

x f x x f xxx

( ) lim( ) ( )

=+∆ −∆∆ →0

Figura 11.4: A derivada de uma função num determinado ponto de seu domínio é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função que passa por esse ponto.

252



Tendo em vista 11.6, podemos, de modo equivalente, escrever:

11.7

pois ∆x→0 equivale a x→x0, sendo x = x0 + ∆x.Se a função f (x) admite a derivada em um ponto, dizemos que ela é derivável nesse ponto.

Se, por outro lado, a função f (x) admite a derivada em todos os pontos de um intervalo,

dizemos que a função é derivável nesse intervalo. Observamos que estamos sempre nos refe-

rindo a um intervalo aberto. Isso se impõe uma vez que, numa extremidade de um intervalo

fechado, não temos como calcular o limite, o qual pressupõe que o acréscimo ∆x tenda a zero

pelos dois lados: tanto pela esquerda quanto pela direita.

Pode-se obter, a partir da função derivada, o incremento da função quando o incremento na

variável x for infinitesimal. De 11.7, resulta que:

11.8

onde g(x), de 11.1, é a função derivada da função f (x).

11.5 Primeiros exemplos11.5.1 Função polinomial geral de grau 1

Escrevemos a função polinomial de primeiro grau mais geral possível sob a forma:

11.9

onde a1 e a0 são dois parâmetros constantes que caracterizam a variável dependente.

A partir de 11.9, temos

11.10

dfdx

x f x f xx xx x

( ) lim ( ) ( )0

0

00

=−−→

df g x dx= ( )

f x a x a( ) = +1 0

f x x a x a x a( )+∆ = + ∆ +1 1 0

253



e, portanto, sua taxa de variação média é constante:

11.11

Tomando agora o limite da expressão acima, limite definido em 11.6, conclui-se que:

11.12

Assim, a função derivada é, nesse caso, uma função constante.

A derivada da função constante, por outro lado, é obtida de 11.9, adotando-se o valor de

a1 = 0. Como se pode verificar facilmente, a função constante tem derivada nula.

11.5.2 Função polinomial geral de grau 2

Escrevemos a função polinomial de segundo grau na forma mais geral possível:

11.13

onde a0, a1 e a2 são coeficientes que caracterizam a dependência da variável dependente.

De 11.10 temos:

11.14

Consequentemente, de 11.5, verificamos que, para um valor do comprimento do intervalo

Δx arbitrário, obtemos o seguinte valor para o quociente entre as variações:

11.15

Resulta daí que a derivada de função quadrática é dada por:

11.16

∆∆

=fx

a1

dfdx

a= 1

f x a x a x a( ) = + +22

1 0

f x x a x x a x x a( ) ( ) ( )+∆ = +∆ + +∆ +22

1 0

∆∆

= ∆ + +fx

a x a x a2 2 12

dfdx

a x a= +2 2 1

254



11.5.3 Função polinomial de grau n

Consideremos agora o caso de um polinômio de grau n da forma

11.17

Para determinar a sua derivada, fazemos uso do Teorema Binomial de Newton, obtendo:

11.18

Assim, utilizando a expressão 11.18 e a definição de derivada, obtemos:

11.19

Para um polinômio mais geral do que aquele da equação 11.17:

11.20

podemos verificar que sua derivada é dada como uma soma das derivadas de cada um dos

termos. Resulta assim, de 11.19, que a sua derivada será dada pela expressão:

11.21

Mais adiante, veremos que é sempre verdade que a derivada da soma de duas funções derivá-

veis num ponto é igual à soma de suas derivadas. A demonstração baseia-se no seguinte fato: uma

vez que as funções são deriváveis, os dois limites existem e são finitos e o limite da soma, como

vimos no texto anterior em que tratamos sobre Limites, nesse caso, é igual à soma dos limites.

P x a xn nn( ) =

P x x a x x a x nx x xn nn

nn n n( ) ( ) ( ( ) )+∆ = +∆ = + ∆ + ⋅⋅⋅ +−1 ∆

dPdx

x n a xnn

n( ) . .= −1

P x a x a x a x ann

nn( ) = + + + +−−

11

1 0...

dP xdx

na x n a x ann

nn( ) ( ) ......= + − +−

−−1

12

11

255



11.5.4 Vazão

Numa piscina de profundidade constante, com área da superfície igual a A e a água nela

contida atingindo uma altura h, o volume de água da piscina depende apenas de h. Nesse caso,

a variável é a altura. Temos assim, para o volume de água contida na piscina:

11.22

Quer seja por causa da evaporação da água, ou devido a defeitos de fabricação ou à abertura de

um ralo para esvaziamento, o fato é que a altura da água é função do tempo. Assim, a variável mais

importante, nesse caso, é o tempo. Escrevemos o volume como função do tempo sob a forma:

11.23

Esse exemplo ilustra o fato de que, muitas vezes, uma função pode ser representada como

função de outra função. No caso de abrirmos o ralo da piscina, a taxa com que ela se esvazia

tem o nome de vazão e é definida como:

11.24

Também veremos adiante que é sempre verdade que a derivada do produto de uma cons-

tante por uma função derivável é igual ao produto dessa constante pela derivada da função.

Tal fato se baseia, evidentemente, no cálculo de um limite e de suas propriedades.

11.6 Interpretação geométrica da derivadaConsideremos o gráfico de uma função arbitrária f (x). Admitamos que ele tenha a forma

daquele apresentado na Figura 11.3. Consideremos dois pontos sobre essa curva. O primeiro

deles é um ponto P1 associado a um valor arbitrário x, isto é P1 = (x, f (x)). O segundo ponto,

P2, é associado ao valor x + Δx, isto é, P2 = (x + ∆x, f (x + ∆x)).

V h Ah( ) =

V t Ah t( ) ( )=

dVdt

t Adhdtt( ) ( )=

256



Podemos fazer passar por esses dois pontos P1 e P2 uma - e apenas uma - reta denominada

secante ao gráfico de f. O ângulo de inclinação da reta secante em relação ao eixo x é o ângulo θs.

Como se pode ver na Figura 11.3, a taxa de variação média da função no intervalo

[x, x + ∆x] pode ser interpretada geometricamente como a tangente trigonométrica do ângulo

de inclinação da secante, isto é, o coeficiente angular da mesma:

11.25

A reta que tangencia a curva num determinado ponto é a reta tangente a ela por esse ponto.

A inclinação da reta tangente pode ser obtida fazendo o limite da inclinação da secante

quando consideramos intervalos de comprimento Δx cada vez menor.

Pode-se notar que, à medida que o comprimento Δx tende a zero, a reta secante tende à

reta tangente e, assim, o coeficiente angular da reta secante tende, no limite quando Δx→0, ao

coeficiente angular da reta tangente.

Portanto, a derivada da função f (x) no ponto x pode ser interpretada geometricamente

como o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto (x, f (x)):

11.26

onde θt é o ângulo de inclinação da reta tangente.

Observe que, de acordo com o lado direito da igualdade acima, é de se esperar que a incli-

nação da tangente à curva dependa de x, o que, de fato, normalmente ocorre.

11.7 Derivadas de ordem superiorA derivada de uma função como definida anteriormente, é a derivada de primeira ordem.

Segundo 11.1, indicamos essa primeira derivada por:

∆∆

= ( )fx

xstgθ

dfdx

x xt( ) ( )= tgθ

g x df xdx

dfdx

x( ) ( ) ( )= =

257



Ao repetirmos o processo de derivação sucessivas vezes, obtemos as derivadas de ordem

superior. Por exemplo, podemos definir a função derivada da função derivada, ou seja, definimos

a função derivada de segunda ordem a partir do processo limite:

11.27

onde g(x) é a derivada de primeira ordem da função f (x).Analogamente, derivando uma função n vezes, obtemos a derivada de ordem n da mesma.

Utilizamos a notação:

11.28

Exemplos

• ExEmplo 1: Se a função quadrática for uma função do tempo f = f (t) dada pela expressão:

11.29

a função derivada primeira é a função afim dada por:

11.30

• ExEmplo 2: Lembrando que, se

Pn(x) = anxn,

de 11.19,

para o polinômio dado por

11.31

d fdx

x g x x g xx

dg xdxx

2

2 0( ) lim ( ) ( )

=+ −

=( )

→∆

∆∆

d fdx

x ddx

d fdx

xn

n

n

n( ) ( )=

−

−

1

1

f t t t( ) = − + +5 10 22

df tdt

t( )= − +10 10

dPdx

x n a xnn

n( ) . . ,= −1

P x x6610( ) =

258



temos como função derivada a função P5(x), cuja expressão é:

11.32

• ExEmplo 3: Considerando o caso de um polinômio da forma:

11.33

temos as derivadas de cada um dos termos:

11.34

e, portanto,

11.35

• ExEmplo 4: No caso de uma função polinomial de grau 2, podemos escrever para a sua derivada segunda:

11.36

Da expressão acima resulta que a derivada segunda de um polinômio de segundo grau é uma constante. No caso do polinômio 11.29, a derivada segunda é igual a −10, ou seja,

11.37

P x x x55 510 6 60( ) = ⋅ =

P x x x x x x55 4 3 25 2 10 3 2 8( ) = − + − + −

d xdx

x x

d xdx

x x

d xdx

x

55 5 25

22 4 8

1010 3 3

54 4

43 3

32

( )= ⋅ =

−( )= − ⋅ = −

( )= ⋅ = 00

33 2 6

22

80

2

2

x

d xdx

x x

d xdx

ddx

−( )= − ⋅ = −

( )=

−( )=

dP xdx

x x x x5 4 3 225 8 30 6 2( )= − + − +

ddx

ax bx c ddx

ax b a2

22 2 2+ +( ) = +( ) =

ddt

t t ddt

t2

225 10 2 10 10 10− + +( ) = − +( ) = −

259



• ExEmplo 5: Para um polinômio da forma dada pela expressão 11.17, Pn(x) = anx

n, podemos escrever para a sua derivada segunda:

11.38

Podemos escrever a derivada terceira do polinômio 11.17, a partir de 11.38,

11.39

Assim, para o polinômio P6(x) dado pela expressão 11.31, podemos escrever a seguinte sucessão de derivadas:

11.40

• ExEmplo 6:

Para um polinômio da forma dada pela expressão 11.20,

a derivada segunda é obtida a partir da derivada primeira dada pela expressão 11.21, isto é,

Assim, a derivada segunda de um polinômio geral de grau n é dada por:

11.41

d P xdx

a d xdx

ad n x

dxna dx

dxn n a xn

n

n

n

n

n

n

nn

2

2

2

2

1 1

1( ) ( )= = ⋅⋅( )

= = −− −

−22

d P xdx

n n a dxdx

n n n a xnn

n

nn

3

2

231 1 2( ) ( ) ( )( )= − = − −

−−

P x xdP xdx

x

d P xdx

x

d P xdx

x

66

6 5

26

24

36

23

10

60

300

1200

( )( )

( )

( )

=

=

=

=

P x a x a x a x ann

nn( ) = + + + +−−

11

1 0...

dP xdx

na x n a x ann

nn( ) ( ) ......= + − +−

−−1

12

11

d P xdx

ddx

na x n a x a x ann

nn

n2

21

12

2 11 2( )= + −( ) + ⋅ ⋅ ⋅ + +( )−

−−

= −( ) + −( ) −( ) + ⋅ ⋅ ⋅ +−−

−n n a x n n a x ann

nn1 1 2 22

13

2

260



Consideremos o caso do polinômio dado pela expressão 11.33. Sua derivada segunda é dada pela derivada da derivada do polinômio. Assim, a partir de 11.41, obtemos:

11.42 d P xdx

ddx

x x x x x x x2

52

4 3 2 3 225 8 30 6 2 100 24 60 6( )= − + − +( ) = − + −

Agora é a sua vez...Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem e realize

a(s) atividade(s) proposta(s).



DERIVADAS DAS FUNÇÕES SIMPLES12

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

12.1 Introdução12.2 Derivada de y = axn, n ∈

12.2.1 Derivada de y = 1/x para x ≠ 012.2.2 Derivada de y = axn, para x ≠ 0, n = −m, m ∈ , isto é, n é um número inteiro negativo

12.3 Derivadas das funções seno e cosseno12.4 Derivada da função logarítmica12.5 Derivada da função exponencial

263



12.1 IntroduçãoO conceito de derivada de uma função é um dos sustentáculos do Cálculo e o introduzimos

no texto anterior. O objetivo agora é o de aprimorar o desenvolvimento do ferramental inerente

ao assunto, a fim de poder operar com ele. Assim, neste texto deduziremos alguns resultados

relativos ao cálculo de derivadas de funções simples. No estudo das derivadas de funções de

uma única variável independente, Augustin Cauchy, em suas Oeuvres Complètes, procura

distinguir as funções simples – que, segundo ele próprio, são consideradas como resultado de

uma única operação aplicada à variável independente – das funções que são construídas com o

auxílio de várias operações, as quais são chamadas de funções compostas. As funções simples

que produzem as operações corriqueiras da álgebra e da trigonometria são

onde a é um número real e A é estritamente positivo e diferente de 1.

Para cada uma das derivadas das funções simples, e suas inversas, apresentamos alguns exemplos

resolvidos, aplicando novamente o conceito de derivada que foi introduzido no texto anterior.

12.2 Derivada de y = axn, n ∈ 12.2.1 Derivada de y = 1/x para x ≠ 0

No texto anterior, vimos a definição de derivada de uma função num ponto do seu domínio

e, a partir dela, encontramos a derivada de

12.1

sendo n um número natural. Assim,

12.2

a x a x a x axx A x

x x

a xA+ −, , . , , , , log ,

sen , cos , arcse

nn , arccosx x

f x xn( ) =

f x dfdx

x n xn' .( ) = ( ) = −1

264

12 Derivadas das Funções Simples


De modo mais geral, para a função

12.3

onde n é um número natural, encontramos

12.4

Vamos considerar agora o caso em que o expoente é um número inteiro, começando com

o caso em que

12.5

onde a é um número real qualquer.

Vamos encontrar a derivada num ponto do domínio, isto é, x ≠ 0. Temos duas situações a

considerar:

i. x > 0

Seja Δx tal que x + Δx > 0.

A relação entre as diferenças, isto é, a taxa de variação média, se escreve agora como:

12.6

ou seja,

12.7

Depois de efetuada a operação de subtração dos termos no numerador, a expressão 12.7

pode ser simplificada. Obtemos então:

12.8

g x a xn( ) = .

g x dgdx

x n a xn' . .( ) = ( ) = −1g x dgdx

x n a xn' . .( ) = ( ) = −1

y ax

=

∆∆

= +∆−

∆yx

ax x

ax

x

∆∆

=− +∆( )( )

+∆( )⋅∆

yx

ax a x xx x x x

1

∆∆

=− ∆+ ∆( )

⋅∆

yx

a xx x x x

1

265



daí resultando a expressão:

12.9

E, portanto, tomando o limite quando Δx tende a zero, isto é,

12.10

obtemos a derivada da função na primeira situação.

ii. x < 0

Seja agora Δx tal que x + Δx < 0.

Consideramos novamente a taxa de variação média e, após as simplificações necessárias,

obtemos a mesma expressão

12.11

onde x < 0 e x + Δx < 0.

Tomando o limite quando Δx tende a zero, isto é,

12.12

ou seja, a mesma expressão que foi obtida na situação anterior.

Assim, concluímos que a função y = a/x é derivável em todo ponto do domínio e sua

derivada é dada por:

12.13

∆∆

=−+∆( )

yx

ax x x

lim lim∆ → ∆ →

∆∆

=−+∆( )

= −x x

yx

ax x x

ax0 0 2

∆∆

=−+∆( )

yx

ax x x

lim lim∆ → ∆ →

∆∆

=−+∆( )

= −x x

yx

ax x x

ax0 0 2

y ax

' = − 2

266



12.2.2 Derivada de y = axn, para x ≠ 0, n = −m, m ∈ , isto é, n é um número inteiro negativo

Sendo y ax ax

nm= = , m natural, tomando o mesmo cuidado com o fato de considerar o caso

em que x > 0 e Δx é tal que x + Δx > 0, e depois o caso em que x < 0 e Δx é tal que x + Δx < 0,

temos em ambas as situações:

12.14

ou seja,

12.15

Usando o Teorema do binômio de Newton e as simplificações possíveis, obtemos:

12.16

Depois de efetuada a operação de subtração dos termos no numerador, a expressão 12.16

pode ser simplificada. Obtemos então:

12.17

Tomando o limite quando Δx tende a zero, isto é,

12.18

Mostramos assim que se

12.19

∆∆

=+∆( )

−

∆yx

ax x

ax

x

m m

∆∆

=− +∆( )

+∆( )⋅∆

= ⋅− +∆( )

+∆( )⋅∆

yx

ax a x xx x x x

ax x xx x x x

m m

m m

m m

m m1 1

∆∆

= ⋅− ⋅ ⋅∆ − −( ) ⋅ ∆( ) − − ∆( )

+∆( )⋅

− −yxa

m x x m m x x x

x x x

m m m

m m

1 2 21 2/ 11∆x

∆∆

= ⋅− ⋅ − −( ) ⋅ ∆( ) − − ∆( )

+∆( )

− − −yxa

m x m m x x x

x x x

m m m

m m

1 2 11 2/

lim∆ →

−− −∆

∆= −

⋅ ⋅= − ⋅ ⋅

x

m

mmy

xa m xx

m a x0

1

21

y axn=

267



com n um número inteiro, a derivada existe em todos os pontos do domínio e

12.20

Exemplos

• ExEmplo 1

No caso da função y = x5, utilizando 12.2, já deduzida no texto anterior, temos yʹ = 5x4. Sendo yx

x= = −15

5,

utilizando a relação encontrada em 12.18, observamos que a sua derivada é y xx

' = − =−−5 56

6 .

• ExEmplo 2

Vamos escrever a equação da reta tangente ao gráfico da função yx

=1

2 no ponto cuja abscissa é x = 2.

Notamos que a reta procurada passa pelo ponto 2 14

,

e tem coeficiente angular dado pela derivada

da função em x = 2.

Como, se yx

=1

2 então yx

' = −23 , o coeficiente angular da reta tangente procurada é m = −

14 e a

equação dessa reta é:

ou seja,

y n axn' = ⋅ −1

y x− = − −14

14

2( ),

y x= − +14

34

Gráfico 12.1: O gráfico de yx

=1

2 e

a reta tangente no ponto 2 14

,

.

268



• ExEmplo 3

Sendo f x xx xx x

( ) = =≥

− <

se se

00

vamos determinar o conjunto de pontos onde f é derivável.

→ REsolução:Em primeiro lugar, observamos que se trata de uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais, que é definida por meio das duas regras acima, dadas na expressão da função. A notação de valor absoluto apenas descreve tal fato de uma forma simples e rápida. Para encontrar a sua derivada, precisamos analisar separadamente as situações seguintes: a. x > 0 e o acréscimo Δx positivo ou negativo, mas de tal maneira que x + Δx > 0;b. x < 0 e o acréscimo Δx positivo ou negativo, mas de tal maneira que x + Δx < 0;c. x = 0 e o acréscimo Δx positivo ou negativo.Vejamos então cada uma dessas situações:a. Se x > 0 e x + Δx > 0, temos:

isto é, para x > 0, a derivada da função é 1.

b. Se x < 0 e x + Δx < 0, temos:

ou seja, para x < 0, a derivada da função é –1.

c. Se x = 0, temos:• se Δx > 0

• se Δx < 0

lim lim∆ ∆

∆∆

∆∆x x

x x xx

x x xx→ →

+ −=

+ −=

0 01

lim lim ( ) ( )∆ ∆

∆∆

∆∆x x

x x xx

x x xx→ →

+ −=

− + − −= −

0 01

lim lim∆ ∆

∆∆

∆∆x x

xx

xx→ →+ +

+ −= =

0 0

0 01

lim lim∆ ∆

∆∆

∆∆x x

xx

xx→ →− −

+ −=

−= −

0 0

0 01

269



Logo, como os limites laterais são diferentes, não existe lim∆

∆∆x

xx→

+ −0

0 0, ou seja, não existe a derivada

da função no ponto x = 0. Consequentemente, o domínio da função derivada é − {0}.

12.3 Derivadas das funções seno e cossenoAnalisemos agora a derivada da função y = sen x. A taxa de variação média será dada por:

12.21

Temos duas formas de efetuar o limite quando ∆x → 0. Na primeira forma, escrevemos o

seno da soma como:

12.22

o que nos leva a concluir que a taxa de variação média é dada por:

12.23

Gráfico 12.2: O gráfico da derivada da

função f x xx xx x

( ) = =≥

− <

se se

00

, isto é, da

função f xxx

'( ) =>

− <

1 01 0 se

se .

∆∆

∆∆

yx

x x xx

=+( ) −sen sen

sen sen cos sen cosx x x x x x+( ) = +∆ ∆ ∆

∆∆

=∆ −( )∆

+∆

∆yx

xxx

xx

xsencos sen cos

1

270



Considerando agora o limite:

12.24

a partir do que vimos no texto sobre Limites, em 10.35 e 10.36, respectivamente, temos

12.25

e

12.26

e, portanto,

12.27

de onde concluímos que

12.28

A segunda alternativa para calcular lim limsen sen

∆ ∆

∆∆

∆∆x x

yx

x x xx→ →

=+( ) −

0 0 consiste em utilizar o

fato de que:

12.29

e, considerando a x x= +

∆2

e b x=∆2

, temos:

12.30

lim lim sencos sen cos

∆ ∆

∆∆

∆∆ ∆x x

yx

xxx

xx

x→ →

=−( )

+∆

0 0

1

lim sen∆

∆∆x

xx→

=0

1

limcos

∆ →

∆ −( )∆

=x

xx0

10

lim cos∆ →

∆∆

=x

yx

x0

d xdx

xsen

cos( )=

sen sen sen cosa b a b b a+( ) − −( ) = ⋅2

∆∆

=+ ∆

∆

∆yx

x x x

x

22 2

cos sen

271



o que nos leva a uma expressão mais simples para a taxa de variação média:

12.31

Tomando agora o limite quando ∆x → 0 e levando em conta o limite 10.35, obtemos o resultado:

12.32

Consideremos agora o caso da função y = cos x. Neste caso, a taxa de variação média pode

ser escrita como:

12.33

Agora escrevemos o cosseno da soma utilizando a identidade:

12.34

Substituindo tal identidade em 12.33, obtemos o seguinte resultado para a taxa de variação média:

12.35

Considerando-se agora o limite quando Δx → 0,

12.36

Novamente, utilizando os limites dados pelas expressões 10.35 e 10.36, obtemos a derivada

da função cosseno:

12.37

∆∆

=+ ∆

∆

∆

yx

x x x

x

cos sen2 212

y x' cos=

∆∆

∆∆

yx

x x xx

=+( ) −cos cos

cos cos cos sen senx x x x x x+( ) = −∆ ∆ ∆

∆∆

∆∆

yx

xxx

xx

x=−( )

−∆

∆cos

cos sen sen1

lim lim coscos sen

∆ ∆

∆∆

∆∆ ∆x x

yx

xxx

xx

x→ →

=−( )

−∆

0 0

1sen

d xdx

x(cos ) sen= −

272



Também poderíamos calcular

12.38

de outra maneira, que consiste em utilizar a identidade:

12.39

Considerando a x x= +

∆2

e b x=∆2

, temos:

12.40

ou seja,

12.41

o que, de novo, nos leva ao resultado:

12.42

• ExEmplo 4A reta tangente ao gráfico de y = sen x na origem é a reta que contém as bissetrizes dos quadrantes ímpares, isto é, a reta y = x. De fato, o gráfico de y = sen x passa pela origem e o coe-ficiente angular da reta tangente nesse ponto é o valor da derivada y' = cos x calculada em x = 0, isto é, m = 1.Logo, a equação da reta procurada é y = x.

lim limcos cos

∆ ∆∆∆∆x x

yx

x x xx→ →

∆=

+( ) −0 0

cos( ) cos( ) sen .sena b a b a b+ − − = −2

∆∆

=− + ∆

∆

∆yx

x x x

x

22 2

sen sen

∆∆

= −

∆

∆+∆

yx

x

x x xsensen2

22

y x' sen= −

Gráfico 12.3: O gráfico de y = sen x e a reta tangente na origem.

273



• ExEmplo 5

Analogamente, pode-se mostrar que a reta tangente ao gráfico de y = cos x, no ponto π2

0,

, é a

reta y x= − +π2

.

12.4 Derivada da função logarítmicaInicialmente, consideremos a função

12.43

cujo domínio é o conjunto dos números reais estritamente positivos.

Seja x > 0 e Δx tal que x + Δx > 0.

A taxa de variação média é dada por:

12.44

ou seja,

12.45

Observando que

12.46

ao tomar o limite quando Δx → 0, temos:

12.47

uma vez que ln é uma função contínua e lim∆

∆∆x

xxx

xe

→+

=

01 .

y x= ln

∆∆

=+∆( ) −∆

yx

x x xx

ln ln

∆=

+= +

= +

yx x

x xx x

xx

xx

x

∆ ∆∆

∆∆ ∆ ∆1 1 1 1

1

ln ( ) ln ln

∆∆

= +∆

= +

∆

= +

∆∆ ∆yx

xx

xx x

xx

xxx

x

ln ln ln1 1 1 11

1

∆xx

lim lim ln ln∆ → ∆ →

∆∆∆

= +∆

=

x x

xxy

x xxx x

e0 0

1 1 1

274



Como ln e = 1, temos finalmente

12.48

Assim sendo, a função logarítmica de base e, y = ln x, em 12.43, tem derivada dada por

12.49

Seja agora

12.50

onde a base A é estritamente positiva e diferente de 1.


12.51

ou seja,

12.52

Agora, com os mesmos argumentos antes utilizados,

12.53

uma vez que log lnln lnA eeA A

= =1

. Dessa maneira, a função logarítmica de base A, A > 0 e A ≠ 1,

dada em 12.50, y = logAx, tem como derivada a função

12.54

yx

' =1

ddx

xx

ln( ) = 1

y xA= log

∆∆

∆∆

yx

x x xx

A A=+ −log ( ) log

∆=

+= +

= +

yx x

x xx

xx

xxA A

x

A

xx

∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆1 1 1

1

log log log

= +

1

1 1x

A

xx

xxx

log ∆ ∆

lim lim log log∆ ∆

∆

∆∆

x x A

xx

Ayx x

xx x

ex→ →

∆= +

= =

0 0

1 1 1 1lln A

yx A

'ln

=1

275



12.5 Derivada da função exponencialInicialmente, consideremos a função exponencial de base e:

12.55

cujo domínio é o conjunto de todos os números reais.


12.56

Agora,

12.57

pois lim∆

∆

∆x

xex→

−=

0

1 1.

De fato, colocando u = eΔx −1, temos Δx = ln(u + 1) e, quando Δx → 0, u → 0.

Então,

12.58

Concluímos, portanto, que a derivada da função exponencial de base e, dada em 12.55,

y = ex, é a própria função y = ex, conforme 12.57.

Consideremos agora a função exponencial de base A,

12.59

onde A é estritamente positivo e diferente de 1.

y ex=

∆∆ ∆ ∆

∆ ∆yx

e ex

e ex

x x x x x

=−

=−+ ( )1

lim lim ( )∆ ∆

∆∆∆ ∆x x

x xxy

xe e

xe

→ →=

−=

0 0

1

lim limln( )

limln( )

limln(∆

∆

∆x

x

u u u

ex

uu

uu u→ → → →

−=

+=

+=

0 0 0 0

11

11 1

1

++= =

1

1 11) lnu e

y Ax=

276




12.60

e

12.61

uma vez que lim ln∆

∆

∆x

xAx

A→

−=

0

1.

De fato, de maneira semelhante à que foi efetuada no caso da base e, colocando u = AΔx −1,

temos Δx = logA(u + 1) e, quando Δx → 0, u → 0.

Então,

12.62

Assim, a função logarítmica de base A, A > 0 e A ≠ 1, dada em 12.59, y = Ax, tem derivada

a função

12.63

∆∆ ∆ ∆

∆ ∆yx

A Ax

A Ax

x x x x x

=−

=−+ ( )1

lim lim ( ) ln∆ ∆

∆∆∆ ∆x x

x xxy

xA A

xA A

→ →=

−=

0 0

1

lim limlog ( )

limlog ( )

lim∆

∆

∆x

x

uA

uA

u

Ax

uu

uu→ → → →

−=

+=

+=

0 0 0 0

11

11 1

1

llog ( )

logln

Au

A

u

eA

+

= =

1

1

1

′ =y A Ax .ln

277



• ExEmplo 6As retas tangentes aos gráficos de y = ln x no ponto (1, 0) e de y = e x no ponto (0, 1) são paralelas.De fato, sendo y = ln x, temos y' = 1/x. Logo, a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (1, 0) é y = x − 1.Agora, sendo y = e x, temos y' = e x e a equação da reta tangente ao gráfico em (0, 1) é y = x + 1.O paralelismo das duas retas é evidente pois, nos pontos considerados, elas apresentam o mesmo coeficiente angular.

Gráfico 12.4: As retas tangentes aos gráficos de y = ln x no ponto (1, 0) e de y = e x no ponto (0, 1) são paralelas.

Agora é sua vez...Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem

e realize a(s) atividade(s) proposta(s).



13TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

13.1 Introdução13.2 Derivada da soma ou da diferença de funções13.3 Derivada do produto de funções13.4 Derivada de uma função composta: a Regra da Cadeia13.5 Derivada do quociente de funções13.6 Derivada de y = xα, onde α ∈ 13.7 Derivada da função inversa13.8 Diferencial de uma função de uma variável real13.9 As regras de L’Hospital

281



13.1 IntroduçãoA seguir apresentaremos as técnicas de derivação para funções de uma variável. O objetivo

de tais técnicas é o de facilitar o cálculo de derivadas a fim de não precisar recorrer sempre à

definição de derivada de uma função num ponto interior ao seu domínio.

A seguir analisaremos propriedades importantes das derivadas. Encerraremos o texto abor-

dando, rapidamente, o conceito de diferencial de uma função.

Vamos, primeiramente, relembrar o conceito de derivada!

Consideremos uma função y = f(x) definida num aberto contido em seu domínio, sendo x um ponto interior a esse aberto, e suponhamos que a variável x experimenta, nesse intervalo, um aumento infinitesimal Δx (ou seja, infinita-mente pequeno), acarretando uma variação infinitamente pequena da própria função, Δy. Consequentemente, a razão das diferenças

13.1

envolve o quociente de quantidades infinitamente pequenas. No entanto, anali-sando o comportamento do quociente, quando ambos, denominador e numerador tendem simultaneamente a zero, a razão representada pela expressão 13.1 poderá convergir para um valor bem determinado. Esse limite, se existir, varia com x, e é denominado a derivada da função f no ponto x. Por exemplo, se definirmos f(x) = xm, m designando um valor inteiro, a razão entre as diferenças infinitesimais será:

13.2

No limite, quando a diferença Δx tende a zero, essa razão será a quantidade mxm − 1, isto é, uma nova função da variável x. Para indicar essa dependência, daremos o nome de derivada à nova função e a designaremos, utilizando a notação de

Cauchy, por yʹ ou f ʹ(x), ou ainda, usando a notação de Leibniz, por dfdx

x( ).

∆∆

=+ ∆( ) − ( )∆

yx

f x x f xx

x x xx

mxm m

x x xm m

m m m+ ∆( ) −∆

= +−( )⋅

∆ + + ∆− − −1 2 111 2

282

13 Técnicas de Diferenciação


13.2 Derivada da soma ou da diferença de funções

Se f e g são funções deriváveis, então, a soma f + g é igualmente derivável. A derivada da

soma é igual à soma das derivadas das suas parcelas:

13.3

Para a diferença de duas funções, vale um resultado análogo:

13.4

O resultado acima para a derivada da soma pode ser facilmente verificado a partir da defi-

nição de derivada. Para isso, consideramos as taxas de variação da função soma de duas funções.

De acordo com a sua definição, escrevemos:

13.5

Donde se infere que:

13.6

Considerando o limite da expressão 13.6, quando ∆x → 0, obtemos 13.3, uma vez que os

limites das duas parcelas no segundo membro da igualdade acima existem e são finitos, já que

as funções f e g são deriváveis.

No caso da diferença de funções deriváveis, a verificação é análoga.

d f gdx

dfdx

dgdx

f g f g+( )

= + +( )′ = ′+ ′ ou

d f gdx

dfdx

dgdx

f g f g−( )

= − −( )′ = ′− ′ ou

∆ +( )( ) = +( ) + ∆( ) − +( )( ) == + ∆( ) + + ∆( ) − ( ) − ( ) =

f g x f g x x f g x

f x x g x x f x g x

== + ∆( ) − ( ) + + ∆( ) − ( )f x x f x g x x g x

∆ ( ) + ( )( )∆

=∆ ( )∆

+∆ ( )∆

f x g xx

f xx

g xx

283



Exemplos

• ExEmplo 1:Consideremos as funções f ( x) = sen x e g(x) = x3. Vamos encontrar a derivada da função f + g.

Temos: dfdx

x f x x( ) = ′( ) = cos e dgdx

x g x x( ) = ′( ) = 3 2

Assim: d f gdx

x f g x f x g x x x+( ) ( ) = +( )′ ( ) = ′( ) + ′( ) = +cos 3 2

• ExEmplo 2:Dada a função y = f ( x), definida por f ( x) = 5x2 − 6x + 9, vamos calcular a função derivada.

Temos: dfdx

x ddx

x x( ) = − +( )5 6 92

Comoddx

x x

ddx

x

ddx

5 10

6 6

9 0

2( ) =

( ) =

( ) =

Então, dfdx

x ddx

x x x( ) = − +( ) = −5 6 9 10 62 .

13.3 Derivada do produto de funçõesSe f e g são deriváveis, então, o produto f ⋅ g é derivável. Para o produto de duas funções

vale a propriedade:

13.7

Para deduzir tal propriedade, iniciamos com a definição de taxa de variação média para o

produto de duas funções. Assim, por definição, temos:

13.8

d f gdx

dfdx

g f dgdx

f g f g f g.

( . )( )= ⋅ + ⋅ ′ = ′⋅ + ⋅ ′ ou

∆ ⋅( ) = ⋅( ) + ∆( ) − ⋅( )( ) = + ∆( ) ⋅ + ∆( ) − ( ) ( )f g f g x x f g x f x x g x x f x g x

284



ou seja, somando e subtraindo um conveniente termo,

13.9

ou, agrupando de modo apropriado,

13.10

Calculando o limite quando ∆x → 0, temos:

13.11

equação que nos leva ao resultado 13.7, uma vez que

lim∆ →

+ ∆( ) = ( )xf x x f x

0 e lim

∆ →+ ∆( ) = ( )

xg x x g x

0,

bem como

lim∆ →

+ ∆( ) − ( )∆

= ′( )x

f x x f xx

f x0

e lim∆ →

+ ∆( ) − ( )∆

= ′( )x

g x x g xx

g x0

,

pois as funções f e g são deriváveis.

Da propriedade relativa ao produto de funções, podemos facilmente deduzir que, se k for

uma constante qualquer, resultará:

13.12

• ExEmplo 3:Sendo f ( x) = 4x 3.cos x, vamos encontrar sua derivada. Temos:

∆ ∆ ∆ ∆ ∆f g f x x g x x f x g x x f x g x x f x g x.( ) = +( ) ⋅ +( ) − ( ) +( ) + ( ) +( ) − ( ) ( )

∆ ∆ ∆ ∆f g f x x f x g x x f x g x x g x.( ) = +( ) − ( )( ) +( ) + ( ) +( ) − ( )( )

lim.

lim∆ ∆

∆∆

∆∆

∆∆∆x x

f gx

f x x f xx

g x xg x x g x

→ →

( )=

+( ) − ( )+( ) + +( ) − ( )

0 0 xxf x( )

d kfdx

k dfdx

kf kf( )= = ou ( ) ' '

g x x g x x

h x x h x x( ) = ⇒ ′( ) =( ) = ⇒ ′( ) = −

4 123 2

cos sen

285



Assim, como a derivada do produto é dada por (gh)ʹ(x) = gʹ(x).f ( x) + g(x).f ʹ(x), temos:

• ExEmplo 4:Vamos calcular a derivada da função f ( x) = 5x4.sen x.cos x. Temos:

A fim de calcular a derivada do produto das três funções, observamos que, escrevendo de maneira abreviada,

e, portanto,

• ExEmplo 5:Sendo f ( x) = 7 sen x, vamos encontrar sua derivada. Vimos que, sendo k uma constante, temos (k.f )ʹ = k.f ʹ , uma vez que a derivada de uma função constante é zero.Assim, f ʹ(x) = 7 cos x.

13.4 Derivada de uma função composta: a Regra da Cadeia

Para a especial operação de composição de duas funções deriváveis, temos uma maneira

especial de calcular a derivada da função composta, denominada Regra da Cadeia. Se y = h(u) e u = g(x), ou seja, y = h(g(x)), sendo h e g deriváveis, então, a função composta y = h(g(x)) é

derivável e sua derivada é dada pela expressão:

13.13

′( ) = ⋅ + ⋅ −( ) = ⋅ − ⋅f x x x x x x x x x12 4 12 42 3 2 3cos sen cos sen

g x x g x x

h x x h x x

z x x z x

( ) = ⇒ ′( ) =( ) = ⇒ ′( ) =( ) = ⇒ ′( ) = −

5 204 3

sen cos

cos senn x

ghz gh z gh z g h g h z g h z g h z g h z( )′ = ( )′ ⋅ + ( ) ⋅ ′ = ′ ⋅ + ⋅ ′( ) ⋅ + ⋅ ⋅ ′ = ′ ⋅ ⋅ + ⋅ ′ ⋅ + gg h z⋅ ⋅ ′

′( ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ (f x x x x x x x x x20 5 53 4 4sen cos cos cos sen )) ⋅ −( ) == ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =

= ⋅ ⋅

sen

sen cos cos sen

sen

x

x x x x x x x

x x

20 5 5

20

3 4 2 4 2

3 ccos cos senx x x x+ −( )5 4 2 2

dydx

dhdu

dudx

= ⋅

286



Assim, basta lembrar que, se y = h(g(x)), então, a taxa de variação média será dada por:

13.14

ou seja,

13.15

Então, quando ∆x → 0, temos ∆u → 0 e, supondo que ∆u ≠ 0, temos:

13.16

que é precisamente 13.13.

Entretanto, essa prova não é geral porque, para valores arbitrariamente pequenos de ∆x,

poderia acontecer que ∆u fosse zero e o cálculo acima não seria válido. Uma demonstração

mais geral pode ser encontrada em textos de Cálculo Diferencial.

Adiante, utilizando o conceito de diferencial de uma função, novamente estaremos traba-

lhando com a composição de funções e a Regra da Cadeia reaparecerá.

• ExEmplo 6:Consideremos a função f ( x) = sen4 x = (sen x)4 e vamos calcular sua derivada. Para tanto façamos:

h(x) = sen x

logo

f ( x) = sen4 x = (sen x)4 = (h(x))4

Desse modo:

e:

∆∆

=∆∆

=∆∆

∆∆

yx

hx

huux

∆∆

=+ ∆( ) − ( )∆

⋅∆∆

=+ ∆( ) − ( )∆

⋅+ ∆( ) − ( )∆

yx

h u u h uu

ux

h u u h uu

g x x g xx

lim lim . . .∆ → ∆ →

∆∆

=∆∆

∆∆

= ′( ) ′( ) = ′ ( )( ) ′

x x

yx

hu

ux

h u g x h g x g0 0

xx( )

dfdh

h h( ) = 4 3

dhdx

x x( ) = cos

287



Logo, pela Regra da Cadeia:

• ExEmplo 7:Sendo f ( x) = senx5, vamos calcular sua derivada. Para tanto, façamos:

h(x) = x5

o que acarreta:

f ( x) = sen h(x)

Temos então:

e

Portanto, de acordo com a Regra da Cadeia, temos:

13.5 Derivada do quociente de funçõesSeja

13.17

de tal modo que h(x) ≠ 0. Assumindo que f e g são deriváveis, vamos mostrar que a derivada

da função f é dada por:

13.18

′( ) = ( ) = ( )( ) ⋅ ( ) = ( )( ) ⋅ ( ) = ⋅f x dfdx

x dfdh

h x dhdx

x h x x x4 43 3cos sen coss x

′( ) = ( ) =h x dhdx

x x5 4

′( ) = ( ) =f h dfdh

h hcos

′( ) = ( ) = ( )( ) ⋅ ( ) = ( )( ) ⋅ = ⋅f x dfdx

x dfdh

h x dhdx

x h x x x xcos cos5 54 4 5

f xg xh x

( ) = ( )( )

dfdx

x

dgdx

x h x g x dhdx

x

h x( ) =

( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ( )

( ) 2 ou

gh

g h ghh

′=

′ − ′2

288



Para tanto, vamos escrever a função f como um produto:

Então, derivando o produto das duas funções, temos:

Pela Regra da Cadeia, temos ddx

h x h x h x( ) = − ( ) ⋅ ′( )− −1 2.

Logo,

Desse modo, a derivada do quociente de duas funções deriváveis, sendo não nula a função

do denominador, é dada por:

13.19

• ExEmplo 8:Dada f x x

x( ) =

4

sen , vamos calcular sua derivada.

Fazendo

g(x) = x4 ⇒ gʹ(x) = 4x3

e

h(x) = sen x ⇒ hʹ(x) = cos x

utilizando a expressão para a derivada do quociente,

f x g xh x

g x h x( ) = ( ) ⋅ ( )= ( ) ⋅ ( )

−1 1

′( ) = ( ) = ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) − −

f x dfdx

x dgdx

x h x g x ddx

h x1 1

′( ) = ′( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ −( ) ⋅ ( ) ⋅ ′( ) =

=′( )

− −f x g x h x g x h x h x

g xh x

1 21

(( )−

( ) ⋅ ′( )( )

=′( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ′( )

( )

g x h x

h x

g x h x g x h x

h x2 2

gh

x ddx

g xh x

g x h x g x h x

h x

′( ) = ( )

( )

=

′( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ′( )( )

2

gh

xg x h x g x h x

h x

′( ) =

′( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ′( )( )

2

289



temos:

• ExEmplo 9:Vamos encontrar a derivada de tg sen

x x

x=

cos em todo ponto em que o denominador não seja

zero.Fazendo

g(x) = sen x ⇒ gʹ(x) = cos x

e

h(x) = cos x ⇒ hʹ(x) = −sen x


temos:

• ExEmplo 10:Vamos encontrar a derivada de sec

cosx

x=

1 em todo ponto em que o denominador não seja

zero.Fazendo

g(x) = 1 ⇒ gʹ(x) = 0

e

h(x) = cos x ⇒ hʹ(x) = −sen x


temos:

′( ) =

′=

⋅ − ⋅f x xx

x x x xx

4 3 4

2

4sen

sen cossen

gh

xg x h x g x h x

h x

′( ) =

′( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ′( )( )

2

tg sencos

cos cos sen sencos

cos sx xx

x x x xx

x( )′ =

′=

⋅ − ⋅ −( )=

+2

2 eencos cos

sec2

2 221x

x xx= =

gh

xg x h x g x h x

h x

′( ) =

′( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ′( )( )

2

1 0 1 12 2cos

cos sencos

sencos

sencos cx

x xx

xx

xx

′=

⋅ ( ) − ⋅ −( )= = ⋅

oostg sec

xx x= ⋅

290



13.6 Derivada de y = xα, onde α ∈ Em Derivadas das Funções Simples, encontramos a derivada de y = xn, quando n é um

número inteiro.

O caso presente de

13.20

envolve um expoente real, podendo ser racional ou irracional, e a questão de encontrar sua

derivada será resolvida examinando essa função como a composição de duas outras.

De fato, podemos escrever

13.21

uma vez que a função exponencial de base e e a função logarítmica de base e são funções inversas.

Assim, utilizando a propriedade dos logaritmos, ainda podemos escrever

E agora, encontramos a derivada da função com o auxílio da regra da cadeia:

13.22

É importante notar que a expressão encontrada para a derivada de y = xα, onde α ∈ ,

engloba o caso já analisado quando o expoente é um número inteiro.

• ExEmplo 11:Encontrar a derivada de

a. y x=3

4

b. y x= 2

y x= α

y x e x= =α αln

y x e ex x= = =α ααln ln

′ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ −y ex

xx

xxα α αα α αln 1 1 1

a derivada da exponencial de base e

a derivada do logaritmo

de base e

291



Em ambos os casos, basta aplicar 13.22, obtendo:

a. ′ =−

y x34

14

b. ′ = −y x2 2 1

• ExEmplo 12:Este exemplo merece atenção: se y = x2 + 2x, sua derivada, que é a derivada de uma soma de funções, é obtida pela aplicação de duas propriedades diferentes, uma para cada uma das parcelas:

uma vez que, para derivar f ( x) = 2x, utilizamos o raciocínio anterior, isto é,

e, daí,

• ExEmplo 13:Analogamente, a derivada de y = xπ + πx é:

• ExEmplo 14:Tudo o que foi desenvolvido até aqui nos permite encontrar a derivada de

A(x) = f ( x)g(x)

O domínio da função A é constituído pelos números reais tais que f ( x) > 0.Podemos escrever então

e, portanto,

ou seja,

′ = + ⋅y x x2 2 2ln

f x e ex xx( ) = = =2 2 2ln ln

′( ) = ⋅ = ⋅f x ex xln ln ln2 2 2 2

′ = + ⋅−y x xπ π ππ 1 ln

A x f x eg x g x f x( ) = ( ) =( ) ( )⋅ ( )ln

′( ) = ⋅ ′( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )⋅ ′( )

( )⋅ ( )A x e g x f x g xf x

f xg x f xln ln 1

′( ) = ( ) ⋅ ′( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅′( )( )

( )A x f x g x f x g xf xf x

g x ln

292



13.7 Derivada da função inversaSeja z uma função de x relacionada a outra função y = f ( x) pela expressão:

13.23

Assim, z = F ( f ( x)) é comumente denominada função de uma função da variável de x.

Ela foi definida anteriormente como a função composta

13.24

onde supomos que as funções z = F(y) e y = f(x) são ambas deriváveis em seus domínios.

Denotando os acréscimos infinitamente pequenos por Δx, Δy e Δz, então, a taxa de variação

média de z, com relação a x, é dada por:

13.25

Quando Δx → 0, temos Δy → 0 e, portanto,

13.26

e, portanto, vale a relação:

13.27

com a ressalva análoga observada em 13.16.

Se a função f for a função inversa de F, isto é,

13.28

ou seja,

z F y= ( )

z F y=

∆∆

=+ ∆( ) − ( )∆

=+ ∆( ) − ( )∆

∆∆

zx

F y y F yx

F y y F yy

yx

dzdx

xF y y F y

yf x x f x

xy x( ) = + ∆( ) − ( )

∆⋅

+ ∆( ) − ( )∆∆ → ∆ →

lim lim0 0

′( ) = ′( ) ⋅ ′( ) = ′ ( )( ) ⋅ ′( )z x F y y x F f x f x

F f = Id

293



13.29

de onde f = F −1 e, de 13.27, segue-se que

13.30

Inferimos, pois, que a derivada da função inversa F −1 é dada, em termos da derivada da

função F, como:

13.31

Com a ajuda da expressão 13.31, podemos facilmente determinar a derivada da função

inversa de uma dada função. Consideremos o caso das funções simples y = Ax, y = arcsen x e

y = arccos x, as quais podem ser obtidas a partir das derivadas das funções y = logAx, y = sen x

e y = cos x.

Em O Teorema do Valor Médio e Aplicações das Derivadas, faremos uso da expressão

13.31 para encontrar as derivadas de funções simples a partir das derivadas das funções inversas.

• ExEmplo 15:Consideremos a função f ( x) = x2 com domínio D e imagem I dados por:

D =

I = +

Nesse caso, f não admite inversa. Entretanto, considerando uma restrição do domínio, podemos definir, por exemplo, a função

De y = x2 obtemos x = y , isto é:

é a função inversa de f +.Pelo que vimos em 13.22, já sabemos que a derivada de g é:

F f x F f x x x( )( ) = ( )( ) = ( ) =Id

dFdf

f x dfdx

x dFdf

f x dFdx

x( )( ) ⋅ ( ) = ( )( ) ⋅ ( ) =−1

1

dF xdx

dFdf

f x− −( )

= ( )

1 1

fx x

+ ∗+

∗+→:� �

� 2

g y y( ) =

′( ) = =−g y yy

12

12

12

294



Vamos determinar a derivada de g utilizando o que vimos a respeito da derivada da função inversa.Temos, pelo teorema demonstrado,

ou seja,

pois x = y , como queríamos mostrar.

• ExEmplo 16:As funções

y = f ( x) logAx (A > 0, A ≠ 1)

e

x = g(y) = Ay (A > 0, A ≠ 1)

são inversas uma da outra. Em Derivadas das Funções Simples, vimos como encontrar a derivada de cada uma delas.Agora, sabendo, por exemplo, que

gʹ(y) = A y.ln A

podemos encontrar a derivada da inversa f utilizando o fato de que

• ExEmplo 17:Consideremos a função g(y) = sen y, que não é inversível em seu domínio.

Considerando a restrição de g ao intervalo D = −

π π2 2

, , podemos definir a função inversa

y = g−1(x) = f ( x) = arcsen x

(que se lê: “arco-seno x”)

Temos:

Assim:

′( ) =′( )

g yf x

1

′( ) =′( )

= =g yf x x y

1 12

12

′( ) =′( )

=⋅

=f xg y A A x Ay

1 1 1ln ln

x g y y= ( ) = sen

′( ) = = − = −g y y y xcos sen1 12 2

′( ) =′( )

=−

f xg y x

1 11 2

295



É importante observar que a função arcsen tem como domínio o intervalo fechado D = −

π π2 2

, , mas é derivável somente no intervalo aberto de mesmas extremidades.Assim,

13.8 Diferencial de uma função de uma variável real

Seja y = f ( x) uma função da variável independente x. Seja ainda ∆x0 uma quantidade não

necessariamente infinitesimal, mas ∆x0 uma quantidade finita.

Considerando

13.32

onde agora α é uma quantidade infinitamente pequena, teremos que a taxa de variação média

será dada por:

13.33

de onde concluímos que

13.34

Definimos a diferencial da função y = f ( x) como:

13.35

Indicamos, de acordo com a notação acima, essa diferencial com o caractere d. Assim, escre-

vemos para tal quantidade

13.36

ddx

x xx

xarcsen arcsen( ) = ( )′ =−

− < <1

11 1

2 para

∆ = ∆x xα 0

f x x f xx

f x x f xx

+ ∆( ) − ( )∆

=+ ∆( ) − ( )

∆αα

0

0

f x x f x f x x f xx

x+ ∆( ) − ( )

=+∆( ) − ( )∆

⋅∆αα

00

df xf x x f x( ) = + ∆( ) − ( )

→limα

αα0

0

dy ou df ( x)

296



É fácil obter o valor da diferencial se conhecemos a função yʹ = f ʹ(x). De fato, tomando o

limite em ambos os membros da equação 13.33, encontraremos:

13.37

ou seja,

13.38

No caso particular em que f ( x) = x, a equação 13.38 se reduz a

13.39

Assim, a diferencial da variável independente x nada mais é do que a constante finita ∆x0.

Tendo em vista 13.39, que identifica ∆x0 como a diferencial da função identidade, o lado

direito da equação 13.38 pode ser escrito como o produto

13.40

ou, analogamente,

13.41

• ExEmplo 18:Vamos encontrar o valor aproximado de ln (1,004).Nesse caso, temos a função y = f ( x) = ln x, o valor inicial x = 1 e o acréscimo ∆x = 0,004.Temos, então, ∆y = ln 1,004 − ln 1 = ln 1,004

e, como dy = f ʹ(x).∆x, sendo ′( ) =f xx1

, para x = 1, temos:

dy = 0,004

Logo, ∆y pode ser aproximado por 0,004, ou seja,

ln(1,004) ≅ 0,004

lim limα

αα→ ∆ →

+ ∆( ) − ( )=

+ ∆( ) − ( )∆

∆0

0

0 0

f x x f x f x x f xx

xx

df x f x x( ) = ′( ) ⋅∆ 0

dx = ∆x0

df x f x dx( ) = ′( )

dy = yʹdx

297



• ExEmplo 19:Qual o valor aproximado de 4 0024, ?Agora temos a função y f x x= ( ) = , o valor inicial x = 4 e o acréscimo ∆x = 0,0024.

Então, ∆ = − = −y 4 0024 4 4 0024 2, , .

e, como dy = f ʹ(x).∆x, sendo ′( ) =f xx

12

, para x = 4, temos:

Logo, ∆y pode ser aproximado por 2,0006.

Assim, podemos entender a derivada como igual à razão entre a diferencial da função e a

diferencial da variável. Por essa razão, frequentemente, chamamos a função derivada de coe-

ficiente diferencial. Nesse contexto, diferenciar uma função é o mesmo que encontrar sua

diferencial. A operação pela qual se diferencia é chamada diferenciação.

A partir do cálculo das derivadas, podemos obter as diferenciais das funções. Assim, temos as

seguintes diferenciais:

13.42

13.43

13.44

13.45

13.46

Ainda poderíamos, é claro, mostrar que a diferencial da soma de duas funções diferen-

ciáveis é igual à soma das diferenciais dessas funções, bem como que a diferencial do produto

y(x) = u(x).v(x) de duas funções diferenciáveis u e v é dada pela relação: dy = udv + vdu.

Para verificar essa última afirmação, basta observar que:

dy = =0 0024

40 0006, ,

d a x dx d a x dx d ax adx+( ) = −( ) = − ( ) =, ,

d ax

a dxxdx ax dxa a

= − = −

21,

d e e dxx x( ) =

d x x dx x dxsen cos sen( ) = = +

π

2

d x x dx x dxcos sen cos( ) = − = +

π

2

dy y x u v uv x uv x vu x udv vdu= ′⋅∆ = ′ + ′( )∆ = ′∆ + ′∆ = +

298



No caso da composição de duas funções:

y = f ( u), u = u(x) e y = f ( u(x)),

temos que, como

13.47

então,

13.48

13.49

o que significa que a diferencial de uma função composta é expressa da mesma maneira como

se a variável intermediária u fosse uma variável independente.

• ExEmplo 20:

Seja y = ln x e vamos determinar sua diferencial dy.Temos:

y = f ( u) = ln u e u = u(x) = x

Então, ′( ) = ′( ) ⋅ ′( ) = ′( ) = ⋅y x f u u xuu x

x x1 1 1

2.

Logo,

dyx x

dx= ⋅1 1

2 ou dy

xd x= ( )1

• ExEmplo 21:No caso de y = cos x2, vamos determinar sua diferencial.De modo análogo, temos:

y = f ( u) = cos u e u = u(x) = x2

Então, ′( ) = ′( ) ⋅ ′( ) = − ⋅ ′( ) = − ⋅y x f u u x u u x x xsen sen 2 2 .Logo,

dy x xdx x d x= − ⋅ = − ⋅ ( )sen sen2 2 22

dydx

x y x f u u x( ) = ′( ) = ′( ) ⋅ ′( )

dy f u u x dx= ′( ) ⋅ ′( )

dy f u du= ′( )

299



13.9 As regras de L’HospitalVeremos aqui duas propriedades importantes para o cálculo de limites da forma

00 ou

+∞+∞,

que são ambas expressões indeterminadas. Muitas vezes, sabemos calcular limites desse tipo,

utilizando alguma técnica apropriada, como a fatoração do denominador e do numerador,

seguida da simplificação dos dois termos, ou a multiplicação de ambos os termos por algum

fator adequado, e assim por diante. Entretanto, há situações em que tais técnicas não resolvem o

problema. É o caso, por exemplo, dos limites: limlnx

xx→

−1

1 ou lim

x

xex→+∞ 10 .

Primeira regra de L’Hospital: Sejam f e g deriváveis num intervalo aberto I e seja a um

ponto de I e suponhamos que gʹ(x) ≠ 0 numa vizinhança de a, contida em I. Nessas condições,

se limx af x

→( ) = 0 e lim

x ag x

→( ) = 0 e se existe lim

x a

f xg x→

′( )′( )

, sendo finito ou infinito, então, limx a

f xg x→

( )( )

existirá e

13.50

É importante notar que a propriedade continua válida se, em lugar de x → a, tivermos x → ∞.

• ExEmplo 22:Seja o limite

Observamos que:

Portanto, temos que L1 é da forma 00, que é uma indeterminação.

Vejamos, então, se existe o limite:

lim limx a x a

f xg x

f xg x→ →

( )( )

=′( )′( )

L xxx1 0 2

13

=−

→lim cos

lim cos cos

limx

x

x

x→

→

−( ) = − = − =

( ) = ( ) =

0

0

2 2

1 0 1 1 1 0

3 3 0 0

L xxx2 0 2

13

=− ′′→

lim (cos )( )

300



Temos:

e

Assim:

(atenção para o limite fundamental).Como L2 existe, temos L1 = L2:

• ExEmplo 23:

O limite limlnx

xx→

−1

1 também é da forma

00.

Observamos que (x − 1)ʹ = 1 e que ln xx

( )′ = 1

e que lim ( )(ln )

lim limx x x

xx

x

x→ → →

− ′′= = =

1 1 1

1 11 1

logo, existe limlnx

xx→

−1

1 e lim

lnx

xx→

−=

1

1 1.

• ExEmplo 24:

lim lnsen( )x

xx→ −π π

2

22 também é da forma

00.

Observamos que

e que

e que lim (lnsen )[( ) ]

lim cotg( )x x

xx

xx→ →

′− ′

=− −π ππ π

2

2

22 4 2

ainda é da forma 00.

(cos ) senx x− ′ = −1

3 62x x( )′ =

Lx

x

xx

xx x x2 0 2 0 0

1

3 616

=−( )′

( )′=

−−

⋅→ → →

limcos

lim sen lim senxx

= −16

L xxx1 0 2

13

16

=−

= −→

lim cos

(lnsen )sen

cos cotgxx

x x′ = ⋅ =1

[( ) ]' ( ).( ) ( )π π π− = − − = − −2 2 2 2 4 22x x x

301



Mas, aplicando novamente a propriedade, temos:

(cotg x)ʹ = − cossec2 x

e

[−4(π − 2x)]ʹ = 8

e

Logo, existe

e existe lim lnsen( )x

xx→ −π π

2

22 e lim lnsen

( )x

xx→ −

= −π π2

2218

.

Segunda regra de L’Hospital: Sejam f e g deriváveis num intervalo aberto I e seja a um

ponto de I e suponhamos que gʹ(x) ≠ 0 numa vizinhança de a, contida em I. Nessas condições,

se lim ( )x af x

→= ∞ e lim ( )

x ag x

→= ∞ e se existe lim ( )

( )x a

f xg x→

′′

, sendo finito ou infinito, então, lim ( )( )x a

f xg x→

existirá e

13.51

É importante notar que a propriedade continua válida se, em lugar de x → a, tivermos x → ∞.

lim (cotg )[ ( )]

lim cossecx x

xx

x→ →

′− − ′

=−

= −π ππ2 2

2

4 2 818

lim (lnsen )[( ) ]

lim cotg( )x x

xx

xx→ →

′− ′

=− −

= −π ππ π2

2

22 4 2

18

lim ( )( )

lim ( )( )x a x a

f xg x

f xg x→ →

=′′

302



• ExEmplo 25:Vejamos o limite: lim ln tg

ln tgx

xx→0

35

que é da forma −∞−∞

.Observamos que

e que

e que

pois lim sensenx

xx→

=

0

53

53 (verifique!). Logo, existe lim ln tg

ln tgx

xx→0

35

e lim ln tgln tgx

xx→=

0

35

1.

• ExEmplo 26:

O limite limx

xex→+∞ 10 também é da forma

+∞+∞

.

Observamos que

(ex)ʹ = ex

e que

(x10)ʹ = 10.x9

e que

ainda é da forma +∞+∞

. Aplicando a regra de L’Hospital mais 9 vezes, chegaremos a

Logo, existe limx

xex→+∞ 10 e lim

x

xex→+∞

= +∞10 .

(ln tg )tg

secsen .cos

3 3 13

3 3 13 3

2xx

xx x

′ = ⋅ ⋅ = ⋅

(ln tg )tg

secsen .cos

5 5 15

5 5 15 5

2xx

xx x

′ = ⋅ ⋅ = ⋅

lim (ln tg )(ln tg )

lim sen .cos

sen .cos

lix x

xx

x x

x x→ →

′′= =

0 0

35

33 3

55 5

mm sen .cossen .cosx

x xx x→

⋅

=

0

35

5 53 3

1

lim ( )( )

limx

x

x

xex

ex→+∞ →+∞

′′=10 910

lim!x

xe→+∞

= +∞10

303



• ExEmplo 27:

O limite lim tgsecx

xx→

π2

é da forma +∞+∞

.

Observamos que

(tgx)ʹ = sec2x

e que

(secx)ʹ = tg.secx

e que lim (tg )(sec )

lim sectgx x

xx

xx→ →

′′=

π π2 2

ainda é da forma +∞+∞

.

Entretanto, não adianta aplicar novamente a regra de L’Hospital...Agora, esse limite é quase imediato, ao ser calculado diretamente!

Uma observação adicional: é importante saber que as regras de L’Hospital são úteis no sentido de que resolvem vários limites que satisfazem as hipóteses colo-cadas. Existe, porém, um “mas”... Vejamos a seguir!

lim tgsec

lim sencos

cos limsenx x x

xx

xx

x x→ → →

= ⋅

= =

π π π2 2 2

11

Agora é a sua vez...Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem e

realize a(s) atividade(s) proposta(s).



14O TEOREMA DO VALOR MÉDIO E APLICAÇÕES DAS DERIVADAS

14.1 Introdução14.2 O crescimento/decrescimento de uma função num intervalo

e os pontos de extremo14.3 A concavidade do gráfico de uma função num intervalo

contido em seu domínio e os pontos de inflexão14.4 O Teorema do Valor Médio14.5 Determinação dos pontos de máximo, mínimo e de inflexão14.6 Um estudo de caso: o gráfico de uma função14.7 Taxa de variação média e instantânea14.8 Geometria: a reta tangente a uma curva14.9 Determinação dos Pontos de Máximo, Mínimo e de Inflexão14.10 Cinemática: velocidade e aceleração

14.10.1 Velocidade14.10.2 Velocidade escalar14.10.3 Aceleração escalar

14.11 Dinâmica: A Lei de Newton14.12 Cinética química14.13 Tendências de mercado

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

307



14.1 IntroduçãoNa formulação newtoniana, as primeiras aplicações do cálculo diferencial eram voltadas

para a dinâmica. O problema de encontrar as tangentes das curvas se revestia de uma grande

relevância naquela época, e se transformou rapidamente numa importante aplicação do cálculo.

Hoje em dia, são muitas as aplicações do cálculo diferencial nas ciências, nas áreas tecnológicas

e em outras áreas do conhecimento. Podemos citar a cinética química, a física, a meteorologia,

a economia e a geometria, entre outras.

Em textos anteriores, quando foram introduzidas as primeiras ideias a respeito da derivada de

uma função de uma variável real, já foram apresentadas algumas aplicações do cálculo diferencial,

especificamente no que diz respeito à taxa de variação de uma grandeza em relação a outra, bem

como ao considerar a reta tangente num ponto de uma curva, que é o gráfico de uma função.

Antes de apresentar outras aplicações, vamos introduzir um importante teorema do cálculo

diferencial, que é o Teorema do Valor Médio e que permitirá entender o comportamento

de uma função que é derivável e, portanto, contínua em seu domínio.

14.2 O crescimento/decrescimento de uma função num intervalo e os pontos de extremo

Em primeiro lugar, vamos retomar os conceitos de função estritamente crescente ou estri-

tamente decrescente num intervalo a fim de fixar tal nomenclatura.

308

14 O Teorema do Valor Médio e Aplicações das Derivadas


Analogamente, temos:

Definição: Uma função f é dita estritamente crescente num intervalo I quando, para quaisquer x1 e x2, com x1 < x2, temos f ( x1) < f ( x2).

Gráfico 14.1: a) A função exponencial f ( x) = ex é uma função estritamente crescente em seu domínio, bem como b) a função logarítmica g(x) = ln x também é estritamente crescente em seu domínio.

ba

Definição: Uma função f é dita estritamente decrescente num intervalo I quando, para quaisquer x1 e x2, com x1 < x2, temos f ( x1) > f ( x2).

Gráfico 14.2: a) A função exponencial f ( x) = e−x é uma função estritamente decrescente em seu domínio, bem como b) a função logarítmica g(x) = ln(−x) também é estritamente decrescente em seu domínio.

ba

309



Uma função pode ser estritamente crescente num intervalo e estritamente decrescente em

outro, como é o caso, por exemplo, das funções trigonométricas y = sen x ou y = cos x.

Vale observar que nem sempre existe algum ponto de máximo ou de mínimo e, quando

existe, não necessariamente é único. As funções dos Gráficos 14.1 e 14.2 não têm ponto de

máximo ou de mínimo. As funções trigonométricas y = sen x ou y = cos x possuem infinitos

pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.

O ponto x0 é um ponto de máximo global quando f(x) ≤ f(x0) para todo x pertencente

ao domínio da função. Analogamente, o ponto x0 é um ponto de mínimo global quando

f (x) ≥ f (x0) para todo x do domínio.

Outro conceito importante no estudo da variação de uma grandeza é o de ponto de extremo num intervalo contido no domínio.

Definição: Seja I um intervalo aberto, tal que I ⊂ Dom f, e seja x0 ∈ I. Dizemos que x0 é um ponto de máximo local para f quando existe uma vizinhança V de x0 tal que f ( x) ≤ f ( x0), para todo x em V. Analogamente, x0 é um ponto de mínimo local para f quando existe uma vizinhança V de x0 tal que f(x) ≥ f(x0), para todo x em V.

Gráfico 14.3: A função f ( x) = x2 − 2 possui um ponto de mínimo local em seu domínio, que é o ponto (0, −2) e esse ponto é também o ponto de mínimo global.

Gráfico 14.4: O ponto (−3, −2) é um ponto de máximo local para f ( x) = −(x + 3)2 − 2 e esse ponto é também o ponto de máximo global.

310



Temos ainda a seguinte propriedade: sendo f uma função contínua com um máximo

ou um mínimo local num ponto x0, no qual f é derivável, então, f ʹ(x0) = 0, isto é, x0 é um

ponto crítico para f, ou seja, a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f (x0)) é horizontal.

Convém observar, porém, que o fato de a derivada ser nula num ponto não garante que esse

ponto seja um ponto de extremo. É o caso da função f ( x) = x3, por exemplo, cuja derivada se

anula na origem, mas esse ponto não é nem de máximo nem de mínimo.

14.3 A concavidade do gráfico de uma função num intervalo contido em seu domínio e os pontos de inflexão

A fim de introduzir o conceito de concavidade do gráfico de uma função, consideremos f uma função derivável num intervalo aberto e seja x0 um ponto desse intervalo. Lembramos que

a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f ( x0)) tem a seguinte equação:

Gráfico 14.5: A função f ( x) = x(x − 1)(x − 3) possui um ponto de máximo local no intervalo [0, 1] e um ponto de mínimo local no intervalo [1, 3]. Não tem ponto de máximo global, nem ponto de mínimo global.

y f x f x x x− ( ) = ′( ) ⋅ −( )0 0 0

311



Isso significa que a reta tangente pode ser vista como o gráfico de uma função polinomial

de primeiro grau T, assim definida:

T x f x f x x x( ) = ( ) + ′( ) ⋅ −( )0 0 0

Definição: Dizemos que o gráfico de f tem concavidade para cima no intervalo aberto I quando f ( x) > T(x) para todos x e x0 em I, sendo x ≠ x0.

Gráfico 14.6: O gráfico da função f xxx( ) = +

1,

no intervalo 12

5,

, apresenta concavidade voltada

para cima.

Definição: Dizemos que o gráfico de f tem concavidade para baixo no intervalo aberto I quando f ( x) < T(x) para todos x e x0 em I, sendo x ≠ x0.

Observação análoga à de cima.

Gráfico 14.7: O gráfico da função g xx

x( ) = − − +1 2 2,

no intervalo 12

5,

, apresenta concavidade voltada para baixo.

312



Evidentemente, o gráfico de uma função pode apresentar concavidade para baixo em algum

intervalo do domínio e concavidade para cima em outro intervalo, havendo, portanto, um ou

mais pontos de mudança de concavidade.

Gráfico 14.8: No gráfico de y = sen x, podemos observar que, nos intervalos do tipo [2kπ, (2k + 1)π, k ∈ , a concavidade do gráfico é para baixo, ao passo que, nos intervalos do tipo [(2k + 1)π, 2kπ], k ∈ , a concavidade do gráfico é para cima.

Definição: Seja f uma função contínua e x0 um ponto do domínio. O ponto x0 é denominado um ponto de inflexão de f quando nele ocorre mudança de concavidade do gráfico.

Gráfico 14.9: a) O gráfico da função f x x x x( ) = − −( ) −( )110

2 6 , definida no intervalo [0, 6], possui um ponto de

inflexão em x = 8/3;

b) o gráfico da função g xx x

x x( ) =

−( ) ≤ ≤

− −( ) < ≤

2 0 2

4 4 2 4

2

2

se

se , definida no intervalo [0, 4], também possui um ponto de

inflexão em x = 2.

ba

313



Numa linguagem mais simples, podemos dizer que:

• Se o gráfico de uma função f se situar acima das retas tangentes, cada uma traçada em um

ponto da curva num intervalo I, para todo ponto de I, dizemos que sua concavidade é

positiva ou que a curva é côncava nesse intervalo, ou ainda que ela é côncava para cima em I. • Se, por outro lado, a curva estiver sempre abaixo das retas tangentes, cada uma traçada

em um ponto da curva no intervalo considerado, para todo ponto pertencente a esse

intervalo, dizemos que a concavidade da curva é negativa, ou que, nesse intervalo, ela é

convexa, ou ainda que ela é côncava para baixo em I.

14.4 O Teorema do Valor MédioO Teorema do Valor Médio (TVM), como já foi anunciado, é de grande importância no

Cálculo Diferencial e permitirá que se relacione o sinal da derivada de uma função com seu

crescimento ou decrescimento em determinado intervalo, bem como que se relacione o sinal

da derivada segunda com a concavidade do gráfico da função.

A demonstração desse teorema pode ser encontrada em textos específicos de Cálculo e não

será apresentada aqui. Entretanto, é conveniente observar no Gráfico 14.10 uma situação em

que se aplica o TVM. A função considerada é f ( x) = x(x + 2)(x − 3) no intervalo [−3, 4].

Observamos que a reta que passa pelos pontos (−3, −18) e (4, 24), extremidades do gráfico de

f, é a reta de equação y = 6x. (Verifique!)

Uma vez que f ʹ(x) = 3x2 − 2x − 6, podemos determinar os pontos do gráfico de f em que

a reta tangente tem coeficiente angular 6, isto é, é paralela à reta y = 6x.

Teorema

Se f é uma função contínua num intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[ , então existe c pertencente a ]a, b[ tal que a reta tangente ao gráfico de f traçada pelo ponto (c, f ( c)) é paralela à reta que passa por (a, f ( a)) e (b, f ( b)),

isto é, ′( ) = ( ) − ( )−

f cf b f ab a

.

314



Efetuando 3x2 − 2x − 6 = 6, encontramos:

que são os possíveis valores de c mencionado no

TVM, pertencentes ao intervalo ]−3, 4[. Sendo

assim, a reta tangente ao gráfico de f que passa

pelo ponto 1 37

31 37

3+ +

, f é paralela à

reta tangente ao gráfico de f que passa pelo ponto

1 373

1 373

− −

, f e ambas têm coeficiente

angular igual a 6.

Observemos agora uma primeira consequência do TVM, que relaciona o sinal da primeira

derivada da função com o seu crescimento/decrescimento.

1. Seja f uma função contínua num intervalo I, derivável no interior de I:a. Se f ʹ(x) > 0 para todo x interior a I, então, f será estritamente crescente em I.b. Se f ʹ(x) < 0 para todo x interior a I, então, f será estritamente decrescente em I.

a. De fato, basta verificar que, quaisquer que sejam x1 e x2 em I, com x1 < x2,

temos f (x1) < f (x2).Como f é contínua em I e derivável no interior de I, pelo TVM, existe c ∈ ]x1, x2[ tal que

′ ( ) = ( ) − ( )−

f cf x f xx x2 1

2 1

. Logo, como f ʹ(c) > 0, temos: f x f xx x2 1

2 1

0( ) − ( )

−> e, como x1 < x2,

temos x2 − x1 > 0 e, portanto, f ( x2) − f ( x1) > 0, isto é f ( x2) > f ( x1).b. A argumentação, nesse caso, é análoga.

Gráfico 14.10: O gráfico da função f ( x) = x(x + 2)(x − 3) no intervalo [−3, 4].

x = +1 373

ou x = −1 373

É importante observar que o TVM não garante a unicidade do ponto c, mas apenas a existência. No caso da função apresentada no Gráfico 14.10, foram dois desses pontos.

315



Exemplos

• ExEmplo 1:Vamos encontrar os intervalos de crescimento/decrescimento da função:

→ REsolução:Em primeiro lugar, Dom f = −∞

∪ −

∪ +∞

22

22

22

22

, , .

Vamos determinar a derivada de f e estudar o seu sinal.Temos:

Uma vez que o denominador é sempre positivo, o sinal de f ʹ depende apenas do sinal do numerador. Como o trinômio do numerador também é sempre positivo (verifique!), o sinal de f ʹ é sempre positivo em todo o domínio.Logo, a função f é estritamente crescente em cada subintervalo do domínio. Uma observação impor-tante é a de não podemos simplesmente afirmar que a função é estritamente crescente, pois isso é falso!

f x x xx

( ) = +−

2

21 2

′ ( ) =+( ) −( ) − +( ) −( )

−( )=

+ +

−( )f x

x x x x x

x

x x

x

2 1 1 2 4

1 2

2 2 1

1 2

2 2

2 2

2

2 2

Gráfico 14.11: O gráfico de

f x x xx

( ) = +−

2

21 2.

316



• ExEmplo 2:Vamos encontrar os intervalos de crescimento/decrescimento da função:

→ REsolução:O domínio da função é: Dom f = , pois o denominador nunca se anula.Como

observamos que o denominador nunca se anula e o sinal de fʹ depende apenas do sinal do numerador. Uma vez que f ʹ(x) = 0 para x = 1, temos:• para x < 1, f ʹ(x) > 0; logo, f é estritamente crescente nesse intervalo;• e para x > 1, f ʹ(x) < 0; logo, f é estritamente decrescente nesse intervalo.Consequentemente, x = 1 é um ponto de máximo local para f, que também é global.Podemos observar esses fatos no gráfico de f :

f x xex

( ) =

′ ( ) = − ⋅=

−( )=

−( )f x e x e

ee xe

xe

x x

x

x

x x2 2

1 1

Gráfico 14.12: O gráfico de f x xex

( ) = .

317



Uma segunda consequência do TVM relaciona o sinal da segunda derivada da função com

a concavidade de seu gráfico.

2. Seja f uma função derivável pelo menos até segunda ordem num intervalo aberto I. a. Se fʺ(x) > 0 em I, então, o gráfico de f terá concavidade para cima em I.b. Se fʺ(x) < 0 em I, então, o gráfico de f terá concavidade para baixo em I.

a. De fato, basta verificar que, quaisquer que sejam x1 e x2 em I, com x1 < x2, temos

f ʹ(x1) < fʹ(x2) e, portanto, a concavidade do gráfico é para cima.

Como f ʹ é contínua em I e derivável no interior de I, pelo TVM, existe c ∈ ]x1, x2[ tal que

′′ =′ − ′

−f c f x f x

x x( ) ( ) ( )2 1

2 1

. Logo, como fʺ(c) > 0, temos: ′ − ′

−>

f x f xx x

( ) ( )2 1

2 1

0 e, como x1 < x2,

temos x2 − x1 > 0 e, portanto, f ʹ(x2) − fʹ(x1) > 0, isto é, f ʹ(x2) > fʹ(x1).

b. A argumentação, nesse caso, é análoga.

• ExEmplo 3:Vamos estudar a concavidade do gráfico de f x x

ex( ) = .

Já vimos que o domínio da função é: Dom f = , pois o denominador nunca se anula.Como

temos que a derivada segunda de f é dada por:

Observamos que o denominador nunca se anula e o sinal de fʺ depende apenas do sinal do nume-rador. Uma vez que fʺ(x) = 0 para x = 2, temos:• para x < 2, fʺ(x) < 0; logo, f ʹ é estritamente decrescente nesse intervalo e a concavidade do

gráfico é voltada para baixo;• e para x > 2, fʺ(x) > 0; logo, f ʹ é estritamente crescente nesse intervalo e a concavidade do gráfico

é voltada para cima.Consequentemente, x = 2 é um ponto de inflexão para f, pois nele ocorre mudança de concavidade no gráfico.Podemos observar tais fatos no gráfico de f (Gráfico 14.12).

′ =−

=−

=−f x e x e

ee xe

xe

x x

x

x

x x( ) . ( ) ( )2 2

1 1

′′ =− − −

=− +

=−f x e x e

ee x ee

xe

x x

x

x x

x x( ) ( ) . ( )1 2 22 2

318



14.5 Determinação dos pontos de máximo, mínimo e de inflexão

Como vimos, nos pontos de máximo ou de mínimo locais, a taxa de variação pontual, ou

instantânea quando for o caso, se anula. Assim, nesses casos, para o valor x0 da variável indepen-

dente, a derivada da função f ( x) se anula:

ou seja, tais pontos são pontos críticos para a função f. A partir de tudo o que foi desenvolvido neste texto, para decidir de que tipo é o ponto

crítico, podemos recorrer à análise da derivada segunda calculada em x = x0.

Considerando-se, pois, o sinal da derivada segunda nesse ponto, temos as possibilidades:

a. Se a derivada segunda no ponto for positiva, isto é, se:

então, o ponto de coordenadas (x0, f ( x0)) é um mínimo local da função f ( x).b. No caso em que a derivada segunda da função no ponto for negativa, isto é, se:

então, o ponto de coordenadas (x0, f ( x0)) é um máximo local da função f ( x).Agora, se x = x0 for um ponto crítico e também for um ponto de inflexão, temos:

Essa condição, porém, não é suficiente, pois, por exemplo, no caso de

f ( x) = x4

df xdx x x

( )=

= 0

0

d f xdx

f xx x

2

2 0

0

0( ) ( ) ,=

= ′′ >

d f xdx

f xx x

2

2 0

0

0( ) ( )=

= ′′ <

d f xdx

f xx x

2

2 0

0

0( ) ( )=

= ′′ =

319



temos

f ʹ(x) = 4x3

e, portanto x = 0 é ponto crítico da f.Temos também

fʺ(x) = 12x2

que se anula em x = 0, mas (0, f ( 0)) = (0, 0) não é ponto de inflexão.

14.6 Um estudo de caso: o gráfico de uma funçãoTodos os conceitos que foram apresentados e os resultados que foram construídos nos per-

mitem estudar o comportamento de uma função em seu domínio e elaborar o seu gráfico.

Vamos fazer isso para o caso da função f x xx

( ) ln= .

i. Domínio

Nesse caso, temos Dom f = *+

ii. Intersecções com os eixos

Como x > 0, não há intersecção com o eixo y.

Por outro lado, y = 0 ⇔ x = 1; portanto, o gráfico intercepta o eixo x no ponto x = 1.

iii. A primeira derivada

Como f x xx

( ) ln= , temos ′ =

−f x xx

( ) ln12 e Dom f ʹ = *

+.

iv. Pontos críticos da função, ou seja, pontos que anulam a primeira derivada

Temos: f ʹ(x) = 0 ⇔ 1 − ln x = 0 ⇔ x = e.

Logo, no ponto ( , ( )) ,e f e ee

=

1 a reta tangente ao gráfico é horizontal.

v. Estudo do sinal da primeira derivada

• 0 < x < e: f ʹ(x) > 0 e, portanto, f é estritamente crescente

• x > e: f ʹ(x) < 0 e, portanto, f é estritamente decrescente

320



Logo, x = e é um ponto de máximo local e, como é o único ponto critico, é também o

ponto de máximo global.

vi. A segunda derivada

Como ′ =−f x xx

( ) ln12 , temos ′′ =

− +f x xx

( ) ln3 23 e Dom fʺ = *

+.

vii. Pontos que anulam a segunda derivada ou pontos críticos da primeira derivada

Temos: ′′ = ⇔ − + = ⇔ =f x x x e( ) ln0 3 2 03

2.

viii. Estudo do sinal da segunda derivada

• 0 < x < e3

2: fʺ(x) < 0 e, portanto, f ʹ é estritamente decrescente e f é côncava para baixo

• x > e3

2: fʺ(x) > 0 e, portanto, f ʹ é estritamente crescente e f é côncava para cima

Logo, x = e3

2 é um ponto de inflexão, pois nele ocorre mudança de concavidade. Temos que

ix. Limites nas extremidades dos intervalos que constituem o domínio da função

• lim lnx

xx→ +

= −∞0

, uma vez que lim lnx

x→ +

= −∞0

e limx x→ +

= +∞0

1.

• lim ln lim limx x x

xx

xx→+∞ →+∞ →+∞

= = =1

11 0, pois, no limite inicial, o numerador e o denominador

tendem a +∞, sendo então possível aplicar L'Hospital.

x. O gráfico de f x xx

( ) ln=

Colocando todas as informações coletadas num sistema cartesiano, temos finalmente o

Gráfico 14.13.

f e e3

23

232( ) = −

Gráfico 14.13: O gráfico da função f x xx

( ) ln= no qual

podemos observar o ponto ee

, 1

, que é o ponto de

máximo global, e o ponto de inflexão: e e3

23

232

,−

.

321



A seguir, vamos apresentar aplicações do Cálculo Diferencial nas ciências. Algumas já foram

vistas no decorrer do desenvolvimento em textos anteriores e serão apenas retomadas; outras

ampliam o contexto considerado, mostrando a potência do Cálculo.

14.7 Taxa de variação média e instantâneaSe uma grandeza física variar com o

tempo, podemos definir duas taxas de

variação: a média e a instantânea. Para

entender isso, consideremos a taxa de

variação de um índice como o Índice

Bovespa. Representaremos tal índice

pela letra I. Num dia típico, o índice Bovespa

pode variar aproximadamente de

acordo com o gráfico da Figura 14.1.

Podemos estar interessados na taxa de variação entre dois instantes de tempo. Assim, imagi-

nemos que, no instante de tempo t1, o índice seja I1, ou seja, I1 = I(t1). Imaginemos que no ins-

tante t2, admitido posterior a t1, o índice seja I2, onde I2 = I(t2). Assim, no intervalo de tempo

Δt, dado por Δt = t2 – t1, houve uma variação do Índice Bovespa dado por ΔI = I(t2) – I(t1).Definimos a taxa de variação média como o quociente entre a variação do índice ΔI e

o intervalo de tempo decorrido Δt:

14.1

No entanto, muitas vezes, para fins de tomada de posição em relação a comprar ou vender

ações, é mais importante saber a taxa de variação num determinado instante de tempo. Tal

grandeza recebe o nome de taxa de variação instantânea. Para defini-la, introduzimos um

conceito muito importante na matemática, que é o conceito de limite.

Observemos primeiramente que a taxa de variação média é definida tomando-se dois ins-

tantes de tempo. A taxa de variação instantânea deverá ser definida num determinado instante

Figura 14.1: Exemplo da variação do índice Bovespa.

taxa de variação média = It

∆∆

322



de tempo. Assim, para defini-la, recorremos ao artifício de tomarmos intervalos de tempo Δt cada vez menores. Portanto, estaremos falando, ao tomar o limite no qual o intervalo de tempo

Δt tende a zero, de um só instante de tempo. Definimos, portanto, a taxa de variação instantânea

através do processo limite:

14.2

• ExEmplo 4:Um tanque tem 500 litros de água; por meio de uma torneira mal fechada, a água começa a escoar. O Gráfico 14.14 ilustra a variação do volume de água com o tempo.a. Calcule a taxa de variação média do volume no inter-

valo Δt compreendido desde t = 0 até t = 10 min.b. Idem, para o intervalo t = 10 min até t = 60 min.

→ REsolução:A taxa de variação média do volume é determinada pela razão entre a variação de volume ΔV que

ocorre num determinado intervalo de tempo Δt. Vamos denominar essa razão pela letra grega “fi”

maiúscula; logo: Φmédia =∆∆Vt

. A respectiva unidade de medida será: unidUnidUnidmédiaΦ( ) = ∆( )

∆( )Vt

.

No SI (Sistema Internacional de Unidades), ΔV é expresso em m³ e Δt , em s; logo, (Фmédia) será expresso em m³/s = m³.s−1. No caso presente, o volume é expresso em litros e o intervalo de tempo em minutos; nesses termos → Unid(Фmédia) = litros/minuto. Vamos às respostas:

a. Φmédia

litrosminutos

l=∆∆

=−−

=−( )−( )

= −Vt

V Vt t10 0

10 0

350 50010 0

15 iitros minuto . O sinal negativo significa que

o volume de água contido no tanque diminui, em média, à razão de 15 litros por minuto.

b. Φmédia

litrosminutos

=∆∆

=−−

=−( )−( )

= −Vt

V Vt t60 10

60 10

150 35060 10

44 litros minuto

taxa de variação instantânea =lim∆ →

∆∆t

It0

Gráfico 14.14: A variação do volume da água no tanque.

323



14.8 Geometria: a reta tangente a uma curvaEsse é um problema clássico da geometria. Assim, a busca

por encontrar uma forma de se determinar a reta tangente

a uma curva num ponto é resolvida com a descoberta do

cálculo diferencial.

Se a curva for representada no plano cartesiano pelo gráfico

de uma função y = f ( x), temos:

14.3

onde θ0 é o ângulo formado pela reta tangente à curva no ponto

cuja abcissa é x0 e o eixo x. Por exemplo, se quisermos deter-

minar o coeficiente angular da reta tangente à circunferência

de raio R e centro na origem (0,0), num ponto como aquele

indicado na Figura 14.2a, devemos começar com a função:

14.4

que descreve a semicircunferência superior. A deri-

vada da função é dada por:

14.5

e, portanto, num ponto da circunferência para o

qual a coordenada x = x0, a inclinação

14.6

que é o coeficiente angular procurado. Verifique para

o caso dos pontos da semicircunferência inferior.

Figura 14.2: (a) Reta tangente à circunferência num ponto e (b) retas tangentes em diferentes pontos de uma circunferência.

a

b

b

a

Gráfico 14.15: (a) Reta tangente a uma curva; (b) A tangente como posição limite das secantes.

tg θ0

0

=( )

=

df xdx x x

y R x= −2 2

dydx

xR x

=−

−2 2

tg θ0 2 20

20

20

=−

−=

−

−=

xR x

xR xx x

,

324



Assim, no caso do ponto de coordenadas

14.7

isto é, quando x R0 2= , o ângulo é dado por:

14.8

e o coeficiente angular da reta tangente é: −1

3.

• ExEmplo 5:Consideremos o problema de determinação do coeficiente angular da reta tangente por um ponto da curva que é o gráfico de y = cos x.

→ REsolução:Escrevemos:

y(x) = cos x

Nesse caso,

Assim, no ponto em que x = 0, o coeficiente angular à reta tangente ao gráfico de y = cos x é nulo e o ângulo de inclinação da reta é de 0°. Veja o Gráfico 14.16a. No ponto em que x = π/2:

tgθ0 = −1

isto é, θ0 = 135° (veja Gráfico 14.16b). Para x = (3π)/2, por outro lado, a reta tangente à curva forma um ângulo de 45° com a horizontal (veja Gráfico 14.16c).

x y R R, ,( ) =

2

32

tg θ θ0 013

150=−

⇒ = °

tg θ0 0

0

0=

( )= − = −

==

d xdx

x xx x

x x

cossen sen

Gráfico 14.16: a) reta tangente ao gráfico de y = cos x no ponto em que x = 0 b) reta tangente ao gráfico de y = cos x no ponto em que x = π/2 c) reta tangente ao gráfico de y = cos x no ponto em que x = 3π/2.

a bc

325



• ExEmplo 6:Consideremos agora o problema de determinar a tangente à parábola, pelo ponto da curva cuja abscissa é dada por x = x0.

→ REsolução:Considerando-se a forma mais geral da parábola, temos:

Por exemplo, no caso da posição dada em metros, dependente do tempo (em segundos) como um polinômio de segundo grau da forma:

o gráfico tem uma inclinação que em cada instante de tempo t = t0 varia de acordo com:

Assim, a reta tangente à curva no instante t = 1 tem uma inclinação nula (ela é paralela ao eixo dos tempos). Abaixo desse tempo, a inclinação é tal que o ângulo é maior do que 90°. Acima desse tempo, a inclinação assume valores que se aproximam cada vez mais de 90°. Veja o Gráfico 14.17.

tg θ02

00

02 2= + + = +( ) = +( )

==

ddxax bx c ax b ax b

x xx x

( )

y t t t( ) = − +5 10 52

tg θ0 010 10= −t

Gráfico 14.17: Inclinação da tangente para diferentes valores do tempo.

cba

326



14.9 Determinação dos Pontos de Máximo, Mínimo e de Inflexão

Considere a determinação do ponto de máximo ou de mínimo das funções polinomiais de

segundo grau y(x) = ax2 + bx + c , de onde yʹ(x) = 2ax + b.

Máximo ou mínimo de uma função polinomial do segundo grau ocorre para um valor xm tal que:

14.9

ou seja, para o valor xm dado por:

14.10

e o valor do máximo, ou mínimo, correspondente será:

14.11

Assim, o ponto de máximo, ou de mínimo, têm coordenadas dadas por:

14.12

Por exemplo, os pontos de mínimo das funções quadráticas y x= −

+

32

18

2

, y = (x − 1)2 e

y = x2 + 1, são dados, respectivamente, por (3/2, 1/8); (1, 0) e (0, 1).

2 0ax bm + =

x bam = − 2

y bacm = − +

2

4

x y ba

bacm m, ,( ) = − − +

2 4

2

Gráfico 14.18: Pontos de mínimo de funções quadráticas.

a b c

327



Temos assim uma forma de determinar os pontos de máximo e mínimo locais do gráfico de

um polinômio de grau n

Esses pontos serão designados por

14.13

onde o valor da variável independente xm é tal que, para um polinômio de grau n, satisfaz à equação:

14.14

isto é, xm é raiz da derivada.

Como vimos, nos pontos de máximo e mínimo, a derivada de uma função polinomial se

anula. Escrevemos:

14.15

O ponto (xm, ym) será um ponto de máximo se, numa vizinhança dele, a concavidade do

gráfico da função for voltada para baixo, o que, como vimos antes, significa que a derivada

segunda da função é negativa, isto é:

14.16

Se tal expressão for positiva, o ponto será um ponto de mínimo.

Por exemplo, os pontos de máximo ou de mínimo do polinômio cúbico

14.17

P x a x a x a x a x an nn

nn( ) = + + + + +−−

11

22

1 0

x ym m,( )

n a x n a x a x an mn

n mn

m. ( ). ...−−

−+ − + + + =11

22 11 2 0

dP xdxn

x xm

( )=

=

0

n n a x n n a x an mn

n mn( ). ( )( ). ...− + − − + + <−

−−1 1 2 2 02

13

2

P x x mx n33( ) = + −

328



são os pontos para os quais sua derivada se anula:

14.18

Essa equação admite duas soluções para m < 0, uma solução para m = 0, e nenhuma solução

para m > 0.

Consideremos o caso do polinômio:

14.19

Sua primeira e segunda derivadas são dadas, respectivamente, por:

14.20

Portanto, os pontos de máximo ou de mínimo são aqueles para os quais:

14.21

Donde concluímos que os valores de x que satisfazem à condição 14.21 são dados por:

14.22

Tendo em vista que

14.23

e

14.24

3 02x mm + =

P x x x x x x x42 22 2 3 3 4 9( ) = −( ) +( ) −( ) +( ) = −( ) −( )

dP xdx

x x

d P xdx

x x x x

4 2

24

22 2

2 2 13

2 2 13 2 4 12 26

( ) ( )

( ) ( ) .

= −

= − + = −

2 2 13 02x xm m( )− =

x

x

m

m

=

= ±

0

132

d Pdx x

24

20

0 26 0=

= − <

d Pdx x

24

2132

2

12 132

26 78 26 0=±

= ±

− = − >

329



segue-se que o ponto cuja abscissa é xm = 0 é um ponto de máximo local, ao passo que os

pontos de abscissas x = ± 132

são pontos de mínimos locais.

14.10 Cinemática: velocidade e aceleraçãoAlgumas funções obtidas por meio da derivada de outras funções recebem nomes especiais.

A seguir apresentaremos algumas delas.

14.10.1 Velocidade

Muitas vezes referimo-nos a objetos que se movem lenta-

mente e objetos dotados de movimentos rápidos. Os dois

conceitos são relativos e se referem à taxa segundo a qual um

objeto muda de posição. Como visto antes, a taxa de variação

é um conceito utilizado com muita frequência e, por isso,

muito importante na Física.

A velocidade é definida como a taxa de variação da posição

de um objeto em função do tempo. Se a posição de um objeto

mudar com o tempo, ele tem, portanto, uma velocidade. Se ele

está em repouso, sua velocidade é nula.

Um dos aspectos mais relevantes a respeito da grandeza física

denominada velocidade é o fato de que, quando determinada

Gráfico 14.19: Pontos de máximo e mínimo locais da função 14.19.

Figura 14.3: Variação da posição de um objeto em função do tempo.

330



de uma forma matematicamente precisa, ela não só indica a taxa segundo a qual a distância

percorrida pela partícula varia com o tempo, como também indica a direção (bem como o

sentido) que a partícula tomará a seguir.

A caracterização de cada ponto no espaço se dá através das coordenadas do ponto. Portanto,

o conceito de velocidade é um pouco mais complexo do que parece à primeira vista. Sua

conceituação mais geral requer a análise do movimento no espaço tridimensional.

A velocidade introduzida a partir do conceito de distância percorrida não permite indicar a direção

do movimento da partícula. No entanto, ela dá a ideia de rapidez com que se dá o movimento.

14.10.2 Velocidade escalar

Analisemos o movimento a partir de uma das suas propriedades, que é a taxa de variação

das distâncias percorridas pelo móvel. Quando um objeto se move ao longo de uma curva

bem definida, a distância ao longo da curva até a origem varia com o tempo. A essa distância

associamos o conceito de variável espaço. Portanto, dizemos que, num movimento, a variável

espaço é função do tempo. Escrevemos:

14.25

Digamos que, no instante de tempo t1, a partícula estava em s1 e que, no instante t2, ela está

em s2. Admitiremos t2 > t1 (Figura 14.3).

Assim, no intervalo de tempo Δt, dado por

14.26

houve uma variação de espaços Δs, dada por

14.27

Definimos a velocidade escalar média como o quociente entre a variação de espaço e o

intervalo de tempo decorrido:

14.28

s s t= ( )

∆ = −t t t2 1

∆ = −s s s2 1

v stm =

∆∆

331



Observe que a velocidade escalar média sempre faz

referência a dois instantes de tempo (por isso, falamos

em média). No entanto, a velocidade na qual temos

maior interesse é a velocidade num determinado

instante de tempo. Tal velocidade é denominada

velocidade instantânea.

Para definirmos a velocidade instantânea, de-

vemos recorrer a um artifício matemático conhecido

como limite.

Observemos primeiramente que a velocidade

média é definida tomando-se dois instantes de

tempo. Para defini-la num determinado instante,

basta tomarmos intervalos de tempo Δt cada vez menores. Portanto, ao tomarmos o limite no

qual o intervalo de tempo Δt tende a zero, estaremos falando de um só instante de tempo.

Definimos, portanto, a velocidade instantânea através do processo limite:

14.29

Num certo número de casos, é relativamente simples calcular a velocidade instantânea.

Queremos determinar a velocidade no instante de tempo t. Assim, calculamos a velocidade

média entre os instantes t1 = t e t2 = t + Δt:

14.30

e depois tomamos o limite quando Δt tende a zero:

14.31

O processo-limite definido acima tem o nome de derivada da função s(t) com respeito

ao tempo e se representa:

14.32

Figura 14.4: O velocímetro determina a velocidade instantânea de um móvel.

v v stt m t

= =→ →

lim lim∆ ∆

∆∆0 0

v sts t t s t

tm =∆∆

=+ ∆( ) − ( )∆

v t st

s t t s ttt t

( ) = =+( ) − ( )

→ →

lim lim∆ ∆

∆∆

∆∆0 0

v tds tdt

s t t s ttt

( ) = ( )=

+( ) − ( )

→

lim∆

∆∆0

332



Considere o caso de um móvel cuja equação horária dos espaços é dada por:

14.33

Sua velocidade escalar instantânea é, portanto, dada por:

14.34

Considere agora o caso do movimento harmônico simples. De acordo com a definição de tal

movimento, ele ocorre sempre que a solução das equações de movimento nos leva ao resultado

14.35

onde A é a amplitude do movimento, θ0 é um ângulo denominado fase inicial, e ω é a frequência

angular do mesmo. A velocidade do móvel que executa o movimento harmônico simples é dada por:

14.36

Obtemos:

14.37

de onde inferimos que a velocidade atinge um valor máximo dado por Aω e ela ocorre nos

instantes em que o móvel se encontra na origem (os valores de x = 0). Ademais, nos pontos para

os quais a velocidade se anula, a posição atinge os valores máximos ou mínimos.

14.10.3 Aceleração escalar

Se a velocidade de um objeto varia com o tempo, diz-se que ele tem aceleração. Se a

velocidade é constante (isto é, não varia com o tempo), a sua aceleração é nula.

s t t t( ) = − +5 10 82

v t dsdt

t( ) = = −10 10

x t A t( ) = +cos( )ω θ0

v t dxdt

ddtA t A t( ) = = +( ) = − +cos( ) ( ) ( )ω θ ω ω θ0 0sen

v t A t( ) = − +ω ω θsen( )0

333



Supondo que, no instante t1, a partícula tinha velocidade v1 e no instante t2 tenha velocidade

v2 (Figura 14.5), definimos a aceleração escalar média de uma partícula como o quociente

entre a variação de velocidade (Δv) e o intervalo de tempo decorrido (Δt):

14.38

onde Δv é a diferença de velocidades da partícula nos instantes t2 e t1, isto é:

14.39

Mais importante que a aceleração média é a aceleração instantânea. Como o nome indica, o

interesse é a obtenção da aceleração num determinado instante de tempo. A maneira de defini-la,

a partir da aceleração média, é tomar intervalos de tempo cada vez menores, isto é tomar o limite

em que o intervalo de tempo se aproxima de zero. Essa é a situação na qual t2 é muito próximo de

t1. Definimos, portanto, a aceleração escalar instantânea através do processo-limite:

14.40

A partir da velocidade instantânea v(t), podemos calcular a aceleração instantânea.

Primeiramente, calculamos a aceleração média entre os instantes t e t + Δt:

14.41

Figura 14.5: Variação da velocidade e tempo decorrido.

a vtm =

∆∆

∆v v v = −2 1

a vtt

= lim∆ →

∆∆0

av t t v t

tm =+ ∆( ) − ( )∆

334



e, a partir daqui, tomamos o limite quando Δt → 0

14.42

Esse processo-limite define a função de a(t) (com respeito ao tempo) e se representa:

14.43

No caso do móvel, cuja equação horária dos espaços é dada por 14.33, e a velocidade dada

em 14.34, sua aceleração escalar instantânea é dada por:

14.44

ou seja, sua aceleração é constante.

Retornando ao caso do movimento harmônico simples, vemos que a sua aceleração instan-

tânea é dada por:

14.45

cujo resultado pode ser expresso como:

14.46

Donde inferimos que a aceleração atinge os valores máximos, dados por Aω2, os quais

ocorrem nos instantes para os quais o móvel se encontra nos pontos mais distantes da origem.

14.11 Dinâmica: A Lei de NewtonNa dinâmica, lidamos com duas taxas de variação: uma taxa de variação associada à posição

e uma taxa de variação instantânea. De acordo com a lei de Newton, escrevemos:

14.47

a t vt

v t t v ttt t

( ) = =+( ) − ( )

→ →

lim lim∆ ∆

∆∆

∆∆0 0

a tdv tdt

v t t v ttt

( ) = ( )=

+( ) − ( )

→

lim∆

∆∆0

a tdv tdt

ddt

t( ) = ( )= −( ) =10 10 10

a t dvdt

ddt

A t A t( ) = = − +( ) = − −( ) +ω ω θ ω ω ω θsen( ) cos( )0 0

a t A t x t( ) = + = ( )ω ω θ ω20

2cos( )

F ma=

335



onde a força pode depender explicitamente do tempo e implicitamente da posição. Assim,

escrevemos no caso de forças que dependem apenas de uma variável:

14.48

Para o caso de forças conservativas (a maioria dos casos), a força é dada como a derivada da

energia potencial. Assim, forças como a elétrica e a gravitacional são definidas como taxas de

variação instantâneas da energia potencial (U(x)). Nesse caso, escrevemos:

14.49

A aceleração, por outro lado, se escreve como uma derivada segunda da posição, ou seja:

14.50

Assim, a lei de Newton expressa relações entre taxas de variação.

Por exemplo, a energia potencial de uma mola, como função da coordenada do móvel, é

dada por:

14.51

onde k é a constante elástica da mola. Portanto, a força experimentada por uma partícula presa

à mola depende da sua posição de acordo com a expressão:

14.52

Consequentemente, a segunda lei de Newton corresponde a encontrar uma solução para

x(t) de tal forma que:

14.53

F F x= ( )

F xdU xdx

( ) = − ( )

a td x tdt

( ) = ( )2

2

U x kx( ) = 12

2

F xdU xdx

kd xdx

kx( ) = − ( )= −

( )= −

12

2

md x tdt

kx t2

2

( )= − ( )

336



Não é difícil verificar que a solução é da forma prevista pela expressão 14.35, desde que a

frequência seja dada por:

14.54

14.12 Cinética químicaA área da química denominada Cinética química se preocupa com a determinação da

velocidade com que as reações químicas ocorrem. A partir delas podemos determinar, a cada

instante de tempo, a composição de uma mistura.

No contexto da cinética química preocupamo-nos com o comportamento das concentrações

molares dos reagentes (R(t)) ou dos produtos da reação (P(t)). Quando do início da reação química

encontramos apenas os reagentes. Depois de um determinado tempo, encontraremos apenas os

produtos da reação. Assim, os reagentes desaparecem à medida que surgem os produtos da reação.

Considerando-se um intervalo de tempo Δt = t2 − t1, definimos a velocidade média de

desaparecimento de um reagente (VR) como a que é dada pelo quociente.

14.55

onde o sinal negativo se trata apenas de uma convenção, de tal forma que as velocidades

resultem positivas, enquanto a velocidade instantânea de desaparecimento é determinada pelo

processo-limite:

14.56

Para a velocidade de surgimento dos produtos, aplica-se o mesmo raciocínio. Assim, para o

mesmo intervalo de tempo Δt = t2 − t1, definimos a velocidade média de surgimento de um

produto de reação (VP) a partir do quociente:

14.57

ω2 =km

VR t R tt t

RtR = −

( ) − ( )−

= −2 1

2 1

∆∆

V Rt

dPdtR t

≡ − = −→

limδ 0

∆∆

VP t P tt t

PtP = −

( ) − ( )−

= −2 1

2 1

∆∆

337



enquanto a velocidade instantânea de surgimento de um dado produto da reação é dada pela

derivada da concentração molar do produto da reação:

14.58

14.13 Tendências de mercadoNo mercado de capitais, é de grande interesse estabelecer as tendências do mercado.

A melhor maneira de estabelecer uma tendência (mas que pode não se confirmar na prática) é

analisar sua taxa de variação.

Consideremos o caso do comportamento do preço da saca de soja na bolsa de mercadorias,

cujo gráfico é apresentado no Gráfico 14.20. A inclinação da curva no último dia analisado, ou

num determinado instante do dia, estabelece uma tendência, salvo variações inesperadas (como

informações recentes sobre aumento ou diminuição da safra), ou seja, o preço no instante

seguinte aos últimos preços analisados é dado por:

14.59

Assim, o preço no instante seguinte é determinado pelo preço presente acrescido da taxa de

variação instantânea no instante imediatamente anterior. Dependendo da inclinação da tangente,

o preço pode ser superior ou inferior no instante imediato ao considerado.

V Pt

dPdtP t

= =∆ →lim

0

∆∆

P t P tdP tdt

t tt t

( ) = ( ) + ( )−( )

=

0 0

0

Gráfico 14.20: Gráfico do comporta-mento do preço da saca de soja na bolsa de mercadorias.

338



As previsões feitas pelo método acima são tanto mais confiáveis quanto maior for o conjunto de

dados (obtendo uma curva mais e mais contínua) e quanto menor for o intervalo de tempo consi-

derado. Previsões para o futuro não imediato requerem um formalismo matemático mais sofisticado.

Agora é a sua vez...Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem e

realize a(s) atividade(s) proposta(s).



15SérieS e apliCaçõeS

15.1 Sequências 15.2 Séries15.3 Séries especiais15.4 arquimedes e a quadratura da parábola15.5 Sobre a Convergência de séries15.6 Séries de Taylor e de Maclaurin15.7 aproximações polinomiais de Funções

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a i

341



15.1 Sequências Conjuntos de números que possuem alguma propriedade particular constituem as sequências

e sempre foram de grande interesse ao longo da história da Matemática. Por exemplo, os

números naturais pares e ímpares formam sequências, cujo n-ésimo termo pode ser escrito,

respectivamente, como:

15.1

as sequências podem ser finitas (quando o número de termos for finito) ou infinitas (quando

o número de termos da sequência for infinito).

Os elementos de uma sequência genérica serão representados por

15.2

Por exemplo, como veremos mais adiante, a sequência dos quadrados

dos números inteiros positivos de 1 a n

15.3

aparece quando determinamos, aproximadamente, a área da região

que se encontra abaixo do gráfico de y = x2 e acima do eixo x, quando

x ∈ [0, k], considerando a soma das áreas dos n retângulos obtidos ao

dividir o intervalo [0, k] em n subintervalos, como no Gráfico 15.1.

algumas sequências adquirem, em função da sua relevância, nomes que as identificam

com facilidade.

Por exemplo, definimos como progressão aritmética a sequência em que o n-ésimo

termo é obtido a partir do termo anterior adicionando-se a ele uma constante, denominada

razão. Escrevemos, portanto, tal termo como:

15.4

a n b n nn n= = + =2 2 1 0 1 2 3 para , , , ,...

Gráfico15.1: O valor aproximado da área da região colorida é a soma das áreas dos retângulos.

a a a an1 2 3, , ,..., ,...

1 ,2 2 2 , ,...,32 2n

a a rn n= +−1

342

15 Séries e aplicações


Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo é obtido do anterior

multiplicando este último por uma constante q, também denominada razão, ou seja:

15.5

Se o primeiro termo é B, os n + 1 elementos da progressão geométrica são:

15.6

De grande interesse é a questão que envolve a soma dos termos de sequências. admitindo

uma sequência que envolve um número finito de termos, denotamos a sua soma como

15.7

a soma dos n termos de uma progressão aritmética é dada pela metade da soma do primeiro

e do último termo, multiplicada pelo número de termos:

15.8

assim, a soma dos números inteiros positivos de 1 até 100, por exemplo, é dada por:

15.9

Pode-se mostrar que a soma da sequência 15.3 é dada por:

15.10

assim,

15.11

a a qn n= −1

B Bq Bq Bq Bqn, , , ,...,2 3

S a a a a an ii

n

= + + + + ==∑1 2 3

1...

S a a r a r a n r n a an= + + + + + + + − = +1 1 1 1 12 1 12

( ) ( ) ... ( ( ) ) ( )

S = + + + + + = +( ) =1 2 3 4 100 1002

1 100 5 050... .

S n n n n= + + + + + = +( ) +( )1 2 3 4 16

1 2 12 2 2 2 2...

S = + + + + = ( )( ) =1 2 3 4 5 16

5 6 11 552 2 2 2 2

343



a soma dos termos de uma progressão geométrica finita pode ser expressa em termos do

primeiro termo e da razão da progressão. No caso de 15.6, o resultado se escreve como:

15.12

15.2 Sériesadotamos a palavra série para designar a soma dos termos de uma sequência infinita de

termos. assim, em uma sequência de infinitos termos, uma série é dada pela soma:

15.13

No caso de uma sequência infinita, em que a sequência continua indefinidamente, pode-se

falar de soma reduzida ou soma parcial. Tais somas são definidas como aquelas que envolvem

apenas alguns de seus termos. Escrevemos, por exemplo,

15.14

No caso de uma série, a soma acima é denominada soma parcial da série.

Considere, por exemplo, o caso de rasgar uma folha de

papel, cuja área é uma unidade, pela metade e, em seguida,

adicionar à primeira metade a área da segunda metade ao

meio, e assim sucessivamente, como na Figura 15.1.

a área resultante dessas várias tirinhas, obtidas pela redução à metade do que resta da divisão

anterior, é uma fração da área da folha dada pela série:

15.15

S B Bq Bq Bq B qq

nn

= + + + + =−−

−2 1 11

...

S a a a a an ii

= + + + + + ==

∞

∑0 1 20

... ...

S a a a a a ak ki

k

= + + + + + ==∑0 1 2 3 1

0...

Figura 15.1: Qual é a área da união dos papeizinhos?

S n nn

= + + + + + + + ==

∞

∑12

12

12

12

12

12

122 3 4 5

1

... ...

a questão é: chego a formar uma folha de papel igual à inicial com todos os pedacinhos de papel? a solução está na série definida em 15.15.

344



alguns números podem ser expressos em termos de séries infinitas. O número π, por

exemplo, pode ser escrito como uma série da forma:

15.16

assim, a cada soma parcial da série 15.16 podemos encontrar um valor aproximado para π.

Outro exemplo curioso é a série associada ao número e. Nesse caso escrevemos:

15.17

Veremos que o resultado de algumas somas de infinitos termos (uma série, portanto) pode

resultar em expressões relativamente simples. Isso será abordado quando analisarmos as séries

de Taylor.

Para efeito de ilustração do que foi dito acima, consideremos o caso da série

15.18

Dividindo-a por 2, o que significa dividir termo a termo, obtemos:

15.19

que é a série S definida em 15.15. Subtraindo da expressão 15.18 a expressão 15.19, obtemos:

15.20

15.3 Séries especiaisalgumas séries recebem nomes especiais. assim, a série geométrica é definida por meio

da soma da progressão geométrica contendo infinitos elementos. Temos assim que a série

geométrica SG é dada por:

15.21

π4

1 13

15

17

19

= − + − + +

en nn

= + + +⋅+

⋅ ⋅+ + + = +

=

∞

∑1 11

12

12 3

12 3 4

1 1 11

! !

′ = + + + + + + + + ==

∞

∑S n nn

1 12

12

12

12

12

12

122 3 4 5

0

′= + + + + + + + =

=

∞

∑Sn n

n212

12

12

12

12

12

122 3 4 5

1

′ −′= ⇒ ′ =S S S

21 2

S B Bq Bq Bq BqGn= + + + + + +−2 3 1... ...

345



a série harmônica é definida como a soma

15.22

Uma série alternada é aquela, cujos termos têm os sinais alternados. Por exemplo, as séries

S1 e S2, definidas abaixo, são séries alternadas:

15.23

Veremos que os resultados das somas dos infinitos termos das séries acima são, respectiva-

mente, os números ln 2 e π/4, este último já mencionado antes. Para isso, no entanto, devemos

recorrer à expansão de funções numa série que envolve polinômios.

Outra série de interesse é aquela dada pela soma dos inversos dos números reais positivos

elevados a um expoente, aqui designado por r. Ou seja:

15.24

Entendida como função de r, a série infinita acima define a função Zeta de Riemann ζ (r), isto é:

15.25

Em particular, o valor dessa função para r = 1 é a série harmônica, SH, dada em 15.22. Ou seja:

15.26

15.4 Arquimedes e a quadratura da parábolaCom o intuito de ilustrar a utilidade do conceito de série, recorremos à solução dada por

Arquimedes ao problema de encontrar a área da parábola (o problema da quadratura da

SH = + + + + +1 12

13

14

15

...

S

S

1

2

1 12

13

14

15

1 13

15

17

19

= − + − + +

= − + − +

...

...

1 11 1n nr

n

r

n=

∞

=

∞

∑ ∑=

ζ rn nr

n

r

n( ) = =

=

∞

=

∞

∑ ∑1 11 1

ζ 1( ) = SH

346



parábola), isto é, a área da região delimitada por um arco de parábola e por uma corda arbitrária

à curva. arquimedes utilizou o método da exaustão para resolver esse problema.

Na formulação mais simples, consideramos um triângulo com dois lados iguais, de tal modo

que um dos vértices coincida com o vértice da parábola. Denominemos A a área de tal triân-

gulo. Percebe-se, assim, que o vértice do triângulo nela inserido leva a uma partição da parábola

em dois arcos. Para cada um dos dois, desenhamos novos triângulos.

É possível mostrar que a área de cada um dos novos triângulos é 1/8 A. Temos dois deles e

assim escrevemos para os três triângulos:

15.27

Em seguida, arquimedes considerou outros 4 triângulos, cada

um dos quais com uma área igual a 1/8 do anterior: (A/8)/8.

E assim sucessivamente. O resultado é o número de triângulos crescer

por um fator dois a cada inserção deles, e suas áreas decrescerem por

um fator 8. O resultado da soma é, pois,

15.28

O resultado para n interações de triângulos é a série geométrica que, quando somada, nos

leva ao resultado:

15.29

arquimedes foi mais longe ainda. Percebeu que, continuando indefinidamente (como

diríamos hoje, até o infinito), obteria a área do segmento de parábola. Concluiu, empregando

o conceito de limite, que

15.30

Figura 15.2: Área da parábola pelo método da exaustão.

S A A= +

2

8

S A A A A A= + +

+

+

+2

84 1

88 1

816 1

8

2 3 4

...

S A A A A A An

= + +

+

+ +

=

−

−1

414

14

14

1 142 3 1

...

nn

1 14

−

S A A An

n

=−

−

=−

=→∞

lim1 1

4

1 14

1 14

43

347



15.5 Sobre a Convergência de sériesNem sempre a soma de uma série faz sentido. Consideremos, por exemplo, o caso da soma

da sequência conhecida como progressão geométrica, a qual, quando somados os n primeiros

termos, nos leva ao resultado:

15.31

analisemos agora o caso em que consideramos a série associada a uma progressão geomé-

trica. Estamos diante do problema de somar infinitos termos. Observe que, se a razão for maior

do que 1 (q > 1), a série não faz o menor sentido, uma vez que, nesse caso:

15.32

Dizemos que, se a razão for maior do que 1, a série diverge. Se, por outro lado, a razão, não

nula e, em valor absoluto, for menor do que 1, |q| < 1, encontramos, de 15.31,

15.33

Para pensar!Observe a ilustração a seguir e responda: Qual é a área total dos quadrados azuis?

Figura 15.3: Qual a área da região colorida?

S B qqn

n

=−−

11

limn nS→∞

= ∞

limn nS

Bq→∞

=−1

348



Nessas circunstâncias, dizemos que a série converge. O resultado da soma faz sentido, portanto.

Dizemos que uma série converge para um limite, aqui designado por L, se as somas parciais

convergem (tendem a) para esse valor limite, isto é, se o limite das somas parciais for finito.

Essa definição pode ser escrita como:

15.34

Pode-se muitas vezes inferir se uma série infinita converge analisando o comportamento

do termo an. Consideremos o caso em que todos os termos da série, S an n=∞

∑0

, são positivos.

Suponhamos, ademais, que:

15.35

Com base nas informações acima, podemos afirmar que:

15.36

Como resultado, podemos afirmar que a série geométrica 15.21, de termos positivos,

converge se, e somente se, a razão q for tal que q < 1. Em particular, de acordo com o critério

acima, a série harmônica diverge.

15.6 Séries de Taylor e de MaclaurinUma das aplicações mais interessantes do cálculo de derivadas de funções diz respeito à

possibilidade de escrevermos uma função sob a forma de uma série infinita. assim, se a for um

valor para o qual uma função f (x) admite derivadas de grau arbitrário nesse ponto, essa função

pode ser expressa sob a forma de uma série infinita da forma:

15.37

limn nS L→∞

=

limn

n

n

aa

L→∞

+ =1

se L > 1 a série diverge

se L < 1 a série converge

se L = 1 o critério é inconclusivo

f x f a B x a B x a B x a( ) = ( ) + −( ) +⋅

−( ) +⋅ ⋅

−( ) + +⋅ ⋅1 2

23

311 2

11 2 3

11 2

...... nn

B x ann−( ) + ...

349



onde os coeficientes Bj são dados pelas derivadas de ordem j da função f (x), calculadas para o

valor de x = a, ou seja:

15.38

O resultado acima é conhecido como teorema de Taylor e a série 15.37 é conhecida como

série de Taylor. Para o ponto a = 0, a série é conhecida como série de Maclaurin, ou seja:

15.39

onde os coeficientes bj são dados pelas derivadas de f (x) calculadas para x = 0, isto é:

15.40

a rigor, Brook Taylor propôs a sua famosa expansão numa série de potências sob a forma:

15.41

Duas séries infinitas já eram conhecidas antes de Taylor. a primeira delas é a série de

Mercator. Ela representa a função logaritmo natural de 1 + x:

15.42

a qual converge para valores de x no intervalo −1 < x ≤ 1.

a partir da série acima, conseguimos representar uma função relativamente complexa por

meio de uma série bastante simples. De fato, a função logaritmo de (1 + x)/(1 − x) pode ser

representada por uma série infinita simples. Obtemos de 15.42 que:

15.43

Bd f xdxj

j

jx a

=( )

=

f x f b x b x b xnb xn

n( ) ( ) ......

...= + +⋅

+⋅ ⋅

+ +⋅ ⋅

+0 11 2

11 2 3

11 2 31 2

23

3

bd f xdxj

j

jx

=( )

=0

f x f a b f a b f a b f a( ) = ( ) + ′( ) +⋅

′′( ) +⋅ ⋅

( ) + +⋅ ⋅

( )1 2 3

311 2

11 2 3

11 2 3

.......

...nb f an

n( ) ( ) +

ln ...12 3 4

2 3 4

+( ) = − + − +x x x x x

ln ...11

23 5 7

3 5 7+−

= + + + +

xx

x x x x

350



Mais interessante ainda foi a série proposta por James Gregory para a função

15.44

É absolutamente surpreendente a semelhança entre as duas séries acima, ou seja, a segunda

série, com exceção do fator 2, é a série alternada da primeira.

Quando calculada para o valor de x = 1, e sabendo que arctg 1 = π/4, encontramos uma

famosa expressão para o valor de π, o qual é escrito como uma série:

15.45

Essa expressão foi obtida pelo matemático indiano Madhava de Sangamagrama ainda no

século XIV. alguns creditam a ele a proposta da expansão 15.45.

15.7 Aproximações Polinomiais de FunçõesPelo que se depreende do acima exposto, podemos concluir que, sendo f (x) uma função

real de variável real com domínio um conjunto B, que é um subconjunto dos números reais

(B ⊆ ), e tal que ela admita derivadas de ordem n num ponto b no interior do seu domínio,

então tal função pode ser aproximada por um polinômio de grau n:

15.46

onde, agora, o polinômio Pn(x) é dado por:

15.47

onde os coeficientes bj são dados pelas derivadas de ordem j da função f (x) calculadas para o

valor de x = 0, ou seja:

15.48

arctg ...x x x x x= − + −

3 5 7

3 5 7

π4

1 13

15

17

19

= − + − + ...

f x P xn( ) ( )≅

P x f b x b x b xnb xn n

n( ) ( ). . .

.... . ...

= + + + + +0 11 2

11 2 3

11 2 31 2

23

3

bd f xdxj

j

jx

=( )

=0

351



O polinômio 15.47 é denominado Polinômio de Maclaurin de grau n da função.

Ou seja, como no caso anterior, a função f (x) pode ser escrita como a soma do polinômio

15.47 mais um resto:

15.49

de tal modo que

15.50

ou seja, o resto pode ser feito tão pequeno quanto quisermos tomando polinômios de grau n

cada vez maior.

Exemplos

• ExEmplo 1:Considere o caso da função:

Obtemos os seguintes resultados para as derivadas sucessivas:

Donde inferimos que a série de Maclaurin associada à função f xx

( ) =−1

1 é dada por:

f x P x R xn n( ) = ( ) + ( )

lim ( )( )xn

nR xx→

=0

0

f xx

( ) =−1

1

′ =−

⇒ ′ =

′′ =−

⇒ ′ =

f xx

f

f xx

f

f x

( ) ( )

( ) ( )

(( )

11

0 1

2 11

0 2

2

3

3 )) ( )

.............................

( )= ⋅−

⇒ = ⋅3 2 1

10 3 2

43

xf

........................

( ) ! ( ) !( ) ( )f x nx

f nnn

n=−

⇒ =

+11

01

f xx

x x x xn( ) =−

= + + + + + +1

11 2 3

352



Observamos que, de fato,

assim, segue-se que:

enquanto, de 15.19,

resultado esse já conhecido.

• ExEmplo 2:Consideremos agora o caso da função seno. Tendo em vista suas derivadas em x = 0,

′( ) = ( )= ( )⇒ ′( ) =

′′( ) = ( )= − ( )⇒ ′

f xd xdx

x f

f xd xdx

x

sencos

sensen

0 1

2

2′′( ) =

′′′( ) = ( )= − ( )⇒ ′′′( ) = −

f

f xd xdx

x f

0 0

0 13

3

sencos

.....................................................

sen!

f x x x( ) = ( ) = −13xx x3 51

5+ +

!

inferimos que, para valores da variável x muito próximos de zero, podemos escrever: sen (x) ≅ x.De maneira análoga, podemos escrever para a função cosseno a seguinte série:

cos! !

x x x( ) = − + +1 12

14

2 4

( )( ... ...)( ... ...)

1 11

2 3

2 3 2

− + + + + + + =

= + + + + + + − − −

x x x x xx x x x x x x

n

n 33 1− − − =... ...xn

1 12

12

12

12

12

12

1

1 12

22 3 4 5+ + + + + + + =−

= n

S n nn

= + + + + + + ==

∞

∑12

12

12

12

12

12

122 3 4 5

1

353



• ExEmplo 3:Finalmente, consideremos a função exponencial ex. Tendo em vista que

′( ) = = ( )⇒ ′( ) =

′′( ) = = ( )⇒ ′′( ) =

′′′(

f x dedx

e f

f x d edx

e f

f x

xx

xx

0 1

0 12

2

)) = = ( )⇒ ′′′( ) = −d edx

e fx

x3

3 0 1

.....................................................obtemos a seguinte expansão para a função exponencial:

e x x x x x xn

xn

xn n

n( ) = + + +

⋅+

⋅ ⋅+ + + = +

=

∞

∑1 2 2 3 2 3 41

2 3 4

1

! !

Da expressão acima decorre a série para o valor do número de Napier.

Agora é a sua vez...acesse o ambiente Virtual de aprendizagem



16CÁLCULO INTEGRALGil da Costa Marques

16.1 Introdução16.2 Cálculo de Áreas16.3 O cálculo de uma área por meio de um processo limite16.4 Soma de Riemann16.5 Antiderivadas16.6 O Teorema Fundamental do Cálculo16.7 Integral Indefinida16.8 Integrais definindo funções

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

357



16.1 IntroduçãoExistem problemas cujas soluções minimamente satisfatórias só foram encontradas alguns

milênios após os primeiros estudos sobre eles. Esse é o caso do Cálculo Integral, cujas origens

remontam aos tempos iniciais da agrimensura, entendida como técnica para a determinação de

áreas na superfície terrestre.

A ênfase inicial da matemática nos impérios mais avançados na Antiguidade, do Egito e da

Babilônia, ocorreu na aritmética e na mensuração. No último caso, havia interesse especial na

mensuração de áreas de terras e de volumes de espaços destinados a abrigar cereais. Documentos

comprovam que, cerca de dois mil anos antes de Cristo, os babilônios já se preocupavam com a

determinação de áreas de polígonos regulares, bem como da área do círculo.

A solução definitiva do problema da determinação de áreas veio com o Cálculo, proposto

quase simultaneamente por Newton e Leibniz ao final do século XVII. O Cálculo Integral,

especificamente, é mais do que a solução do problema da determinação de áreas e volumes.

Vai além, portanto, do seu uso na geometria plana e espacial.

A seguir, definiremos formalmente a integral de uma função por meio de um processo

limite. Essa é a definição de integral definida na formulação de Riemann.

De grande relevância nesse contexto é o teorema fundamental do cálculo. Ele estabe-

lece, para efeitos práticos, que o Cálculo Integral pode ser entendido como o problema inverso

do Cálculo Diferencial, ou seja, determinar a integral de uma função é equivalente a determinar

a função cuja derivada é igual ao integrando.

16.2 Cálculo de ÁreasÉ bem provável que a ideia fundamental do Cálculo, a de que uma grandeza possa ser subdi-

vidida indefinidamente, seja de Antífono (cerca de 490 a.C). Propunha ele que, aumentando-se

o número de lados de polígonos inscritos num círculo, se poderia exaurir a diferença entre a

região delimitada pelo polígono, com um número indefinidamente grande de lados, e o círculo.

Lançou a base de um método que se tornou famoso na Antiguidade, denominado Método

da Exaustão. Eudóxio de Cnido (cerca de 350 a.C), a quem usualmente se atribui o método,

formulou-o de uma forma mais geral, ao afirmar que

358

16 Cálculo Integral


Se de um todo (uma grandeza física) se subtrai uma parte não menor que sua metade

e se da mesma se subtrai uma parte não menor do que sua metade e assim indefini-

damente, se chegará afinal a uma parte menor do que qualquer outra predeterminada.

Assim, ele encontrou um método para determinar a área de uma superfície plana arbitrária

inscrevendo no interior dela uma sequência de n polígonos, de tal forma que a soma das áreas

dessa sequência, ou a sequência das áreas em si, viesse a convergir para a área da região delimitada

pela curva dada inicialmente.

Arquimedes empregou o Método da Exaustão para determinar aproximações para o número

π assim como para determinar outras áreas. Em sua obra, O Método, desenvolveu outra estra-

tégia para encontrar áreas. Para tanto, a ideia era a de recortar tirinhas de uma figura, de menor

tamanho possível, e em seguida pesá-las. Nesse método encontramos as raízes do conceito de

infinitésimos ou regiões infinitesimais aqui representadas pelas tirinhas.

Consideremos uma questão abordada por Arquimedes, utilizando o método da exaustão.

Trata-se de dois modos para “exaurir”, por meio de polígonos regulares, a região delimitada por

um círculo. Podemos promover a exaustão do círculo considerando um polígono regular de n

lados circunscrito. A exaustão se refere ao processo mediante o qual as áreas das duas figuras se

tornam arbitrariamente próximas uma da outra, que, no caso, consiste

em tomar o número n de lados do polígono cada vez maior. Nesse

caso, a área A do círculo será calculada por excesso e escrevemos:

16.1

onde An(+) é a área do polígono (em excesso) no qual a circunferência

está inscrita.

Outra alternativa é a exaustão por falta. Nesse caso, consideramos po-

lígonos inscritos na circunferência e escrevemos para a área A do círculo:

16.2

onde, agora An(−) é a área do polígono (em falta) inscrito na

circunferência.

Figura 16.2: Polígono inscrito numa circunferência.

Figura 16.1: Polígonos circunscritos a uma dada circunferência.

A An≤ +( )

A An≥ −( )

359



Arquimedes concluiu que o número π deveria estar limitado por dois valores:

16.3

e, usando um polígono de 96 lados, obteve:

16.4

Veremos a seguir que o cálculo integral, na formulação de Riemann, tem raízes no proce-

dimento anterior.

16.3 O cálculo de uma área por meio de um processo limite

A título de ilustração do método geral, consideremos a área da

região compreendida entre o eixo x e a curva, gráfico de y = x2,

quando x varia no intervalo [0, x0], conforme a Figura 16.3.

No método a ser empregado a seguir, o primeiro passo consiste

em dividir o intervalo [0, x0] em n partes iguais. Esquematicamente,

temos a seguinte divisão de intervalo [0, x0]:

Dessa forma, cada subintervalo dessa divisão tem comprimento igual a x0/n. Consideremos

o i-ésimo subintervalo, onde 1 ≤ i ≤ n. Em qualquer dos subintervalos, a função dada varia.

No entanto, admitindo que, em cada um deles, a função assume um valor constante, reduzimos

o problema ao de determinar a soma de áreas de retângulos. Nesse caso, cada retângulo tem uma

base que mede x0/n e altura igual ao valor da função, admitida agora constante, no intervalo.

AR

AR

n n−( ) +( )≤ ≤2 2π

31071

31070

< <π

Figura 16.3: Área da região delimitada pelas curvas y = x2 e y = 0 (eixo x).

0 . . . xn

0 2 0xn

3 0xn

n xn−( )1 0 n x

nx( )

=00

Figura 16.4: Divisão do intervalo [0, x0] em n partes.

360



Se considerarmos o valor da função no subintervalo como igual ao seu valor mínimo nesse

intervalo, isto é,

16.5

o cálculo da área será, nesse caso, aproximado por falta, já que tomamos para o valor constante

o valor mínimo. Dessa forma, a área aproximada por falta é dada pela soma:

16.6

Levando-se em conta a identidade:

16.7

obtemos, de 16.6 e 16.7, que a área determinada de forma aproxi-

mada, por falta, é dada pela expressão

16.8

Consideremos, agora, o valor constante em cada subintervalo como o valor máximo da

função nesse intervalo, isto é, escolhemos:

16.9

O i-ésimo subintervalo, para 1 ≤ i ≤ n, determina um retângulo cuja base mede x0/n e cuja

altura é, nesse caso,

16.10

Figura 16.5: Área determinada por falta.

y x y i i xni( ) = ( ) = −( ) ⋅

min 1 0

2

S xn

xn

xn

n xnmin = ⋅

+ ⋅

+ ⋅

+ + −( ) ⋅

0 1 2 10

20

20

20

⋅ =

= + + + + −( )

20

03

32 2 2 21 2 3 1

xn

xn

n

1 2 3 11 2 1

62 2 2 2+ + + + −( ) =

−( ) −( ) n

n n n

S xn

n nmin =

−( ) ⋅ −( )03

2

1 2 16

y x y i i xni( ) = ( ) = ⋅

max

02

i xn

⋅

02

361



Nessas circunstâncias, a área da região compreendida entre o eixo x e a curva y = x2, para x

variando no intervalo [0, x0], é aproximada por excesso e seu valor é dado pela soma

16.11

Utilizando em 16.11 a identidade

16.12

o valor aproximado da área, nesse caso, será:

16.13

Assim, vemos que, em ambos os casos, a área da região depende do número n de divisões do

intervalo [0, x0]. Certamente, seu valor estará compreendido entre os valores mínimo e máximo

já calculados. Ou seja, podemos escrever que a área satisfaz:

16.14

Notamos agora que fazendo o número n de divisões do intervalo [0, x0] crescer indefinida-

mente, isto é, no limite em que n tende a infinito, obtemos os seguintes resultados:

16.15

e

16.16

Figura 16.6: Área determinada por excesso.

S xn

xn

n xn

n xnmax = ⋅

+ ⋅

+ + −( ) ⋅

+ ⋅

1 2 102

02

02

0

⋅ =

= + + + +

20

03

32 2 2 21 2 3

xn

xn

n

1 2 31 2 1

62 2 2 2+ + + + =

+( ) +( ) n

n n n

S xn

n nmax =

+( ) ⋅ +( )03

2

1 2 16

xn

n nA x

nn n0

3

20

3

2

1 2 16

1 2 16

−( ) ⋅ −( )≤ ≤

+( ) ⋅ +( )

lim limx x

xn

n n xn

nn n

→∞ →∞

−( ) ⋅ −( )

=

− +

03

20

3

2

221 2 1

6

2 3 1

66 30

3

=x

lim limx x

xn

n n xn

nn n

→∞ →∞

+( ) ⋅ +( )

=

+ +

03

20

3

2

221 2 1

6

2 3 1

66 30

3

=x

362



E, portanto, como os resultados são iguais, podemos escrever com segurança que a área é dada por:

16.17

Esse é o resultado exato para a área da região considerada.

16.4 Soma de RiemannVamos agora estender o procedimento anterior para uma função arbitrária. Com isso,

chegaremos a uma definição formal, rigorosa e precisa da integral definida. O texto a seguir é

adaptado do site ecalculo.if.usp.br.

Seja f uma função contínua num intervalo [a, b] e tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Nosso interesse é o de determinar a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo

x, quando x varia no intervalo [a, b]. Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo

[a, b], constituída pelo conjunto de n + 1 pontos, P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b}. Com essa

partição, ficam determinados n subintervalos, cada um deles da forma [xi − 1, xi]. Como no caso

anterior, o índice i varia de 1 até n, isto é, 1 ≤ i ≤ n. Se tomarmos as n divisões do intervalo [a, b] todas do mesmo tamanho, cada um dos subintervalos terá um comprimento designado por Δx,

onde Δx = xi − xi − 1, para 1 ≤ i ≤ n. Tal simplificação não é necessária, mas será muito útil.

Em cada um dos subintervalos [xi − 1, xi], teremos um valor de x = mi, para o qual a função

atinge um valor mínimo. Assim um valor aproximado, por falta, para a área da região, é dado por:

16.18

que é denominada soma inferior relativa à partição P e à função f.

S S xx

= =→∞

lim 03

3

Figura 16.7: Região compreendida entre as curvas y = f(x) e y = 0 no intervalo [a, b].

S P f x f m x f m x f m x f m x f mni

n

min ,( ) = ∆ ⋅ ( ) + ∆ ⋅ ( ) + ∆ ⋅ ( ) + + ∆ ⋅ ( ) = ∆ ⋅=∑1 2 3

1

ii( )

ecalculo.if.usp.br

363



Podemos, no entanto, considerar outra situação. Consideremos agora, em cada um dos

subintervalos [xi − 1, xi], outro valor de x = Mi, para o qual a função atinge, nesse intervalo, o valor

máximo. Seja f(Mi) para cada i, 1 ≤ i ≤ n, esse valor máximo. Obtemos assim um valor, agora

aproximado por excesso, para a área da região. Escrevemos:

16.19

que é a soma superior relativa à partição P e à função f.Evidentemente, poderíamos considerar um outro ponto em cada um dos subintervalos

[xi − 1, xi], diferente de mi e de Mi. Designamos esse ponto por xi*. Considerando o valor da

função nesse ponto como o valor constante da função nesse subintervalo, obtemos outro valor

aproximado para a área da região:

16.20

Por hipótese, podemos prever que a soma acima satisfaz:

16.21

Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é, fazemos

n→∞, obtemos:

16.22

Pode-se provar que para qualquer escolha dos pontos xi* em cada um dos subintervalos

[xi − 1, xi], para 1 ≤ i ≤ n, vale o resultado:

16.23

onde S*(P, f) indica a soma obtida para a particular escolha de xi*.

S P f x f M x f M x f M x f M x f Mni

n

max ,( ) = ∆ ⋅ ( ) + ∆ ⋅ ( ) + ∆ ⋅ ( ) + + ∆ ⋅ ( ) = ∆ ⋅=∑1 2 3

1

ii( )

S P f x f x xf x x f xn ii

n

aprox , . .* * *( ) = ( ) + + ( ) = ( )=∑∆ ∆ ∆1

1

S P f S P f S P fmin max, , ,( ) ≤ ( ) ≤ ( )aprox

lim ,n

S P f A→∞

( ) =aprox

lim ,*

nS P f A

→∞( ) =

364



Considerando agora os pontos da partição definindo subintervalos não necessariamente do

mesmo tamanho, qualquer uma das somas

16.24

é denominada soma de Riemann para a função f, relativa à partição P e aos números xi*

para 1 ≤ i ≤ n. Observe que a escolha da partição determina o tamanho de Δxi, para 1 ≤ i ≤ n.

Por isso mesmo, uma soma de Riemann é indicada por

16.25

sem recorrermos agora à simplificação de tomar os subintervalos iguais, discutida acima. Essa

soma depende da partição P e da função f.Vale observar que, assumindo que os subintervalos da partição possam ser diferentes, ao

calcular o limite não basta fazer n tender ao infinito, mas é preciso que o comprimento do

maior subintervalo tenda a zero; condição essa que engloba a anterior.

Definimos a integral definida como

16.26

que fornece a área da região acima considerada, uma vez que a função f foi suposta não negativa

no intervalo considerado.

16.5 AntiderivadasA antiderivada de uma função g(x) é outra função, y(x), cuja derivada é a função g(x).

Da definição segue-se que:

16.27

De acordo com o conceito de antiderivada, tal função é definida com exceção de uma

constante, isto é a função antiderivada não é, a rigor, única, pois qualquer outra que difira dessa

por uma constante é, igualmente, uma antiderivada da mesma função.

f x xi ii

n* .( )

=∑ ∆

1

S P f f x xi ii

n* *, .( ) = ( )

=∑ ∆

1

f x dx S P f An

a

b

( ) = ( ) =→∞∫ lim ,*

ddxy x

y xg x g x( ) ( )

= ( ) ( ) é a antiderivada de

365



Exemplo

A antiderivada da função g(x) = 2x é a função y(x) = x2 + C, onde C é uma constante qualquer. Assim, a antiderivada da função proposta pode ser qualquer uma das funções abaixo:

y(x) = x2 + 4y(x) = x2 + 10y(x) = x2 + 100

Portanto, a antiderivada se refere a uma família de funções que diferem entre si apenas por

uma constante. Isso ocorre porque a derivada de uma constante é zero.

Abaixo apresentamos uma tabela de antiderivadas.

Tabela 16.1: Tabela de antiderivadas.

Função Antiderivada

f(x) = k kx + C

f(x) = ex ex + C

f(x) = xn para n ≠ −1 xn

Cn+

++

1

1

f x xx

( ) = =−1 1ln|x| + C

f(x) = senx − cosx + C

f(x) = cosx senx + C

f(x) = sec2x tgx + C

f(x) = cossec2x − cotgx + C

f(x) = secx.tgx secx + C

f(x) = cossecx.cotgx − cossecx + C

f xx

( ) =+1

1 2 arctgx + C

Para verificar cada um dos dados da Tabela 16.1, devemos recorrer aos resultados de

Derivadas das Funções Simples e Técnicas de Diferenciação.

366



16.6 O Teorema Fundamental do CálculoO Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a conexão entre o Cálculo Diferencial e o

Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de determinar a reta tangente a uma

curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de encontrar a área de

uma figura plana. Aparentemente, mas apenas aparentemente, entre os dois problemas parece

não existir nenhuma relação. Isaac Barrow, professor de Newton em Cambridge, descobriu que

os dois problemas estão intimamente relacionados ao perceber que os processos de diferenciação

e integração são processos inversos. Entendeu, assim, o conteúdo do Teorema Fundamental do

Cálculo. Entretanto, foram Newton e Leibniz, independentemente, que exploraram essa conexão

e desenvolveram o Cálculo. Em particular, eles perceberam que o Teorema Fundamental

permitia encontrar a área exata de uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade

de se calcular a soma de áreas de um número indefinidamente grande de retângulos, a partir da

antiderivada da função envolvida.

A seguir, apresentamos o Teorema Fundamental do Cálculo, cujo enunciado é:

Seja g uma função contínua no intervalo [a,b]. A integral definida dessa função nesse

intervalo, e dada pelo limite da soma de Riemann observada em 16.26, ou seja, pela expressão:

16.28

onde a função y(x) é uma função anterivada de g(x).Utilizaremos a notação:

16.29

Assim, a integral definida é igual à diferença entre os valores de qualquer uma das antideri-

vadas – também chamadas primitivas – calculada nos extremos da integral.

Concluímos, por exemplo, que

16.30

g x y b y aa

b

( ) = ( ) − ( )∫

g x y x y b y aa

b

a

b( ) = ( ) = ( ) − ( )∫

xdx x b aa

b

a

b

∫ = = −( )12

12

2 2 2

367



e que, de forma análoga, a área sob a parábola dada por 16.3, no intervalo [a,b], é:

16.31

16.7 Integral IndefinidaEncontrar uma integral da forma

16.32

é o mesmo que determinar uma função y(x) denominada anderivada ou primitiva da função

g(x), tal que

16.33

Toda função contínua g(x) tem uma antiderivada y(x), definida pela expressão 16.33.

Tendo em vista que antiderivadas são definidas a menos de constantes, uma integral da forma

16.32 é uma integral indefinida. Uma integral indefinida define uma família de funções, que

diferem entre si por um termo constante. Assim, se y(x) for uma função antiderivada de g(x), y(x) + C também o será. Portanto, a expressão mais geral de uma integral indefinida é:

16.34

onde C é uma constante arbitrária. Isso nos permite escrever, por exemplo, que a integral

indefinida da função g(x) = 2x pode ser, por exemplo, qualquer uma das funções:

16.35

x dx x b aa

b

a

b2 3 3 313

13∫ = = −( )

g x dx( )∫

dy xdx

g x( )= ( )

g x dx y x C( ) = ( ) +∫

2 1

2 4

2 10

2

2

2

xdx x

xdx x

xdx x

∫∫∫

= +

= +

= +

368



Essa arbitrariedade justifica o nome “integral indefinida”. Em geral, não escrevemos expli-

citamente o termo constante.

A Tabela 16.2 apresenta algumas integrais indefinidas. Para conferir, basta derivar o termo

do lado direito com relação a x e comparar com o integrando do lado esquerdo.

Tabela 16.2: Tabela de integrais indefinidas.

Função Integrando Integrais indefinidas

f(x) = k kdx kx C= +∫f(x) = ex e dx e Cx x= +∫

f(x) = xn para n ≠ −1 x dx xn

Cnn

=+

++

∫1

1

f x xx

( ) = =−1 1 1xdx x C= +∫ ln

f(x) = senx sen cosxdx x C= − +∫f(x) = cosx cos senxdx x C= +∫f(x) = sec2x sec tg2 xdx x C= +∫

f(x) = cossec2x cossec cotg2 xdx x C= − +∫f(x) = secx ⋅ tgx sec tg secx xdx x C⋅ = +∫

f(x) = cossecx ⋅ cotgx cossec cotg cossecx xdx x C⋅ = − +∫

f xx

( ) =+1

1 2

11 2+

= +∫ xdx x Carctg

Como resultado da expressão geral para o caso de um expoente real diferente de −1,

podemos escrever:

16.36 1 1

2xdx

xC

= − +∫

369



16.8 Integrais definindo funçõesConsideremos uma integral da forma:

16.37

Tal integral depende da variável t e da constante a de tal modo que, se variarmos o valor de a,

obteremos diferentes valores para a função I, que diferem por constantes.

Ademais, podemos escrever:

16.38

Agora, como

16.39

do teorema fundamental do cálculo resulta que podemos escrever a integral 16.37 como dife-

rença de antiderivadas:

16.40

ou

16.41

onde y é a antiderivada da função g(x). Observe que a integral acima é bem definida,isto é, não

depende da constante C arbitrária que diferencia uma antiderivada da outra.

I t a g x dxa

t

( , ) ( )= ∫

dI t adt

ddt

g x dx g ta

t( , ) ( ) ( )=

=∫

I a a g x dxa

a

( , ) ( )= =∫ 0

I t a g x dx y t y aa

t

( , ) ( ) ( ) ( )= = −∫

y t y a g x dxa

t

( ) ( ) ( )− = ∫

370



O teorema fundamental do cálculo pode ser escrito em termos de grandezas inifinitesimais.

Para tanto, consideremos o caso em que y é a antiderivada da função g(x). Nesse caso, escrevemos:

16.42

Assim, em termos de grandezas infinitesimais, é válida a identidade:

16.43

Efetuando a soma de Riemann em ambos os lados, levando em conta o intervalo [a,x], e

calculando os respectivos limites, escrevemos:

16.44

O segundo membro de 16.44 pode ser escrito como

16.45

Combinando a expressão 16.44 com 16.45, obtemos 16.41.

Exemplos

• ExEmplo 1 A antiderivada da função constante

16.46

é a função y = kx + C. Donde inferimos que:

16.47

• ExEmplo 2A antiderivada da função cosseno, a menos de uma constante, é a função seno, pois

16.48

dy xdx

g x( ) ( )=

g x dx dy x( ) ( )=

g x dx dy xa

t

a

t

( ) ( )∫ ∫=

dy x y x y t y aa

t

at( ) ( ) ( ) ( )∫ = = −

g x k( ) =

y x y a kdu ku kx kaa

x

a

x( ) − ( ) = = = −∫

d xdx

xsen

cos( )=

371



Assim, de acordo com o teorema fundamental do cálculo, podemos escrever a seguinte expressão:

16.49

donde inferimos que:

16.50

16.51

• ExEmplo 3Consideremos o caso da função exponencial ex. Tendo em vista que a derivada dessa função é dada por:

16.52

obtemos que a integral indefinida dessa função é dada por:

16.53

Em particular,

16.54

Finalmente, considerando que

16.55

podemos constatar que a integral dessa última função é dada por:

16.56

cos sen sen senudu u x aa

x

a

x∫ = = −

cos sen sen sen senudu u x xx

x

00

0∫ = = − =

cos sen sen sen/

udu u x xx

x

ππ

π

22 2

1∫ = = −

= −sen

d edx

ex

x( )=

e du e e eu

a

xua

x x a∫ = = −

e du e e e eux

u x x x

00

0 1∫ = = − = −

d xdx x

arctg ( )( )=

+1

1 2

11 2+

= = −∫ udu u x a

a

x

a

xarctg arctg arctg



17EFETUANDO INTEGRAIS

17.1 Introdução17.2 Algumas Propriedades da Integral Definida

Propriedade 1Propriedade 2Propriedade 3Propriedade 4

17.3 Uma primeira técnica de Integração17.3.1 Mudança de Variável17.3.2 Primitivação por substituição

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

375



17.1 IntroduçãoPara calcular integrais das funções simples, basta fazer uso do conceito de antiderivada.

Nesse caso o procedimento é simples e direto. Tudo que devemos saber é a antiderivada do

integrando. Considere o exemplo abaixo:

Exemplos• ExEmplo 1:

Determine a integral definida da função de expoente real f(x) = x3/2 no intervalo [1,4].

Sabendo-se que sua antiderivada é a função f x x( ) = ( )25

5 2 , encontramos:

17.1

E isso, como apontado antes, porque

17.2

• ExEmplo 2:

Analogamente, podemos escrever que a integral indefinida da função exponencial é dada por:

17.3

e, portanto, a integral definida abaixo pode ser determinada facilmente:

17.4

Entretanto, determinar as primitivas de algumas funções nem sempre é tão simples. Exige

que utilizemos certas propriedades e técnicas.

x dx x3 2

1

45 2

1

45 2 5 2 52

525

4 1 25

2 1 625∫ = ( ) = ( ) − ( )( ) = ( ) − ( )( ) =

x dx x C3 2 5 225( ) = ( ) +∫

e dx e Cx x( ) = +∫

e dx e ex x( ) = = − =∫0

2

0

2

2 1 1ln ln

ln

376

17 Efetuando Integrais


17.2 Algumas Propriedades da Integral DefinidaPara a integral definida,valem as seguintes propriedades:

Propriedade 1

Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função f + g é integrável em [a,b] e

17.5

Ou seja, a integral da soma é a soma das integrais.

• ExEmplo 3:

17.6

Propriedade 2

Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], então a função k⋅f é

integrável em [a,b] e

17.7

Assim, a integral do produto de um número por uma função é igual ao produto desse

número pela integral da função.

f x g x dx f x dx g x dxa

b

a

b

a

b

( ) + ( ) = ( ) + ( )∫ ∫ ∫

x x dx x dx x dx

x x

2 3

1

22

1

23

1

2

3

1

2 4

1

2

3 3 4

3 4

23

13

2

+( ) = + =

= +

= −

+

∫ ∫ ∫

4414

83

13

4 14

7312

4

−

= − + − =

k f x k f xa

b

a

b

∫ ∫⋅ ( ) = ⋅ ( )

377



• ExEmplo 4:

17.8

Propriedade 3

Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto qualquer do intervalo [a,b], então

17.9

• ExEmplo 5:

Calculemos I x dx= ∫ 2

1

3

de duas formas:

1. primeiramente de modo direto:

17.10

2. agora, usando a propriedade:

17.11

4 4

43

4 23

13

4 83

13

28

2

1

22

1

2

3

1

2

3 3

x dx x dx

x

∫ ∫= =

= ⋅ =

= −

= −

= 33

f x dx f x dx f x dxa

b

a

c

c

b

( ) ( ) ( )= +∫ ∫ ∫

Gráfico 17.1: I x dx x dx x dx= = +∫ ∫ ∫2

1

32

1

22

2

3

x dx x2

1

3 3

1

3

3273

13

263∫ = = − =

I x dx x dx x dx

x x

= = + =

= +

= −

+ −

∫ ∫ ∫2

1

32

1

22

2

3

3

1

2 3

2

3

3 3 3

3 3

23

13

33

233

3 3

3

33

13

263

= − =

378



A propriedade 17.9 se revela especialmente útil quando a função for descontínua. Assim, se

c for um ponto de descontinuidade da função, a área da região compreendida entre seu gráfico

e o eixo horizontal será dada pela soma definida em 17.9.

Propriedade 4

Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] então é válida a seguinte propriedade da

integral definida

17.12

Basta observar que f x dxa

a

( ) =∫ 0 , de onde f x dx f x dxb

a

a

b

( ) ( )+ =∫∫ 0 .

• ExEmplo 6:

17.13

Portanto, I1 = −I2, isto é:

17.14

Gráfico 17.2: A função f é descontínua no ponto c e

f x dx f x dx f x dx

a

b

a

c

c

b

( ) ( ) ( )= +∫ ∫ ∫

f x dx f x dxa

b

b

a

( ) = − ( )∫ ∫

I xdx x

I xdx x

12

3 2

2

3 2 2

23

2 2

3

2 2 2

232

22

92

42

52

222

32

5

= = = − = − =

= = = − = −

∫

∫ 22

xdx xdx2

3

3

2

∫ ∫= −

379



17.3 Uma primeira técnica de Integração17.3.1 Mudança de Variável

Muitas vezes o cálculo de integrais pode ser efetuado de uma forma simples mediante

uma mudança de variável. Para efeito de ilustração, consideremos o caso de uma integral de

quociente de funções simples.

• ExEmplo 7:

Efetue a integral, abaixo, na dependência dos parâmetros a e b.

17.15

Lembrando que:

17.16

A integral acima pode ser escrita como:

17.17

Colocando

17.18

Observamos que a primitiva do integrando de 17.17, é

17.19

Portanto,

17.20

I xxdx

a

b

= ∫cossen2

d x xdxsen = cos

I d xxa

b

= ∫sen

sen2

y x= sen

d xx

dyy y

CxC

sensen sen( )

= = − + = − +∫ ∫2 2

1 1

Ix a ba

b

= − = −1 1 1

sen sen sen

380



Para verificarmos a validade de 17.19, devemos derivar o lado direito de 17.19, e verificar que essa

derivada é igual ao integrando de 17.15. De fato, obtemos

17.21

Consideremos uma integral definida, arbitrária, da forma:

17.22

e a mudança de variável definida por:

17.23

Temos que

17.24

Assim, podemos efetuar a integral por meio do uso da variável u. Nesse caso, a integral

17.22 se escreve:

17.25

onde os limites ua e ub são definidos em 17.22.

• ExEmplo 8:

Os casos mais simples de integrais são aqueles envolvendo funções simples.

Consideremos agora o caso em que o argumento da função é kx, k constante. Ou seja, considere-

mos a integral indefinida de uma função da forma:

17.26

ddx x

C ddx x x

d xdx

xx

− +

= −

= ( )

=1 1 1

2sen sen sensen cos

sen(( )2

I g x dxa

b

= ( )∫

x h u= ( )

dx dh udu

du h u du a h u b h ua b= = ′ = =( ) ( ) ( ) ( )

I g x dx g h u h u dua

b

u

u

a

b

= ( ) = ( ) ′( )∫ ∫ ( )

I g kx dx= ( )∫

381



Efetuando a substituição

isto é,

17.27

Podemos escrever a integral 17.26, sob a forma:

17.28

Portanto, se y for a antiderivada de g, segue de 17.28, que:

17.29

• ExEmplo 9:

Determine a integral

17.30

Pelo que foi visto acima, obtemos para a integral indefinida da função g(x) = cos(kx)

17.31

e, portanto, a integral definida em 17.30 é:

17.32

u kxdu kdxduk

dx

==

=

u kx dx duk

= ⇒ =

g kx dxkg u du( ) = ( )∫ ∫

1

g kx dx y kxk

C( ) = +∫( )

I kx dx= ( )∫ cos0

2π

cossen

kx dxkxk

C( ) =( )

+∫

cos sen sen sen . senkx dx kx

k

k

kkk

k

k( ) = =

( )−

( )=

( )∫0

2

0

2

2 0 2π π π π

382



• ExEmplo 10:

Considere uma função dependente do tempo, que é dada pela integral:

17.33

Em primeiro lugar, examinemos a integral indefinida:

17.34

aonde fizemos a mudança de variável u = (av)2 ⇒ du = 2a2v dv e, portanto, [1/(2a)]du = av dv.

Logo,

17.35

• ExEmplo 11:

Determine a integral definida no intervalo [0, t], cuja expressão é:

17.36

Observamos que a integral dada pode ser escrita da seguinte maneira:

17.37

e, fazendo a substituição

17.38

obtemos para a integral indefinida correspondente

17.39

x t x t avav

dvt

t

( ) ( )( )

− =+

∫0 210

avav

dva u

dua

u Ca

u Ca

av C1

12

11

22

1 1 1 1 12

2

+=

+= + + = + + = + +∫ ∫( )

( )

x t x ta

ava

at att

t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = + = + − +( )02 2

021 1 1 1 1

0

y t dvv

t

( ) =+

∫101 4 2

0

y t d vv

t

( ) ( )( )

=+

∫102

21 2 2

0

2 22

v w dv w dwd v w d

= ⇒ ==

senh cosh( ) cosh

ww

5 21 2

51

5 5 5 22 2

d vv

w dww

dw w C v C( )( )

coshsenh

arcsenh+

=+

= = + = +∫ ∫ ∫

383



ou seja

17.40

Algumas primitivas imediatas ou quase imediatas:

y t d vv

v tt

t( ) ( )( )

arcsenh arcsenh arcsenh .=+

= = − =∫52

1 25 2 5 2 5 2 0

20

055 2arcsenh t

Um lembrete!

As funções hiperbólicas são definidas pelas expressões:

17.41

17.42

É possível verificar que

17.43

e que

17.44

Mais ainda,

17.45

de onde,

cosh2x = 1 + senh2x

fato esse que foi usado na integral anterior.

senh x e ex x

=− −

2

cosh x e ex x

=+ −

2

ddx

x e e xx x

(senh ) cosh=+

=−

2

ddx

x e e xx x

(cosh ) senh=−

=−

2

cosh senh2 22 2 2 22

424

44

1x x e e e ex x x x

− =+ +

−− +

= =− −

384



• ExEmplo 12:

17.46

É uma primitiva imediata pois ddx

x xtg sec( ) = 2 , logo

17.47

• ExEmplo 13:

17.48

Uma vez que sec2x = 1 + tg2x, temos que

17.49

2sec xdx∫

sec tg2 xdx x C∫ = +

2tg xdx∫

tg sec tg2 2 1xdx x dx x x C∫ ∫= −( ) = − +

• ExEmplo 14:Neste exemplo é preciso um cuidado especial.

A função integrando está definida para todo número real não nulo.

• Se x > 0 então 1 lndx x Cx

= +∫ pois ( ) 1lnd xdx x

=

• Se x < 0 então ( )1 1 lndx dx x Cx x

= − = − +−∫ ∫ pois

( )( ) 1lnd xdx x

− = −−

pela Regra da Cadeia. (Lembre que só existe logaritmo de número estritamente positivo e que, se x < 0, então −x > 0.)

Logo, reunindo os dois casos,

17.50i1 dxx∫

17.51i

17.52i

17.53i1xdx x C= +∫ ln

385



• ExEmplo 15:

17.54

Como

17.55

(faça a divisão de polinômios para chegar a esse resultado)

temos:

17.56

(verifique com cuidado.)

• ExEmplo 16:

17.57

Como x

x x

2

2 211 1

1+= −

+, então

17.58

pois ddx

xx

arctg( ) =+1

1 2 .

• ExEmplo 17:

17.59

17.60

(verifique.)

1 53 1−+∫x

xdx

1 53 1

53

83

3 153

83

13 1

−+

= − ++

= − + ⋅+

xx x x

1 53 1

53

83

13 1

53

89

3 1−+

= − + ⋅+

= − + + +∫ ∫

xx

dxx

dx x x Cln

xx

dx2

2 1+∫

xx

dx x x C2

2 1+= − +∫ arctg

2 3e dxx−∫

2 2 23

3 3 3e dx e dx e Cx x x− − −∫ ∫= = − +

386



17.3.2 Primitivação por substituição

Lembramos, utilizando o conceito de função composta, que: f g x g x dx f u du( )( ) ′( ) = ( )∫ ∫. .

É importante observar que, para utilizar esta técnica, é importante que no integrando esteja

presente a derivada – ou quase, a menos de constante multiplicando – de uma função u = g(x), sendo u a variável de uma outra função que se quer integrar.

Alguns exemplos resolvidos:

• ExEmplo 18:

Como x2 é “quase” a derivada de x3, fazemos:

u x du x dx= + ⇒ =3 25 3 ou (1/3)du = x2dxe daí

(Lembre que k f x dx k f x dx. .( ) = ( )∫ ∫ . Por quê?)

• ExEmplo 19:

Basta notar que ddx

x xsen cos( ) = ; logo fazemos:

e daí

x x dx2 3 5sen +( )∫

x x dx udu u C x C2 3 35 13

13

13

5sen sen cos cos+( ) = = − + = − +( ) +∫ ∫

sen cosx xdx∫

u x du xdx= ⇒ =sen cos

sen cos senx xdx udu u C x C∫ ∫= = + = ( ) +

32 3

232

23

387



• ExEmplo 20:

Tendo em vista que

fazemos:

e daí

• ExEmplo 21:

Considerando que

fazemos:

e daí

x x dx3 123 +∫

ddx

x x3 1 62 +( ) =

u x du xdx= + ⇒ =3 1 62

x x dx udu u du u C x C x3 1 16

16

16

34

18

3 1 18

323 313

43 2

43 2+ = = = ⋅ + = +( ) + =∫ ∫ ∫ ++( ) +1

43 C

xxdx

2

31 9−∫

ddx

x x1 9 273 2−( ) = −

u x du x dx= − ⇒ = −1 9 273 2

xxdx du

uu du u C x C

2

3

12

12 3

1 9127

127

127

2 227

1 9−

= − = − = − ⋅ + = − − +−

∫∫∫

388



• ExEmplo 22:

Uma vez que ddx

e ex x3 33( ) = , fazemos:

logo,

• ExEmplo 23:

Uma vez que

fazemos:

logo,

∫ e3x dx

u e du e dxx x= ⇒ =3 33

e dx du u C e Cxx

331

3 3 3∫ ∫= = + = +

∫ x2ex3 dx

ddx

e x e dxx x3 3

3 2( ) = ⋅

u e du x e dxx x= ⇒ = ⋅3 3

3 2

x e dx du u C e Cxx

2 33

13 3 3∫ ∫= = + = +

389



Mais dois exemplos, envolvendo esta técnica, no caso de integrais definidas:

• ExEmplo 24:

É preciso observar que a variável x varia no intervalo [1, 2].

Há duas maneiras de proceder:

Calculamos primeiro a integral indefinida ln x dx

x∫ e depois a integral definida. Assim,

(Note a substituição u = lnx ⇒ du = (1/x)dx)Agora,

pois ln1 = 0.

• Outra maneira de calcular 2

1

ln x dxx∫ é, ao fazer a mudança de variável, mudar também os limites

de integração, colocando agora a variação de u.

Assim, fazendo

temos:

logo

como antes.

2

1

ln x dxx∫

ln lnxxdx udu u C

xC∫ ∫= = + =

( )+

2 2

2 2

ln ln lnxxdx x

1

2 2

1

2 2

22

2∫ = =

u x duxdx= ⇒ =ln 1

x ux u= ⇒ == ⇒ =

1 02 2ln

ln lnln lnxxdx udu u

1

2

0

2 2

0

2 2

22

2∫ ∫= = =

390



• ExEmplo 25:

Temos:

(Lembre que 2 2 2x xe ex

= =ln ln e, portanto, ddx

ddx

e ex x x x2 2 2 22 2( ) = ( ) = ⋅ =ln ln ln ln )

Assim,

2 22

22

12

120

1

0

1x

x

dx∫ = = − =ln ln ln ln

.

1

0

2xdx∫

2 22

xx

dx C∫ = +ln

Agora é a sua vez...Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem



18OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO


18.1 Integração por partes18.2 Integrais de funções trigonométricas18.3 Uso de funções trigonométricas18.4 Integração de Quociente de Polinômios18.5 Alguns exemplos resolvidos

18.5.1 Primitivação por partes18.5.2 Primitivação de frações racionais transformando-as em frações parciais18.5.3 Primitivação com substituições trigonométricas

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

393



18.1 Integração por partesSejam u e v duas funções da variável x. Levando-se em conta a propriedade relativa à deri-

vada do produto de funções:

18.1

na notação de integrais indefinidas, temos:

18.2

donde inferimos que:

Exemplos

• ExEmplo 1:Calculemos

18.3

Introduzindo as variáveis u e v, de acordo com as expressões

18.4

de onde temos:

18.5

Assim, utilizando a expressão 18.2, obtemos para a integral acima a seguinte expressão:

18.6

ddxu x v x

du xdx

v xdv xdx

u x( ) ⋅ ( )( ) = ( )⋅ ( ) + ( )

⋅ ( )

u x v x u x v x dx v x u x dx( ) ⋅ ( ) = ′( ) ⋅ ( ) + ′( ) ⋅ ( )∫ ∫

′( ) ⋅ ( ) = ( ) ⋅ ( ) − ′( ) ⋅ ( )∫ ∫v x u x dx u x v x u x v x dx

I x x dx= ∫ cos

u x v x= ′ = e cos

′ = =u v x1 e sen

x xdx x x xdxcos sen sen= − ⋅∫ ∫1

394

18 Outras Técnicas de Integração


ou seja,

18.7

Agora, no caso de uma integral definida, temos:

18.8

• ExEmplo 2:Consideremos a integral da função y(x) = xcos(x2 + 1) no intervalo de valores da variável indepen-dente [0,2]. Isto é, determinemos a integral definida:

18.9

Primeiramente introduzimos uma mudança de variáveis da forma

18.10

o que nos leva à seguinte expressão para a diferencial de u:

18.11

Além disso, se u = x2 + 1, temos:

18.12

Portanto:

18.13

x xdx x x x Ccos sen cos∫ = + +

x xdx x x xcos sen cos

sen cos sen cos

π

π

π

π

π π ππ π π

22

2 2 2

∫ = +[ ] =

= + − +

=

= − −12π

I x x dx= +( )∫0

22 1cos

u x= +2 1

du x dx du x dx= ⇒ =2 12

x ux u= ⇒ == ⇒ =

0 12 5

I x x dx x x dx

u du

= +( ) = +( ) [ ] =

= [ ]

∫ ∫

∫

0

22 2

0

2

1

5

1 1

12

cos cos

cos

= =

= = −( )

∫12

12

12

5 1

1

5

1

5

cos

sen sen sen

u du

u

395



Levando em conta que

18.14

obtemos, finalmente:

18.15

18.2 Integrais de funções trigonométricasMuitas vezes estamos diante de integrais de funções trigonométricas cuja resolução envolve

o uso de suas propriedades. A seguir, daremos alguns exemplos.

• ExEmplo 3:Efetue a seguinte integral

18.16

A integral acima pode ser reescrita

18.17

Lembrando que

18.18

a integral acima pode ser escrita como:

18.19

sen ,sen ,

5 0 9589241 0 841471≅ −≅

I ≅ − −( ) = −12

0 958924 0 841471 0 900197, , ,

I xdxa

b

= ∫ tg

I xxdx

a

b

= ∫sencos

d x xdxcos sen= −

Id x

xx x

ba

aba

b

a

b

a

b= −

( )= − = = =∫

coscos

ln cos ln sec lnsecsec

lncoscos

396



• ExEmplo 4:Determine a integral indefinida

18.20

Lembrando que

18.21

concluímos que

18.22

Substituindo-se essa expressão em 18.20, obtemos:

18.23

Esta última expressão pode ser facilmente integrada. Obtemos:

18.24

18.3 Uso de funções trigonométricasMuitas integrais podem ser efetuadas por meio de substituições que envolvem funções

trigonométricas. A seguir, ilustraremos tal fato com dois exemplos.

• ExEmplo 5:Determine a integral indefinida I, definida a seguir, no intervalo [0,1].

18.25

y x x dx( ) = ( )∫ cos2

cos cos sen cos cos2 12 2 2 2x x x x x= − = − −( )

cos cos2 12

2 1x x= +( )

y x x dx x dx( ) = ( ) = +( )∫ ∫cos cos2 12

2 1

y x x x C( ) = + +14

2 12

sen

Ix

dx=

−

∫1

1 14

20

1

397



→ REsolução

Efetuando a substituição, envolvendo a função seno:

18.26

onde − < <π

θπ

2 2, a fim de que a função x = 2sen θ seja inversível e exista a função integrando.

A integral indefinida associada à integral definida proposta é escrita, em termos da função da variável θ, como:

18.27

Observamos que

18.28

A integral definida proposta é, portanto, dada por:

18.29

• ExEmplo 6:Encontre o valor da integral definida:

18.30

→ REsolução

Determinemos a integral indefinida associada à integral acima mediante a substituição:

18.31

onde − < <π

θπ

2 2 a fim de que a função x = 3 tgθ seja inversível.

x dx d= ⇒ =2 2sen cosθ θ θ

1

1 14

21

2 2

2 2

22

−=

−=

= = =

= + =

∫ ∫

∫ ∫

xdx d

d d

C

cossen

coscos

arcse

θ

θθ

θθ

θ θ

θ nn x C2+

1 2 2− = = =sen cos cos cosθ θ θ θ pois − < <π

θπ

2 2

Ixdx x

=−

= = −

=

∫1

1 14

22

2 12

0 2620

1

0

1

arcsen arcsenarcsen π =

π3

Ix x

dx=+( )∫

1

92 21

3

x dx d d= ⇒ = =

3 3 3 12

2

tg seccos

θ θ θθ

θ

398



Obtemos então:

18.32

Observamos que cos cos cos2 θ θ θ= = , pois − < <π

θπ

2 2.

Lembrando que:

18.33

onde fizemos a substituição

18.34

Logo,

18.35

(Verifique!)Assim, finalmente, podemos escrever:

18.36

1

9

1

9 9 1

3 1

2 2

2

2

2

2

2

x xdx

d

+( )=

=

+

⋅ =

=

∫

∫sencos

sencos

cosθθ

θθ

θθ

119

1

1

19

11

19

22

2

22

2

sen sencos

sencos

cossen

θθθ

θ

θθ

θ

θθ

θ

+

=

= =

=

∫

∫

d

d

d∫∫

19

19

19

12 2

cossen

θθ

θd duu u

C∫ ∫= = ⋅ −

+

u du d= ⇒ =sen cosθ θ θ

19

19

1

19

2

cossen sen

sectg

θθ

θθθθ

d C

C

∫ = − + =

= − +

19

19

91

319

9

2

2

2

cossen

θθ

θd

x

x C

xx

C

∫ = −+

+ =

= −+

+

399



E, portanto, a integral definida solicitada é dada por:

18.37

18.4 Integração de Quociente de PolinômiosIntegrais de funções dadas por um quociente de polinômios (as funções racionais) podem

ser efetuadas mediante o uso de expressões que envolvem somas de funções (ou expressões)

mais simples, ou seja, transformamos a função racional dada numa soma de frações parciais.

• ExEmplo 7:Determine a integral indefinida da função y

x x=

+ +13 22 .

→ REsolução

A integral indefinida se escreve:

18.38

Observamos que o denominador é um polinômio de segundo grau que tem raízes:

18.39

Assim, podemos escrever o polinômio de segundo grau sob a forma:

18.40

e, portanto,

18.41

Ix x

dx xx

=+( )

= −+

= −+

++

= −( )∫1

9

19

9 19

9 93

19

1 91

19

10 22 2

1

3 2

1

32

13 22x x

dx+ +∫

x

x

1

2

3 9 4 22

1

3 9 4 22

2

=− + − ⋅

= −

=− − − ⋅

= −

x x x x2 3 2 2 1+ + = +( ) +( )

13 2

12 1 2 12x x x x

Ax

Bx+ +

=+( ) +( )

=+

++

400



Resta-nos agora encontrar A e B.De 18.41 podemos escrever

18.42

Essa igualdade entre polinômios é verdadeira para qualquer valor de x. Assim, fazendo

18.43

temos

18.44

A integral indefinida que se quer determinar pode ser escrita como a integral da soma de duas frações parciais:

18.45

Donde concluímos que:

18.46

18.5 Alguns exemplos resolvidos18.5.1 Primitivação por partes

Lembremos novamente que

18.47

desde que f e g sejam funções deriváveis.

1 1 2= +( ) + +( )A x B x

x A B Bx A B A= − = ⋅ + ⋅ ⇒ =

= − = ⋅ −( ) + ⋅ ⇒ = −

1 1 0 1 12 1 1 0 1

::

13 2

12

112x x x x+ +

=−+

++

13 2

12

11

2 12 1 2x xdx

xdx

xdx x C x C

+ +=

−+

++

= − + + + + +∫ ∫ ∫ ln ln

13 2

122 1 2x x

dx xx

C C C C+ +

=++

+ = +∫ ln , onde

ddx

f x g x f x g x f x g x( ) ⋅ ( ) = ′( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ′( )

401



E, portanto:

18.48

ou seja,

18.49

Fazendo u = f(x) e v = g(x), temos du = f ʹ(x)dx e dv = gʹ(x)dx e daí podemos escrever:

18.50

• ExEmplo 8:

Determine a integral indefinida: lnx xdx∫ .A fim de calcular esta integral, é preciso fazer uma escolha para u e dv. Vejamos: colocando u = x e dv = ln x dx, encontramos du = dx, mas não conseguimos facilmente determinar v x dx= ∫ ln . Isso nos leva a tentar a outra escolha:

18.51

de onde

18.52

Logo,

18.53

• ExEmplo 9:

Determine a integral indefinida: ln xdx∫ .Neste exemplo há apenas uma possibilidade de escolha:

18.54

f x g x f x g x f x g x dx f x g x dx f x( ) ⋅ ( ) = ′( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ′( ) = ′( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅∫ ∫ ′′( )∫ g x dx

f x g x dx f x g x f x g x dx( ) ⋅ ′( ) = ( ) ⋅ ( ) − ′( ) ⋅ ( )∫ ∫

u dv uv v du∫ ∫= −

u x dv xdx= =ln e

duxdx v x

=

=

12

2

e

x xdx x x xxdx x x x dx x x x Cln ln ln ln∫ ∫ ∫= − ⋅ = − = − +

2 2 2 2 2

2 21

2 2 2 4

u x dv dx= =ln e

402



de onde

18.55

Logo,

18.56

• ExEmplo 10:

Determine a integral indefinida: exx dx∫ .Neste exemplo fazemos:

18.57

de onde

18.58

Logo

18.59

• ExEmplo 11:

Calcule a integral indefinida arctg xdx∫ .Neste exemplo fazemos:

18.60

de onde

18.61

Logo,

18.62

duxdx v x= =

1 e

ln ln lnxdx x x xxdx x x x C= − ⋅ = − +∫∫

1

u x dv e dxx= = e

du dx v ex= = e

x dx x dx x Cx x x x xe e e e e= − = − +∫∫

Sugestão! Faça a outra possível escolha e convença-se de que ela não é adequada.

u x dv dx= =arctg e

duxdx v x=

+=

11 2 e

arctg arctg arctg lnxdx x x xxdx x x x C∫ ∫= ⋅ −

+= ⋅ − +( ) +1

12

122

403



• ExEmplo 12:

Calcule a integral indefinida: senx xdx∫ .Neste exemplo fazemos:

18.63

de onde

18.64

Logo,

18.65

• ExEmplo 13:

Calcule a integral indefinida: e senx xdx∫ .Neste exemplo fazemos:

18.66

de onde

18.67

Logo,

18.68

Chegamos a uma integral com o mesmo grau de dificuldade e para a qual aplicamos a mesma técnica, fazendo:

18.69

de onde

18.70

Logo,

18.71

de onde

18.72

u x dv xdx= = e sen

du dx v x= = − e cos

x xdx x x xdx x x x Csen cos cos cos sen∫ ∫= − + = − + +

u e dv xdxx= = e sen

du e dx v xx= = − e cos

e e ex x xxdx x xdxsen cos cos∫ ∫= − +

u e dv xdxx= = e cos

du e dx v xx= = e sen

e e e e e ex x x x x xxdx x xdx x x xdxsen cos cos cos sen sen∫ ∫ ∫= − + = − + −

2 e e ex x xxdx x x Ksen cos sen∫ = − + +

404



ou seja,

18.73

• ExEmplo 14: Determine a integral indefinida: x dxx2 2e−∫ .Fazemos

18.74

de onde

18.75

Logo,

18.76

A nova integral é mais fácil do que a inicial. Aplicando novamente a técnica de integração por partes, temos:

18.77

de onde

18.78

Logo

18.79

e e onde xx

xdx x x C C Ksen sen cos∫ = −( ) + =2 2

Sugestão! Determine novamente a integral fazendo a outra escolha possível.

u x dv e dxx= = −2 2 e

du xdx vx

= =−

−

22

2

e e

x dx x xdx x x dxxx x x

x2 2 22 2

22

2

2 22

2e e e e e−

− − −−∫ ∫ ∫= − ⋅ + = − ⋅ + ⋅

u x dv e dxx= = − e 2

du dx vx

= =−

−

e e 2

2

x dx x dx x dx xxx x x

xx

e e e e e e e−− − −

−− −

∫ ∫ ∫= − ⋅ + = − ⋅ + = − ⋅ −22 2 2

22 2

2 2 212 2

xx

C4

+

405



Assim, a solução da integral inicial é:

18.80

18.5.2 Primitivação de frações racionais transformando-as em frações parciais

Vejamos alguns exemplos que envolvem a integração de funções racionais, isto é, funções

que são quociente de funções polinomiais.

• ExEmplo 15: Determine a integral indefinida:

116 2+∫ x

dx.

Observamos que, neste exemplo, a fração dada não pode ser transformada na soma de duas frações mais simples, uma vez que o denominador não é fatorável. Entretanto, é um exemplo muito importante e, por esse motivo, o apresentamos em primeiro lugar, ao pensar na integração de funções racionais.

18.81

Fazendo:

18.82

e então

18.83

O raciocínio utilizado pode ser, evidentemente, generalizado para qualquer integral indefinida do

tipo 1

2 2a xdx

+∫ , onde a é um número real não nulo.

x dx x x C x x Cxx x x x

2 2 22 2 2 2

2

2 2 4 212

e e e e e−− − − −

∫ = − − − + = − + +

+

116

1

16 116

116

1

116

2 2 2+=

+

=+

∫ ∫ ∫xdx

xdx

xdx

u x du dx= ⇒ =4

14

116

116

1

116

116

11

4 14

142 2 2+

=+

=+

= + =∫ ∫ ∫xdx

xdx

udu u Carctg arcctg x C

4+

406



• ExEmplo 16:

Calcule a integral: 1

4 2−∫ xdx.

A fração racional, que constitui o integrando, pode ser decomposta na soma de duas frações mais simples:

18.84

A fim de encontrar os coeficientes A e B, temos, a partir da igualdade acima:

18.85

onde temos dois polinômios idênticos, ou seja, a igualdade entre eles vale para qualquer valor real da variável x. Em particular, quando

18.86

Daí, podemos escrever:

18.87

E, portanto,

18.88

ou seja,

18.89

• ExEmplo 17:

Calcule a integral indefinida: 152x x

dx−( )∫ .

Vamos decompor a fração racional em frações mais simples:

18.90

A partir da igualdade acima, podemos escrever:

18.91

14 2 22−

=−

++x

Ax

Bx

1 2 2= +( ) + −( )A x B x

x B B

x A A

= − ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

2 1 4 14

2 1 4 14

14

14

2

14

22−=

−+

+x x x

14

14

12

14

122−

=−

++∫ ∫ ∫x

dxxdx

xdx

14

14

2 14

2 14

222−

= − − + + + =+−

+∫ xdx x x C x

xCln ln ln

15 52 2x x

Ax

Bx

Dx−( )

= + +−

1 5 5 2= ⋅ ⋅ −( ) + ⋅ −( ) + ⋅A x x B x D x

407



onde temos dois polinômios idênticos, ou seja, a igualdade entre eles vale para qualquer valor real da variável x. Em particular, quando

18.92

Daí, podemos escrever:

18.93

• ExEmplo 18: Obtenha a integral indefinida dada a seguir:

122x xdx

+ +∫ .

Observamos, em primeiro lugar, que o polinômio que está no denominador do integrando é irre-dutível; logo, não pode ser fatorado, pois seu discriminante é negativo, isto é Δ < 0.Completando os quadrados, podemos escrever:

18.94

e, portanto, podemos escrever:

18.95

Agora, na nova integral, notamos que, ao fazer a substituição,

18.96

obtemos no integrando a derivada da função arctg. De fato,

18.97

x B B

x D D

x A B D A A

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = + + ⇒ = + ⇒ =

0 1 5 15

5 1 25 125

1 1 4 4 1 4 2125

125

15

125

1 15

1 125

15

125

15

1252 2

1

x xdx

xdx

xdx

xdx x x

−( )= + +

−= − −∫ ∫ ∫ ∫ −ln lnn

ln

5

125 5

15

1

− + =

=−

− ⋅ +

x C

xx x

C

x x x x x2 22

2 2 12

14

74

12

74

+ + = + ⋅ + + = +

+

12

112

74

47

147

12

12 2 2x x

dxx

dxx

dx+ +

=+

+

=+

+

∫ ∫ ∫

u x du dx= +

⇒ =

47

12

47

12

47

147

12

1

47

21

74

272 2 2x x

dxx

dxu

du u C+ +

=+

+

=+

⋅ = + =∫ ∫∫ arctg

== +

+

27

27

12

arctg x C

408



Observação:A técnica de decomposição em frações parciais baseia-se em alguns teoremas, que passamos a enunciar. Um maior aprofundamento sobre essa técnica pode ser encon-trado em http://ecalculo.if.usp.br.

Teorema 1 Sejam a, b, α e β números reais, com α ≠ β. Então, existem números reais A e B, tais que:

18.98

Teorema 2 Sejam α e β números reais, com α ≠ β e P um polinômio cujo grau é estritamente menor que 3. Então, existem números reais A, B e D, tais que:

18.99

Teorema 3 Sejam b, c, α números reais e P, um polinômio cujo grau é estritamente menor que 3. Suponhamos ainda que x2 + bx + c não admita raízes reais, isto é, seu discriminante é menor que zero. Então, existem números reais A, B e D, tais que:

18.100

Teorema 4Sejam b, c e α números reais e P, um polinômio cujo grau é estritamente menor que 5. Suponhamos ainda que x2 + bx + c não admita raízes reais, isto é, seu discriminante é menor que zero. Então, existem números reais A, B, D, E e F, tais que:

18.101

ax bx x

Ax

Bx

+−( ) ⋅ −( )

=−

+−α β α β

P xx x

Ax

Bx

Dx

( )−( ) ⋅ −( )

=−

+−

+−( )α β α β β2 2

P xx x bx c

Ax

Bx Dx bx c

( )−( ) ⋅ + +( )

=−

++

+ +α α2 2

P x

x x bx cAx

Bx Dx bx c

Ex Fx bx c

( )−( ) ⋅ + +( )

=−

++

+ ++

+

+ +( )α α2 2 2 2 2

http://ecalculo.if.usp.br

409



Precisamos observar que o polinômio do denominador sempre pode ser decomposto num

produto de fatores do primeiro ou do segundo grau. Os fatores de primeiro grau aparecem

quando existem raízes reais; as raízes complexas são responsáveis pelos fatores de segundo grau.

Evidentemente, todos esses teoremas poderiam ser enunciados numa forma mais geral. O

que precisa estar claro é o fato de que o grau do polinômio do numerador deve ser estritamente

menor do que o grau do polinômio do denominador para podermos efetuar a decomposição

em frações parciais. Se não for esse o caso, primeiro fazemos a divisão de polinômios, a fim de

tornar o problema mais simples e poder decompor a fração.

18.5.3 Primitivação com substituições trigonométricas

Existem situações em que substituições que envolvem funções trigonométricas são muito úteis.

• ExEmplo 19:Calcule a integral indefinida:

112xdx

+∫ .

Neste caso, fazendo

18.102

temos:

18.103

Note que − < <π

θπ

2 2, a fim de que a função x = tg θ seja inversível e, portanto, sec sec2 θ θ= = secθ,

uma vez que, para − < <π

θπ

2 2, sec θ > 0.

Agora,

18.104

(observe o artifício de multiplicar e dividir por sec θ + tg θ, a fim de obter, no numerador, a derivada do denominador).

x dx d= ⇒ =tg secθ θ θ2

11 12

2

2xdx d d

+=

+=∫ ∫ ∫ sec

tgsecθ

θθ θ θ

secsec . sec tg

sec tgsec sec . tg

secθ θ

θ θ θθ θ

θθ θ θ

θd d∫ ∫=

+( )+( )

=+( )+

2

ttgln | sec tg |

θθ θ θ

( )= + +∫ d C

410



Retornando à variável x, obtemos:

18.105

(Verifique!)

• ExEmplo 20:Calcule a integral indefinida: x dx2 1+∫ .Começamos utilizando a integração por partes, fazendo:

18.106

de onde

18.107

Então,

18.108

Ainda podemos escrever

18.109

e, a partir daí,

18.110

Para a última integral, utilizamos o exemplo anterior e obtemos então:

18.111

• ExEmplo 21:Determine a integral indefinida: 1 2−∫ x dx.

11

12

2

xdx x x C

+= + + +∫ ln | |

u x dv dx= + =2 1 e

du xx

dx v x=+

=2 1

e

x dx x x xx

xdx x x xx

dx2 2

2

22

21 1

11

1+ = + −

+= + −

+∫∫ ∫

x dx x x xx

dx x x xx

dx2 22

2

22

21 1

11 1 1

1+ = + −

+= + −

+ −

+=∫ ∫ ∫

= x x2 ++ − + ++

∫∫1 1 11

2

2x dx

xdx

2 1 1 11

2 2

2x dx x x

xdx+ = + +

+∫ ∫

x dx x x x x C2 2 21 12

1 1+ = + + + +

+∫ ln | |

411



Neste caso, fazendo

18.112

e observando que − < <π

θπ

2 2, a fim de que a função x = sen θ seja inversível, temos:

18.113

onde observamos que 1 2 2− = = =sen cos | cos | cosθ θ θ θ, uma vez que, para − < <π

θπ

2 2, cosθ > 0.

Assim,

18.114

(lembre-se de que cos 2θ = cos2θ − sen2θ, isto é, cos 2θ = 2cos2θ − 1, ou seja, cos cos2 1

22θθ

+= ).

Retornando à variável x, temos:

18.115

(Verifique!)

x dx d= ⇒ =sen cosθ θ θ

1 12 2 2− = − ⋅ =∫ ∫ ∫x dx d dsen cos cosθ θ θ θ θ

1 1 22 2

24

2 2− = =+

= + +∫ ∫ ∫x dx d d Ccos cos senθ θ

θθ

θ θ

12

24 2

12− = + + = +−

∫ x dx x x x C x xarcsen sen(arcsen )cos(arcsen ) arcsen xx C2

2+





19APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL

19.1 Cálculo de áreas19.2 Área da região compreendida entre duas curvas19.3 Trabalho e Energia potencial 19.4 Valores médios de grandezas19.5 Somas 19.6 Propagação de sinais19.7 Sinais periódicos

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

415



19.1 Cálculo de áreasO método mais simples e intuitivo de se determinar uma área é o que se baseia na decom-

posição de uma figura plana num número de figuras planas cujas áreas sejam bem conhecidas.

A área total é igual à soma das área das partes. Essa é também a base do cálculo integral.

Assim, se f é uma função contínua em [a,b] e tal que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a,b], então a área

da região compreendida entre o eixo x e o gráfico de f, para x variando em [a,b], é por definição:

19.1

onde

e em cada subintervalo [xi − 1, xi] tomamos um ponto xi*, isto é, xi − 1 < xi

* < xi, para todo

i = 1,2,3,...,n.

Exemplos

• Exemplo 1:

Determine a área compreendida entre a parábola y = ax² + bx + c e o eixo x, considerando-se apenas o intervalo [d, e], como indicado na Figura 19.2.

A f x dx f x xd

b

n i ii

n

= ( ) = ( ) ⋅∆∫ ∑→∞=

lim *

1

Figura 19.1: Partição do intervalo [a, b].

xn = ba = x0 x1 x2 ... xn − 1

Figura 19.2: A região compreendida entre a parábola e o eixo x, para x pertencente ao intervalo [d,e].

416

19 Aplicações do Cálculo Integral


→ Resolução

Por definição, a área solicitada é dada por:

19.2i

Efetuando cada integral separadamente, obtemos:

19.3i

• Exemplo 2:

Determine a área da região compreendida entre a parábola y = 3x² + 1 e o eixo x. Considere o caso particular do intervalo [0, 4]. Adote o sistema MKS para interpretar as medidas de comprimento e a área encontrada.

→ Resolução

A área solicitada é dada pela integral definida:

19.4i

Efetuando cada uma das duas integrais separadamente, obtemos:

19.5i

A ax bx c dx a x dx b xdx c dxd

e

d

e

d

e

d

e

= + +( ) = + +∫ ∫ ∫ ∫2 2

A a x b x cx a e a d b e b d ce cd

a e d bd

e

d

e

d

e= + + = − + − + −

= −( ) +3 2 3 3 2 2

3

3 2 3 3 2 2

3 3

222 2e d c e d−( ) + −( )

Figura 19.3: A região compreendida entre a parábola e o eixo x, para x pertencente ao intervalo [0,4].

A x dx x dx dx= +( ) = +∫ ∫ ∫3 1 3 12

0

42

0

4

0

4

A x x= + = + =3

0

4

0

4 3 24 4 68 m

417



• Exemplo 3:

Determine a área do círculo de raio R dividindo-o em quatro quadrantes e calculando a área do primeiro quadrante.

→ Resolução

Tendo em vista que a área do primeiro quadrante é a área da região delimitada pela curva descrita

pela função y R x= −2 2 e o eixo x, onde a coordenada x, no caso do primeiro quadrante, varia no

intervalo 0 ≤ x ≤ R, temos que a área da região é dada por:

19.6i

Fazendo a mudança da variável de integração tal que:

19.7i

os limites de integração passam a ser, respectivamente,

19.8i

Assim, a área do primeiro quadrante é dada por:

19.9

Utilizando a relação fundamental entre o quadrado dos senos e cossenos e o domínio de integração, a expressão para a área se reduz a uma integral da forma:

19.10

Utilizando a identidade cos2θ = (cosθ)2 − (senθ)2, obtemos:

19.11

Assim,

19.12

Figura 19.4: A região é a quarta parte de um círculo.

A R x dxR

= −∫ 2 2

0

x R dx R d= ⇒ = −( )cos senθ θ θ

x x R= ⇒ = = ⇒ =02

0θπ

θ

A R x dx R R R dR

= − = − ( ) −( )∫ ∫2 2

0

2 2

2

0

cos senθ θ θπ

A R d= − ∫2 2

2

0

sen θ θπ

sen cos2 12

1 2θ θ= −( )

A R d R d R d R d= − = − −( ) = − +∫ ∫ ∫2 2

2

02

2

0 2

2

0 212

1 22 2

2sen θ θ θ θ θ θπ π π

cos cos θθπ 2

0

∫

418



Efetuando as duas integrais explicitamente, obtemos:

19.13

A área do círculo é o resultado acima multiplicado por 4. Temos assim:

19.14

19.2 Área da região compreendida entre duas curvas

Consideremos a área da região delimitada por duas curvas no plano. Admitamos que essas

curvas sejam descritas pelas funções y1 = f(x) e y2 = h(x), ambas não negativas. Consideremos

a área associada ao intervalo [a,b] (veja Figura 19.5). As áreas A1 e A2 compreendidas entre o

gráfico das funções e o eixo x, no intervalo considerado, são dadas respectivamente por:

19.15

19.16

A R R R R R= − + = − − + −( ) =2

2

0 2

2

0 2 22

2 22

2 20

2 40

4θ

θ ππ

ππ π

sen sen( ) sen

A A Rcírculo = =4 2π

A f x dxa

b

1 = ( )∫

A h x dxa

b

2 = ( )∫

Figura 19.5: a) e b) as duas regiões consideradas, vistas separadamente, e c) a região delimitada pelas duas curvas.

a cb

419



Consequentemente, de acordo com as Figuras 19.5a e 19.5b, a área A delimitada pelas

curvas, no intervalo [a,b], é dada pela diferença entre as áreas:

19.17

É preciso observar que se f e h não forem ambas positivas, para calcular a área da região

delimitada por elas no intervalo [a,b], basta considerar as duas funções acrescidas de uma mesma

constante, de maneira que ambas deem origem a gráficos situados acima do eixo x.

Agora, a área da região é dada por

19.18

A A A f x dx h x dxa

b

a

b

= − = ( ) − ( )∫ ∫1 2

a b

c

Figura 19.6: a) e b) As duas regiões consideradas, vistas separadamente, e c) a região delimitada pelo gráfico das duas funções dadas, acrescidas de uma mesma constante.

f x k dx h x k dx

f x dx kdx h x dx k

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

( ) +( ) − ( ) +( ) =

( ) + − ( ) −

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫∫

∫ ∫

=

( ) − ( )

dx

f x dx h x dxa

b

a

b

420



• Exemplo 4:

Considere o caso em que se queira determinar a área entre as curvas

no intervalo [0,2] e a unidade metro. Vide Figura 19.7.

→ Resolução

A área que se quer determinar pode ser escrita como:

19.19

Assim, obtemos:

19.20

y x x

h x x x

( )

( )

= +

= −

2 32

e

Figura 19.7: A região considerada, delimitada pelas curvas que são os gráficos das funções dadas.

A A A x dx xe dxx= − = +( ) −∫ ∫ −1 2

0

2

0

2

2 32

A x x e e ex= +( ) + = + − + − = +( )− − −2

0

2

0

22 2 2 43 1

22 3 2 0 1

212

12

192 2

. m2

421



• Exemplo 5:

Determine a área da região delimitada por:

definidas no intervalo [0, 2 2 ] e considerando o metro como unidade de comprimento. Veja Figura 19.8.

→ Resolução

A área que se pretende determinar é dada pela diferença de integrais:

19.21

Donde obtemos, na unidade m2:

19.22

y x xh x x

( )( )

= += +

2 91

Figura 19.8: A região considerada, delimitada pelas curvas que são os gráficos das funções dadas.

A x dx x dx= + − +( )∫ ∫2 9 10

2 2

0

2 2

A x x x= ⋅ +( ) − +

= +( ) − ( ) − +

23

12

2 92

13

4 2 9 13

9 82

2 23

2

0

2 2 2

0

2 23

2 32 −− −

+( ) − −

02

0

13

4 2 9 13 2 2

2

32 =

422



• Exemplo 6:

Dadas as funções:

considere um intervalo [a, b] arbitrário e determine a área da região delimitada por cada um dos gráficos das funções dadas e o eixo x, para x ∈ [a, b]. Em seguida, determine a área da região deli-mitada pelas duas curvas para x ∈ [0, 1].

→ Resolução

As áreas no intervalo [a, b] são dadas, respectivamente, pelas integrais:

19.23

19.24

A área entre essas curvas no intervalo [0,1] é, de acordo com as expressões acima:

19.25

y x xh x x

( )( )

=

= 2

Figura 19.9: As regiões solicitadas.

a b c

A x dx x b a

a

b

a

b

1

12

32

32

322

32

32

3= = = −∫

A x dx x b a

a

b

a

b

22

3 3 3

3 3 3= = = −∫

A A A= − =( )

−( )

− + = − =1 2

32

32 3 32 1

3

2 0

313

03

23

13

13

423



19.3 Trabalho e Energia potencial Um dos conceitos mais importantes da ciência é o conceito de energia. A energia potencial,

uma das formas mais comuns de energia, pode ser entendida como a solução do problema da

determinação da antiderivada da força. Para entendermos isso, consideraremos a seguir o caso

de uma força que depende apenas de uma das coordenadas, a qual tomaremos como sendo a

coordenada x. Escrevemos nesse caso:

19.26

Determinaremos a seguir o trabalho realizado por essa força quando nos deslocamos de um

ponto xA até um ponto xB. Por ser um movimento unidimensional, consideraremos, para tanto,

apenas deslocamentos, entre esses dois pontos, ao longo de uma linha reta. Tomaremos essa

linha reta como o eixo x. Lembramos primeiramente que o trabalho realizado por uma força

constante ao nos deslocarmos ao longo de um intervalo de comprimento Δx é dado por:

19.27

Para uma força dependente da posição, como nesse caso, devemos dividir o deslocamento

entre as posições xA e xB em pequenos intervalos, ou seja intervalos infinitesimais de compri-

mento δx. Para cada um desses intervalos aplicamos a fórmula para força constante, pois essa

divisão procura justamente isso, isto é, busca intervalos tão pequenos que, para cada um deles

possamos utilizar a expressão para força constante. Daí obtemos, para o i-ésimo intervalo, o

trabalho que é dado pela expressão:

19.28

Assim, a forma precisa de determinarmos o trabalho implica numa subdivisão num número n

de intervalos e ao fim, tomarmos esse número tendendo a infinito. Ou seja,

19.29

F F x= ( )

∆ ∆W F x=

∆W F xi i i= δ

W W F xn

i

n n

i i

n= =

→∞ →∞∑ ∑lim lim∆ δ

424



o trabalho nada mais é do que o limite de uma soma de Riemann e como tal podemos escrever:

19.30

Definimos a energia potencial associada à força, a partir da integral:

19.31

Assim, de acordo com o teorema fundamental do cálculo, a energia potencial nada mais é

do que a antiderivada da força, precedida do sinal menos. Escrevemos:

19.32

• Exemplo 7:

Determine a energia potencial associada à força elástica.

→ Resolução

No caso da força elástica, que depende linearmente do deslocamento (x),

19.33i

O gráfico da função é dado pela reta mostrada na Figura 19.10. O trabalho realizado pela força é dado, basicamente, pela área do triângulo tracejado. Dependendo de realizarmos o trabalho numa ou noutra direção o trabalho será dado ou pela área ou pela área precedido pelo sinal menos.De acordo com a definição, o trabalho realizado pela força, quando do deslocamento da partícula entre os pontos xA e xB, é dado pela integral

19.34

A última integral pode ser realizada de duas formas equivalentes.

W F x dxx

x

A

B

= ( )∫

U x U x F t dtAx

x

A

( ) − ( ) = − ( )∫

dU xdx

F x( )= − ( )

Figura 19.10: Gráfico da força como função do deslocamento.

F x kx( ) = −

W kx dx k x dxx

x

x

x

A

B

A

B

= −( ) = − ( )∫ ∫

425



Na primeira integramos a função linear, cuja primitiva é uma função quadrática. Obtemos, assim,

19.35

Na segunda forma, basta observar que a integral envolve áreas de triân-gulos. Deve-se tomar cuidado, no entanto, em relação aos sinais. A energia potencial elástica nesse caso é dada, por

19.36i

• Exemplo 8:

Determine a energia potencial associada à força gravitacional adotada como constante.

→ Resolução

Nesse caso, escrevemos:

19.37

Assim, a energia potencial gravitacional é dada por:

19.38

19.4 Valores médios de grandezas

Muitas vezes estamos interessados em determinar o valor médio de uma grandeza. Tal média

é sempre determinada tomando-se como base um determinado intervalo de valores. Assim, se

G(x) é uma grandeza que é uma função da variável x, definimos o valor médio dessa grandeza

W k x xB A= − −( )12

2 2

Figura 19.11: Gráfico da energia potencial elástica como função da coordenada associada ao deslocamento.

U x kx( ) = 12

2

W mg dx mg dx mg x xx

x

x

x

B A

A

B

A

B

= −( ) = − = − −( )∫ ∫

U x mgx( ) =

426



(e o representamos por G ) num determinado intervalo delimitado pelos valores xA e xB como

o valor dado pela integral:

19.39

quando I(ν) representa uma distribuição de probabilidades, ou seja, se a probabilidade de

encontramos o sistema com valores entre ν e ν + dν é dada por:

19.40

de tal modo que

19.41

Então, o valor médio da grandeza ν (representado por ν ) é dado por:

19.42

No caso de uma grandeza periódica, sendo o seu período designado por T, podemos escrever

para a grandeza G:

19.43

Definimos a média num período como a que é dada pela integral da grandeza ao longo de

um período, dividida pelo mesmo. Ou seja:

19.44

Gx x

G x dxxG x dx

B A x

x

x

x

A

B

A

B

=−

( ) = ( )∫ ∫1 1

∆ onde Δx = xB − xA

dP I dν ν ν( ) = ( )

dP I dν ν ν( ) = ( ) =∞ ∞

∫ ∫0 0

1

ν ν ν ν= ( )∞

∫ I d0

G t T G t+( ) = ( )

GTG t dt

T

= ( )∫1

0

427



• Exemplo 9:

Determine a energia cinética média do oscilador harmônico, ao longo de um período.

→ Resolução

A energia cinética média é dada pela integral:

19.45i

Assim, considerando-se um oscilador harmônico simples, sua velocidade em função do tempo é dada por:

19.46i

onde vM é a velocidade máxima, A é a amplitude do MHS, ω é a frequência do oscilador e φ é uma fase arbitrária. Portanto, a energia cinética média do oscilador harmônico é dada por:

19.47

Efetuando a mudança de variável de integração

19.48

a energia cinética média é dada pela integral:

19.49

onde utilizamos a relação ωT = 2π. Lembrando que:

19.50

substituindo-se o resultado 19.50 em 19.49, obtemos

19.51

ou seja, a energia cinética média é igual à metade da energia cinética máxima.

Figura 19.12: Qual é a energia cinética média de um oscilador harmônico em movimento?

ETE t dt

Tm v t dtc c

T T

= ( ) =∫ ∫1 1

20

2

0

( )

v t v t A tM( ) = +( ) = +( )cos cosω ϕ ω ω ϕ

ETm v t dt

m vTcos t dtc

TM

T

= =( )

+( )∫ ∫1

2 212

0

22

0

( ) ω ϕ

ωω

t x dt dx= ⇒ =

Em v

Tx dxc

M=( )

+( )∫2

2

0

2

21ω

ϕπ

cos

1 12

12

1 2 22

2

0

22

0

2

ωϕ

πϕ

πϕπ π

Tx dx x dx

xcos cos

cos+( ) = +( ) =

+ +( )

∫ ∫

=

2

0

12

π

Em v T

cM M=

( )=

12 2 2

2

428



19.5 Somas De um modo geral, o conceito de integral está associado à ideia de soma. Muitas vezes,

abstraindo a rigor, vale a identificação:

19.52

A soma, como no caso da soma de elementos de uma série, se aplica a elementos que sejam

contáveis, isto é, quando cada elemento pertence a um conjunto que pode ser colocado em

correspondência com os números inteiros, ou um subconjunto deles.

A integral se refere a um tipo particular de soma. Ela se refere à soma de grandezas que

variam continuamente. A título de exemplo, considere o caso de uma haste de comprimento

L em que desprezamos suas dimensões transversais. Admitamos que a massa seja distribuída

ao longo dela de tal sorte que sua distribuição dependa da coordenada x, onde a origem das

coordenadas se situa numa de suas extremidades. Nesse caso, a grandeza física relevante é a

densidade ρ(x), definida como a massa por unidade de comprimento:

19.53

Assim, a massa total da barra será dada pela integral:

19.54

Quando dividimos a haste em diminutos pedaços, essa massa pode ser pensada como uma soma

de pequenos elementos de massa. Cada pedaço, correspondente a uma das subdivisões da haste, terá

comprimento ∆xi. O i-ésimo pedaço, localizado no ponto de coordenada xi, tem massa dada por:

19.55

Assim, a soma das massas, para essa divisão da haste, será dada por:

19.56

∑ ∫⇔

dm xdx

x( )= ( )ρ

M dm x x dxL L

= = ( )∫ ∫( )0 0

ρ

m x xi i i= ( )ρ ∆

m x xii

n

i ii

n

= =∑ ∑= ( )

1 1

ρ ∆

429



A determinação da massa será tanto mais acurada quanto maior for o número de subdivisões

da haste. Assim, a integral 19.54 é a soma das massas, ou seja, é a massa da haste, no limite em

que o número de pedacinhos, obtidos pela subdivisão da haste, tende a infinito. Ou seja:

19.57

19.6 Propagação de sinaisNa era da comunicação e da informação, o conceito de sinal é de fundamental importância.

Ele é definido como um conjunto de dados (ou de informações). Os sinais se propagam,

por exemplo, em redes de dados ou circuitos elétricos. Sistemas processam sinais de entrada

convertendo-os em sinais de saída. Eles podem ser implementados por meio do uso de compo-

nentes físicos (implementação em hardware) ou de por meio de algoritmos que associam sinais

de saída a um determinado sinal de entrada (implementação em hardware).

Um sinal x será aqui considerado como função do tempo. Representamos tais sinais por

meio de uma função do tempo:

19.58

Sinais contínuos são aqueles para os quais a função x(t) varia continuamente com o tempo.

Se a referida função assumir valores discretos, como função do tempo, dizemos que o sinal é

discreto no tempo.

Um sinal é dito analógico quando sua amplitude (o eixo das ordenadas) varia continua-

mente. Se ela variar de tal modo a assumir apenas um conjunto finito de valores, dizemos

que o sinal é digital. Sinais digitais num computador podem assumir apenas dois valores,

os ditos sinais binários.

Sinais são caracterizados por meio de duas grandezas físicas: a energia e a potência do sinal.

Define-se a energia de um sinal como a integral:

19.59

M m x x x dxn i

i

n

n i ii

n L

= = ( ) = ( )→∞

=→∞

=∑ ∑ ∫lim lim

1 1 0

ρ ρ∆

x t( )

E x t dts = ( )−∞

+∞

∫ 2

430



Ela não dá uma medida da energia do sinal, mas da capacidade de energia do sinal, enquanto

sua potência é dada por meio do processo limite:

19.60

A rigor, a energia dá o tamanho do sinal se a mesma for finita. Se não for esse o caso, a

potência se constitui numa melhor definição do tamanho do sinal. Para sinais periódicos, a

potência é, assim, um valor médio do quadrado da amplitude do sinal.

• Exemplo 10:

Determine a energia e a potencia do sinal dado por:

→ Resolução

Ambos os parâmetros podem ser obtidos a partir da integral:

19.61

Assim, a energia do sinal é dada por:

19.62

enquanto a sua potência é nula:

19.63

PT

x t dts TT

T

= ( )→∞

−

+

∫lim 1 2

x tt

A tt( )0 se <0

e se 0− ≥

α

I T A dt A dt A AtT

tT

tT

T( ) = ( ) = =−

= −− − − −∫ ∫e e e eα α α α

α α2

0

2 2

0

22

0

22

2 21( )

E I As = ∞( ) =

2

2α

PTI T

TA

s T T= ( ) = =

→∞ →∞lim lim1 1

20

2

α

431



19.7 Sinais periódicosDefinimos sinais periódicos como aqueles que se repetem a intervalos regulares no tempo.

Assim, um sinal periódico de período T é definido como aquele para o qual vale a seguinte relação:

Sinais que se propagam, por exemplo, numa fibra óptica são sinais periódicos.

19.64

A Figura 19.12 apresenta um exemplo de um sinal periódico do tipo “dente de serra”.

Lembrando que as funções da forma:

19.65

são funções periódicas de período T, um sinal periódico pode sempre ser expresso sob a forma

de uma série de Fourier. Tal série é caracterizada pelo fato de que cada termo da série envolve

uma função periódica de período T da forma seno ou cosseno. Escrevemos:

19.66

onde os coeficientes an e bn são dados em função da força F como integrais no intervalo de um

período pelas expressões:

19.67

Os vários termos são denominados harmônicos.

Figura 19.13: Sinal periódico do tipo “dente de serra”.

x t T x t+( ) = ( )

sen cos2 2π πnT

t nT

t

x t a nT

t b nT

tnn

nn

( ) =

+

=

∞

=

∞

∑ ∑0 0

2 2sen cosπ π

aTdt x t n

Tt b

Tdt x tn

T

n

T

= ′ ′( )

′ = ′ ′( )∫ ∫

2 2 2

0 0

sen cosπ 22 0 1 2πnT

t n

′ = , , ,...

432



• Exemplo 11:

Considere um sinal de um byte (oito bits) da forma 01100010. Determine a série de Fourier e analise o comportamento dos primeiros 4 harmônicos.

→ Resolução

Como função do tempo o sinal pode ser escrito sob a forma:

19.68

E, portanto, os termos da série são dados por:

19.69

x t

t TT t T

( ) =

≤ <≤ <

0 81 8 80

para 0 para 3 paara 3 para 0 7 para 7

T t Tt T

T t T

8 6 81 80 8

≤ <≤ <

≤ <

aT

dt nT

t dt nT

tnT

T

T

T

= ′

′ ′

′∫ ∫

2 2 2

8

3 8

6 8

7 8

sen senπ π +

+ bT

dt nT

t dt nTn

T

T

T

T

= ′

′ ′

′∫ ∫

2 2 2

8

3 8

6 8

7 8

cos cosπ π tt

..





20INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

20.1 Introdução20.2 Equações Diferenciais Lineares20.3 Equações Lineares de Primeira ordem

20.3.1 Equações de Primeira ordem não homogêneas simples20.3.2 Equações lineares homogêneas de primeira ordem 20.3.3 Equações com um termo não Homogêneo Constante

20.4 Equações Lineares de segunda ordem20.4.1 Equações Lineares de Segunda ordem lineares não-homogêneas simples20.4.2 Casos especiais de Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda Ordem

20.5 Equações Lineares Homogêneas de segunda ordem: caso geral20.6 Solução da Equação Homogênea

20.6.1 Oscilações Superamortecidas20.6.2 Oscilações Amortecidas Criticamente20.6.3 Oscilações Subamortecidas 20.6.4 Oscilações forçadas: fonte de corrente alternada

20.7 Equações diferenciais Não lineares

435



20.1 IntroduçãoÉ notório o fato de que vivemos num mundo em transformação. A presença de um deter-

minado agente num sistema físico (como, por exemplo, uma força) acarreta uma determinada

transformação (o movimento, no caso da força). Cada uma das mudanças acontece a uma

determinada taxa de variação.

O fato é que as leis da natureza expressam relações entre taxas de variação do que é transfor-

mado com os agentes responsáveis por elas. Usualmente, queremos determinar as consequências

(os efeitos, portanto) da presença dos agentes transformadores, os quais são assumidos conhecidos.

É disso que trata o problema das equações diferenciais nas ciências.

Assim, a grande maioria das leis físicas, especialmente as leis fundamentais, é formulada em

termos de equações diferenciais. Em princípio, toda a química se reduziria a encontrar soluções

para equações diferenciais mui especiais. O problema (e com ele a dificuldade) da previsão

do clima envolve a determinação de soluções de equações diferenciais. Muitos problemas da

eletrônica, da eletrotécnica, da engenharia civil podem ser formulados em termos de equações

diferenciais. Daí a relevância do tema para todas as ciências.

Uma equação diferencial para funções de uma variável real é entendida, no sentido mais

amplo possível, como o problema de encontrar a função f(x) (a consequência) a partir de

uma relação entre taxas de variação de ordens distintas e os agentes que provocam a variação.

Geralmente representamos os agentes que provocam transformações com funções representadas

a seguir pela função E(x). Assim, a solução de uma equação diferencial reside na determinação

da função f(x) que satisfaça a uma relação da forma:

20.1

Denominamos ordem da equação diferencial, à ordem da derivada mais alta da equação.

No caso acima, a ordem é dada pelo índice n.

O dado mais relevante no problema das equações diferenciais é o agente E(x). No entanto,

em muitos casos, uma equação diferencial é escrita apenas como uma relação envolvendo taxas

de variação. Quando o termo E(x) é nulo (E(x) = 0), a equação será denominada homogênea.

Φd f xdx

d f xdx

df xdx

f x E xn

n

n

n( ) ( )

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( ) ( )

=

−

−, , , ( )1

1

436

20 Introdução às Equações Diferenciais


A resolução de uma equação diferencial da forma geral 20.1 implica na determinação da

função f(x). Ou seja, na determinação do que é transformado quando sob a ação do agente E(x).Por exemplo, a lei de Newton relaciona a taxa de variação de segunda ordem da posição

de um objeto com o agente que provoca a mudança de posição. Tal agente recebe o nome de

força, representada por

F r( ). Sendo o vetor posição representado por r t( ), a lei de Newton se

escreve como

20.2

Assim, todo problema de mecânica se resume a encontrar soluções de equações diferenciais.

20.2 Equações Diferenciais LinearesNum curso regular de cálculo, lidamos apenas com equações diferenciais lineares, as quais

são definidas pela forma geral dada por:

20.3

A expressão acima define uma equação linear não homogênea de ordem n. A equação

homogênea, associada a ela, se escreve:

20.4

A seguir, consideraremos apenas casos simples de equações diferenciais. Apesar de simples,

algumas delas são de interesse.

A característica mais marcante das equações diferenciais lineares diz respeito ao princípio da

superposição. Ele afirma que, se

20.5

md r tdt

F r2

2

( )= ( )

ad f xdx

ad f xdx

adf xdx

a f x E xn

n

n n

n

n( )

+( )

+ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( )

+ ( ) =−

−

−1

1

1 1 0 ( ))

ad f xdx

ad f xdx

adf xdx

a f xn

n

n n

n

n( )

+( )

+ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( )

+ ( ) =−

−

−1

1

1 1 0 0

f x f x f x f xn1 2 3( ) ( ) ( ) ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( ), , ,

437



forem soluções linearmente independentes da equação diferencial 20.4, então uma superposição

das mesmas também o será. Assim, a solução mais geral possível da equação 20.3 será da forma:

20.6

onde b1, b2 , ... , bn são constantes a serem determinadas. Como regra geral, tais constantes são

determinadas a partir de condições ditas iniciais.

20.3 Equações Lineares de Primeira ordemA equação linear de primeira ordem e mais geral possível pode ser escrita como:

20.7

A seguir consideraremos os casos mais simples, encerrando esse tópico com a resolução da

equação de primeira ordem para o caso em que o termo não homogêneo é constante.

20.3.1 Equações de Primeira ordem não homogêneas simples

Consideremos o caso da equação diferencial de primeira ordem linear e não homogênea

mais simples. Tais equações assumem a forma:

20.8

A resolução da equação acima implica em determinar a função f(x) tal que sua derivada seja

uma função dada, a função E(x). Basicamente, a solução de 20.8 se reduz a encontrar a função

primitiva da função E(x).Lembrando o conceito de diferencial de uma função, podemos escrever a equação acima

sob a forma:

20.9

f x b f x b f x b f x b f xn n( ) = ( ) ( ) ( ) +…+ ( )1 1 2 2 3 3+ +

adf xdx

a f x E x1 0( )

+ ( ) = ( )

df xdx

E x( )= ( )

df x E x dx( ) = ( )

438



Integrando ambos os lados da equação acima, obtemos:

20.10

donde encontramos a função f(x) em termos de uma integral de uma função de uma variável:

20.11

20.3.2 Equações lineares homogêneas de primeira ordem

Tais equações têm a forma geral:

20.12

A solução para a equação diferencial acima pode ser encontrada de uma forma simples, uma

vez que ela pode ser reescrita como:

20.13

Sempre que f(x) não se anula, integrando termos a termo, encontramos:

20.14

E, portanto, a solução da equação diferencial 20.12 é:

20.15

ou, de outra forma:

20.16

df u E u dux

x

x

x

A A

( ) =∫ ∫ ( )

f x f x E u duAx

x

A

( ) − ( ) = ∫ ( )

adf xdx

bf x( )+ ( ) = 0

df xf x

badx( )

( )= −

df uf u

badu

x

x

x

x( )( )

0 0

∫ ∫= −

ln lnf x f x bax x( ) − ( ) = − −( )0 0

f x f x ebax x

( ) = ( )− −( )

00

439



Exemplos

• ExEmplo 1Na Figura 20.1, apresentamos um circuito RC, não alimentado por uma fonte. Trata-se de um circuito contendo apenas um capacitor, cuja capacitância é C e um resistor cuja resistência é R. Nesse caso, eles se encontram dispostos em série. Determine a equação diferencial para o comportamento da carga elétrica que flui pelo mesmo como função do tempo, a partir do instante em que a chave é fechada.

→ REsolução:Levando-se em conta a lei de Kirchoff, ao ligarmos a chave encontraremos que a soma das diferenças de potencial ao longo do circuito deve se anular. Obtemos, portanto:

20.17

De acordo com a solução 20.16, a carga elétrica depende do tempo de acordo com a expressão:

20.18

A corrente elétrica obedece igualmente a uma lei do decaimento exponencial. Obtemos:

20.19

Figura 20.1: a. Circuito RC e b. o comportamento da corrente como função do tempo.

a b

QC

RI Q RC dQdt

+ = ⇒ + =0 0

Q t Q t et tRC( ) =

−−

( )0

0

i t dQdt RC

et tRC( ) = = −

−−

1 0

440



• ExEmplo 2Analise o caso de um objeto que se movimenta num fluido de tal forma que não existam outras forças agindo na direção do movimento, além daquela exercida pelo fluido. Admita que a força exercida pelo fluido seja uma força viscosa que dependa linearmente com a velocidade. Um bom exemplo dessa situação é aquela de um barco que, a partir de um determinado momento, desliga o motor.

→ REsolução:No caso, temos várias forças agindo sobre o objeto. Na direção normal à superfície do lago agem duas forças. A força peso é equilibrada pela força de empuxo. Na direção tangencial temos apenas a força devido às colisões do barco com as partículas que compõem o fluido. Assim, nessa direção, a tangencial, temos que a equação de Newton se escreve como:

20.20

Recaímos, assim, numa equação de primeira ordem para a velocidade. O problema agora recai naquele que denominamos integração da equação diferencial. Nem sempre isso é simples como nesse caso. Para fazê-lo, reescrevemos a equação acima sob a forma:

20.21

Agora, integramos os dois membros dessa equação. Essa integração corresponde a efetuar a soma de Riemann de cada um dos lados, levando-se em conta a variável tempo. Ou seja, integramos ambos os termos sobre os tempos, desde um tempo inicial t0 até o tempo presente (t):

20.22

As duas integrais envolvem a determinação da função primitiva. Ambas são funções primitivas bastante simples. Obtemos:

20.23

mdV tdt

bV t( )= − ( )

Figura 20.2: Forças agindo sobre um barco em movimento, com destaque para a força viscosa.

dV tV t

bmdt dt( )

( )= − = −γ

dV tV t

dt dtt

t

t

t′( )′( )

′ = − ′∫ ∫0 0

γ

ln ln lnV t V tV tV t

t t( )( ) − ( )( ) = ( )( )

= − −( )0

00γ

441



Tomando agora a exponencial dos dois lados encontramos:

20.24

donde se infere que a velocidade do barco decresce exponencialmente. Para determinarmos a posição, lembramos agora que,

20.25

E, portanto, temos a seguinte relação entre diferenciais:

20.26

Integrando a equação acima, teremos a identidade:

20.27

O que nos leva à solução:

20.28

A conclusão é que o barco percorre uma distância

20.29

até parar.Assim, como resultado da utilização das leis de Newton, e a partir da solução da equação diferencial correspondente, é possível fazer uma previsão para a posição e a velocidade do barco para cada instante de tempo. Tal solução envolve claramente as condições no instante tomado como o instante inicial. Em particular, vemos que a distancia percorrida depende da velocidade inicial. Quanto maior for essa velocidade, tanto maior será a distância percorrida pelo barco na água até ele parar.

V t V t e t t( ) = ( ) − −( )0

0γ

dx tdt

V t V e t t( )= ( ) = − −( )

00γ

dx t V e dtt t( ) = − −( )0

0γ

dx t V e dtt

tt t

t

t

′( ) = ′∫ ∫ − ′−( )

0

0

0

0γ

x t x t V e t t( ) = ( ) − −( )− −( )0

0 0 1γ

γ

∆x t V( ) = 0

γ

442



20.3.3 Equações com um termo não Homogêneo Constante

A equação diferencial, linear e de primeira ordem mais geral possível é da forma:

20.30

A seguir, apresentaremos a solução apenas no caso em que o termo não homogêneo seja

constante. Nesse caso, escrevemos:

20.31

• ExEmplo 3Resolver a equação que descreve o movimento de uma esfera quando solta num líquido viscoso.

→ REsolução:Consideremos agora o caso de uma esfera que é solta dentro de um liquido viscoso e que é colocada em movimento sob a ação da gravidade. Devemos levar em conta, além da força da gravidade, a força exercida pelo fluido viscoso. Admitiremos ainda que o movimento se dê ao longo do eixo y, pois agora o movimento é na vertical.

Assim, levando em conta a força exercida pelo fluido como sendo diretamente proporcional à velocidade, e a força gravitacional como sendo constante, escrevemos a seguinte equação de primeira ordem para a velocidade da esfera:

20.32

Essa equação é da forma 20.31 e ela pode ser escrita da seguinte forma:

20.33

onde γ = b/m.

adf xdx

bf x E x( )+ ( ) = ( )

adf xdx

bf x E( )+ ( ) = 0

Figura 20.3: Movimento de uma esfera num meio viscoso.

mdV tdt

bV t mgyy

( )= − ( ) +

dV t

V t gdty

y

( )

( ) +

= −

γ

γ

443



Integrando membro a membro a equação acima, obtemos a solução para a velocidade em função da velocidade inicial Vy(t0) (no caso em que a esfera é solta, essa velocidade é nula):

20.34

A primeira conclusão à qual chegamos é que, independentemente do valor da velocidade inicial, a partícula atinge uma velocidade final, que é constante, e que é dada por:

20.35

Observe-se que essa velocidade final é exatamente aquela para a qual a força exercida pelo líquido se torna igual à força gravitacional. De fato, de 20.32 vemos que uma solução descrevendo o movi-mento uniforme é válida desde que a velocidade final obedeça à seguinte relação:

20.36

Infere-se da equação de Newton, portanto, que, ao atingir essa velocidade limite, a partícula se movimenta com velocidade constante. Fato esse que se pode comprovar experimentalmente.A solução para a posição como função do tempo é:

20.37

Da solução dada pela expressão 20.37, concluímos que no limite em que o tempo tende a infinito, obtemos a seguinte dependência da posição com o tempo:

20.38

O que de novo indica que, com o passar do tempo, o movimento da esfera tende a ser um movi-mento uniforme.

20.4 Equações Lineares de segunda ordemA equação linear de segunda ordem mais geral possível é da forma:

20.39

V t g V t g ey yt t( ) = −

+ ( ) +

− −( )

γ γγ

00

V gy final( ) = −

γ

− ( ) − =bV mgy final 0

y t y g t t V t g eyt t( ) = ( ) −

−( ) − ( ) +

−− −( )0 1

0 00

γ γ γγ 11( )

y t y g t t V t gy→∞( ) ≅ ( ) −

−( ) + ( ) +

0 1

0 0γ γ γ

ad f xdx

adf xdx

a f x E x2

2

2 1 0( )

+( )

+ ( ) = ( )

444



Sem o termo não homogêneo essa equação é:

20.40

20.4.1 Equações Lineares de Segunda ordem lineares não-homogêneas simples

Definiremos equações lineares de ordem n e simples como sendo equações lineares simples

quando tais equações assumem a forma:

20.41

A razão para tal denominação advém do fato de que tais equações são integráveis. Ou seja,

elas são solúveis uma vez que as soluções podem ser expressas em termos de integrais.

Como primeiro passo, definimos uma função auxiliar definida por:

20.42

A função auxiliar g(x) satisfaz à equação:

20.43

Cuja solução já foi discutida. Em seguida, definimos uma nova função auxiliar de um forma

análoga a 20.42. E assim, sucessivamente.

Assim, as equações lineares de segunda ordem mais simples e com um termo não homogêneo

são aquelas que podem ser escritas sob a forma:

20.44

A solução para tais equações será ilustrada por meio do exemplo a seguir. O procedimento ado-

tado a seguir pode ser facilmente estendido para encontrar soluções para equações da forma 20.41.

ad f xdx

adf xdx

a f x2

2

2 1 0 0( )+

( )+ ( ) =

d f xdx

E xn

n( )

= ( )

g xd f xdx

n

n( ) = ( )−

−

1

1

dg xdx

E x( )= ( )

d f xdx

E x2

2

( )= ( )

445



• ExEmplo 4Uma partícula de massa m se move numa região na qual o campo elétrico é uniforme no espaço mas depende do tempo

E r t E t,( ) = ( )0 . Escreva as equações de movimento e determine a solução para a velocidade e a posição da partícula a qualquer tempo.

→ REsolução:No caso em que o campo magnético é nulo, a equação de Newton se escreve:

20.45

Com o intuito de buscar uma solução para tal equação, introduzimos a função vetorial auxiliar:

20.46

onde, em princípio, v t( ) é um função vetorial desconhecida. No caso em apreço tal função é a

velocidade da partícula.Lembrando que o campo elétrico depende só do tempo, podemos escrever a equação 20.45 sob a forma:

20.47

Utilizando a definição de aceleração reduzimos o problema ao de determinar a velocidade da partícula. Isso é possível nesse caso porque a equação para a velocidade é uma equação de primeira ordem no tempo. A equação 20.45 pode ser reescrita em termos de diferenciais. Obtemos:

20.48

Efetuando-se a integral em cada um dos lados, somos levados à solução:

20.49

A integral do primeiro termo é trivial e nos leva ao seguinte resultado:

20.50

md r tdt

q E r t2

2

( )= ( ) ,

v tdr tdt

( ) = ( )

mdv tdt

q E t

( )= ( ) 0

mdv t q E t dt

( ) = ( ) 0

mdv udu

du q E u dut t

( )= ( )∫ ∫

00

0

mdv udu

du m v t v m v t vt

( )= ( ) − ( )( ) = ( ) −( )∫

000

446



Integrando ambos os membros da equação acima determinamos a velocidade da partícula como função do tempo:

20.51

Admitiremos que a velocidade inicial (v0) seja conhecida. Esse é um ponto muito importante.

A solução completa pressupõe o conhecimento da velocidade em algum instante de tempo. Essa é uma condição dita condição inicial pois é sabido que o movimento depende de como ele se iniciou (arbitrariamente tomamos o inicio do movimento no instante de tempo t = 0). Como resultado das integrais acima, só nos interessa o que ocorreu depois desse instante de tempo.Levando em conta a definição da velocidade a equação acima se escreve agora como uma equação de primeira ordem para a posição:

20.52

Integrando cada termo dessa equação, como fizemos para o caso da velocidade, encontraremos que o vetor posição será dado pela expressão:

20.53

Como era de se esperar, a solução envolve o conhecimento não só da velocidade no instante de tempo inicial como também o conhecimento da posição inicial da partícula. As condições iniciais a serem especificadas são, como em todo problema de mecânica, os dados sobre a posição e velocidade iniciais:

20.54

Consideremos, a titulo de ilustração, o caso em que o campo elétrico é um campo uniforme. Nesse caso o vetor de posição para qualquer tempo será dado por:

20.55

e, obtemos da equação acima, que o movimento é uniformemente variado pois a aceleração é constante e dada por:

20.56

v t v qm

E u dut

( ) − = ( )∫0 00

dr tdt

v qm

E u dut

( )− = ( )∫0 0

0

r t r v t qmdy E u du

t y

( ) = ( ) + + ( )∫ ∫0 00

00

r r

v v

0

00

0

( ) =( ) =

r t r v t qmE t( ) = + +0 0 0

2

2

a t qmE( ) = 0

447



Imaginando uma escolha do eixo z coincidindo com a direção do campo elétrico, a solução geral se escreve como:

20.57

20.4.2 Casos especiais de Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda Ordem

Um caso bastante importante, por seu amplo uso, é aquele das equações diferenciais de

segunda ordem que podem ser escritas sob a forma geral:

20.58

A solução para tais equações será apresentada a partir de dois exemplos, os quais ilustram a

relevância desse tipo de equação diferencial.

• ExEmplo 5O exemplo mais simples de equação diferencial de segunda ordem sem o termo não homogêneo é aquele do Movimento Harmônico Simples. Ou seja, o movimento no qual uma partícula de massa m é colocada a oscilar sob o efeito de uma força elástica da forma:

20.59

onde k é uma constante dita elástica e x é a coordenada associada à posição da partícula.

A lei de Newton se escreve, no caso do M.H.S.:

20.60

x x v ty y v t

z z v t qEmt

x

y

zo

= += +

= + +

0 0

0 0

0 02

2

d f xdx

f x2

22( ) ( )= −ω

F x kx( ) = −

Figura 20.4: A força elástica em ação.

ma kx= −

448



e, portanto,

20.61

Para determinarmos a solução para a equação acima, devemos lembrar que a derivada segunda da função seno e cosseno nos leva às mesmas funções precedidas de um sinal menos e de uma constante. Assim, se procurarmos duas soluções da forma:

20.62

verificaremos que, se o parâmetro ω for tal que:

20.63

então, qualquer uma delas satisfaz à equação 20.61, uma vez que:

20.64

Assim, a solução geral para a equação de Newton (20.60) pode ser escrita sob a forma de uma cominação linear das duas funções trigonométricas (seno ou cosseno). Escrevemos, portanto, a solução sob a forma:

20.65

E, portanto, a solução geral pode ser escrita como:

20.66

a qual pode ser escrita ainda como:

20.67

Ou, analogamente,

20.68

Trata-se de uma solução envolvendo dois parâmetros desconhecidos (A, θ0) e que podem ser deter-minados como segue.

m d xdt

kx2

2 = −

x t tx t t

1

2

( ) cos( ) sen==

ωω

ω2 =km

ddx

x t x t

ddx

x t x t

2

2 12

1

2

2 22

2

( ) ( )

( ) ( )

( ) = −

( ) = −

ω

ω

x t a x t a x t( ) = ( ) ( )1 1 2 2+

x t a t a t( ) = 1 2cos senω ω+

x t A t( ) = +cos( )ω θ0

x t A t t( ) = −[ ]cos( )cos( ) sen( )sen( )ω θ ω θ0 0

449



Notemos primeiramente que a solução proposta 20.67 é tal que o valor máximo do deslocamento xm será dado por:

20.69

O parâmetro A é, portanto, a amplitude do movimento. A constante θ0 é a fase inicial. As constantes

A e θ0 podem ser determinadas a partir das condições iniciais. Isto é, a partir da posição e da velo-cidade iniciais

20.70

• ExEmplo 6: Circuito RLCA resolução do problema de um circuito composto apenas por uma indu-tância e um capacitor também nos leva a uma equação da forma 20.58. Tal circuito é apresentado na Figura 20.4. Veremos que quando o circuito é fechado, a corrente resultante é uma corrente alternada.No circuito RLC mais simples, o circuito LC, admitimos apenas um indutor caracterizado por uma indutância L e um capacitor de capacidade C. Esses componentes do circuito podem estar ligados em série ou em paralelo. Consideraremos aqui apenas o primeiro caso. O circuito será fechado num instante de tempo t = 0 o capacitor está carregado, neste instante, com uma carga cujo valor é Q0. Ao fecharmos o circuito a carga elétrica no capacitor se torna função do tempo, pois ela fluirá pelo mesmo alterando assim a carga elétrica no capacitor (em cada uma das suas placas). Ao fluir gera uma corrente elétrica fluindo no circuito. A equação diferencial básica do circuito LC é:

20.71

onde I(t) é a corrente fluindo pelo circuito e Q(t) é a carga armazenada no capacitor. Em termos da carga elétrica, a equação 20.71 se escreve:

20.72

Obtemos assim uma equação diferencial que é um caso particular de 20.58. De acordo com o que foi discutido anteriormente, neste caso a solução geral é da forma:

20.73

Para a solução dada acima, a corrente elétrica será dada por:

20.74

x Am =

x x v v0 00 0( ) = ( ) =

Figura 20.5: Circuito LC.

Q tC

LdI tdt

( )+

( )= 0

Q tC

Ld Q tdt

( )+

( )=

2

2 0

Q Q t= +( )0 sen ω δ

I I t Q t= +( ) = +( )0 0cos cosω δ ω ω δ

450



onde

20.75

A condição de que a carga no capacitor inicialmente é dada pelo valor Q0, implica que a fase se anula. Escrevemos assim, δ = 0. Concluímos, a partir de 20.73 e 20.74, que depois de fechado o circuito, tanto a carga quanto a corrente dependem do tempo de uma forma periódica. Ou seja, a corrente é alternada de período T = 2π/ω.Um caso mais geral é aquele no qual o circuito é alimentado por uma bateria ou por um gerador de corrente alternada. As fontes de corrente podem ser, portanto, fontes de corrente continua ou fontes de correntes alternadas. Esses casos serão discutidos a seguir.

20.5 Equações Lineares Homogêneas de segunda ordem: caso geral

Soluções gerais para as equações lineares de segunda ordem serão apresentadas por meio de

um exemplo extraído do estudo dos circuitos RLC.

• ExEmplo 7: Circuito RLCO circuito RLC, quando alimentado por uma fonte, conforme ilustrado na Figura 20.6, provê o melhor exemplo de equações diferenciais da forma 20.39.Num circuito RLC, as grandezas físicas relevantes como carga elétrica armazenada no capacitor ou a corrente que percorre o circuito são gran-dezas físicas que dependem do tempo. Pode-se determinar tal depen-dência a partir de uma equação diferencial linear de segunda ordem no tempo. Por essa razão, tais circuitos são denominados de circuitos de segunda ordem no tempo. Para escrevermos a equação diferencial que é a base para o estudo dos circuitos RLC, começamos pela lei de Kirchoff para circuitos no que tange à soma das diferenças de potenciais. Escrevemos:

20.76

onde V é a voltagem provida pela fonte de corrente elétrica e as diferenças de potencial são aquelas dos diversos elementos do circuito: o capacitor, o resistor e o indutor. Utilizando as expressões para as diferenças de potencial nos terminais de cada um dos elementos em 20.76, obtemos a equação:

20.77

ω= LC

Figura 20.6: Circuito RLC alimentado por uma fonte de tensão.

∆ ∆ ∆V t V t V t V tc r i( ) ( ) ( ) ( )+ + =

Q tC

RI t LdI tdt

V t( )+ ( ) + ( )

= ( )

451



onde Q é a carga elétrica e I é a corrente elétrica que percorre o circuito. Lembrando a relação entre essas grandezas:

20.78

e substituindo essa expressão na equação 20.77, obtemos a equação diferencial de segunda ordem:

20.79

Que é a equação fundamental para circuitos RLC em série. Pode-se escrever a solução para a equação acima como sendo dada por uma soma envolvendo dois termos:

20.80

onde Q0(t) é uma solução da equação homogenea (ou livre), enquanto QG(t) é uma solução da equação geral, ou seja, da equação 20.79.

20.6 Solução da Equação HomogêneaSoluções da equação homogênea são de interesse por dois motivos. Em primeiro lugar,

porque tal equação descreve um circuito RLC quando não alimentado por uma fonte. Soluções

dessa equação estão associadas a uma situação física na qual inicialmente existe uma certa

quantidade de carga no capacitor, ou uma corrente no circuito (ou ambos). Denominamos as

cargas e correntes existentes no início (caracterizado pelo tempo t = 0) por:

20.81

Procurar soluções para a equação homogênea é importante, por outro lado, sempre que

estivermos interessados em efeitos de transientes nos circuitos alimentados por uma fonte. Isto

é, efeitos que têm a ver com as condições iniciais do sistema, mas que vão se tornando menos

e menos importantes à medida que o tempo passa.

I t dQ tdt

( ) = ( )

Q tC

RdQ tdt

Ld Q tdt

V t( )+

( )+

( )= ( )2

2

2

Q t Q t Q tG( ) = ( ) + ( )0

Q t Q t0 00 0 0 0=( ) = ( ) =( ) = ( ), I I

452



A equação homogênea se escreve:

20.82

Tal equação é análoga à de um oscilador harmônico amortecido. Isto é, um oscilador que

está sujeito a uma forção de amortecimento da forma:

20.83

No caso do oscilador harmônico simples, a equação análoga a 20.82 é

20.84

onde X é a posição da partícula como função do tempo, k é a constante elástica da mola e m

é a massa da partícula. Temos assim uma correspondência com um análogo mecânico. Isso faz

com que possamos passar de um problema para o outro efetuando as seguintes substituições:

20.85

A forma de resolver equações da forma 20.82 é através da tentativa de se buscar uma

solução da forma:

20.86

Claramente tal solução é uma função a valores complexos. Assim, as soluções fisicamente

aceitáveis são ou a parte real, ou a parte imaginária de Q(t), ou uma combinação linear das

soluções. Dessa forma, se definirmos Q01 e Q02 como as partes reais e imaginárias,

20.87

Então, a solução da equação homogênea será dada como uma combinação linear das duas soluções.

Q tC

RdQ tdt

Ld Q tdt

0 02

202 0( )

+( )

+( )

=

F bv b dxdt

= − = −

1C

k b m X⇔ ⇔ ⇔ ⇔, , , R L Q

1C

k b m X⇔ ⇔ ⇔ ⇔, , , R L Q

Q t Q ei t0 0( ) =( )ω

Q t Q t Q t Q t01 0 02 0( ) ≡ ( ) ( ) ≡ ( )Re , Im

453



Escrevemos assim:

20.88

onde a1 e a2 são constantes arbitrárias, mas que podem ser determinadas a partir das condições

iniciais. Ou seja, a partir das condições dadas quando iniciamos o estudo do fenômeno.

A substituição da solução proposta em 20.82 resulta na seguinte equação:

20.89

o que nos leva a concluir que uma solução como aquela proposta na equação 20.82 é de fato

possível, desde que ω seja dado como uma das soluções da equação do segundo grau:

20.90

Temos, assim, duas soluções:

20.91

Em função dos possíveis valores de R, L e C, podemos ter três situações físicas distintas.

20.6.1 Oscilações Superamortecidas

Esse caso ocorre para valores da resistência muito grandes. Ou seja, satisfazendo a condição

20.92

o circuito RLC oscilará, mas de uma forma muito peculiar. Isso é, ele será superamortecido. Isso

decorre da solução que será da forma:

20.93

Q t a Q t a Q t0 1 01 2 02( ) = ( ) + ( )

−+ +

=

ωω ω

2

0 0C

i R L Q ei t

−+ + =

ωω

2

0C

i R L

ω ω+ −= + − ( )

= − − ( )

12

4 12

42 2iRC LC RC iRC LC RC,

R LC

< 2

Q t Ae e Be eRC t tRC

LR C

RC t tRC LR C

02

1 42

1 42 2( ) = +

− − − − −

454



e, portanto, descrevendo a carga sendo continuamente elétrica no circuito diminuindo continua-

mente (exponencialmente decrescente). Isso resulta da forte dissipação que ocorre no resistor e

que resulta no superamortecimento da solução.

As constantes A e B da solução acima podem ser determinas a partir da carga no capacitor

no instante de tempo igual a zero e da corrente elétrica. Por exemplo:

20.94

20.6.2 Oscilações Amortecidas Criticamente

Esse caso ocorre para uma relação especifica entre as constantes R, L e C. Ou seja, quando

essas grandezas satisfazem a condição:

20.95

o circuito RLC será amortecido de uma forma dita crítica. A solução agora é da forma:

20.96

Essa é uma solução que, como no caso anterior, descreve uma situação física na qual o capacitor

é continuamente descarregado e no qual a corrente no circuito decresce exponencialmente:

20.97

As constantes A e B da solução acima são determinadas a partir da carga no capacitor no instante

de tempo igual a zero e da corrente elétrica nesse instante de tempo. Temos, explicitamente:

20.98

Q A Bo 0( ) = +

R LC

= 2

Q t A Bt eRC t

02( ) = +( )

−

I t B RC A Bt eRC t

( ) = − +( )

−12

2

A Q

B I RCQ

o= ( )

= ( ) + ( )

0

0 12

00

455



20.6.3 Oscilações Subamortecidas

Esse é o caso mais interessante dos três. Ele ocorre para valores das constantes que satisfaçam

a condição:

20.99

A solução geral agora será da forma:

20.100

onde E e D são constantes a serem determinadas a partir das condições iniciais e ω' é uma

frequência dada por:

20.101

A constante C dá a carga elétrica do sistema no instante de tempo t=0.

20.102

onde ω0 = LC é, como se verá a seguir, a frequência natural de oscilação do sistema quando

a resistência tende a zero.

20.6.4 Oscilações forçadas: fonte de corrente alternada

Consideremos o caso em que o circuito seja alimentado por uma fonte de corrente alternada.

Escrevemos para a diferença de potencial provida pelo gerador:

20.103

R LC

> 2

Q t Ee t De tRC t RC t

02 2( ) cos sen= ′ + ′

− −ω ω

′ = −

ω ω0

22

2RC

C Q t= =( )0

V t V Cos t( ) = +( )0 0ω ϕ

456



Denominaremos o valor máximo da diferença de potencial (V0) de amplitude. A constante

φ0 é uma fase cuja importância nesse ponto não é muito grande, uma vez que ela pode ser

eliminada através de uma escolha adequada do tempo inicial.

Para uma alimentação do circuito dada por 20.103, a equação de um circuito RLC será

dada por:

20.104

Com o intuito de buscarmos soluções para a equação acima, escreveremos essa equação de

tal forma a admitir soluções com variáveis complexas. Designaremos as soluções complexas por

Q*(t). Tal solução pode ser encontrada ao escrevermos a equação acima como:

20.105

A solução pretendida será dada como a parte real da solução complexa (Q(t)), isto é,

20.106

Como no caso anterior, procuraremos soluções da forma exponencial. Para isso, escrevemos:

20.107

Substituindo a solução proposta em 20.107, na equação 20.105 encontraremos que, de fato,

uma tal solução é possível desde que:

20.108

Ou seja, se A for um número complexo dado por:

20.109

Q tC

RdQ tdt

Ld Q tdt

V Cos t( )+

( )+

( )= +( )2

2

2 0 0ω ϕ

Q tC

RdQ tdt

Ld Q tdt

V ei t∗ ∗ ∗

+( )( )+

( )+

( )=2

2

2 00ω ϕ

Q t Q t( ) = ( )∗Re

Q t Aei t∗ ( ) = ω

1 20C

i R L A V+ −

=ω ω

A VL i R

L

=− +

0

02 2

1

ω ω ω

457



onde a frequência natural de oscilação é dada em 20.75. Utilizando a propriedade fundamental

dos números complexos, podemos escrever qualquer número sob a forma de uma amplitude

vezes uma exponencial,

20.110

Utilizando a identidade acima, a amplitude se escreve como:

20.111

onde θ0 é uma diferença de fase dada por:

20.112

Assim, a solução geral para o circuito RLC quando alimentado por uma fonte de corrente

alternada é dada pela parte real de 20.107 com a constante A dada por 20.111. Obtemos assim:

20.113

A solução mais geral possível para um circuito RLC , levando-se em conta efeitos de tran-

siente, é dada pela solução particular 20.113 mais a solução geral. Escrevemos portanto:

20.114

a ib a b e ba

i+ = + =2 2 θ θ onde arctg

A VL

e

RL

i

=

−( ) +

0

02 2 2

2

0

12

θ

ω ω ω

θω

ω ω00

2 2=−

arctg

RL

Q t VL

t

RL

QM( ) = + +( )

−( ) +

≡0 0 0

02 2 2

2

12

coscos

ω ϕ θ

ω ω ω

ωtt + +( )ϕ θ0 0

Q t Ee t De t VL

tRC t RC t( ) = ′ + ′ +

+ +( )

−( )

− −2 2 0 0 0

02 2 2

cos sencos

ω ωω ϕ θ

ω ω ++

ωR

L

2

12

458



onde as constantes E e D são obtidas a partir das condições iniciais. Os termos de transiente,

que dependem das condições iniciais do sistema, tendem a zero exponencialmente. Ou seja, só

tem efeitos significativos quando ligamos a fonte. Depois de um alguns instantes, a corrente no

sistema será uma corrente alternada com a mesma frequência da fonte e dada pela expressão:

20.115

onde o valor máximo da corrente será dado por:

20.116

Um outro efeito introduzido pelos componentes RLC no sistema é introduzir uma dife-

rença de fase em relação à fase da fonte. Essa diferença de fase é θ0, onde esse ângulo é definido

em 20.112. A diferença de fase se anula quando a resistência é nula.

20.7 Equações diferenciais Não linearesEsses casos são mais complexos. Nem sempre é possível encontrar uma solução simples.

Considere o caso de uma equação diferencial da forma:

20.117

• ExEmplo 8:Resolva as equações diferenciais resultantes no estudo do movimento da bolha quando considera-mos o caso de uma força que depende do quadrado da velocidade.

→ REsolução:Nesse caso a lei de Newton se escreve como:

20.118

I t I tM( ) = − + +( )sen ω ϕ θ0 0

I

VL

RL

M =

−( ) +

0

02 2 2

2

12

ω

ω ω ω

adf xdx

bf x E( )+ ( ) =2

0

mdV tdt

BV t mg( )= − ( ) +2

459



Apesar de ter a mesma forma da equação anterior, essa equação não é uma equação linear. Ou seja, não vale o princípio da superposição para ela. Como no caso anterior, no entanto, podemos escrevê-la de uma forma equivalente à expressão 20.117. Ou seja,

20.119

Integrando membro a membro a equação acima, obtemos a solução para o caso de uma velocidade inicial diferente de zero, ou seja:

20.120

Assim, nos instantes de tempo iniciais, caracterizados pela condição t (gγ)−1/2, podemos verificar que o movimento é acelerado, pois nesse caso vale o resultado aproximado:

20.121

Enquanto para grandes valores do intervalo de tempo, caracterizados pela condição t (gγ)−1/2, a solução 20.112 nos leva a um valor constante da velocidade, esse valor agora é, considerando-se agora o caso de velocidade inicial nula, dado por:

20.122

Valor esse que poderíamos deduzir do fato de que, nesse limite, as forcas se compensam, levando-nos ao resultado:

20.123

Concluímos assim que, como no caso anterior, a partícula atinge uma velocidade final constante.Se a partícula parte de uma posição inicial y(0) = 0, sua coordenada y dependerá do tempo, da seguinte forma:

20.124

E, portanto, nos instantes iniciais do movimento (t (gγ)−1/2), temos:

20.125

enquanto nos instantes finais (aqueles para os quais vale a desigualdade t (gγ)−1/2) o movimento será uniforme.

dV t

V t gdty

y

( )

( ) +

= −2

γ

γ

V t V g g ty y( ) = ( ) +

−0

1 2

γγ

/

tanh

V t V gty y( ) ≈ ( ) +0

V t gy ( ) =

γ

1 2/

− ( ) + = ⇒ ( ) =

BV t mg V t g

y y2

1 2

0 γ

/

y t g t( ) =

( )1

γγln cosh

y t gt( ) ≅ 12

2

460



Nesse limite, a solução 20.124 nos leva ao resultado:

20.126

o qual é inteiramente compatível com 20.123.Muitas vezes a derivada aparece na forma do quadrado. Por exemplo, no estudo do movimento dos planetas, recaímos numa equação da forma:

20.127

onde a, m, E e k são constantes. Essa equação se reduz a uma forma integrável, pois em última instância pode ser escrita como:

20.128

E esta pode ser integrada depois de escrevermos, para o sinal positivo, a seguinte expressão:

20.129

e, portanto, reduzimos o problema a determinar integrais indefinidas.

Lista de ImagensThinkstock.com: Figuras 2.7, 7.2.

y t g t( ) ≅ −

( )

γ γ1 2ln

E m drdt

ar

kr

=

+

−

2

2

2

dt drEm

kr

ar

=+ −

22

± + − =2

2

Em

kr

ar

drdt

Fundamentos de Matematica I

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