Fundamentos de Modelagem Hidrológica

Prof. Benedito Cláudio da Silva

Instituto de Recursos Naturais - IRNUniversidade Federal de Itajubá – UNIFEI

Adaptado de Ruberto Fragoso Júnior

Modelos Hidrológicos

• Por que modelos hidrológicos? O modelo é a representação de algum objeto ou

sistema, numa linguagem ou forma de fácil acesso e uso, com o objetivo de entendê-lo e buscar suas respostas para diferentes entradas.

O modelo deve ser visto como uma ferramenta não um objetivo

Se é possível medir as variáveis hidrológicas por que necessito do modelo?

Se eu disponho de um modelo por que necessito medir a vazão de um rio ou outras variáveis hidrológicas?

• As limitações básicas dos modelos hidrológicos são a quantidade e a qualidade dos dados hidrológicos, além da dificuldade de formular matematicamente alguns processos e a simplificação do comportamento espacial de variáveis e fenômenos

• • Nenhuma metodologia cria informações

apenas explora melhor os dados existentes

Modelos Hidrológicos

Terminologia• Risco e incerteza: o risco de ocorrência de uma

determinada variável aleatória é a chance aceita pelo projetista que a variável seja maior que um determinado valor (menor no caso de mínimos). A incerteza refere-se a diferença entre as estatísticas da amostra e da população, que pode ser devido a representatividade da amostra ou devido aos erros de coleta e processamento dos dados da variável aleatória

• Série estacionária ou não-estacionária: uma série é estacionária quando as estatísticas da mesma não se alteram com o tempo. Uma série é não-estacionária no caso contrário.

• Parcimônia: a representação adequada do comportamento de um processo ou um sistema por um modelo com o menor número possível de parâmetros é entendido como o princípio da parcimônia.

Sistema, modelo e simulação• Sistema é qualquer estrutura, esquema ou

procedimento, real ou abstrato, que num dado tempo de referência interrelaciona-se com uma entrada, causa ou estímulo de energia ou informação, e uma saída, efeito ou resposta de energia ou informação.

SISTEMA

• Exemplos: Bacia hidrográfica, trecho de rio, aqüífero

Modelos• Modelo é uma representação do comportamento do

sistema tipos de modelos: físicos, analógicos e matemáticos Os modelos analógicos valem-se da analogia das

equações que regem diferentes fenômenos, para modelar no sistema mais conveniente, o processo desejado;

Os modelos matemáticos: são os que representam a

natureza do sistema, através de equações matemáticas,

O modelo físico representa o sistema por um protótipo em escala menor, na maior parte dos casos

Classificação de Modelo

Memória: é o espaço de tempo, no passado, durante o qual a entrada afeta o estado presente do sistema. Memória zero, para um sistema, significa que a entrada afeta o sistema somente no tempo em que ela ocorre. A memória infinita existe quando o sistema depende de todo o seu passado. Uma memória é finita quando o sistema depende da entrada ocorrida dentro de um período finito no passado.Exemplo: a memória de uma bacia hidrográfica (sistema) a uma determinada precipitação é o tempo que a água leva para infiltrar, percolar e escoar até a seção do rio que delimita a bacia.

Linearidade Um sistema linear se baseia no princípio da superposição: y1 é

uma entrada do sistema que produz a saída x1. Da mesma forma, a entrada y2 resulta na saída x2 do mesmo sistema. O princípio de superposição é válido quando, a entrada y1+y2 produzir a saída x1 + x2 neste mesmo sistema.

propriedade de homogeneidade: Se existem n entradas no sistema, de tal forma que

y1 = y 2 = y3 .......... = yn

o sistema é linear quando n y1 produz a saída n x1

Linearidade

MODELO

InIn OutOut

MODELO

In

MODELO

InIn OutOut

MODELO

In Out

MODELO

In Out

Sistemas lineares e não-lineares

)t(yxAdtdxA .........

dtxdA

dtxdA 011n

1n

n

nn 1n

Matematicamente:

Linear : quando Ai f(X) para i = 1,2,...n

linear invariante: quando Ai f(X,t)

linear variante : quando Ai f(X)

não-linear: quando pelo menos um Ai = f(X,t)

Exemplo: IQ

dtdQK

Contínuo e Discreto• um sistema é dito contínuo quando os fenômenos são

contínuos no tempo, enquanto que o sistema é discreto quando as mudanças de estado se dão em intervalos discretos.

• Um sistema pode se modificar continuamente, mas para efeito de projeto os registros são efetuados em intervalos de tempo.

• A escolha deste intervalo é função da economia desejada e da precisão dos resultados, que são conflitantes, já que à medida que o intervalo diminui, o custo para medir os dados da computação aumenta em favor da melhoria da precisão dos resultados.

• Exemplos: linígrafo

Contínuo e Discreto

Tempo

Concentrado e distribuído• um modelo é concentrado ("lumped") quando não

leva em conta a variabilidade espacial. A precipitação média de uma bacia é um exemplo da integração espacial da variável de entrada. Em geral, os modelos concentrados utilizam somente o tempo como variável independente.

• distribuído (distributed) quando as variáveis e parâmetros do modelo dependem do espaço e/ou do tempo. Em termos matemáticos, a equação diferencial ordinária possui uma variável independente, neste caso, o tempo, e representa um modelo concentrado

Exemplo

concentrado

distribuído

Estocástico e determinístico

Se a chance de ocorrência das variáveis é levada em conta, e o conceito de probabilidade é introduzido na formulação do modelo, o processo e o modelo são ditos Estocásticos. Se a chance de ocorrência das variáveis envolvidas no processo é ignorada, e o modelo segue uma lei definida que não a lei das probabilidades, o modelo e os processos são ditos Determinísticos.

Quando uma variável de entrada de um sistema é aleatória, a variável de saída também será aleatória, no entanto o sistema pode ter comportamento determinístico ou representado por um modelo determinístico. Exemplo, a vazão de entrada e saída de um reservatório são variáveis aleatórias, mas a determinação da vazão de saída com base na de entrada e nas características do reservatório é um processo determinístico bem conhecido.

CaosUm sistema com comportamento aparentemente aleatório também pode ser determinístico. Quando o sistema é não-linear e altamente dependente das suas condições iniciais, a resposta pode apresentar características de uma variável aleatória e passar pelos testes estatísticos e estocásticos. Este processo é denominado na literatura de "caos determinístico".

x (k+1) = r x (k)[ 1 - x(k)]

Exemplo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20 25 30

k

x

Valores da função para: (i) curva pontilhada r=2,5 e xo=0,1; (i) curva cheia r= 3,95 e xo= 0,8

Conceitual e Empírico• conceitual, quando as funções utilizadas na sua

elaboração levam em consideração os processos físicos. Esta definição é estabelecida para diferenciar os modelos que consideram os processos físicos, dos modelos ditos "caixa-preta".

• Os modelos do tipo "caixa-preta" ou empíricos são aqueles em que se ajustam os valores calculados aos dados observados, através de funções que não têm nenhuma relação com os processos físicos envolvidos.

Conceitual e Empírico

Peixes

Zoo

Fito

NO3 NH3 Norg

PO4 Porg

Peixes

Zoo

Fito

NO3 NH3 Norg

PO4 Porg

P

Chlo

Chlo a = 2,318.ln(P) R2=0,97

(a) (b)

Elementos da Modelagem

Funções governantes ou

Variáveis externas Processos

Parâmetros

Parâmetros

Fenômeno de interesse

Elementos da Modelagem • Fenômeno é um processo físico, que

produz alteração de estado no sistema. Por exemplo, precipitação, evaporação e infiltração são fenômenos;

• Variável é um valor que descreve quantitativamente um fenômeno, variando no espaço e no tempo. Por exemplo, vazão é uma variável que descreve o estado do escoamento;

• Parâmetro é um valor que caracteriza o sistema, o parâmetro também pode variar com o espaço e o tempo. Exemplos de parâmetros são: rugosidade de uma seção de um rio, área de uma bacia hidrográfica e áreas impermeáveis de um bacia.

Exemplo

QIdtdS

Equação da continuidade

SKQ. Relação entre volume e saída

Derivando a segunda equação e substituindo na primeira, resulta a equação diferencial do modelo

IQdtdQK

Onde K é o parâmetro, Q a variável dependente e de saída e I a variável de entrada

Etapas da ModelagemDefinição do problema

Simplificação e formulação de hipótese

Dedução do modelo

Resolução do problema

Calibração e validação

Aplicação do modelo

Etapas da ModelagemDefinição do problema

Simplificação e formulação de hipótese

Dedução do modelo

Resolução do problema

Calibração e validação

Aplicação do modelo

Etapas da Modelagem

Problemas em Hidrologia

Cheias

Planejamento

EstadosalternativosUsos da águaRegime

hidrológico

Extensão de Séries hidrológica

Floração decianobactérias Eutrofização

Etapas da ModelagemDefinição do problema

Simplificação e formulação de hipótese

Dedução do modelo

Resolução do problema

Calibração e validação

Aplicação do modelo

Etapas da Modelagem

Quais são as

variáveis?Quais são

as hipóteses

?Quais são

os processos?

Essa é a minha

proposta!!!

Simplificações e formulação de hipóteses

Etapas da ModelagemSimplificações e formulação de hipóteses

Etapas da ModelagemSimplificações e formulação de hipóteses

Produção

Luz Temperatura Nutrientes

Taxa constante

NkN

NN

20TTmaxT G

Hk

eef781,2

e

21

L

NTLP NTP TP tetanconsP

Etapas da ModelagemSimplificações e formulação de hipóteses

Nº de parâmetros

ComplexidadeAproximação

Nº ótimo de parâmetros

Etapas da ModelagemDefinição do problema

Simplificação e formulação de hipótese

Dedução do modelo

Resolução do problema

Calibração e validação

Aplicação do modelo

Modelos Qualidade Água e Hidrodinâmica

Derivado aplicação Leias de Conservação

Propriedades conservativas intrínsecas internasmomentum, calor energia, massa água, massa contaminantes

Prediz:Mudanças em propriedades conservativas;Mudanças estado sistema resulta de mudanças em uma ou mais propriedades intrínsecas.

Conservação de EnergiaBalanço Calor e EvaporaçãoRelações de mistura

Conservação de MassaMassa água na hidrodinâmica e transporteMassa materiais dissolvidos ou suspensos na águaBalanço massa expandido para incluir mudanças

cinéticas

Conservação de MomentoÁgua: movimentoÁgua: Fluxo

Acumulação Líquida = Transporte Fonte/Sumidouro (transformações)

Fluxo Propriedades Conservativas devido movimento água (advecção,

mistura turbulenta, difusão)

Funções Forçantes

As Leis da Natureza!!

Etapas da ModelagemDedução do modelo matemático

consumoproduçãohA

AZgKA1rA

dtdA

az

emortalidadocrescimentZmhA

AZgedtdZ

za

zz

Modelo conceitual

Etapas da ModelagemDedução do modelo matemático

Parâmetro Descrição Valor Unidade

R Taxa de crescimento do fitoplâncton 0,5 dia-1

K Capacidade máxima de biomassa algal 10 mg.l-1

gz Taxa de consumo algal pelo zooplâncton 0,6 dia-1

Há Coeficiente de meia-saturação para o consumo de algas 0,4 mg.l-1

ez Eficiência de conversão de biomassa algal para zooplanctônica 0,6 -

mz Taxa de mortalidade do zooplâncton 0,15 dia-1

Etapas da ModelagemDefinição do problema

Simplificação e formulação de hipótese

Dedução do modelo

Resolução do problema

Calibração e validação

Aplicação do modelo

Etapas da ModelagemResolução do problema

Solução das equações diferenciais através de um método numérico:

Métodosanalíticos Métodos

numéricos

EulerDiferenças

finitasElementos

Finitos

Elementosde contorno

Runge-Kutta

Método dosCoeficientes

Não-determinados

Transformadasde

Laplace

Etapas da ModelagemResolução do problema

Discretização temporal

Discretização espacial

Método numérico

x

y

Etapas da ModelagemResolução do problema

Etapas da ModelagemDefinição do problema

Simplificação e formulação de hipótese

Dedução do modelo

Resolução do problema

Calibração e validação

Aplicação do modelo

Etapas da ModelagemCalibração e validação do modelo

ObservadoCalculado

Período de calibração Período de validação

A

Etapas da ModelagemCalibração e validação do modelo

Coeficientes Equação1

Coeficiente de determinação de Nash-Sutcliffe (R2)

2

ObsObs

2CalObs2

tYtY

tYtY1R

Erro médio padrão (RMSE) N

tYtYRMSE2

CalObs

Erro médio padrão invertido (RMSEI)

NtY

1tY

1

RMSEI

2

CalObs

Etapas da ModelagemDefinição do problema

Simplificação e formulação de hipótese

Dedução do modelo

Resolução do problema

Calibração e validação

Aplicação do modelo

Etapas da ModelagemAplicação do modelo

0 200 400 600 800 10000

2

4

6

8

10

Tempo (dias)

AZ

K

Simulação• Simulação é o processo de utilização do modelo. Na

simulação existe, em geral, três fases que são classificadas como estimativa ou ajuste, verificação e previsão.

• A estimativa dos parâmetros é a fase da simulação onde os parâmetros devem ser determinados.

• A verificação é a simulação do modelo com os parâmetros estimados onde se verifica a validade do ajuste realizado.

• A previsão é a simulação do sistema pelo modelo com parâmetros ajustados para quantificação de sua respostas a diferentes entradas

Simulação

Modelo Estimativa(ajuste)

Existem Uso

Verificação

Existem Uso

Previsão

Existem UsoDados deentrada

x x x x x x

Parâmetros ? ? x x x xDados de saída x x x ? ? ?

*Uso: indica se a informação é utilizada na simulação.

Ajuste

Estimativa sem dados históricos - quando não existem dados sobre as variáveis do sistema, pode-se estimar os valores dos parâmetros baseando-se em informações das características físicas do sistemaAjuste por tentativas: é o processo em que existindo valores das variáveis de entrada e saída, são obtidos por tentativas os parâmetros que melhor representem os valores observados através do modelo utilizado.Ajuste por otimização: utiliza os mesmos dados do processo por tentativa, mas por métodos matemáticos otimiza uma função objetiva que retrata a diferença entre os dados observados e calculados pelo modelo.Amostragem: os valores dos parâmetros são obtidos através de medições específicas no sistema.

VerificaçãoA verificação é a fase da simulação em que o modelo,

calibrado anteriormente, é verificado com outros dados.

• As fases de ajuste e verificação devem ser representativas da fase de aplicação, caso contrário não possuem utilidade

Previsão e aplicação• Os limites de uso das fases anteriores devem respeitar a etapa de

aplicação do modelo;• a fase de aplicação pode sofrer correções para compatibilizar com

este cenário;• o ajuste parte do princípio de estacionariedade. Caso isto não ocorra

o modelo deve permitir sua adaptabilidade aos novos cenários.

oceano

A

B

Modelos de Gerenciamento• Modelos de comportamento: são modelos

utilizados para descrever o comportamento de um sistema. O modelo é utilizado para prognosticar a resposta de um sistema sujeito a diferentes entradas ou devido a modificações nas suas características.

• Modelos de otimização: estão preocupados com as melhores soluções, a nível de projeto, de um sistema específico.

• Modelos de planejamento: simulam condições globais de um sistema maior.

Nome Tipo Estrutura Características UsosPrecipitação-Vazão determinístico;

empírico;Conceitual

Comportamento calcula a vazão de uma bacia apartir da precipitação

extensão de séries de vazão;dimensionamento; previsão emtempo atual, avaliação do usoda terra

Vazão-Vazão determinístico:empírico;conceitual

calcula a vazão de uma seção apartir de um ponto a montante

extensão de séries de vazões;dimensionamento; previsão decheia

Geração estocásticade vazão

estocástico calcula a vazão com base nascaracterísticas da série histórica

dimensionamento do volumede um reservatório

Fluxo saturado determinístico determina o movimento, vazãopotencial de águas subterrâneas àpartir de dados de realimentação,bombeamento,etc

capacidade de bombeamento;nível do lençol freático;iteração rio-aqüífero,etc

Hidrodinâmico determinístico sintetiza vazões em rios e rede decanais

simulação de alterações dosistema; efeitos de escoamentode jusante

Qualidade de Águade rios ereservatórios

determinístico simula a concentração deparâmetros de qualidade da água

impacto de efluentes;eutrofização de reservatórios;condições ambientais

Rede de canais econdutos

determinístico Comportamento eotimização

otimiza o diâmetro dos condutos everifica as condições de projeto

rede abastecimento de água;rede de irrigação

operação dereservatórios

estocástico,determinístico

determina a operação ótima desistemas de reservatórios

usos múltiplos

planejamento egestão de sistemasmúltiplos

estocástico,determinístico

Comportamento,otimização eplanejamento

simula condições de projeto eoperação de sistemas (usa váriosmodelos)

Reservatórios, canais, estaçõesde tratamento, irrigação,navegação fluvial, etc

Avaliação e equacionamento: definiçãodo problema, objetivos e justificativa

Representação do sistema: escolha dosmodelos para atender os objetivos

Modelos:•hidrológicos•hidráulicos•meio ambiente•planejamento

Técnicas matemáticas•métodos numéricos•otimização•estatística•geoprocessamento

Coleta eanálise dosdados eparâmetros

Simulação

Modelo

Ajuste eVerificação Previsão dos

cenários

AnáliseEconômicaSocial eAmbiental

Tomada deDecisão

Evolução do modelos hidrológicos

• Início com o computador e década de 50• os modelos distribuídos na década de 70-80• a evolução com o GIS e a integração espacial com a

modelagem física;• limitação da escala• a relação dos modelos hidrológicos e meteorológicos.

Escala dos processos na bacia

Usos dos modelos hidrológicos

Tipos de usos• Extensão de séries hidrológicas;• planejamento e projeto de sistemas hídricos• previsão tempo real• avaliação do impacto das modificações dos sistemas

hídricos.

Áreas de aplicação• Usos dos recursos hídricos: abastecimento de água, energia,

irrigação, navegação,etc• impactos sobre a população: controle de inundações• impactos no meio ambiente: desmatamento, qualidade da

água, etc.