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CAPÍTULO 1

Moisés Piedade, IST, Março de 2002 1

1.

FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

INTRODUÇÃO

Os filtros contínuos processam sinais definidos em qualquer instante de tempo e que têm qualquer

amplitude possível. Os filtros contínuos podem ser realizados com diferentes tecnologias e dispositivos.

Pode, por exemplo, filtrar-se um sinal à custa de vários tipos de ressonadores: mecânicos, piezoeléctricos,

magnetoestritivos, etc., ou à custa de circuitos RLC, de linhas de transmissão, de circuitos activos RC,

etc. Em qualquer destas possíveis realizações é necessário, previamente, determinar uma função de

transferência para o filtro, que corresponda às exigências de pretendidas para o sistema.

1.1. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

A função de transferência directa de um sistema linear e invariante no tempo, define-se como sendo

o cociente entre as transformadas de Laplace, Y(s), do sinal de saída, y(t) e a transformada, X(s), do sinal

de entrada, x(t), ver Fig. 1.1. No estudo dos filtros, por vezes, é mais conveniente usar o conceito de

2 FUNÇÕES BIQUADRÁTICAS

Moisés Piedade, IST, Março de 2002

função de transferência inversa1, H(s), definida como o cociente entre as transformadas de Laplace

das varáveis de entrada e de saída do filtro. Tem-se, assim:

)(

)()(

sXsY

sT = e 1)()(

)()( −== sT

sYsX

sH ,

( 1.1)

Quando o sistema é excitado por um sinal sinusoidal, que corresponde a analisar a função de

transferência em s = jω, obtém-se, para a resposta em frequência do sistema, uma função complexa da

frequência, com parte real, R[T(jω)] e parte imaginária, I[T(jω)] que pode ser separada no módulo |T(jω)|

= eα(ω ), e na fase φ(ω),

)()()(.)())(())(()( ωφωαωφωωωω jj eejTjTjjTjT +==ℑ+ℜ= ,

( 1.2)

em que o módulo |T(jω)|, também se pode representar pela exponencial da atenuação α(ω), por

)(e)j(T ωα=ω , vindo

)(j)(e)j(T ωφ+ωα=ω .

A resposta do filtro ao regime forçado sinusoidal costuma ser representada pelo conhecimento das

seguintes funções da frequência:

ωωφ

ωτ

ωφ

ωω

ωαωω

ωω

dd

GA

jTG

jTjT

)()(

arctan)(

)()(

)(.686,8)(log.20)(

))(())((

10

−=

=

−=

==

ℜℑ .

( 1.3)

1 - A razão é simples. O projecto de filtros passa quase sempre por obter um filtro passa-baixo de referência, para a partir deste, se obterem outros tipos de filtros. Os filtros passa-baixo mais comuns só têm pólos, ou seja, a função de transferência tem um numerador constante e, por isso, é mais cómodo trabalhar com a função inversa pois esta só tem numerador.

x(t) y(t)

X(s) Y(s)

T(s) = Y(s)/X(s)

Fig. 1.1- Entrada e saída num sistema linear e invariante no tempo.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 3


em que G (ω) é o ganho, A (ω) é a atenuação, e τ (ω) é o atraso de grupo do sistema. Para um

sistema real, o módulo |T(jω)| é uma função par da frequência e φ(ω) é uma função ímpar.

Exercício 1.1- Cálculo da resposta de um sistema

Considere um sistema com H(s) = s. Calcule o ganho, a atenuação, a fase e o atraso de grupo para a frequência ω = 0 e ω

= 1000 rads-1.

Resolução:

O sistema é um integrador. T(jω) = 1/(jω) = (1/ω).e -jπ/2 para ω > 0; e T(jω) = 1/(jω) = (1/ω).e +jπ/2 para ω < 0, pois a fase

é impar de ω, vindo φ(ω) = (1- u(ω)).π/2, em que u(ω) é a função degrau. τ(ω) = δ(ω).π/2. Para ω = 0: G(0) = ∞ , A(0) = -∞ ,

φ(0-) = π/2 e φ(0+) = -π/2; τ(0) = ∞. Para ω = 1000 rads-1: G(1000) = -60 dB , A(1000) = 60 dB, φ(1000) = -π/2, τ(1000) = 0.

1.1.1. RESPOSTA DE UM SISTEMA IDEAL

Um sistema ideal, quando for excitado na sua entrada, com um sinal x(t), deve originar na sua saída

um sinal y(t) que é igual ao sinal de entrada. Tal sistema não existe, pois teria de ter T(jω) = 1 para todas

as frequências, o que não é fisicamente realizável, dado que todos os sistemas físicos têm uma largura de

banda de frequências finita e, no seu funcionamento, todos introduzem um atraso temporal da resposta

relativamente à entrada. Admitindo, contudo, que o sinal de saída é igual ao de entrada, a menos de um

atraso de tempo, τ, isto é:

τ

τsesXsY

txty−=

−=

).()(

)()(,

a resposta será

τωωφ

τωτωφωω ωττ =−===⇒=⇒= −−

dd

jTejTesT gjs )(

,-)( ;1)()()( .

Assim, o sistema ideal deveria ter atenuação nula para todas as frequências e ter, também, uma

característica de fase linear com a frequência, ou seja, devia ter atraso de grupo constante, igual ao atraso

temporal τ = τg. Todavia, um filtro destina-se a atenuar ou a aumentar a amplitude de certas componentes

espectrais de um sinal, pelo que, na prática, se tolera a deformação dos sinais resultante de não ser |T(jω)|

= 1, ou de não ser τg(ω) = constante. O filtro ideal, numa certa banda de frequências, seria aquele que

nessa banda tivesse |T(jω)| = 1, e τg(ω) = constante. Tal filtro não existe, mas pode pensar-se em vários

modelos teóricos que têm um comportamento ideal numa certa banda de frequências, como os que se

ilustram na Fig. 1.2. Por exemplo, o filtro passa-baixo ideal, Fig. 1.2a), não introduz atenuação nos sinais

numa certa banda de frequências designada por banda de passagem que vai desde ω = 0 até a uma

certa frequência máxima, designada por frequência de corte , ωC, a partir da qual a atenuação é infinita e



se entra na chamada banda de atenuação. O filtro rejeita-banda ideal, Fig. 1.2d) tem duas bandas de

passagem: uma que vai desde ω = 0, até à frequência de corte ωCinf e outra que vai desde a frequência de

corte ωCsup até infinito, tendo uma banda de atenuação precisamente entre ωCinf e ωCsup. Nos exemplos

referidos na Fig. 1.2 pressupõe-se que o atraso de grupo é constante (idealmente nulo) na banda de

passagem.

ω

ω

ω

ω

ωω

οο ω

ωω

οοω ω ω

ω a) b) c) d)

Fig. 1.2- Atenuações de filtros ideais típicos;

a) – passa-baixo; b)- passa-alto, c)- passa-banda; d)- rejeita-banda.

1.1.2. RESPOSTA DE UM SISTEMA FISICAMENTE REALIZÁVEL

É impossível realizar um sistema com a característica abrupta de atenuação na frequência, do tipo da

que foi referida acima para os filtros ideais. Na prática, tolera-se uma certa aproximação a esta

característica ideal e admite-se que a atenuação cresce gradualmente na chamada banda de transição,

situada entre a banda de passagem, (0 a ωP), e a banda de atenuação, (ωS a ∞)2, veja-se a Fig. 1.3. Nesta

banda de transição, a característica de atenuação apresenta uma derivada em relação à frequência (que

mede a selectividade do filtro na frequência) que não é infinita. Também a atenuação na banda de

passagem não pode ser 0 para todas as frequências e tolera-se uma certa atenuação máxima Amáx = Ap;

ΩΩ Ω Ω ΩΩ

Fig. 1.3- Atenuações de filtros reais típicos. a)- filtro passa-baixo; b)- filtro passa-banda.

2 - ωS, S de stopband e ωP , P de passband.



na banda de atenuação também se tolera uma atenuação que não é infinita mas pode impor-se que seja

sempre maior que um certo valor mínimo Amin = AS, veja-se a Fig. 1.3.

1.1.3. EFEITO DOS ERROS DE FASE E DE AMPLITUDE

A deformação de um sinal, provocada por um filtro, manifesta-se tanto na alteração da amplitude como da

relação de fase entre as diferentes componentes do sinal. A importância destes defeitos introduzidos

depende da aplicação que se tem em vista, como veremos de seguida.

O ouvido humano não é sensível à desfasagem das diferentes componentes de um mesmo sinal, pelo

que a degradação da fase e do atraso de grupo não é sentida. Assim, os filtros para sinais de áudio podem

ser projectados sem cuidados especiais com a característica de fase. O sistema visual humano é sensível

ao atraso de grupo3 e também à amplitude, e, por isso, nos filtros para imagem ou vídeo deve-se

especificar as duas características de amplitude e de fase da resposta dos filtros, de modo a serem o mais

parecidas com a característica do filtro ideal. Nos sistemas de telecomunicações utilizam-se sinais digitais

e impulsos para transmitir informação, sinais esses que são processados por circuitos electrónicos que

muitas vezes são sensíveis ao valor instantâneo do sinal, pelo que tanto a característica de resposta de

frequência como a de fase são muito importantes.

-4

-2

0

2

4

0 2 4 6

ωωt

Fig. 1.4- Deformação de um sinal devida à eliminação de altas frequências e ao atraso de grupo.

Na Fig. 1.4 pode observar-se como um sinal, com forma de onda quadrada, é processado por três

filtros passa-baixo com resposta em amplitude ideal e que deixam passar todas as frequências até à 7ª

harmónica, sem introduzir qualquer atenuação, mas cujas características de atraso de grupo podem ter

diferentes variações na banda de passagem. A curva a traço contínuo seria a resposta obtida por um filtro

3 - A reprodução de um sinal de vídeo num televisor que não tem atraso de grupo constante, fará com que certos detalhes da imagem, que originalmente estavam juntos no espaço, não fiquem na mesma posição do ecrã.



passa-baixo ideal sem atraso de grupo4, notando-se apenas a deformação introduzida pela eliminação das

frequências harmónicas superiores à 7ª ordem; a curva a traço interrompido, deslocada para a direita,

corresponde à resposta do mesmo filtro ideal mas que tem um atraso de grupo constante, ou seja com uma

característica de fase linear com a frequência, enquanto que a 3ª curva descontínua representa a

resposta do mesmo filtro ideal com atraso de grupo variável com a frequência (fase não linear com a

frequência)5. Em qualquer dos casos, a potência do sinal é a mesma (cada uma das frequências

harmónicas do sinal tem a mesma amplitude; a única diferença está na relação de fase entre as diferentes

harmónicas).

O sistema auditivo humano ouviria os sinais da mesma forma, mas o sistema visual humano já os

distinguiria, tal como o faria um circuito eléctrico que fosse sensível à amplitude do sinal, como é, por

exemplo, um osciloscópio.

1.1.4. PÓLOS E ZEROS DE UM SISTEMA REAL

A função de transferência de um sistema realizado com componentes de parâmetros concentrados6

pode ser sempre expressa pelo cociente de dois polinómios7, na seguinte forma,

∑

∑

∑

∑

=

=

=

= ==++++++++== N

i

ii

M

i

ii

N

MN

i

ii

M

i

ii

NN

MM

sb

sa

s

s

ssssss

sDsN

sT

0

0

0

02

210

2210 .

......

)()(

)(βα

β

α

ββββαααα

,

( 1.4)

em que ai = αi/αM e bi = βi/βM. A menos de uma constante αM/βN, a função de transferência pode ser

representada apenas pelo cociente entre os dois somatórios do último termo de ( 1.4) em que aM = bN = 1.

Num sistema fisicamente realizável, para s = ∞, a função de transferência do sistema deve ser finita

e, por isso, tem de ser M ≤ N. Como qualquer polinómio pode ser expresso em função das suas raízes ou

zeros, a partir de um produto de monómios da forma (s - sz), obtém-se:

4 - O sinal foi degradado através da supressão das harmónicas superiores à 7ª. 5 - Esta resposta foi obtida pela adição de um ângulo constante de 45 º em cada uma das harmónicas, o que dá uma característica

não linear de fase. 6 - Sistema em que os elementos armazenadores de energia estão concentrados, por exemplo num condensador ou numa bobina, em

vez de estarem distribuídos , como acontece, por exemplo, num cabo telefónico que tenha 100 Ω / km, 2 nF/ km e 100 µh/ km. 7 - No caso do sistema ser de parâmetros distribuídos, como é, por exemplo, o caso de uma linha de transmissão, a função de

transferência já não é uma função racional de s.



∏

∏

∑

∑

=

=

=

=

−

−=== N

ipi

M

izi

N

MN

i

ii

M

i

ii

ss

ss

s

s

sDsN

sT

0

0

0

0

)(

)(.

)()(

)(βα

β

α.

( 1.5)

As raízes do denominador são os pólos e as raízes do denominador são os zeros de T(s). É costume, na

prática, associar as raízes aos pares, pois, na maior parte dos casos, as raízes são complexas conjugadas.

Pode desenvolver-se o produto de dois monómios da equação anterior, numa função quadrática da

frequência, do seguinte modo:

2000

221 ...2))(( ωωξ ++=−− ssssss zz , com

( 1.6)

.2

)( e .

0

21021

20 ω

ξω zzzz

ssss

+−== ,

em que ω0 é o módulo da frequência dos zeros, das raízes (pólos ou zeros), e ϕ0 é o factor de

amortecimento dos zeros, dessas raízes, que está relacionado com o factor de qualidade , q0, por:

.2

1

00 q

=ξ .

( 1.7)

Na Fig. 1.5 podem ver-se 3 localizações possíveis de um par de pólos /zeros.

Exercício 1.2- Factor de qualidade dos pólos.

Calcule o factor de qualidade e o módulo da frequência do par de pólos (s1 = -10 e s2 = -7), e do par (s3 = 1 + 2j e s4 = 1

–2j).

Resolução:

De ( 1.6) e ( 1.7), vem: ω0 = (sz1.sz2)-1/2 e q0 = - ω0.(sz1+sz2)

-1 e, o que dá para o primeiro par de pólos: ω0 = 8,37 e q0 =

0,49 e; e ω0 = 51/2 e q0 = -1,12, para o segundo par de pólos. Os pólos reais e negativos têm q0 < 0,5, positivo, enquanto que

os pólos complexos conjugados têm q0 > 0,5 ; se estiverem no semi-plano complexo direito q0 será negativo.

sp1

sp2

σ

jω

ξ0 < 1q0 > 0,5

σp =ξ.ωp

ωp

sp1 sp2 σ

jω

ξ0 > 1q0 < 0,5

sp1

sp2

σ

jω

ξ0 = 0q0 = οο

Fig. 1.5- Par de pólos (zeros).



A função de transferência, em função das funções quadráticas da frequência, será, para o caso de

numerador e denominador de ordem ímpar,

∏

∏

∏

∏

∑

∑−

=

−

=

=

=

=

=

++−

++−=

−

−===

2/)1(

0

221

2/)1(

0

221

0

0

0

0

)...2().(

)...2().(.

)(

)(.

)(

)()( N

ipipipip

M

iziziziz

N

MN

ipi

M

izi

N

MN

i

ii

M

i

ii

ssss

ssss

ss

ss

s

s

sDsN

sTωωξ

ωωξ

βα

βα

β

α,

( 1.8)

em que os monómios de 1ª ordem não existem, no caso de M ou N serem pares. Em ( 1.8) pode

identificar-se o cociente de duas funções quadráticas da frequência expresso pela seguinte função

biquadrática da frequência

22

22

...2...2

)(pipipi

zizizii ss

sssT

ωωξωωξ

++++= .

( 1.9)

A função de transferência T(s) pode obter-se a partir de um produto de funções biquadráticas da

frequência, Ti(s), o que significa que o sistema pode ser realizado pela associação em cadeia de circuitos

que realizam estas funções elementares de 2ª ordem, que podem representar até dois pólos e dois zeros, e

que são vulgarmente designadas por secções biquadráticas , cujo comportamento será analisado mais

adiante.

A resposta de um sistema é obtida pelo produto de funções de transferência de 1ª ordem e/ou de

funções de transferência biquadráticas (de 2ª ordem), pelo que é interessante conhecer o comportamento

destas funções elementares. A função de transferência de uma secção biquadrática é completamente

determinada por uma constante de ganho k, por dois pólos e dois zeros, com módulos, ωp e ωz, e factores

de amortecimento ξp e ξz, respectivamente.

Resposta em Frequência

Para uma excitação sinusoidal (s = jω), de ( 1.8) obter-se-á:

)(

)(.)(

ωω

ωjDjN

kjT =

( 1.10)

onde se pode salientar o ganho G(ω), expresso em dB, a fase φ(ω) e o atraso de grupo τ(ω),

)()()(

)()()(

)(log.20)(log.20log.20)( 101010

ωτωτωτωφωφωφ

ωωω

DN

DN

jDjNkG

−=−=

−+=

.



( 1.11)

As curvas de resposta em frequência G(ω), φ(ω) e τ(ω), são representadas nos chamados diagramas de

Bode. Por vezes, basta conhecer o valor dos pólos e dos zeros para se construírem diagramas assintóticos

em que as curvas descritas por ( 1.11) são aproximadas por funções lineares (rectas). A resposta de um

sistema com zeros e com pólos, obtém-se pela adição das curvas parciais obtidas considerando os zeros e

os pólos isoladamente e tendo em conta que o efeito dos pólos é simétrico do dos zeros.

1.2. FUNÇÕES DE 1ª ORDEM

A função de transferência de um sistema de 1ª ordem pode sempre pôr-se na forma de cociente de

dois polinómios de s, de primeira ordem,

ss

sDsN

sT10

10

)(

)()(

ββαα

++==

( 1.12)

ou em termos das raízes sz e sp do numerador e do denominador, denominadas zeros e pólos da função de

transferência, respectivamente, obtém-se:

e )(

)(

)(

)()(

1

0

1

0

1

1

ββ

αα

βα

−=−=−−

== pzp

z ssssss

sDsN

sT .

A função de transferência pode ainda ser expressa na forma

e )1.(

)1.(

)(

)()(

1

0

1

0

1

1

ββ

ωαα

ω

ωβ

ωα

=−==−=+

+== ppzz

p

z sss

s

sDsN

sT

( 1.13)

) o).(f.pbaix .(f.pbaixo)s(

.)s(

.T(s) 1-zp

0

0

z

z

p

p

0

0 ωωβα

=ω

ω+ω+

ωβα

=

( 1.14)

com

)s(

) (f.pbaixop

p

p ω+ω

=ω .

( 1.15)



-25

-20

-15

-10

-5

0

0,1 1 10

3 dB

0 dB/dec

-20 dB/dec

G(Ω) dB

Ω

-90

-45

0

0,1 1 10

φ(Ω) º

-45 º/dec-66 º/dec

Ω

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,1 1 10Ω

τ(Ω) /τ(0)º

φ(Ω) º

Isto é, a resposta de um sistema pode ser sempre expressa em funções do tipo passa-baixo e do tipo

passa-alto (inversa da resposta do tipo passa-baixo), pelo que basta estudar o comportamento dos filtros

do tipo passa-baixo, em função da frequência, para conhecer todas as respostas.

1.2.1. FUNÇÃO PASSA-BAIXO DE 1ª ORDEM

A partir de ( 1.15) e definindo a frequência normalizada8, S, por:

p

sS

ω= ,

( 1.16)

obtém-se:

SSF

+=

11

)( .

( 1.17)

A resposta a uma excitação sinusoidal, S = jΩ, origina:

)(.)(1

1)( Ω−Ω=

Ω+=Ω jjejF

jjF ϕ com

Ω=ΩΩ+

=Ω arctan)( e 1

1)(

2ϕjF .

( 1.18)

Diagrama de Bode da função de transferência com um pólo

É usual representar o ganho do filtro numa escala

logarítmica, com dB nas ordenadas e décadas, ou oitavas,

de frequência nas abcissas. Na escala de frequências, a

separação entre duas frequências ω1 e ω2, medida em

décadas ou em oitavas é, respectivamente,

)/(log 1210 ωω=sepdec e ( 1.19)

)/(log 122 ωω=sepoit ( 1.20)

Fig. 1.6- Resposta em frequência de um sistema com um pólo.

Exercício 1.3- Separação de frequências.

8 - A frequência normalizada permite representar os resultados independentemente do valor das frequências pois o comportamento do sistema passa a ser referido em termos de proporcionalidade à frequência de normalização.

FUNÇÕES DE 1ª ORDEM 11


Calcule a separação em décadas e oitavas das seguintes frequências: 1000 Hz e 18 350 Hz.

Resolução:

Sepdec = 1,26; como log2(x) = log10(x)/log10(2), sepoit = sepdec / log10(2) = 4,19 oitavas.

O ganho em dB é dado por:

( )1para log20 ;1para 01log20

1log10)(log20)(

1010

2

>>≅<<=⇒

Ω+−=Ω=Ω

Ù Ù Ù

jFG

( 1.21)

A curva da representação do módulo da função de transferência, num gráfico logarítmico, pode ser

aproximada por duas rectas assíntotas, que se cruzam na frequência de corte Ω = 1, com a inclinação de

0 dB/dec. e de – 6dB/dec., como se pode observar na Fig. 1.6. O erro máximo entre os valores dados

pelas rectas assíntotas e a curva real do ganho é de 3 dB, na frequência do pólo, Ω = 1.

A curva de fase também pode ser aproximada por 3 rectas assíntotas à curva real, com os declives

de 0º/dec., -45º/dec. e 0º/dec. De facto tem-se:

1para 90 ;1para -45º ;1para 0

arctan)(arg

>>−≅=Ω=<<≅⇒

Ω−=Ω

Ù Ù

jFoo

( 1.22)

a derivada de φ(Ω) com a frequência, numa escala logarítmica , tem um declive máximo, em Ω = 1, de

, mas verdadeira curva de fase pode ser aproximada por uma recta com

declive de –45º/dec. no intervalo de frequências compreendido entre Ω =

0,1 e Ω = 10, sendo o erro cometido inferior a 6º em toda a escala de frequências.

Exercício 1.4- Diagramas de Bode de dois filtros de 1ª ordem em cadeia.

Desenhe as características de Bode de amplitude e de fase, para um filtro obtido por associação em cadeia de dois filtros

de 1ª ordem com a função de transferência T(s) = 20/(s+10).

Resolução:

A associação em cadeia pressupõe que as funções de transferência se multiplicam, obtendo-se: T(jω) = 4[10/(jω+10)]2.

Virá a amplitude |T(jω)| = 4/[(1+(ω/10)2]. A fase será: φ(ω) = -2.arctan (ω/10). Usando as curvas normalizadas da Fig. 1.6, por

desnormalização para ωc = 10, pode obter-se as curvas da Fig. 1.7. O ganho estático é de 12 dB. O módulo da resposta em

frequência tem um declive assintótico para altas frequências, de –40 dB/dec. A característica de fase atinge a fase máxima de –

180º (trata-se de um filtro de 2ª ordem).

Atraso de grupo da função de transferência com um pólo

Derivando a função fase, obtém-se

66110

dec/º)(logd

)(d−=

ΩΩ

=Ω

ϕ



( 1.23)

o atraso para ω = 0 é 1/ωp, pelo que normalizando ao atraso a este

valor, obtém-se:

)(1

1

)0(

)(

2

pωωτ

ωτ

+= .

( 1.24)

Não representamos a curva de atraso de grupo porque ela pode obter-se da curva de atraso de grupo

de um filtro passa-baixo de 2ª ordem, T(s), com ξ = 1, (estudo que será feito na secção seguinte). De

facto, T(s) é igual ao produto de duas funções de primeira ordem

p

p

p

p

p

p

ppp

p

ssssssT

ωω

ωω

ωω

ωωξω

ξ++

=

+

=++

==

....2

)(

2

1

22

2

,

e sendo o atraso uma função aditiva, o atraso do filtro de primeira ordem é metade do de segunda ordem,

com ξ = 1.

1.2.2. FUNÇÃO PASSA-ALTO DE 1ª ORDEM

O ganho e a atenuação, em dB, de uma função passa-alto de 1ª ordem, com um zero e um pólo, são

funções simétricas das correspondentes funções passa-baixo ( 1.18) e ( 1.22). A fase e o atraso de grupo

da função passa-alto são ligeiramente diferentes. A fase tem um avanço adicional de π/2, vindo:

[ ]1)(.2.2

)(

0 )arctan(2

)(

0 )arctan(-2

)(

.)()(

com

;11)(

)(

−Ω=Ω

−=Ω

<ΩΩ+−=Ω

>ΩΩ+=Ω

Ω=Ω

=

+=+=

Ω−

δπφτ

πφ

πφ

ω

ω

ϕ

dd

ejFjF

sS

Ss

sF

jj

z

z

Ω=ΩΩ+

=Ω arctan)( e 1

1)(

2ϕjF .

( 1.25)

1

. )(1

1)(

2 p

p

ωωω

ωτ+

=

FUNÇÕES DE 1ª ORDEM 13


-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0,1 1 10 100Ω rads-1

G(Ω) dB

-90

-45

0

0,1 1 10 100

φ(Ω) º

Ω rads-1

0 º/dec45 º/dec -45 º/dec

-20 dB/dec

0 dB/dec

Exercício 1.5- Diagramas de Bode de um filtro com um zero e um pólo.

Desenhe as características de Bode de amplitude e de fase, para o filtro de 1ª ordem com a função de transferência.

( )1011

.2)(++

=S

SSF

Resolução:

Será:

−+=

+

+=

10arctan)arctan(

2-)( e

101.

1.

10

2)(

2

2 ωω

πωφ

ωω

ωωjF

Convém lembrar que a resposta em amplitude do

zero é a simétrica da do pólo, Fig. 1.6. De 1 rads-1 a 10 rads-1 a inclinação da resposta em amplitude é nula, devido ao

cancelamento do efeito do pólo pelo zero.

Exercício 1.6- Atraso de grupo de um filtro de 1ª ordem.

Calcule o atraso de grupo do filtro referido no Exercício 1.4.

Resolução:

De ( 1.23), para ωp = 10 rads-1, obtém-se τ = (1/10).1/2 = 0,05 s.

Fig. 1.7- Diagramas de Bode de filtros.do Exercício 1.5

1.3. FUNÇÕES BIQUADRÁTICAS

A função de transferência biquadrática, mais simples, é a que só tem pólos, e que, por isso,

materializa um filtro passa-baixo, cujos pólos têm frequência ωp e factor de amortecimento ξp, tem a

seguinte forma geral



1..2

1

..2.)( 222

2

++=

++=

SSk

sskST

ppp

p

ξωξ

ω

.

( 1.26)

1.3.1. FUNÇÃO BIQUADRÁTICA PASSA-BAIXO

Na Fig. 1.8 pode observar-se a posição dos pólos correspondentes a um par de pólos complexos

conjugados. O módulo dos pólos é ωp sendo a parte real dos pólos ξp.ωp . É costume, no estudo dos filtros,

usar em vez do factor de amortecimento ξp o factor de qualidade, qp, dos pólos definido por :

ppq

ξ.2

1= .

( 1.27)

Todavia, as expressões ficam ligeiramente mais simples em termos do parâmetro ξ, pelo que aqui

vamos usar este parâmetro.

Ganho da função biquadrática passa-baixo

O ganho do filtro passa-baixo em Ω = 0 é G(0) = G(Ω = 0) = k. O ganho do filtro pode ser

normalizado em relação ao ganho G(0), vindo:

2

22

222

2

)1(

1

)..2()1(

1

)0(

)(

Ω+Ω−

=Ω+Ω−

=

Ω

p

p

Q

T

jT

ξ.

( 1.28)

Para Ω = ∞, o ganho do filtro é 0. Para Ω=1 obtém-se

pp

QT

jT==

Ωξ.21

)0(

)(.

Na frequência

2

2

2

1121

ppmáx Q

−=−=Ω ξ

( 1.29)

obtém- se o valor máximo de |T(jΩ)|, dado por:

2

2

2

1121..2

1

)0(

p

p

ppmáx

Q

Q

TT

−=

−=

ξξ

( 1.30)

FUNÇÕES BIQUADRÁTICAS 15


As frequências notáveis da resposta do filtro passa-baixo dependem do valor de ou de Qp, como

se observa na Fig. 1.8. Os valores notáveis do ganho para diversas frequências encontram-se

representados na Tab. 1.1.

Fase da função biquadrática passa-

baixo

A fase da resposta do filtro passa-baixo

de 2ª ordem é dada por :

Ω−

Ω−=Ω 21

..2arctan)( pξ

φ

( 1.31)

Para Ω = 0 a fase vale 0º. Para Ω = 1

obtém-se uma fase de –90º, enquanto que

para Ω = ∞ se obtém –180º. As frequências

que originam uma fase de –45º ou de –135ª,

são as que conduzem a:

11

..2º135;º45 2 ±=

Ω−

Ω⇒Ω−=−= pξ

φφ

que originam

pp ξξφφ m2

º135º45 .1+=Ω

−=−=

( 1.32)

Atraso de grupo da função biquadrática

passa-baixo

Mais importante do que a curva da fase

é a curva de atraso de grupo, pois o filtro

ideal fisicamente realizável deve ter atraso de

grupo constante para todas as frequências.

222

2

)..2()1(

)1.(.2)()(

Ω+Ω−Ω+

=ΩΩ

−=Ωp

p

dd

ξ

ξφτ

( 1.33)

σ

ω

ξ0 < 10 > 0,5

σ ξ.ω

ω

σ

ω

ξ0 > 10 < 0,5

σ

ω

ξ0 = 00 = οο

-40

-20

0

20

0,1 1 10ΩΩ

dB

Q=0,1

Q=10

2

-180

-135

-90

-45

0

0,1 1 10ΩΩ

φ(Ω)φ(Ω)

Q=0,1

2 Q=10

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,1 1 10ΩΩ

τ(Ω)/τ(0)τ(Ω)/τ(0)

Q=10

Q=0,1

2

Fig. 1.8- Pólos, ganho e fase de um filtro passa-baixo de 2ª

ordem.



O atraso em Ω = 0 é de τ(0) = 2.ξp, depois, quando Ω aumenta, cresce muito atingindo um valor

máximo, decrescendo depois para 0 quando Ω = ∞. O atraso de grupo deve ser expresso em função do

valor do atraso para Ω = 0, obtendo-se o atraso normalizado

222

2

)..2()1()1(

)0()(

Ω+Ω−Ω+=Ω

pξττ

.

( 1.34)

Tab. 1.1- Frequências e propriedades notáveis dum filtro passa-baixo.

ΩΩ kT

φφ ωω p.ττ Observaçõe

s

0 1 0 1/ pQ -

1-ξp p

p

Q=ξ.2

1

-45º - -

Ω |T|má

x

22

11

p

p

Q

Q

−

- - Gmáx

pQ ≥ 2-1/2

Ωτmáx - -

−+=

−+

2

2

4

11

11

21

11

21

p

p

pp

Q

Qξξ

τmáx

pQ ≥ 3-1/2

1 p

p

Q=ξ.2

1

-90º 2 pQ -

1+ξp

2.22

1 p

p

Q=

ξ

-135º pQ -

∞ 0 -180º 0 -

A frequência Ωτmáx, que origina o máximo de valor no atraso de grupo é:

232 para ,112 ≤−−=Ω ppmáx ξξτ ,

( 1.35)

sendo o valor do atraso máximo, dado por:



−+=

221

11

.4

1

)0(pp

máx

ξξττ

( 1.36)

Para Ω = 0 tem-se τ(Ω = 0) = 2.ξp . Na Fig. 1.8 podem observar-se as curvas do atraso de grupo

para diferentes parâmetros ξp ou Qp de uma função biquadrática passa-baixo.

1.3.2. FUNÇÃO BIQUADRÁTICA PASSA-ALTO

A função biquadrática passa-alto tem numerador do tipo s2 e apresenta, portanto, além dos dois pólos,

dois zeros em s = 0, ver Fig. 1.9. O ganho do filtro para s = ∞ é k. A função de transferência pode ser

descrita em termos da frequência s ou da frequência normalizada à frequência dos pólos, S = s/ωp.

1..2..2.)( 2

2

22

2

++=

++=

SSS

kss

skST

pppp ξωωξ

( 1.37)

Repare-se que a função de transferência do filtro passa-alto pode obter-se a partir da função de

transferência do filtro passa-baixo correspondente, fazendo a seguinte transformação de frequência

ba S

S1= .

( 1.38)

De facto, tem-se:

1..2

.1..2

1)( 2

2

12 ++

=++

== apa

a

SSbpb

aSS

Sk

SSkST

ab

ξξ.

( 1.39)

A função T(Sa), tem dois pólos com frequências inversas das dos pólos do filtro passa-baixo

correspondente, e mais dois zeros em Sa = 0.

A transformação de frequência Sa = 1/Sb garante, para a excitação sinusoidal no filtro passa-baixo, a

frequência Sb = jΩb, a correspondência de resposta em Sb = -j/Ωa; isto é, o filtro passa-baixo terá na

frequência Ωb a mesma resposta à excitação sinusoidal que o filtro passa-alto terá na frequência Ωa =

1/Ωb.



Ganho da função biquadrática passa-alto

Em face da transformação de frequência anterior ( 1.38), o ganho do filtro passa-alto em Ω = 0 é 0 e

o ganho para Ω = ∞ é k. A função de transferência do filtro pode ser normalizada em relação ao seu

valor em Ω = ∞, T(∞), vindo:

222

2

)..2()1()(

)(

Ω+Ω−

Ω=∞Ω

pT

jT

ξ.

( 1.40)

Assim, o ganho em dB pode obter-se pela soma do ganho do filtro passa-baixo correspondente com o

ganho do numerador, isto é:

21010 log.20)(log.20)( Ω+Ω=Ω

pbaixojTG ,

( 1.41)

pelo que as curvas de ganho se podem obter a partir das do filtro passa-baixo, representadas

na Fig. 1.8, pela adição de uma recta a +40 dB/dec., correspondente ao 2º termo da equação

anterior. Os valores notáveis de frequência, representados na Atraso de grupo da função

biquadrática passa-baixo

Mais importante do que a curva da fase é a curva de atraso de grupo, pois o filtro ideal fisicamente

realizável deve ter atraso de grupo constante para todas as frequências.

222

2

)..2()1(

)1.(.2)()(

Ω+Ω−Ω+

=ΩΩ

−=Ωp

p

dd

ξ

ξφτ

( 1.33)

O atraso em Ω = 0 é de τ(0) = 2.ξp, depois, quando Ω aumenta, cresce muito atingindo um valor

máximo, decrescendo depois para 0 quando Ω = ∞. O atraso de grupo deve ser expresso em função do

valor do atraso para Ω = 0, obtendo-se o atraso normalizado

222

2

)..2()1()1(

)0()(

Ω+Ω−Ω+=Ω

pξττ

.

( 1.34)

Tab. 1.1, são igualmente aplicáveis, mas agora são observados nas frequências inversas Ω = 1/Ω, como

se pode ver na Fig. 1.9.



Fase e atraso de grupo da função biquadrática passa-alto

A fase do filtro passa-alto é igual à do filtro passa-baixo com os mesmos pólos, somada com -180º,

para Ω > 0. A fase vale -180º para Ω = 0+. Lembre-se que a fase de um sistema linear é uma função

ímpar da frequência e que, por isso, a fase para Ω = 0- é de +180º. Para Ω > 0 a fase é representada por

uma curva crescente desde –180º em Ω = 0 até 0º em Ω = ∞.

( )1)(.2º.180)()( −Ω+Ω=Ω uba

φφ ,

( 1.42)

em que u(Ω) é a função degrau que vale 0 para Ω < 0 e vale 1 para Ω > 0.

O atraso de grupo, sendo obtido pela derivação da fase, na frequência, terá um andamento

semelhante ao do atraso de grupo do filtro passa-baixo, mas conterá um termo resultante da

descontinuidade de fase observável em Ω = 0, como acima foi referido, isto é:

)(..2)()(

)( Ω−Ω=ΩΩ

−=Ω δπτφ

τb

aa d

d,

( 1.43)

em que δ(Ω) é a função de Dirac.

Na

Fig. 1.9 pode observar-se a curva de fase e de atraso de grupo do filtro passa-alto.

1.3.3. FUNÇÃO BIQUADRÁTICA PASSA- BANDA

A fórmula geral da função de transferência de uma secção biquadrática do tipo passa-banda, com

ganho k na frequência ωp, é:

22 ...2

...2.)(

ppp

pp

ss

sksT

ωωξωξ

++=

( 1.44)

T(s) pode ser obtida da função de transferência do filtro passa-baixo normalizado ( 1.17), a partir da

chamada transformação de frequência passa-baixo passa-banda, descrita por:

bn

pbn

sb

sS

.

22 ω+= ,

( 1.45)

em que b = ξp.ωp é a largura de banda do filtro passa-banda.



A equação ( 1.44) pode também

ser escrita em termos da frequência S,

normalizada em relação ao módulo da

frequência dos pólos, S = s/ωp,

1..2

..2)( 2 ++

=SS

SkST

p

p

ξξ

.

( 1.46)

Esta função pode ser obtida a

partir da função de transferência

passa-baixo de 1ª ordem, normalizada

á frequência ωc = 2.ξp,

p

bbb s

kS

kSF

ξ211

)(+

=+

=

( 1.47)

através da transformação de

frequência passa-baixo (frequência

sb), para passa-banda (frequência S)

substituindo

S

Ssb

1+= ,

( 1.48)

que permite obter ( 1.46).

)(.)(

.2

1

1

1)( ΩΩ=

Ω−Ω

+

=Ω φ

ξ

j

p

ekjT

j

kjT

p

p

kjT

ξφ

ξ

.2/1

arctan)(

.2/1

1

1)(2

Ω−Ω=Ω

Ω−Ω+

=Ω

.

( 1.49)

σ

ω

ξ0 < 10 > 0,5

σ ξ. ω

ω

σ

ω

ξ0 > 10 < 0,5

σ

ω

ξ0 = 00 = οο

-40

-20

0

20

0,1 1 10ΩΩ

dB

Q=0,5

Q=10

2

0

45

90

135

180

0,1 1 10ΩΩ

φ(Ω)φ(Ω)

Q=0,5

2 Q=10

0,01

0,10

1,00

10,00

100,00

1000,00

0,10 1,00 10,00ΩΩ

τ(Ω)/τ(0)τ(Ω)/τ(0)

Q=10

Q=0,2

2

Fig. 1.9- Pólos, zeros e resposta em frequência da secção biquadrática passa-

alto.



Quer o módulo, quer a fase, da função de transferencia têm simetria geométrica na frequência 9, em

torno de Ω = 1, como se pode obter analisando as fórmulas. O ganho máximo ocorre para Ω = 1 e a

inclinação assintótica é de +20dB/dec., para Ω << 1 e de –20 dB/dec., para Ω >> 1. As frequências ΩB

para as quais o ganho cai a 3dB, relativamente ao valor do ganho máximo, isto é, |T(jΩ)|/|k| =2-1/2 são:

ξξ ±+=Ω 12

2,1 pB

( 1.50)

a diferença entre as duas frequências é a largura de banda, B, normalizada a ωp

ppBB Q

B1

212

==Ω−Ω= ξ

( 1.51)

Ganho do filtro passa-banda

O ganho do filtro passa-banda pode obter-se a partir do ganho do filtro passa-baixo, por

)..2(log.20)(log.20)( 1010 Ω+Ω=Ω ppbaixojTG ξ

( 1.52)

obtendo-se as curvas representadas na Fig. 1.11.

Fase e atraso de grupo do filtro passa-banda

A fase è igual à do filtro passa-baixo somada com +90º para Ω > 0 e –90º para Ω < 0 ,isto è:

( )1)(.2º.90)()( −Ω+Ω=Ω ubbn

φφ

( 1.53)

O atraso de grupo é análogo ao do filtro passa-baixo.

)(.)()(

)( Ω−Ω=Ω

Ω−=Ω δπτ

φτ

bbn

bn d

d

( 1.54)

Na Fig. 1.11 podem observar-se as curvas de ganho normalizado, de fase e de atraso de grupo de

filtros passa-banda de 2ª ordem para diferentes factores de qualidade.

9 - As frequências ω1 e ω2 geometricamente separadas da frequência ω0, satisfazem a condição: ω1*ω2=ω02.



1.3.4. FUNÇÃO BIQUADRÁTICA

REJEITA-BANDA

A função rejeita-banda, além dos dois

pólos semelhantes aos da função passa-

baixo, tem dois zeros com frequência ωz e

factor de qualidade infinito (também

designados por zeros de transmissão10)

22

22

...2)(

ppp

zbr ss

ssT

ωωξω

+++= .

( 1.55)

De acordo com o valor relativo de ωz

e de ωp, assim se têm três casos possíveis

de resposta do filtro rejeita banda, ver Fig.

1.11. Definindo a frequência normalizada S

= s/ωp, e χ = ωz/ωp, vem

122

22

+++

=S..S

S)S(T

pξ

χ.

( 1.56)

Ganho da função rejeita-banda

)(log.)j(Tlog.)(Gpbaixo

221010 2020 Ω−+Ω=Ω χ .

( 1.57)

Fase e atraso de grupo do filtro rejeita-banda

A fase è igual à do filtro passa-baixo somada com 180º para Ω > χ e 0º para Ω < χ ,isto è:

)(º.180)()( χφφ −Ω+Ω=Ω ubbn

.

( 1.58)

10 - Na frequência dos zeros de transmissão a atenuação é infinita, contrastando assim com os zeros reais nos quais a atenuação introduzida é sempre finita.

σ

ω

ξ0 < 1

0 > 0,5

σ ξ.ω

ω

σ

ω

ξ0 > 1

0 < 0,5

σ

ω

ξ0 = 0

0 = οο

-90

-45

0

45

90

0,1 1 10ΩΩ

φ ( Ω )φ ( Ω )

Q=0,5

2 Q=10

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,1 1 10ΩΩ

τ ( Ω ) / τ ( 0 )τ ( Ω ) / τ ( 0 )

Q=10

Q=0,5

2

Fig. 1.10- Pólos, zeros e resposta em frequência

da secção biquadrática passa-banda



O atraso de grupo é análogo ao do filtro passa-baixo.

)(.)(d

)(d)(

bbn

bnχδπτ

φτ −Ω−Ω=

Ω

Ω−=Ω .

( 1.59)

Na Fig. 1.11 podem observar-se as curvas de ganho normalizado, de fase e de atraso de grupo de

filtros rejeita-banda de 2ª ordem para diferentes factores de amortecimento e para 2 casos χ <1,

denominado de filtro rejeita-banda do tipo passa-baixo, χ = 1, denominado por filtro rejeita-banda e χ > 1,

σ

ω

ξ0 < 10 > 0,5

σ ξ.ω

ω

σ

ω

ξ0 > 10 < 0,5

σ

ω

ξ0 = 00 = οο

ω ω

χ<1

ω

-40

-20

0

20

0,1 1 10ΩΩ

dB

Q=0,5

Q=10

2

χ2 dB

-90

-45

0

45

90

135

180

0,1 1 10ΩΩ

φ ( Ω )φ ( Ω )

Q=0,5

2 Q=10

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,1 1 10ΩΩ

τ ( Ω ) / τ ( 0 )τ ( Ω ) / τ ( 0 )

Q=10

Q=0,5

2

-π para Ω = χ

Fig. 1.11- Tipos de resposta da função de transferência rejeita-banda, χ < 1.

σ

ω

ξ0 < 10 > 0,5

σ ξ.ω

ω

σ

ω

ξ0 > 10 < 0,5

σ

ω

ξ0 = 00 = οο

ω ω

χ = 1

ω

-40

-20

0

0,1 1 10W

dB

Q=0,5

Q=102

-90

-45

0

45

90

0,1 1 10ΩΩ

φ ( Ω )φ ( Ω )

Q=0,5

2Q=10

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,1 1 10ΩΩ

τ(Ω)/τ(0)τ(Ω)/τ(0)

Q=10

Q=0,5

2

-π para Ω = 1

Fig. 1.12- Tipos de resposta da função de transferência rejeita-banda χ = 1.



denominado por filtro rejeita-banda do tipo passa-alto, não se representa porque é similar ao de χ <1, com

o eixo das frequências invertido.

O filtro rejeita-banda com ωz = ωp (χ = 1), pode obter-se do filtro passa-baixo normalizado ( 1.17), a

partir da seguinte transformação de frequência, designada por transformação passa-baixo rejeita-banda,

22pbr

br

ss.B

Sω+

= ,

( 1.60)

escrita em termos da frequência

normalizada Sbr, pode obter-se a partir

da função de transferência da secção

passa-banda, escrita em termos da

frequência normalizada Sbn, através de

uma transformação de frequências do

tipo

brbn S

S1= ,

1..2

..2)(

2 ++=

SS

SkST

p

pbr ξ

ξ

( 1.61)

1.3.5. FUNÇÃO

BIQUADRÁTICA

IGUALIZADORA DE

ATRASO

A função de transferência de um

igualizador de atraso tem dois zeros no

semi-plano complexo esquerdo que são

simétricos, relativamente ao eixo

imaginário, dos pólos. Esta função é

dada por:

22

22

...2

...2)(

ppp

ppp

ss

sssT

ωωξ

ωωξ

+++−

=

( 1.62)

σ

ω

ξ0 < 10 > 0,5

σ ξ.ω

ω

σ

ω

ξ0 > 10 < 0,5

-10

10

0,1 1 10ΩΩ

dB

Q=0,5 Q=102

-360

-270

-180

-90

0

0,1 1 10ΩΩ

φ ( Ω )φ ( Ω )

Q=0,5

2 Q=10

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,1 1 10ΩΩ

τ(Ω)/τ(0)τ(Ω)/τ(0)

Q=10

Q=0,5

2

Fig. 1.13- Pólos, zeros e resposta em frequência da secção biquadrática igualizadora de atraso.



Ganho, fase e atraso de grupo da função igualizadora de atraso

É fácil ver que |T(jΩ)| é unitário e a fase, bem como o atraso de grupo, são duplos dos correspondentes

valores de um filtro passa-baixo com pólos ωp, como se pode ver na Fig. 1.13.

bia)(.2)( Ω=Ω φφ

( 1.63)

bbn

bn d

d)(.2

)()( Ω=

ΩΩ

−=Ω τφ

τ

O igualizador de atraso tem a particularidade de não alterar a resposta de amplitude dos sistemas,

mas acrescenta atraso que se concentra em determinadas frequências, ver figura anterior, de modo que é

possível transformar um sistema que não tinha atraso de grupo constante num sistema que tem este atraso

constante; por isso estas secções biquadráticas se designam por igualizadoras.

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