FUV Derivadas - Regra da Cadeia, Derivadas de Funções...

FUV – DerivadasRegra da Cadeia, Derivadas de Funções Inversas

Rodrigo Hausen

v. 2015-2-27 1/13

Relembrando

Definição. Dada função real f , a derivada de f é a função f ′definida por

f ′(x) = lim∆x→0

f (x +∆x) − f (x)∆x

ou, equivalentemente,

f ′(x) = lim∆x→0

∆f∆x

, onde ∆f = f (x +∆x) − f (x)

Obs.: A função f ′ também é denotada dfdx

ou ddx

f(é um símbolo só, não é um quociente entre dois números!)

v. 2015-2-27 2/13

Derivadas básicas

f (x) = c constante, então f ′(x) = 0.

f (x) = x , então f ′(x) = 1.

Se n constante real e f (x) = xn, então f ′(x) = nxn−1

(regra da potência, ou “regra do tombo”)

sen′(x) = cos x

cos′(x) = − sen x

v. 2015-2-27 3/13

Regras algébricas

se h(x) = c ⋅ f (x), então h′(x) = c ⋅ f ′(x)

se h(x) = f (x) + g(x), então h′(x) = f ′(x) + g ′(x)

das regras anteriores:se h(x) = f (x) − g(x) então h′(x) = f ′(x) − g ′(x)

CUIDADO com a regra do produtose h(x) = f (x)g(x), então h′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).

CUIDADO com a regra do quocientese h(x) = f (x)

g(x), então h′(x) = f ′(x)g(x) − f (x)g ′(x)

[g(x)]2

Como derivar h(x) =√

x2 − 1? Só com as regras acima, não dá.

v. 2015-2-27 4/13

Regras algébricas







[g(x)]2


x2 − 1?

Só com as regras acima, não dá.

v. 2015-2-27 4/13

Regras algébricas







[g(x)]2


x2 − 1? Só com as regras acima, não dá.

v. 2015-2-27 4/13

Derivando funções compostas

Derivar F(x) =√

x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =

√u e u = g(x) = x2 + 1.

Note que F = f ○ g

Qual é a relação entre F ′ = dFdx

e f ′ = dydu

e g ′ = dudx

?

F ′(x) = dFdx

(x) = dydx

(x) = lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ ∆u∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x

= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )

= lim∆u→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x

= dydu

(u) ⋅ dudx

(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)

(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)

v. 2015-2-27 5/13


Derivar F(x) =√


√u e u = g(x) = x2 + 1.



e f ′ = dydu

e g ′ = dudx

?

F ′(x) = dFdx

(x) =

dydx

(x) = lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ ∆u∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x


= lim∆u→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x

= dydu

(u) ⋅ dudx

(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)


v. 2015-2-27 5/13


Derivar F(x) =√


√u e u = g(x) = x2 + 1.



e f ′ = dydu

e g ′ = dudx

?

F ′(x) = dFdx

(x) = dydx

(x) =

lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ ∆u∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x


= lim∆u→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x

= dydu

(u) ⋅ dudx

(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)


v. 2015-2-27 5/13


Derivar F(x) =√


√u e u = g(x) = x2 + 1.



e f ′ = dydu

e g ′ = dudx

?

F ′(x) = dFdx

(x) = dydx

(x) = lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ ∆u∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x


= lim∆u→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x

= dydu

(u) ⋅ dudx

(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)


v. 2015-2-27 5/13


Derivar F(x) =√


√u e u = g(x) = x2 + 1.



e f ′ = dydu

e g ′ = dudx

?

F ′(x) = dFdx

(x) = dydx

(x) = lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ ∆u∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x


= lim∆u→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x

= dydu

(u) ⋅ dudx

(x)

= f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)


v. 2015-2-27 5/13


Derivar F(x) =√


√u e u = g(x) = x2 + 1.



e f ′ = dydu

e g ′ = dudx

?

F ′(x) = dFdx

(x) = dydx

(x) = lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ ∆u∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x


= lim∆u→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x

= dydu

(u) ⋅ dudx

(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x)

= f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)


v. 2015-2-27 5/13


Derivar F(x) =√


√u e u = g(x) = x2 + 1.



e f ′ = dydu

e g ′ = dudx

?

F ′(x) = dFdx

(x) = dydx

(x) = lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ ∆u∆x

= lim∆x→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x


= lim∆u→0

∆y∆u

⋅ lim∆x→0

∆u∆x

= dydu

(u) ⋅ dudx

(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)

(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)v. 2015-2-27 5/13

Uma nova regra

Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).

Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,vamos aplicá-la.

Exemplo 1. F(x) =√

x2 − 1. Calcule F ′(x).

Considere F(x) = y , onde

y = f (u) =√

u e u = g(x) = x2 − 1

Como f ′(u) = 12

u−1/2 = 12√

ue g ′(x) = 2x ,

então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = 12√

x2 − 1⋅ 2x = x√

x2 − 1

v. 2015-2-27 6/13

Uma nova regra






y = f (u) =√

u e u = g(x) = x2 − 1

Como f ′(u) = 12

u−1/2 = 12√

u

e g ′(x) = 2x ,

então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = 12√

x2 − 1⋅ 2x = x√

x2 − 1

v. 2015-2-27 6/13

Uma nova regra






y = f (u) =√

u e u = g(x) = x2 − 1

Como f ′(u) = 12

u−1/2 = 12√

ue g ′(x) = 2x ,

então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = 12√

x2 − 1⋅ 2x = x√

x2 − 1

v. 2015-2-27 6/13

Uma nova regra






y = f (u) =√

u e u = g(x) = x2 − 1

Como f ′(u) = 12

u−1/2 = 12√

ue g ′(x) = 2x ,

então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x)

= 12√

x2 − 1⋅ 2x = x√

x2 − 1

v. 2015-2-27 6/13

Uma nova regra






y = f (u) =√

u e u = g(x) = x2 − 1

Como f ′(u) = 12

u−1/2 = 12√

ue g ′(x) = 2x ,

então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = 12√

x2 − 1⋅ 2x

= x√x2 − 1

v. 2015-2-27 6/13

Uma nova regra






y = f (u) =√

u e u = g(x) = x2 − 1

Como f ′(u) = 12

u−1/2 = 12√

ue g ′(x) = 2x ,

então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = 12√

x2 − 1⋅ 2x = x√

x2 − 1

v. 2015-2-27 6/13

Aplicando a regra da cadeia


O nome explica como devemos trabalhar com a regra:calcule as derivadas em cadeia, de fora para dentro

F (x) = f (g(x))

Funçãoexterna

Funçãointerna

v. 2015-2-27 7/13




F (x) = f (g(x))

F (x) =

Funçãoexterna

Funçãointerna

v. 2015-2-27 7/13




F (x) = f (g(x))

F (x) = f (

Funçãoexterna

Funçãointerna

Derivada dafunção externa

)

v. 2015-2-27 7/13




F (x) = f (g(x))

F (x) = f (g(x)

Funçãoexterna

Funçãointerna


Avaliada nafunção interna

)

v. 2015-2-27 7/13




F (x) = f (g(x))

F (x) = f (g(x) ⋅g (x)

Funçãoexterna

Funçãointerna


Avaliada nafunção interna

Derivada dafunção interna

)

v. 2015-2-27 7/13


Exemplo 2. Calcule as derivadas de:(a) F(x) = sen(x2) e (b) F(x) = sen2(x).

Obs.: sen2(x) = [sen(x)]2

v. 2015-2-27 8/13


Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra doQuociente:

h(x) = f (x)g(x)

então h′(x) = f ′(x)g(x) − f (x)g ′(x)[g(x)]2

Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso quenem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.

h(x) = f (x)G(x), onde G(x) = [g(x)]−1

G ′(x) = (−1)[g(x)]−2 ⋅ g ′(x) = − g ′(x)[g(x)]2 (R. da Potência e Cadeia)

h′(x) = f ′(x)G(x) + f (x)G ′(x) (Regra do Produto),

h′(x) = f ′(x)g(x)

− f (x)g ′(x)[g(x)]2 = f ′(x)g(x)

[g(x)]2 − f (x)g ′(x)[g(x)]2

v. 2015-2-27 9/13



h(x) = f (x)g(x)



h(x) = f (x)G(x), onde G(x) = [g(x)]−1



h′(x) = f ′(x)g(x)

− f (x)g ′(x)[g(x)]2

= f ′(x)g(x)[g(x)]2 − f (x)g ′(x)

[g(x)]2

v. 2015-2-27 9/13



h(x) = f (x)g(x)



h(x) = f (x)G(x), onde G(x) = [g(x)]−1



h′(x) = f ′(x)g(x)

− f (x)g ′(x)[g(x)]2 = f ′(x)g(x)

[g(x)]2 − f (x)g ′(x)[g(x)]2

v. 2015-2-27 9/13

Derivadas de funções inversas

Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1, então existefunção inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x) se, e só se,x = f −1(y).

Exemplos: f (x) = x2, para x ≥ 0, tem inversa f −1(x) =√

x .g(x) = sen(x), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversag−1(y) = arcsen(y), para −1 ≤ y ≤ 1

Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note quef −1(f (x)) = f (f −1(x)) = x ,ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x) = x é a função identidade.

Se f e f −1 forem diferenciáveis:

f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =

(f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1

Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)

1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13




x .

g(x) = sen(x), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversag−1(y) = arcsen(y), para −1 ≤ y ≤ 1



f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =

(f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1

Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)

1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13







f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =

(f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1

Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)

1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13





Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note quef −1(f (x)) = f (f −1(x)) = x ,

ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x) = x é a função identidade.


f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =

(f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1

Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)

1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13







f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =

(f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1

Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)

1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13







f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =

(f ○ f −1)′(y) = I ′(y)

= 1

Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)

1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13







f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =

(f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1

Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)

1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13






Se f e f −1 forem diferenciáveis:f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) = (f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1

Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)

1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13


Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y =√

x , x > 0.

Seja f (x) = y =√

x . Sua inversa é g(y) = x = y2, y > 0.

(g ○ f )(x) = x(g ○ f )′(x) = 1 (derivando)

g ′(f (x)) ⋅ f ′(x) = 1 (regra da cadeia)

f ′(x) = 1g ′(f (x))

Derivando g , temos g ′(y) = 2y . Substituindo y = f (x), temosg ′(f (x)) = 2

√x , logo

f ′(x) = 1g ′(f (x))

= 12√

x

O resultado ao derivar y = x1/2 pela Regra da Potência é idêntico.

v. 2015-2-27 11/13



x , x > 0.

Seja f (x) = y =√


(g ○ f )(x) = x

(g ○ f )′(x) = 1 (derivando)g ′(f (x)) ⋅ f ′(x) = 1 (regra da cadeia)

f ′(x) = 1g ′(f (x))


√x , logo

f ′(x) = 1g ′(f (x))

= 12√

x


v. 2015-2-27 11/13



x , x > 0.

Seja f (x) = y =√




f ′(x) = 1g ′(f (x))


√x , logo

f ′(x) = 1g ′(f (x))

= 12√

x


v. 2015-2-27 11/13



x , x > 0.

Seja f (x) = y =√




f ′(x) = 1g ′(f (x))

Derivando g , temos g ′(y) = 2y .

Substituindo y = f (x), temosg ′(f (x)) = 2

√x , logo

f ′(x) = 1g ′(f (x))

= 12√

x


v. 2015-2-27 11/13



x , x > 0.

Seja f (x) = y =√




f ′(x) = 1g ′(f (x))


√x

, logo

f ′(x) = 1g ′(f (x))

= 12√

x


v. 2015-2-27 11/13



x , x > 0.

Seja f (x) = y =√




f ′(x) = 1g ′(f (x))


√x , logo

f ′(x) = 1g ′(f (x))

=

12√

x


v. 2015-2-27 11/13



x , x > 0.

Seja f (x) = y =√




f ′(x) = 1g ′(f (x))


√x , logo

f ′(x) = 1g ′(f (x))

= 12√

x


v. 2015-2-27 11/13



x , x > 0.

Seja f (x) = y =√




f ′(x) = 1g ′(f (x))


√x , logo

f ′(x) = 1g ′(f (x))

= 12√

x

O resultado ao derivar y = x1/2 pela Regra da Potência é idêntico.v. 2015-2-27 11/13


Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x) para −1 < x < 1.

Para −1 < x < 1:

sen(arcsen(x)) = x(sen ○ arcsen)(x) = x(sen ○ arcsen)′(x) = 1 (derivando)

sen′(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (regra da cadeia)cos(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (derivada de sen)

(√1 − x2) ⋅ arcsen′(x) = 1 (identidade trigonométrica)

Logo, arcsen′(x) = 1√1 − x2

.

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Para −1 < x < 1:

sen(arcsen(x)) = x

(sen ○ arcsen)(x) = x(sen ○ arcsen)′(x) = 1 (derivando)




.

v. 2015-2-27 12/13



Para −1 < x < 1:

sen(arcsen(x)) = x(sen ○ arcsen)(x) = x

(sen ○ arcsen)′(x) = 1 (derivando)sen′(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (regra da cadeia)cos(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (derivada de sen)



.

v. 2015-2-27 12/13



Para −1 < x < 1:





.

v. 2015-2-27 12/13



Para −1 < x < 1:


sen′(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (regra da cadeia)

cos(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (derivada de sen)



.

v. 2015-2-27 12/13



Para −1 < x < 1:





.

v. 2015-2-27 12/13

Conclusão

A Regra da Cadeia é fácil de usar (basta praticar!), extremamenteútil e possui inúmeras aplicações.

Demos uma ideia geral da demonstração da Regra da Cadeia.

O final da seção 3.5 do Stewart mostra como contornar o problemado ∆u = 0 na Regra da Cadeia. Ela é importante! Leia-a comatenção para entendê-la!

Para casa:Ler Stewart seção 3.5 e fazer os exercícios desta seção. Ignoreas partes e comentários sobre funções exponenciais elogarítmicas (aprenderemos nas próximas aulas)Lista 3: após os exercícios recomendados na aula passada,faça 14(a–g, j–l).

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FUV Derivadas - Regra da Cadeia, Derivadas de Funções...

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