Probabilidades 2014 - GABARITO

1. Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, construmos todos os nmeros que podem ser representados

usando dois deles (sem repetir). Escolhendo ao acaso (aleatoriamente) um dos nmeros formados, qual a probabilidade de o nmero sorteado ser:

a) Par? b) Mltiplo de 5?

Soluo. O espao amostral o total de nmeros formados com dois algarismos: 7 x 6 = 42. Calculando as probabilidades pedidas, temos:

a) A unidade simples pode ser ocupada por 2, 4 ou 6. Logo h (6.3) = 18 pares possveis. Temos:

7

3

42

18)par(P .

b) A unidade simples dever ser ocupada pelo algarismo 5. H (6.1) mltiplos de 5. Temos:

7

1

42

6MP 5 .

2. Um baralho tem 12 cartas, das quais 4 so ases. Retiramse 3 cartas ao acaso. Qual a probabilidade de haver pelo menos um s entre as cartas retiradas?

Soluo 1. Se h 4 ases, ento 8 cartas no so ases. Utilizando a anlise combinatria, temos:

55

41

55

1455

55

141snenhumP1summenospeloP

55

14

10.11.2

1.7.8

!9.10.11.12

!9!.3.

!5!.3

!5.6.7.8

!9!.3

!12!5!.3

!8

C

CsnenhumP

3

12

3

8

.

Soluo 2.

55

41

55

1455

55

141snenhumP1summenospeloP

55

14

5

1.

11

7.2

10

1.

11

7.4

10

1.

11

7.

2

8

10

6.

11

7.

12

8snenhumP

.

3. Lanando dois dados honestos simultaneamente, qual a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado?

Soluo. Os eventos so independentes: 36

1

6

1.

6

1)2F(P).1F(P5F1FP .

4. Jogase um dado honesto. O nmero que ocorreu (isto , da face voltada para cima) o coeficiente b da equao x

2 + bx + 1 = 0. Determine:

a) a probabilidade de essa equao ter razes reais;

Soluo. Para que a equao tenha razes reais, o discriminante deve ser no negativo ( 0).

}6,5,4,3,2{4bE}6,5,4,3,2,1{b

04b

0

4b)1).(1.(4b 2222

.

H 5 valores possveis para b. Logo, 6

5realraizP .

b) a probabilidade de essa equao ter razes reais, sabendose que ocorreu um nmero mpar.

Soluo. Dos possveis valores de b, h dois mpares: {3, 5}.

Temos:

3

2

3

6.

6

2

63

62

)mparface(P

mparfacerealraizPmparb/realraizP

.

5. Lanamos um dado. Qual a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5?

Soluo. Os eventos so independentes: 3

1

6

2

6

1

6

1)5F(P)3F(P5F3FP .

6. Os bilhetes de uma rifa so numerados de 1 a 100. Qual a probabilidade de o bilhete sorteado ser maior que 40 ou nmero par?

Soluo. O total de nmeros maiores que 40 e menores que 100 : 100 41 + 1 = 60.

O total de pares de 1 a 100 : [(100 2) 2] + 1 = [98 2] + 1 = 49 + 1 = 50.

O total de pares maiores que 40 : [(100 42) 2] + 1 = [58 2] + 1 = 29 + 1 = 30. (Interseo).

O espao amostral possui 100 elementos.

Temos: %80100

80

100

30

100

50

100

60Par40P)Par(P)40(PPar40P .

7. Num nico lance de um par de dados honestos, qual a probabilidade de sarem as somas mltiplo de 4 ou primo?

Soluo. O espao amostral possui 6 x 6 = 36 resultados possveis.

Os resultados de soma mltiplo de 4 so: {(1,3); (3,1); (2,2); (2,6); (6,2); (3,5); (5,3); (4,4); (6,6)}.

Os resultados de soma primo so: {(1,1); (1,2); (2,1); (1,4); (4,1); (2,3); (3,2); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (3,4); (4,3); (5,6); (6,5)}.

No h intersees. Logo, 3

2

36

24

36

15

36

9imoPrSomaMsomaP 4 .

8. Ao lanar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saa com o dobro de frequncia da face 1, e que as outras faces saam com a frequncia esperada em um dado no viciado. Qual a frequncia da face 1?

Soluo. Considere a frequncia da face 1 como x e a da face 6 como 2x. As faces restantes possuem a frequncia esperada de 1/6. Como a soma das frequncias deve ser 1. Temos:

)1face(F9

1

18

2x

6

2x3

6

41x31

6

1

6

1

6

1

6

1x2x .

9. De dois baralhos de 52 cartas retiramse, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade da carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?

Soluo. As retiradas so independentes. H quatro reis e um nico 5 de paus em cada baralho.

Temos: 676

1

52

1.

13

1

52

1.

52

4)paus5(P).rei(Ppaus5reiP .

10. Uma urna A contm: 3 bolas brancas, 4 bolas pretas, 2 verdes; uma urna B contm: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contm: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola retirada de cada urna. Qual a probabilidade das trs bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?

Soluo. Os eventos so independentes: 27

1

9

1.

3

1

9

4.

8

2.

9

3)V(P).P(P).B(PVPBP 321321 .

11. De um baralho de 52 cartas retiramse, ao acaso, duas cartas sem reposio. Qual a probabilidade da carta da primeira carta ser o s de paus e a segunda ser o rei de paus?

Soluo. H somente um s e um rei do naipe paus. Com retiradas sucessivas do mesmo baralho,

temos: 2652

1

51

1.

52

1)i(ReP).s(PiResP pauspauspauspaus .

12. Numa pequena cidade, realizouse uma pesquisa com certo nmero de indivduos do sexo masculino, na qual procurouse obter uma correlao entre a estatura de pais e filhos. Classificaramse as estaturas em 3 grupos: alta (A), mdia (M) e baixa (B). Os dados obtidos na pesquisa foram sintetizados, em termos de probabilidades, na matriz mostrada. O elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz, que 1/4, significa que a probabilidade de um filho de pai alto ter estatura mdia 1/4. Os demais elementos interpretam-se similarmente. Admitindo-se que essas probabilidades continuem vlidas por algumas geraes, qual probabilidade de um neto de um homem com estatura mdia ter estatura alta? Soluo. Esse evento representa o produto da 2 linha da matriz (Pai x Filho) com a 1 coluna da matriz (Filho x Neto) ou pode ser visualizado na rvore das probabilidades. Para que esse evento ocorra, as condies devem ser:

32

13

64

26

32

1

64

9

64

15NFPNFPNFP

8

1.

4

1

8

3.

8

3

8

5.

8

3NFPNFPNFP

ABAMAA

ABAMAA

.

13. Lanando-se uma moeda 6 vezes, qual a probabilidade de ocorrer 4 vezes cara?

Soluo. O evento pedido o conjunto {CCCCKK} qualquer ordem. Utilizando a probabilidade

binomial, temos: 64

15

64

1.5.3

64

1.

!2!4

!4.5.6

2

1.

2

1.

!2!4

!6K2C4P

24

.

14. Lanando-se um dado 5 vezes, qual a probabilidade de ocorrer o nmero 6 no mnimo 3 vezes?

Soluo. Considerando que a probabilidade de ocorrer o nmero 6 1/6 (Sucesso) e de no ocorrer

(Fracasso, no importa qual o nmero) 5/6, temos trs casos:

i) O n 6 trs vezes (SSSFF): 7776

250

6

5.

216

10

6

5.

6

1.

!2!3

!3.4.5

6

5.

6

1.

!2!3

!56trsP

22323

.

ii) O n 6 quatro vezes (SSSSF): 7776

25

6

5.

1296

5

6

5.

6

1.

!1!4

!4.5

6

5.

6

1.

!1!4

!56quatroP

11414

.

iii) O n 6 cinco vezes (SSSSS): 7776

1

6

5.

6

1.

!0!5

!56cincoP

05

.

Logo, 648

23

7776

276

7776

1

7776

25

7776

2506trsmnimoP .

15. Uma prova consta de 10 questes com 4 alternativas cada, uma s correta. Um estudante chuta os 10 testes. Qual a probabilidade dele acertar no mnimo 7 perguntas?

Soluo. Considerando que a probabilidade de ocorrer o acerto 1/4 (Sucesso) e de no ocorrer

(Fracasso) 3/4, temos quatro casos:

i) Acerta 7: (SSSSSSSFFF):

1048576

27.120

4

3.

4

1.

!3!7

!10C7P

37

.

ii) Acerta 8: (SSSSSSSSFF):

1048576

9.45

4

3.

4

1.

!2!8

!10C8P

28

.

iii) Acerta 9: (SSSSSSSSSF):

1048576

3.10

4

3.

4

1.

!1!9

!10C9P

19

.

iv) Acerta 10: (SSSSSSSSSS):

1048576

1.1

4

3.

4

1.

!0!10

!10C10P

010

.

Logo, 262144

919

4

4

1048576

3676

1048576

3676

1048576

1304053240.acertos7mnimoP

.

Probabilidades 2013 - GABARITO

1) Numa urna existem bolas de plstico, todas de mesmo tamanho e peso, numeradas de 2 a 21 sem repetio. A probabilidade de se sortear um nmero primo ao pegarmos uma nica bola, aleatoriamente, de:

a) 45% b) 40% c) 35% d) 30% e) 25%

Soluo. H um total de (21 2 + 1) = 20 bolas. Este o espao amostral. Dentre esses nmeros, so

primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Logo a probabilidade pedida : %4020

8)primo(P .

2) Dois dados no viciados so lanados. A probabilidade de obter-se soma maior ou igual a 5 :

a) 5/6 b) 13/18 c) 2/3 d) 5/12 e) 1/2

Soluo. O espao amostral do lanamento de dois dados = {(1,1);(1,2); ...; (6,6)} totalizando (6 x 6) = 36 elementos. Os pares com soma menores que 5 so: (1,1); (1,2); (2,1); (2,2); (3,1) e (3,1). Logo

h 36 6 = 30 casos com soma maior ou igual a 5. Temos: 6

5

36

30)5S(P .

OBS. Repare que esse o evento {ser maior ou igual a 5} complementar do evento {ser menor que

5}. A contagem inicial mais rpida e aplica-se: 6

5

36

61)5S(P1)5S(P .

3) Uma urna contm 20 boas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento: retirada de uma bola. Considere os eventos: A = {a bola retirada ser mltiplo de 2} ; B= { a bola retirada ser mltiplo de 5}. Ento a probabilidade de se ocorrer o evento A ou B :

a) 13/20 b) 4/5 c) 7/10 d) 3/5 e) 11/20

Soluo. O espao amostral possui 20 elementos. De acordo com o enunciado temos:

5

3

20

12

20

2

20

4

20

10)BA(P

2110

1020MnMMn)BA(n

415

520Mn)B(n

1012

220Mn)A(n

1052

5

2

.

4) A probabilidade de voc ganhar uma bicicleta numa rifa de 100 nmeros na qual voc comprou quatro nmeros :

a) 2/5 b) 1/10 c) 1/25 d) 1/30 e) 1/50

Soluo. Para ganhar basta que 1 dos 4 nmeros seja sorteado: 25

1

100

4)ganhar(P .

5) Em uma pesquisa realizada em uma faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. 120 responderam sim a ambas; 300 responderam sim primeira; 250 responderam sim segunda e 200 responderam no a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ele ter respondido no primeira pergunta?

a) 1/7 b) 1/2 c) 3/8 d) 11/21 e) 4/25

Soluo. A parte pintada no diagrama indica que 330 responderam no

primeira pergunta, pois a soma do nmero de alunos que respondeu sim

somente 2 e o nmero de alunos que respondeu no a ambas (logo, no

1). Responderam pesquisa 630 alunos: 21

11

630

3301NP1SP .

6) Em uma bandeja h 10 pastis dos quais 3 so de carne, 3 de queijo e 4 de camaro. Se Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposio, dois pastis desta bandeja, a probabilidade de os dois pastis serem de camaro :

a) 3/25 b) 4/25 c) 2/15 d) 2/5 e) 4/5

Soluo 1. Retirando sucessivamente cada um dos pastis de um total de 10 pastis, temos:

15

2

3

1.

5

2

9

3.

10

4camaroCamaroP .

Soluo 2. Retirando 2 pastis dentre 10 pastis, h 45)9).(5(!8!2

!8.9.10

!8!2

!10C210 modos.

Retirando 2 pastis de camaro dentre 4 pastis de camaro, h 64

!2.3.4

!2!2

!4C24 modos.

Logo, 15

2

45

6camaroCamaroP .

7) Um soldado tenta desativar um certo artefato explosivo que possui 5 fios expostos. Para desativ-lo, o soldado precisa cortar 2 fios especficos, um de cada vez, em uma determinada ordem. Se cortar o fio errado ou na ordem errada, o artefato explodir. Se o soldado escolher aleatoriamente 2 fios para cortar, numa determinada ordem, a probabilidade do artefato no explodir ao cort-los igual a :

a) 2/25 b) 1/20 c) 2/5 d) 1/10 e) 9/20

Soluo 1. Nomeando os fios como f1, f2, f3, f4 e f5 e considerando que para que no haja exploso

os fios cortados devem ser f1 e f2 nesta ordem, temos que o soldado precisa escolher essa como

nica opo. Logo 20

1

4

1.

5

1lodirexpP .

Soluo 2. H 5! = 120 formas de os fios serem ordenados para comear o corte. Em algumas

dessas ordenaes temos [f1f2]_ _ _ (f1f2 fixos e permutando os trs restantes) que evitam a

exploso. Um total de 3! = 6. Logo, 20

1

120

6lodirexpP .

8) Um lote com 20 peas contm 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peas deste lote, sem reposio, a probabilidade de que todas sejam no defeituosas :

a) 68/95 b) 70/95 c) 72/95 d) 74/95 e) 76/95

Soluo 1. H 18 peas perfeitas e 2 defeituosas: 95

68

1

4.

19

17.

5

1

18

16.

19

17.

20

18perfeitas3P .

Soluo 2.

95

68

)3).(19).(20(

)3).(16).(17(perfeitas3P

)30).(16).(17(!15!3

!15.16.17.18

!15!3

!18Cperfeitas3n

)3).(19).(20(!17!3

!17.18.19.20

!17!3

!20C)(n

3

18

3

20

.

9) Em certo ano de faculdade, 25% dos alunos so reprovados em matemtica, 15% so reprovados em economia e 10% so reprovadas em ambas. Um estudante selecionado ao acaso nessa faculdade. A probabilidade de que ele no seja reprovado em economia, sabendo que ele foi reprovado em matemtica, :

a) 0,1 b) 0,15 c) 0,25 d) 0,5 e) 0,6

Soluo. Repare pelo diagrama que o espao amostral foi reduzido para 25% (j reprovado em

Matemtica). Desses h 15% que s esto reprovados em Matemtica. Logo, no esto reprovados

em Economia.

Temos: 6,0%25

%15pMatRe/pEcoReP .

10) Uma urna contm 5 bolas vermelhas e 4 pretas. Dela so retiradas 2 bolas, uma aps a outra, sem reposio. Se a primeira bola retirada de cor preta, qual a probabilidade de a segunda bola ser vermelha?

a) 4/9 b) 5/3 c) 4/5 d) 5/8 e) 1/2

Soluo. Se a primeira bola for da cor preta, ento sobraram 8 bolas na urna, sendo ainda 5

vermelhas. Logo, 8

5vermelhaP .

11) Uma turma tem 25 alunos dos quais 40% so mulheres. Escolhendo-se ao acaso, um dentre todos os grupos de 2 alunos que se pode formar com os alunos dessa turma, a probabilidade de que seja composto por uma menina e um menino :

a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/3 e) 1/2

Soluo 1. O nmero de mulheres (0,4 x 25) = 10 e o de homens, (25 10) =15. Temos:

Escolhendo cada aluno para dupla: 2

1

4

1.2

24

15.

25

10

24

10.

25

15MHPHMPM1He1P

.

Soluo 2.

2

1

300

150M1H1P

150)10).(15(C.CM1H1n

300)12).(25(!23!2

!23.24.25

!23!2

!25C)(n

1

10

1

15

2

25

.

12) O grupo de pretendentes aos cargos de presidente e vice-presidente de um clube constitudo por 6 advogados e 2 engenheiros, todos eles com chances iguais de serem escolhidos para uma dessas funes. Nessas condies, a probabilidade de que certo eleitor escolher um advogado para presidente e um engenheiro para vice-presidente :

a) 1/8 b) 2/9 c) 3/14 d) 5/16 e) 6/16

Soluo. Como os cargos esto definidos e no ser considerada a possibilidade de um advogado ser vice-presidente, nem um engenheiro ser presidente.

Temos: 14

3

56

12

7

2.

8

6EnViceeAdPP .

13) Entre todas as combinaes de 10 elementos distintos, tomados 3 a 3, uma combinao escolhida ao acaso. A probabilidade de que na combinao escolhida aparea um elemento previamente escolhido de:

a) 3/10 b) 1/3 c) 1/2 d) 7/10 e) 3/4

Soluo. Considerando que E seja o elemento previamente escolhido, temos que os dois elementos restantes desse evento sero escolhidos dos 9 restantes. Logo, temos:

10

3

120

36R2'EP

36)4).(9(!7!2

!7.8.9

!7!2

!9C.1R2'En

120)12).(10(!7!3

!7.8.9.10

!7!3

!10C)(n

2

9

3

10

.

14) Os alunos do curso diurno e curso noturno de uma faculdade se submeteram a uma prova de seleo, visando participao numa olimpada internacional. Dentre os que tiraram nota 9.5 ou 10.0, ser escolhido um aluno por sorteio.

Com base nessa tabela, a probabilidade de que o aluno sorteado tenha tirado nota 10.0 e seja do curso noturno :

a) 12/26 b) 6/14 c) 4/13 d) 12/52 e) 1/6

Soluo. H 26 alunos com nota 9,5 ou 10,0. H 8 alunos simultaneamente estudando no Curso

noturno e que tiraram nota 10,0. Logo, 13

4

26

8Noturnoe10NP .

15) Um casal pretende ter 3 filhos. Qual a probabilidade de que os 3 filhos sejam do mesmo sexo?

a) 1/8 b) 1/6 c) 1/3 d) 1/4 e) 2/3

Soluo. A probabilidade de nascer homem ou mulher a mesma: 1/2. Ento, a probabilidade dos trs filhos serem do mesmo sexo :

4

1

8

2

8

1

8

1

2

1.

2

1.

2

1

2

1.

2

1.

2

1)MMM(P)HHH(PsexomesmoP .

16) Contra certa doena podem ser aplicadas as vacinas I ou II. A vacina I falha em 10% dos casos e a vacina II em 20% dos casos, sendo esses eventos totalmente independentes. Nessas condies, se todos os habitantes de uma cidade receberem doses adequadas das duas vacinas, a probabilidade de um indivduo no estar imunizado contra a doena :

a) 30% b) 10% c) 3% d) 2% e) 1%

Soluo. O indivduo no estar imunizado se as duas vacinas falharem.

%202,0)2,0).(1,0(imunizadoP . 17) Uma questo de mltipla escolha tem 5 alternativas. Dos alunos de uma turma, 50% sabem resolver a questo, enquanto os demais chutam a resposta. Um aluno da turma escolhido ao acaso. a) Qual a probabilidade de que ele tenha acertado a questo? b) Dado que o aluno acertou a questo, qual a probabilidade de que ele tenha chutado? Soluo. A situao est representada na rvore. a) O aluno acerta a questo em duas situaes: Ou ele sabe ou chutou e acertou. Logo,

%606,01,05,0)2,0).(5,0()5,0()chutou/acerta(P).sabe(PacertarP .

b) Probabilidade condicional: 6

1

6,0

1,0

6,0

)2,0).(5,0(

)acertar(P

)acertarchutar(Pacertar/chutouP

.

18) No estado do Maranho h uma loteria tal que: seis nmeros no tirados de uma sequencia de 1 at 60. Qual a probabilidade de que os seis nmeros que tenham sido retirados sejam:

a) Todos de um dgito? b) Dois de um dgito e quatro de dois dgitos? c) Todos de dois dgitos?

Soluo. O nmero de elementos do espao amostral do sorteio 660Cn . Temos:

a) H 9 nmeros de um dgito (1 a 9). Logo, 6

60

6

9

C

C1d6P .

b) Sero sorteados dois nmeros dentre os 9 de um dgito e quatro dentre os 51 nmeros de dois

dgitos (60 10 + 1 = 51). Logo, 6

60

4

51

2

9

C

CC2d4e1d2P

.

c) Sero sorteados 6 nmeros dentre os 51 nmeros de dois dgitos.

Logo, 6

60

6

51

C

C2d6P .

19) Uma urna contm 10 bolas das quais 6 so brancas e 4 verdes. Fazem-se 2 extraes sucessivas sem reposio.

a) Qual a probabilidade de sair bola verde na segunda extrao sabendo que na 1 extrao saiu bola branca? b) Qual a probabilidade de sair bola branca na 1 extrao e bola verde na segunda?

c) Qual a probabilidade de sair bola verde na 2 extrao? d) Qual a probabilidade de sair bola branca na 1 extrao?

Soluo. O espao amostral possui 10 elementos.

a) Se na 1 extrao saiu uma bola branca, h ainda 4 bolas verdes num total, agora, de 9 bolas.

Logo, 9

4verdeP .

b) Temos: 15

4

3

4.

5

1

9

4.

5

3

9

4.

10

6BVP .

c) Ser a soma das probabilidades: 5

2

30

12

15

4

30

4

15

4

9

3.

10

4BVPVVP .

d) 5

3

10

6brancaP .

20) Cinco casais formados, cada um, por marido e mulher, so aleatoriamente dispostos em grupos de duas pessoas cada um. Calcule a probabilidade de que todos os grupos sejam formados por:

a) um marido e sua mulher; b) pessoas de sexo diferentes.

Soluo. As 10 pessoas sero colocadas em grupos de duas pessoas e no importa nem a ordem dos grupos nem da dupla. O nmero de formas de organizar as 10 pessoas :

945!5.32

!5.6.7.8.9.10

!5.32

!10

!5

!2!2

1.

!2

1.

!2

1.

!2

!10

!5

1.!2!2

!4.

!4!2

!6.

!6!2

!8.

!8!2

!10

!5

C.C.C.C.C 222

4

2

6

2

8

2

10 .

A diviso por 5! devido ao fato de a ordem dos grupos no importar.

a) S h uma formao onde cada homem est com sua respectiva esposa. Logo a probabilidade

pedida : 945

1esposaemaridoP .

b) Como as pessoas tero sexos diferentes, bastas fixar um sexo em cada grupo e permutar os restantes. Mantendo cada homem em grupo diferente, temos: Os espaos vazios podem ser ocupados pelas mulheres de 5! = 120 formas diferentes.

Logo, 63

8

189

24

945

120diferentesexoP .

2

10C 2

8C 2

6C 2

4C 2

2C

_1H _2H _3H _4H _5H