Reve Statistic a Probab Il i Dade

7/21/2019 Reve Statistic a Probab Il i Dade

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Reviso estatstica e

probabilidadeProf. Anderson Almeida Ferreira


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Populao

Populao o conjunto de elementos (indivduos, objetos,etc.) que formam o universo de nosso estudo e que sopassveis de serem observados, sob as mesmas condies.

Num processo de inspeo da qualidade, a populao podeser considerada como o conjunto de todos os itens que saemda linha de produo.

Numa pesquisa de mercado, apopulao o conjunto de possveis

consumidores.


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Amostragem Grande parte das pesquisas cientficas ou de resolues de

problemas de engenharia so feitos por amostragem, ou seja,observamos apenas um subconjunto de elementos dapopulao.

A amostragem particularmente interessante quando: a populao grande ou infinita.

as observaes ou mensuraes tm alto custo.

as medidas exigem testes

destrutivos. necessidade de rapidez, etc.

POPULAO: todos os

possveis consumidores

Amostra: um subconjunto dosconsumidores

inferncia

amostragem


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Populao e Amostra

Populao (ou universo): todos os Nmembros deuma classe ou grupo. Ex.: todos os processos executados numa mquina

durante o perodo que esteve ativa.

Amostra uma parte da populao, denotadapor n. Ex.: todos processos executados pela mquina em

18/03/2006


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Variveis

Normalmente, estamos interessados em certascaractersticas dos objetos de uma populao.Por exemplo:

Nmero de falhas; Espessura de cada parede;

Sexo de um formando;

Idade com que um indivduo se formou

Uma caracterstica pode ser categorizada, comosexo ou tipo de defeito, ou pode ser de naturezanumrica.


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Variveis

Uma varivel qualquer caracterstica que cujo valor podemudar de um objeto para outro da populao.

Ou seja, uma varivel, o nome que se d a um fenmenoque pode ser medido e que varia conforme a medio.

Se no variasse seria uma constantee no teria maiorinteresse para a pesquisa. Normalmente, identificamos as variveis com letras

minsculas do final do alfabeto. Exemplo: x = marca da calculadora de um estudante

y = nmero de defeitos graves em um automvel recentementefabricado z = distncia de frenagem de um automvel sob condies

especficas


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Variveis

Os dados resultam da observao de uma, ou de duas oumais variveis simultaneamente.

Univariadosobservaes sobre uma nica varivel.Exemplos:

Tipo de transmisso (A, M) de cada um dentre 10 automveisrecentemente comprados Vida til (horas) de baterias da marca D colocadas em

determinado uso

Bivariadosobservaes feitas em cada uma de duasvariveis. Exemplo: O par (altura, peso) de cada jogador de basquete de um time.

Multivariadosquando so feitas observaes sobre maisde duas variveis


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Pesquisa Observacional e Experimental

Numapesquisa observacional(ou de levantamento) ascaractersticas de uma populao so levantadas (observadas oumedidas), mas sem manipulao. o caso de um censo demogrfico, pesquisas eleitorais, pesquisas de

mercado, inspeo da qualidade, etc.

Em todos esses casos, se quer ter idia de uma certa populao tal qual ela na natureza ou no processo.

Naspesquisas experimentais, grupos de indivduos (ou animais, ouobjetos) so manipulados para se avaliar o efeito de diferentes

tratamentos. o caso de se verificar o rendimento de um processo qumico para diferentes

temperaturas de reao, as quais so manipuladas de acordo com o interesseprtico.


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Os mtodos no so os mesmos


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Estatstica Descritiva

utilizada quando se deseja simplesmente resumir edescrever caractersticas importantes de dados coletados

Envolve: Coletar dados

Apresentar dados

Caracterizar dados

Finalidade:

Descrever dados


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Estatstica Inferencial

utilizada quando um investigador usa as informaes daamostra para tirar algum tipo de concluso sobre a populao

Envolve: Estimativas

Testes de Hiptese

Finalidade:

Tomar decises sobre caractersticas da populao de uma coleta


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Terminologia


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Varivel Aleatria

Uma varivel aleatria (VA)x em um espao amostralS umafunox: Sque atribui um nmero real acada ponto amostral em S

Ou seja, uma varivel aleatria uma varivel querecebe um valor numrico como resultado de umexperimento.

Ex. Atrasos numa rede, tempo de resposta de um servidor,tempo entre chegadas de clientes em um servidor, nmero

de tweets recebidos por uma conta experimental do Twitter


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Mdia

A mdia amostral Para um conjunto de nmeros x1, x2, x3, ...xn,

Para informar a mdia amostral recomenda-se o usode preciso decimal de um dgito a mais do que a

preciso dosxi. Mdia da populao

= (soma dos N valores da populao)/N

n

x

x

n

i

i 1


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Mas cuidado com Mdia


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Varincia

Considere-se as trs sries de valores abaixo:

possvel notar certa semelhana entre elas?

Aparentemente so conjuntos bem diferentes. Mas todos tm a mesma mdia: 11,25.


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Varincia

Essa observao do distanciamento doselementos em relao mdia chamada de

varincia. Ento, alm da mdia, o pesquisador deve

ficar atento tambm varinciado conjunto

de valores, j que esta complementa acaracterizao do conjunto.


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Clculo da varincia

Para cada elemento, subtraia a mdia doconjunto deste elemento: = =

=

Agora, cada valor representa a distncia do elemento para a mdia doconjunto


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Eleve os valores resultantes ao quadrado:

=

= =

Isso faz com que todas as distncias fiquem positivas e aumenta a influncia deelementos mais distantes da mdia.


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Some os resultados:

1,5625+0,5625+7,5625+5,0625 = 14,75105,0625+76,5625+85,5625+115,5625 = 382,75

0,0625+0,0625+0,0625+0,5625 = 0,75

Isso gera um valor absoluto da varincia acumulada


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Divida pelo nmero de elementos do conjuntomenos 1:

14,75/3 = 4,9166...

382,75/3 = 127,5833...0,75/3 = 0,25

Isso gera a distncia mdia, ou seja, independente do

nmero de elementos no conjunto.Poderia ser nao invs de n-1, mas a varincia de umconjunto com apenas 1 elemento deve serindeterminada.


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Frmula da Varincia

a varincia do conjunto X

representa cada um dos elementos do conjunto X

a mdia do conjunto X

o nmero de elementos do conjunto X


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Desvio-Padro

O desvio-padro uma medida tambmbastante utilizada para analisar conjuntos e

definido simplesmente como a raiz quadradada varincia


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Indices de Disperso

Medem qual a variao de conjunto de dados Intervalo (minmo e mximo)

Variancia da amostra

E os derivados da varincia da amostra:

Desvio Padro, S

COV = Razo da mdia da amostra e o desvio padros / x

Percentis

Especificao de quantas observaes caem nos intervalos

sn

x xii

n2 2

1

1

1


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Sumarizao de DadosDado uma amostra {x1, x2,..., xn} de no

observaes. No caso da mediana,x(i) o i-esimoelemento da listaordenada

4. Mediana

5. Moda: observao com maior

frequncia

6. Varincia da amostra

parsexx

imparsex

nn

n

)(5.0 )2/)1(()2/(

)2/1((

n

i

i xxn

s1

22 )(1

1


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Sumarizao de Dados

Dado uma amostra {x1, x2,..., xn} de noobservaes.

7. Desvio Padro

8. Coeficiente de Variao =

n

i

i xx

n

s

1

2)(

1

1

xs /


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Mediana

Mediana amostral: Valor tal que 50% dos pontos esto abaixo dele

Ordene as observaes em ordem crescente

= ao (n+1)/2esimo valor se n impar

= mdia do (n/2)-esimo e do (n/2+1)-esimovalores, se n par

Divide as observaes em duas partes

x~

x~

x~


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Quartis e Percentis

Quartis: Divide as observaes em 4 partes

O 2 quartil a mediana

Percentis: Divide as observaes em 100 partes

99-esimo percentil separa as 1% maiores observaesdo restante


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Exerccio

O artigo The Pedaling Technique of Elite EnduranceCyclists (Int. J. of Sport Biomechanics, 1991, p.29-53)relatou os dados a seguir sobre a potncia de uma nicaperna de um ciclista em alta carga de trabalho:244 191 160 187 180 176 174 205 211 183 211 180 194 200

Calcule a mdia e a mediana amostral. Suponha que a primeira observao tenha sido 204 em vez de

244. Como a mdia e a mediana seriam afetadas? Calcule uma mdia aparada, eliminando a maior e a menor

observao da amostra O artigo tambm relatou valores sobre a potncia uma nica

perna para uma carga de trabalho baixa. A mdia amostralpara 13 observaes foi 119,8 e a 14 observao foi 159.Qual o valor da mdia para a amostra toda?


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Exerccio

O artigo Oxygen Consumption During FireSuppression: Error of Heart Rate Estimation(Ergonomics, 1991, p. 1469-1474) informou osdados a seguir sobre consumo de oxignio

(mL/kg/min) para uma amostra de 10 bombeirosem uma simulao de supresso de incndio:29,5 49,3 30,6 28,2 28,0 26,3 33,9 29,4 23,5 31,6

Calcule: A amplitude amostral A varincia amostral O desvio padro


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Exerccio

Em uma amostra foram observados os seguintesvalores para uma caracterstica: 116,4 115,9114,6 115,2 115,8

Calcule a mdia amostral e os desvios em relao amdia

Use os desvios calculados para obter a varinciaamostral e o desvio padro amostral

Subtraia 100 de cada observao para obter uma novaamostra de valores transformados. Calcule a varinciaamostral desses valores e a compare a varincia dosdados originais.


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Probabilidade

Probabilidadese refere ao estudo daaleatoriedade e da incerteza

A teoria da probabilidade oferece mtodos dequantificao das chances ou possibilidadesde ocorrncia associadas aos diversosresultados

Experimentoqualquer ao ou processocujo resultado est sujeito a incerteza.


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Espao Amostral

O espao amostral de um experimento,representado por S, o conjunto de todos osresultados possveis desse experimento.

Exemplos: Examinar um fusvel para verificar se funciona

S={N, D}N representa sem defeito e D com defeito

Examinar trs fusveis em sequncia S={NNN, NND, NDN, NDD, DNN, DND, DDN, DDD}


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Exemplo

Dois postos de gasolina esto localizados emuma determinada interseo. Cada um possuiseis bombas. Considere o experimento em

que o nmero de bombas em uso emdeterminada hora do dia determinado paracada posto.


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Exemplo

Se uma bateria de lanterna nova, tipo D, tiveruma voltagem fora de certos limites, serclassificada como falha (F); se a voltagem

estiver dentro dos limites especificados, serclassificada como sucesso (S). Suponha queum experimento consista em testar cada

bateria quando sai de uma da linha demontagem at que seja observado umsucesso.


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Evento

Evento qualquer grupo (subconjunto) deresultados contidos no espao amostral S.

Simplesse possui um nico resultado

Compostose possui mais de um resultado

Quando um experimento realizado,determinado eventoAocorre se o resultado

experimental estiver contido emA.


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Exemplo

Considere um experimento em que cada umde trs veculos que trafeguem em umadeterminada estrada siga ela sada esquerda

(E) ou direita (D) no final da rampa de sada. Alguns eventos compostos:

O evento em que exatamente um dos trs veculos vira direita

O evento em que no mximo um dos veculos vira direita

O evento em que os trs veculos viram na mesmadireo


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Exemplo

Para o exemplo das bombas em uso em cadaum de dois postos

Exemplos de eventos compostos

O evento em que o nmero de bombas em uso omesmo nos dois postos;

O evento em que o nmero total de bombas em uso 4;

O evento em que no mximo uma bomba est em usoem cada posto.


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lgebra de Eventos


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lgebra de Eventos


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lgebra de Eventos


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lgebra de Eventos


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Trs axiomas da probabilidade Dado um experimento e um espao amostral S, o objetivos da

probabilidade atribuir a cada eventoAum nmero P(A),denominado probabilidade do eventoA, quefornecer umamedida precisa da chance de ocorrncia de A.

Para assegura que as atribuies de probabilidades sejam

consistentes, todas as atribuies devem satisfazer os axiomasa seguir:

Para qualquer evento A, P(A) >= 0

P(S) = 1 (Normalizao)

Se A e B so mutuamente exclusivosP (A + B) = P(A) + P(B)


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Exemplo

Representando os seis eventos simplesassociados ao lanamento de um dado de seislados por E1, E2, E3, E4E5e E6.

Se o dado for construdo de tal forma quequalquer um dos trs resultados pares tenha odobro de probabilidade de ocorrer em relao aosmpares, como seria uma atribuio apropriada de

probabilidades a cada evento simples? Qual seria a probabilidade do evento A =

resultado par?


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Tcnicas de contagem

Quando os diversos resultados so igualmenteprovveis, a tarefa de calcular probabilidadesse reduz a contagem. Em particular se N for a

quantidade de resultados de um espaoamostral e N(A) for a quantidade deresultados contidos em um evento A, ento

P(A) = N(A)/N


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Tcnicas de Contagem

Regra do produto Se o primeiro elemento ou objeto de um par

ordenado puder ser selecionado de n1formas e paracada uma das n1formas, o segundo elemento do par

pode se selecionado de n2formas, o nmero de pares n1n2.

Exemplo: Uma famlia se mudou para uma cidade eprecisa dos servios de um obstetra e de um pediatra.

H duas clnicas de fcil acesso e cada uma tem doisobstetras e trs pediatras. De quantas formas a famliapode escolher os dois especialistas na mesma clnica.


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Exemplo

H 10 professores disponveis para correode provas de um determinado curso. Oprimeiro exame consiste em quatro questes

e deseja-se selecionar um professor diferentepara corrigir cada uma (apenas um porquesto). De quantas formas diferentes os

professores podem ser escolhidos para acorreo?


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Combinao

Definio

Dado um conjunto de nobjetos diferentes,qualquer subconjunto no-ordenado de tamanho

k denominado combinao. O nmero decombinaes de tamanho kque podem serformadas a partir de nobjetos representadopor

k

n

)!(!

!

!

,

knk

n

k

P

k

n nk


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Exemplo

Um depsito de uma universidade recebeuuma entrega de 25 impressoras, das quais 10so impressoras a laser e 15 so a jato de

tinta. Se 6 das 25 forem selecionadasaleatoriamente para serem verificadas por umtcnico, qual ser a probabilidade de queexatamente 3 delas sejam a laser?

E a probabilidade de ao menos 3 impressorasa jato de tinta serem selecionadas?


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Probabilidade Condicional

Exemplo Componentes complexos so montados em uma fbrica

que usa duas linhas de montagem diferentes: A e A. A linhaA usa equipamentos mais antigos que A, de forma que mais lenta e um pouco menos confivel. Suponha que emdeterminado dia, a linha A tenha montado 8 componentes,dos quais 2 foram identificados como defeituosos e 6 nodefeituosos, ao passo que a linha A produziu 1 defeituoso e9 no defeituosos.

O gerente de vendas seleciona aleatoriamente 1 dos 18componentes para uma demonstrao.

Antes da demonstrao, qual a probabilidade do componenteselecionado ser na linha A?

Se o componente tiver defeito, qual a probabilidade docomponente selecionado ser na linha A?


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Probabilidade condicional

A probabilidade condicionaltrata da probabilidade de ocorrer um evento A, tendoocorrido um evento B, ambos do espao amostral S, ou seja, ela calculada sobre oevento B e no em funo o espao amostral S.


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Exemplo

Uma pesquisa realizada entre 1000

consumidores,registrou que 650 deles trabalham

com cartes de crdito da bandeira MasterCard,

que 550 trabalham com cartes de crdito da

bandeira VISA e que 200 trabalham com cartes

de crdito de ambas as bandeiras. Qual aprobabilidade de ao escolhermos deste grupo

uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser

tambm um dos consumidores que utilizam

cartes de crdito da bandeira MasterCard?


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Exerccio

Suponha que, de todos os indivduos quecompram uma determinada cmera digital,60% incluem um carto de memria opcional

na compra, 40% incluem uma pilha extra e30% incluem um carto e uma pilha. Dado queo indivduo selecionado comprou uma pilha

extra, qual a probabilidade de compra deum carto opcional?


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Variveis Aleatrias

Def.: Para um dado espao amostral Sde umexperimento, uma varivel aleatria (va) qualquerregra que associe um valor a cada resultado de S. Emtermos matemticos, uma varivel aleatria umafuno cujo domnio o espao amostral e ocontradomnio um conjunto de nmeros reais.

Exemplo: Quando um estudante tenta acessar umcomputador em um sistema de compartilhamento detempo, toda as portas esto ocupadas (F), caso em que

o aluno no ter sucesso, ou haver ao menos umaporta livre (S), caso em que o estudante conseguiracessar o sistema. Com S= {S, F}, defina uma va X X(S) = 1 X(F)=0


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Variveis aleatrias

Varivel aleatria de Bernoulli Qualquer varivel aleatria cujos nicos valores possveis

so 0 e 1.

Variveis aleatrias discretas, quando os valores

possveis constituem um conjunto finito ou podem serrelacionados em uma sequncia infinita na qual hajaum primeiro elemento, segundo elemento e assim pordiante.

Variveis aleatrias contnuas, quando o seu conjuntode valores possveis consiste em um intervalo completoda reta de nmeros (Reta real).

Di t ib i d b bilid d


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Distribuio de probabilidade paravariveis aleatrias discretas

Exemplo: Seis lotes de componentes esto prontos para

embarque em um fornecedor. O nmero decomponentes com defeito em cada lote mostrado a

seguir:

Seja X o nmero de peas com defeito no lote

selecionado. Sendo os eventos igualmente provveis p(0) = P( X=0 ) =

p(1) = P( X=1 ) =

p(2) = P( X=2 ) =

Lote 1 2 3 4 5 6

Nmero de peas com defeito 0 2 0 1 2 0


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Funo de massa de probabilidade

Def.: A funo distribuio de probabilidade oufuno de massa de probabilidade (fmp ou pmf)de uma va discreta definida para cada nmeroxpor p(x) = P(X=x)=P(todos os sS: X(s)=x).

Exemplo 1:Suponha que visitemos uma lojadurante uma semana e observemos se a prximapessoa a comprar um computador comprar umlaptop ou um desktop.

Se 20% de todos os computadores duranteaquela semana selecionaram um laptop, a fmp deX ser:


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Exemplo 2: Considere um grupo de cincodoadores de sangue potenciais: A, B, C, D e E.Desses apenas A e B possuem O+. Cinco

amostras de sangue, uma de cada indivduo,sero testadas em ordem aleatria at queseja identificado um indivduo O+. Seja va

Y=nmero de testes necessrios paraidentificar um indivduo O+. Ento a fmp de Y:


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PDF (probability distribution function) ou pmf

Seja X o nmero de visitas que cada requisiofaz ao disco

p(X): p(0) = 0.25 p(1) = 0.5 p(2) = 0.25

Funo de Probabilidade de Massa

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2

# visitas ao disco

p(x)


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Histograma

Outra representao grfica equivalente Plota o nmero de vezes que a sada de um experimento

aleatrio foi igual a cada ponto amostral

Ex: se total de requisies ao servidor = 1000

Histograma

0

100

200300

400

500

600

0 1 2

# visitas ao disco

#Requisies


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Distribuies Discretas

Zipf() Comumente usada quando a distribuio altamente

concentrada em poucos valores Popularidade de arquivos em servidores Web/multimdia

90% dos acessos so para 10% dos arquivos Popularidade de palavras na lngua inglesa

Seja i, o elemento que ocupa a i-esima posio no rankingde concentrao

C a constante de normalizao

Zipf: lei das Potncias

,...2,1)( iiCiXP


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Distribuio Zipf Modela popularidade dos remetentes de e-mails

Parmetro de uma distribuio de


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Parmetro de uma distribuio deprobabilidade

No exemplo 1, tnhamos p(0)=0,8 e p(1)=0,2.Em outra loja temos p(0)=0,9 e p(1) = 0,1. Deforma geral, a fmp de qualquer va Bernoulli

pode ser expressa na forma

aqui um parmetrocontrrio

x

x

caso

se

se

xp 1

0

0

1

);(

Funo de distribuio acumulada


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Funo de distribuio acumulada(FDA ou CDF)

A FDA F(x)de uma va discreta X com fmp p(x) definida para cada valor de x po

Para qualquer valor x, F(x) a probabilidadede o valor X observado ser no mximo x.

xyy

ypxXPxF

:

)()()(


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Exemplo: Para a fmp

F(y) para cada valor de {1,2,3,4} :

F(2,7)= F(3,9999)=

y 1 2 3 4

P(y) 0,4 0,3 0,2 0,1


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Valor Esperado

Seja X uma va discreta com conjunto devalores possveis D e fmpp(x). O valoresperado ou valor mdio de X denotado por

E(X) ou x

Qual o valor esperado de uma va Bernoulli X?

Dxx xpxXE )()(


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Distribuio de probabilidade binomial

H diversos experimentos que satisfazem exatamente ouaproximadamente a seguinte lista de requisitos: O experimento consiste em uma sequncia de n experimentos

menores denominados tentativas, onde n estabelecido antes doexperimento.

Cada tentativa pode resultar em um de dois resultados possveis,

chamados de sucesso (S) ou falha (F). As tentativas so independentes, de forma que o resultado de

qualquer tentativa particular no influencia o resultado de qualqueroutra tentativa.

A probabilidade de sucesso constante de uma tentativa para a outra.Denominamos essa probabilidadep.

Um experimento para o qual essas condies so satisfeitas denominado experimento binomial.

Exemplo: A mesma moeda lanada sucessiva eindependentemente n vezes.


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Exerccio

Calcule usando a frmula b(3; 8, 0,6)=

b(5; 8, 0,6)=

P(3 X 5) quando n=8 e p=0,6 P(1 X) quando n=12 e p=0,1


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Exerccio Seja X o nmero de falhas na superfcie de

uma caldeira de um determinado tiposelecionada aleatoriamente, com distribuiode Poisson de parmetro =5. Calcule

P(X8)= P(X=8)=

P(X9)=

P(5 X 8)=

P(5


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E l


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Exemplo

A probabilidade de X ter um valor no intervalo[a, b] a rea contida entre o intervalo e

abaixo da curva da funo de densidade. Ogrfico de f(x) normalmente denominadocurva de densidade.

Funo de distribuio acumulada e


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Funo de distribuio acumulada evalores esperados

A funo de distribuio acumulada F(x) de uma vacontnua X definida para cada nmero x por

a rea abaixo da curva de densidade esquerda de x.

O valor mdio ou esperado de uma va contnua X comfdp f(x)

A varincia de uma va contnua X com fdp f(x) e mdia

x

dyyfxXPxF )()()(

dxxfxXEx )()(

])[()()()( 222 xEdxxfxXVX


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Exemplo


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Exemplo Suponha que o tempo de resposta X em um terminal

de computador on-lineespecfico tenha distribuioexponencial com tempo de resposta esperado igual a 5segundos. Qual a probabilidade de o tempo deresposta ser no mximo 10 segundos?

A probabilidade de o tempo de resposta estar entre 5 e10

865,0135,0111)2,0;10()10(

2,0,5

1

)(

2)10)(2,0(

eeFXP

XE

233,0)1()1(

)2,0;5()2,0;10()105(

12

ee

FFXP


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Intervalos de confiana


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Estimando a Populao a Partir das Amostras Quo alto so os humanos?

Medir todos nesta sala (amostra) Calcular a mdia da amostra

Assumir que a mdia da populao igual da amostra . Uma estimativa pontual no diz nada sobre o

quanto pode estar prxima de Uma alternativa para apresentar um nico valor

sensato para o parmetro que est sendoestimado calcular e relatar um intervalocompleto de valores plausveis.

x

x



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Valor da mdia da amostra apenas umaestimativa da verdadeira mdia da distribuio.

Os limite c1e c2tais que existe uma altaprobabilidade, 1-, que a mdia da populaoest no intervalo (c1,c2):

Pr{ c1< m < c2} =1-

onde o nvel de significncia e

100(1- ) o nvel de confiana

2]Pr[]Pr[ 21

cxcx

I l d C fi


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Intervalos de Confiana

Quo alto Jos? Suponha que a mdia da altura humana seja 1,70 m

Jos mede 1,70 mcerto?

Suponha que 90% dos humanos esto entre 1,55 e 1,90 m

Jos est entre 1,55 e 1,90 m Ento estamos 90% confiantesque Jos est entre 1,55 e

1,90 cm

Estimando os Intervalos de


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Confiana Duas frmulas para intervalo de confiana

Acima de 30 amostras de qualquerdistribuio: distribuio-z

Pequenas amostras de populaesnormalmente distribudas: distribuio-t

Distribuio Z


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Distribuio Z

O intervalo de confiana 100(1-)% da mdiade uma populao normal, quando o valorde e conhecido, dado por

Teorema do limite central: A mdia amostral

de observaes distribudas identicamente eindependentes:

nzx /2/1

)/;(~ nNx

Distribuio-z


104/117

Distribuio-z

Intervalo em cada lado da mdia:

O nvel de significncia pequenopara nveis maiores do intervalo deconfiana.

Existem tabelas para a varivel z!

x z

s

n

1 2n

xxz /

645.12

1.01

z 960.1

205.01

z

Exemplo da Distribuio z


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Exemplo da Distribuio z

35 amostras: 10 16 47 48 74 30 81 42 57 67 7 13 56 44 54 17 60 32 45 2833 60 36 59 73 46 10 40 35 65 34 25 18 48 63

Mdia da amostra = 42,1Desvio padro s= 20,1 n = 35

Calcule o intervalo com 90% de confiana

x

42 1 1 645 20 1

3536 5 47 7. ( . )

.( . , . )

645.12

1.01

z 960.1

205.01

z

x z s

n

12


106/117

Definindo o tamanho da amostra


107/117

Definindo o tamanho da amostra

Quantas observaes n para obter umaacurcia de r% e um nvel de confiana100(1-)%?

r% de acurcia implica em

CI =

nszx

))100/1(),100/1(( rxrx

Distribuio t


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Distribuio t

Frmula quase a mesma:

Usvel para populaes normalmente distribudas!

Mas funciona para pequenas amostras

n-1 indica o grau de liberdade

x ts

nn 1 2 1 ;

Exemplo da Distribuio t


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10 amostras de chegada de transaes: 148 166 170 191 187 114 168180 177 204

Mdia da amostra = 170.5.Desvio padro s= 25.1, n = 10

Calcule o intervalo de confiana de 90%:

Quanto

x

x t

s

nn

1 2 1 ;

110;2

1.01 t



110/117


x

170 5 1 833 25 1

10156 0 185 0. ( . )

.( . , . )



111/117


10 amostras de chegada de transaes: 148 166 170 191 187 114 168180 177 204

Mdia da amostra = 170.5.Desvio padro s= 25.1, n = 10

Calcule o intervalo de confiana de 90%:

Calcule agora o intervalo de 99% de confiana

x

170 5 1 833 25 1

10156 0 185 0. ( . )

.( . , . )

x t

s

nn

1 2 1 ;



112/117


x

170 5 1 833 25 1

10156 0 185 0. ( . )

.( . , . )


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114/117

Tomando decises sobre os dados


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experimentais

Por que usamos intervalos de confiana?

Sumarizar o erro na mdia da amostra

Prover elementos para saber se a amostra significativa

Permitir comparaes luz dos erros


116/117

Referncias


117/117

Referncias

Raj Jain. The Art of Computer SystemPerformance Analysis: Techniques forExperimental Design, Measurement, Simulationand Modeling, John Wiley & Sons, Inc., 1991.

Jay L. Devore, PROBABILIDADE E ESTATSTICAPARA ENGENHARIA E CINCIAS. CengageLearning, 2006.

Material didtico do prof. Fabrcio Benevenuto. Material didtico da profa. Jussara Almeida

DCC/UFMG

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