SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMTICAMESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL

PROFMAT

2a Avaliao Nacional de Aritmtica - MA14 - 07/12/2013

1. (a) Ache a maior potncia de 104 que divide 1000!.

Uma soluo. Temos que 104 = 23 13. Calculando as potncias de 2 que dividem1000!, temos [

1000

2

]= 500,

[1000

4

]= 250,

[1000

8

]= 125,

[1000

16

]= 62,

[1000

32

]= 31,

[1000

64

]= 15,

[1000

128

]= 7,

[1000

256

]= 3,

[1000

512

]= 1.

Desta forma, pelo Teorema de Legendre,

E2(1000!) = 500 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 994.

Analogamente, [1000

13

]= 76,

[1000

169

]= 5.

Portanto

E13(1000!) = 76 + 5 = 81.

Desta forma 1000! = 29941381M, para algum M N, (M, 2) = (M, 13) = 1. Assim,

1000! = 29941381M = 2(23)3311381M = 2(104)818250M.

Logo a maior potncia de 104 que divide 1000! 81.

(b) Prove que no existe nenhum nmero natural n tal que 37 seja a maior potncia de 3que divida n!.

Uma soluo. Observe que 3|3, 3|6, 32|9, 3|12, 3|15, e 32|18. Desta forma 36 amaior potncia de 3 que divide 15!, 16! e 17!, enquanto que 38 a maior potncia de3 que divide 18!. Como 38|n! para todo n > 18, conclumos que no existe natural ntal que 37 a maior potncia de 3 que divide n!.

2. (a) Demonstre que, para todo n N, 1016n 1 divisvel por 70;

Uma soluo. Temos que 1012 51 mod 70, 1014 512 11 mod 70, 1016 51 11 1 mod 70. Desta forma 70|1016 1. Como

1016n 1 = (1016 1)(1016n1 + 1016n2 + + 1016 + 1),

conclumos que 70|1016n 1 para todo n N.

Outras solues: H vrias outras solues. Por exemplo, o resultado pode serprovado usando-se o Princpio de Induo Finita. Outra soluo trivial segue dacongruncia 1016 1 mod 70 e das propriedades da potenciao.

(b) Determine o resto da diviso por 7 do nmero 17 + 27 + 37 + + 1007.

Uma soluo. Usando o Pequeno Teorema de Fermat, vemos que

a7 a mod 7, a = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Alm disso, se n = 7k + a, ento n7 = (7k + a)7 a7 a mod 7, a = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Desta forma,

17 + 27 + 37 + + 1007 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 0) + + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 0) + 1 + 2

=7 62 14 + 3 = 21 14 + 3 3 mod 7.

Portanto, o resto da diviso de 17 + 27 + 37 + + 1007 por 7 3.

3. Mostre que um nmero da forma n = 2r3s perfeito se, e somente se, r = s = 1.

Uma soluo. Se n = 2r3s, ento a soma de todos os divisores de n

S(n) =(2r+1 1

)(3s+1 12

).

Se n um nmero perfeito, ento S(n) = 2n. Isto implica

(2r+1 1)(3s+1 1) = 2r+23s.

Como 2 no divide 2r+1 1 e 3 no divide 3s+1 1, temos que 2r+2|3s+1 1 e 3s|2r+1 1.Desta forma 3s+1 1 = 2r+2k1 e 2r+1 1 = 3sk2, k1, k2 Z. Assim,

(2r+1 1)(3s+1 1) = 2r+23sk1k2

e isto implica que k1 = k2 = 1. Desta forma, para encontrar r e s, basta resolver o sistema:{3s+1 1 = 2r+22r+1 1 = 3s

Este sistema tem soluo nica: r = s = 1.

A recproca bvia pois S(6) = 12.

4. Sejam p e q nmeros primos distintos. Mostre que pq|pq1 + qp1 1.

Uma soluo. Como p e q so primos, o Pequeno Teorema de Fermat implica que

q|pq1 1 e p|qp1 1.

Desta forma

pq|(qp1 1)(pq1 1) = pq1qp1 pq1 qp1 + 1= pq1qp1 (pq1 + qp1 1),

pois (p, q) = 1.

Como pq|pq1qp1, segue que pq|pq1 + qp1 1.

5. Encontre trs nmeros inteiros consecutivos tais que o primeiro divisivel pelo quadradode um nmero primo, o segundo divisvel pelo cubo de um nmero primo e o terceiro divisvel pela quarta potncia de um nmero primo.

Uma soluo. Sejam p, q e r nmeros primos. Devemos resolver o sistema de congrunciasx 0 mod p2

x+ 1 0 mod q3

x+ 2 0 mod r4,

ou seja, x 0 mod p2

x 1 mod q3

x 2 mod r4.(1)

Como (p2, q3) = (p2, r4) = (q3, r4) = 1, usando o Teorema Chins dos Restos, vemos que osistema de congruncias (1) tem soluo

x = M2y2(1) +M3y3(2) + tM, t Z,

em que M = p2q3r4, M2 = p2r4, M3 = p2q3 e y2, y3 so solues de p2r4Y 1 mod q3e p2q3Y 1 mod r4, respectivamente.Logo, podemos tomar quaisquer primos p, q, r e obter um nmero x com as propriedadespedidas. Tomando, por exemplo, r = 2, q = 3 e p = 5, obtemos o sistema de congruncias

x 0 mod 25x 1 mod 27x 2 mod 16,

(2)

cujas solues so dadas por

x = 400y2 2 675y3 + 10800t, t Z

Aqui y2 e y3 so, respectivamente, solues de 400Y 1 mod 27 e 675Y 1 mod 16.Resolvendo-as, obtemos, y2 = 11 mod 27 e y3 = 5 mod 16. Portanto,

x = 11150 + 10800t.

Por exemplo, tomando t = 1, temos

x = 350 = 52 14,

x+ 1 = 351 = 33 13

x+ 2 = 352 = 24 22.