Gabarito Da AP3 2012-1
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Transcript of Gabarito Da AP3 2012-1
Instituto de Fısica
UFRJ
3a Avaliacao Presencial de Fısica 4BPrimeiro semestre de 2012
1o Q
2o Q
3o Q
Nota
InstrucoesPara os alunos fazendo a AP3 de duas disciplinas: resolver as questoes 1 e 2Respostas sem justificativas nao serao consideradasDados: h = 6,6× 10−34 J · s; c = 3,0× 108 m/s; 1 eV = 1,6× 10−19 J
1. (2,5 pontos)
A funcao trabalho do metal ouro vale W = 5, 1 eV. Esse metal e iluminado com luz decomprimento de onda λ variando de 0, 1µm a 1µm.
(a) Qual e o maior comprimento de onda dos fotons que sao capazes de arrancar umfoteletron desse metal?
Solucao
A energia do foton deve ser maior ou igual a funcao trabalho para que ele possa gerarum fotoeletron: hν ≥ W. Como o comprimento de onda esta relacionado a frequenciapela equacao λ = c/ν, obtemos a condicao
λ ≤ h c
W=
6, 6× 10−34 × 3× 108
5, 1× 1, 6× 10−19m = 0, 24µm
Portanto o maior comprimento de onda e λmax = 0, 24µm.
(b) Qual e a velocidade dos fotoeletrons emitidos com maxima energia? Ao calcular avelocidade a partir da energia cinetica, despreze os efeitos relativısticos. Justifique aaproximacao nao-relativıstica analisando o resultado encontrado para a velocidade.
Solucao
Os fotoeletrons com maxima energia sao gerados a partir de fotons com maxima energia,o que significa menor comprimento de onda. Assim, o foton de maxima energia temcomprimento de onda 0, 1µm e energia Efoton = hc
0,1µm= 1, 98× 10−18 J.
A energia do fotoeletron e
Eeletron = Efoton −W = 1, 98× 10−18 J− 5, 1× 1, 6× 10−19 J = 1, 16× 10−18 J
Supondo que a velocidade do eletron e muito menor que a velocidade da luz (limitenao-relativıstico), podemos tomar
Eeletron =mv2
2=⇒ v =
√2Eeletron/m =
√2, 3× 10−18J/m[kg],
onde m e a massa do eletron.
Adendo nao obrigatorio neste item: se tomarmos o valor numerico da massa do eletron,m = 9, 1×10−31 kg, obtemos v = 1, 6×106 m/s portanto muito menor que a velocidadeda luz no vacuo c = 3, 0× 108m/s, justificando a aproximacao nao -relativıstica.
1
2. (2,5 pontos) Um feixe de luz laser de comprimento de onda λ = 0,66µm e potencia 12 mWe completamente absorvido por um corpo de face plana perpendicular a sua direcao depropagacao, como mostra a figura abaixo.
(a) Determine o momento linear e a energia de cada foton do feixe.
Solucao
A energia do foton vale E = hν = hc/λ, ao passo que o momento linear vale p =E/c = h/λ. Os valores numericos neste exemplo sao p = 6, 6 × 10−34/(0, 66 × 10−6) =10−27 kg m/s e E = pc = 10−27 kg m/s× 3× 108 m/s = 3× 10−19 J.
(b) Determine o fluxo de fotons ∆N/∆t do feixe (numero de fotons que atravessam umaarea perpendicular ao feixe por unidade de tempo).
Solucao
A potencia do feixe e o produto do fluxo de fotons pela energia de cada foton:
∆N
∆t× E = P =⇒ ∆N
∆t= P/E = 4× 1016 fotons/seg
(c) Calcule, por meio dos resultados dos itens anteriores, a forca exercida pelo feixe sobreo corpo.
Solucao
Cda foton absorvido transfere o seu momento linear p calculado no item (a) ao corpoabsorvedor. A forca total exercida e igual a taxa de transferencia de momento linearao corpo absorvedor:
F =∆N
∆t× p = 4× 10−11 N.
O vetor forca tem a mesma direcao e sentido de propagacao do feixe.
3. (5,0 pontos) Um compo eletrico constante e uniforme E0 atua sobre uma partıcula de massade repouso m0 e carga eletrica q a partir do instante t = 0, quando a partıcula estava emrepouso. Responda as questoes abaixo, em termos de E0, q, m0 e da velocidade da luz novacuo c.
2
(a) Calcule o momento relativıstico da partıcula num tempo t > 0.
Solucao
Como a forca sobre a partıcula vale qE0, a taxa de variacao do momento da partıculavale
dp
dt= qE0.
Integrando ambos os lados da equacao acima, obtemos tem como solucao
p(t) = qE0 t+ p0
onde p0 e o momento da partıcula no tempo t = 0. Como a partıcula estava em repousoem t = 0, temos p0 = 0 :
p(t) = qE0 t
(b) Calcule a velocidade v(t) da partıcula no tempo t. Mostre que v < c mesmo para temposarbitrariamente grandes. Determine o valor da velocidade para t = 10m0c/(qE0).
Solucao
O momento relativıstico esta relacionado a velocidade pela expressao:
p(t) =mv(t)√
1− v(t)2/c2= qE0 t
Tomando o quadrado de ambos os lados, obtemos
mv2
1− v2/c2= (qE0 t)
2
Podemos resolver esta equacao para a velocidade v :
v =
√√√√ (qE0 t)2
(m0c)2 + (qE0 t)2c (1)
De acordo com a equacao (??) , a razao v/c vale
v
c=
√√√√ (qE0 t)2
(m0c)2 + (qE0 t)2(2)
Uma vez que (m0c)2 > 0, o denominador na fracao mostrada acima e sempre maior que
o numerador, demonstrando que v/c < 1 para todo tempo t.
O valor para t = 10m0c/qE0 e
v =
√√√√ (10)2
1 + (10)2c = 0, 995 c
(c) Calcule agora v(t) pela Mecanica Newtoniana e compare com o resultado relativısticoobtido no item anterior. Para que valores de t o resultado Newtoniano e uma boaaproximacao do resultado exato relativıstico? Obtenha a expressao Newtoniana a partirdo seu resultado exato tomando o limite apropriado.
3
Solucao :
Pela Mecancia Newtoniana, temos (2a lei de Newton)
dv
dt=qE0
m0
=⇒ v(t) =qE0t
m0
.
Esta expressao coincide com o resultado relativıstico para tempos curtos: de fato, set� m0c/qE0 temos da eq. (??),
v ≈
√√√√(qE0t)2
(m0c)2× c =
qE0t
m0cc =
qE0t
m0
. (3)
Observe ainda que a condicao de tempos curtos e justamente a condicao para que avelocidade seja pequena:
t� m0c/(qE0) =⇒ qE0t
m0
� c.
(d) Faca o grafico de v(t) versus t. Indique na escala vertical o valor de c, e na escalahorizontal (valores de t) multiplos inteiros de m0c/(qE0). Alem do resultado relativısticoexato, tambem represente no grafico o resultado Newtoniano para v(t).
Solucao :
Na figura abaixo, apresentamos o grafico de v/c em funcao de
τ ≡ t/(m0c/(qE0)). (4)
O resultado relativıstico exato foi calculado a partir da equacao (??), ao passo que oresultado Newtoniano e obtido da eq. (??).
Observe que as duas curvas coincidem para tempos curtos (τ � 1), que correspondeao limite nao relativıstico (baixas velocidades).
Newtoniano
Relativístico
0 2 4 6 80.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Τ
v c
4