Gabarito da Segunda Prova de Matemática para Administração -Turma A, 27/11/2019

1. Pela Regra da Cadeia, (f ◦ g)′(1) = f ′(g(1)) · g′(1) = f ′(2) · g′(1) = 4.Pela Regra da Cadeia,

f ′(x) =((

x2 + 1) 1

2

)′=

1

2

(x2 + 1

)− 12 · 2x,

logo f ′(2) = 2√5, e portanto 2√

5· g′(1) = 4 ⇔ g′(1) = 2

√5.

2. Observação: Pelos dados, f satisfaz todas as condições do Teorema de Weier-strass exceto uma: continuidade nos pontos da fronteira. Deste modo para f nãoter máximo nem mínimo absolutos, necessariamente f terá de ser descontínua emalgum ponto da fronteira (caso contrário, f satisfaria todas as condições do Teo-rema de Weierstrass e portanto tería máximo e mínimo absolutos).

Um exemplo que satisfaz todas as condições pedidas é:

3. (a) f é contínua em D pois é dada pelo quociente e soma de polinômios.D = [1, 4] é um conjunto limitado e fechado. Logo, pelo Teorema de Weierstrassexistem ambos o máximo e mínimo absolutos de f em D.

(b) Além disso, como f é diferenciável em (1, 4), sabemos que os extremos ab-solutos (que existem!) só podem ocorrer num ponto crítico em (1, 4) ou num pontoda fronteira:• fronteira: 1 e 4

f(1) =5

4e f(4) =

5

4

• pontos críticos em (1, 4)

f ′(x) = 0 ⇔ 1

4− x−2 = 0 ⇔ x−2 =

1

4⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 em (1, 4)

f(2) = 1

Comparando estes valores concluímos que o máximo absoluto de f em [1, 4] é 54 ,

atingido em ambos os pontos da fronteira, em x = 1 e em x = 4, e o mínimoabsoluto de f em [1, 4] é 1, atingido no ponto do interior x = 2.

1

2

4. (a) f ′(x) = 0 ⇔ x+ x−2 = 0 ⇔ x3 + 1 = 0 ⇔ x = −1,portanto há um único pontos crítico. Iremos classificá-lo usando o Teste da 2a

Derivada:

f ′′(x) = 1− 2x−3.

f ′′(−1) = 1 + 2 = 3 > 0 ^ logo x = −1 é ponto de Mínimo Relativo.

Já podemos fazer o esboço do gráfico de f em torno dos ponto (−1, 32 ):

(b) f ′′(x) = 0 ⇔ 1− 2x−3 = 0 ⇔ x−3 =1

2⇔ x3 = 2 ⇔ x =

3√2

Um candidato a Ponto de Inflexão

onde os sinais na tabela anterior podem ser calculados usando, por exemplo,f ′′(1) = −1 < 0 e f ′′(2) = 3

4 > 0. Portanto x = 3√2 é Ponto de Inflexão.

(c) Temos que f( 3√2) = 22/3

2 − 2−1/3 = 2−1/3 − 2−1/3 = 0.

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

(x2

2− 1

x

)= +∞− 0 = +∞

limx→−∞

f(x) = limx→−∞

(x2

2− 1

x

)= +∞+ 0 = +∞

limx→0+

f(x) = limx→0+

(x2

2− 1

x

)= 0− 1

0+= −∞

limx→0−

f(x) = limx→0−

(x2

2− 1

x

)= 0− 1

0−= +∞

Com a informação deste e dos itens anteriores obtemos o esboço do gráfico de f :

3

5. Extremos relativos em (1, 2) e (2, 3) ⇒

f(1) = 2

f(2) = 3

f ′(1) = 0

f ′(2) = 0

Temos f ′(x) = 3ax2 + 2bx+ c, logo obtemos o sistema lineara+ b+ c+ d = 2

8a+ 4b+ 2c+ d = 3

3a+ 2b+ c = 0

12a+ 4b+ c = 0

⇔

a+ b+ c+ d = 2

4b+ 6c+ 7d = 13

b+ 2c+ 3d = 6

8b+ 11c+ 12d = 24

⇔

a+ b+ c+ d = 2

b+ 2c+ 3d = 6

2c+ 5d = 11

5c+ 12d = 24

⇔

a+ b+ c+ d = 2

b+ 2c+ 3d = 6

2c+ 5d = 11

d = 7

⇔

a = −2b = 9

c = −12d = 7

Agora falta verificar se os pontos críticos (1, 2) e (2, 3) são ou não extremosrelativos, para estes valores de a, b, c, d encontrados. Vamos usar o Teste da 2a

Derivada: f ′(x) = −6x2 + 18x− 12 ⇒ f ′′(x) = −12x+ 18.

• f ′′(1) = 6 > 0 ^ logo x = 1 é ponto de Mínimo Relativo.

• f ′′(2) = −6 < 0 _ logo x = 2 é ponto de Máximo Relativo

Observação: Este exercício é um dos exercícios do livro Leithold (MatemáticaAplicada à Economia e Administração) que eu recomendei aos alunos fazer em casa efalei que poderia cair na prova. Então sería conveniente os alunos já terem resolvidoeste exercício anteriormente (e, em caso de dúvida, pedir ajuda ao professor oumonitor).