Gabarito Lista 1 - Casa

MAE116 – Nocoes de EstatısticaGrupo A - I semestre de 2014

Lista de exercıcios 1 - Introducao a Estatıstica Descritiva – C A S A (gabarito)

Exercıcio 1.

(0,9 pontos). Classifique cada uma das variaveis nas situacoes abaixo:

(a) (0,2 pontos). Uma empresa de cartoes rastreou todas as compras efetuadas com credito

ou debito em um ano em um determinado paıs. As variaveis medidas foram: (i) o cartao

de credito usado (Visa, Mastercard, American Express ou Discover) e (ii) o montante (em

dolares) de cada compra.

Resposta:

(i) Qualitativa nominal.

(ii) Quantitativa contınua. �

(b) (0,4 pontos). Uma empresa que produz o software ABRACADABRA telefonou para mi-

lhares de usuarios da ultima versao e perguntou como o produto poderia ser melhorado.

Algumas perguntas feitas foram: (i) Qual e a frequencia que voce usa o software ABARCA-

DABRA em sua casa (todo dia; 3 a 4 vezes na semana; 1 a 2 vezes na semana; raramente,

i.e., menos de uma vez na semana)? (ii) Qual e a sua idade? (iii) Os tutoriais e instrucoes

que acompanham o ABRACADABRA sao uteis (Sim/Nao)? (iv) Quantas pessoas usam o

ABRACADABRA em sua casa pelo menos uma vez na semana?

Resposta:

(i) Qualitativa ordinal.

(ii) Quantitativa contınua.

(iii) Qualitativa nominal.

(iv) Quantitativa discreta. �

(c) (0,1 pontos). Tempo de internacao (em dias) de bebes em UTI neonatal.

Resposta:

Quantitativa contınua. �

(d) (0,1 pontos). Numero de transfusoes de sangue recebidas por bebes internados em UTI

neonatal.

Resposta:

Quantitativa discreta. �

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(e) (0,1 pontos). Opiniao dos paulistanos em relacao a realizacao da copa do mundo no Brasil

(favoravel/ desfavoravel)

Resposta:

Qualitativa nominal. �

Exercıcio 2.

(4,3 pontos). Quinze pacientes de uma clınica de ortopedia foram avaliados quanto ao numero

de meses previstos de fisioterapia, se havera (S) ou nao (N) sequelas apos o tratamento e o

grau de complexidade da cirurgia realizada: alto(A), medio(M) ou baixo(B). Os dados sao

apresentados na tabela abaixo:

Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Tempo de Fisioterapia 7 8 5 6 4 5 7 7 6 8 6 5 5 4 5

Sequelas S S N N N S S N N S S N S N NCirurgia A M A M M B A M B M B B M M A

(a) (0,3 pontos). Quais sao as variaveis do estudo? Classifique-as.

Resposta:

As variaveis sao as seguintes:

Numero de meses previstos de fisioterapia (Tempo de Fisioterapia): Quantitativa contınua.

Presencia de sequelas apos o tratamento (Sequelas): Qualitativa nominal.

Grau de complexidade da cirurgia realizada (Cirurgia): Qualitativa ordinal.

�

(b) (1,0 pontos). Divida os pacientes em dois grupos: com (S) e sem (N) sequelas. Compare

os grupos em relacao ao tempo previsto medio e mediano de fisioterapia.

Resposta:

A seguinte tabela apresenta os grupos de interesse:




Com sequelas Sem sequelasTempo Tempo

Paciente fisioterapia Cirurgia Paciente fisioterapia Cirurgia1 7 A 3 5 A2 8 M 4 6 M6 5 B 5 4 M7 7 A 8 7 M10 8 M 9 6 B11 6 B 12 5 B13 5 M 14 4 M

15 5 A

Grupo com sequelas:

Media (x)

x =

∑ni=1 xi

n

=7 + 8 + 5 + 7 + 8 + 6 + 5

7= 6, 571429

Mediana (Md)

Primeiro ordenamos os dados: 5 5 6 7 7 8 8 e calculamos a posicao da mediana comon+12

= 7+12

= 4, e dado que n e ımpar entao a mediana e o dado ordenado na posicao 4,

isto e, Md = 7.

Grupo sem sequelas:

Media (x)

x =

∑ni=1 xi

n

=5 + 6 + 4 + 7 + 6 + 5 + 4 + 5

8= 5, 25

Mediana (Md)

Primeiro ordenamos os dados: 4 4 5 5 5 6 6 7 e calculamos a posicao da mediana comon+12

= 8+12

= 4, 5. Neste caso como n e par entao a mediana e a media dos dados nas duas

posicoes centrais, os seja, nas posicoes 4 e 5, deste modo, temos: Md =5+52

= 5

�




Com sequelas Sem sequelasx = 6, 57 x = 5, 25Md = 7 Md = 5

(c) (1,0 pontos). Calcule o desvio padrao e o coeficiente de variacao do tempo previsto de

fisioterapia para os dois grupos. Qual dos grupos e mais homogeneo (apresenta menor

dispersao)?

Resposta:

Grupo com sequelas:

Desvio padrao (s)

O desvio padrao e a raiz quadrada da variancia,

s =√s2

=

√∑ni=1(xi − x)2

n− 1

=

√(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + · · ·+ (xn − x)2

n− 1

=

√(7− 6, 571429)2 + (8− 6, 571429)2 + (5− 6, 571429)2 + · · ·+ (5− 6, 571429)2

7− 1

=

√9, 714286

6= 1, 272418

De outra forma,

s =√s2

=

√∑ni=1 x

2i − nx2

n− 1

=

√x21 + x22 + · · ·+ x215 − nx2

n− 1

=

√72 + 82 + 52 + · · ·+ 52 − (7)(6, 571429)2

7− 1

=

√312− (7)(6, 571429)2

6= 1, 272418




Coeficiente de variacao (CV = (s/x)× 100%)

CV = 1,2724186,571429

× 100% = 19, 36288%

Grupo sem sequelas:

Desvio padrao (s),

s =√s2

=

√∑ni=1(xi − x)2

n− 1

=

√(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + · · ·+ (xn − x)2

n− 1

=

√(5− 5, 25)2 + (6− 5, 25)2 + (4− 5, 25)2 + · · ·+ (5− 5, 25)2

8− 1

=

√7, 5

7= 1, 035098

De outra forma,

s =√s2

=

√∑ni=1 x

2i − nx2

n− 1

=

√x21 + x22 + · · ·+ x215 − nx2

n− 1

=

√52 + 62 + 42 + · · ·+ 52 − (8)(5, 25)2

8− 1

=

√228− (8)(5, 25)2

7= 1, 035098

Coeficiente de variacao (CV = (s/x)× 100%)

CV = 1,0350985,25

× 100% = 19, 71616%

Com sequelas Sem sequelasx = 6, 57 x = 5, 25

CV = 19, 36% CV = 19, 72%




Segundo os resultados da tabela anterior, em relacao as medias os pacientes com e sem

sequelas apresentam variabilidade quase iguais, isto e, sao igualmente homogeneos. �

(d) (0,5 pontos). A clınica deseja oferecer um desconto para 25% dos pacientes com maior

tempo previsto de fisioterapia. Qual e o tempo previsto mınimo de fisioterapia para que o

paciente receba o desconto? Que medida descritiva fornece essa informacao?

Resposta:

A medida descritiva que oferece essa informacao e o percentil 75, pois o 75% dos pacientes

terao tempo previsto de fisioterapia menor ou igual e ele, e o remanescente 25% dos paci-

entes terao tempo previsto de fisioterapia maior ou igual e ele. Lembramos tambem que o

percentil 75 e igual ao terceiro quartil (Q3), assim temos:

Dados ordenados: 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7,7, 8, 8,

Percentil 75 = Q3 = dado ordenado na posicao 0, 75(15 + 1) = 12, → Q3 = 7. Entao o

tempo previsto minimo para que o paciente receba o desconto e de 7 meses. �

(e) (1,5 pontos). Calcule a media, mediana, desvio padrao e coeficiente de variacao do tempo

previsto de fisioterapia para as tres categorias de complexidade de cirurgia. Compare essas

medidas. Com base nessa analise, voce diria que existe relacao entre a complexidade da

cirurgia e o tempo previsto de fisioterapia?

Resposta:

A seguinte tabela apresenta as medidas descritivas para o tempo previsto de fisioterapia

para as tres categorias de complexidade da cirurgia.




Grau de complexidade da cirurgiaMedidas descritivas Alto (A) Medio (M) Baixo (B)

7 8 55 6 67 4 65 7 5

854

Media (x) 6 6 5,5Mediana (Md) 6 6 5,5Desvio padrao (s) 1,1547 1,7321 0,5774Coef. Variacao (CV ) 19,25% 28,87% 10,50%

Segundo a tabela anterior, pode-se observar que em media e em mediana, o tempo previsto

de fisioterapia para os graus de complexidade da cirurgia alto e medio sao iguais (6 meses).

Alem disso, para o grau de complexidade da cirurgia baixo, a media e a mediana do tempo

previsto sao quase iguais aos do grau alto e medio, porem um pouco menor.

Em relacao as medias, os tempos previstos de fisioterapia para grau baixo de complexidade

sao mais homogeneos (10,50% de variabilidade) do que para os graus medio e alto (28,87%

e 19,25% de variabilidade, respectivamente). Os pacientes com grau medio de complexi-

dade sao aproximadamente quase tres vezes mais dispersos quanto ao tempo previsto de

fisioterapia quanto ao grau baixo de complexidade. �

Exercıcio 3.

(1,5 pontos). Os dados a seguir foram obtidos em indivıduos contaminados pelo veneno de

certo tipo de inseto e submetidos a tratamento. A variavel de interesse Recup e definida como

o tempo (em horas) entre a administracao do tratamento e a recuperacao do indivıduo. Os

valores de Recup sao os seguintes: 3, 90, 23, 46, 2, 42, 47, 37, 12, 51, 11, 1, 3, 3, 45, 3, 4, 11,

2, 8, 56, 39, 22, 16, 5 e 52.

(a) (1,0 pontos). Determine os quartis (inclusive a mediana) e interprete estes valores.




Resposta:

Quartis

Quando um conjunto de dados ordenado e dividido em 4 partes iguais, temos 3 quartis,

que correspondem aos percentis 25, 50 e 75, calculados como o valor da variavel que ocupa

a posicao p× (n+ 1), com p=0,25, p=0,50 e p=0,75.

Dados ordenados:

1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 8, 11, 11, 12, 16, 22, 23, 37, 39, 42, 45, 46, 47, 51, 52, 56, 90

• Quartil 1

Q1 = Percentil 25 = dado ordenado na posicao 0, 25(26+1) = 6, 75; neste caso, media

dos dados nas posicoes 6 e 7 → Q1 =3+32

= 3, → Q1 = 3. Assim, 25% dos indivıduos

contaminados pelo veneno de certo tipo de inseto levam 3 ou menos horas apos o

tratamento para se recuperar, e o 75% levam 3 ou mais horas para se recuperar.

• Quartil 2

Q2 = Percentil 50 = Mediana =dado ordenado na posicao 0, 50(26 + 1) = 13, 5; neste

caso, media dos dados nas posicoes 13 e 14 → Q2 =12+16

2= 14, → Q2 = 14. Assim,

50% dos indivıduos contaminados pelo veneno de certo tipo de inseto levam 14 ou

menos horas apos o tratamento para se recuperar, e os outros 50% levam 14 ou mais

horas para se recuperar.

• Quartil 3

Q3 = Percentil 75 = dado ordenado na posicao 0, 75(26 + 1) = 20, 25; neste caso,

media dos dados nas posicoes 20 e 21 → Q3 = 45+462

= 45, 5, → Q3 = 45, 5. Assim,

75% dos indivıduos contaminados pelo veneno de certo tipo de inseto levam 45,5 ou

menos horas apos o tratamento para se recuperar, e 25% levam 45,5 ou mais horas

para se recuperar.

�

(b) (0,5 pontos). Qual medida de dispersao poderia ser construıda a partir dos valores obtidos

em (a)? Obtenha esta medida.

Resposta:

A medida de dispersao que pode ser obtida e o intervalo-interquartil,

Q3 −Q1 = 45, 5− 3, 00 = 42, 5




�

Exercıcio 4.

(3,3 pontos). Um questionario foi aplicado aos dez pacientes do setor de hemodialises de um

certo hospital, fornecendo os dados da tabela a seguir:

Paciente Escolaridade Idade Hematocritos (%) Anos da doenca1 Superior 34 0,40 52 Superior 43 0,37 83 Superior 41 0,36 64 Medio 37 0,39 85 Medio 24 0,50 36 Medio 25 0,48 27 Medio 27 0,46 58 Fundamental 22 0,51 29 Fundamental 21 0,49 310 Fundamental 26 0,50 3

(a) (0,4 pontos). Quais sao as variaveis em estudo? Classifique cada uma delas.

Resposta:

As variaveis sao as seguintes:

Escolaridade do paciente: fundamental, medio ou superior. Variavel qualitativa ordinal.

Idade do paciente em anos. Variavel quantitativa contınua.

Percentagem de hematocritos do paciente. Variavel quantitativa contınua.

Tempo de doenca do paciente em anos. Variavel quantitativa contınua.

�

(b) (1,0 pontos). Calcule a media e a mediana dos hematocritos para os 10 pacientes.Resposta:Media (x)

x =

∑ni=1 xi

n

=0, 40 + 0, 37 + 0, 36 + 0, 39 + 0, 50 + 0, 48 + 0, 46 + 0, 51 + 0, 49 + 0, 50

10= 0, 446




Mediana (Md)

Primeiro ordenamos os dados: 0,36 0,37 0,39 0,40 0,46 0,48 0,49 0,50 0,50 0,51; e calcu-

lamos a posicao da mediana como n+12

= 10+12

= 5, 5. Neste caso como n e par entao a

mediana e a media dos dados nas duas posicoes centrais, os seja, nas posicoes 5 e 6, deste

modo, temos: Md =0,46+0,48

2= 0, 47 �

(c) (1,3 pontos). Calcule a mediana do tempo de doenca dos pacientes. Considerando o valor

obtido, construa dois grupos: pacientes recentes (R), com numero de anos de doenca me-

nor ou igual a mediana, e pacientes antigos (A), com tempo de doenca superior a mediana.

Calcule media e desvio padrao de hematocritos para cada grupo.

Resposta:

Mediana do tempo de doenca dos pacientes. Dados ordenados: 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 8, 8;

entao Md =3+52

= 4. �

Hematocritos (%)Medidas Pacientes Pacientesdescritivas recentes (R) antigos (A)

0,50 0,400,48 0,370,51 0,360,49 0,390,50 0,46

Media (x) 0,496 0,396Desvio padrao (s) 0,0114 0,0391

(d) (0,6 pontos). Calcule o desvio padrao e o coeficiente de variacao de hematocritos para os

grupos em (c). Qual e mais homogeneo?

Resposta:

Para o grupo de pacientes recentes, CV = (s/x) × 100% = 0, 01140175/0, 496 × 100% =

2, 298741% = 2, 30%.

Para o grupo de pacientes antigos, CV = (s/x) × 100% = 0, 03911521/0, 396 × 100% =

9.877579% = 9, 88%.

Entao o grupo de pacientes recentes e mais homogeneo pois tem menor CV . �


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