GABARITO - 4a Lista de Exercıcios

Universidade Federal da Bahia - UFBADepartamento de Ciencia da Computacao - DCC

MAT174 - Calculo Numerico

May 21, 2014

Questao 01 - Seja y = f(x) uma funcao definida nos pontos: (0.00; 1.35) e (1.00;2.94),de-terminar o valor aproximado de f(0.73)

• Como possuimos apenas 2 pontos so podemos interpolar para um polinomio de grau 1. Ouseja, vamos utilizar a Interpolacao Linear para isso.

• P1(x) = a1x + a0 {a1x0 + a0 = y0a1x1 + a0 = y1

• P1(x) = a1x + a0 {a10 + a0 = 1.35a11 + a0 = 2.94

• P1(x) = 1.59x + 1.35

• P1(0.73) = 1.59× 0.73 + 1.35 = 2.51

Questao 02 - Seja f(x) = x2− 3x+ 1, usando os valores de x (x1 = 1.0 e x2 = 1.5) e osrespectivos valores f(x1) e f(x2), calcule:

a) O valor aproximado para f(1.2)

• Como temos 2 pontos, podemos utilizar Interpolacao Linear:

• Para calcularmos o valor de f(1.2), teremos:

P1(x) = a1x + a0P1(1) = a1 × 1.0 + a0 = −1

P1(2) = a1 × 1.5 + a0 = −1.25

• P1(x) = −0.5x− 0.5→ P1(1.2) = −1.10

b) O Erro de Truncamento

1

• Agora podemos calcular o Erro de Truncamento atraves da Formula de ET para InterpolacaoLinear:

ET = (x− x0)(x− x1) f′′(ξ)2

• f(x) = x2 − 3x + 1

• f ′′(x) = 2

• ∀xf ′′(x) = 2, logo podemos substituir na formula do Erro de Truncamento...

ET = (x− x0)(x− x1) 22 → (1.2− 1)(1.2− 1.5)× 1 = −0.06

Questao 03 - Dada a tabela abaixo, encontrar o P2(x):

i xi yi0 0.0 0.0001 π/6 0.3282 π/4 0.560

• Como temos 3 pontos, podemos utilizar a Interpolacao Quadratica para calcular um polinomiode grau 2 {

P2(0) = a202 + a10 + a0 = 0

P2(π/6) = a2(π/6)2 + a1(π/6) + a0 = 0.328

P2(π/4) = a2(π/4)2 + a1(π/4) + a0 = 0.560

• Ao final, teremos o polinomio:

P2(x) = 0.333x2 + 0.452x

Questao 04 - Determinar o polinomio de interpolacao de Lagrange para a funcaocom ospontos abaixo e calcular P3(0.3):

i xi yi0 0.0 0.0001 0.2 2.0082 0.4 4.0643 0.5 5.125

• Como utilizaremos a Formula de Lagrange com n=3, teremos:

P3(x) =3∑i=0

yi ×3∏

j=0i 6=j

(x−xj)(xi−xj)

• Expandindo a formula, teremos:

2

P3(x) = y0(x−x1)(x−x2)(x−x3)

(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)+ y1

(x−x0)(x−x2)(x−x3)(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)

+ y2(x−x0)(x−x1)(x−x3)

(x2−x0)(x2−x1)(x2−x3)+

y3(x−x0)(x−x1)(x−x2)

(x3−x0)(x3−x1)(x3−x2)

P3(x) = x3 + 10x

• Substituindo com os pontos conhecidos da tabela:

P3(0.3) = 0 (0.3−0.2)(0.3−0.4)(0.3−0.5)(0−0.2)(0−0.4)(0−0.5) + 2.008 (0.3−0)(0.3−0.4)(0.3−0.5)

(0.2−0)(0.2−0.4)(0.2−0.5) +

4.064 (0.3−0)(0.3−0.2)(0.3−0.5)(0.4−0)(0.4−0.2)(0.4−0.5) + 5.125 (0.3−0)(0.3−0.2)(0.3−0.4)

(0.5−0)(0.5−0.2)(0.5−0.4)

P3(0.3) = 0.33 + 10× 0.3 = 3.027

Questao 05 - Usando os conceitos de Diferencas Divididas, determinar o valor f(0.4)usando os seguintes pontos:

i xi yi0 0.0 1.0081 0.2 1.0642 0.3 1.1253 0.5 1.3434 0.6 1.512

• Como usaremos a Formula de Newton, precisamos calcular a Tabela de Diferencas Divididas:

i xi yi f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2] f [xi, xi+1, xi+2, xi+3] f [xi, xi+1, , xi+2, xi+3, xi+4]0 0.0 1.008 0.28 1.1 1.0 01 0.2 1.064 0.61 1.6 1.0 —-2 0.3 1.125 1.09 2 —- —-3 0.5 1.343 1.69 —- —- —-4 0.6 1.512 —- —- —- —-

• Apos o calculo das Diferencas Dividas, precisamos expandir a Formula de Newton para n =4. Ou seja, interpolaremos para um P4(x):

P4(x) = y0 + (x− x0)× f [x0, x1] + (x− x0)(x− x1)× f [x0, x1, x2] + (x− x0)(x− x1)(x−x2)× f [x0, x1, x2, x3] + (x− x0)(x− x1)(x− x2)(x− x3)× f [x0, x1, x2, x3, x4]

• Substituindo os pontos conhecidos da tabela:

P4(0.4) = 1.008 + (0.4− 0)× 0.28 + (0.4− 0)(0.4− 0.2)× 1.1 + (0.4− 0)(0.4− 0.2)(0.4−0.3)× 1.0 + (0.4− 0)(0.4− 0.2)(0.4− 0.3)(0.4− 0.5)× 0

Questao 06 - Construir a tabela de Diferencas Finitas a partir da tabela de pontosabaixo e calcular o valor de P4(6.0):

3

i xi yi0 3.5 9.821 4.0 10.912 4.5 12.053 5.0 13.144 5.5 16.19

• Como usaremos a Formula de Gregory-Newton, precisamos calcular a Tabela de DiferencasFinitas:

i xi yi ∆yi ∆2yi ∆3yi ∆4yi0 3.5 9.82 1.09 0.05 -0.1 2.111 4.0 10.91 1.14 -0.05 2.01 —-2 4.5 12.05 1.09 1.96 —- —-3 5.0 13.14 3.05 —- —- —-4 5.5 16.19 —- —- —- —-

• Precisamos calcular o valor da variavel z:

z = x−x0

h → 6.0−3.50.5 = 5

• Apos o calculo das Diferencas Finitas, precisamos expandir a Formula de Gregory- para n =4. Ou seja, interpolaremos para um P4(x):

P4(x) = y0 + z1!∆

1y0 + z(z−1)2! ∆2y0 + z(z−1)(z−2)

3! ∆3y0 + z(z−1)(z−2)(z−3)4! ∆4y0

• Substituindo os pontos conhecidos da tabela:

P4(x) = 9.82 + 511.09 + 5(5−1)

2 0.05 + 5(5−1)(5−2)6 − 0.1 + 5(5−1)(5−2)(5−3)

24 2.11 = 25.32

4