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Segunda prova de Analise I - 04/07/2012

Prof. - Juliana Coelho

QUESTAO 1 (3,0 pts) - Sejam a, b R com a < b.

(a) Mostre que anao e ponto interior de [a, b).

Resp.: Lembre que um ponto x e interior a um conjunto X se existe > 0 tal

que

(x , x+) X.

Agora note que se tomarmos >0 tal que < , temos que

a < a < a

e logo a (a , a+) mas a [a, b). Assim

(a , a+) [a, b),

mostrando que a nao e ponto interior de [a, b).

(b) Mostre que b e um ponto aderente a [a, b).

Resp.: Lembre que um ponto x e aderente a um conjunto X se existe uma

sequencia de pontos xn Xtal que lim xn = x. Agora note quexn = b b a

n e

tal que xn [a, b) para todo n N. De fato, como a < bentao b a >0 e portanto

(b a)/n >0 implicando que

xn=b b an

< b,

e tambem, como n 1 temos que (b a) (b a)/no que implica que

a= b (b a) b b a

n =x

n.

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Assim, temosa xn< bmostrando que xn [a, b). Alem disso, temos que

lim xn

= lim

b

b a

n

=b (b a)lim

1

n=b 0 =b.

Assim (xn

) e uma sequencia de pontos em [a, b) convergindo a b, o que mostra que

b e aderente a [a, b).

(c) Mostre que [a, b) e um conjunto que nao e aberto nem fechado.

Resp.: Lembre que um conjunto X e aberto se todo ponto de X e interior a X.

Vemos entao que [a, b) nao e aberto, pois a [a, b) nao e ponto interior.Lembre que um conjuntoX e fechado se contem todos os seus pontos de aderencia.

Vemos entao [a, b) nao e fechado, poisb e ponto aderente a [a, b) mas b [a, b).

QUESTAO 2 (1,5 pts) - Prove apenas um dos dois limites abaixo:

limx0+

1

x= + OU lim

x

1

x= 0.

(Se ambos os limites forem resolvidos, cada um valera metade da questao.)

Resp.: Para provar que limx0+

1

x = + temos que mostrar que, para qualquer

A >0 dado, e possvel encontrar >0 tal que

x (0, 0 +) 1

x> A.

Agora, como A >0, temos que

1

x> A

1

A> x.

Logo tomando = 1/Atemos que

x (0, ) = (0, 1/A) 0< x < 1

A

1

x> A

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mostrando que limx0+

1

x

= +.

Para provar que limx

1

x = 0 temos que mostrar que para qualquer > 0 e

possvel encontrar A >0 tal que

x < A

1x 0 < .

Agora, como |x| e sempre nao-negativo e >0, temos que

1

x 0

= 1

|x|<

1

< |x| x >

1

ou x <

1

.

Assim, tomandoA= 1/temos que

x < A

1x 0 <

mostrando que

limx

1

x= 0.

(Note que o mesmo raciocnio mostra que limx

1

x= 0.)

QUESTAO 3 - Sejam a, b Rcom a = 0 e seja f : R Rdada por f(x) =ax + b.

(a) (1,5 pts) Mostre que limx1

f(x) =a+b.

Resp.: Precisamos mostrar que, para qualquer >0 dado, e possvel encontrar

>0 tal que

0< |x 1| < |f(x) (a+b)| < .

Agora note que

|f(x) (a+b)| = |ax+b a b| = |ax a| = |a| |x 1|

e logo, como a = 0, temos que

|f(x) (a+b)| < |a| |x 1| < |x 1| <

|a|.

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Assim, tomando= /|a| temos que

0< |x 1| < |f(x) (a+b)| <

mostrando que limx1

f(x) =a+b.

(b) (1,5 pts) Mostre que f(x) e contnua.

Resp.: Precisamos mostrar quef(x) e contnua em todo ponto x0 R, isto e,

que para qualquer >0 dado, e possvel encontrar >0 tal que

|x x0| < |f(x) f(x0)| < .

Agora note que

|f(x) f(x0)| = |(ax+b) (ax0+b)| = |ax ax0| = |a| |x x0|

(note que isto ja mostra que a funcao e Lipschtziana, e portanto absolutamente

contnua.) Assim, como a = 0, temos que

|f(x) f(x0)| < |a| |x x0| < |x x0| <

|a|.

Assim, tomando= /|a| temos que

|x x0| < |f(x) f(x0)| <

mostrando que f e contnua em todo x0 R.

QUESTAO 4 (2,0 pts) - Sejam f, g :X R duas funcoes e seja a X. Suponha

que f(x) e limitada e que limxa

g(x) = +. Mostre que limxa

f(x)

g(x)

= 0.

Resp.: Temos que mostrar que para todo >0 dado podemos encontrar >0

tal que se x X temos

0< |x a| <

f(x)g(x) 0 < .

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Agora, como f e limitada entao existe C >0 tal que

|f(x)| < C para todo x X.

Alem disso, como limxa

g(x) = + entao, para todo A > 0 dado, existe > 0 tal

que se x X entao

0< |x a| < g(x)> A.

Assim,

0< |x a| <

f(x)

g(x) 0

=

|f(x)|

|g(x)| 0 tal que (a , a+) A.

Agora, como a A entao f(a) = 0. Temos dois casos a considerar:

Suponha primeiro que f(a)< 0. Como f e contnua ema entao para todo >0

dado existe >0 tal que

x (a , a+) f(a) < f(x)< f(a) +.

Tomando < f(a) teremos que se x (a , a+) entao f(x) < f(a) + < 0.

Em particular, f(x) = 0 mostrando que x A. Assim

x (a , a+) x A

mostrando que (a , a+) A.Suponha agora que f(a) > 0. Novamente, como f e contnua em a entao para

todo >0 dado existe >0 tal que

x (a , a+) f(a) < f(x)< f(a) +.

De modo analogo ao caso anterior, tomando < f(a) teremos que sex (a, a+)

entao 0< f(a) < f(x). Em particular,f(x) = 0 mostrando que x A. Assim

x (a , a+) x A

mostrando que (a , a+) A.

Assim, em ambos os casos mostramos que todo a e um ponto interior de A, ou

seja, que A e um conjunto aberto.

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