COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III

APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA 2014PROFESSORES: MARIA HELENA / WALTER TADEU

AULA 5: Trigonometria

QUESTES - GABARITO1. (UERJ) Um holofote est situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do cho. Ele ilumina, em movimento de vaivm, uma parte desse cho, do ponto C ao ponto D, alinhados base B, conforme demonstra a figura a seguir. Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ngulo CD corresponde a:

a) 60 b) 45 c) 30 d) 15Soluo 1. Escrevendo as relaes das tangentes e utilizando a frmula da tangente da soma dos ngulos x e y, temos:

.Soluo 2. Calculando as distncias d = AC, t = AD e utilizando a Lei dos cossenos, temos:

.2. (UERJ) Observe a bicicleta e tabela trigonomtrica. Os centros das rodas esto a uma distncia igual a 120cm e os raios e medem respectivamente 25cm e 52cm. De acordo com a tabela, qual o valor do ngulo ?

a) 10 b) 12 c) 13 d) 14Soluo. Traando uma paralela ao segmento AB e utilizando a razo trigonomtrica do seno, temos:

.

De acordo com a tabela, x = 13.3. (ENEM) Considere um ponto P em uma circunferncia de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeo ortogonal de P sobre o eixo X, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horrio, uma distncia sobre a circunferncia. Ento o ponto Q percorrer, no eixo X, uma distncia dada por:

a) b) c) d) e)

Soluo. A figura mostra que o ponto P se desloca at P e sua projeo Q para Q. A distncia d percorre um arco de comprimento d = r.a, onde a o ngulo central em radianos.

A distncia no eixo X, pedida, . No tringulo hachurado x o cateto adjacente ao ngulo a de hipotenusa r.

Aplicando a razo trigonomtrica do cosseno, temos:

.4. (UERJ) Considere o tringulo ABC mostrado, onde os ngulos A, B e C esto em progresso aritmtica crescente. Determine os valores de cada um desses ngulos, respectivamente, sabendo que:

a) ; b) .Soluo 1. Considerando trs termos em PA como x r, x, x + r, a soma ser (x r + x + x + r) = 3x. Representando os ngulos do tringulo como esse trio e sabendo que a soma dos ngulos internos vale 180, temos:

.

Calculando as expresses dos senos e utilizando a condio, temos:

.Soluo 2. Considerando trs termos em PA como (x r), x, (x + r), temos:

. 5. Considere um relgio cujo ponteiro maior mede e determina um crculo centrado na origem de um referencial cartesiano ortogonal. No instante em que o relgio marcar exatamente 3h10min, a extremidade do ponteiro maior estar indicando o ponto cujas coordenadas so:

a) b) c) d)

Soluo. As coordenadas de P so (x0, y0). Cada coordenada representa a distncia at a origem. O ponteiro maior est na direo do algarismo 2. O ngulo formado pelo ponteiro maior e o eixo X de 30, pois cada arco entre os nmeros mede, em graus, 30. Utilizando as razes trigonomtricas, temos:

.6. (UERJ) Alguns clculos matemticos ficam mais simples quando usamos identidades, tais como:

a2 b2 = (a + b)(a b); a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 e a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2)Considerando essas identidades, calcule o valor numrico racionais mais simples da expresso:

.Soluo. Escrevendo E como a 3 identidade, temos:

.Substituindo (ii) em (i), temos:

.7. (FUVEST) No triangulo acutgulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede , o ngulo interno de vrtice C mede , e o ngulo interno de vrtice B mede /2. Sabe-se, tambm, que 2cos(2) + 3cos + 1 = 0.

Nessas condies, calcule: a) o valor de sen; b) a medida do lado AC.Soluo. Utilizando as substituies convenientes, temos:a) .

b) O ngulo A mede . Utilizando a adio do arco metade, temos:

.Aplicando a Lei dos Senos, vem: .8. (UERJ) Considere o ngulo segundo o qual um observador v uma torre. Esse ngulo duplica quando ele se aproxima 160m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100m, como mostra o esquema:

A altura da torre, em metros, equivale a:a) 96 b) 98 c) 100 d) 102

Soluo. Analisando os tringulos, temos:

i) O ngulo (2x) externo e vale a soma de (x + y). Logo, 2x = x + y => x = y.

Esse tringulo issceles.ii) O ngulo (4x) externo e vale a soma de (2x + t). Logo, 4x = 2x + t => 2x = t. Esse tringulo tambm issceles.

iii) Utilizando os senos de (2x) e (4x),temos:

.9. (UERJ) O preo dos produtos agrcolas oscila de acordo com a safra de cada um: mais baixo no perodo da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preo aproximado P, em reais, do quilograma de tomates seja dado pela funo na qual t o nmero de dias contados de 1 de janeiro at 31 de dezembro de um determinado ano. Para esse tempo, calcule:

a) o maior e o menor preo do quilograma de tomates;

Soluo. O maior preo ser obtido quando o valor do seno for mximo. Isto , igual a (1).

.

O menor preo ser obtido quando o valor do seno for mnimo. Isto , igual a ( 1).

.

b) os valores t para os quais o preo P seja igual a R$3,10.

Soluo. Substituindo na frmula o valor indicado, temos:

.

O preo ser de R$3,10 para t = 131 dias ou t = 251 dias.

10. (UERJ Se , e + so trs ngulos diferentes de , ento . Se a, b e c so trs ngulos agudos, sendo e , calcule .

Soluo. Utilizando a substituio t = (a + c), temos:

.

11. (UERJ) A imagem mostra uma pessoa em uma asa-delta. O esquema abaixo representa a vela da asa-delta, que consiste em dois tringulos issceles ABC e ABD congruentes, com AC = AB = AD. A medida de AB corresponde ao comprimento da quilha. Quando esticada em um plano, essa vela forma um ngulo CD = 2(. Suponha que, para planar, a relao ideal seja de 10dm2 de vela para cada 0,5kg de massa total. Considere, agora, uma asa-delta de 15kg que planar com uma pessoa de 75kg. De acordo com a relao ideal, o comprimento da quilha, em metros, igual raiz quadrada de:a) 9 cos( b) 18 sen( c) d)

Soluo. As areas A1 e A2 so iguais. Calculando as reas e encontrando a relao procurada, temos:

.

12. (UERJ) Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetria circular de modo que as direes dos deslocamentos das rodas mantm sempre um ngulo de 60. O dimetro da roda traseira dessa bicicleta igual metade do dimetro de sua roda dianteira. O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante do percurso. Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N1 o nmero de voltas dadas pela roda traseira e N2 o nmero de voltas dadas pela roda dianteira em torno de seus respectivos eixos de rotao.

A razo igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Soluo. Considere r, R os raios da menor e maior trajetria de 1 volta das rodas. Considere ainda, RT e RD os raios das rodas traseiras e dianteiras.

i) Uma volta da roda traseira possui comprimento . O comprimento da trajetria Tr efetuada pela roda traseira ser . Mas esse valor comprimento da trajetria menor: . Temos: .

ii) A roda dianteira completa uma volta em seu eixo de comprimento . A trajetria Td da roda dianteira ser . Mas esse valor comprimento da trajetria maior: .

Temos: .Observando o tringulo retngulo (30, 60 e 90), temos: . O problema informa que RD = 2.RT. Substituindo e calculando a razo, temos: .13. (UERJ) Uma mquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distncia entre seus centros A e B igual a 11cm, como mostra o esquema.Sabe-se que a engrenagem menor d 1000 voltas no mesmo tempo em que a maior d 375 voltas, e que os comprimentos dos dentes de ambas tm valores desprezveis. A medida, em centmetros, do raio da engrenagem menor equivale a:

a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,0Soluo. Considere r o raio da engrenagem menor e R o raio da engrenagem maior. No mesmo tempo, temos:

.

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