GEODSIA APLICADA_EduardoXX

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GEODESIA APLICADA

JUNHO 2010

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GEODÉSIA APLICADA

Elaborado por :

Prof. MSc. Fábio Campus de Macedo

Atualizada por :

Prof. MSc. Eduardo de Magalhães Barbosa

[email protected]

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1. Introdução

1.1 Conceito de Geodésia

Geodésia é a ciência que estuda a forma e as dimensões da Terra. A palavra

“geodésia” tem origem grega e significa “particionando a Terra”.

Geodésia: é a ciência que tem por objetivo determinar a forma e as

dimensões da Terra, bem como os parâmetros definidores de seu campo da

gravidade e suas variações temporais (Gemael, 1999). No entanto vários cursos no exterior tem mudado o nome de Geodésia ou

Surveying – para Geomática. No Brasil, o Departamento mais tradicional da área

(UFPR), mudou o nome para Departamento de Geomática. Mas não se trata de um

assunto de ampla aceitação pela comunidade. No caso da Geomática pode ser

considerada como um campo de atividades que integra todos os meios utilizados

para a aquisição, armazenagem, análise, apresentação, distribuição e

gerenciamento de dados espaciais necessários às tomadas de decisão nas áreas

técnicas, administrativas, legais e científicas (Monico,2008).

“Geomática: Ciência e tecnologia para obtenção, análise,

interpretação, distribuição e uso da informação espacial”

1.2 Objetivo

A geodésia tem o objetivo de determinar, através de observações de campo,

a forma e o tamanho da Terra, as coordenadas de pontos, dimensões de linhas da

superfície terrestre e as variações do campo de gravidade, integrando-se

diretamente com a geofísica, geologia, geodinâmica e dinâmica orbital de satélites.

1.3 Histórico da Geodésia

O ser humano sentiu necessidade de se posicionar quando se deu o início de

suas primeiras viagens, ou seja, ter conhecimento do posicionamento e do seu

deslocamento.

Em palavras simples, navegar significa saber onde se está e para onde se

vai, ou seja, saber ir e voltar. A natureza está repleta de exemplos de grandes

navegadores: aves, peixes, mamíferos, insetos, etc. Os recursos de que necessitam

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para navegar dependem das características da viagem que devem realizar, assim

como a distância e o meio (terrestre, aéreo, aquático, etc).

Sejam quais forem os recursos que o homem disponha para a navegação, o

conhecimento da forma da Terra e a adoção de um referencial adequado são

fundamentais.

Pouca documentação das realizações geodésicas das civilizações antigas

(Egípcios, Chineses, Indianos...) tem sobrevivido. Os primeiros documentos sobre

Geodésia são da época de Thales de Miletus (625-547 AC – fundador da

trigonometria – Terra como um disco flutuando no oceano), Anaximander of Miletus

(580 – 500 AC – Terra como um cilindro); a escola de Pitágoras (580 – 500 AC – a

primeira a pensar numa Terra esférica).

Os estudantes gregos de Geodésia incluem Aristóteles (384-322 AC –

especulou sobre gravidade e apresentou primeiros argumentos sobre a esfericidade

da Terra).

As partículas têm uma tendência natural, assegurava ele, de cair para o

centro do mundo (uma direção para baixo). Neste movimento todas as partes

competem entre si para se colocarem na parte mais baixa, os que as levam a se

comprimirem na forma de uma bola. Além deste argumento de caráter gravitacional,

Aristóteles lembrou ainda de dois outros argumentos: a sombracircular da Terra nos

eclipses de lua e a variação no aspecto do céu estrelado com a variação da latitude.

Erastóstenes (276-194 AC) – a primeira medida do tamanho da Terra com

razoável precisão (não levada a sério por 17 séculos – e a idéia de obliqüidade do

eixo de rotação da Terra).

Durante muitos séculos, a concepção esférica para a Terra perdurou, até

esbarrar nas análises do cientista Newton (Século XVII). Segundo ele, a forma

esférica era incompatível com o movimento de rotação da Terra. Este movimento,

devido a força centrífuga, impõe um achatamento nos pólos, abrindo então a fase

elipsoidal que durou muito pouco, se comparada com a fase esférica.

O famoso matemático alemão C.F. Gauss (Século XVIII-XIX) descobriu que o

modelo matemático adotado para a Terra, ou seja, o elipsóide de revolução, não era

adequado. Surgiu então uma forma levemente irregular mais tarde denominada de

“geóide”.

Entretanto, como referência para a definição de um sistema de coordenadas,

continua-se utilizando um elipsóide de revolução.

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Fixada e aceita a forma da Terra, os métodos e técnicas de posicionar um

ponto da sua superfície em relação a um referencial ganharam cada vez mais

importância e precisão. Assim é que as chamadas TRIANGULAÇÕES

GEODÉSICAS surgiram, em geral quadriláteros subdivididos em triângulos,

iniciadas no século XVII na França e passaram a ter um grande desenvolvimento.

Aliadas às observações astronômicas e eventualmente complementadas com

algumas variantes, como poligonais eletrônicas, elas se constituíram, durante vários

séculos, como o único método de determinação “precisa” das coordenadas em

pontos (vértices) da superfície terrestre.

A partir da década de 60, surgiram métodos de obtenção da posição de

pontos sobre a superfície terrestre, através do uso de satélites artificiais,

alavancados pelo lançamento do primeiro satélite artificial, o SPUTINIK I (4 de

outubro de 1957). O primeiro sistema de posicionamento por satélites, entrou em

operação em 1967, denominado NAVY NAVIGATION SATELLITE SYSTEM

(NNSS), também conhecido como TRANSIT. Posteriormente, outros sistemas

surgiram, como por exemplo, o sistema denominado GPS, GONASS e Galileo.

1.4 Geodésia no Brasil

Os primeiros levantamentos geodésicos surgiram no Brasil a partir de

novembro de 1939, através do órgão denominado Conselho Nacional de Geografia,

sob responsabilidade do professor Allyrio Huguenecy de Mattos. Estes primeiros

trabalhos surgiram porque inúmeras cidades e vilas do Brasil não apresentavam

suas posições geográficas (Latitude e Longitude), para atualização da Carta do

Brasil ao Milionésimo, inicialmente definida em 1922. A atualização da Carta do

Brasil seria necessária para estabelecer o Recenseamento Geral do Brasil de 1940

(levantamentos estatísticos).

No período entre 1939 e 1943, 14 engenheiros do Conselho Nacional

determinaram 602 coordenadas em cidades e vilas de diferentes unidades da

Federação. Estes trabalhos foram executados dentro da “Campanha de

Coordenadas Astronômicas das Sedes Municipais”.

Em 17 de maio de 1944, com a medição da base geodésica nas

proximidades da cidade de Goiânia, o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e

Estatística) iniciava o estabelecimento sistemático da componente planimétrica do

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Sistema Geodésico Brasileiro, seguindo-se em 13 de outubro de 1945 o inicio da

medição da componente vertical.

Os trabalhos idealizados e conduzidos pelo professor Allyrio Huguenecy de

Mattos, tiveram continuidade até os dias atuais, acompanhando os avanços

tecnológicos, estabelecendo-se um conjunto com cerca de 87.000 estações

geodésicas materializadas no terreno (dados de 1999).

1.5 Divisão da Geodésia

A geodésia pode ser dividida em três capítulos, ou seja:

� Geodésia Geométrica : compreende o conjunto de operações

geométricas, realizadas sobre a superfície terrestre (medições

angulares, medições lineares, nivelamentos), associadas a esparsas

determinações astronômicas (Latitude, Longitude e Azimute).

� Geodésia Física : compreende o conjunto de medições gravimétricas

que podem conduzir a um conhecimento detalhado do campo

gravitacional da Terra (estuda a direção e magnitude da força que

mantém os corpos na superfície a atmosfera terrestre).

� Geodésia Celeste : estuda o conjunto de conhecimentos necessários

à determinação da posição de pontos sobre a superfície terrestre,

através do uso de satélites artificiais.

2. Tipos de Superfícies Estudadas em Geodésia (geométrica)

Existem três superfícies que rotineiramente envolvem o geodesista ou

necessitem de posicionamento, ou seja:

� Superfície Física (SF):

local onde nos encontramos e executamos todas as operações geodésicas.

� Superfície Elipsoidal:

revolução, figura matemática gerada pela rotação de uma elipse em torno de

seu eixo menor. É a superfície ao longo do qual são reali

geodésicos.

� Superfície Geoidal

geométrica chamada “geóide”.Esta superfície é equipotencial do campo da

gravidade que melhor se aproxima do nível médio dos mar

estender internamente ao corpo sólido da Terra.

Superfície Equipotencial

potencial. Entre as infinitas superfícies equipotenciais, a que mias se aproxima do

nível médio dos mares correspondente ao ge

acham-se sujeitos a uma força que resulta da força de atração e da força

decorrente do movimento de rotação da Terra.

Superfícies Estudadas em Geodésia (geométrica)

Existem três superfícies que rotineiramente envolvem o geodesista ou

necessitem de posicionamento, ou seja:

Superfície Física (SF): esta superfície é limitada ao relevo topográfico. É o

ontramos e executamos todas as operações geodésicas.

Superfície Elipsoidal: esta superfície é limitante de um elipsóide de


seu eixo menor. É a superfície ao longo do qual são realizados os cálculos

Elipsóide de Revolução

Superfície Geoidal : conceitualmente mais complicada e limita uma forma


gravidade que melhor se aproxima do nível médio dos mar

estender internamente ao corpo sólido da Terra.

Superfície Equipotencial : é a superfície que une pontos de mesmo

Entre as infinitas superfícies equipotenciais, a que mias se aproxima do

médio dos mares correspondente ao geóide. Os corpos vinculados a Terra

se sujeitos a uma força que resulta da força de atração e da força

decorrente do movimento de rotação da Terra.

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Superfícies Estudadas em Geodésia (geométrica)

Existem três superfícies que rotineiramente envolvem o geodesista ou que

esta superfície é limitada ao relevo topográfico. É o

ontramos e executamos todas as operações geodésicas.

esta superfície é limitante de um elipsóide de


zados os cálculos

: conceitualmente mais complicada e limita uma forma


gravidade que melhor se aproxima do nível médio dos mares, podendo-se

: é a superfície que une pontos de mesmo

Entre as infinitas superfícies equipotenciais, a que mias se aproxima do

óide. Os corpos vinculados a Terra

se sujeitos a uma força que resulta da força de atração e da força centrífuga

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Geóide a partir de medidas do GRACE

2.1 Relação entre Elipsóide e Geóide

O geodesista encontra-se rotineiramente envolvido com três superfícies: a

superfície física (topográfica), a do modelo geométrico (elipsóide) e o geóide . A

Figura a seguir ilustra essas três quantidades de fundamental importância para as

atividades geodésicas.

Na figura são apresentados os seguintes elementos:

P - ponto sobre a superfície física.

A reta que passa por P perpendicular ao geóide define a direção de uma linha de

força chamada vertical (v).

A reta que passa por P’ perpendicular ao elipsóide define a direção de umalinha de

força chamada normal (n).

i - O ângulo que a vertical forma com a normal é chamada de “deflexão da vertical”

ou “ângulo de desvio da vertical”.

H - O comprimento medido entre o ponto sobre a superfície física (P) e o ponto P’

sobre o geóide é denominado “altitude ortométrica” (H). A altitude ortométrica é

obtida através de nivelamento geométrico associado a gravimetria.

N - O comprimento entre o geóide e o elipsóide medido sobre a linha de

denominado “ondulação geoidal”

geodésia física e hoje pode ser feito também a partir de

artificiais.

h – A altitude geométrica (

Q (ponto no elipsóide de revolução)

aproximada:

Figura: Relação entre Elipsóide e Geóide.

Sua

p. si Fí c

Geoide

Elipsóide

O comprimento entre o geóide e o elipsóide medido sobre a linha de

denominado “ondulação geoidal” (N). Seu cálculo é obtido tradicionalmente da

geodésia física e hoje pode ser feito também a partir de observações de satélites

A altitude geométrica (h), que é a distância existente entre o ponto

(ponto no elipsóide de revolução), pode ser medida usando a

Figura: Relação entre Elipsóide e Geóide.

H

N

i

P

P’

Q

NhH −≅

9

O comprimento entre o geóide e o elipsóide medido sobre a linha de força n é

tradicionalmente da

observações de satélites

), que é a distância existente entre o ponto P e o ponto

, pode ser medida usando a fórmula

10

3. Geometria do Elipsóide

O elipsóide é originário da figura geométrica denominada elipse.

3.1 Definição de Elipse

Seja num plano, dois pontos fixos F1 e F2, sendo que F1≠ F2. A distância

entre F1 e F2 é 2c (F1F2 = 2c). A elipse é o conjunto de pontos do plano cuja soma

das distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a, sendo que 2a > 2c.

F1F2 = 2c (distância focal) O = centro da elipse

A1A2 = 2a (eixo maior) F1 e F2 = focos da elipse

B1B2 = 2b (eixo menor)

Onde:

a = semi-eixo maior da elipse

b = semi-eixo menor da elipse

No triangulo B2OF2, temos:

a2 = b2 + c2 ∴ c = (a2 – b2)1/2

A1 A2

B1

B2

OF1 F2

b

aa

c

a

11

Propriedade: F1P + F2P = constante = 2ª

Fórmula geral: (considerando os focos no eixo maior)

3.2 Definição de Elipsóide

A fórmula geral para o elipsóide é

O elipsóide representado é dito escaleno, que na literatura geodésica é

denominado elipsóide triaxial, por conter três eixos desiguais.

OF1 F2

Z

X

ac

b

Y

Z

X

12

2

2

2

=+b

z

a

x

12

2

2

2

2

2

=++b

z

c

y

a

x

12

Elipsóide Triaxial

O elipsóide biaxial ou elipsóide de revolução é obtido fazendo-se a = c

Elipsóide Biaxial ou de Revolução

O elipsóide de revolução é a base para a geração de sistemas de referência

geodésicos, pois é a “fórmula matemática” da Terra.

É a forma geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse (geratriz) em

torno de um de seus eixos (eixo de revolução). Se este eixo for o menor teremos um

elipsóide “achatado”; no caso contrário será “alongado”. Em geodésia interessa-nos

o primeiro caso.

Fórmula: pelo fato de a = c, da fórmula anterior e

tem-se dois eixos distintos: a e b.

As seções produzidas por planos perpendiculares ao eixo de revolução são

circulares (paralelos e equador).

As seções produzidas pelos planos que contém o eixo de revolução são

elípticas (meridianos).

aa

b

Z

Y

X

12

2

2

22

=++b

z

a

yx

13

3.3 Parâmetros do Elipsóide de Revolução

Para definirmos um elipsóide de revolução, podemos fazê-lo de duas formas,

ou seja:

a) a e b (conhecendo-se os dois semi-eixos)

b) a e αααα (conhecendo-se o semi-eixo maior e o achatamento)

αααα: achatamento, também pode ser definido, em algumas literaturas, com a letra f.

(I)

3.4 Excentricidade

É a divergência de uma elipse em relação a uma circunferência

1a. Excentricidade (e)

Onde : c = F 1O = F2O = semidistância focal

ou (II)

2a. Excentricidade (e`)

(III)

na elipse, e < 1.

3.5 Relação entre Excentricidade e Achatamento

De (II) temos:

a

b

a

ba −=∴−= 1αα

a

OF

a

OFe 21 ==

2

222

22

a

bae

a

bae

−=∴−=

2

22 1

a

be −=

1'''2

22

2

222

2221 −=−=∴−===

b

ae

b

bae

b

ba

b

OF

b

OFe

222

2

11 ea

be

a

b −=∴−=

14

Substituindo-se em (I), temos:

3.6 Relação entre a 2ª. Excentricidade e a 1ª. Exce ntricidade

De (II), temos:

Substituindo em (III), temos:

(IV)

3.7 Alguns elipsóides terrestres utilizados em geod ésia

Nome Ano País a (m) α

BESSEL 1841 Alemanha 6.377.397,0 1/299,15

CLARKE 1866 E.U.A. 6.378.206,0 1/294,98

REF. INT. 1967 1967 Brasil - IBGE 6.378.160,0 1/298,25

HAYFORD 1909 Brasil – ant. 6.378.388,0 1/297,00

GRS 80 1980 Uso no GPS 6.378.137,0 1/298,257223563

3.8 Cálculo de Coordenadas Cartesianas de um Ponto em Função daLatitude

Geodésica (Coordenadas Bidimensionais)

M(x,z): ponto situado na linha meridiana, por onde passamos uma reta

tangente. Uma reta normal a esta tangente pelo ponto M cortará o eixo polar no

ponto H e o eixo equatorial no ponto D.

Por desenvolvimento matemático, temos as coordenadas x e z ponto M,

como sendo:

2/1222 )1(11111 eee −=−∴−=−∴−−= ααα

)1(.21))1(()1( 2222/122 ee −=+−⇒−=− ααα

)2.(.2.2 22222 αααααα −=∴−=∴+−=− eee

222).1( bae =−

)1(1

)1(

1'1

).1('

2

2

22

22

22

e

e

ee

ae

ae

−=−

−=∴−

−=

2/122

2

).1(

).e-(1 . a z

ϕϕ

sene

sen

−=

2/122 )sen.1(

cos . a x

ϕϕ

e−=

15

N’ = Pequena Normal

N = Grande Normal

QQ’ = Diâmetro equatorial

PP’ = Eixo Polar

O = Centro do Elipsóide

3.8.1 Cálculo de N (Grande Normal):

P

PN

PS

Equador

Normal

N

N'

H

D

S.F.

Z

X

M(x,z)x

z

ϕ

x

z

M(x,z)

Eq

2/122

2/122

).e-(1

aN

cos).1(

cos.

cos

xN

N.cosx)90(.NxN

x)90(

ϕϕϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕ

sensene

a

sensen

=∴−==

=∴−°=∴=−°

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3.8.2 Cálculo de N’ (Pequena Normal):

ou

3.9 Raio de Curvatura da Seção Meridiana (Rxz)

3.10 Raio de Curvatura da Seção 1º. Vertical (Ryz)

3.11 Raio Médio de Curvatura (Rm)

3.12 Raio do Paralelo (r)

2/122 ).1( ϕsene

aNRyz

−=⇒

2/122

2

2/122

2

).1(

)e-a.(1N'

).1().e-a.(1

N'sen

zN'

N'

zsen

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

sene

sensene

sen

−=

−=∴=∴=

)1.(' 2eNN −=

2/322

2

).1(

)1(

ϕsene

eaMRxz

−−=⇒

NMRm .=

2/122 ).1(

cos.

ϕϕ

sene

axr

−==

17

4 Sistemas de Referência Geodésicos

Em qualquer atividade de posicionamento geodésico, e em especial com o

GNSS, é de fundamental importância que a definição e a realização dos sistemas

de referência (celeste e terrestre) sejam apropriadas, precisas e consistentes. A

definição e a realização são imprescindíveis para modelar as observáveis,

descrever as órbitas dos satélites, representar, interpretar e, quando necessário,

transformar os resultados (MONICO, 2008).

Na definição de um sistema de referência é caracterizada pela idéia

conceitual do próprio sistema. Na literatura em inglês utiliza-se o termo reference

system. No conceito da mecânica de Newton, um referencial ideal seria aquele em

que a origem estivesse em repouso, ou em movimento retilíneo uniforme,

caracterizando-o como um referencial inercial. Atualmente, um sistema inercial é

definido por meio das posições de objetos extragaláticos, cujos movimentos próprios

são considerados desprezíveis.

– Num sistema de referência terrestre, a origem é o geocentro, que

possui aceleração em seu movimento de translação ao redor do sol;

muito embora pequena - referencial “quase-inercial”. Logo, a definição

pode ser bastante complexa.

– Além disso, envolvem fatores relacionados à deformação da Terra a

nível global, regional e local, bem como outros.

– Faz parte ainda da definição, a teoria fundamental envolvida e os

padrões adotados.

Uma vez definido, todos os modelos, constantes numéricas e algoritmos são

claramente especificados. Eles proporcionam a origem, escala e orientação do

sistema, bem como sua evolução temporal.

Quando um referencial é definido e adotado convencionalmente, a etapa

seguinte é caracterizada pela coleta de observações a partir de pontos sobre a

superfície terrestre (rede) ou próximos a ela, devidamente monumentalizados

(reference frame). Fazem parte ainda o processamento e a análise bem como a

divulgação dos resultados, que é essencialmente , um catálogo de coordenadas

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associadas a uma época de referência. As coordenadas podem vir acompanhadas

de suas respectivas velocidades e precisão.

Uma vez realizado ou materializado o referencial, um outro aspecto muito

importante diz respeito à sua densificação, procedimento que, no caso terrestre,

visa aumentar a densidade de estações. Logo, a densificação passa a ser uma

expansão da materialização.

No posicionamento por satélites, os sistemas de referências adotados são,

em geral, globais e geocêntricos, haja vista que o movimento dos satélites é ao

redor do centro de massa da Terra. As estações terrestres são, normalmente,

representadas num sistema fixo à Terra, e rotaciona com ela (sistema terrestre). O

movimento do satélite é melhor descrito no sistema de coordenadas equatoriais

(sistema celeste).

Um aspecto que chama a atenção é que a grande maioria dos levantamentos

realizados no mundo até pouco tempo atrás está referenciada a sistemas regionais

(quase-geocêntrico) tal como a maioria dos documentos cartográficos. No caso do

Brasil, um dos referenciais do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) coincide com o

Sistema de Referência da América do Sul (SAD 69: South American Datum of

1969), o qual não é geocêntrico. A tendência mundial aponta para a adoção de um

sistema geocêntrico, não só para fins geodésicos, mas também para fins de

mapeamento (MONICO, 2008).

4.1 Coordenadas Geográficas

4.1.1 Coordenadas Geodésicas

A posição de um ponto na superfície física da Terra é definida por suas

coordenadas geodésicas (latitude, longitude, altura geométrica), considerando-se

um elipsóide de revolução.

19

IRM – Meridiano Internacional de Referência IRP – Pólo Internacional de Referência

A reta normal ao elipsóide conduzida a partir do ponto P sobre a Superfície

Física; o ângulo que essa normal forma com a sua projeção equatorial é a Latitude

Geodésica ϕG ou φφφφG de qualquer ponto da normal. Podemos também considerá-la

como a latitude elipsóidica de P’, projeção normal de P sobre o elipsóide.

O arco formado entre o meridiano de Greenwich e o meridiano do ponto P

(diedro formado pelos meridianos), medido sobre o Equador é chamado de

Longitude Geodésica λλλλG, sendo positivo a leste de Greenwich e negativo à oeste

deste meridiano. Podemos também considerá-lo como a longitude elipsóidica .

Além da latitude (ϕG) e da longitude (λλλλG) geodésicas, para definirmos sem

ambigüidade a posição do ponto P sobre a superfície terrestre, necessitamos de

uma terceira coordenada, ou seja, a distância entre o elipsóide e o ponto P ao longo

da normal. Esta terceira coordenada recebe o nome de Altitude Geométrica (h =

PP’):

h ≅ N + H onde: H → Altitude Ortométrica N → Ondulação Geoidal

4.1.2 Coordenadas Astronômicas

Ao trabalharmos com coordenadas astronômicas, consideramos, ao invés da

normal, a vertical do lugar. A Latitude Astronômica (φφφφA) é o ângulo formado pela

vertical e sua projeção sobre o plano do equador. A latitude astronômica, assim

como a geodésica, é medida de 0

hemisfério norte e negativa no hemisfério sul, por

A Longitude Astronômica (

astronômico médio de Greenwich e pelo merid

como a longitude geodésica, a longitude astronômica é positiva a

leste de Greenwich.

Enquanto as coordenadas geodésicas são referenciadas ao elipsóide, as

coordenadas astronômicas são referenciadas ao geó

de vertical do ponto P (reta tangente à linha de força nesse ponto).

4.2 Relação Entre as Coordenadas Geodésicas e Astro nômicas

Como citado anteriormente, as coordenadas astronômicas são

à direção vertical, enquanto que as coordenadas geodésicas ou

referenciadas à direção normal. As relações entre elas são os

“desvio da vertical”, ou seja:

ϕA - ϕG = ξξξξ (componente meridiana)

(λλλλA - λλλλG).cos(ϕG

Relação entre Latitude Geodésica e Latitude Astronômica.

como a geodésica, é medida de 0o a 90o com origem no equador, sendo positiva no

hemisfério norte e negativa no hemisfério sul, por convenção.

Longitude Astronômica ( λλλλA) é o ângulo diedro formado pelo

astronômico médio de Greenwich e pelo meridiano astronômico do

como a longitude geodésica, a longitude astronômica é positiva a leste e negativa a


coordenadas astronômicas são referenciadas ao geóide, devido ao próprio

de vertical do ponto P (reta tangente à linha de força nesse ponto).


Como citado anteriormente, as coordenadas astronômicas são

quanto que as coordenadas geodésicas ou

referenciadas à direção normal. As relações entre elas são os

“desvio da vertical”, ou seja:

(componente meridiana)

) = ηηηη (componente 1o vertical)

ão entre Latitude Geodésica e Latitude Astronômica.

(1997)

20

equador, sendo positiva no

é o ângulo diedro formado pelo meridiano

iano astronômico do ponto. Assim

leste e negativa a


ide, devido ao próprio conceito


Como citado anteriormente, as coordenadas astronômicas são referenciadas

quanto que as coordenadas geodésicas ou elipsóidicas são

componentes do

ão entre Latitude Geodésica e Latitude Astronômica. Fonte: Smith

21

4.3 DATUM – Conceito Tradicional

Escolhida a superfície de referencia (elipsóide de revolução) para as

coordenadas geodésicas, tem-se o que é denominado “Datum Geodésico

Horizontal” (D.G.H.).

Para que um sistema geodésico fique caracterizado é necessário fixar e

orientar o elipsóide no espaço.

A fixação é executada a partir da definição de um ponto de origem e a

atribuição, de alguma forma, de coordenadas geodésicas ϕG e λG para este ponto

e também a definição da ondulação geoidal (N). A orientação é definida por um

azimute de uma direção inicial.

Esta caracterização de um D.G.H. conduz a um conceito denominado

Sistema Geodésico Definido.

Todas as coordenadas obtidas de pontos sobre a superfície terrestre devem

ser amarradas ao DGH (ponto do origem).

4.3.1 DATUM no Brasil

A definição, implantação e manutenção do SGB (Sistema Geodésico

Brasileiro) é de responsabilidade do IBGE. Entre os componentes principais do SGB

estão as redes planimétrica, altimétrica e gravimétrica.

O referencial horizontal do SGB é definido sob a condição de paralelismo

com o CTRS. A figura geométrica da Terra é definida pelo Elipsóide South American

1969, o qual difere do de Referência 1967 em termos de achatamento.

Nessa definição o semi-eixo menor do elipsóide é paralelo ao eixo de rotação

da Terra, e o plano do meridiano origem é paralelo ao plano meridiano de

Greenwich, tal como definido pelo BIH.

O referencial altimétrico é materializado pela superfície equipotencial que

coincide com o nível médio do mar, definido pelas observações maregráficas

tomadas na baía de Imbituba, no litoral de Santa Catarina, no período de 1949 a

1957.

O SGB, como qualquer outro sistema geodésico de referência, pode ser

dividido em duas componentes: os data horizontal e vertical, e a rede de referência,

consistindo das coordenadas das estações monumentalizadas, as quais

representam a realização física do sistema

22

A rede horizontal teve sua implantação iniciada na década de 40. O primeiro

ajustamento foi realizado na década de 70 pelo IAGS (Inter American Geodetic

Survey) e foi conduzido em SAD 69. Foi utilizado o programa computacional

denominado HAVOC (Horizontal Adjustment by Variation of Coordinates).

Posteriormente, a densificação da rede era ajustada pelo IBGE empregando o

programa USHER (Users System for Horizontal Evaluation and Reduction). Na

metodologia empregada considerava-se a rede subdividida em áreas, sendo que as

coordenadas das estações de ligação eram injuncionadas como fixas, a partir das

coordenadas provenientes de um ajuste anterior. Esse procedimento inseriu

distorções na rede, o que era inevitável, face à limitação computacional da época,

que não permitia o processamento simultâneo de uma extensa massa de dados.

Em etapas posteriores a rede horizontal foi reajustada com o uso do

programa GHOST (Geodetic adjustment using Helmert blocking Of Space and

Terrestrial data), o qual é adequado para o ajustamento de redes geodésicas

tridimensionais, realizando a decomposição da rede em blocos (blocos de Helmert).

O programa permite a introdução dos vetores das diferenças de coordenadas

derivadas do TRANSIT e do GPS como observáveis, bem como das próprias

coordenadas estimadas. Alguns vetores derivados do posicionamento GPS e

Doppler foram introduzidos no processamento. Essa nova realização do SGB tem

sido identificada não oficialmente como SAD 69 realização 1996 (SAD 69/96).

Rede Altimétrica (Cortesia: IBGE)

23

Rede Clássica (Cortesia: IBGE)

Rede Ajustada (SAD69-96) (Cortesia: IBGE)

Até a década de 70, o Brasil usou o DATUM “Córrego Alegre”, localizado nas

imediações de Uberaba. Os elementos deste DATUM eram:

• Elipsóide de Revolução de Hayford:

a = 6.378.388 m

24

f = 1/297,00

• Coordenadas Geodésicas:

ϕG = ϕA = 19o 50’ 15,14” S

λλλλG = λλλλA = 48o 57’ 42,75” W

N = 0

AG = 128o 21’ 48,96”

A partir de 1979 o IBGE, através de seu departamento de geodésia adotou

outro sistema, denominado SAD-69 (South American Datum 1969), cuja origem é o

vértice CHUÁ. Os elementos deste sistema são:

• Elipsóide de Revolução Referência Internacional 1967:

a = 6.378.160 m

f = 1/298,25

• Coordenadas Geodésicas:

ϕG = 19o 45’ 41,6527” S

λλλλG = 48o 06’ 04,0639” W

N = 0

AG = 271o 30’ 04,05” (direção Chuá – Uberaba)

• Componentes do desvio da vertical (i):

Componente meridiana: ξξξξ = 0,31” (Plano de direção norte-sul)

Componente 1o vertical: ηηηη = -3,59” (Plano de direção leste-oeste)

4.3.2 Referencial Geodésico Utilizado pelo Sistema de Posicionamento Por

Satélites GPS

O Sistema de Posicionamento Global (GPS) adota como referencial o

sistema de referencia geodésico denominado WGS-84 (Word Geodesic System

1984), ou seja, quando se executa um levantamento com GPS, as coordenadas dos

pontos envolvidos serão obtidas neste sistema de referência.

Na primeira realização do WGS 84 utilizaram-se 1591 estações determinadas

pelo DMA (Defense Mapping Agency), atual NGA (National Geospatial-Intelligence

Agency), que sucedeu o NIMA (National Imagery Mapping Agency), usando

observações Doppler do sistema TRANSIT, atingindo precisão da ordem de 1 a 2m

(DMA1987). Entre essas estações, estão as estações monitoras do GPS, isto é,

Colorado, Ascension, Diego Garcia, Kwajalein, Hawaii.

Refinamentos têm sido realizados usando posicionamento por GPS, com o

objetivo de melhorar a precisão das coordenadas das estações monitoras. Além das

estações monitoras, fizeram parte dos refinamentos, outras estações do NIMA.

Essas novas realizações foram denominadas WGS 84 (G730) (MALYS e SLATER,

1994), WGS 84 (G873) (MALYS et al., 1997)

2002), onde G representa que o refinamento foi efetuado usando GPS, e 730, 873 e

1150 representam, respectivamente, as semanas GPS em que ocorreram as

realizações.

A acurácia (1 sigma) da resultante das coordenadas de cada

relação ao ITRF foi da ordem de 10 cm para o WGS 84 (G730), 5 cm para o WGS

84 (G873) e 1 cm para o WGS 84 (G1150).

Este sistema tem origem no centro de massa da Terra, com eixos cartesianos

X, Y e Z. O elipsóide de referencia é o GRS 80, um el

geocêntrico.

Sistema de Referência

Com o refinamento do WGS 84, alguns parâmetros relacionados a esse

sistema sofreram algumas alterações, como por exemplo, o GM (Constante

Gravitacional da Terra), melhorando com isto, a qualidade das coordenadas

cartesianas tridimensionais dos satélites. Os parâmetros do elipsóide GRS 80


Colorado, Ascension, Diego Garcia, Kwajalein, Hawaii.


rar a precisão das coordenadas das estações monitoras. Além das



1994), WGS 84 (G873) (MALYS et al., 1997) e WGS 84(G1150) (MERRIGAN et al.,



A acurácia (1 sigma) da resultante das coordenadas de cada


84 (G873) e 1 cm para o WGS 84 (G1150).


X, Y e Z. O elipsóide de referencia é o GRS 80, um elipsóide de revolução

Sistema de Referência adotado no GPS (WGS 84) Fonte: Monico (200



da Terra), melhorando com isto, a qualidade das coordenadas

cartesianas tridimensionais dos satélites. Os parâmetros do elipsóide GRS 8025



rar a precisão das coordenadas das estações monitoras. Além das



e WGS 84(G1150) (MERRIGAN et al.,



A acurácia (1 sigma) da resultante das coordenadas de cada estação em



ipsóide de revolução

Fonte: Monico (2008)



da Terra), melhorando com isto, a qualidade das coordenadas

cartesianas tridimensionais dos satélites. Os parâmetros do elipsóide GRS 80 são:

26

Parâmetros do Elipsóide Descrição

A = 6.378.137,0 m Igual ao anterior Semi-eixo maior

f = 1/298,2572221 1/298,257223563 Achatamento

ωωωωc = 7292115 x 10-8 rad/s Igual ao anterior Velocidade angular da Terra

C = 299.792.458 m/s Igual ao anterior Velocidade da Luz

GM = 3986005 x 108

m3/s2 3986004,418 x 108

m3/s2 Constante gravitacional da Terra

Parâmetros do Elipsóide GRS 80. Fonte: Monico (2008)

4.3.2.1 Elipsóide Topocêntrico e Elipsóide Geocêntr ico

Elipsóide Local e Elipsóide Geocêntrico. Seeber (1997)

O elipsóide do sistema WGS84 é denominado geocêntrico ou global, pelo

fato de estar considerando o centro de massa da Terra como origem, enquanto que,

o elipsóide adotado pelo SGB é denominado topocêntrico ou local. A figura anterior

apresenta uma relação entre esses dois tipos de elipsóides.

4.4 Sistema de Referência Geodésico – Conceito Mode rno

27

De acordo com Blitzkow (2002), o conceito de Sistema de Referência

Geodésico mudou e não se estabelece mais uma origem. Com as técnicas de

posicionamento por satélites artificiais, implanta-se uma Rede de Referência. Neste

sentido, têm-se os seguintes tipos de redes: rede mundial ou global (ex: IGS), redes

continentais (ex: SIRGAS), rede nacionais (ex: RBMC), redes estaduais (ex: Rede

GPS do Estado de São Paulo) e até mesmo as redes regionais.

Dessa forma, tem-se um conjunto de pontos materializados cujas

coordenadas são determinadas através de técnicas espaciais.

Rede Mundial – IGS

28

Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC)

Redes Geodésicas Estaduais. Fonte: IBGE

29

Rede GNSS do Estado de São Paulo

30

Rede SIRGAS 2000

31

5. Adoção de Um Referencial Geocêntrico no Brasil

Baseado no que foi descrito nas seções anteriores, percebe-se que os

usuários do SGB terão a disposição quatro sistemas geodésicos de referência (CA,

SAD 69, WGS 84 e SIRGAS) e várias realizações destes (uma CA, duas do SAD

69, duas do SIRGAS e quatro do WGS 84), o que poderá causar confusão.

O primeiro e o segundo sistemas de referência (CA e SAD 69) têm sido

usados para o mapeamento, o terceiro (WGS 84) para fins operacionais de

levantamentos com GPS usando efemérides transmitidas; e o quarto para

levantamentos geodésicos e de fins científicos.

Tal situação representa o impacto de novas tecnologias e a necessidade de

atender aos usuários. No entanto, a existência de múltiplos referenciais pode,

conforme já citado, confundir os usuários e dificultar a permuta de informações.

Num determinado momento deve ocorrer uma unificação desses sistemas. O

ideal parece ser a adoção de um referencial com acurácia adequada e que reduza a

necessidade de transformações, considerando a realidade atual. Como as

tecnologias de posicionamento disponíveis atualmente, em especial o GPS,

proporcionam informações num referencial geocêntrico, parece óbvio que o

referencial a ser adotado tenha origem geocêntrica.

No Brasil, grande parte da comunidade envolvida com Cartografia, Geodésia

e áreas correlatas participou das discussões sobre a adoção de um referencial

geocêntrico. Como conseqüência dos vários encontros em congressos e feiras de

geotecnologia, o IBGE organizou um seminário sobre o assunto, denominado “1o

seminário sobre referencial geocêntrico no Brasil”, o qual foi realizado em outubro

de 2000, na cidade do Rio de Janeiro.

Então a mudança de sistema de referência é necessária devido a alguns

fatores, entre eles:

1. O Brasil adotou, até a década de 70, o Datum “Córrego Alegre”, e

atualmente utiliza o sistema SAD-69. Com isto, cartas mais antigas,

produzidas, por exemplo, pelo IBGE, têm como referência o Datum

“Córrego Alegre” e as mais atuais o SAD-69. Desta forma, é

necessário que ocorra uma operação de mudança de sistema de

referência, ou seja, Córrego Alegre ⇔ SAD-69. Esta operação também

32

é necessária quando utilizamos antigos vértices da rede geodésica

brasileira.

2. Está em fase de implantação, no Brasil, um Sistema Geocêntrico de

Referencia, denominado SIRGAS e com isto, coordenadas em SAD69

deverão ser convertidas para este novo sistema, ou seja, SAD69 �

SIRGAS. O Sistema SIRGAS é um referencial mais atual e preciso

para a cartografia e geodésia brasileira.

3. A mudança de sistema de referência também é necessária quando da

utilização de sistemas de satélites artificiais para posicionamento

(Transit, GPS, Glonnas, etc). Estes sistemas de posicionamento

utilizam referenciais próprios, como por exemplo, o GPS utiliza o utiliza

o sistema de referencia WGS-84. Como o Brasil adota, atualmente, o

sistema SAD-69, existe então a necessidade da mudança de

referencial, ou seja, WGS-84 ⇔ SAD-69.

O SIRGAS, originalmente denominado de Sistema de Referência

Geocêntrico da América do Sul, concebido em 1993 e com duas campanhas GPS já

realizadas, culminou com duas densificações do ITRF. Hoje, sua denominação é

Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas.

A primeira campanha ocorreu no período de 26 de Maio a 14 de Junho de

1995. Foram ocupadas 65 estações ao todo, das quais sete são pertencentes ao

IGS (International GNSS Service – Serviço GNSS Internacional). Essas sete

estações fazem parte do ITRF-94 e suas coordenadas foram inseridas no

ajustamento como fiduciais. Desse número total de estações, 10 estão localizadas

33

no Brasil. Todas as estações estavam equipadas com receptores de dupla

freqüência.

A segunda campanha foi realizada no período de 10 a 19 de Maio de 2000,

aproximadamente cinco anos após a primeira. Fizeram parte dessa campanha 184

estações, as quais estão distribuídas não só pela América do Sul, mas em todo

continente americano. Foi quando houve a mudança do significado da sigla

SIRGAS.

Sistema Geocêntrico Para as Américas (SIRGAS). Total de 184 estações. Fonte: IBGE/2000

34

Lista de coordenadas do SIRGAS.

Juntamente com a realização SIRGAS 2000 foi disponibilizado o campo de

velocidade para as estações localizadas na placa listosférica sul americana,

necessário para aplicações de alta precisão. As velocidades podem ser obtidas a

partir do software VEMOS disponível na página do Sirgas.

O sirgas utiliza o elipsóide GRS 80 e a origem centro de massa da Terra.

� Elipsóide: GRS80

(Geodetic Reference Sytem 1980)

� a = 6.378.137 m

� f (α) = 1/298,257222101

� Origem: Centro de Massa da Terra

� Estações de Referência: 21 estações da rede continental SIRGAS2000,

estabelecidas no Brasil

Época de Referencia das coordenadas: 2000,4

5.2 Coordenadas Tridimensionais de um Ponto

Para facilitar os cálculos matemáticos utilizados em geodésia, como por

exemplo, em mudança de Datuns, devemos transformar as coordenadas

geodésicas de um ponto (latitude, longitude, altitude), em coordenadas cartesianas

tridimensionais (X, Y, Z).

35

• o eixo X é definido pela intersecção do plano meridiano de Greenwich

com o plano do equador, sendo orientado positivamente no sentido do

centro para o exterior.

• o eixo Y é definido pela intersecção do plano meridiano de longitude

90º Leste com o plano equatorial.

• o eixo Z é paralelo ao eixo de rotação da Terra e orientado

positivamente na direção do Pólo Norte.

As coordenadas tridimensionais podem ser definidas em função de três

posições para um ponto no espaço, ou seja: sobre a superfície física, considerando

a altitude ortométrica (H), sobre a superfície física considerando a altitude

geométrica (h), e por último, considerando o ponto sobre a superfície do elipsóide

(situação hipotética).

Superfície Física (alt.

ortométrica – H)

Superfície Física (alt.

Geométrica – h)

Superfície do

Elipsóide

X = (N+H).cosϕ.cosλ

Y = (N+H).cosϕ.senλ

Z = (N’+H).senϕ

X = (N+h).cosϕ.cosλ

Y = (N+h).cosϕ.senλ

Z = (N’+h).senϕ

X = N.cosϕ.cosλ

Y = N.cosϕ.senλ

Z = N’.senϕ

Observações: a) h = Ond. Geoidal + H

b) N – Grande Normal e N’ – Pequena Normal

Meridiano de Greenwich

Equador

λ = 90º EPN Z

XY

PS

5.3 Parâmetros para Transformação

5.3.1 Mudança de Córrego Alegre para SAD

Os parâmetros para esta mudança são:

Sistema de Origem: C. A.

a1 = 6.378.388,00

α1 = 1/297,00

∆X = - 138,70 m;

Os parâmetros ΔX,

sistemas cartesianos tridimensionais, prov

os eixos tridimensionais.

5.3.2 Mudança de SAD- 69 para Córrego Alegre


Sistema de Destino: SAD

a2 = 6.378.160,00

α2 = 1/298,25

∆X = + 138,70 m;

Transformação entre Sistemas de Referência

5.3.1 Mudança de Córrego Alegre para SAD -69


C. A. Sistema de Destino: SAD

a2 = 6.378.160,00

α2 = 1/298,25

138,70 m; ∆Y = + 164,40 m; ∆Z = + 34,40 m

X, ΔY e ΔZ são as diferenças de coordenadas entre

sistemas cartesianos tridimensionais, provocadas apenas por uma

69 para Córrego Alegre


SAD-69 Sistema de Origem: C. A.

a1 = 6.378.388,00

α1 = 1/297,00

138,70 m; ∆Y = - 164,40 m; ∆Z = - 34,40 m

36

entre Sistemas de Referência

SAD-69

Z = + 34,40 m

Z são as diferenças de coordenadas entre dois

Translação entre

C. A.

34,40 m

37

5.3.3 Mudança de SAD-69 para WGS84


Sistema de Origem: SAD69 Sistema de Destino: WGS84

a1 = 6.378.160,00

α1 = 1/298,25

a2 = 6.378.137,00

α2 = 1/298,257223563

ΔX = - 66,87 m; ΔY = + 4,37 m; ΔZ = - 38,52 m

5.3.4 Mudança de WGS-84 para SAD-69


Sistema de Destino: WGS84 Sistema de Origem: SAD69

a2 = 6.378.137,00

α2 = 1/298,257223563

a1 = 6.378.160,00

α1 = 1/298,25

ΔX = + 66,87 m; ΔY = - 4,37 m; ΔZ = + 38,52 m

Considerando esta última situação acima, com o mesmo raciocínio para as

demais situações, pode-se montar o problema, em notação vetorial, assim, a

transformação por meio de coordenadas cartesianas de WGS 84 para SAD 69 é

dada por:

A tabela contém os parâmetros de transformação entre as varias redes de

referências usadas no Brasil.

Parâmetros ⇒

Transformações

Tx

(cm)

Ty

(cm)

Tz

(cm)

s

(sppb)

εx

(mas)

εy

(mas)

εz

(mas)

SIRGAS 2000→ SAD 69 6735,0 -383,0 3822,0 0 0 0 0

m

Z

Y

X

Z

Y

X

WGSSAD

+−

++

=

−−52,38

37,4

87,66

8469

38

WGS84 → SAD 69

IBGE

6687,0 -437,0 3852 0 0 0 0

WGS84 → SAD 69

(NIMA)

5700,0 -100,0 4100 0 0 0 0

WGS84 (G873) → ITRF94

Época 1997,0

9,6 6,0 4,4 -14,3 -2,2 -0,1 1,1

PZ-90→ WGS84 (G873)

Época 1997,0

-108,0 -27,0 -90,0 -120,0 0,0 0,0 -160,0

O IBGE disponibilizou em sua pagina (www.ibge.gov.br) o programa ProGriD

o qual possibilita a transformação de coordenadas entre o SAD-69 e SIRGAS 2000

e vice-versa além da modelagem das distorções existem na rede.

5.4 Formulação matemática para o cálculo de coorden adas geodésicas

Pode-se executar a mudança entre Sistemas de Referencia utilizando-se as

Fórmulas Simplificas de Molodenski ou as Fórmulas em Função das Coordenadas

Cartesianas do Ponto.

5.4.1 Equações diferenciais Simplificadas de MOLODE NSKI

onde: Δa = (a2 – a1) e Δα = (α2 - α1)

Após o calculo de Δϕ, Δλ e ΔΝ, pode-se calcular, então, as coordenadas

geodésicas no sistema de destino:

,sendo h1 e h2 altitudes geométricas nos sistemas 1 e 2 respectivamente

{ }π

ϕλϕλϕϕααϕ °×∆+∆−∆−∆+∆=∆ 180cos...cos..).2()...(

111111111

1

ZsensenYsenXsenaaM

{ }π

λλϕ

λ °×∆+∆−=∆ 180cos..

cos.

111

11

YsenXN

1111112

11 ..cos.cos.cos..)...( ϕλϕλϕϕαα senZsenYXasenaaN ∆+∆+∆+∆−∆+∆=∆

Nhh ∆+=∆+=∆+=

12

12

12

λλλϕϕϕ

39

5.4.2 Formulação Matemática Utilizada em Mudanças d e Sistemas de

Referência Em Função das Coordenadas Cartesianas do Ponto

Estas equações são definidas pelo IBGE, de acordo com a Resolução no. 23,

de fevereiro de 1989.

( ) 2

22/12

222

2

22

2/122

22

2

2

22

32

22

2/122

22

32

222

2

tan

cos

)(

arctan

cos..)(

..'arctan

b

a

YX

Zu

2) Sistemano Normal Grande a N (sendoNYX

h

Brasil) o situaque em quadrante o (paraX

Y

uaeYX

usenbeZ

2

⋅+

=

−+

=

=

−++

=

ϕ

λ

ϕ

40

6. Transporte de Coordenadas

6.1. Introdução

Transporte de coordenadas é o processo de determinação de coordenadas

de uma estação a partir do conhecimento das coordenadas de uma outra estação,

do azimute da direção que as une e da distância que as separa.

O transporte pode ser feito em coordenadas:

• Planas: (X, Y) => Plano topográfico

• UTM (N, E) => Plano UTM

• Geodésicas (ϕ, λ) => Superfície do Elipsóide

6.2 Problema Direto e Problema Inverso

Quando se trata do transporte de coordenadas, existem dois problemasa

serem resolvidos, ou seja: Problema Direto e Problema Inverso.

6.2.1 Coordenadas Planas

6.2.1.1 Problema Direto:

o Dados: (X1, Y1), s12 e Az12

o Calcular: (X2, Y2) e Az21

X2 = X1 + ΔX

Y2 = Y1 + ΔY

ΔX = s12.senAz12

ΔY = s12.cosAz12

X2 = X1 + s12.senAz12

Y2 = Y1 + s12.cosAz12

Az21 = Az12 ± 180º

6.2.1.2 Problema Inverso:

o Dados: (X1, Y1) e (X

o Calcular: s12, Az12

2212 YXs ∆+∆=

∆∆=

Y

XAz arctan'


) e (X2, Y2)

e Az21

∆X ∆Y Quad Azimute

+ + 1º Az’

+ - 2º 180º

- - 3º 180º +

- + 4º 360º

41

Azimute

Az’

80º –Az’

180º + Az’

360º - Az’

42

6.2.2 Coordenadas UTM

6.2.2.1 Problema Direto:

o Dados:

� (N1, E1) – Coordenadas do ponto inicial � T10 – Azimute plano da direção 1-0 � Ψ10 – Redução angular da direção 1-0 � α - ângulo do polígono (medido no campo) � S12 – distância geodésica que liga as estações 1 e 2 (transformada da

distância geodésica)

o Calcular: (N2, E2), T21 e Ψ21

- Da figura anterior, temos que: N2 = N1 + ΔN E2 = E1 + ΔE N2 = N1 + σ12.cosT12

E2 = E1 + σ12.senT12

Para distâncias inferiores a 50 km, podemos considerar σ12 = S12, então:

N2 = N1 + S12.cosT12

E2 = E1 + S12.senT12

43

Cálculo da Transformada da distância geodésica (S):

A distância geodésica s, medida no campo, ao ser projetada no plano UTM

sofre uma deformação, se transformando na medida S (transformada da distância

geodésica). Esta deformação torna o comprimento de s diferente de S, ou seja:

, onde K é a escala média da projeção.

As equações a seguir estarão reduzindo as distancias geodésicas (s ou Se ->

Dist. Elipsóidica) em Distancias medidas no sistema de projeção UTM (S, σ ou SP -

> Distancia Plana UTM). Não estamos retratando, ainda, sobre a distância medida

no campo (Distancia Horizontal), que também sofrerá redução ao elipsóide.

Cálculo da Distancia S => F( ϕϕϕϕ,λλλλ) – Coordenadas Geodésicas

Desta forma, transforma-se a distância geodésica (s) em Transformada da

Distancia Geodésica (S)

Para distâncias menores que 50 km => S = σ � (σ => distância plana

UTM => SP)

Em Função das coordenadas geodésicas , K de um ponto pode ser

calculada como:

Pode-se calcular o coeficiente K de uma linha, a partir da latitude e longitude

média ( ϕm e λm ).

KsS =

[ ]2..

0

)sin(.cos1 CM

KK

λλϕ −−=

[ ]

22

)sin(.cos1

2121

2..

0

λλλϕϕϕ

λλϕ

+=+=

−−=

mm

CMmm

KK

Cálculo da Distâ ncia S => F(E,N)

Cálculo de K de um Ponto.

Cálculo do K de uma

Coef. XVIII -> Tabela

[

.2

sco.1

0 ,000.500

.000001,0

.(31

.1.(

2

22'

'

'

2

0

m

A A

A A

B A A AB

AB

ArgumentoTabela XVIII

N

e XVIII

E E

E q

q q q q

q XVIII K K

ϕ

>−

+=

−=

=

++=

+=

[

..2

sco.1

.000001,0

9996, 0

.1 .(

2

22 '

'

0

20

ϕ

ArgumentoTabela XVIII

N

e XVIII

EE q

K

q XVIII K K

>−

+=

=

=++=

ncia S => F(E,N) _ Coordenadas UTM

Cálculo de K de um Ponto.

K de uma Linha.

> Tabela

)](.

.10. 1

.

0,000.500

. 000001,0

9996,0)

).00003,0

1220

'

'

02

2

m

m

B B

B B

B

AB AB

Média Lat Argumento

Normal Gr N

K

E E

E q

K q

q

ϕ

>−

>−

−=

=

=+

+

)](

.10.1

.

0 ,000. 500

).00003,0

1220

'

4

ϕ Lat Argumento

Normal Gr N

K

E E

q

>−

>−

−=

+

44

45

Transformação da Distância Horizontal (Sh) para Pla na UTM (σσσσ)

Para o cálculo de redução da distância horizontal do plano UTM, deve-se ter

os seguintes passos de execução:

1) Após redução da distância ao horizonte (Sh), esta pode ser reduzida ao

geoide:

Sn = Sh – (Sh x Hm)/Rm

Onde: Sn – distância geoidal

Sh – distância horizontal

Hm – Altitude média local

Rm – Raio Médio de Curvatura

• Rm = (M.N)1/2

M - Raio de Curv. Seção Merid.

N - Raio de Curv. Da 1o. Vertical

2) Após a redução ao geoide (Sn), esta distância pode ser considerada

elipsoidal, ou seja, Sn ≅ s, Ou ainda pode ser reduzida a distância geodésica ou

elipsoidal utilizando a equação:

onde ,

3) Ao se ter a distância Geodésica (s), a mesma então pode ser transformada

em distância plana UTM (S ≅ SP=σ)

Cálculo do Azimute Plano (T 12)

Para calcular o azimute plano UTM é necessário os valores de redução

angular

Caso Azimute

(a) T12 = T10 - ψ10 + a + ψ 12-360o

(b) T12 = T10 + ψ 10 + a - ψ 12-360o

(c) T12 = T10 + ψ 10 + a - ψ 12-360o

(d) T12 = T10 - ψ 10 + a + ψ 12-360o

Para o cálculo da redução angular, tem

Ψ = 6,8755 . ∆N . 10

Onde:

∆N – Diferença de coord. N =>

E1’ = E1 – 500.000 (E1 – Coord. E da Estação)

E2’ = E2 – 500.000 (E2 – Coord. E do Ponto Visado)

XVIII – Tabela da Proj. UTM

0

1 T12

T10

α

ψ01

ψ10

ψ12

(c)

0 ψ01

ψ10 T10

1

ψ21

T12 α

(a)

Oeste

Para o cálculo da redução angular, tem-se a seguinte fórmula:

N . 10-8 . (2.E1’ + E2’) . XVIII

Diferença de coord. N => ∆N= N2 – N1 (2-ponto visado; 1-Estação)

Coord. E da Estação)

Coord. E do Ponto Visado)

Tabela da Proj. UTM – Argumento – Latitude

2 ψ21

0 ψ01

ψ10

ψ12

1

ψ21

α

T12

T10

M.C.

(d)

ψ21

1

ψ01

ψ10

α

T10

T12

0

ψ12

2 21

(b)

Leste

46

se a seguinte fórmula:

Estação)

2 21

2

ψ12

47

Esta correção executada no ângulo medido é pequena, pois, é bem menor

que a precisão dos equipamentos utilizados para medida angular (exemplo: 5”), pois

a distancia entre os dois pontos também é considerada pequena para esta correção

( < 1.000 m). Contudo, em trabalhos com grande quantidade de pontos (poligonal

grande), deve-se levar esta redução angular em consideração.


o Dados: N0, E0 e N1 e E1

o Calcular:

- s01 – distância geodésica entre as estações 0 e 1

- T01 e T12 – azimutes planos

- Ψ01 e Ψ10 – reduções angulares

- Az01 e Az10 – azimutes gedésicos

Cálculo de s:

mas s ≤ 50 km => σ ≈ S ∴ S = √Δ�� + Δ��

Cálculo dos Azimutes Planos e Geodésicos:

22 EN ∆+∆=σ

∆N ∆E Quad Azimute

+ + 1º T’

+ - 2º 180º –T’

- - 3º 180º + T’

- + 4º 360º - T’

N

ET

∆∆= arctan'

48

Cálculo do Az. Geodésico (A 01 ou A 01)

Para calcular o azimute geodésico são necessários calcular a redução

angular e a convergência meridiana plana.

Caso Azimute

(a) A01 = T01 + 180° - ψ01 - γ0

A10 = T10 - 180° + ψ 10 - γ 1

(b) A01 = T01 + 180° - ψ 01 + γ 0

A10 = T10 - 180° + ψ10 + γ 1

(c) A01 = T01 + 180° + ψ 01 + γ 0

A10 = T10 - 180° - ψ 10 + γ 1

(d) A01 = T01 + 180°+ ψ 01 - γ 0

A10 = T10 - 180°- ψ 10 - γ 1

γ1

γ0

A 01

T 01

T 10

1

0

A 1 0

ψ 01

ψ 1 0

ψ 10

A 01

T0 1

γ0

ψ 01

A1 0

T1 0

0

1

γ1

A1 0

ψ 10

1

γ1

T0 1

A 01 ψ 01

γ0

0 γ0

0 A0 1

T0 1 ψ 01

ψ 10

A1 0

T 10

T 10

γ1

1

(c) (d)

(a) (b)

M.C.

Equador

49

Convergência Meridiana Plana

Para os trabalhos de georreferenciamento de imóveis rurais, outra exigência

da Norma do INCRA diz respeito a determinação da Convergência Meridiana Plana,

que é divergência entre Norte Verdadeiro (NV) e o Norte de Quadrícula (NQ).

A partir de NV, tem-se o azimute verdadeiro, definido nos

levantamentos topográficos, por astronomia de campo (ex: distancias zenitais

absolutas)

A partir de NQ, tem-se o azimute plano – UTM, definido a partir das

coordenadas N e E do sistema UTM.

O NV pode ser considerado aproximadamente com sendo igual

ao Norte Geodésico (NG), pois a variação entre eles é pequena e pode ser

desconsiderada, e com isto, tem-se NV ≅ NG. Lembrando que o Norte Verdadeiro

está relacionado ao geóide (forma física para a Terra) e o Norte Geodésico está

relacionado ao Elipsóide (forma matemática para a Terra).

0

1

2

Σ0−1

Σ1−2

E

N(M.C.)

NQ NG

γ1

γ1

50

Pode-se calcular a convergência meridiana de duas formas: pelas

coordenadas UTM (N,E) ou pelas coordenadas geográficas (ϕ,λ). A título de

exemplo, vamos executar os cálculos pelas coordenadas geográficas.

Observação: A convergência meridiana plana é de caráter pontual

Convergência Meridiana Plana em Função das Coord. G eodésicas

Convergência Meridiana Plana em Função das Coord. P lanas UTM

m 7196.356.774,b m; 06.378.160, a :SAD69 sistema o para

)('

10).tan2(15

cos.".1

10).cos.'.2cos.'.31(3

cos.".1

10.

)"("

".0001,0

:

...

2/122

20244

'5

12442222

4

5'5

3

==

−=

−⋅=

++⋅=

=

−=∆∆=

++=

b

bae

sensenC

eesensen

XIII

senXII

p

onde

pCpXIIIpXII

MC

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

λλλλ

γ

''1

''''''1

0

'0

0

'0

5'5

3

que atéIterar

)).10sin(.).8sin(.).6sin(.).4sin(.)2sin(.'.(1

1

1.

'

.).(000.000.10''

0

:' Lat. Determ.

...

ii

iiiiii B

i

K

N

SHNNK

NBi

qFqXVIqXV

ϕϕ

ϕξϕεϕδϕγϕβα

ϕ

αϕ

ϕ

γ

=

+−+−+=

+

=

−===

+−=

+

+

51

6.2.3 Coordenadas Geodésicas

O cálculo do transporte de coordenadas geodésicas é, dos transportes

sugeridos neste capítulo, nosso alvo principal de estudo. Muitas equações são

sugeridas para este transporte de coordenadas, formuladas pelos geodesistas como

Sodano, Robbins, Clarke e Puissant. No Brasil, geralmente utilizam-se as fórmulas

de Puissant. Estas fórmulas fornecem resultados com precisão de 1 ppm quando o

comprimento dos lados envolvidos nos cálculos é menor que 80 km. Para que esta

precisão seja alcançada, os cálculos devem ser processados com pelo menos sete

casas decimais.

O cálculo de posições geodésicas, conhecido também como transporte de

coordenadas, torna-se mais fácil desde que estejam disponíveis os coeficientes A,

B, C, D, E e F.

Vincenty (1975) com base nesta premissa propôs um método que resolve o

problema direto e inverso na geodésia. A característica principal de sua formulação

é o uso de equações aninhadas de termos elípticos. Sendo, que para ambas as

soluções são obtidas de forma iterativas.

Os experimentos apresentados por Vincenty (1975) constatou que a solução

iterativa é mais eficiente que as soluções não-iterativas descritas nas bibliografias e

com peso computacional menor.

A solução do problema direto e inverso apresentado por Vincenty (1975)

encontram-se implementado em dois softwares denominados de INVERSE e

FORWARD disponibilizados em http://www.ngs.noaa.gov/TOOLS/Inv_Fwd/Inv_Fwd

.html. Onde, estão disponíveis os códigos fontes dos mesmos, para compilação em

Fortran.

6.2.3.1 Linha Geodésica

A curva geodésica é a linha que fornece a menor distância entre dois pontos

no elipsóide. A linha geodésica está contida entre as duas seções normais definidas

por dois pontos.

Segundo Gemael (1987) a “linha geodésica” é definida como uma linha

situada numa superfície tal que em todos os seus pontos a sua normal principal

coincide com a normal á superfície.

52

Figura – Linha geodésica. Adaptado de Chaves (2003).

Algumas definições básicas relacionadas as linhas geodésicas serão

apresentados a seguir conceitos do problema direto e o problema inverso da

geodésia.

6.2.3.2 PROBLEMA DIRETO E INVERSO DA GEODÉSIA

No problema direto é dado as coordenadas geodésicas de um ponto sobre o

elipsóide, o azimute do primeiro ponto para o segundo ponto e a distância

geodésica entre os dois pontos e encontra-se as coordenadas geodésicas do

segundo, bem como o contra azimute Figura 1.

1(lat1, long1)

S12

A12

2(? , ?) A21 ?

Figura 1: Problema direto.

Já o problema inverso são dados as coordenadas geodésicas de dois pontos

sobre o elipsóide deve-se encontrar o azimute, o contra azimute e a distância entre

os pontos como mostrado na Figura 2.

53

1(lat1, long1)

S12 ?

A12 ?

2 (lat2, long2)

A21 ?

Figura 2: Problema inverso.

Segundo Gemael (1987) em ambos os problemas deve-se considerar duas

hipótese:

1) A distância que separa os vértices é pequena (distâncias menores que 50

km).

2) A distância entre os pontos é grande que pode atingir centenas de

quilômetros.

No que diz respeito à primeira hipótese as formulas existentes para realizar o

cálculo dos problemas direto e inverso são praticamente equivalentes com relação à

precisão. No entanto a medida que se tem distâncias maiores algumas das formulas

existentes vão perdendo precisão o que limita sua utilização dependendo da

distância entre os pontos (GEMAEL, 1987).

A solução deste problema é baseada na solução de um triangulo geodésico

no elipsóide, que pode ser considerado de forma análoga a solução de um triângulo

esférico. No entanto, deve-se considerar que a superfície considerada é um

elipsóide de revolução. Assim, as soluções são desenvolvidas através de

aproximações na superfície do elipsóide.

54

6.2.3.3 Modelos para o problema Direto utilizando P uissant

Este problema é utilizado em triangulações, trilaterações e poligonação

eletrônica.

o Dados:

- ϕ1 e λ1 – Coordenadas geodésicas da estação 1

- A12 – Azimute geodésico da direção 1-2

- s12 – distância geodésica entre as estações 1 e 2 o Calcular: ϕ2, λ2 e A21

ϕ2 = ϕ1+Δϕ

λ2 = λ1 +Δλ A21 = A12 ± 180o + θ

Observação: Azimute contado a partir do Norte

PN

∆λ

A21

θ ∆ϕ

2

λ2

λ1

ϕ2

ϕ1

s12

1

A12

55

Calculo da latitude ϕ2:

ϕ2 = ϕ1 + ∆ϕ

∆ϕ’’ = δϕ’’ – D.(δ ϕ’’)2

em que h = B.s.cosAz

Cálculo da longitude λλλλ2

λ2 = λ1 +∆λ

O índice 2 no coeficiente A é para lembrar ao calculista que o argumento para o

cálculo é a latitude do segundo ponto.

Cálculo do contra-azimute (A 21)

A21 = A12 ± 180o + θ

onde θ’’ é a convergência meridiana em segundo de arco.

(em segundos de arco)

6.2.3.4 Modelos do problema inverso utilizando Puis sant

A partir das coordenadas geodésicas de dois pontos conhecidas, pode-se

calcular a distancia geodésica em os dois pontos, assim como o azimute e o contra-

azimute. Este problema é comum, nos dias de hoje, com o uso cada vez mais

AzsenshEAzsensCAzsB 2222 .....cos..'' −−=δϕ

22cos

.'' A

senAzs ⋅=∆ϕ

λ

mm F

sen.)''(

)2

cos(

''.'' 3λϕ

λϕθ ∆+∆∆=

221 ϕϕϕ +=m 22

12 ϕϕϕ −=∆

12'' λλλ −=∆

56

freqüente do sistema GPS, onde se levanta um ponto e uma mira (dois pontos de

coordenadas definidas após o levantamento). O azimute geodésico pode ser

utilizado para o cálculo do azimute plano UTM, assim como as coordenadas

geodésicas são utilizadas para se calcular as coordenadas N e E (coordenadas

planas UTM).

o Dados: ϕ1 e λ1, ϕ2 e λ2

o Calcular s12, Az12 e Az21

Cálculo de X e Y:

Cálculo do azimute A 12:

neste caso, para o cálculo final do azimute, deve-se fazer o estudo de sinal

de X e Y.

Cálculo da distância geodésica s12:

ϕ2 s12

X

Y

PN

∆λ

2

λ2

λ1

ϕ1 1

2

2cos'.'

AX

ϕλ∆=

[ ]21

21

21

1

..'.')''.(''1

XCXEDB

Y +∆+∆+∆⋅= ϕϕϕ

Y

XA =12tan

22 YXs +=

57

Cálculo do contra-azimute A 21:

A21 = A12 ± 180o + θ, onde θ é convergência meridiana.

Coeficientes das fórmulas de Puissant:

onde

6.3 Reduções dos valores observados (correções exec utadas nas

medidas)

6.3.1 Correções a serem introduzidas na distância

a) Redução ao horizonte : Considerando que a medida de distância entre dois

pontos, medida normalmente eletronicamente (estação ou distanciômetro), foi obtida

na posição inclinada da luneta, devendo então ser reduzida ao horizonte.

Dh = Di . cos(α), onde α é o ângulo vertical

Dh = Di . sen(z), onde z é o ângulo zenital

A distância medida eletronicamente sofre uma correção da refração

atmosférica, executada automaticamente no equipamento, desde que os

parâmetros para tal sejam introduzidos (pressão atmosférica, temperatura,

umidade).

''1.

1

senNA =

''1.

1

senMB =

''1.2

tan

senMNC

ϕ=

)1(2

''1.cos..322

2

ϕϕϕ

sene

senseneD

−= 2

2

6

tan31

NE

ϕ+=

12

''1.cos. 22 sensenF

ϕϕ=

2/322

2

).1(

)1(

ϕsene

eaM

−−=⇒

2/122 ).1( ϕsene

aN

−=⇒

b) Redução ao elipsóide

Depois de executada

ao elipsóide, pois foi adquirida na superfície física. Esta redução ao elipsóide deve

ser feita em duas etapas.

b.1) Redução a corda

H – Altitude geométrica da base ou lado, podendo ser definida como:

(altitude média entre os dois pontos).

De acordo com o Teorema de Euler, tem

determinação de R:

do Elipsóide. Desta forma, pode

Onde então teremos a distancia da corda, ou seja:

Para o cálculo de R, usa

pontos, no cálculo de M e N.

N

Azsen

M

Az

R

22cos1 +=

R

HR

Dc

Dh +=

HR

DhRDc

+= .

Depois de executada a redução ao horizonte, a distância deve ser reduzida


edução a corda

Altitude geométrica da base ou lado, podendo ser definida como:

(altitude média entre os dois pontos).

De acordo com o Teorema de Euler, tem-se a seguinte fórmula, para a

, onde R é o raio de curvatura de uma seção qualquer

do Elipsóide. Desta forma, pode-se chegar a seguinte fórmula:

Onde então teremos a distancia da corda, ou seja:

Para o cálculo de R, usa-se como argumento a latitude média entre os

pontos, no cálculo de M e N. 58

ncia deve ser reduzida


Altitude geométrica da base ou lado, podendo ser definida como: H = (H1+H2)/2

se a seguinte fórmula, para a

curvatura de uma seção qualquer

se como argumento a latitude média entre os

b.2) Redução ao arco

Após a redução a corda, o próximo passo é reduzir a distância ao

propriamente dito, como mostra a figura abaixo.

b.2) Redução ao arco

Após a redução a corda, o próximo passo é reduzir a distância ao

propriamente dito, como mostra a figura abaixo.

Dg

59

Após a redução a corda, o próximo passo é reduzir a distância ao elipsóide

2

3

24R

DcDcDg +=

60

7. Transformação de Coordenadas Geodésicas em Plana s UTM e Vice-

Versa

7.1 Introdução ao Sistema de Projeção UTM

A utilização de um sistema geodésico faz-se necessária para representar o

mais fiel possível a forma da Terra.

A necessidade de se trabalhar com coordenadas planas se faz para que a

Terra seja representada na forma de cartas ou mapas cartográficos.

Vários tipos de projeções planas foram definidos para se representar as

diferentes partes do planeta, na forma de cartas ou mapas. Essas projeções podem

ser classificadas quanto ao seu método de construção, ao seu ponto de vista, a sua

superfície de projeção, ao objetivo da representação, etc.

O sistema de coordenadas planas mais conhecido e utilizado atualmente no

meio cartográfico é denominado sistema UTM (Universal Transverse de Mercator).

De acordo com GEMAEL (1976), esse é um sistema de representação plana do

elipsóide terrestre que adota a projeção conforme de Gauss (mantém a forma, ou

seja, conserva os ângulos das figuras representadas), seguindo certas

especificações, que são:

1. Projeção conforme de Gauss;

2. Divisão da Terra em fusos de 6°de amplitude, contados a partir do

antimeridiano de Greenwich, totalizando 60 zonas, estabelecendo-se para

cada zona, um meridiano central (para a região de Palmas, o meridiano

central equivale a 51°W);

3. Fator de redução da escala, utilizado para reduzir deformações, K0 = 1 -

1/2500= 0.9996;

4. Latitude máxima de trabalho igual à ± 80°;

5. Eixos cartesianos ortogonais: transformadas do meridiano central e do

equador;

6. Representação das coordenadas plano-retangulares pelas letras N e E,

respectivamente, representado as ordenadas e as abscissas;

7. Para se trabalhar com esse sistema no Hemisfério Sul terrestre com valores

sempre positivos, os valores das ordenadas devem ser somados de

61

10.000.000 metros (N = N1 + 10 000 000.00) e as abscissas de 500.000

metros (E = E1 + 500.000).

De acordo com LOCH & CORDINI (1995), a projeção cilíndrica UTM consiste

em envolver o elipsóide terrestre com um cilindro secante transverso ao eixo polar

do globo terrestre, fazendo com que o cilindro tenha um raio menor do que o raio

médio terrestre.

7.2 Transformação de Coordenadas Geodésicas para Co ordenadas

Planas

A formulação matemática para a transformação de coordenadas geodésicas

para coordenadas planas UTM é apresentada a seguir, de acordo com IBGE(1986):

(1) e (2) sendo, (3)

Onde S’’ é o arco de meridiano que vai do ponto considerado até o Equador,

definido pela seguinte fórmula:

(4)

Considerando o sistema de referência SAD69, têm-se os seguintes valores

para A, B, C, D, E e F:

A = 1,0050526248 B = 0,0050632321

C = 10,628107 x 10-6 D = 20,821897 x 10-9

E = 3,9327535 x 10-11 F = 6,5553406 x 10-14

(5)

(6)

( ) 66

421 pApIIIpIIIN ⋅′+⋅+⋅+=

( ) 55

31 pBpV+pIVE ⋅′+⋅⋅=

0KS"=I ⋅

)10sen10

18sen

8

16sen

6

14sen

4

12sen

2

1

180

.()e-(1aS" 2 ϕϕϕϕϕπϕ ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−

°⋅⋅⋅= FEDCBA

80

2

10K2

1sencossen= II ⋅⋅

′′⋅⋅⋅ ϕϕN

160

4422234

10K) cose4+cose9+tan5(24

cossen1sen=III ⋅⋅⋅′⋅⋅′⋅−⋅⋅⋅⋅′′ ϕϕϕϕϕN

62

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

onde,

� ϕ - latitude do ponto considerado;

� λ - longitude do ponto considerado;

� S - comprimento do arco de meridiano definido pelo ponto considerado e o

Equador;

� N - raio de curvatura da seção primeiro vertical na latitude considerada;

� e – primeira excentricidade do elipsóide de referência;

� e′ - segunda excentricidade do elipsóide de referência;

� K0 - fator de escala no meridiano central (0.9996); e,

� MC - longitude do meridiano central.

Para o Hemisfério Sul tem-se no sistema UTM, as seguintes coordenadas:

N = N1 + 10.000.000,00 metros; e,

E = E1 + 500.000,00 metros.

Considerando o sistema de referência SAD-69, têm-se os seguintes

parâmetros para o Elipsóide de Revolução denominado Referência Internacional

1967 (IBGE):

a = 6.378.160,000m b = 6.356.774,719m achatamento α=1/298,25

40 10.K1sencos=IV ⋅′′⋅⋅ ϕN

240

22224256

6 10K) e330cose270 +tan+tan5861(720

cossen1sen=A ⋅⋅⋅′⋅−⋅′⋅⋅−⋅⋅⋅⋅′′′ ϕϕϕϕϕϕ

senN

200

22224255

5 10K) e58 cose14+tan+tan185 (120

cos1sen=B ⋅⋅⋅′⋅−⋅′⋅⋅−⋅⋅⋅′′′ ϕϕϕϕϕ

senN

)MC - (0,0001 =p ′′⋅ λ

2

2

2

222

11')2.(e

e

e

b

ae

−=−=−= αα

63

7.3 Transformação de Coordenadas Planas UTM para Co ordenadas

Geodésicas

A formulação matemática para a transformação de coordenadas planas UTM

para coordenadas geodésicas é apresentada a seguir:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Cte = 500.000,00m

Determinação de ϕ’: A medida ϕ’ é determinada por um processo iterativo

Para i = 0, tem-se: onde N'= 10.000.000,00 − N (p/ o H. Sul) (6)

Para i = 1, tem-se: (7)

(8)

Obs: o valor de � apresentado nas fórmulas acima não representa o achatamento.

A latitude aproximada “ϕ ' ” será determinada quando: ��` =

` e �` = ��

`

Para o sistema de referência SAD-69, tem-se os seguintes parâmetros:

a = 6.378.160,00m b = 6.356.774,719m Achatamento: 1/298,25

A = 1,0050526248 B = 0,0050632321

C = 10,628107 x 10-6 D = 20,821897 x 10-9

66

42 .'..' qDqVIIIqVII −+−= ϕϕ

λλλ ∆±= 0

55

3 .'.. qEqXqIX +−=∆λ

'.000001,0 Eq =

ECteE −='

0

'0 K

N'=B

''1

1oB⋅=

αϕ

)sen10.8sen.6sen.4sen.2sen.(1 ''''''

0'

1 iiiiii B ϕξϕεϕδϕγϕβα

ϕ +−+−+⋅=+

64

E = 3,9327535 x 10-11 F = 6,5553406 x 10-14

� = 111.133,3486 β = 16.038,95511 γ = 16,83348972 δ = 0,021986053 ε = 3,1144759 x 10-5 ξ = 4,1531106 x 10-8

(9)

(10)

(12)

(13)

(14)

onde:

� ϕ’ - latitude do pé da perpendicular que vai do ponto considerado até o MC.

� E – abscissa do sistema de coordenadas planas - UTM

� N - raio de curvatura da seção primeiro vertical na latitude considerada;

� e – primeira excentricidade do elipsóide de referência;

� e′ - segunda excentricidade do elipsóide de referência;

� K0 - fator de escala no meridiano central (0.9996); e,

� MC - longitude do meridiano central.

� a – semi-eixo maior do elipsóide.

1220

222

101

).'cos.'1("1..2

'tanVII ⋅+⋅=

Ke

senNϕϕ

2440

22444222224

101

)'sen'.cos.'.9'cos.'.3'sen.'.6'cos'.6'tan.35("1.24.

'tanVIII

⋅⋅

⋅−−−++⋅=

K

eeeesenN

ϕϕϕϕϕϕϕ

(11)3660

2222222426

'6

101

)''.tan.'.45'.'.162'cos.'.107'tan.45'tan.9061("1..720

'tanD

⋅⋅

⋅−−+++⋅=

K

seneseneesenN

ϕϕϕϕϕϕϕ

6

0

101

"1.

'secIX ⋅⋅=

KsenN

ϕ

1830

2223

101

)'cos.''tan.21("1..6

'secX ⋅++⋅=

Ke

senNϕϕϕ

3050

2222425

'5 10

1)'.'.8'cos.'.6'tan.24'tan.285(

"1..120

'sec ⋅⋅++++=K

seneesenN

E ϕϕϕϕϕ

65

� b – semi-eixo menor do elipsóide.

Observações:

1. A latitude ϕ ' é determinado por processo iterativo.

2. Não confundir N (Raio de curvatura da seção do 1º. Vertical ou Grande

Normal) com a coordenada N (ordenada do sistema de coordenadas

planas do sistema de projeção UTM).

66

8. Métodos de posicionamento horizontal

Atualmente, são conhecidos quatro métodos para se estabelecer um conjunto

de pontos com coordenadas planimétricas geodésicas conhecidas, ou seja:

Triangulação, Trilateração, Poligonação e Posicionamento por Satélites.

A determinar da posição de pontos sobre a superfície terrestre podem utilizar

diferentes técnicas, tais como;

– Levantamentos Convencionais: latitude (F) e longitude (l) e altitude

ortométrica (H)

– Levantamentos com satélites: coordenadas cartesianas 3-D (X,Y, Z),

as quais podem ser transformas p/ latitude, longitude e altitude

geométrica (h) - caso se conheça a altura geoidal N, pode-se

determinar H.

Na geodésia também utiliza-se de outros métodos tais como:

– Astronomia de Posição:- ocupa-se com as determinações da latitude e

longitude de um ponto sobre a superfície terrestre, bem como o

azimute de uma direção (independe da forma e dimensão da Terra) -

muito pouco utilizado hoje!!!

– Topografia: ocupa-se com as determinações de pontos sobre uma

superfície considerada plana, normalmente de pequena extensão;

8.1 Triangulação

A triangulação era o método mais clássico e preciso de obtenção de

coordenadas geodésicas planimétrica, onde era executado o procedimento para a

determinação de coordenadas pela resolução de figuras geométricas obtidas a partir

de triângulos justapostos ou sobrepostos, formados através da medição dos ângulos

subtendidos por cada vértice.

O objetivo era de se estabelecer uma rede de vértices com coordenadas

geodésicas conhecidas para apoiar o mapeamento, os levantamentos geodésicos,

bem como, especular sobre a forma e dimensões da Terra.

Este era o método mais utilizado pelos geodesistas, antes da utilização

efetiva de satélites artificiais para posicionar pontos.

As redes de triângulos desenvolvidas no Brasil são formadas por

quadriláteros subdivididos em triângulos.

67

8.1.1 Metodologia empregada na execução da triangul ação geodésica

Para se iniciar uma triangulação, deve-se ter conhecimento dos seguintes

itens:

1) O par de coordenadas geodésicas (Latitude e Longitude) de um vértice

incial: As coordenadas servem para se calcular as coordenadas de outros

pontos, e fixar o sistema de coordenadas evitando a translação.

2) Uma distância ou uma base de comprimento conhecido: a distância impõe

uma escala a triangulação.

3) Um azimute de uma direção: o azimute fixa a triangulação, evitando uma

rotação e serve também para orientar o levantamento.

Etapas de trabalho:

a) de campo:

Observações : astronômicas, gravimétricas e rastreio por satélites. Desta forma,

defini-se o azimute e as coordenadas iniciais (se necessário).

Medição da base : a distância era medida utilizando fita ou fio invar, ou também

através de distâncimetros ou estação total. Após a determinação da base, as

medidas eram apenas angulares.

Medição dos ângulos da triangulação :

- ângulos horizontais

- ângulos verticais (nivelamento trigonométrico geodésico)

Na etapa de obtenção dos ângulos horizontais, utilizava-se o processo de

reiteração, em 6 partes do limbo horizontal, onde para casa parte, executava-se 16

leituras diretas (PD) e 16 leituras invertidas (PI), totalizando 32 leituras em cada

parte do limbo. Até duas leituras podiam ser descartadas se a diferença com a

média ultrapassasse o desvio padrão encontrado.

b) de escritório:

- Projetar a distância para o elipsóide de referência, ou seja, reduzir a medida da

distância encontrada na base, para o elipsóide.

68

- Cálculo do lado inicial da triangulação (ampliação da base medida)

- Execução do ajustamento dos ângulos horizontais (M.M.Q.). Os ângulos são

projetados no elipsóide, levando-se em conta, então, a convergência meridiana.

- Cálculo dos demais lados da rede de triângulos

- Transporte de coordenadas, ou seja, o cálculo das coordenadas geodésicas dos

demais vértices da rede.

Materialização da rede geodésica de triângulos

Os vértices da triangulação tinham suas coordenadas geodésicas

rigorosamente calculadas, e até os dias atuais, são muito utilizados.

Os vértices são materializados por marcos de concreto parcialmente

enterrados. No topo destes marcos são chumbadas peças metálicas, com a

denominação do vértice (normalmente identificados com a inicial VT seguidos de um

número). Estes marcos são protegidos por lei federal.

Estes marcos não são de fácil acesso a pessoas leigas, pois podem ser

destruídos. Muitos vértices da rede geodésica brasileira já foram inutilizados, pois a

peça metálica, normalmente de bronze, é arrancada. Vértices de apoio eram

colocados próximos aos vértices principais, para que, se preciso fosse, poderiam

ser reconstruídos.

Rede clássica Brasileira

69

8.2 Trilateração

A trilateração é um processo de levantamento semelhante a triangulação,

sendo que em lugar da formação de triângulos a partir de medição de ângulos, o

levantamento é efetuado através de medição dos comprimentos dos lados dos

triângulos.

8.2.1 Trilateração de lados curtos:

As distâncias são comparáveis às queocorrem na triangulação ou menores.

Os lados são medidos com equipamentos instalados nas extremidades das linhas.

8.2.2 Trilateração de lados longos:

As distâncias, que excediam em muito a aquelas definidas na triangulação,

eram medidas com equipamentos aerotransportados, como por exemplo, o sistema

SHORAN (Short Range Navigation – Navegação de Pequeno Alcance). Este tido de

trilateração era executado quando a utilização de triangulação não era possível,

como por exemplo, a determinação de posições geodésicas de ilhas afastadas do

continente, como o arquipélago de Fernando de Noronha.

8.3 Poligonação geodésica

Com o objetivo de executar uma amarração de um levantamento a rede

geodésica brasileira, pode-se executar então uma poligonação eletrônica, partindo-

se de vértices com coordenadas geodésicas conhecidas. O método ideal de

levantamento é através de uma poligonal controlada, ou seja, ponto inicial e final de

posição definida, satisfazendo então as seguintes condições:

Situação no plano: AZfinal - AZinicial = Σ (Ângulos Horizontais) – (n-1).180o

Situação na superfície de elipsóide: Considerar a convergência meridiana (θ)

O modelo passa a ser geodésico, desde que os ângulos da poligonal sejam

projetados ao elipsóide e sejam corrigidos da convergência meridiana.

70

8.4 Posicionamento por satélites artificiais

Neste tipo de levantamento geodésico, as coordenadas geodésicas dos

pontos sobre a superfície terrestre são definidas através de medidas de distâncias

entre satélites artificiais localizados em órbita terrestre e rastreadores localizados na

superfície da Terra. O primeiro sistema entrou em funcionamento na década de 60 e

é denominado TRANSIT. Atualmente, o sistema mais utilizado e conhecido

mundialmente é denominado GPS.

A utilização de satélites artificiais em Geodésia é um capítulo específico,

denominado “Geodésia Celeste”.

71

9. Determinação de Altitudes

As determinações das latitudes ortométricas podem ser realizadas por três

métodos usuais:

• Nivelamento Geométrico (precisão cm/mm)

• Nivelamento Trigonométrico (precisão dm/cm)

• Nivelamento Barométrico (precisão métrica)

9.1 Importância do Nivelamento

Entre outras situações onde um nivelamento é importante, podemos citar:

• Redução ao geóide de muitos dados coletados na superfície física;

• Monitoramento de movimentos verticais da crosta;

• Aplicação em construção de estradas, túneis, usinas hidroelétricas, etc;

• Montagem de máquinas pesadas;

• Apoio à representação da altimetria do terreno;

• Controle de recalque de estruturas ou obras de engenharia.

9.2 Nivelamento Trigonométrico (Correções)

Determinação de um Nivelamento Trigonométrico:

DN = (DH. tan α) + Ai – Am α: ângulo vertical

DN = (DH/tan z) + Ai – Am z: ângulo zenital

9.2.1 Fatores que Influenciam na Precisão

a) Influência da Curvatura Terrestre

72

Considerando dois Pontos A e B “em nível”. A horizontal do primeiro

encontra-se com a vertical do segundo em B’ ou invés de B., sendo o segmento BB’

o erro que se comete devido ao efeito da curvatura terrestre.

Admitindo o triangulo A.B.B’ como sendo reto em B, tem-se:

Considerando S como sendo arco e não uma corda, temos:

(em Graus), (em Radianos) ∴

S BB’

300 m

800 m

1000 m

10 km

20 km

Vertical A

Vertical B

AB

B’

erro

c

sc/2

R

B

2tan.'

BB'

2tan

cSBB

S

c =∴=

°=

180

.. cRS

π

π.180.

R

Sc

°=R

Sc =

R

SBB

.2'

2

=

73

b) Influência da Refração Atmosférica Terrestre

O fenômeno da refração se acha presente em todas as operações

geodésicas, entre elas, temos:

� Em astronomia, na medida da distancia zenital de um astro, tem-se a

refração astronômica;

� Em medidas de distâncias com distanciometros eletrônicos (índice de

refração);

� No posicionamento via satélite, tem-se a refração ionosférica e troposférica

(camadas da atmosfera terrestre);

� Na fotogrametria, tem-se a refração fotogramétrica;

� No nivelamento geométrico, tem-se a refração nivelítica;

Em nivelamento trigonométrico, pode-se contornar parcialmente o problema

da refração, adotando-se as hipóteses de BIOT e BOUGUER, nas quais se admite

que:

1) Numa mesma estação, o ângulo de refração r é proporcional ao ângulo

central c correspondente, tendo-se então a seguinte fórmula:

, onde m é o coeficiente de refração

Dessa forma, o ângulo zenital corrigido é dado por:

2) No caso de visadas recíprocas e simultâneas, as ângulos de refração

podem ser considerados iguais:

r = r’

cmr .=

rZZcor +=

R

Sc =

74

Determinação do Coeficiente de Refração (m)

A Diretoria do Serviço Geográfico do Exército (DSG) determinou o valor de

2.m em várias regiões do Brasil, tendo-se os seguintes valores:

Local 2.m

Ponta Grossa – PR 0,07

Litoral do NE 0,11

Resende – RJ 0,13

Juiz de Fora – MG 0,15

Rio de Janeiro – RJ 0,17

Adota-se como valor médio para o Brasil: 2.m = 0,13

Exemplo: Calcule o ângulo zenital corrigido, considerando os seguintes dados:

A

B

c

s

R

Z

Zcor

r

r’

Z’

75

Z = 89º 15’ 20’’ DistAB = 6.940,17 m R = 6.378.160,0m

9.3 Nivelamento Geométrico - Correções

a) Erro devido a curvatura:

b) Erro devido a refração: k = 0,13

c) Erro Total:

D (m) Ec (m.m) Er (m.m) ET(m.m)

60

100

200

500

1.000

9.4 Medidas de Dist. Eletrônicas - Correções

Considerando ainda o mesmo assunto, contudo, utilizando as correções

disponíveis em uma Estação Total (Topcon), tem-se as seguintes fórmulas

Rm

DEc .2

2

=

kRm

DEr ⋅−=

.2

2

[ ][ ]

TOPCON) - Terra da (Raio km 6.372 R

refração) de te(coeficien 0,20ou 14,0

a)atmosféric refração da (correção .2/.

.2/)cos(.

verticalângulo

)cos().()(.'

)()..2()cos(.

====

=−+=

−−=

k

RDIk

ra)da curvatu(correção RDI

onde

senDIDN

senDIDH

γαθ

ααγθα

αγθα

)1(.2

2

kRm

DET −⋅=

76

0,13 k refração

ecoeficient como adota, IBGE o Brasil, o Para :Obs

'

.'

cos.

:correções as sem distancias das Cálculo

=→

−+===

AMAIDNDN

senDIDN

DIDH

αα

77

10. Referencias Bibliográfica

Blitzkow, D. Apostila: Sistema de Posicionamento por Satélite (GPS). USP, São

Paulo. 2002.

Camil, Gemael. Introdução a Geodésia Geométrica. Apostila. UFPR.

Curtiba. 1987.

Camil, Gemael. Sistemas de Projeção. Apostila. UFPR. Curitiba.

Hurn, J. GPS – Um Guia Para a Próxima Utilidade. Trimble Navigation

Limited. EUA. 1989.

Leick, A. GPS – Satellite Surveying. Wiley-Interscience Publication. EUA.

1995.

Mônico, J. F. G. Posicionamento pelo NAVSTAR-GPS. Editora Unesp.

S.P. 2000.

Mônico, J. F. G. Posicionamento pelo GNSS. Editora Unesp. S.P. 2008.

Seeber, G. Satellite Geodesy - Foundations, methods and applications.

Walter de Gruyter. Berlin. 1993

Seeber, G; Costa, V. Princípios Básicos do GPS Nas Medições Gedésicas. Revista

da Comissão Brasileira de Geodésia. 1997.

Smith, J. R. Introduction to Geodesy – The History and Concepts of Modern

Geodesy. Wiley-Interscience Publication. EUA. 1996.

GEODSIA APLICADA_EduardoXX

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