Geometria Analıtica e Algebra Linear - 2013/1

Francisco Dutenhefner

chico@mat.ufmg.br

www.mat.ufmg.br/˜chico

Sistemas Lineares

{3x + y = 36x + 5y = −3

Matricialmente:

[3 16 5

] [xy

]=

[3−3

]AX = B

Matriz aumentada:

[3 1 36 5 −3

][ A

... B ]

Solucao: x = 2 e y = −3

Sistemas Lineares

{3x + y = 36x + 5y = −3

Matricialmente:

[3 16 5

] [xy

]=

[3−3

]AX = B

Matriz aumentada:

[3 1 36 5 −3

][ A

... B ]

Solucao: x = 2 e y = −3

Sistemas Lineares

{3x + y = 36x + 5y = −3

Matricialmente:

[3 16 5

] [xy

]=

[3−3

]AX = B

Matriz aumentada:

[3 1 36 5 −3

][ A

... B ]

Solucao: x = 2 e y = −3

Sistemas Lineares

{3x + y = 36x + 5y = −3

Matricialmente:

[3 16 5

] [xy

]=

[3−3

]AX = B

Matriz aumentada:

[3 1 36 5 −3

][ A

... B ]

Solucao: x = 2 e y = −3

Escalonamento

Operacoes elementares em linhas:

I Trocar da posicao de duas linhas. (Li ↔ Lj)

I Multiplicar uma linha por um numero 6= 0. (Li ← αLi )

I Somar a uma linha um multiplo de outra linha.(Li ← Li + αLj)

Teorema: Operacoes elementares em linhas nao alteram oconjunto solucao do sistema linear.

Escalonamento

Operacoes elementares em linhas:

I Trocar da posicao de duas linhas. (Li ↔ Lj)

I Multiplicar uma linha por um numero 6= 0. (Li ← αLi )

I Somar a uma linha um multiplo de outra linha.(Li ← Li + αLj)

Teorema: Operacoes elementares em linhas nao alteram oconjunto solucao do sistema linear.

Escalonamento

Operacoes elementares em linhas:

I Trocar da posicao de duas linhas. (Li ↔ Lj)

I Multiplicar uma linha por um numero 6= 0. (Li ← αLi )

I Somar a uma linha um multiplo de outra linha.(Li ← Li + αLj)

Teorema: Operacoes elementares em linhas nao alteram oconjunto solucao do sistema linear.

Escalonamento

Operacoes elementares em linhas:

I Trocar da posicao de duas linhas. (Li ↔ Lj)

I Multiplicar uma linha por um numero 6= 0. (Li ← αLi )

I Somar a uma linha um multiplo de outra linha.(Li ← Li + αLj)

Teorema: Operacoes elementares em linhas nao alteram oconjunto solucao do sistema linear.

Escalonamento

Operacoes elementares em linhas:

I Trocar da posicao de duas linhas. (Li ↔ Lj)

I Multiplicar uma linha por um numero 6= 0. (Li ← αLi )

I Somar a uma linha um multiplo de outra linha.(Li ← Li + αLj)

Teorema: Operacoes elementares em linhas nao alteram oconjunto solucao do sistema linear.

Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5

2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1

L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1

x + y + z = 5−y + 2z = −8y − z = −11

L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5

2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1

L2 ← L2 − 2L1

L3 ← L3 − 2L1 x + y + z = 5

−y + 2z = −8y − z = −11

L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5

2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1

L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1

x + y + z = 5

−y + 2z = −8y − z = −11

L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5

2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1

L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1

x + y + z = 5

−y + 2z = −8y − z = −11

L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5

2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1

L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1

x + y + z = 5−y + 2z = −8

y − z = −11

L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5

2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1

L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1

x + y + z = 5−y + 2z = −8y − z = −11

L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5

2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1

L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1

x + y + z = 5−y + 2z = −8y − z = −11

L3 ← L3 + L2

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5

2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1

L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1

x + y + z = 5−y + 2z = −8y − z = −11

L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5

2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1

L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1

x + y + z = 5−y + 2z = −8y − z = −11

L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5

−y + 2z = −8

z = −19

Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5

2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1

L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1

x + y + z = 5−y + 2z = −8y − z = −11

L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Daı z = −19

Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.

Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.

Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.

Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Daı z = −19

Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.

Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.

Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.

Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Daı z = −19

Na segunda linha,−y + 2z = −8

⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.

Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.

Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.

Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Daı z = −19

Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8

⇒ y = −38 + 8 = −30.

Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.

Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.

Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Daı z = −19

Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8

= −30.

Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.

Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.

Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Daı z = −19

Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.

Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.

Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.

Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Daı z = −19

Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.

Na primeira linha,x = 5− y − z

⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.

Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.

Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Daı z = −19

Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.

Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19

= 54.

Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.

Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Daı z = −19

Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.

Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.

Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.

Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

Daı z = −19

Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.

Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.

Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.

Escalonamento

I Dado um sistema linear, ate que momento devemos aplicaroperacoes elementares nas suas linhas?

I Quando o sistema esta resolvido?

Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema estasendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o maisproximo disso.

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

1 1 1 50 −1 2 −80 0 1 −19

Escalonamento

I Dado um sistema linear, ate que momento devemos aplicaroperacoes elementares nas suas linhas?

I Quando o sistema esta resolvido?

Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema estasendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o maisproximo disso.

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

1 1 1 50 −1 2 −80 0 1 −19

Escalonamento

I Dado um sistema linear, ate que momento devemos aplicaroperacoes elementares nas suas linhas?

I Quando o sistema esta resolvido?

Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema estasendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o maisproximo disso.

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

1 1 1 50 −1 2 −80 0 1 −19

Escalonamento

I Dado um sistema linear, ate que momento devemos aplicaroperacoes elementares nas suas linhas?

I Quando o sistema esta resolvido?

Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema estasendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o maisproximo disso.

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

1 1 1 50 −1 2 −80 0 1 −19

Escalonamento

I Dado um sistema linear, ate que momento devemos aplicaroperacoes elementares nas suas linhas?

I Quando o sistema esta resolvido?

Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema estasendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o maisproximo disso.

x + y + z = 5

−y + 2z = −8z = −19

1 1 1 50 −1 2 −80 0 1 −19

Matriz Escalonada Reduzida

Vamos escalonar ate:

I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.

I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)

I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.

I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.

Exemplos:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida

Vamos escalonar ate:

I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.

I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)

I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.

I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.

Exemplos:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida

Vamos escalonar ate:

I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.

I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)

I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.

I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.

Exemplos:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida

Vamos escalonar ate:

I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.

I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)

I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.

I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.

Exemplos:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida

Vamos escalonar ate:

I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.

I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)

I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.

I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.

Exemplos:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida

Vamos escalonar ate:

I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.

I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)

I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.

I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.

Exemplos:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida

Vamos escalonar ate:

I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.

I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)

I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.

I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.

Exemplos:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida

Vamos escalonar ate:

I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.

I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)

I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.

I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.

Exemplos:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1

De o conjunto solucao do sistema linear:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

x + 5y = 2

z = 30 = 0

Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .

y e variavel livre (pode assumir qualquer valor)

S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1

De o conjunto solucao do sistema linear:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

x + 5y = 2z = 30 = 0

Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .

y e variavel livre (pode assumir qualquer valor)

S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1

De o conjunto solucao do sistema linear:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

x + 5y = 2z = 30 = 0

Solucao: z = 3

e x = 2− 5y para qualquer y .

y e variavel livre (pode assumir qualquer valor)

S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1

De o conjunto solucao do sistema linear:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

x + 5y = 2z = 30 = 0

Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .

y e variavel livre (pode assumir qualquer valor)

S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1

De o conjunto solucao do sistema linear:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

x + 5y = 2z = 30 = 0

Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .

y e variavel livre (pode assumir qualquer valor)

S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1

De o conjunto solucao do sistema linear:

A1 =

1 5 0 20 0 1 30 0 0 0

x + 5y = 2z = 30 = 0

Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .

y e variavel livre (pode assumir qualquer valor)

S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2

De o conjunto solucao do sistema linear:

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

x − z = −1

y + 2z = 4w = 1

Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .

z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)

S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2

De o conjunto solucao do sistema linear:

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

x − z = −1y + 2z = 4

w = 1

Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .

z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)

S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2

De o conjunto solucao do sistema linear:

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

x − z = −1y + 2z = 4

w = 1

Solucao: w = 1

, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .

z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)

S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2

De o conjunto solucao do sistema linear:

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

x − z = −1y + 2z = 4

w = 1

Solucao: w = 1, y = 4− 2z

e x = −1 + z , para qualquer z .

z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)

S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2

De o conjunto solucao do sistema linear:

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

x − z = −1y + 2z = 4

w = 1

Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .

z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)

S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2

De o conjunto solucao do sistema linear:

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

x − z = −1y + 2z = 4

w = 1

Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .

z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)

S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2

De o conjunto solucao do sistema linear:

A2 =

1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1

x − z = −1y + 2z = 4

w = 1

Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .

z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)

S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }

Matriz escalonada reduzida: dica legal

A1 =

1 5 0 2

0 0 1 30 0 0 0

Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .Nesta caso, y e variavel livre.

A2 =

1 0 −1 0 −1

0 1 2 0 4

0 0 0 1 1

Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .Neste caso, z e variavel livre.

Observacao: quando a matriz esta na forma escalonada reduzida,e quando o sistema tem solucao, as variaveis livres estao nascolunas sem pivo.

Matriz escalonada reduzida: dica legal

A1 =

1 5 0 2

0 0 1 30 0 0 0

Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .Nesta caso, y e variavel livre.

A2 =

1 0 −1 0 −1

0 1 2 0 4

0 0 0 1 1

Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .Neste caso, z e variavel livre.

Observacao: quando a matriz esta na forma escalonada reduzida,e quando o sistema tem solucao, as variaveis livres estao nascolunas sem pivo.

Matriz escalonada reduzida: dica legal

A1 =

1 5 0 2

0 0 1 30 0 0 0

Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .Nesta caso, y e variavel livre.

A2 =

1 0 −1 0 −1

0 1 2 0 4

0 0 0 1 1

Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .Neste caso, z e variavel livre.

Observacao: quando a matriz esta na forma escalonada reduzida,e quando o sistema tem solucao, as variaveis livres estao nascolunas sem pivo.

Exemplos passo a passo

I Vamos apresentar a solucao detalhada de tres sistemaslineares.

I Em cada um deles o escalonamento sera feito detalhadamente.

I Tente resolver sozinho estes exemplos.

I Entenda o algoritmo que esta sendo executado em cadaexemplo.

I Isto e muitoooo importante.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

Resolva o sistema linearx + 2y − z = 1

3x + y + 4z = 2−2x − 3y + z = 1

Solucao. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Identifique, ou obtenha o pivo da primeira linha. 1 2 −1 1

3 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

Resolva o sistema linearx + 2y − z = 1

3x + y + 4z = 2−2x − 3y + z = 1

Solucao. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Identifique, ou obtenha o pivo da primeira linha. 1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

Resolva o sistema linearx + 2y − z = 1

3x + y + 4z = 2−2x − 3y + z = 1

Solucao. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Identifique, ou obtenha o pivo da primeira linha. 1 2 −1 1

3 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

Resolva o sistema linearx + 2y − z = 1

3x + y + 4z = 2−2x − 3y + z = 1

Solucao. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Identifique, ou obtenha o pivo da primeira linha. 1 2 −1 1

3 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 + 2L1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.

Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 + 2L1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.

Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 + 2L1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.

Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 + 2L1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.

Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 + 2L1

1 2 −1 1

0 −5 7 −10 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.

Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 + 2L1

1 2 −1 10 −5 7 −1

0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.

Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 + 2L1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.

Vamos para a segunda.

Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 + 2L1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.

Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 + 2L1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.

Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.

Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 + 2L1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.

Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes.

L2 ↔ L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivo.

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 + 2L1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.

Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

L2 ↔ L3

1 2 −1 10 1 −1 30 −5 7 −1

Pronto, apareceu o pivo da segunda linha. 1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

L2 ↔ L3

1 2 −1 10 1 −1 30 −5 7 −1

Pronto, apareceu o pivo da segunda linha. 1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

L2 ↔ L3

1 2 −1 10 1 −1 30 −5 7 −1

Pronto, apareceu o pivo da segunda linha. 1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3

L2 ↔ L3

1 2 −1 10 1 −1 30 −5 7 −1

Pronto, apareceu o pivo da segunda linha. 1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo

L1 ← L1 − 2L2

L3 ← L3 + 5L2

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo

L1 ← L1 − 2L2

L3 ← L3 + 5L2

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo

L1 ← L1 − 2L2

L3 ← L3 + 5L2

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo

L1 ← L1 − 2L2

L3 ← L3 + 5L2

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo

L1 ← L1 − 2L2

L3 ← L3 + 5L2

1 0 1 −5

0 1 −1 30 0 2 14

Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo

L1 ← L1 − 2L2

L3 ← L3 + 5L2

1 0 1 −50 1 −1 3

0 0 2 14

Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo

L1 ← L1 − 2L2

L3 ← L3 + 5L2

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo

L1 ← L1 − 2L2

L3 ← L3 + 5L2

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.

Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo

L1 ← L1 − 2L2

L3 ← L3 + 5L2

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.

As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo

L1 ← L1 − 2L2

L3 ← L3 + 5L2

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas.

Vamos para a terceira.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 2 −1 1

0 1 −1 30 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo

L1 ← L1 − 2L2

L3 ← L3 + 5L2

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha.

L3 ←1

2L3 1 0 1 −5

0 1 −1 3

0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.

A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha. L3 ←

1

2L3

1 0 1 −50 1 −1 3

0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.

A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha. L3 ←

1

2L3 1 0 1 −5

0 1 −1 3

0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.

A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha. L3 ←

1

2L3 1 0 1 −5

0 1 −1 3

0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.

A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha. L3 ←

1

2L3 1 0 1 −5

0 1 −1 3

0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.

A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha. L3 ←

1

2L3 1 0 1 −5

0 1 −1 3

0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.

A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha. L3 ←

1

2L3 1 0 1 −5

0 1 −1 3

0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.

A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 3

0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.

L1 ← L1 − L3

L2 ← L2 + L3

1 0 0 −120 1 0 100 0 1 7

Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 3

0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.

L1 ← L1 − L3

L2 ← L2 + L3

1 0 0 −120 1 0 100 0 1 7

Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 3

0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.

L1 ← L1 − L3

L2 ← L2 + L3

1 0 0 −120 1 0 100 0 1 7

Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 3

0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.

L1 ← L1 − L3

L2 ← L2 + L3

1 0 0 −120 1 0 100 0 1 7

Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 3

0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.

L1 ← L1 − L3

L2 ← L2 + L3

1 0 0 −12

0 1 0 100 0 1 7

Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 3

0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.

L1 ← L1 − L3

L2 ← L2 + L3

1 0 0 −120 1 0 10

0 0 1 7

Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 3

0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.

L1 ← L1 − L3

L2 ← L2 + L3

1 0 0 −120 1 0 100 0 1 7

Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .

Escalonamento. Exemplo detalhado 1

1 0 1 −50 1 −1 3

0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.

L1 ← L1 − L3

L2 ← L2 + L3

1 0 0 −120 1 0 100 0 1 7

Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

Resolva o sistema linearx + y + 2z = 5

2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3

Para este exemplo, durante o escalonamento vamos apresentartanto o sistema de equacoes quanto a matriz aumentada.

x + y + 2z = 5

2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3

1 1 2 52 3 4 −11 −2 1 3

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1

x + y + 2z = 5y = −11

− 3y − z = −2

1 1 2 50 1 0 −110 −3 −1 −2

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

Resolva o sistema linearx + y + 2z = 5

2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3

Para este exemplo, durante o escalonamento vamos apresentartanto o sistema de equacoes quanto a matriz aumentada.

x + y + 2z = 5

2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3

1 1 2 52 3 4 −11 −2 1 3

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1x + y + 2z = 5

y = −11− 3y − z = −2

1 1 2 50 1 0 −110 −3 −1 −2

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

Resolva o sistema linearx + y + 2z = 5

2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3

Para este exemplo, durante o escalonamento vamos apresentartanto o sistema de equacoes quanto a matriz aumentada.

x + y + 2z = 5

2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3

1 1 2 52 3 4 −11 −2 1 3

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1

x + y + 2z = 5

y = −11− 3y − z = −2

1 1 2 50 1 0 −110 −3 −1 −2

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

Resolva o sistema linearx + y + 2z = 5

2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3

Para este exemplo, durante o escalonamento vamos apresentartanto o sistema de equacoes quanto a matriz aumentada.

x + y + 2z = 5

2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3

1 1 2 52 3 4 −11 −2 1 3

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1

x + y + 2z = 5y = −11

− 3y − z = −2

1 1 2 50 1 0 −110 −3 −1 −2

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

Resolva o sistema linearx + y + 2z = 5

2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3

Para este exemplo, durante o escalonamento vamos apresentartanto o sistema de equacoes quanto a matriz aumentada.

x + y + 2z = 5

2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3

1 1 2 52 3 4 −11 −2 1 3

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1

x + y + 2z = 5y = −11

− 3y − z = −2

1 1 2 50 1 0 −110 −3 −1 −2

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

x + y + 2z = 5

y = −11− 3y − z = −2

1 1 2 5

0 1 0 −110 −3 −1 −2

L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2

x + 2z = 16

y = −11−z = −35

1 0 2 160 1 0 −110 0 −1 −35

L3 ← −L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

x + y + 2z = 5

y = −11− 3y − z = −2

1 1 2 5

0 1 0 −110 −3 −1 −2

L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2

x + 2z = 16

y = −11−z = −35

1 0 2 160 1 0 −110 0 −1 −35

L3 ← −L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

x + y + 2z = 5

y = −11− 3y − z = −2

1 1 2 5

0 1 0 −110 −3 −1 −2

L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2

x + 2z = 16

y = −11−z = −35

1 0 2 160 1 0 −110 0 −1 −35

L3 ← −L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

x + y + 2z = 5

y = −11− 3y − z = −2

1 1 2 5

0 1 0 −110 −3 −1 −2

L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2

x + 2z = 16

y = −11−z = −35

1 0 2 160 1 0 −110 0 −1 −35

L3 ← −L3

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

x + 2z = 16

y = −11z = 35

1 0 2 160 1 0 −11

0 0 1 35

L1 ← L1 − 2L3x = −54

y = −11z = 35

1 0 0 −540 1 0 −110 0 1 35

Solucao: x = −54, y = −11 e z = 35.

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

x + 2z = 16

y = −11z = 35

1 0 2 160 1 0 −11

0 0 1 35

L1 ← L1 − 2L3

x = −54

y = −11z = 35

1 0 0 −540 1 0 −110 0 1 35

Solucao: x = −54, y = −11 e z = 35.

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

x + 2z = 16

y = −11z = 35

1 0 2 160 1 0 −11

0 0 1 35

L1 ← L1 − 2L3

x = −54y = −11

z = 35

1 0 0 −540 1 0 −110 0 1 35

Solucao: x = −54, y = −11 e z = 35.

Escalonamento. Exemplo detalhado 2

x + 2z = 16

y = −11z = 35

1 0 2 160 1 0 −11

0 0 1 35

L1 ← L1 − 2L3

x = −54y = −11

z = 35

1 0 0 −540 1 0 −110 0 1 35

Solucao: x = −54, y = −11 e z = 35.

Escalonamento. Exemplo detalhado 3

Resolva o sistema linearx − 2y + z = 2

2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2

Aqui tambem vamos indicar o sistema de equacoes lineares e amatriz aumentada.

x − 2y + z = 2

2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2

1 −2 1 22 −5 1 −13 −7 2 2

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1

x − 2y + z = 2−y − z = −5−y − z = −4

1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4

Escalonamento. Exemplo detalhado 3

Resolva o sistema linearx − 2y + z = 2

2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2

Aqui tambem vamos indicar o sistema de equacoes lineares e amatriz aumentada.

x − 2y + z = 2

2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2

1 −2 1 22 −5 1 −13 −7 2 2

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1x − 2y + z = 2

−y − z = −5−y − z = −4

1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4

Escalonamento. Exemplo detalhado 3

Resolva o sistema linearx − 2y + z = 2

2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2

Aqui tambem vamos indicar o sistema de equacoes lineares e amatriz aumentada.

x − 2y + z = 2

2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2

1 −2 1 22 −5 1 −13 −7 2 2

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1

x − 2y + z = 2

−y − z = −5−y − z = −4

1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4

Escalonamento. Exemplo detalhado 3

Resolva o sistema linearx − 2y + z = 2

2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2

Aqui tambem vamos indicar o sistema de equacoes lineares e amatriz aumentada.

x − 2y + z = 2

2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2

1 −2 1 22 −5 1 −13 −7 2 2

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1

x − 2y + z = 2−y − z = −5−y − z = −4

1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4

Escalonamento. Exemplo detalhado 3

Resolva o sistema linearx − 2y + z = 2

2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2

Aqui tambem vamos indicar o sistema de equacoes lineares e amatriz aumentada.

x − 2y + z = 2

2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2

1 −2 1 22 −5 1 −13 −7 2 2

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1

x − 2y + z = 2−y − z = −5−y − z = −4

1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4

Escalonamento. Exemplo detalhado 3

x − 2y + z = 2

−y − z = −5−y − z = −4

1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4

L2 e L3 sao incoerentes. Sistema impossıvel. S = ∅

Escalonamento. Exemplo detalhado 3

x − 2y + z = 2

−y − z = −5−y − z = −4

1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4

L2 e L3 sao incoerentes. Sistema impossıvel. S = ∅

Sugestao Final

I Refaca todos os exemplos desta aula.

I Tente escalonar sozinho, seguindo o algoritmo dado.

I Saber escanolar e fundamental para resolucao de sistemaslineares, calculo da matriz inversa e o calculo do determinante.

I E importante que voce domine o escalonamento.