Geometria Analítica e Álgebra...

2018/Sem_02

NOTAS DE AULA

Geometria Analítica e

Álgebra Linear

Transformações Lineares

Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.

Geometria Analítica e Álgebra Linear


ii

Índice 6 Transformações Lineares ......................................................................................... 1

6.1 Definição ........................................................................................................... 1 6.2 Imagem de uma transformação linear ............................................................... 3 6.3 Núcleo de uma transformação linear ................................................................ 4 6.4 Matriz de uma transformação Linear ................................................................ 8

6.5 Transformações invertíveis ............................................................................. 11 6.6 Exercícios Propostos ....................................................................................... 12 Referências Bibliográficas ........................................................................................ 13

Prof. Nunes 1


6 Transformações Lineares

6.1 Definição Sejam V e W dois espaços vetoriais e WVT : uma função dada.

Dizemos que T é uma transformação linear quando satisfaz:

(i) )()()(, vTuTvuTVvu

(ii) )()(, vTkvkTVvk

Exemplos:

1) Considere a função :T , definida por xaxT )( , onde a .

Prove que esta função é uma transformação linear.

Para provar isto, devemos verificar que as condições (i) e (ii) são satisfeitas.

(i) )()()()(, vTuTvauavuavuTvu

(ii) )()()()(, vTkvakvkavkTvk

Logo T é de fato uma transformação linear!

O gráfico dessa função é uma reta que passa pela origem, tendo a como coeficiente linear (ou

taxa de variação).

2) Considere a função 32: T , definida por ),0,2(),( yxxyxT .

Prove que esta função é uma transformação linear.

Novamente devemos verificar que as condições (i) e (ii) são satisfeitas.

Vamos considerar 2

11 ),( yxu e 2

22 ),( yxv .

Neste caso 2

2121 ),( yyxxvu e ),(),( 2222 ykxkyxkvk

(Considerando as operações usuais)

(i) ),()( 2121 yyxxTvuT ))()(,0),(2( 212121 yyxxxx

))()(,0,22( 221121 yxyxxx ),0,2(),0,2( 222111 yxxyxx

)()(),(),( 2211 vTuTyxTyxT

(ii) ),0,2(),()( 22222 ykxkxkykxkTvkT

)(),(),0,2( 22222 vTkyxTkyxxk


3) A partir de uma matriz nmA , sempre podemos associar uma transformação linear mn

AT : , cuja regra é obtida como:

vAvTA )( , onde v é tomado como um vetor coluna.

Observe o caso particular:

Prof. Nunes 2


,:

03

71

2432

ATA tal que:

x

yx

yx

y

xzyxTA

3

7

24

03

71

24

),,(

Logo, a regra da transformação )3,7,24(),,( xyxyxzyxTA .

Do mesmo modo, dada uma transformação linear, por exemplo: T: 34 RR , tal que:

),,(),,,( tzytzyxtzyxT , podemos associar a ela matriz A de ordem 43 :

1110

1100

0011

A .

De fato, temos que

tzy

tz

yx

t

z

y

x

1110

1100

0011

.

Observação: isto significa que se multiplicarmos A, à sua direita, pelas coordenadas de um

vetor na base canônica, obteremos as coordenadas, também na base canônica, da imagem do

referido vetor.

Teorema:

Seja WVT : uma transformação linear. Então 0)0(

T .

Demonstração:

v 00

, Vv

0)(0)0()0(

vTvTT , logo: 0)0(

T

Isto significa que uma transformação linear, sempre associa vetor nulo do domínio com vetor

nulo do contradomínio.

Observação: A recíproca nem sempre é verdadeira! Isto é, nem toda transformação que

associa vetor nulo do domínio com vetor nulo do contradomínio é uma transformação linear.

Teorema:

Seja WVT : uma transformação linear.

Se },...,,{ 21 nvvv é uma base de V (isto é, a dimensão de V é n) e },...,,{ 21 nwww é um

conjunto com exatamente n vetores arbitrários de W, então:

Existe uma única transformação linear WVT : , tal que:

11 wvT

22 wvT

nn wvT

Exemplos:

Prof. Nunes 3


1) Encontre a regra da transformação linear T: 33 RR , tal que: 4,1,32,0,1 T ;

1,0,11,1,0 T e 5,3,43,1,1 T .

Resolução:

É possível de se verificar que os vetores 2,0,1 , 1,1,0 e 3,1,1 formam uma base do 3R .

(para isto basta verificar que o conjunto formado por estes vetores é L.I. e que o conjunto

gerado por estes vetores é exatamente igual ao 3R ).

Primeiramente escrevemos um vetor zyx ,, genérico do 3R como uma combinação linear

dos vetores da base:

3,1,11,1,02,0,1,, cbazyx

zcba

ycb

xca

32

z

y

x

312

110

101

zyx

y

x

2200

110

101

Logo encontramos: 2

4 zyxa

,

2

2 zyxb

e

2

2 zyxc

Então: 3,1,12

21,1,0

2

22,0,1

2

4,,

zyxzyxzyxzyx

3,1,12

21,1,0

2

22,0,1

2

4,, T

zyxT

zyxT

zyxzyxT

5,3,42

21,0,1

2

24,1,3

2

4,,

zyxzyxzyxzyxT

Resposta: zxzyxzxzyxT 2,,,,

2) Encontre a regra da transformação linear T: 32 RR , tal que: 5,4,30,1 T e

9,8,71,0 T .

Resolução:

Repare que os vetores 0,1 e 1,0 formam uma base do 2R . É a base canônica, o que irá

facilitar bastante os cálculos.

Primeiramente escrevemos um vetor yx, genérico do 2R como uma combinação linear dos

vetores da base:

yb

xababayxbayx ,,00,,1,00,1,

Então: 1,00,1, yxyx

9,8,75,4,31,00,1]1,00,1[, yxTyTxyxTyxT

yxyxyxyxT 95,84,73,

Resposta: yxyxyxyxT 95,84,73,

6.2 Imagem de uma transformação linear Seja WVT : uma transformação linear.

Prof. Nunes 4


Chamamos de imagem desta transformação linear e representamos por )(Im T ou )(VT , ao

conjunto:

})(::{)()(Im wvTVvWwVTT

Observações:

a) WT )(Im

b) ),(Im0 T

pois sabemos que 0)0(

T

c) )(Im T é um subespaço vetorial de W, isto é:

(i) )(Im)(Im, 2121 TwwTww

(ii) )(Im)(Im, TwkTwk

6.3 Núcleo de uma transformação linear Seja WVT : uma transformação linear.

Chamamos de núcleo desta transformação linear e representamos por )(Ker T , ao conjunto:

}0)(:{)(Ker

vTVvT

Observações:

a) VT )(Ker

b) ),(Ker0 T

pois sabemos que 0)0(

T

c) )(Ker T é um subespaço vetorial de V, isto é:

i) )(Ker)(Ker, 2121 TvvTvv .

ii) )(Ker)(Ker, TvkTvk .

Ilustração:

Exemplos:

1) Dada a transformação linear T: 33 RR , tal que: )0,2,(),,( yxzyxT , encontre:

a) A imagem desta transformação linear.

b) o Núcleo desta transformação linear.

Prof. Nunes 5


Resolução:

a) )0,2,(),,( yxzyxT )0,2,0()0,0,1( yx

])0,2,0(),0,0,1([

Logo ])0,2,0(),0,0,1([)(Im T

b) )0,0,0()0,2,(),,( yxzyxT

00

02

0

y

x

z

y

x

0

0

Logo .},),0,0({)(Ker zzT

2) Dada a transformação linear T: 32 RR , tal que: )3,,(),( xyyxyxT , encontre a

relação entre a, b e c, para que o vetor )Im(,, Tcba .

Resolução:

)3,,(),( xyyxyxT

cyx

byx

ayx

cbaxyyxyxT

03

0,,)3,,(,

Este sistema de equações lineares deverá ser possível! Resolvendo, por escalonamento:

cba

b

a

c

b

a

cyx

byx

ayx

3300

10

11

03

10

11

03

0

Logo, para que o sistema seja possível devemos ter cba 33 .

Resposta: cba 33 .

3) Dada a transformação linear T: 34 RR , tal que:

)32,2,(),,,( tzyxtyxtzxtzyxT , encontre:

a) Uma base para a imagem desta transformação linear.

b) Uma base para o Núcleo desta transformação linear.

Resolução:

a) Podemos reescrever a regra desta transformação linear como:

)32,2,(),,,( tzyxtyxtzxtzyxT

)3,2,1()1,0,1()1,1,0()2,1,1( tzyx

Prof. Nunes 6


Então podemos dizer que:

])3,2,1(),1,0,1(),1,1,0(),2,1,1([)Im( T , isto é, a imagem de T é o conjunto gerado

pelos vetores: )3,2,1(e)1,0,1(),1,1,0(),2,1,1( (em outras palavras, é o conjunto de

todas as combinações lineares possíveis de serem formadas com estes vetores).

No entanto, o conjunto })3,2,1(),1,0,1(),1,1,0(),2,1,1({ não pode ser uma base para

a imagem de T, pois quatro vetores do 3R formam um conjunto L.D.

Assim, temos que extrair uma base deste conjunto.

Uma maneira de se fazer isso, é escrever um vetor sobre o outro, como na matriz que segue:

321

101

110

211

. Na sequencia, transformamos esta matriz em uma matriz escada, utilizando

operações elementares nas linhas desta matriz.

000

000

110

211

110

110

110

211

321

101

110

211

.

Assim, as linhas não zeradas formam os vetores da referida base.

Resposta: Base da Im(T): )}1,1,0(),2,1,1({ e Dim )Im(T =2.

b) )0,0,0()32,2,(),,,( tzyxtyxtzxtzyxT

032

02

0

tzyx

tyx

tzx

escalonando obtemos:

tzy

tzx

tzy

tzx

0

0

Assim, as soluções são da forma: )1,0,1,1()0,1,1,1(),,,( tztztztz

Logo )].1,0,1,1(,)0,1,1,1[()(Ker T

Como )}1,0,1,1(,)0,1,1,1{( é L.I. e )]1,0,1,1(,)0,1,1,1[()(Ker T , podemos

dizer que )}1,0,1,1(,)0,1,1,1{( é uma base para o )(Ker T e Dim )(Ker T =2.

Resposta: Base do )(Ker T : )}1,0,1,1(,)0,1,1,1{( .

Definições:


vuvTuTT )()(injetoraé

WTT )Im(asobrejetoré

asobrejetoreinjetoraébijetoraé TT .

Definição:

Uma transformação linear VVT : é chamada de operador linear.

Teorema:

Prof. Nunes 7



}0{)(Kerinjetoraé

TT .

Demonstração:

)(

Hipótese: vuvuTT )T()(injetora,é

Tese: 0)(Ker}0{)(Ker

uTuT

)0(0)()(Ker

TuTTu usando a hipótese }0{)(Ker0

Tu .

)(

Hipótese: 0)(Ker}0{)(Ker

uTuT

Tese: vuvuTT )T()(injetora,é

)(Ker0)(0)T()()()( TvuvuTvuTvTuT

usando a hipótese

Teorema do Núcleo e da Imagem:


VTT Dim)(ImDim)(KerDim .

Consequências:

(i) Seja VVT : um operador linear. sobrejetoréinjetoré TT .

(ii) Seja WVT : uma transformação linear. WVT DimDiminjetoraé .

(iii) Seja WVT : uma transformação linear. VWT DimDimasobrejetoré .

(iv) Seja WVT : uma transformação linear. WVT DimDimbijetoraé .

Definição:

Seja WVT : uma transformação linear bijetora, dizemos que T é um isomorfismo.

Exemplo:

1) Mostre que a transformação 33: T , tal que ),,2(),,( yxzyxzyxT .

Resolução:

a) Primeiramente temos que provar que T é linear:

Vamos considerar 3

111 ),,( zyxu e 3

222 ),,( zyxv .

Neste caso 3

212121 ),,( zzyyxxvu e ),,(),,( 222222 zkykxkzyxkvk

(Considerando as operações usuais).

(i) ),,()( 212121 zzyyxxTvuT

))()(,),(2)(( 2121212121 yyxxzzyyxx

),,22( 2211212211 yxyxzzyxyx

Prof. Nunes 8


),,2(),,2( 2222211111 yxzyxyxzyx

)()(),(),( 2211 vTuTyxTyxT

(ii) ),,2(),,()( 22222222 ykxkzkykxkzkykxkTvkT

)(),,(),,2( 22222222 vTkzyxTkyxzyxk


b) Agora calcularemos o )(Ker T :

00

000

002

)0,0,0(),,2(),,(

zyx

zyx

zyx

yxzyxzyxT Resolvendo, concluímos que:

...0 DPSzyx

Assim, })0,0,0({)(Ker T , logo T é uma transformação linear injetora.

Como todo operador linear injetor é também sobrejetor (ver teorema anterior), concluímos

que T é uma bijeção e portanto um isomorfismo.

Observação: Um outro caminho seria calcular a )(Im T , concluindo que 3)(Im T , o que

indicaria que T é sobrejetor. Nesse caso, pelo mesmo teorema citado anteriormente, sendo T

um operador linear, podemos concluir que T é também injetor e portanto um operador bijetor.

Logo T é um isomorfismo.

6.4 Matriz de uma transformação Linear Sejam WVT : uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W.

Sem prejuízo da generalização, consideremos o caso em que dim V = 2 e dim W = 3.

Sejam 21, vvA e 321 ,, wwwB bases de V e W, respectivamente.

Um vetor Vv pode ser expresso por:

2211 vxvxv , isto é

2

1

x

xv A e a imagem vT por:

332211 wywywyvT (1)

isto é

3

2

1

y

y

y

vT B

Por outro lado:

22112211 vTxvTxvxvxTvT (2)

Sendo 1vT e 2vT vetores de W, eles são combinações lineares dos vetores de B:

3312211111 wawawavT (3)

3322221122 wawawavT (4)

Substituindo estes valores em (2), vem:

Prof. Nunes 9


33222211223312211111 wawawaxwawawaxvT ou

323213122221211212111 wxaxawxaxawxaxavT

Comparando esta igualdade com (1), conclui-se:

2121111 xaxay

2221212 xaxay

2321313 xaxay

Ou, na forma matricial:

2

1

3231

2221

1211

3

2

1

x

x

aa

aa

aa

y

y

y

ou, simbolicamente:

AABB vTvT sendo a matriz A

BT denominada matriz de T em relação às bases A e B.

Observações:

a) A matriz ABT é de ordem 23 quando dim V = 2 e dim W = 3.

b) As colunas da matriz ABT são as coordenadas das imagens dos vetores da base A em

relação à base B, conforme se pode ver em (3) e (4).

De um modo geral, para WVT : linear, se dim V = n e dim W = m, nvvvA ,,, 21 e

mwwwB ,,, 21 bases de V e W, respectivamente, teremos que ABT é uma matriz de

ordem nm , onde cada coluna é formada pelas coordenadas das imagens dos vetores de A

em relação à base B:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

c) Como se vê, a matriz ABT depende das bases A e B consideradas, isto é, cada dupla de

bases corresponde uma particular matriz. Assim, uma transformação linear poderá ter uma

infinidade de matrizes para representá-la. No entanto, fixadas as bases, a matriz é única.

Exemplos:

1) Seja 23: T tal que zyxzyxzyxT 23,2,, linear.

Consideremos as bases 321 ,, vvvA com 1,1,11 v , 1,1,02 v e 1,0,03 v e

21 , wwB sendo 1,21 w e 3,52 w .

a) Determinar ABT .

b) Se 2,4,3 v (coordenadas em relação à base canônica do 3 ), calcular BvT

utilizando a matriz encontrada.

Resolução:

a) A matriz é de ordem 32 :

232221

131211

aaa

aaaT A

B

Prof. Nunes 10


Fazendo:

3,51,22,21,1,1 21111 aaTvT

3,51,21,01,1,0 22122 aaTvT

3,51,22,11,0,0 23133 aaTvT

Obtemos os sistemas:

23

252

2111

2111

aa

aa

2

4

21

11

a

a

13

052

2212

2212

aa

aa

2

5

22

12

a

a

23

152

2313

2313

aa

aa

5

13

23

13

a

a

Logo:

522

1354ABT

b) Sabe-se que: AABB vTvT

Como v está expresso com coordenadas na base canônica, isto é,

1,0,020,1,040,0,132,4,3 v , teremos que, primeiramente expressá-lo na base

A, isto é:

1,0,01,1,01,1,12,4,3 cba , ou:

2

4

3

cba

ba

a

que é um sistema cuja solução é

6

7

3

c

b

a

, logo temos que

6

7

3

Av

Portanto:

10

31

6

7

3

522

1354BvT

Assim, as coordenadas de vT na base canônica são:

vT = 1,123,5101,231 , isto é

1

12canvT

2) Consideremos a mesma transformação linear do exercício anterior. Sejam as bases

1,0,0,1,1,0,1,1,1A (a mesma) e 1,0,0,1B canônica.

a) Determinar ABT .

b) Se 2,4,3 v , calcular BvT utilizando a matriz encontrada.

Respostas:

212

102ABT e

1

12BvT

Prof. Nunes 11


3) Consideremos a mesma transformação linear do exercício anterior. Sejam as bases

canônicas do 3 e do

2 : 1,0,0,0,1,0,0,0,1A e 1,0,0,1B .

a) Determinar ABT .

b) Se 2,4,3 v , calcular BvT utilizando a matriz encontrada.

Respostas:

213

112ABT e

1

12BvT

4) Dadas as bases 0,1,1,1A do 2 e 3,1,1,1,0,1,0,2,1 B do

3 ,

determinar a transformação linear 32: T , cuja matriz é:

31

21

02ABT

Resolução:

Sabe-se que o significado de cada coluna dessa matriz é:

1

1

2

1,1 BT e

3

2

0

0,1 BT , logo:

4,5,23,1,111,0,110,2,121,1 T

11,3,13,1,131,0,120,2,100,1 T

Assim, obtivemos as imagens dos vetores da base A do 2 .

Desta forma, sabendo que:

4,5,21,1 T

11,3,10,1 T

podemos obter a referida transformação linear: yxyxyxyxT 1511,83,, .

Observação: A matriz desta transformação, em relação às bases canônicas é:

1511

83

11can

canT

6.5 Transformações invertíveis Para que uma transformação linear seja invertível, é necessário e suficiente que ela

seja um isomorfismo.

Teorema:

Se WVT : é um isomorfismo, A uma base de V e B uma base de W, então a matriz da

transformação linear VWT :1 é tal que: 11

A

BBA TT

Prof. Nunes 12


Corolário: Seja WVT : uma transformação linear e A uma base de V e B uma base de W.

Então T é invertível se e só se det 0ABT

Exemplo:

1) Seja 22: T uma transformação linear dada por

32

43can

canTA , ache as regras

de T e de 1T .

a) Regra de T:

canvT

yx

yx

y

x

32

43

32

43

Logo 1,0320,143, yxyxyxTvT , isto é:

yxyxyxT 32,43,

b) Regra de 1T :

32

43

32

431

1 can

canT

canvT ][ 1

yx

yx

y

x

32

43

32

43

yxyxyxT 32,43,1

6.6 Exercícios Propostos

1) Considere a transformação linear T: 3 3 dada por T(x, y, z) = (z, x y, z)

a) determine uma base do núcleo de T.

b) dê a dimensão da imagem de T ?

c) T é sobrejetora? Justifique.

d) Faça um esboço de Ker (T) e Im (T).

Respostas:

a) 0,1,1 b) Dim Im (T) = 2 c) Não, pois 31,0,1,0,1,0),,( zyxT

2) Seja T: 3 3 definida por T(x, y, z) = (x y+2z, 2x + y, x 2y +2z)

a) T é uma transformação linear? Justifique.

b) Se (a, b, c) é um vetor de 3, quais as condições sobre a, b, c para que o vetor esteja na

imagem de T?

Respostas: a) Sim. b) 0 cab

3) Determine a aplicação linear T: 23 tal que T(1, 0, 0) = (2, 0) ; T(0, 1, 0) = (1, 1) e

T(0, 0, 1) = (0, 1). Encontre v 3 tal que T(v) = (3, 2).

Respostas: zyyxzyxT ,2),,( e

com,,2,

2

1v

4) Qual é a transformação linear T: 32 , tal que T(1, 1) = (3, 2, 1) e

Prof. Nunes 13


T(0, 2) = (0, 1, 0) ? Ache T(1, 0) e T(0, 1).

Respostas:

x

yxxyxT ,

2

5,3),( ;

1,

2

5,30,1T e

0,

2

1,01,0T

5) Seja

0 0 1-

1 2 1

0 0 0

= e

1 0

2 0

1 0

BA . Encontre Ker ( AT ), Im ( AT ), Ker ( BT ), Im ( BT )

Respostas:

0,1)(Ker AT e 1,2,1)(Im AT

2,1,0)(Ker BT e 0,1,0,1,1,0)(Im BT

6) Ache todos os valores de m, para que o operador linear T: 33 RR , cuja regra é:

mzyxzyxyxzyxT ,2,,, tenha o núcleo constituído apenas do

vetor nulo. Resposta: 2m .

Referências Bibliográficas

1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do

Brasil, 1980.

2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual,

1990.

3. LIPSCHULTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982.

4. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Introdução à Álgebra Linear. São Paulo:

McGraw-Hill do Brasil, 1990.

Geometria Analítica e Álgebra...

Documents

Transcript of Geometria Analítica e Álgebra...