Geometria – Aula 11

Geometria de Posição Rosolem e Iuri

Conceitos Primitivos

• Ponto: Orientação;

• Retas: Infinitos pontos;

• Plano: Infinitas retas.

Postulados da geometria

• Propriedade primitiva que é aceita sem demonstração.

• Postulado da existência;

• Postulado da determinação;

• Postulado da inclusão;

• Postulado da separação.

Postulado da Existência

• Existem pontos, retas e planos;

• Em cada reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos;

• Em cada plano, bem como fora dele, existem infinitas retas, e consequentemente, infinitos pontos.

Postulado da determinação

• Dois pontos distintos determinam uma única reta;

• Três pontos não colineares determinam um único plano.

Postulado da inclusão

• Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida nesse plano.

Postulado da separação

• Uma reta r contida num plano α divide esse plano em duas regiões chamadas semiplanos.

• Um plano α divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.

Posições entre retas

• Concorrentes;

• Paralelas;

• Reversas.

Retas Concorrentes

• Se possuem um ponto em comum.

Retas Paralelas

• Todos os pontos de uma reta pertence a outra;

• Em qualquer ponto de qualquer reta, a menor distância até a outra se mantém constante.

Retas Reversas

• Duas retas são ditas reversas se, e somente se, não existe plano que as contenha.

Determinação de um plano

• Uma reta e um ponta (três pontos)

• Duas retas paralelas não coincidentes.

• Duas retas concorrentes.

Posições relativas entre reta e plano

• Reta r contida no plano α.

• Reta r secante no plano α.

• Reta r paralela no plano α.

Posições relativas entre dois planos

• Coincidentes;

• Distintos;

• Secantes.

Perpendicularidade

Projeções Ortogonais

• Projeção ortogonal de um ponto P a um plano α é a intersecção do plano com a reta r que passa por P e é perpendicular a α.

• Projeção ortogonal de uma figura geométrica em um plano α é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos da figura sobre o plano.

Projeções Ortogonais

Distância

Distâncias

Geometria – Aula 12

Poliedros convexos / Teorema de Euler

Rosolem e Iuri

Poliedros Convexos

• Duas faces (polígonos) nunca estão no mesmo plano.

• Cada lado de um polígono (face) é comum a somente outro polígono.

• O plano de cada polígono (face) deixa os demais polígonos num mesmo semiespaço.

RB: Qualquer segmento formado por dois pontos pertencentes ao poliedro deve também pertencer ao poliedro.

Relação de Euler

V – A + F = 2

V + F = A + 2

V: Vértice

A: Arestas

F: Faces

Exemplos

Poliedro de Platão

• Todas as faces têm o mesmo número de arestas.

• Todos os seus ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas.

• Obedece a relação de Euler, ou seja:

V – A + F = 2

Todos Poliedro de Platão

• Tetraedro;

• Hexaedro;

• Octaedro;

• Dodecaedro;

• Icosaedro.

Tetraedro regular

• 3 arestas em cada face, 3 arestas em cada ângulo poliédrico, 6 arestas no total, 4 vértices e 4 faces.

Hexaedro regular (cubo)

• 4 arestas em cada face, 3 arestas em cada ângulo poliédrico, 12 arestas no total, 8 vértices e 6 faces.

Octaedro regular

• 3 arestas em cada face, 4 arestas em cada ângulo poliédrico, 12 arestas no total, 6 vértices e 8 faces.

Dodecaedro regular

• 5 arestas em cada face, 3 arestas em cada ângulo poliédrico, 30 arestas no total, 20 vértices e 12 faces.

Icosaedro regular

• 3 arestas em cada face, 5 arestas em cada ângulo poliédrico, 30 arestas no total, 12 vértices e 20 faces.

Exercício