Geometria Computacional
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Geometria Computacional
Prof. Walter Mascarenhas
Segundo semestre de 2004
Aula 4
Produto vetorial
Fórmulas
Encarando como transformação linear:
Mais fórmulas
Generalizações
Orientação indica esquerda/sobre/direita
esquerda/direita/sobre && interseção
Corte transversal <=> esquerda(A,B,C) * esquerda(A,B,D) =
esquerda(C,D,A) * esquerda(C,D,B) = -1
esquerda(A,B,C) * esquerda(A,B,D) = 1ou
esquerda(C,D,A) * esquerda(C,D,B) = 1
=> não há interseção
Restam os casos degenerados
Triangulação em O(n logn)
1- Ordene os pontos pela coordenada y O(n logn) 2- Decomponha o polígono em trapézios usando uma scanline O(n logn)3- Usando os trapezóides, quebre o polígono em partes monótonas através da eliminação das cúspides internas O(n)4- Triangule as partes monótonas O(n)
Vértices reflexos e cúspides internasUm vértice v de um polígono P é reflexo se o seu ângulo interno é estritamente maior que pi. Um vértice reflexo r é uma cúspide interna de P com relação à reta r se seus dois vizinhos estão contidos no mesmo semi-plano fechado definido pela paralela a r que passa por v..
Partição em trapéziosUm polígono particionado em trapézios (triângulos são trapézios degenerados.) Note que o lado inferior de cada trapézio contém exatamente um vértice e o superior também
Método da scanline
Poligonais estritamente monótonasUma poligonal P é estritamente monótona com respeito à uma reta r se toda perpendicular à r corta P em no máximo um ponto
Poligonais monótonas
Uma poligonal P é monótona com respeito à uma reta r se toda perpendicular à r corta P em no máximo uma componente conexa
Observação
Polígonos monótonosUma polígono é (estritamente) monótono com respeito à uma reta r se puder ser particionado em duas poligonais que são (estritamente) monótonas com respeito a r
Conseqüência da observação passada
Critério de não monotonicidade
Lema: Um polígono P não monótono com relação a uma reta r contém pelo menos uma cúspide interna.
A recíproca deste lemma e versões mais fortes são falsas:
Idéia da prova do Lema(os detalhes são muito chatos)
``Prova’’ do Lema: suponha que o polígono esboçado na figura não é monótono. Então podemos assumir que uma paralela a r intercepta a poligonal cyan em mais de uma componente conexa.
Isto implica que v0 está abaixo da paralela e vn está acima. Portanto a paralela também corta a poligonal amarela. Ai temos alguns casos. Por exemplo, poderíamos conectar o ponto a ao ponto b ou ao ponto c
Continuação da prova do Lema
De trapezóides para partes monótonas:
Basta remover as cúspides internas conectando-as da seguinte maneira:1- Uma cúspide interna que está no lado inferior de um trapézio é ligada ao vértice do polígono que está no lado superior do mesmo trapézio por uma diagonal2- Uma cúspide interna que está no lado superior de um trapézio é ligada ao vértice do polígono que está no lado inferior do mesmo trapézio por uma diagonal
De trapezóides para partes monótonas:
Finalmente, triangular polígono monótono em O(n):