Geometria Computacional Aplicada a La Determinacion de Zonas de Viaje en Ciudades Medias Con Modelos...

Congreso Internacional deXIV Infraestructura Vial& Expo Vial y TransporteLima, 21 y 22 de Agosto 2015

INSTITUTO DE LA CONSTRUCCIÓN Y GERENCIA – ICGe-mail: [email protected] / Web: www.construcción.org

XIV Congreso Internacional Infraestructura Vial & Expo Vial y Transporte 2015

XIV& Expo Vial y TransporteInfraestructura Vial

Congreso Internacional de


Que es Geometría Computacional o Geometría Algorítmica?Se trata, de la conjunción de la Geometría Clásica con la Informática. Partiendo de la abstracción deproblemas de otras áreas(CAD/CAM, bases de datos), laGC trata de desarrollarherramientas y técnicas pararesolver problemas de naturaleza,principalmente, geométrica, conespecial énfasis en el diseñoeficiente de algoritmos yestructura de datos.

Uso del suelo y demanda de viajes en las áreas urbanas

Geometría Computacional=Geometría+ComputaciónGeometría computacional es un conjunto de técnicas computacionales pararesolver problemas geométricos

Relacion funcional entre las ubicaciones.Wuppertal Institute




Problema de Investigación

Se tiene dos enfoques para los problemas de equilibrio de tráfico:Enfoque de modelado discreto: Patriksson (1994); Gendreau y Marcotte (2002); Lee (2003)Enfoque de modelado continuo:Configuración general de la ciudad: Beckmann (1952), Wardrop (1971); Williams y Ortuzar (1976); Puu (1977); Buckley (1979); Dafermos (1980); Sasaki et al. (1990); Yang et al. (1994); Wong (1998)]Configuración idealizada de la ciudad: Lam y Newell(1967);Zitron (1967); D’Este (1987); Wong (1994)


Modelaciones desarolladas

Modelo de elementos finitos eningeniería de tráfico




En 1978 se inicia el estudio de problemas geométricosusando algoritmos con la prestigiosa tesis deDoctorado de. Shamos (1978), aunque antes, con eltrabajo de Graham en 1972, se presenta uno de losalgoritmos más conocidos para el cálculo de laenvolvente convexa

Zona que debe cubrircada atractor de formaque tengamos que viajarlo mínimo posible.

Zonas del plano queestán más cercanas acada punto de actividad.

Regiones más cercanasa cada punto atractor,como regiones deVoronoi y con la regiónFEM generada con elalgoritmo MiM, segúnuna Triangulación deDelaunay paradiscretizar el dominio ysubdominios, con y sinfricción.


Problema - Camino mas cortoEs el problema de encontrar el camino más corto en una red (grafo)

Problemas – Cierre ConvexoMenor polígono (poliedro) convexo quecontiene una colección de objetos (puntos)

Problema – InterseccionesDeterminar intersecciones entre colecciones de objetos

Problemas – TriangulacionesDividir dominios complexos encolecciones de objetos simples




Triangulación de Delaunay

Boris Nikolaevich Delaunayor Delone (Russian: Бори́с Никола́евич Делоне́; March15, 1890 – July 17, 1980)

Diagrama de Voronoi

Georgy FeodosevichVoronoy (Георгий Феодосьевич Вороной, 28 de abril de 1868 — 20 de noviembre de 1908)


Mallas GeométricasLa generación de mallas en dosdimensiones consiste en aproximarel dominio de simulación por unpolígono el cual se divide enelementos geométricos sencillos(cuadriláteros o triángulos) lo cualquiere decir que la interacción dedichos elementos, sea una aristaun vértice o un conjunto vacio. Enel cual se tiene un dominiorectangular.• Método frontal o del frente de avance.• Triangulación Delaunay de unconjunto de puntos.• Subdivisiones sucesivas.

La Geometría Computacional resuelvealgorítmicamente problemas denaturaleza geométrica y se hacentrado en problemas dentro delplano y otros espacios euclídeos.




Triangulación de una Nube de PuntosSea P = {p1, p2, ... ,pn} un conjuntode puntos en el plano. Definiremosuna subdivisión maximal en elplano como una subdivisión S, talque ningún lado conectado a dosvértices pueda ser añadido a S sinperder su estado plano, es decir,ningún lado de S intersecta con otrolado existente.

Es una estructura fundamentaldentro de la GeometríaComputacional, que almacena todala información referente a laproximidad entre puntos.

Diagrama de Voronoi

•La triangulación Delaunay es unmétodo de triangulación ampliamenteusada en la generación de mallas noestructuradas, este tipo de estructura esusada para fragmentar el espacio

Triangulación Delaunay

La Triangulación de Delaunay y elDiagrama de Voronoi tienen el mismonúmero de aristas y se corresponden.Cada nodo de la Triangulación secorresponde con una única región.El contorno de la triangulación esequivalente al cierre convexo de lanube de punto.


Estado del arte en modelación continua




Estado del arte en modelación continua





INTRODUCCIÓN

Superficies c/s fricción 1944-2014. Superficies c/s fricción 1963-2014. Superficies c/s fricción 1971-2014.

Superficies c/s fricción 1982-2014. Superficies c/s fricción 2008-2014.Superficies c/s fricción 1992-2014.


Evolución c/s fricción 1963-2014.



Evolución c/s fricción 1992-2014. Superficies c/s fricción 1996-2014.

INTRODUCCIÓNEvolución c/s fricción 1996-2014.




Se aporta en la elaboración y programación de un modelo integrador del transporte y territorio, que consideralas características propias de la red e incorpore las dinámicas de viajes basadas en actividades, para mejorarlas expectativas de un enfoque discreto; con lo que, se contribuirá a superar el problema en el que no seconocen completamente los parámetros del modelo (incertidumbre paramétrica) y la diferencia de estructurareal respecto a la estructura del modelo (incertidumbre estructural)


Enfoque de la demanda.- Análisis de la solicitación futurade servicio de una red, a través de buscar una estimaciónde la cuantía de interrelación entre las actividades urbanasdemandadas en futuro.

Enfoque de la oferta.- La localización de las actividades, yel modo y cuantía en que se manifiesten en el futuro susinterrelaciones, depende de la forma y organización que sedé a esas redes.




Simulación en transporteEnfoque discretoLa ciudad se divide en zonas decaracterísticas semejantes y se asume quetoda la actividad de las mismas se concentraen centroides que generan y atraen los viajesy las calles e intersecciones se representancomo arcos y nodos de un grafo dirigido.

Enfoque continuoLa red densa es aproximada a un continuodonde los conductores son libres de elegirsus rutas en un espacio bidimensional, y seacepta que la variación en áreas cercanas espequeña comparada con el sistema completoy las características del sistema detransporte como flujo y costo pueden serrepresentadas con funciones matemáticascontinuas.


Modelo continuo para análisis de redes

Modelado de la ciudad Flujo de tráfico

Demanda de viaje Conservación de flujo




Modelo continuo para análisis de redesFunción de costo local.

Costo de viaje de ruta.

Equilibrio de usuario.

Condiciones de contorno.


Modelación del TransporteModelo --> representación simplificada de la realidad

Información.-1.- Área de estudio (zonificación)2.- Geometría de la red vial3.- Actividades urbanas4.- Demanda de viajes

nodo

centroide

vías

límites

conector de centroide

El sistema de zonas permite trabajar en grupos más manejables desde el punto de vista de la modelación

ZONIFICACIÓN




Problemas Estáticos

Geometría computacional combinat

Triangulación de puntos.Envolvente convexa

Camino mínimoTeselación Delaunay

Diagrama de VoronoiTriangulaciones





Estructura de un TINPermite representar superficies con precisión, yotros elementos.

Definición de un TINTriangulated – modela una superficie a partir depuntos de los cuales se forman triángulos. Lostriángulos permiten una buena representación deuna parte local de la superficie, ya que tres puntoscon valores Z definen en forma única una planoen el espacio 3D.Irregular – Los triángulos son formados por trespuntos ubicados en forma irregular. Esta es unaventaja de los TIN, ya que permite tomar puntosde medida con densidad variable, para modelaráreas donde se producen cambios abruptos en elterreno.Network – Cada triángulo almacena lainformación topológica sobre sus triángulosvecinos, formando una red. Esta estructurapermite sofisticados análisis de superficie, asícomo también una representación compacta de lasuperficie.


Creación de un TIN

Triangulación

(x,y,z)

(x,y,z)

(x,y,z)(x,y,z)

(x,y,z)

(x,y,z)

Masa de puntos

nodo

lado

cara

Cada cara de un TIN es parte de un plano en 3D. Todas las caras vecinas comparten con precisión nodos y lados, no se intersectan. lado

nodo

cara

z

y

x

Triangulación y topologíaSe pueden aplicar muchos algoritmos para lograr la triangulación a partir de puntos.

Algoritmo Delaunay de triangulación La idea básica es crear triángulos que colectivamente son lo más parecido a equiláteros. • Mantiene la interpolación de la elevación en nuevos

puntos lo más cercano a los puntos conocidos• Se realiza a partir de puntos, líneas y polígonos o

áreas:1. Primero – triangulación a partir de los puntos2. Segundo – líneas se interceptan con la triangulación

anterior y se crean nuevos nodos cuando estas líneas corten a las caras.

3. Tercero – se interceptan las áreas, lo cual puede cortar caras o recortarlas.

Al final del algoritmo:• Se almacenan los nodos para cada cara, y para cada cara las

caras vecinas (topología). • Similar a la topología planar con la diferencia de que los

nodos tienen elevación y los polígonos deben ser triángulos.




DELAUNAY TRIANGULATION

2

13

4

2

13

4

2

13

4

2

13

4

2

13

4

Optimiza la representación de la superficie

De 4 puntos dos casos posibles

Cualquier circulo por tres nodos de un triángulo no incluirá cualquier otro nodo.

Incorrecto: nodo 1 queda dentro del círculo para el triangulo 3,4,2

Correcto: círculos por tres nodos no incluyen otros nodos


Estudio de la caracterización de las instanciasLa combinación de las diferentes propiedades, susrangos, y el número total de instancias de lamuestra define el espectro o ámbito de laexperimentación.

TerritorioLas variantes seleccionadas son:1. Corta distancia2. Media distancia3. Larga distanciaLocalizaciónSe han definido tres variantes:1. Aleatoria2. Cuadrícula o rejilla (grid)3. Radial (radial)




Definición del contexto

La ubicación de las ciudades en elespacio y los flujos que se desarrollanentre ellas componen la red urbana osistema interurbano.





Evolución Urbana de la Ciudad de Ayacucho. Infraestructura Vial de la Ciudad de Ayacucho

La extensión del área urbana de la ciudad es aproximadamente 28 Km² (17.6% de la superficie del área de estudio).


APLICACIÓN, DESARROLLO DEL SOFTWARESe propone una construcción del territorio diferente del enfoque tradicional basado en ladialéctica del centro y la periferia, y se plantea un enfoque alternativo sobre laevolución de la presencia de las tres invariantes territoriales: la malla, el nodo y lared.

Programa VERNESe presenta una aplicación informática,denominada Journey®, que utilizará comoplataforma de preproceso, solución yposproceso el GUI de Matlab. Es unaaplicación integrada de modelamiento ysolución computacional de problemas detransporte, de propósito múltiple,desarrollada en el área de MétodosNuméricos.Está orientado para el análisis de: Modelode Redes, Modelo de Transportes, Modelosde Asignación Discretos y Continuos.

Ventana principal de la aplicación




Acceso al Módulo de MODELO DE REDES desde VERNE

Modelo de redes barra de menús

Modelo de redes toma de datos

Programación Matemática en Ingeniería de Transportes



Modelo de Redes, Aplicaciones

Modelo de Redes, Grafos

Modelo de redes del menú optimización en redes.

Nodos - vértices: para especificar puntos y conectividad entre arcos.Arcos - aristas: para especificar arcos y los vértices de los mismos.

Menú Optimización en Redes.- se dispone de menús para el análisis de redes mediante distintos métodos, las implementadas en la aplicación son las siguientes: (1) Modelo de redes; (2) Algoritmo de Dijkstra; (3) Algoritmo de Floyd; (4) Algoritmo de Búsqueda; (5) Algoritmo de Kuskal.





Modelo de redes, importar datos

Modelo de Redes, Grafos Modelo de Redes, Grafo de Camino Mínimo



Problema Demostrativo





Conectividad

Atributos






Mientras más crece una ciudad en población y,sobre todo, en extensión territorial, dispersando demanera creciente sus actividades en un espaciourbano cada vez mayor, más complejo se hace elproblema del transporte urbano y público en suseno, incrementando sus costos y otros problemasderivados.

Evolución Urbana …





Programación Matemática del Algoritmo ”MiM”Mapa del dominio y subdominios de la ciudad de Ayacuchoal año 2014 con 23 subzonas de división con el algoritmo ”MiM”.


Resultados ”MiM”: Evolución Urbana de AyacuchoPuntos atractores, 1944.

Envolvente convexa, 1944.

Discretización FEM, 1944.

T.Delaunay - D. Voronoi, 1944.

Refinamiento malla, 1944.

Resultado Zonas de viaje, 1944.




Puntos atractores, 1963.
















Resultados simplificados tipo CBD con MiM, Ayacucho 2014Discretización FEM, 2014.

Refinamiento FEM, 2014.



Secuencia de operaciones con el Programa VERNE-MOBILISMódulo de entrada de datos.

Vector dominios y subdominios. Zonas de viaje c/s fricción.

Refinamiento malla FEM.

Generación malla en regiones.

Puntos atractores en regiones.





Simulación con superficies de fricción

INICIO FINAL LONGITUD Δ COTA PENDIENTEJR. SAN MARTIN JR. AREQUIPA 142.18 11.28 7.93%

INICIO FINAL LONGITUD Δ COTA PENDIENTEJR. AREQUIPA JR. CUSCO 11.41 0.37 3.24%JR. AREQUIPA JR. CUSCO 21.45 2.89 13.47%JR. AREQUIPA JR. CUSCO 65.7 11.7 17.81%JR. AREQUIPA JR. CUSCO 22.54 2.76 12.24%




Simulación con superficies de fricción


Zona de viaje-modelo isotrópico (46 atractores)Dominio 2014, subdominio 1963.

Mallado FEM sector 2014 y 1963.

Zona de viaje sin superficie de fricción 1963-2014.




Zona de viaje-modelo isotrópico (46 atractores)Dominio 2014, subdominio 1971.




Zona de viaje-modelo anisotrópico (46 atractores)Dominio 2014, subdominio 1963.






Zona de viaje-modelo anisotrópico (46 atractores)Dominio 2014, subdominio 1971.




Creación de zonas de viaje: Caso de Estudio Ruta 10Zonificación de la Ciudad de Ayacucho en 23 sectores. Division de la ciudad en 23 sectores.




Creación de zonas de viaje: Caso de Estudio Ruta 10Dominio general de la ciudad y red de la Ruta10. Sectores pertenecientes al recorrido de la Ruta10 .


Creación de zonas de viaje: Caso de Estudio Ruta 10Atractores en el recorrido de la Ruta10. Integración de sectores de influencia de la Ruta10.




Creación de zonas de viaje: Caso de Estudio Ruta 10Diagrama de red y subdominios de Ruta10. Discretización del MDT con malla FEM de 8 sectores .


Creación de zonas de viaje: Caso de Estudio Ruta 10Zonas de viaje c/f.Isotrópica K=1.0 (Z1… Z8). Z1; Z6; Z7; Z8 = 1.0; Z2; Z5 = 1.5; Z3; Z4 = 2.0.




Creación de zonas de viaje: Caso de Estudio Ruta 10Z3; Z4; Z5 = 1.0; Z2; Z7; Z8 = 1.5; Z1; Z6 = 2.0. Z3=1.0; Z4=1.25; Z5=1.5; Z2=1.75; Z7=2.0; Z8=2.25;

Z6=2.5; Z1=2.25


Tabla de resultados de modelos isotrópicos y anisotrópicos




Comparación de resultados con el TRANSCAD








Análisis de datos - Geoestadística




Análisis de datos espaciales – Intregración T&T


El enfoque continuo se presenta como una alternativa para el análisis de redes. Lossistemas urbanos de transporte requieren procesos distintos para situaciones deproyectos vinculados a intervenciones en invariantes territoriales que presentansuperficies de fricción en el flujo.Sobre la elección del caso de estudio.- El caso de estudio, es pertinente porcomprender el proceso de crecimiento en baja densidad en el contexto de la ciudadlatinoamericana, donde se crece bajo la lógica de la extensión de redes deinfraestructura que producen un territorio que presenta continua expansión delos incrementos urbanos.Sobre la formulación de los modelos.- De las simulaciones elaboradas para laCiudad de Ayacucho y que pueden extenderse a otras ciudades de baja densidad, sedemostró que es posible amalgamar los modelos discretos y continuos, en los quepuede considerarse el efecto de fricción de la superficie.Sobre la prospectiva.- El estudio considera el área central y la periferia de una ciudadlatinoamericana de baja densidad atravesada por unos ejes urbanos, donde se hantomado como muestra el sistema vial que representan situaciones diversas de la ciudadconsolidada.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES




Se desarrollo un software con el paradigma de programación estructurada. El softwarees portable y escalable, permitiendo la integración de modelo de uso de suelo ytransporte, sobre la totalidad del espectro de tamaños de red. Se realizó la puesta apunto de un programa VERNE en sus distintos módulos como:MOBILIS (programación estructurada del algoritmo Mobilis in Mobile ”MiM” de creaciónde zonas de viajes en un continuo)ASIGNACIÓN (programación estructurada del algoritmo Frank-Wolfe ”F-W” paraasignación de tráfico en redes discretas)REDES (programación estructurada de los algoritmos de camino mínimo como Dijkstra,Floyd-Warshall, Bellman-Ford, Kruskal, Ford-Fulkersson para el diseño deexperimentos de obtención de coeficientes de fricción en ciudades)GEOMETRÍA COMPUTACIONAL (programación estructurada del algoritmo deenvolvente convexa, triangulación de DELAUNAY, polígonos de VORONOI para larepresentación gráfica de MDT a partir de un conjunto de puntos x; y; z)GEOESTADÍSTICA (programación estructurada diseñada para la prueba de hipótesisque aplique los métodos de estadística para análisis de datos espaciales quedeterminen los contornos, superficies, variogramas.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES


AGRADECIMIENTO A NUESTROS AUSPICIADORES


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