GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Axonometrias Clinogonais (ou Oblíquas)

© antónio de campos, 2010

GENERALIDADES

A representação do tiedro no plano axonométrico, a perspectiva, processa-se através da projecção oblíqua do terceiro eixo sobre o plano axonométrico.

x ≡ xp

O ≡ Op

z

P

r

y ≡ yp

zp

Pp

yz

xz

xy

A representação final do tiedro no plano axonométrico. O eixo xp, yp e zp são as perspectivas dos três eixos coordenados. O ângulo entre as perspectivas dos eixos que estão contidos no plano axonométrico (o eixo x e y, nesta situação) é sempre o ângulo real (em V.G.), um ângulo recto.

xp

yp

zp

O

DIRECÇÃO E INCLINAÇÃO DAS

RECTAS PROJECTANTES

A direcção das rectas projectantes representa o ângulo que os planos projectantes (que contêm as rectas projectantes, o plano α neste caso) fazem com os planos coordenados ortogonais ao plano axonométrico, ou seja, o ângulo que a perspectiva do eixo ortogonal ao plano axonométrico faz com as perspectivas dos outros dois eixos. A direcção das rectas projectantes é dada por um par de ângulos (γ e β).

A inclinação das rectas projectantes representa o ângulo (θ) que as rectas projectantes (que são paralelas entre si) fazem com o plano de projecção, o plano axonométrico. A inclinação das rectas projectantes vai determinar o coeficiente de deformação.

x ≡ xp

O ≡ Op

z

P

r

y ≡ yp

zp

Pp

yz

xz

xy

α

γº

βº θº

Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é igual a 45º.

A perspectiva de P (Pp) está em V.G., não havendo necessidade de coeficiente de deformação.

x ≡ xp

O ≡ Op

z

P

r

y ≡ yp

zp

Pp

yz

xz

xy

α

45º

45º

Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é superior a 45º.

A perspectiva de P (Pp) está reduzida em relação à cota de P, havendo necessidade da existência de um coeficiente de deformação, mais especificamente de um coeficiente de redução.

x ≡ xp

O ≡ Op

zP

r

y ≡ yp

zp

Pp

yz

xz

xy

α

αº

Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é inferior a 45º.

A perspectiva de P (Pp) está reduzida em relação à cota de P, havendo necessidade da existência de um coeficiente de deformação, mais especificamente de um coeficiente de ampliação.

x ≡ xp

O ≡ Op

z

P

r

y ≡ yp

zp Pp

yz

xz

xy

α

αº

TIPOS DE AXONOMETRIAS CLINOGONAIS

Existem basicamente dois tipos de axonometrias clinogonais (ou oblíquas), distinguidas pela posição do plano axonométrico que é também um plano coordenado:

Se o plano axonométrico for o plano xy (o plano horizontal), trata-se da perspectiva planométrica (ou militar);

Se o plano axonométrico for um dos outros dois planos (o plano xz ou o plano yz), trata-se da perspectiva cavaleira.

x ≡ xp

O ≡ Op

z

P

r

y ≡ yp

zp

Pp

yz

xz

xy

Uma perspectiva planométrica (ou militar), com o plano axonométrico a ser o plano xy, no qual se projecta o eixo z. A perspectiva do eixo z é vertical, e as perspectivas dos outros eixos fazem entre si um ângulo de 90º.

xp

yp

zp

O

Uma perspectiva cavaleira, com o plano axonométrico a ser o plano xz, no qual se projecta o eixo y. A perspectiva do eixo z é vertical, e a perspectiva do eixo z faz com o eixo x um ângulo de 90º.

xp

yp

zp

O

z ≡ zp

x ≡ xp

yp

yPp

r

yz

O ≡ Op

P

xy

xz

INFLUÊNCIA DA DIRECÇÃO E INCLINAÇÃO DAS RECTAS PROJECTANTES

A direcção e a inclinação das rectas projectantes influi na representação de um mesmo objecto. Em baixo a direcção das rectas projectantes é constante, 135º com o semieixo positivo x e com o semieixo positivo z, com inclinação das rectas projectantes diferente.

z

x

y

Inclinação das rectas projectantes: 45º.Coeficiente de deformação do eixo y: 1.

z

x

y

Inclinação das rectas projectantes: 63º 26’.Coeficiente de deformação do eixo y: 0,5.

z

x

yInclinação das rectas projectantes: 26º 34’.Coeficiente de deformação do eixo y: 2.

O O O

Em baixo a inclinação das rectas projectantes é constante, 63º 26’, com o coeficiente de deformação a 0,5, e com direcção das rectas projectantes diferente.

Direcção das rectas projectantes: 120º com o semieixo positivo x e 150º com o semieixo positivo z.

z

x

y

O

Direcção das rectas projectantes: 45º com o semieixo positivo x e 135º com o semieixo positivo z.

Direcção das rectas projectantes: 135º com o semieixo positivo x e 45º com o semieixo positivo z.

z

xO

y

z

x

y

O

REPRESENTAÇÃO (PERSPECTIVA) DE UM PONTO NUMA AXONOMETRIA CLINOGONAL

Em baixo, temos a perspectiva do ponto P, com o ponto A a ser o ponto do eixo z que tem a cota do ponto P. Conduzem-se pelas perspectivas das três projecções do ponto P, as perspectivas das respectivas rectas projectantes (que são paralelas ao eixo ortogonal à face do paralelograma onde aquelas existem).

x ≡ xp

O

z

Py ≡ yp

zp

yz

xz

xy

P3

P2

P1 ≡ P1p

A

Ap

P2pPp

P3p

x

y

z

O

P1

P

P3

A

P2

PERSPECTIVA CAVALEIRA

Pretende-se representar o ponto P (3; 4; 2) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes faz ângulos de 135º com as partes positivas do eixo x e do eixo z.

x

y

z

O

z ≡ zp

x ≡ xp

yr

y

Pp rr

yz

O

P

xy

xz

O afastamento do ponto P, que se mede no eixo y, é a coordenada que apresenta coeficiente de deformação, pois o eixo y é o eixo que não está contido no plano axonométrico. Para determinar o coeficiente de deformação, rebate-se o plano projectante deste aeixo para o plano axonométrico.

yr

Ar

60º

rrP

A P1

P2

P3

A

Ar

yp

Ap

P3

P1

P3p

P1p

P2 ≡ P2p

Representa o ponto A (2; 4; 5) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 120º com o semieixo positivo x e de 150º com semieixo positivo z.

x

y

z

O

A2

yr

Pr

rr

50º

P A1

A3A

Representa o ponto M (5; 4; 3) numa perspectiva cavaleira, sabendo que o plano axonométrico é o plano xz. A direcção das projectantes é de 45º com a parte positiva dos outros dois eixos. A inclinação das rectas projectantes é de 60º.

x

y

z

O

M2

yr

Pr rr

60ºP M1

M3M

Representa um cubo numa perspectiva cavaleira, com 5 cm de aresta, e apoiado por três das suas faces nos planos coordenados. A direcção das projectantes é de 45º com o semieixo positivo x, e de 135º com semieixo positivo z. A inclinação das rectas projectantes é de 45º.

x

y

z

O

yr

Pr rr

45º

P

DIRECÇÃO DE AFINIDADE

A direcção de afinidade é a direcção que nos permite relacionar, de forma directa e recíproca, uma qualquer coordenada em V.G. e a sua perspectiva.

A direcção de afinidade é a direcção que nos permite inverter o rebatimento de qualquer plano coordenado rebatido para o plano axonométrico.

x

yp

z

O

yr1

Ar1

60º

rr

Ap

Para determinar a direcção de afinidade é necessário rebater um plano coordenado (o plano xy neste caso) e o plano projectante do eixo y.

A charneira é o eixo x.

O eixo yr é o eixo y rebatido pelo rebatimento do plano xy, fazendo um ângulo recto com o eixo x.

Ar é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano xy.

É necessário rebater o plano projectante do eixo y (o plano yyp), com o eixo yp como charneira.

A recta d é a recta que dá a direcção de afinidade.

yr

Ar

d

A determinação da perspectiva cavaleira de um ponto P (2; 4; 5), recorrendo à direcção de afinidade. As rectas projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 120º com o semieixo positivo x e de 150º com semieixo positivo z.

x

yp

z

O

P2

A perspectiva do ponto P é também a projecção frontal do ponto P.

Para determinar a direcção de afinidade é necessário primeiro rebater um plano coordenado (o plano xy neste caso) e o plano projectante do eixo y.

A charneira é o eixo x.

O eixo yr é o eixo y rebatido pelo rebatimento do plano xy, fazendo um ângulo recto com o eixo x.

Ar é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano xy, com o mesmo afastamento do ponto P, e em V.G.

É necessário rebater o plano projectante do eixo y (o plano yyp), com o eixo yp como charneira, obtendo Ar1, depois Ap, para finalmente obter a recta d.

A recta d é a recta que dá a direcção de afinidade.

Por fim é a determinação da perspectiva do ponto P.

≡ yr

P1r Ar

yr1

Ar1

50º

rr

Ap

d

P1

P3P

Representa o ponto A (3; 5; 3) numa perspectiva cavaleira , recorrendo à direcção de afinidade, cujas rectas projectantes têm 60º de inclinação. A perspectiva do eixo y faz 135º com as partes positivas dos outros dois eixos.

x

y

z

O

A2

≡ yr

Pr1A1r

yr1

Pr

60º

rr

P

d

A1

A3A

PERSPECTIVA CAVALEIRA NORMALIZADA

A perspectiva cavaleira normalizada refer-se à representação em que são predefinidos os ângulos entre as perspectivas dos eixos (direcção das rectas projectantes) e o coeficiente de redução (coeficiente de deformação) das escalas axonométricas do eixo ortogonal ao plano axonométrico.

Mais especificamente, a perspectiva cavaleira normalizada implica a direcção das rectas projectantes de 135º com a parte positiva dos dois eixos, e a inclinação das rectas projectantes de 63º 26’ 6’’, a que corresponde um coeficiente de deformação de 0,5.

z

xO

y

É dada uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º triedro, com a base contida num plano horizontal ν.

Os pontos A (2; 2; 7) e B (6; 2; 7) são dois vértices consecutivos do quadrado [ABCD] da base.

O vértice da pirâmide tem cota nula.

Representa a pirâmide numa perspectiva cavaleira, considerando que o plano axonométrico é o plano xz.

As projectantes têm 50º de inclinação.

A direcção das projectantes é de 140º com o semieixo positivo x e de 130º com semieixo positivo z.

x

y

z

O

A2B2

V2

A1rB1r

D1rC1r

V1r

≡ C2

≡ D2

fν

≡ yr

Pr

yr1

Pr1

P

d

≡ Vr

D1C1

A1B1

V

A

DC

B

pν

50º

É dado um prisma hexagonal regular, situado no 1.º tiedro, com 8 cm de altura e bases contidas em planos frontais.

A base de menor afastamento é o hexágono [ABCDEF], que está contido no plano xz.

Os pontos A (3; 0; 1) e B (1; 0; 3) são dois vértices consecutivos do hexágono [ABCDEF].

Representa o prisma numa perspectiva cavaleira.

As projectantes têm 60º de inclinação.

A direcção das projectantes é de 140º com o semieixo positivo y e de 130º com semieixo positivo z.

x

y

z

O ≡ xr

A3A2r

B2r B3

C2r

D2r

E2r

F2r

C3

D3

E3

F3

Pr

xr1

Pr1

P

dA1

B1

C1

D1

≡ E1

F1

A

B

CD

E

F

pφ

hφ

A’1

B’1C’1

D’1

E’1F’1

A’

B’

C’D’

E’

F’

60º

PERSPECTIVA PLANOMÉTRICA (ou militar)

Pretende-se representar o ponto P (3; 4; 5) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes faz ângulos de 135º com as partes positivas do eixo x e do eixo y.

x ≡ xp

O

z

Py ≡ yp

zp

yz

xz

xy

P3

P2

P1 ≡ P1p

A

Ap

P2pPp

P3p

x y

z

O

P1

zr

Ar

60ºrr

A

P3

P2

Pzr Ar

PERSPECTIVA PLANOMÉTRICA (ou militar) NORMALIZADA

A perspectiva planométrica normalizada refer-se à representação em que são predefinidos os ângulos entre as perspectivas dos eixos (direcção das rectas projectantes) e o coeficiente de redução (coeficiente de deformação) das escalas axonométricas do eixo ortogonal ao plano axonométrico.

Mais especificamente, a perspectiva planométrica normalizada implica a direcção das rectas projectantes de 135º com a parte positiva dos dois eixos, e a inclinação das rectas projectantes de 56º 18’ 36’’, a que corresponde um coeficiente de deformação de 2/3.

z

x

O

y

É dado um objecto constituído por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1.º tiedro.

Os pontos A (6; 2; 0) e B (1; 2; 0) são dois vértices consecutivos do quadrado [ABCD], contido no plano xy.

O quadrado [ABCD] é a face inferior do cubo.

A base da pirâmide é o quadrado [JKLM], cujos vértices são os pontos médios da face superior do cubo.

A pirâmide tem 7 cm de altura, e o seu vértice tem cota superior à base.

Representa o objecto numa perspectiva planométrica normalizada.

xy

z

O

A1 ≡ A

B1 ≡ B

D1 ≡ D

C1 ≡ C

V1

J1

K1 L1

M1

R

S

T

U

S’

U’

V2

V

L

M J

K

Considera o objecto ao lado, representado por três das suas vistas (projecções): horizontal, frontal e lateral direita.

As dimensões apresentadas são em centímetros, e as coordenadas de A (0; 0; 0).

Representa o objecto numa perspectiva planométrica.

As projectantes têm 60º de inclinação.

A direcção das projectantes é de 135º com as partes positivas dos eixos x e y.

A1

A2 A3

4 4 3 3

4

4

2

2

2

xy

z

O ≡ A

≡ zr

zr1

60º

rr

d