28/08/2012

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Geometria Descritiva

Prof. Luiz Antonio do Nascimento

ladnascimento@gmail.com

www.lnascimento.com.br

• A Geometria, como qualquer outra ciência, fundamenta-se em observações e experiências para estabelecer os conceitos e as propriedades. Tais conceitos e propriedades constituem as Proposições Geométricas.

• Uma proposição geométrica pode ser aceita com ou sem comprovação. A proposição aceita sem comprovação pode ser entendida através de fatos e situações do cotidiano.

• As proposições geométricas podem ser classificadas como Conceitos Primitivos ou como Postulados.

Elementos Primitivos da Geometria

• Conceito Primitivo - exprime a noção sobre algo que dispensa definição sob o ponto de vista geométrico. Assim sendo, são considerados primitivos os conceitos de forma e dimensão, como também o são os de ponto, reta, plano e espaço.

– Aqueles postes estão em linha reta.

– O tampo dessa mesa é plano.

– A mesa está ocupando o espaço do sofá.

• Postulado - uma afirmação aceita consensualmente, sem restrições, e que dispensa demonstração.

– Postulado de determinação da reta. • Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

– Postulado da inclusão. • Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse

mesmo plano.

Elementos Primitivos da Geometria

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Elementos que não precisam de definição para serem aceitos (ponto, reta e plano).

• Ponto

– Localização de algo no espaço.

– O ponto não tem dimensão.

– Toda figura geométrica é formada por um conjunto de pontos.

– O ponto geométrico é representado pela interseção de duas pequenas linhas ou um ponto.

– Indicado por letra maiúscula latina.

• Exemplo: Pontos A, B, C, D, etc..

Elementos Primitivos da Geometria

A

B C

• Reta

– A reta é formada por um conjunto de pontos que se sucedem uns aos outros em sequência infinita.

– A reta não tem inicio e nem fim.

– As setas nas extremidades da representação da reta indicam que a reta continua indefinidamente nos dois sentidos.

– Indicado por letra minúscula latina.

• Exemplo: Retas r, s, t, etc.

Elementos Primitivos da Geometria

Elementos que não precisam de definição para serem aceitos (ponto, reta e plano).

• Reta

– Podem ser:

Elementos Primitivos da Geometria

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• Reta

– Elementos derivados de uma reta:

• Semi-reta: é a parte de uma reta que possui um ponto de origem e é ilimitada em apenas um sentido.

• Segmento de reta: é a parte de uma reta que possui um ponto de origem e um de fim que são as suas extremidades. Representada por seus pontos.

Elementos Primitivos da Geometria

• A figura mais simples construída por segmentos é o triângulo que é formado por três pontos que não pertencem a uma mesma reta e pelos três segmentos determinados por estes três pontos.

– Os três pontos são chamados de vértices e os segmentos de lados.

Figuras Geométricas Elementares

• Eixo – uma reta orientada.

– O sentido positivo da reta é o do sentido do eixo.

• Segmento Orientado – um segmento de reta de extremos pertencentes a um eixo.

– Segmentos Coincidentes – dado dois segmentos orientados 𝐀𝐁 e 𝐂𝐃 se A=C e B=D e

é escrito (A,B)=(C,D).

– Segmento Nulo – é o segmento cuja extremidade coincide com a origem (A,A).

– Segmentos Opostos – dois segmentos orientados que possuem mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos contrários. (A,B) e (B,A).

Figuras Geométricas Elementares

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• Módulo de um segmento – (ou valor absoluto ou magnitude) comprimento de um segmento. Distância entre dois pontos.

• Ex.: Distância de A à C.

– Representa-se o módulo por 𝐴𝐶 = 2.

• Medida Algébrica – é o produto de um módulo por +1 ou -1 conforme o sentido do segmento coincida ou não com o sentido do eixo que o contém.

Figuras Geométricas Elementares

A BC D E

-4 -2 0 2 4 6 8

F G

• Sentido de um segmento – orientação do segmento da origem para a extremidade.

• Direção de um segmento – inclinação do segmento que é determinado pelo eixo que o contém. Dois segmentos têm a mesma direção quando pertencem a um mesmo eixo ou a eixos paralelos entre si.

Figuras Geométricas Elementares

• Direção de um segmento

Figuras Geométricas Elementares

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• Reta

– Posições de duas ou mais retas:

• Retas Paralelas: duas ou mais retas que mantêm entre si uma distância constante.

• Retas Perpendiculares: duas ou mais retas que fazem entre si um ângulo de 900.

• Retas Oblíquas: duas ou mais retas que fazem entre si um ângulo inferior a 900.

Elementos Primitivos da Geometria

• Reta - Posições

de duas ou mais

retas:

Retas Coplanares - As retas a, b e c pertencem ao mesmo plano (face do paralelepípedo).

Retas Concorrentes - As retas a e b têm um ponto comum A.

Retas Enviesadas - As retas d e c não se encontram e têm direções diferentes.

• Reta

– Posições de dois ou mais segmentos:

• Segmentos Consecutivos: a extremidade de um deles é também extremidade do outro.

• Segmentos Colineares: estão numa mesma reta.

Elementos Primitivos da Geometria

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• Reta

– Posições de dois ou mais segmentos:

• Segmentos Adjacentes: segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum uma extremidade e não têm outros pontos em comum. – MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum.

– MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.

• Segmentos Congruentes: têm as mesmas medidas. – "~" é o símbolo de congruência.

Elementos Primitivos da Geometria

• Plano

– Qualquer superfície plana.

– Plano é a superfície sobre a qual um objeto pode ser completamente representado.

– Pode ser identificado por letras gregas do alfabeto como por exemplo α (alfa), β (beta) e γ (gama).

Elementos Primitivos da Geometria

• Espaço – conjunto infinito de planos. Possui três dimensões (comprimento, largura e espessura). – Figuras no espaço podem ser representadas através da perspectiva.

Figuras Geométricas Elementares

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• Posição relativa de Retas e Planos

• Reta é paralela a um plano - quando é paralela a uma reta desse plano.

Figuras Geométricas Elementares

• Posição relativa de Retas e Planos

• Reta oblíqua a um plano - tem um ponto em comum com o plano.

Figuras Geométricas Elementares

• Posição relativa de Retas e Planos

• Reta perpendicular a um plano - é perpendicular a duas retas concorrentes do plano.

Figuras Geométricas Elementares

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• Posição relativa de Retas e Planos

• Planos concorrentes - têm uma reta em comum.

Figuras Geométricas Elementares

• Posição relativa de Retas e Planos

• Planos perpendiculares - quando um contém uma reta perpendicular ao outro.

Figuras Geométricas Elementares

• Posição relativa de Retas e Planos

• Planos paralelos - quando os planos possuem retas concorrentes paralelas.

Figuras Geométricas Elementares

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• Figuras Planas:

– Figuras de duas dimensões.

– Figura que possui todos os seus pontos no mesmo plano.

– Polígono: figuras planas com três ou mais lados:

Geometria Plana

• Figuras Sólidas: são modelos que que possuem três dimensões (volume).

Geometria Espacial

• Superfície • Conjunto das posições de uma linha móvel

(geratriz). A linha reguladora dos traçados da linha é chamada de diretriz.

Figuras Geométricas Elementares

A linha reguladora dos traçados da linha é chamada de diretriz.

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• Superfície Plana - conjunto das posições de uma linha reta que se desloca em trajetória retilínea e paralela a si mesma.

• Superfície Curva - obtida pelo movimento de uma linha curva que se desloca no espaço

Figuras Geométricas Elementares

• Superfície Conica Circular Oblíqua

Figuras Geométricas Elementares

• Superfície Piramidal

Figuras Geométricas Elementares

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• Superfície Cilindrica

Figuras Geométricas Elementares

• Superfície Cilindrica de Revolução

Figuras Geométricas Elementares

• Superfície Prismática de diretriz poligonal aberta

Figuras Geométricas Elementares

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• Superfície Prismática de diretriz poligonal fechada

Figuras Geométricas Elementares

• Superfície Esférica

Figuras Geométricas Elementares

Figuras Geométricas Elementares

• Poliedros Sólidos geométricos limitados por porções de superfícies planas poligonais.

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Os prismas são sólidos com duas bases poligonais e iguais.

Figuras Geométricas Elementares

• Prismas

Uma pirâmide é um poliedro que tem como base um vértice.

Figuras Geométricas Elementares

• Pirâmides

Um cone é um sólido delimitado lateralmente por uma porção de uma folha de uma superfície conica de diretriz circular.

• Cones

Figuras Geométricas Elementares

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Um cilindro é um sólido delimitado lateralmente por uma porção de uma superfície cilíndrica.

Figuras Geométricas Elementares

• Cilindros

Geometria Analítica Tipos de Ângulos

Mediatriz – é um reta que divide a distância entre dois pontos

em partes iguais e está na perpendicular com a ela.

1. Ponta seca do compasso em A, raio maior que a metade de AB, traça-se um arco

2. Ponta seca do compasso em B, raio maior que a metade de AB, traça-se um arco

3. Nos pontos de encontro dos arcos (pontos C e D) traça-se a reta (mediatriz).

Retas Perpendiculares

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Bissetriz – é uma semi-reta que divide o ângulo em partes iguais.

1. Ponta seca do compasso em V, traça-se um arco, definindo 1 e 2.

2. Ponta seca do compasso em 1, raio maior que a metade, traça-se um arco

3. Ponta seca do compasso em 2, raio maior que a metade, traça-se um arco e

define o ponto 3.

1. Traça-se uma semi-reta V3 (bissetriz)

Simbologia

Símbolo Descrição

⊥ Perpendicular ∴ Portanto

⫽ Paralela ∝ Proporcional

≡ Coincidente ∧ E

≅ Aproximado ∨ Ou

∞ Infinito ∪ União

∀ Para todos ∩ Intersecção

∃ Existe ⊂ Está contido

∄ Não existe ⊄ Não está contido

∈ Pertence ⊃ Contém

∉ Não pertence ⊅ Não contém