Geometria espacial

Pirâmides

Prof. Marcos Aurélio Basso, Dr.

IFSULDEMINAS - campus Incon�dentes MG

Região espacial dada pela união dos vértices de um polígono com umponto qualquer fora deste polígono

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Ou seja, pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e umvértice comum a todas as faces laterais.

As faces laterais de uma pirâmide são triangulares e o número de facesdepende do número de lados do polígono da base.

As pirâmides são ainda classi�cadas de acordo com o polígono dabase. A distância do vértice ao plano que contém a base é chamadade altura da pirâmide.

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Piramides e seus elementos

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Pirâmide Regular Reta

Uma pirâmide é dita reta, quando as arestas laterais são congruentes.

Uma pirâmide é dita regular, quando sua base é um polígono regular.

Podemos Classi�car as pirâmides conforme o polígono de sua base;quando a base é um triângulo dizemos que a pirâmide é triangular,quando é um quadrado quadrangular e assim por diante.

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Poligonos Regulares (revisando as fórmulas)

Triangulo equilátero

r =l√3

6R =

l√3

3A =

l2√3

4Quadrado regular

r =l

2R =

l√2

2A = l

2

Hexágono

r =l√3

2R = l A =

6l2√3

4

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Tetraedro

Tetraedro é uma pirâmide triangular.

Consequentemente, tetraedro regular é um tetraedro que tem seisarestas congruentes entre si, ou seja, é a pirâmide composta porquatro triângulos equiláteros

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Pirâmide Quadrangular

a2p = h

2 + a2b

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Piramide Hexagonal - fórmulas

Área da base (AB)

A =3l2

√3

2

Área da face (Af )

Af = nrap

2

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Área total

AT = AB + AF

volume da pirâmide

V =ABh

3

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Tronco da pirâmide

SEÇÃO DE UMA PIRÂMIDE POR UM PLANO PARALELO À BASE.Seccionando uma pirâmide por um plano paralelo à base separamosesta pirâmide em dois sólidos:

I uma nova pirâmide - sólido que contém o vértice;I um tronco de pirâmide (de bases paralelas) - sólido que contém a base

da pirâmide original.

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Tronco da Pirâmide

A nova pirâmide e a pirâmide original tem a mesma natureza, osângulos ordenadamente congruentes e os elementos lineares (arestasdas bases, arestas laterais, alturas etc) são proporcionais.

Dizemos que elas são semelhantes.

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RAZÃO DE SEMELHANÇA- Considere duas pirâmidessemelhantes e seja k a razão de semelhança dos segmentos lineareshomólogos, isto é,

ai

Ai

=li

Li=

ai

Ai

= k

Onde:I ai e Ai as arestas laterais homólogas da pirâmide nova e da original,

respectivamente;I li e Li as arestas da base homólogas da pirâmide nova e da original,

respectivamente;I h e H as alturas da pirâmide nova e da original, respectivamente.

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Tronco da Pirâmide

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