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Geometria
espacial I
AUTORIA:
Ângela Ferreira Pires da Trindade
EDIÇÃO DE CONTEÚDO:
Lúcio Carneiro
EDIÇÃO DE TEXTO:
Miriam Raquel Moro Conforto
CRÉDITOS DAS IMAGENS DE ABERTURA:
LatinStock/Corbis/DK Limited; ©iStockphoto.com/Jorge
Delgado; ©iStockphoto.com/Dario Sabljak; Mary Evans
Picture Library;
©Shutterstock/joingate
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Estes objetos lembram alguns sólidos
geométricos. Quais são eles?
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Poliedros
Estes são alguns exemplos de poliedros
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Elementos dos poliedros
➢ Cada um dos polígonos planos que formam o poliedro é denominado face do poliedro.
➢ Cada lado comum a duas faces e denominado aresta do poliedro.➢ Cada vértice de uma face é também denominado vértice do
poliedro.
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Poliedros são sólidos geométricos limitados por um número finito de polígonos denominados faces. Cada lado desses polígonos é comum a um único lado de outro polígono.
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Poliedros
O poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhumadas suas faces intersecta suas faces em, no máximo, dois pontos.
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Relação de Euler
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O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), entre suasinúmeras contribuições para a Matemática, descobriu e publicouum artigo apresentando a expressão:
V – A + F = 2
que relaciona os números V de vértices,A de arestas e F de faces em um poliedroconvexo qualquer.Por esse fato, a expressão é conhecidacomo Relação de Euler.
Relação de Euler
HANDMANN, Jakob Emanuel. Retrato de LeonhardEuler. 1753. 1 pastel: color.; 57,9 cm x 75,5 cm. Coleção
particular.
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Poliedros regulares
São poliedros regulares aqueles cujas faces são polígonos regularescongruentes e os ângulos poliédricos são congruentes, ou seja, em cada vértice concorre o mesmo número de arestas, diz-se que esse poliedro é regular.
São apenas cinco os poliedros regulares:
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Características dos poliedros convexos:
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Considere dois planos paralelos distintos, e β, uma região poligonalconvexa V1, V2, V3, ..., Vn contida em e uma reta r que intersecta osdois planos. O conjunto de todos os segmentos paralelos e congruentesa r, que tem uma extremidade pertencente à região poligonal e a outrapertencente a β, é um poliedro chamado prisma limitado ousimplesmente prisma.
Prismas
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Classificação dos prismas
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Paralelepípedo
O prisma cujas bases são paralelogramos é chamado de paralelepípedo.
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Diagonal de um paralelepípedo
Qual é a medida da diagonal do paralelepípedo e do cubo em função das medidas de suas arestas?
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Área da superfície de um prisma
Essa embalagem lembra oprisma hexagonal regular.
A figura a seguir representa a embalagem e suas dimensões:
Mar
cos
Go
mes
. 20
11
. Dig
ital
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Área da superfície de um prisma
Desmontado
Planificado
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Princípio de Cavalieri
Dados dois sólidos A e B, apoiados em um plano α e, se todo o plano β paralelo ao plano α secciona os dois sólidos determinando superfícies de áreas iguais, então esses sólidos têm o mesmo volume.
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Assim:O volume de um prisma é o produto da área da base (A) pelamedida da altura (h).V = A ∙ h
Volume de um prisma qualquer
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Cilindro
A reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta t, com uma extremidade na região circular de centro O e raio r, e a outra extremidade em um ponto do plano β, forma um cilindro circular ou, simplesmente, cilindro.
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Elementos do Cilindro
O cilindro pode ser:
Reto Oblíquo
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Área da superfície de um cilindro reto
Por meio da planificação de um cilindro obtém-se um retângulo e dois círculos. Portanto,
Área lateral = 2 ∙ π ∙ r ∙ h Área total = 2 ∙ π ∙ r ∙ (r + h)
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Pelo Princípio de Cavalieri, pode-se determinar ovolume de um cilindro.O volume de um cilindro é o produto da área dabase pela medida da altura.Logo:
A = π r² h
Volume de um cilindro