1

construções dinâmicas, exercícios interativos, animações, problemas

resolvidos, etc, usando software de geometria dinâmica: cinderella, car,

geogebra,...(conforme nos parece mais adequado à situação e ao que

aprendemos)

e notas de estudo à medida do que estudamos ... geometria básica (de

régua e compasso toda ela).

http://geometrias.blogspot.com

http://geometrias.eu

Geometria Projetiva

De Fevereiro de 2012 a

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3

3 1 . 1 . 1 2

Introdução à Geometria Projetiva Plana

1. Temos realizado construções dinâmicas (ou não) para ilustrar resultados (resolver problemas) da geometria

elementar. Recorremos para isso à régua e ao compasso, no fundamental. Na geometria euclideana plana

estudamos propriedades dos pontos e retas de um plano que se mantêm invariantes por transformações de

semelhança. Começamos hoje a estudar problemas e resultados da geometria projetiva plana que é o estudo

das propriedades que se mantêm invariantes pela projeção central.

Enquanto que na geomeria euclideana plana utilizamos o compasso no transporte de segmentos, o que

equivale a dizer que usamos a noção de comprimento de um segmento, na geometria projetiva não

considera comprimentos.

F. Enriques resumia o ponto de vista destas geometrias, dizendo que "o homem normal constituiu a

geometria elementar" e que suprimindo "as mãos desse homem, impedindo-o de medir as distâncias, ele é

conduzido à geometria projetiva".

A geometria projetiva é a geometria do que se vê. Quando olhamos para os carris (paralelos) de um

caminho de ferro, vemos que eles se encontram num ponto. Quando avançamos, o ponto em que se

intersetam avança. O ponto de interseção afasta-se à medida que dele nos aproximamos. Na geometria

projetiva não há retas paralelas, há retas que se juntam num ponto do infinito, a que também se chama

ponto limite, ponto impróprio, ponto ideal, etc.

2. Para a geometria projetiva plana, as noções primitivas são as de ponto, reta e incidência. As palavras

incidência, incidente, incide, incidem... são substituídas muito frequentemente por outras expressões. Em

geral, não dizemos "o ponto P incide na reta r" e antes dizemos que "o ponto P pertence à reta r" ou "P está

sobre r" ou "P é um ponto de r", como também não dizemos "a reta r incide no ponto A" e antes dizemos "r

passa por A", etc. Para o plano onde trabalhamos, usamos uma letra grega α, por exemplo, para os pontos

de α usamos letras maiúsculas A, B, C, ... e para as retas do plano α usamos a, b, c, ...r, s, t,... Claro que

também designamos por AB a reta que incide nos pontos A e B. E se três pontos incidirem numa mesma

reta, diremos que os pontos são colinerares. Quando duas retas incidem num só ponto comum, dizemos que

as retas são concorrentes.

3. Primeiro esboço de uma axiomática. Consideremos um plano α de pontos P e uma família não vazia de subconjuntos próprios não vazios de α a que chamamos retas. Os axiomas de incidência que usamos, são:

Axiomas de incidência

Reparemos que os enunciados dos dois axiomas de cada linha são tais que se num deles substituirmos ponto

por reta e reta por ponto obtemos o outro. Dizemos, por isso, que qualquer um dos enuciados é dual do

outro (o princípio da dualidade é fundamental na geometria projetiva plana).

Observemos que, por haver uma família não vazia de retas do plano α, os axiomas da primeira linha

garantem que, no mínimo, há dois pontos e, como as retas são subconjuntos próprios do plano, este tem no

mínimmo três pontos.

Claro que pode ser pouco interessante, o estudo das propriedades de uma geometria tendo por base um

conjunto de pontos que não seja infinito. À medida que forem sendo precisas, incluiremos novas noções óbvias: feixe de retas, triângulo, quadrângulo, hexágono, etc.

Referências:

Godeaux, L. As Geometrias, Col. Saber, Pub Europa-América, Lx: 1960

Samuel, P. Projective Geometry, Readings in Mathematics,Springer-Verlag. NY: 1988

Coxeter,H. The real Projective Plane, Cambridge University Press. Cambridge:1961

Coxeter, H. Introduction to Geometry, John Wiley and sons,INC, NY:1969

Coxeter, H. Projective Geometry, Springer-Verlago. NY:1994

Puig Adam, Curso de Geometria Métrica, Gráficas S.A. Rodrigues San Pedro. Madrid:1949

Izquierdo, F. Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Dossat. Madrid:1980

Berzolari L. Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi. Ulrico Hoepli. Mlano:1949

Ryos de Sousa, J. Lições de Geometria Projectiva. Porto Editora. Porto:

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6 . 2 . 1 2

Nomes da Geometria Projetiva

Nestas entradas de Geometria Projetiva, interessam-nos primordialmente noções, problemas e construções dinâmicas.

Não acompanharemos a história da Geometria Projetiva, mas forçosamente aparecerão os nomes dos matemáticos

que fizeram história. Por isso, aqui deixamos uma lista de Referências que estabelecem ligações a páginas onde se

podem consultar as biografias e os principais resultados a que cada um ficou ligado.

A lista será enriquecida à medida que nos for chamada a atenção para os nomes de outros geómetras.

Do último desta lista, Coxeter, retemos dois livros

The real projective plane (Cambridge: University, 1961) e

Projective geometry (New York:Springe, 1994).

As definições e nomes que vamos seguir são, em larga medida, deste último livro de Coxeter.

weBiografias

8 . 2 . 1 2

Feixes e fileiras

A um conjunto de pontos distintos sobre uma mesma reta r chamamos uma fileira (ou pontual) da reta. A um

conjunto de retas distintas que passam por um mesmo ponto R chamamos feixe de retas por R.

Na construção seguinte, temos uma reta r e um ponto R não incidentes. Siga as instruções:

1. Clique no botão fileira

o e observe o que acontece

2. clique de novo no botão fileira para ocultar e, em seguida, clique no botão feixe

o e observe o que acontece. 3. Finalmente mantenha os dois botões ativos

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9 . 2 . 1 2

Projetividade

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Na construção acima, tomamos uma transformação obtida pela combinação de três correspondências elementares

(introduzidas na mensagem anterior). Para isso, usámos uma sequência de retas e pontos (alternadamente):

o,O, o1, O1, o2, O2,o3, O3, ... , on-1, On-1, on, On

Claro que tomamos os pontos On não incidentes em qualquer das retas on para que as correspondências X(n) para x(n)

sejam biunívocas, ligando pontos da fileira de pontos X em o (ou o feixe de retas x passando por O) com o feixe das

retas x(n) passando por On (ou a fileira dos pontos X(n) da reta on) . A esta transformação dá-se o nome de

projetividade. E em vez de escrever

X→x→X'→x'→X''→x''→X'''→ ... → x(n-1) →X(n)

escrevemos simplesmente

X →X(n) ou x →X(n) ou X→x(n)

1 2 . 2 . 1 2

Perspetividades

Tomemos duas pontuais: A, B, C sobre uma

reta r e D, E, F sobre outra reta s distinta de r.

Claro que podemos estabelecer várias

correspondências biunívocas entre os pontos

das duas pontuais (ou fileiras). Há, no

entanto, correspondências biunívocas

especiais. Para exemplo, tomemos A→ D,

B→E e C→F. Se as retas AD, BE e CF

incidirem num mesmo ponto O, dizemos que

as duas fileiras estão relacionadas por uma

perspetividade com centro em O (são secções

de um mesmo feixe por O) ou são

perspetivas.

Dualmente, se tomarmos dois feixes de retas:

a, b, c incidindo em R e d, e, f incidindo em S,

há várias correspondências biunívocas entre

as retas dos dois feixes. Para exemplo

tomemos a→d, b→e, c→f. Se as interseções

dos pares de retas correspondentes A=a∩d, B=b∩e, C=c∩f incidem numa mesma reta o, dizemos que os feixes estão em

perspetividade de eixo o

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1 3 . 2 . 1 2

Projetividade entre quaisquer duas pontuais?

Será que entre duas pontuais A,B,C de r e D,E,F de s (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca

que seja uma projetividade?

Pode. Tomemos os feixes de retas AD, AE e AF (por A) e DA, DB e DC (por D) e a reta GH (=o) em que

G=AE∩DB e H=AF∩DC. E tomemos I=AD∩GH. Ficam assim construidas duas perspetividades: uma que

transforma a pontual A,B,C de r a pontual I,G,H de o (secções por r e o do feixe de retas incidentes em D) e outra que

transforma a pontual I,G,H de o na pontual D,E,F de s (secções por o e s do feixe de retas incidentes em A).

A o chamamos eixo da projetividade que transforma a pontual A,B,C de r na pontual D,E,F de s. Escrevemos

ABC → IGH → DEF

Para cada ponto X de r, o correspondente em s, pela projetvidade assim definida, será o ponto X'' de incidência

comum a AX' e s, em que X' é o ponto de incidência comuma a DX e o.

Fica assim provado que há sempre uma projetividade que transforma uma pontual ABC noutra DEF (determinada

como composta de duas perspetividades). Ficará por provar que é única. Para isso, bastará verificar que qualquer

sequência de perspetividades relacionando ABC com DEF terá sempre o mesmo efeito sobre X.

Será que há sempre uma projectividade entre duas pontuais de 4 pontos?

1 4 . 2 . 1 2

Projetividade entre quaisquer dois feixes

Será que entre dois feixes a,b,c por R e d,e,f por S (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca

que seja uma projetividade?

Pode. Tomemos uma reta que corte a,b,c em A,B,C e outra que corte d,e,f em D,E,F. Usando o processo da anterior

entrada (a castanho na figura), determina-se a projetividade entre as pontuais A,B,C e D,E,F como composta de duas

perspetividades.

Temos

abc→ABC → DEF →def

Para cada reta x do feixe por R, há uma só reta do feixe por S que é projetiva com x (para a projetividade construída).

Fica como exercício a sua determinação usando as ferramentas disponíveis. O computador reconhece a solução.

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Fica assim provado que há uma projetividade que transforma o feixe abc noutro def. Ficará por provar que é única.

Será que há sempre uma projectividade entre dois feixes de 4 retas?

1 6 . 2 . 1 2

Outra forma de definir a projetividade entre duas pontuais

Nas últimas entradas, tratámos de determinar a projetividade entre duas pontuais ABC e DEF (ou entre dois feixes

abc e def).

Para isso considerámos que A→D, B→E e C→F. Em seguida tomámos os feixes por A: AD, AE, AF e por D:

DA,DB,DC. Traçámos a reta que incide nos pontos de interseção de AE com DB e AF com DC. Ficando assim

definidas duas perpetividades entre as pontuais ABC e DEF para a secção comum dos feixes por A e por D.

A projetividade entre as pontuais ABC e DEF aparece como a composta das duas perspetividades. Note-se que essa

projetividade não é uma perspetividade, já que AD,BE e CF não têm qualquer ponto em comum.

Na figura que se segue, não vamos tomar perspetividades centradas em A e D. Tomamos pontos quaisquer sobre BE

(podia ser sobre AD ou sobre CF), a saber: O1 e O2 e os feixes O1A, O1B, O1C e O2D, O2E, O2F, definindo uma reta

intermédia incidindo em I=O1A∩ O2D K=O1C∩O2F. Tomamos ainda J na interseção de O1O2 com a reta intermédia.

A projetividade fica definida A→I→D, B→J→E e C→K→F.

Obtivemos assim a projetividade como produto de duas perspetividades. Se mover os pontos O1 ou O2, verá que a

projetividade se pode decompor em duas perspetividades de uma infinidade de modos.

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24.2.12

Projetividade entre duas pontuais com a mesma base

Consideremos as pontuais A, B , C e A', B', C',tendo por base a mesma reta. Vamos

determinar a projetividade A→A', B→B', C→C', usando feixes de retas e pontuais

como secções de feixes.

Comecemos por tomar um ponto V em que não incide a reta dos pontos A, B, C, A', B',

C'. E consideremos o feixe VA', VB', VC'.

Tomamos a pontual A1, B1, C1 secção do feixe centrado em V por s (auxiliar).

Obviamente que A',B',C' e A1, B1, C1 são V-perspetivos.

Teremos agora de arranjar uma pontual A2, B2 , C2, que é secção comum aos feixes

AA1, AB1, AC1 (por A) e A1A, A1B, A1C (por A1), seguindo um processo já antes

usado.

Assim:

- pela perspetividade centrada em A1,

A→A2, B→B2 ,C→C2;

- pela perspetividade centrada em A,

A2→A1, B2→B1, C2→C1;

- pela perspetividade centrada em V,

A1 →A', B1→B', C1→C'

Concluindo:

A→A', B→B', C→C'.

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2 5 . 2 . 1 2

Exercício interativo:

Determinar a imagem de um ponto pela projetividade entre duas pontuais da mesma base

2 7 . 2 . 1 2

Pontual de 4 pontos: permutações por projetividade

Quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados em pares por projetividade

Nas construções que se seguem, tomam-se quatro pontos colineares (quaisquer) A,B, C, D. Vamos provar que existe

uma projetividade tal que A→B e B→A, C→D e D→C.

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Sendo R um ponto não colinear com A,B,C,D, uma reta arbitrária incidindo em D corta o feixe RA, RB, RC na

pontual T,Q, W. Sendo Z o ponto de incidência comum às retas AQ e RC, podemos concluir que

ABCD → BADC

Assim:

pela perspetividade de centro Q, (feixe verde, cortado por RZWC e ABCD): ABCD →ZRCW,

seguida da perspetividade de centro A, (feixe azul cortado por RZWC e TQWD): ZRCW → QTDW

e da perspetividade de centro R, (feixe castanho cortado por TQWD e ABCD): QTDW→BADC.

Exercicios propostos por Coxeter:

1. Dados 3 pontos colineares A, B, C, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito A→B, B→A

e C→C

2. Dadas três retas concorrentes a, b, c, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito abc →bac

3. Dados três pontos colineares A,B,C e três retas concorrentes a,b,c definir cinco correspondências

elementares (biunívocas) cuja composta tenha o efeito

ABC→abc.

4. Dados quatro pontos colineares A,B,C,D, determinar três perspetividades cuja composta tenha o efeito ABCD →DCBA

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2 8 . 2 . 1 2

Usando perspetividades para determinar projetividades entre pontuais: permutações

A construção seguinte parte de uma pontual ABC. Toma-se um ponto Q, exterior a ABC, e, por ele, o feixe QA,QB

cortado por uma reta arbitrária por C que corta o feixe QA,QB em R e S. Ficamos com os feixes

(AQ,AS,AC),(BR,BQ,BC). O ponto P de incidência comum a AS e BR define um novo feixe (PQ,PR,PS). O ponto

D, colinear com ABC fica determinado univocamente por construção.

Esta construção é muito interessante para ver que compostas de diferentes perspetividades têm o mesmo efeito e

serve ainda para resolver vários problemas de projetividades que definem permutações dos pontos das pontuais

ABCD, ABC, etc

Por exemplo:

1. o feixe RA,RB,RC corta ABC e APS e a perspetividade de centro R leva de A para A, B para P e C para S

e o feixe QA,QB,QC corta APS e ABC e a perspetividade de centro Q leva de A para A, P para D e S para

B,

tendo a sua composta o efeito de levar de ABC para ADB.

Podemos escrever

ABC →R APS →Q ADB

2. O mesmo efeito obteríamos se, tomássemos os feixes SA,SB,SC e respetivas secções ABC e AQR para a perspetividade de centro S e o feixe PA,PQ, PR e respetivas secções AQR e ADB

ABC →S AQR →P ADB

3. Para obter a permutação BAC de ABC, podemos tomar uma perspetividade de centro P, seguida de uma perspetividade de centro Q, abreviadamente

ABC →P SRC →Q BAC

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2 9 . 2 . 1 2

Exercício interativo: projetividade entre feixes

2 . 3 . 1 2

Para escrever sobre triângulos

Escolhemos para base do estudo de geometria projetiva do plano, as noções primitivas de ponto, reta e incidência. O

nosso plano foi definido como um conjunto de pontos {A,B,C,...} não vazio e uma família de subconjuntos {a,b,c, ..}

não vazia a que chamámos retas. Considerámos a existência de uma reta a e um ponto A não incidente em a, e, assim,

podemos sempre considerar o nosso mundo plano composto por todos os pontos que incidem nas retas definidas pelo

ponto A e por cada ponto da reta a, bem como por todas as retas que possam ser definidas por quaisquer pares de

pontos assim determinados.

E, a partir de agora, falaremos de triângulos (com recurso a palavra já consagrada pelo uso) como um conjunto de três

pontos {A, B, C} não colineares (que não incidem todos numa só reta), a que chamamos vértices e das três retas {AB,

BC, AC}, a que chamamos lados, determinadas pelos 3 pares de pontos existentes. Que é exata(dual)mente o mesmo

que considerar o conjunto de 3 retas {a, b, c} (lados) não incidentes num mesmo ponto e dos três pontos {a.b, b.c,

a.c} (vértices) de incidência dos 3 pares de retas existentes. Escrevemos AB para designar a única reta que passa por

(comum a) A e B e a.b para designar o ponto único de (comum a) duas retas concorrentes (a.b=a∩b).

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Para escrever sobre quadriláteros (completos)

De forma semelhante à abordagem dos triângulos, usamos a palavra quadrilátero (ou quadrângulo) consagrada para

designar

1. o conjunto formado por quatro pontos {A,B,C,D}, dos quais não há 3 colineares, (vértices) e pelas 6 retas

{AB,AC,AD,BC,BD,CD} definidas pelos pares de pontos existentes, a que chamamos lados. Dois lados

consideram-se opostos quando se intersetam em pontos que não A, B, C, D, ou seja, em pontos que não são

vértices, no caso, E,F,G. Esses 3 pontos tomam o nome de pontos diagonais

2.

o conjunto formado pelas quatro retas {a,b,c,d}, das quais não há 3 incidentes num ponto,(lados) e pelos 6

pontos {a.b,a.c,a.d,b.c,b.d,c.d} definidos pelos 6 pares de retas existentes a que chamamos vértices. Dois

vértices consideram-se opostos quando definem uma reta que não é qualquer dos 4 lados a,b,c ou d, a saber,

a.d e b.c, a.c e b.d, a.b e c.d. As retas definidas por vértices opostos chamam-se retas diagonais, no caso, e,f,g.

Para distinguir de outros conceitos associados à palavra quadrilátero, falamos de quadriláteros completos para evitar

confusão. De um modo geral, em geometria projetiva só consideramos quadriláteros completos e é frequente falarmos

de quadriláteros quando nos estamos a referir a quadriláteros completos.

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6 . 3 . 1 2

Triângulos perspetivos

Duas pontuais ou dois feixes dizem-se perspetivos se estiverem relacionados por uma perspetividade. Esta noção

pode ser ampliada para quasiquer duas figuras planas envolvendo mais do que um ponto ou mais que uma reta. Dois

espécimes de uma figura dizem-se perspectivos se os os seus pontos podem ser relacionados por uma

correspondência biunívoca tal que todos os pares de pontos corrrespondentes (ou homólogos) definem retas

concorrentes ou se as suas retas podem ser relacionadas por uma correspondência biunívoca tal que todos os pares de

retas correspondentes (ou homólogas) se intersetam em pontos colineares.

Considere os dois triângulos ABC e DEF da figura (BC=a, AC=b, AB=c; EF=d, DF=e, DE=f). E repare que

AD.BE.CF=O e a.d,b.e, c.f estão sobre a reta o.

Assim os dois triângulos ABC e DEF da figura que se segue são perspetivos, quer porque A→D, B→E e C→F pela

perspetividade relativa ao ponto O (as retas AD, BE e CF concorrem num só ponto O), ou porque a→d, b→e, c→f

pela perspetividade relativa à reta o.

A O chamaremos centro e eixo a o.

8 . 3 . 1 2

Teorema de Desargues e recíproco

Na entrada anterior e nesta, apresentamos uma construção dinâmica em que partimos de um feixe por O e de dois

triângulos ABC e DEF em que cada um dos vértices está sobre uma reta do feixe e de tal modo que A→D, B→E e

C→F, isto é AD∩BE∩CF={O}, isto é ABC é O-perspetivo DEF. Observámos que os pares de lados correspondentes

(AB, DE) ou (c,f), (AC,DF) ou (b, e), (BC, EF) ou (a, d) se intersetam respetivamente nos pontos R, Q e P que são

colineares ou pertencem todos à reta o, que é o mesmo que dizer que os triângulo abc e def são o-perspetivos. Os

programas de geometria dinâmica podem verificar que o ponto R está sobre a reta PQ, assim como podem verificar

que CF incide sobre o ponto de interseção de AD com BE.

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De certo modo, podemos verificar que "Dados dois triângulos e uma correspondência biunívoca pela qual qual os

pares de vértices correspondentes definem três retas que incidem num mesmo ponto O, então os pares de lados

correspondentes pela mesma correspondência intersetam-se em pontos de uma mesma reta o", ou dito de outro

modo, "Se dois triângulos são perspetivos por um ponto, então são perspetivos por uma mesma reta. Este

resultado, conhecido por Teorema de Desargues, pode ser demonstrado, mas, mesmo para pares de triângulos do

mesmo plano, precisa de um axioma novo e de usar um ponto exterior ao plano. Optamos, por isso e como fazem

muitos autores, para o nosso estudo de geometria plana, tomar o chamado teorema de Desargues como um

axioma.

Podemos demonstrar o recíproco (dual) do terorema de Desargues, a saber: Se dois triângulos são perspetivos por

uma reta o, então são perspetivos por um ponto O. Tome-se da figura em que a.d=P, b.e=Q e d.f=R são pontos de o.

E provamos, em consequência disso e do teor de Desargues, que as retas (a.b, d.e) ou CF, (a.c, d.f) ou BE, (b.c, e.f) ou

AD se intersetam num ponto.

Recorremos aos triângulos ADQ e BEP. Estes triângulos são R-perspetivos, já que AB∩DE=DE∩QP=AB∩QP={R}. O

teorema de Desargues aplicado a estes triângulos ADQ e BEP que são perspetivos por R, garante que AD∩BE={O},

AQ∩BP={C} e DQ∩EP={F} são colineares. Fica demonstrado que a reta CF passa por O, interseção de AD com BE.

1 1 . 3 . 1 2

Três triângulos perspetivos por um ponto O

Na construção a seguir, os triângulos verde, azul e vermelho são perspetivos por O. Os triângulos verde e azul são

perspetivos por D1E1F1, os triângulos azul e vermelho são perspetivos por D2E2F2 e os triângulos verde e vermelho

são perspetivos por D3E3F3.

Como pode observar-se, a figura sugere que as retas D1E1F1, D2E2F2 e D3E3F3 incidem num mesmo ponto K.

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Para provar esse resultado, Coxeter dá a sugestão de aplicar o recíproco do terorema de Desargues aos triângulos

D1D2D3 e E1E2E3.

Novo problema:

Coxeter pergunta o que acontece ao recíproco do Teorema de Desargues se o aplicarmos a triângulos cujos lados

correspondentes se intersetam em pontos do infinito (paralelos)?

1 2 . 3 . 1 2

Secção de um quadrilátero completo

Tomemos quatro pontos P, Q, R, S tal que não há ternos que sejam colineares. São os quatro vértices de um

quadrilátero. Tomemos, em seguida, as seis retas PQ, PR, PS, QR, QS, RS. São os seis lados do quadrilátero

completo. Os pares lados opostos encontram-se em 3 pontos que não são vértices e a que chamamos pontos diagonais

(um triângulo diagonal)

Uma reta g que corte os lados do quadrilátero, cria uma

secção pontual de 6 pontos ABCDEF se não passar por

qualquer dos pontos diagonais.

A,B,C são as interseções da reta g com as retas PS, QS

e RS respetivamente. Estão em retas que passam por

um mesmo vértice S. Os restantes D, E, F estão sobre g

e os lados QR, RP e PQ respetivamente, opostos de

PS,QS e RS. Por isso, representamos esta secção por

(AD)(BE)(CF) em que cada par são pontos de lados

opostos do quadrilátero completo que se mantém ao

aplicarmos uma mesma permutação a ABC e DEF, isto

é, (AD)(BE)(CF) tem o mesmo significado que

(BE)(AD)(CF), já que o quadrilátero PQRS pode ser

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chamado QPRS.

(AD)(BE)(CF) é igualmente equivalente a cada uma das seguintes (AD)(EB)(FC), (DA)(BE)(FC), (DA)(EB)(CF).

À secção do quadrilátero completo, chamamos conjunto quadrangular e representamo-lo também por Q(ABC, DEF),

para além das representações do tipo (AD)(BE)(CF)

1 3 . 3 . 1 2

Numa secção quadrangular, cada ponto depende dos outros 5

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1 4 . 3 . 1 2

Conjunto Harmónico

Dois novos axiomas: causas e consequências

Acrescentaremos novos axiomas à medida que for sendo necessário.

E é altura de introduzirmos dois novos axiomas. A saber:

1. Se quatro pontos distintos A, B, D, E forem tais que AB interseta DE, então AD interseta

BE. Segue-se a figura dinâmica em que pode deslocar pontos e retas:

Este axioma aparecia como necessário para provar o Teorema de Desargues (caso não o

tivessemos então considerado axioma).

2. Sempre aceitámos a ideia de que os pontos diagonais de um quadrilátero completo formam

um triângulo, ou seja, que os três pontos diagonais de um quadrilátro completo nunca são

col ineares. Acrescentamos esse resultado sublinhado como axioma.

Decorre deste axioma que os conjugados harmónicos C e F são distintos, excepto no caso

degenerado em que ambos coincidem com A ou coincidem com B.

Dito de outro modo: Se A, B, C são distintos, a relação H(AB, CF) implica que F é distinto de

C.

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Desloque C sobre AB, para verificar que F só coincide com C quando C coincide com A ou com

B (o que só acontece com G em A ou B)

E assim, em consequência desse axioma, há pelo menos quatro pontos em cada reta , já que

os três pontos diagonais não são col i neares o que garante que F e C são distintos entre si e

distintos de A e B.

Conjugado harmónico de um ponto no infinito?

Em entrada anterior, introduzimos a noção de conjunto harmónico (AA)(BB)(CF) como secção

do quadri látero completo pela reta AB definida por dois pontos diagonais. À definição desse

conjunto corresponde uma relação entre os pontos A,B,C,F que consiste em garantir que A e

B são pontos diagonais de um quadri látero completo e C e F são os pontos em que os lados

que passam pelo terceiro ponto diagonal intersetam a reta AB. Indistintamente escrevemos

H(AB,CF) para nos referirmos ao conjunto harmónico ou à relação correspondente. Na altura,

concluímmos também que, num conjunto harmónico (AA)(BB)(CF), F é determinado

unívocamente por A,B,C no rasto do que tínhamos visto para a secção do quadri látero

completo por uma reta que não incidisse em pontos diagonais ou vértices do quadri látero.

3. Na construção seguinte, apresentamos um quadrilátero completo PQRS em que A=PS.QR,

B=PR.QS C=RS.AB e PQ.AB=F∞. De facto, começámos por construir A, B, R e PQ a intersetar

AB num ponto do infinito. Movimentando R e a reta PQ poderá observar que o conjugado

harmónico de F∞ é invariante. Tal como se esperava ABF∞ define univocamente C do conjunto

harmónico (AA) (BB)(F∞C). Será que pode conjeturar qual é a posição ou localização de C

relativamente a A e B? (Pode deslocar A e B para ver se essa posição relativa se mantém

invariante).

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Poderia provar a sua conjetura considerando os instrumentos da geometrias eucl ideana? Em

termos de geometria projetiva, o que podemos fazer? Abordaremos mais tarde este problema

do ponto de vista da geometria projetiva.

1 7 . 3 . 1 2

Nota marginal sobre a palavra harmónico em uso

Coxeter recomendou que nos detivessemos na geometria euclideana por mais uns momentos

e que tomássemos uma corda esticada OC e G, E de tal modo que 3.OG=2.OC e 5.GE=2.GC.

Assim fizemos. Diz ele que se afinarmos a corda OC para a nota C (Dó), a corda OG fic aria

afinada para dar a nota G (Sol) e a corda OE ficaria afinada para a nota E (Mi). Dó, Sol, Mi

são as três notas do acorde da terceira maior: o intervalo entre a nota produzida por OC e a

nota produzida por OG é uma quinta perfeita e o intervalo entre a nota produzida por OC e a

produzida por OE é uma terceira maior.

Desenhámos em seguida um quadri látero completo PQRS de tal modo que O=RQ.PS, E=RP.QS

e G em RS. Verificámos que QP passa por C, o que significa que (OO)(EE)(GC) é um conjunto

harmónico.

Deslocando o ponto R, pode verificar a relação H(OE,CG).

Fica-se a saber que a designação de harmónica que apl icamos a essa relação tem origem na

harmonia da terminologia musical.

Dualidade na geometria projetiva plana.

Com o Princípio da Dualidade afirmamos que, na geometria projetiva do plano, qualquer

definição se mantém com significado e cada teorema continua a ser verdadeiro, quando

trocamos as palavras ponto por reta e reta por ponto (e consequentemente também certos

pares de palavras tais como intersetam-se em e passam por , colinear e concorrente , vértice

e lado, etc. Por exemplo, o dual do ponto AB.CD é a reta (a.b)(c.d) que explicita que

simbolicamente não só trocamos maiúsculas por minúsculas como temos de remover pontos

(com o significado de interseção) onde estão presentes ou de os inserir onde estão ausentes.

22

Já várias vezes referimos e uti l izámos o princípio da dualidade quando, por exemplo,

definimos

1. triângulo como conjunto de 3 pontos A,B,C e de 3 retas AB, AC,BC e, dualmente,

como conjunto de 3 retas a, b, c e dos 3 pontos a.b, a.c, b.c (figura autodual)

2. quadri látero completo como conjunto de 4 pontos A,B,C,D e de 6 retas

AB,AC,AD,BC,BD,CD (com três pontos diagonais) e, dualmente, como conjunto de 4

retas a,b,c,d e 6 pontos a.b, a.c, a.d, b.c, b.d, c.d (com 3 retas diagonais).

3. teorema de Desargues e seu recíproco (ou dual?)

Claro que todos os axiomas para o plano projetivo implicam os seus duais . Depois de usar os

axiomas e as suas consequências para provar um determinado teorema, podemos

imediatamente afirmar o teorema dual.

Uma demonstração do teorema dual pode ser escrita automaticamente dualizando cada passo

da demonstração do teorema original. No plano. (Há teoremas cuja demonstração não pode

ser feita assim. A demonstração do recíproco do teorema de Desargues é um caso desses por

ser tridimensional. Para evitar isso é que tomámos o Teorema de Desargues como axioma e

deduzimos o seu recíproco no plano e sem apelar ao princípio da dualidade).

Este princípio da dualidade torna muito atrativa a Geometria Projetiva, pela simetria e,

principalmente, pela economia. Ter demonstrado 10 teoremas significa afinal ter

demonstrado 20

2 0 . 3 . 1 2

Notas sobre configurações e dualidade

No plano, consideramos pontos e retas, sendo as retas conjuntos de pontos. Claro que já

tratámos de conjuntos de pontos e retas. Para cada um desses conjuntos terá interesse saber

4 números: o número de pontos e o número de retas, o número de retas que pas sa por cada

23

um dos pontos e o número de pontos que pertencem a cada uma das retas.

Por exemplo, um quadrilátero pode ser um conjunto de 4 pontos e 6 retas, sendo que por

cada um dos 4 pontos passam 3 retas e cada uma das 6 retas passa por 2 pontos.

Descrevemos o quadrilátero completo como sendo uma configuração (4 3, 62). Claro que um

quadri látero completo também pode ser definido com uma configuração (6 2, 43), 6 pontos

com 2 retas a passar por cada um deles e 4 retas com 3 pontos a incidir em cada uma delas .

Estas duas configurações são duais.

Numa configuração auto-dual o número de retas é igual ao número de pontos e o número de

pontos de cada uma das retas é igual ao número de retas a incidir em cada ponto. Por

exemplo o triângulo tem a seguinte configuração (32, 32) nas duas definições duais.

A configuração de Desargues também é autodual, exatamente (10 3, 103), como se pode ver:

A,B,C, A',B',C', O(=AA'.BB'=AA'.CC'=BB'.CC'), I(=AB.A'B'),J(=AC.A'C'),K(=BC.B'C') - 10

pontos

IAB, IA'B', JAC, JA'C', KBC, KB'C ', OAA', OBB', OCC', IJK - 10 retas

Por cada ponto 3 retas, em cada reta 3 pontos.

2 2 . 3 . 1 2

Relações harmónicas - duais.

Introduzimos a relação harmónica H(AB,CF) com recurso a um quadri látero completo PQRS,

para a qual os pontos A, B, C determinam univocamente F. Trata-se agora de dualizar esse

trabalho que concluirá por uma relação para a qual três retas a, b, c determinam

univocamente uma quarta reta f.

H(AB, CF):

Estabelecer essa relação harmónica é

o mesmo que criar o conjunto

harmónico (AA,BB,CF) como secção

(pontual) de um quadrilátero

completo PQRS pela reta AB,

considerados estes últimos como

pontos diagonais do quadrilátero a

construir.

Fez-se assim: Tomámos a reta dos

três pontos A, B, C colineares e um

H(ab,cf):

Tomamos agora três retas distintas a,b,c que

incidem num mesmo ponto que designamos por

a.b.c. E vamos construir um quadrilátero de

lados p,q,r,s, começando pelo triângulo qrs

cujos vértices q.r, q.s, r.s incidam

respetivamente em a,b,c. O lado p é o que passa

por a.s e b.r, p=(a.s)(b.r). O lado p interseta q e

tomamos a reta f=(a.b)(p.q)

Assim, o quadrilátero de lados p,q,r,s tem a e b

como duas das suas 3 diagonais enquanto c

24

ponto R (livre) fora dessa reta.E

traçamos os lados triângulo ABR.

Seguidamente, por A, tirámos uma

segunda reta que corta BR em P e CR

em S. A reta que passa por B e S

determina Q sobre AR. Falta o lado

QP que cortará ABC em F,

conjugado harmónico de C; C é

único para cada terno ABC,

independente do quadrilátero PQRS;

poderá verificar ao fazer variar o

quadrilátero (deslocando R) de que

construímos os lados e em que A e B

são dois dos seus 3 pontos diagonais

e C está sobre AB e o lado RS. C é o

conjugado harmónico de F pela

relação estabelecida.

passa por dois vértices.

Poderá verificar que f é única para cada terno

(a,b,c) independente do quadrilátero de lados

p,q,r,s, como pode verificar quando desloca

esses lados mantendo a incidência das suas

interseções em a,b,c fixas.Por exemplo, pode

deslocar os pontos a.r sobre a reta a, b.q sobre a

reta b ou c.r sobre a reta c. Podemos dizer que a

reta f assim determinada é conjugada

harmónica da reta c numa relação harmónica

que designamos talvez abusivamente por

H(ab,cf).

Se,na figura da direita, chamarmos A=a.q=a.r, B=b.q=b.s=q.s, C=c.q e F=f.q=p.q=f.p, é

óbvio concluir que (AA,BB,CF) é um conjunto harmónico ou que H(AB,CF). Basta identificar as

l inhas ligadas ao quadrilátero de lados p,q,r,s e retas diagonais a,b,c com as l inhas PQ,

AB,QR, RP,PS, QS, RS para ver como ABCF, sendo uma secção do conjunto harmónico abcf é

uma secção pontual harmónica do quadrilátero de vértices PQRS, agora nomeado.

2 3 . 3 . 1 2

Projetividade entre pontuais e feixes harmónicos.

Retomamos a figura da última entrada. Na construção abaixo, o feixe abcf de centro em

S=a.b.c.f respeitando uma relação harmónica. Nesta construção, cada terno a,b,c determina

univocamente a reta f. A, B, C, F constituem uma secção do feixe harmónico a,b,c,f, pela

reta q, ao mesmo tempo que são os pontos da secção pela reta q do quadri látero de vértices

P,Q,R,S. A reta q passa por dois dos seus pontos diagonais A e B, sendo que C e F são pontos

de interseção de q com os lados RS e PQ, respetivamente.

Este processo garante que o feixe harmónico abcf pode ser obtido a partir de qualquer

conjunto harmónico de pontos e um ponto S em que não incida a reta do conjunto harmónica.

25

Assim, fica estabelecido que

Um conjunto harmónico de pontos é projetivo com um feixe harmónico de retas de centro

fora da base do conjunto harmónica

e, dualmente,

Qualquer secção de um feixe harmónico por uma reta que não passe pelo seu centro é um

conjunto harmónico de pontos.

2 5 . 3 . 1 2

Perspetividades e projetividades preservam as relações harmónicas

Na figura dinâmica abaixo, apresentam-se um feixe abcf de centro S, cortado por duas retas

que não passam por S, sendo

A→a→A', B→b→B' e C→c→C', F→f→F'

ABCF→Sabcf→SA'B'C'F'

que é o mesmo que dizer ABCF e A'B'C'F' são S-perspetivos.

Por construção, os pontos ABCF verificam a relação harmónica H(AB,CF).

Pelos resultados da página anterior sabemos que se ABCF verificam a relação harmónica

H(AB,CF) então abcf é um feixe harmónico. E se abcf é um feixe harmónico então a sua

secção A'B'C'F' por uma reta é um conjunto harmónico de pontos. Resumindo

Se ABCF e A'B'C'F' são perspetivos e H(AB,CF) então H(A'B',C'F')

que é o mesmo que dizer que as perspetividades preservam a relação harmónica .

26

Como a composta de duas perspetividades é uma pro jetividade, podemos concluir que a

projetividade preserva a relação harmónica . [Por exemplo, von Staudt definia projetividade

como correspondência biunívoca que transforma conjuntos harmónicos em conjuntos

harmónicos]. E, como já vimos em entrada anterior, quaisquer quatro pontos colineares

podem ser permutados aos pares por uma projetividade , por exemplo,

ABCF e FCBA são projetivos, como são projetivos ABCF e CFBA. ABCF e CFAB, ABCF e FCAB

E, assim, como o projetivo de um harmónico, harmónico é, podemos concluir que:

se H(AB,CF), então H(FC,BA) e também H(CF,BA), H(CF,AB), H(FC,AB).

2 6 . 3 . 1 2

Exercício Interativo: Dos pontos diagonais aos vértices do quadrilátero

Harmónicos em 2 lados, harmónico no 3º lado de um triângulo

Se PQR é um triângulo, H(AA1,QR) e H(BB1,RP) então P e Q são conjugados harmónico

relativamente a C=AB1.BA1 e C1=AB.A1B1.

27

A construção abaixo serve para i lustrar esse resultado. Tomámos A e A 1 sobre RQ tal que

H(AA1,QR) e BB1 sobre RP tais que H(BB1,RP) - a hipótese por construção. E podemos

constatar a tese sobre a mesma construção.

Demonstração:

O quadrilátero BCB1C1 garante que CC1 interseta AA1 em Q, conjugado harmónico de R

relativamente a A e A1. E de modo análogo, o quadrilátero CAC 1A1 garante que CC1 interseta

BB1 em P, conjugado harmónico de R. Finalmente, o quadrilátero ABA 1B1 garante-nos que Q

sobre AA1 e P sobre BB1 são conjugados harmónicos relativamente a C e C 1

Polar trilinear de um ponto

Seja o triângulo ABC e um ponto P que não coincida com qualquer dos seus vértices nem

incida em qualquer dos seus lados a=BC, b=AC e c=AB. Tiremos por P as retas P A, PB e PC e

chamemos Pa a PA.BC, Pb=PB.AC e P c=PC.AB

E tomemmos as cevianas do triângulo ABC, AP a, BPb e CPc que incidem em P.

Consideremos agora o triângulo cujos vértices são os pés das cevianas P aPbPc e as

interseções P cPb.BC=P'a, PaPc.AC=P'b e PaPb.AB=P'c.

Então:

a) P'a, P'b e P'c são col ineares

Como ABC e PaPbPc são perspetivos por P (centro), serão perspetivos por uma reta (eixo) que

não pode ser outra senão a reta dos pontos de interseção dos pares de lados correspondentes

b) H(BC, PaP'a), H(AC, PbP'b) e H(BC,P cP'c)

Basta considerar o quadrilátero completo P bPcAP para concluir que se verifica H(BC,P aP'a). De

igual modo se verificarão as outras relações.

28

Poncelet chamou polar trilinear de P à reta p em que incidem os pontos P' a, P'b e P'c.

Dualmente: dado um triângulo ABC e uma reta p que corte os lados do triângulo sem passar

por qualquer dos seus vértices, pode falar -se do polo tri l inear P da reta p. Um problema pode

ser determiná-lo

2 8 . 3 . 1 2

Exercício Interativo: Polo trilinear de um reta

A reta p corta os lados do triângulo ABC. Determine o polo tri l inear P da reta p no sentido

dual da definição e da construção descrita e feita na entrada anterior.

Sugestão:

Tome P'a=p.BC. E determine P a: H(BC,P'aPa). Depois determine Pb e Pc.

Para pensar:

29

a) O que acontece se nós estendermos as definições de polo e polares tril ineares para quando

o ponto P estiver sobre algum lado do triângulo ou for algum dos seus vértices? O que

acontece quando a reta p cortar os lados do triângulo em algum vértice ou quando a reta p

corta algum dos lados do triângulo num ponto do infinito?

b) Pense na possibilidade de determinar o polo de uma reta no infinito relativamente a um

triângulo ABC dado

2 . 4 . 1 2

Pontual de pontos harmonicamente relacionados

Um ponto P diz-se harmonicamente relacionado com 3 pontos col ineares distintos A,B,C, se P

puder ser obtido como membro de uma sequência de pontos iniciada com A,B,C definida do

seguinte modo: cada ponto após C forma um conjunto harmónico com quaisquer três pontos

(e por qualquer ordem) que o antecedam.

Ao conjunto de todos os pontos harmonicamente relacionados com ABC damos o nome de

rede harmónica e designa-se por R(ABC) (ou R(BCA) ou R(CAB)...)

Na figura acima, está construída uma pontual saisfazendo as condições de uma rede R(ABC).

Incluímos os quadriláteros completos uti l izados com indicação das diversas relações

harmónicas estabelecidas para obter cada ponto da rede. De certo modo, uma rede

harmónica é um conjunto, tão pequeno quanto possível, com um mínimo de 3 pontos

col ineares que incluirá, para cada terno dos seus elementos, o conjugado harmónico de cada

um deles relativamente aos outros dois.

Claro q

ue percebemos que o procedimento parte de 3 pontos de uma pontual, que se podem obter

novos pontos indefinidamente e que entre dois pontos da rede se podem obter novos pontos.

Por isso, a esta rede se chama também rede de racionalidade. E fica por responder a

pergunta sobre se, por este processo recorrente se obtêm todos os pontos da reta (base da

pontual). Sim ou não? Depende.

1) Como a projetividade transforma conjuntos harmónicos e em conjuntos harmónicos,

tambémm transforma qualquer rede harmónica numa rede harmónica.

2) Se uma projetividade deixa invariantes cada um dos três pontos distintos A,B,C de uma

pontual, também deixa invariantes cada um dos pontos da rede harmónica R(ABC).

3) Uma reta harmónica fica igualmente bem determinada por quaisquer três dos seus pontos

30

Será que fica univocamente determinada uma rede harmónica (ou de racionalidade) pelos

seus primeiros três pontos?

3 . 4 . 1 2

Uma sequência especial de pontos harmonicamente relacionados

O procedimento especial aqui seguido pode ser descrito como segue:

Tomados A, B e Z, consideramos uma reta arbitrária tirada por Z e sobre ela dois pontos P e

R arbitrários.

Tomado A'=AP.BR, traçamos a reta ZA'. E tomamos os pontos B'=BP.A'Z, Q=AR.ZA'.

O quadrilátero completo B'RQS da figura, em que C=RB'.AZ e S=QC.AB', prova a relação

harmónica H(AC,BZ).

O procedimento para obter D é semelhante:

C'=CP.A'Z para obter sobre AZ o ponto D=RC'.AZ;

D'=DP.A'Z para obter E=RD'.AZ,; etc

As relações construídas por este processo (e verificadas de forma análoga à H(AC,BZ) ou

H(BZ, AC) são H(CZ,BD), H(DZ,CE), ...

Esta sequência A, B, C, D, E, ... assim construída depende exclusivamente de A, B, Z e é

independente da escolha dos pontos auxi l iares P e R (pontos que pode deslocar na figura

para ver que esta sequência de pontos relacionados harmonicamente com A, B, Z é única,

para o procedimento descrito).

Este procedimento leva a um subconjunto da rede de racional idade R(ABZ). Neste caso entre

quaisquer dois termos consecutivos da sequência não há termos relacionados

harmonicamente com A, B, Z (à semelhança do que acontece no conjunto dos naturais como

subconjunto dos racionais).

Como é óbvio a pontual A', B', C' D',... é perspetiva de centro P com a pontual A, B, C, D,...

Como esta é uma rede harmónica também é harmónica a pontual A', B' C', D', ...

4 . 4 . 1 2

Sequência de pontos harmonicamente ligados a A,B, Z∞

Retomamos o procedimento especial para obter uma sequência harmónica de pontos

relacionados harmonicamente com A,B,Z que apresentámos na entrada anterior. Só que

tomamos Z como ponto no infinito.

31

Podemos observar uma sequência de pontos relacionados harmonicamente dependentes dos

três pontos A, B, Z∞. Claro que esta pode ser composta por A,B,C,Z ∞; ou A,B,C,D, Z∞;... ou,

por uma infinidade numerável de pontos (como pode acontecer com qualquer rede de

racional idade). Nestas duas últimas entradas, entre dois pontos consecutivos não há outros

pontos obtidos pelo mesmo procedimento especial, sendo que nesta última, aos nossos olhos

os pontos sucessivos aparecem igualmente espaçados.

9 . 4 . 1 2

Teorema Fundamental da Geometria Projetiva

Como sabemos, uma reta r corta um feixe abc de centro O 1 numa pontual ABC. Podemos

fazer corresponder a cada ponto de uma pontual uma reta de um feixe e reciprocamente, a

cada reta de um feixe fazemos corresponder um ponto de uma pontual.

O Teorema Fundamental da Geometria Projetiva diz -nos que

1. uma projetividade é bem determinada se conhecermos 3 pontos col ineares (de uma

pontual sobre uma reta r) e os correspondentes (um a um) 3 pontos colineares (de u ma outra

pontual sobre s)

ou dualmente

2. uma projetividade fica bem definida se conhecermos 3 retas concorrentes num ponto O 1 e

as correspondentes (uma a uma) retas de um outro feixe de centro O 2.

32

Demonstração:

1. Quaisquer 3 pontos A, B, C de uma pontual sobre uma reta r e quaisquer 3 pontos A', B',

C' de uma pontual sobre s definem sempre uma projetividade que transforma A em A', B em

B', C em C'. Assim: Tomemos um feixe centrado em A (AA', AB', AC') e um outro centrado em

A' (A'A, A'B, A'C) e a reta que passa por K=AB'.A'B e L=AC'.A'C. Sendo J=AA'.KL, pela

perspetividade de centro A', a pontual ABC é transformada em JKL e esta, pela

perpsetividade de centro A, é transformada em A'B'C'. A projetividade, composta dessas duas

perspetividades, transforma ABC em A'B'C'.

Claro que para definir esta projetividade que faz corresponder A a A', B a B' e C a C' se

podem tomar como centros dos feixes B e B', C e C' ou dois pontos quaisquer em AA' (BB' ou

CC').

Se precisarmos de determinar a imagem de um quarto ponto X sobre r, bastará tomar A'X do

feixe centrado em A' e, sendo M o ponto comum a A'X e KL, X' será o ponto de AM do feixe

centrado em A comum a s.

2. Tomados dois feixes a, b, c por O 1 e a', b', c' por O2, fica bem definida uma projetividade

que faz corresponder a a a', b a b', c a c'. Assim: Cortando o primeiro feixe por uma reta r

arbitrária, obtemos uma pontual A, B, C de base r e cortando o segundo feixe por uma outra

reta s, obtemos uma outra pontual A', B' C'. Por 1. fica definida a projetivida de que leva de A

a A', B a B', C a C'. E, finalmente, podemos definir a projetividade entre os dois feixes

a→A→A'→a', b→B→B'→b' e c→C→C'→c'.

Se precisarmos de determinar a imagem de uma quarta reta x por O 1, bastará tomar X=r.x e,

seguindo o procedimento de (1,) determinar X' sobre s para definir x'=X'O 2.

Eixo de projetividade entre duas pontuais

Para cada projetividade entre pontuais de bases r e s distintas evidencia -se a reta que passa

pelos pontos de cruzamento das retas AB' e A'B, AC' e A'C. Se consi derarmos mais um ponto

X, essa reta passa também pelas interseções de AX' e A'X, BC' e B'C, BX' e B'X, CX' e C'X. À

reta que verifica esta propriedade damos o nome de eixo da projetividade.

Uma projetividade é uma composta de duas perspetividades. Em que condições é que uma

projetividade entre duas pontuais é perspetividade?

1 0 . 4 . 1 2

Centro da projetividade entre dois feixes

Definimos o eixo da projetividade entre duas pontuais A,B,C sobre r e A', B', C' sobre s.

Dualmente deve haver um ponto especial para a projetividade que é definida por dois feixes

a, b, c de centro em R e a', b', c' de centro em S.

Assim como tomámos as retas AB' e A'B que se intersetam em K e as retas AC' e A'C que se

intersentam em L sendo KL o eixo de projetividade, no caso dos feixes projetivos, tomamos

os pontos a.b' e a'.b a definir a reta k e os pontos a.c' e a'.c a definir a reta l sendo k.l o

centro da projetividade. Por este ponto k.l passará inevitavelmente m=(a.c')(a'.c). Assim:

33

Esta dualização permitirá as demonstrações dos enunciados do teorema fundamental,

qualquer delas por dual ização da outra (como fizemos para a definição de eixo e centro de

projetividade).

Uma projetividade entre feixes é uma composta de duas perspetividades entre feixes. Em que

condições é que uma projetividade entre dois feixes é perspetividade?

1 1 . 4 . 1 2

[Exercício Interativo]- Determinar uma original de uma projetividade entre feixes

Considere a projetividade definida pelos feixes a,b,c por O 1 e a', b', c' por O2 em que a é

correspondente de a', b de b' e c de c'. Determine a reta d do feixe por O 1 a que, por essa

projetividade, corresponde d'.

34

1 2 . 4 . 1 2

Projetividade entre conjuntos harmónicos

Vamos provar que: quaisquer dois conjuntos harmónicos de 4 pontos col ineares ou quatro

retas concorrentes estão relacionados por uma única projetividade .

Construímos dois conjuntos harmónicos um (AA,BB,CF) sobre r e outro (A'A',B'B', C'F') sobre

s. Verificam-se as relações harmónicas H(AB,CF) e H(A'B',C'F'). A projetividade determinada

por ABC e A'B'C', de que determinámos o eixo (AC'.A'C)(BC'.B'C), transforma F num outro

ponto, seja F''. Para determinar este ponto sobre s traça -se, por exemplo, FB' e toma-se o

ponto dessa reta que está no eixo, seja M. F'' será a interseção de BM' com s. Como as

projetividades transformam conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos e o conjugado

harmónico de C' é F' relativamente a A'B' e é único, forçosamente a projetividade que leva de

A a A', B a B' e C a C' leva de F para F'. Ou seja F''=F'

Se H(AB,CF) e H(A'B',C'F '), a projetividade que faz corresponder A a A', B a B' e C a C'

obrigatoriamente transforma F em F' . O ponto que é imagem de si mesmo toma o nome de

ponto duplo (F=F'=r.s)

Deste resultado se tira que há uma projetividade que relaciona duas redes harmóni cas ou de

racional idade, bem como duas sequências harmónicas. O mesmo raciocínio pode ser usado

para a projetividade estabelecida entre dois feixes harmónicos distintos, pois ao

intersetarmos cada um deles por uma reta caímos no caso das pontuais. De um mo do geral,

uma projetividade entre feixes (abf por R e a'b'f' por S) é uma perspetividade se e só se

houver uma reta de ambos os feixes for transformada em si mesma, isto é, f=f'=RS. Esta

reta que é imagem de si mesma toma o nome de reta dupla.

1 3 . 4 . 1 2

Quando uma projetividade entre duas pontuais ou dois feixes é perspetividade

Uma projetividade relacionando duas pontuais sobre bases distintas é uma composta de duas

perspetividades. Para quaisquer duas pontuais de 3 pontos sobre bases distintas, sabemos

determinar as duas perspetividades que compostas são a projetividade pedida. Haverá

projetividades que são perspetividades?

Vamos provar que: uma projetividade que faz corresponder a cada ponto de uma pontual um

só ponto de outra pontual em base distinta é uma perspetividade quando e só quando o ponto

35

comum às duas retas (bases das pontuais) é comum às duas pontuais e é imagem de si

mesmo pela projetividade

Assim:

1) Uma perspetividade deixa invariante o ponto comum às duas retas.

2) Se uma projetividade relacionando duas pontuais sobre bases distintas transforma um

ponto E de uma pontual em si mesmo como ponto da outra pontual, este ponto comum às

duas pontuais é comum às duas retas. Dados A,B, E e A', B', E, a correspondência A→A',

B→B' e E→E é uma projetividade que é também a perspetividade de centro O, com

O=AA'.BB'.

1 7 . 4 . 1 2

Teorema de Pappus

O Teorema de Pappus pode ser enunciado assim: Tomados seis pontos tais que três deles A,

B,C estão sobre uma reta r e os outros três A', B', C' estão sobre outra reta s, são colineares

os pontos AB'.BA'=C'', AC'.CA'=B'' e BC'=CB'=A''.

Como já vimos antes, há uma projetividade A→A', B→B', C→C' que obtivemos como composta

de duas perspetividades que podem ser definidas como perspetividades de centros em A e A '

(ou de centros em B e B' ou de centros em C e C'). Para cada uma destas formas de definir a

projetividade, tomávamos uma reta notável, a saber C''B''=(AB'.A'B)(AC'.A'C),

36

C''A''=(BA'.B'A)(BC'.B'C) ou B''A''=(CA'.C'A)(CB'.C'B) a que chamávamos eixo de

projetividade. O teorema de Pappus afirma que todos estes eixos são um só que passa por

todos os cruzamentos das retas definidas pelos pares de pontos não homólogos para a

projetividade considerada (ou tomados alternadamente), isto é, que C''B''=C''A''=B''A''.

Para isso, convém olhar de outro ponto de vista para o eixo da projetividade em que apareça

definido independentemente de qualquer par particular de pontos homólogos. Tomemos duas

pontuais A,B,E de base r e A'B'E de base s sendo E é o ponto comum a r e a s e às duas

pontuais.

Uma projetividade da pontual sobre r para a pontual sobre s que leve de A para A' e B para

B', pode transformar E em E ou em E'≠E.

1.

No caso da projetividade admitir E como imagem de si mesmo (ponto duplo) A→A', B→B' e

E→E, como já provámos, ela é uma perspetividade. Seja O o centro dessa perspetividade que

terá o mesmo efeito da projetividade. Na construção que se segue, pode deslocar o ponto X

da reta s e verificar que quando X coincide com E, também Q e X' coincidem com E. Isto

significa que o eixo é independente de qualquer par AA', já que o eixo é descri to como o

conjugado harmónico de EO relativamente às retas EB e EB' (no feixe de centro E)

2.

Se o ponto E comum a r e s e às pontuais não for imagem de si mesmo (não for invariante ou

ponto duplo) para a projetividade que faz corresponder A a A', B a B' , C a C, como no caso

da construção que segue, poderá verificar que, ao deslocar X sobre r, quando este coincide

com E, Q e X' coincidem com E' de s. E que quando X coincide com E 0 de r, Q e X' coincidem

com E (de r e s). Neste caso, o eixo não depende de qualquer par AA' particular, e é descrito

como a reta única que passa por E 0 e E' (E0E').

37

1 9 . 4 . 1 2

De outro modo, enunciar e demonstrar o Teorema de Pappus

Para Coxeter, chama-se hexágono a um conjunto de se is pontos (vért ices) sem exigir que não haja

ternos de pontos col ineares. Nestas condições, o teorema de Pappus pode aparecer enunciado

assim:

Se os seis vért ices de um hexágono estão alternadamente sobre um par de retas, então os três

pares de lados opostos encontram-se em três pontos col ineares .

Tomam-se ABC sobre a reta r e A'B'C' sobre a reta s e o hexágono AB'CA'BC', do qual os pares de

lados opostos são B'C e BC' , C'A e CA' , A'B e AB' cujas interseções estão marcadas na construção

abaixo, como L=B'C.BC' , M=C'A.CA', N=A'B.AB'.

Se considerarmos a projet iv idade entre as pontuais ABC e A'B'C' para a qual A' é imagem de A, B'

de B e C' de C, a f igura sugere que L, M e N estão sobre o e ixo dessa projet iv idade (a vermelho na

f igura). Será que L, M, N são mesmo col ineares?

Demonstração: Na construção agora considerada, acrescentaram-se os pontos J=AB' .CA',

E=AB.A'B' e K=AC'.CB'.

Fáci l é ver que ANJB' é perspet ivo por A' com ABCE que, por sua vez é perspet ivo com KLCB' por

C'.

Assim, como a composta de duas perspet ividades é uma projet iv idade, podemos conclu ir que para

a projet iv idade entre as pontuais ANJ e KLC, B' é ponto duplo ( imagem de s i mesmo). Se tem um

ponto duplo B' , esta projet iv idade é uma perspet ividade por M, e M incide em NL, o que é o mesmo

que dizer que L,M,N são col ineares

2 0 . 4 . 1 2

Dual do Teorema de Pappus

O dual do teorema de Pappus pode ser enunciado como segue:

Se os seis lados ab'ca'bc' de um hexágono passam alternadamente por dois pontos R e S, as retas

diagonais (a.b')(b.a'), (a.c' )(c.a' ) e (b.c')(c.b') são concorrentes

Se o teorema de Pappus tem a ver com o e ixo de projet iv idade entre pontuais in ic iado

anter iormente, o seu dual tem a ver com o centro da projet iv idade entre fe ixes , também já

in ic iado em anter ior publicação

Se dois feixes de retas a,b,c por R e a',b',c' por S então as retas (a.b')(b.a'), (a.c')(c.a' ) e

(b.c' )(c.b') são concorrentes

Aqui f ica a f igura publicada para o centro de projet i ivdade entre fe ixes.

38

É um exercíc io interessante fazer a dualização da demonstração do Teorema de Pappus como

demonstração do dual.

2 2 . 4 . 1 2

Demonstração do Teorema de Desargues

Na construção abaixo há dois tr iângulos PQR e P'Q'R' perspet ivos já que os lados correspondentes

PP', QQ' e RR' incidem no ponto O. Será que os lados correspondentes se intersetam em pontos

col ineares? Como se vê na f igura, D=RQ.R'Q', E=PR.P'R' e F=PQ.P'Q' . A f igura sugere que são

col ineares. Serão?

Na construção, tomámos A=OP.DE, B=OQ.DE e C=OR.DE e, por isso OPAP' é perspet ivo (por E) a

ORCR' que, por sua vez, é perspet ivo (por D) a OQBQ'. Assim podemos dizer que O é imagem de s i

mesmo pela projet iv idade entre as pontuais PAP' e QBQ' e, conforme já vimos antes, esta

projet iv idade é uma perspet ividade. O centro desta perspet ividade só pode ser F e este está sobre

AB que é DE. Assim D, E e F são col ineares.

Acabamos de demonstrar que se dois tr iângulos são perspetivos em relação a um ponto são

perspetivos em relação a uma reta.

Este resultado, agora demonstrado, é o que chamámos Teorema de Desargues. T ivemos

necessidade de o considerar axioma na aboradagem in ic ia l aos tr iângulos perspet ivos.

O Teorema de Desargues foi então usado como axioma e, a part ir de le, demonstrávamos o dual.

39

26.4.12

De um quadrilátero a outro com o mesmo triângulo diagonal

Na construção que se segue, tomámos um quadri látero completo de vértices P,Q, R, S. Os pontos A, B, C são as interseções de lados PS.RQ=A, QS.RP=B e QP.RS=C que não são vértices. Ao triângulo ABC chamamos triângulo diagonal de lados a=BC,b=AC,c=AB. Acrescentando as interseções dos lados do triângulo ABC com os lados do quadri látero de vértices P, Q, R, S, a saber: BC.QR=A1, AC.PR=B1,AB.QP=C1 e BC.PS=A2, AC.QS=B2, AB.RS=C2; que definem as retas p=A1B2, q=B1A2, r=A2B2 e s=A1B1, obtemos um quadri látero de lados p, q, r e s, cujo triângulo diagonal a, b, c é o mesmo triângulo ABC, diagonal de PQRS.

3 . 5 . 1 2

Colineações projetivas. Triângulos.

Depois de apresentadas as transformações projetivas básicas (projetividades e

perspetividades), referiremos e estudaremos algumas designações e propriedades de

transformações projetivas particulares que vão ser uti l izadas.

(a) Uma colineação é uma transformação (do plano no plano) de ponto a ponto ou de reta a

reta que preserva a relação de incidência. Transforma pontuais em pontuais, feixes em

feixes, quadri láteros em quadri láteros, etc.

As translações, rotações, reflexões, di lações são exemplos conhec idos de colineações.

(b) A inversa de uma colineação é uma col ineação, a identidade é uma colineação e a

composta (ou produto) de duas col ineações é uma colineação.

Uma col ineação projetiva transforma pontuais (e feixes) projetivamente no sentido de que,

se transforma os pontos X de uma reta x em pontos X' de x', a relação entre X e X' é uma

projetividade (bem como a relação entre x e x').

40

(c) Vejamos um exemplo de col ineação projetiva

Sejam x e y as retas correspondentes por projetividade. A const rução X → Y dá um processo

geral para definir uma projetividade entre os pontos de x e os pontos de y, part ir de uma

composta de perspetividades, com recurso a uma reta z auxi liar e centros O 1 e O2 não

incidentes em qualquer dessas retas. Pode deslocar X em x para verificar que ∀ X∈ x, ∃1Y∈y:

Y é obtido de X por projetiv idade.

Com recurso à projetividade que relaciona ponto a ponto as retas x e y, pudemos estabelecer

ou construir uma relação biunívoca ente os pontos de outras duas quaisquer retas a e a', b e

b', c e c', isto é, a projetividade entre x e y induz uma col ineação entre dois triângulos

(a,b,c) e (a',b',c') (ABC e A'B'C') . Tomámos dois pontos O e O' não incidentes em quaisquer

das retas anteriormente consideradas. Seja P um ponto qualquer (variável) da reta a=BC.

Determinamos P1 sobre x, P1=PO.x e pela projetividade entre x e y, determinamos o

correspondente P2 de P1. Finalmente determinamos P' sobre a', P'=P 2O'.a'. Pode deslocar P

sobre a para confirmar que P' se desloca sobre a', que quando P=B, P'=B', ... Do mesmo

modo se procede para os pontos das retas b e c

em a=BC, P perspO P1 proj P2 perspO'P' em a'=B'C': P→P' por uma projetividade

em b=AC, Q perspO Q1 proj Q2 perspO'Q' em b'=A'C'

em c=AB, R perspO R1 proj R2 perspO'R' em b'=A'B'

.

Concluindo: uma projetividade de x em y induz uma col ineação como uma transformação f

ponto a ponto e reta a reta que preserva a incidência transformando projetivamente um

triângulo noutro:

∀ (l ,l '), ∀ L∈ l ., .∃1L'∈l ': f(L)=L'. Claro que f -1(L')=L. Repare que A=AB.AC e A'=A'B'.A'C',…

como é óbvio

41

7 . 5 . 1 2

Colineações projetivas. Quadriláteros.

(1) A única projetividade que transforma quatro retas ou lados de um quadriátero completo

em si mesmas é a identidade. Do mesmo modo, a identidade é a única colineação projetiva

que transforma quatro pontos ou vértices de um quadrângulo completo em si mesmos.

Para este resultado (e os outros, claro!) com quadri láteros convém ter presentes os

seguintes axiomas

(a) Os três pontos diagonais de um quadrilátero completo nunca são colineares.

e

(b) Se uma projetividade deixa invariantes cada um de três pontos distintos sobre uma reta,

então qualquer ponto da reta é imagem de si mesmo por essa projetivid ade.

(2)Entre quaiquer dois quadriláteros completos (ou quadrângulos) com os quatro lados

(vértices) correspondentes por uma dada ordem, só há uma colineação projetiva que

transforma um no outro.

Constrói-se.

Notas de demonstração: a) Exige-se uma dada ordem para os lados correspondentes para só

termos 4 pares de pontuais projetivas, que poderá verificar conduzem a uma única col ineação

(e evitar 24 possíveis combinações se não estabelecermos essa ordem).

b) Claro que podemos definir uma projetividade en tre as pontuais DAF e D'A'F'e entre DCE e

D'C'E' definidas na construção. Do mesmo modo, relacionaríamos CBF com C'B'F' e ABE com

A'B'E'. Tomemos agora uma reta a. E suponhamos que a=XY em que X está em DE e Y em DF.

As projetividades entre DAF e D'A'F' e entre DCE e D'C'E' determinam a'=X'Y', sendo DCEX e

D'C'E'X' projetivos, bem assim DAFY e D'A'F'Y'. Para provar que a correspondência entre a e

42

a' é uma colineação, temos de verificar que relaciona pontos com pontos e de tal modo que a

incidência seja preservada. Para isso, considera-se a como reta de um feixe de tal modo que

X e Y sejam perspetivos. Por construção de a', temos que X' é imagem de X e Y' é imagem de

Y por projetividade. E como D é o invariante para a perspetividade X→Y, D' é o invariante

para a perspetividade X'→Y'. Tal como a, a' também é uma reta de um feixe o que quer dizer

que retas concorrentes são transformadas em retas concorrentes. Uma projetividade X→X'

chegou para garantir uma transformação reta a reta e ponto a ponto que preserva a

incidência: a→a' é uma colineação.

c) Preciso será ainda provar que esta col ineação projetiva que leva de ABCDEF para

A'B'C'D'E'F' é única, o que se faz por absurdo, recorrendo ao resultado (1) enunciado no

início deste artigo.

10.5.12

Colineação perspetiva

Na construção que se segue, os dois triângulos PQR e P'Q'R' estão relacionados por uma

perspetividade de centro O. O Teorema de Desargues garante que esses triângulos são

perspetivos em relação a uma reta o.

Será que esta perpetividade de centro O é uma colineaçao?

Usando o resultado sobre col ineações projetivas entre dois quadri láteros, vamos provar que

isso é verdade.

Como vimos no anterior artigo, há uma só col ineação projetiva que transforma o quadrângulo

DEPQ em DEP'Q'. Esta col ineação projetiva t ransforma a reta o=DE em si mesma e a reta PQ

em P'Q', deixa invariante o ponto o.PQ=F=o.PQ'. E, como aceitámos, se uma projetividade

deixa invariantes três pontos de uma reta, então deixa invariantes todos os pontos da reta o.

Para essa col ineação projetiva, as duas retas PP' e QQ' são invariantes e incidem no ponto O,

também ele invariante. O ponto R=DQ.EP é transformado em DQ'.EP'=R'. O dual do segundo

axioma do artigo anterior "Se uma projetividade deixa invariantes cada uma de três retas

passando por um ponto O, então qualquer reta passando por O é imagem de si mesma por

essa projetividade", garante que para a projetividade DEPQ→DEP'Q', são invariantes todas as

retas passando por O.

Do mesmo modo, a col ineação projetiva que relaciona os quadrângulos EFQR e EFQ'R' para a

qual E e F são invariantes transforma QR em Q'R' e a col ienação projetiva que relaciona DFPR

e DFP'R' transforma PR em P'R' e DF em si mesma.

Fica assim demonstrado que a perspetividade de centro O, a relacionar três retas que se

inersetam duas a duas sobre retas do feixe de centro O, é uma colineação.

43

Esta colineação relacionando dois triângulos perspetivos chama -se naturalmente col ineação

perspetiva.

O ponto O e a reta o, a partir dos quais os triângulos são perspetivos, tomam os nomes de

centro e eixo da col ineação perspetiva

11.5.12

Colineação perspetiva - homologia

Já vimos no artigo anterior que quaisquer dois triângulos perspetivos estão relacionados por

uma col ineação perspetiva. Quaisquer dois triângulos perspetivos est ão relacionados por uma

col ineação perspetiva que pode ser uma homologia ou uma elação conforme o centro e o eixo

não são ou são incidentes.

HOMOLOGIA

Fizemos construções de triângulos perspetivos em que os centros de perspetividade não

incidiam no eixo de perspetividade. Quando isto acontece a col ineação perspetiva toma o

nome de homologia.

Uma homologia fica determinada quando são dados os centro e eix o e um par de pontos

correspondentes colineares com o centro.

Na construção que se segue, tomaram-se o centro O, o eixo o, A e A' (sendo AA' incidente em

O). Para um B qualquer, toma-se F=AB.o e B'=OB.FA'. Do mesmo modo, para um C qualquer,

toma-se E=AC.o e C'=OC.EA'.

44

Para a homologia, o centro é único ponto invariante fora do seu eixo.

1 4 . 5 . 1 2

Colineação perspetiva - elação

ELAÇÃO

Se o centro O da perspetividade incide no eixo o da perspetividade, a col ineação perspetiva

toma o nome de elação

Uma elação está determinada quando são dados o seu eixo e um par de pontos

correspondentes.

Na construção que se segue, são dados o eixo o e o par de correspondentes C e C'. O centro

O fica assim determinado O=CC'.o. Para A qualquer, A' estará sobre OA e sobre EC' s endo

E=AC.o e para qualquer B, B' está na interseção de OB com DC'.

45

Os pontos que são imagens de si mesmo (invariantes) por uma elação estão todos sobre o

seu eixo.

Qualquer col ineação que tenha uma e não mais que uma pontual de pontos invariantes

(imagens de si mesmos) é perspetiva.

Se uma colineação tem uma pontual de pontos invariantes, tem certamente um feixe de retas

invariantes (imagens de si mesmas).

1 7 . 5 . 1 2

Correlação projetiva

Neste estudo de geometria projetiva, já considerámos correspondências relacionando um

ponto com uma reta e uma reta com um ponto: por exemplo a correspondência elementar que

relaciona uma pontual sobre r com um feixe de centro O, em que a pontual é a secção por r

do feixe. A projetividade foi definida como uma compost a destas correspondências

elementares

A extensão deste conceito ao plano, consistirá numa transformação X→x' relacionando cada

um dos pontos do plano com uma só reta do plano e a transformação dual x→X' que relaciona

cada uma das retas do plano com um só ponto do plano:

∀X ∃1x': X→x'

e, dualmente:

∀x ∃1X': x→X'

Chamamos correlação a qualquer transformação do plano que a cada ponto faz corresponder

uma reta e a cada reta faz corresponder um ponto presevando a relação de incidência em

conformidade com o princípio da dualidade. De acordo com esta definição, a correlação

transforma fi leiras (ou pontuais) em feixes, feixes em fi leiras, triláteros em trivértices,

quadri láteros em quadrivértices, etc.

A correlação é um conceito autodual, a inversa de uma correlação é uma correlação e a

composta (ou produto) de duas correlações é uma colineação.

Uma correlação projetiva é a correlação que transforma cada forma unidimensional

projetivamente, no sentido de que se um ponto Y sobre uma reta b é transformado numa reta

y', esta tem de passar pelo ponto B', imagem de b.

46

Seguindo a construção acima, provamos que qualquer correlação que transforma uma pontual

projetivamente é uma correlação projetiva

Seja a e A' a reta e o ponto correspondentes pela projetividade que relaciona uma pontual de

pontos X e um feixe de retas x'. Precisamos de estabelecer a relação entre dois pares , b e

B', pela mesma projetividade. Seja Y um ponto de b e O um ponto fixo nã o incidente em a

nem em b. E tomámos a reta OY que interseta a em X. A correlação dada transforma o ponto

O numa reta o' fixa que não incida em A' nem em B'. OY é transformada no ponto o'.y' que é

l igado a A' pela reta x'. Y e X são perspetivos por O e x' é perpsetivo com y' pelo eixo o'.

Como X e x' estão relacioados por uma projetividade, temos

Y→OX→x'→o'y'

a correlação induz uma projetividade Y→y' entre b e B', como queríamos.

Para obter oa resultado dual para um feixe e a correspondente pontual temos de considerar a

pontual de pontos Y em b como uma secção do feixe centrado em B' das retas y' .

2 2 . 5 . 1 2

Correlação: Polaridade

As palavras polaridade, polo e polar apareceram em várias entradas ao longo da vida do

geometrias.blogspot.com em construções e exercícios interativos que associavam pontos a

retas (e considerando triângulos, cónicas, retas e pontos). Pode rever voltando a alguns

desses artigos Polaridade, Da polar ao polo, Elipse: Da polar ao pólo, Cónicas: pólo e polar ,

El ipse: Polo (interior) e polar ,etc.

Vamos agora iniciar o estudo da polaridade como transformação projetiva, um caso particular

da correlação projetiva.

Chamamos polaridade a uma correlação que transformando cada ponto A numa reta a',

transforma esta reta a' no ponto A.

Dizemos de a' que é polar de A e de A que é polo de a'.

Por esta correlação projetiva que preserva a incidência, a cada ponto de a' corresponderá

como polar uma reta passando por A (polo de a') ou que se A é polo de a', é centro de um

feixe das retas polares dos pontos de a'.

Como uma polaridade dualiza as incidências, sempre que A incide numa reta b, a polar a de A

passa pelo polo B de b e, neste caso, diremos que A e B são pontos conjugados e que a e b

são retas conjugadas.

Quando A é um ponto da sua polar a , A é conjugado de si mesmo (ou auto-conjugado); A

está sobre a sua polar a e a passa pelo seu polo A.

47

2 4 . 5 . 1 2

Polos e polares. Conjugados e auto-conjugados

Haverá limitações à ocorrência de auto-conjugados?

Demonstramos que

Uma reta que passa por 2 pontos auto-conjugados não pode ser auto-conjugada

Se uma reta a passar por 2 pontos auto-conjugados fosse conjugada de si mesma, teria de

conter o seu polo A e pelo menos, um outro ponto B auto -conjugado. A reta polar de B

conteria A e B e, por isso, coincidiria com a. Quer dizer que A e B teriam a mesma polar, o

que é impossível já que a polaridade é uma correlação que associa a cada reta um só ponto e

a cada ponto uma só reta.

E vamos demonstrar que

Uma reta não pode inicidir em mais que dois pontos auto -conjudados

Sejam p e q duas retas, passando por C, polares de 2 pontos auto -conjugados: P e Q.

Chamemos c à reta que passa por P e Q, c=PQ.

Sobre p tomemos um ponto R, distinto de P e C. A polar r de R passa por P. E tomemos r.q=S

que é o polo de s=QR.

T=r.s é o polo de t=RS.

B=t.c é o polo de CT=b que interseta c em A, conjugado harmónico de B relativamente a P e

Q.

O ponto B não pode coincidir com Q nem com P, pois se fosse B=Q, então teria de ser R=C e

se fosse B=P, teria de ser S=C, r=p e R=P o que seria absu rdo já que assumimos R distinto

de P e de C. Como A≠B por serem conjugados harmónicos, B não é conjugado de si mesmo.

Como as polares de uma pontual formam um feixe de retas projetivamente relacionado com a

pontual, cada ponto X em c, determina um conjugado Y em c que não é mais que o ponto em

que a polar x de X encontra c

X→x→Y

48

Quando X=P, x=p e Y=P. P é um ponto invariante desta projetividade. Do mesmo modo, se

prova que Q é um ponto invariante. Mas quando X é B, Y é um ponto distinto de A e, por

isso, a projetividade não é a identidade. P e Q são os únicos pontos invariantes; ou seja P e

Q são os únicos pontos auto-conjugados em c. Fica assim provado que c não pode ter mais

que dois pontos auto-conjugados.

2 5 . 5 . 1 2

Triângulo auto-polar.

Lembramos que:

a) Uma polaridade é uma correlação projetiva que, se transforma um ponto A numa reta a',

transforma a' em A: A polo de a', a' polar de A. b) Se A é um ponto de b e B, polo de b, é um

ponto de a, polar de A, dizemos que A e B são pontos conjugados, e q ue a e b são retas

conjugadas.

c) Um ponto A que incide na sua polar a' é conjugado de si mesmo (auto -conjugado).

Dualmente, se uma reta a contem o seu polo, é conjugada de si mesma (auto -conjugada).

No artigo anterior, demonstrámos que Uma reta que passa por 2 pontos conjugados de si

mesmos não pode ser conjugada de si mesma

e que

Uma reta não pode inicidir em mais que dois pontos conjugados de si mesmos .

Pode demonstrar-se também que

uma reta auto-conjugada contém um só ponto auto-conjugado.

Uma reta conjugada de si mesma contém o seu polo, que é auto -conjugado (conjugado de si

mesmo). A existência sobre a reta auto-conjugada de outro ponto auto-conjugado é absurda

já que haveria dois pontos diferentes associadas a uma mesma reta por uma correlação que

associa a cada ponto uma só reta e a cada reta um só ponto.

Sejam dois pontos, X e Y, conjugados por uma polaridade sobre uma reta que não seja

conjugada de si mesmo. Então há uma correspondência que associa a qualquer ponto de c,

não autoconjugado, um outro ponto de c.

De facto, na reta c, não autoconjugada, a projetividade X→Y, em que Y=c.x, transforma

qualquer não auto-conjugado ponto B num outro ponto A=b.c, cuja polar é BC=a. A mesma

projetividade transforma A em B.

49

Dualmente, as retas x e CX=y são emparelhadas com retas conjugadas do feixe centrado em

C.

Um triângulo como ABC, em que cada vértice é o polo do seu lado oposto (ou em que

quaisquer dois vértices são pontos conjugados, ou em quaisquer dois lados são re tas

conjugadas) é classificado como triângulo auto-polar

2 6 . 5 . 1 2

Polaridade a partir de um triângulo auto-polar

Mais do que uma vez, introduzimos l igações entre as palavras polar, polo e triângulos, de

que são exemplos os artigos Polar tril inear de um ponto, Polar tril inear , Da polar tri l inear

para o pólo , etc. "Polaridade tri l inear" pode já ter sido expressão util izada. Essas expressões

e, em particular, a polaridade tril inear introduzida não é uma polari dade, no sentido de que

não é uma correlação projetiva que faz corresponder a cada ponto (reta) uma só reta

(ponto), tal que se X tem por polar x, x tem por polo X e preservando a incidência.

Vamos agora provar que

Qualquer correlação projetiva que relacione cada um dos três vértices de um triângulo com o

seu lado oposto é uma polaridade

Considere-se um triângulo ABC (de lados a=BC, b=AC e c=AB) e uma correlação projetiva

que transforme A em a, B em b e C em c.

Esta correlação projetiva

se transforma A em a=BC, também transforma a=BC em b.c=A; se transforma B em b=AC,

também transforma b=AC em a.c=B; se transforma C em c=AB, também transforma c=AB em

a.b=C tal como uma polaridade o faria.

Considere-se agora um qualquer ponto P distinto de qualquer dos vértices do triângulo ABC.

E seja p uma qualquer reta que não passa por qualquer dos vértices do triângulo.

Consideremos que a correlação que transforma cada vértice do triângulo no seu lado oposto

transforma P em p.

50

O ponto P e a reta p determinam 6 pontos sobre os lados do triângulo

Pa=a.AP, Pb=b.BP, Pc=c.CP, Ap=a.p, Bp=b.p, Cp=c.p

A correlação, transformando A,B,C em a,b,c, transforma a=BC em b.c=A, b=AC em a.c=B,

c=AB em a.b=C, AP em a.p=A p, BP em b.p=Bp, CP em c.p=Cp.

Será que a correlação projetiva ABCP →abcp é uma polaridade? Só falta verificar que, para

além de transformar P em p, também transforma p em P.

A correlação transforma cada ponto X de c numa certa reta que interseta c em Y. Como se

trata de uma correlação projetiva, X e Y são projetivos. Quando X é A, Y é B e quando X é B,

Y é A. Dito de outro modo a correlação transforma A em B e B em A. Já que a correlação

transforma P c=c.CP em CCp, como vimos para A e B, P c→Cp e Cp→Pc. A correlação transforma

ainda Cp=c.p em CPc=CP. E do mesmo modo, a correlação transforma A p=a.p em AP e Bp=b.p

em BP. Finalmente, podemos concluir que esta correlação transforma p=A pBp=(a.p)(b.p) em

AP.BP=P.

Ficou assim provado que a correlação ABCP→abcp é uma polaridade. De futuro, esta

polaridade assim definida pode ser representada por (ABC)(Pp)

3 . 6 . 1 2

Determinação da polar de um ponto X em (ABC)(Pp)

Na anterior entrada provou-se a polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é um triângulo autopolar e

em que p é uma reta que não passa por P nem por A, B ou C. Vamos determinar a polar de

um ponto X qualquer não incidente em c nem em CP c\{P}. Sejam A→a, B→b,C→c, P→ p os

pares que definem a polaridade. A partir de P, determinámos P a=a.AP, Pb=b.BP e P c=c.CP. De

modo análogo, a partir de X, determinamos Xa=a.AX, Xb=b.BX, Xc=c.CX. Sendo p a polar de

P, determinámos Ap=a.p, Bp=b.p e Cp=c.p.

Para determinar a polar de X pela polaridade (ABC)(Pp), temos de determinar dois dos seus

pontos Ax=a.x, Bx=b.x e Cx=c.x, pelas projetividades (BC)(P aAp), (AC)(PbBp) e (AB)(P cCp)

apl icadas respetivamente a X a, Xb e Xc. Determinamos x=AxBx.

51

A construção apresenta a determinação de dois deles, B x e Ax, descrevendo a construção de

Bx.

Pela projetividade (AC)(BpPb), determinar Bx como transformada de Xb :

a) A projetividade (AC)(BpPb) é tal que A→C →A e Bp→Pb→Bp que pode ser descrita como uma

sequência de perspetividades, de centros Q, A e R assinalados na "figura" dinâmica.

Tomamos um ponto R qualquer não incidente na reta b=AC e as retas AR, CR, B pR. Em

seguida tomamos uma reta que corta AR em T, B pR em W e CR em Q. E finalmente a reta AQ

que corta BpR em Z.

ACBpPb →QZRBpW→AQTPbW→RCAPbBp

b) Para determinar Bx como imagem de Xb por (AC)(BpPb), sobre a construção desta tomamos

a reta XbT e a reta CW que se intersetam em G. A reta RG interseta b em B x. Chamamos E a

CG.RA e a XbT.CR chamamos F.

Confirmemos a projetividade (P bBp)(XbBx).

Para isso, traçamos a reta X bW que interseta RPb em F e RBx em Y e tomamos o ponto

RBx.PbW=P0

PbBpXbBx →WP0RYBx →

PbWFYXb →RBpPbBxXb

Do mesmo modo, se procedeu para determinar A x e se procederia para verificar que

(XaAx)(PaAp).

A polar de X é assim obtida x=A xBx.

Poe deslocar o ponto X, bem como outros, para verificar que esta construção não falha para

X a coincidir com P, a incidir em AP ou em BP, mas falha para pontos X≠P sobre CP e sobre

c=AB, a=BC e b=AC. Apresentaremos um processo geral para determinar a polar de um ponto

X na polaridade (ABC)(Pp) em que p é a polar de P não incidente em P.

52

1 0 . 6 . 1 2

Teorema de Chasles

Uma polaridade é uma correlação que transforma um ponto A numa reta a' e transforma esta

em A, preservando a incidência.

Dado um triângulo qualquer de vértices A,B,C e lados a=BC, b=AC e c=AB, podemos obter

um novo triângulo (polar do anterior) em que a', b' e c' sejam as polares de A, B, C

respetivamente (ou em que A', B' e C' sejam os polos de a, b e c respetivamente).

É claro que, sendo A→a'→A; B→b'→B e C→c'→C; A'B'C'→ABC e a'b'c' →abc são

projetividades.

Chasles demonstrou que se ABC e a'b'c' são triângulos distintos e polares um do outro, então

são perspetivos.

Dito de outro modo, se as polares a',b', c' dos vértices de um triângulo ABC não coincidem

com os seus lados opostos a, b, c, então a.a', b.b', c.c' são pontos col ineares.

Seja ABC um triângulo de lados BC=a, AC=b e AC=c. E sejam a', b' e c' as polares de A, B e

C. Se a' distinta de a, b' distinta de b e c' distinta de c, estes pares de retas intersetam -se:

A1=a.a', B1=b.b' e C1=c.c' Podemos determinar as polares destes pontos, só consi derando a

incidência preservada. Por exemplo, como C 1=c.c'=AB.c', a polar de C1 é (a'.b')C=r.

Para o ponto P=c.b'=AB.b' a sua polar é (a'.b')B=p. Consideremos ainda o ponto

a.b'=BC.b'=R. Como já vimos, há uma projetividade que transforma qualquer pontual C 1APB

em AC1BP e, pela polaridade, AC 1BP transforma-se em a'rb'p que, por sua vez, se transforma

em A1CRB (secção do feixe a'rb'p pela reta a).

Como a projetividade C1APB → A1CRB tem um ponto invariante B, a projetividade C 1AP→A1CR

é uma perspetividade. O centro da perspetividade B1 = AC.PR e, por isso, A1C1 incide em B1.

Fica assim provado que A1, B1 e C1 são col ineares.

Isto não funciona se A1 ou B incidirem em b'.

53

1 1 . 6 . 1 2

Triângulos polares perspetivos por um ponto

Na entrada anterior demonstrámos que se ABC e A'B'C' (ou abc e a'b'c') são triângulos

distintos e polares um do outro, então são perspetivos ou mais concretamente,

demonstrámos que.

se as polares a', b', c' dos vértices de um triângulo ABC não coincidem com os seus lados

opostos a, b, c, então a.a', b.b', c.c' são pontos col ineares .

É certo que se dois triângulos polares ABC e a'b'c' (distintos) são perspetivos relativamente a

uma reta n=A1B1, serão perspetivos relativamente a um ponto N. Acrescente -se que este

ponto N é o polo dessa reta n .

Retomamos a construção dinâmica do artigo anterior.

A reta n foi obtida como a reta passando pelos pontos A 1=a.a'=BC.a', B1=b.b'=AC.b',

C1=c.c'=AB.c'.

O polo N dessa reta n é obtido como ponto de interseção das retas (b'.c')A e (a'.c')B. Como é

óbvio a reta (a'.b')C também passa por N que é o centro da perspetividade que transforma

ABC em (b'.c')(a'.c')(a'.b').

54

1 2 . 6 . 1 2

Determinar polar de X em (ABC)(Pp) - Método geral.

Pela polaridade (ABC)(Pp), a polar de um ponto X (não incidente em AP, BP ou p) é uma reta

x=X1X2 assim determinada

A1=a.PX, P1=p.AX, X1=AP.A1P1

B2=b.PX, P2=p.BX, X2=BP.B2P2

Consideremos os triângulos ABC auto-polar, PAX e pax em que p é polar de P, a polar de A e

x polar de X (esta que procuramos determinar) Aplicando o teorema de Chasles, os triângulo

PAX(amarelo) e pax são perspetivos:

Os seus lados AX, XP e PA encontram as polares p, a, x dos seus vértices em 3 pontos

col ineares: P1=AX.p, A1=XP.a e PA.x.

X1= P1 A1. PA é um dos pontos em que incidirá a polar x de X.

De modo análogo, aplicando o teorema de Chasles a PBX (verde) e pbx, determinamos um

outro ponto da polar x de X, X2=(BX.p)(XP.b).PB

Esta construção falha quando X for um ponto de AP, pois então A 1P1=AP e X1 fica

indeterminado. Mas X2 pode ser determinado e a polar de X é A pX2 em que Ap=a.p. De modo

análogo, quando X estiver em BP, a sua polar é B pX1

Para determinar a polar de um ponto X de p, podemos apl icar uma construção dual da que

temos vindo a util izar para determinar o polo Y de uma reta y que passe por X. Esta reta y

pode ser qualquer exceto p ou PX (o mais conveniente é escolher y=AX ou, caso aconteça

que esta coincida com PX, escolha-se y=BX). E a polar de X é x=PY.

Para qualquer ponto X, não incidente em AP, BP ou p a sua polar (pela polaridade (ABC)(Pp)

é

x=[AP.(a.PX)(p.AX)][BP.(b.PX)(p.BX)]

Um exercício interessante pode ser escrever a expressão (dual da anterior) para o polo X de

uma reta x que não passe por A p, Bp ou P e desenhar a figura que ilustre esta construção

dual.

55

1 3 . 6 . 1 2

Teorema de Hesse

As quatro retas a, b, c, d da figura intersetam-se em b.c=A, a.c=B, a.b=C, a.d=A 1, b.d=B1 e

c.d=C1. A figura representa pois um quadri látero completo (4 retas e 6 pontos: (6 2,43))

Considerem-se, para uma dada polaridade, a' polar de A passando por A 1 de a, e b' polar de

B passando por B1 de b.

(A, A1) e (B, B1) são pares de pontos conjugados. Pelo teorema de Chasles, a polar de C

encontra c=AB num ponto de A 1B1=d, obrigatoriamente C1=c.d, que é o mesmo que dizer que

C é conjugado de C1.

Ficou assim provado que Se dois pares de vértices opostos de um quadri látero completo são

pares de pontos conjugados para uma dada polaridade, então o terceiro par de vértices

opostos é também um par de pontos conjugados pela mesma polaridade ,

resultado conhecido por teorema de Hesse.

1 4 . 6 . 1 2

Pentágono autopolar

Considere o pentágono de vértices A, B, C, D, E e

a correlação que transforma B em b=DE, C em

c=AE, D em d=AB e E em e=BC que também

transforma e=BC em b.c=E, CD=a em c.d=a, b=DE

em d.e=B e o ponto diagonal b.e=F na reta BE=f.

Esta correlação projetiva que transforma cada

vértice do triângulo FBE no seu lado oposto é uma

polaridade desde que transforme a em A, a saber

(FBE)(Aa).

56

Fica assim provado que a correlação projetiva que transforma quatro vértices de um

pentágono nos seus lados opostos é uma polaridade e transforma os restantes vértices nos

restantes lados.

Este pentágono em que cada um dos seus 5 vértice é polo do seu lado oposto é um

pentágono autopolar, para a polaridade acima especificada.

1 7 . 6 . 1 2

Homologia como produto de polaridades

A homologia de centro O e eixo o=JL que transformam A em A' e B em B' pode ser obtida

como produto de duas polaridades (OJL)(Ap) e (OJL)(A'p) em que p pode ser um reta

qualquer que não passe por qualquer dos vértices do triângulo ODF autopolar comum às duas

polaridades.

Para provar isso, basta ver que a homologia e a composta das duas polaridades transforma o

quadrângulo OJLA em OJLA'.

Os pontos O, J e L são pontos invariantes da homologia que transforma A em A' (B em B' e C

em C').

Pela polaridade (OJL)(Ap) seguida da polaridade (OJL)(A'p), OJLA→o'j´l 'p→OJLA' ou seja a

composta transforma OJLA em OJLA' . Lembra-se que uma polaridade (OJL)(Ap) transforma O

em o'=JL e esta o' em O,... e se transforma A em p e p em A, a polaridade (OJL)(A'p)

transforma JL em O (e O em JL)... como transforma p em A' (e A' em p)

É óbvio que esta construção (já várias vezes repetida...) e este raciocínio feito para provar

que uma homologia pode ser expressa como produto de duas polaridades não pode ser

estendido para a elação em que O incide sobre o.

Com outra construção, provaremos que uma colineação perspetiva (homologia ou elação) é

sempre um produto de duas polaridades

57

1 8 . 6 . 1 2

Uma colineação perspetiva é produto de duas polaridades

Na figura dinâmica abaixo, mostra-se uma col ineação perspetiva (homologia ou elação) com

centro em O e eixo o=CP que transforma A num outro ponto A' incidente na reta c=OA. C e P

são pontos arbitrários sobre o eixo o (que passa por O para o caso da col ineação ser uma

elação). Sejam B um ponto arbitrário de c=OA e p uma reta tirada por O que interseta AC e

A'C: Q=p.b=p.AC e Q'=p.b'=p.A'C.

Verificamos que aquela colineação perspetiva é a composta das duas polaridades

(ABC)(Pp) e (A'BC)(Pp)

De facto, a primeira polaridade (ABC)(Pp) transforma os quatro pontos A=b.c, P, O=c.p,

Q=b.p nas quatro retas a=BC, p, o=CP, BP. E a segunda polaridade (A'BC)(Pp) transforma

estas últimas retas em A'=b'c, P, O=c.p, Q'=b'.p

A composta das duas polaridades transforma o quadrângulo APOQ em A'POQ' que é a única

col ineação projetiva que transforma um quadrângulo noutro (considerados os lados e os

vértices por uma ordem determinada), como provámos anteriormente. Por ser única é a

col ineação perspetiva considerada inicialmente de centro O e eixo o que transforma A em A',

seja ela homologia ou elação.

Fica assim provado que

Qualquer colineação perspetiva pode ser obtida como produto de duas polaridades

2 0 . 6 . 1 2

Uma colineação projetiva é uma composta de duas polaridades

Na entrada anterior, ficou provado que qualquer colineação perspetiva pode ser obtida como

composta de duas polaridades. Vamos agora ver o que se passa com colineações projetivas

que não sejam perspetivas. Para obter uma colineação projetiva não perspetiva, usamos o

Modo Transformação do Cinderella e obviamente o teorema, antes demonstrado, que

garante a unicidade da colineação projetiva entre dois quadrângulos dada a ordem dos

58

vértices correspondentes.

No caso, a projetividade está bem definida por P→P',Q→Q', R→R' e S →S' (referida no botão

ao alto à direita que permite determinar imagens de pontos, retas ou figuras previamente

selecionados)

Por essa projetividade, obtivemos A' imagem de A, a' imagem de a que passa por A, a''

imagem de a' e a'' ' imagem de a''. Claro que A'∈a', bem como a imagem A'' de A' está sobre

a''.

A imagem de a.a''=B é a'.a'' '=B' e a imagem de a'.a''=C é a''.a'' '=C'.

Esta colineação projetiva transforma o quadrângulo AA'BC no quadrângulo A'A''B'C'.

E o mesmo faz a composta das polaridades (AA''B)(A'a') e (A'A''C)(Aa'' '):

Por (AA''B)(A'a') transforma-se A no seu lado oposto A''B=A''C=a'', A'' em AB=a, B em AA''

C=a'.a''em A'A e A' em a' e (A'A''C)(Aa'' ') transforma A''C=a'' em A' (seu vértice oposto),

A'C=a' em A'', A'A'' em a'' '.a'=B' e A'A em a''.a'' '=C'. Resumindo, a compo sta dessas duas

polaridades transforma AA'BC em A'A''B'C' tal como a col ineação projetiva, e por isso, já que

a col ineação projetiva que transforma um quadrângulo noutro (para uma dada ordem dos

vértices correspondentes) é única a composta das duas polarid ades é essa mesma col ineação

projetiva.

Uma colineação projetiva pode ser expressa como produto (ou composta) de duas polaridades

2 6 . 6 . 1 2

Notas sobre a involução projetiva (unidimensional)

Há várias referências à palavra involução e definição de involução (formulada em termos dos

conceitos não projetivos de distância e multiplicação aritmética) como uma relação entre

pares de pontos de uma reta cujas distâncias a um ponto fixo têm produto co nstante

(Desargues). Para exemplo, cl ique em Involução.

De um modo geral, designamos por involução qualquer transformação f que é inversa de si

própria, i .e., tal que

59

∀x∈D f, f(f(x)=x (ou f.f=id)

de que é exemplo mais evidente a Reflexão entre as transformações geométricas do plano,

para além da trivial identidade: id(x)=x. Lembre-se que o conjunto das reflexões munido da

composição não é um grupo, mas que qualquer isometria do plano se pode obter como

composta de reflexões.

Interessa-nos agora uma definição de involução como transformação da geometria projetiva.

Sem referência à palavra involução já foram usadas involuções na demonstração de teoremas

da geometria projetiva do plano.

Por exemplo, considerámos as projetivades entre duas pontuais sobre uma mesma reta (que

ficam definidas por 3 pares de pontos correspondentes).

Uma projetividade entre pontuais de uma reta r é uma involução se X→X' então X'→X ou

XX'→X'X, ∀X. (von Staudt)

Prova-se que:

Se uma projetividade permuta dois pontos distintos é uma involução.

Sejam A e A', distintos, tais que, por uma dada proj etividade, A é transformado em A' e A' é

transformado em A AA'→A'A. E seja X um ponto qualquer de AA' que, pela mesma

projetiviade, tem por imagem X'. Podemos esc rever

AA'X→A'AX'

Como já provámos, quatro pontos col ineares podem ser premutados aos pares po r uma

projetividade, ou seja, há uma projetividade para a qual

AA'XX'→A'AX'X

que permuta X com X' é a dada inicialmente, pois uma projetividade fica determinada quando

são dados três pontos e os seus correspondentes (Teorema fundamental da Geometria

Projetiva).

e, em consequência:

Uma involução fica determinada por quaisquer dois dos seus pares de pontos correspondentes

Quaisquer 4 pontos A, A', B, B' col ineares determinam um projetividade AA'B→A'AB' que

sabemos ser uma involução e que, de forma convenient e, representamos por

(AA')(BB') ou (A'A)(BB') ou (BB')(AA'), etc

notação que se mantém vál ida quando B'=B (B é um ponto duplo da involução). A

projetividade determinada por AA'B→A'AB é uma involução que se representa por (AA ')(BB).

Notas sobre involução - conjunto quadrangular

Tomemos o conjunto dos pontos de intersecção dos lados de um quadrângulo completo por

uma reta qualquer que não passe pelos seus vértices.

Na figura, a reta r interseta os lados do quadrângulo PQRS nos pontos A, B, C, D, E, F:

QR e PS são lados opostos que intersetam r em QR.r=D e PS.r=A

PR e QS são lados opostos que intersetam rm em PR.r=E e QS.r=B

QP e RS são lados opostos que intersetam r em RS.r=C e PQ.r=F

A (AD)(BE)(CF) chamámos conjunto quadrangular que é equivalente a afirma r que a

projetividade ABC→DEF é uma involução ou que ABCDEF→DEFABC

60

Os três pares de lados opostos do quadrângulo completo cortam qualquer reta que não passe

pelos vértices em três pares de uma involução. E reciprocamente, quaisquer três pontos

col ineares e os seus correspondentes por involução formam um conjunto quadrangular

Daqui se retira que a construção de F, sendo dados A, B, C, D, E, pode ser vista como a

determinação da imagem de E pela involução (AD)(BE).

27.6.12

Notas sobre involução - composta de involuções, pontos duplos e relação

harmónica

Qualquer projetividade entre pontuais sobre a mesma base pode ser expressa como composta

de duas involuções.

Seja a projetividade definida por ABC→A'B'C', em que nem A nem B são imagens de si

próprios. É óbvio que a composta das involuções (AB')(BA') e (A'B')(C'D) em que D é a

imagem de C por (AB')(BA').

Qualquer involução (entre

pontuais sobre uma

mesma reta) que tenha

um ponto duplo B(imagem

de si mesmo) tem um

outro ponto duplo A que é

o conjugado harmónico de

B relativamente a

qualquer par de pontos correspondentes distintos.

61

Já vimos antes que se uma projetividade tiver três pontos duplos é a identidade. Seja B um

ponto duplo de uma involução BCC'→BC'C ou (BB)(CC') e A o conjugado harmónico de B

relativamente a C e C', univocamente determinado. Pelo teorema fundamental da geometria

projetiva, há uma só projetividade que relaciona ABCC' com ABCC' que só pode ser a

involução dada.

C' é transformado de C pela involução (AA) (BB) e assim seria mesmo que C coincidisse com A

ou B, o que significa que

Qualquer ponto é conjugado harmónico de si mesmo relativamente a si mesmo e outro ponto

qualquer

Representações projetivamente corretas (paralelismo)

Na geometria do que se vê rea lmente (geometria projetiva), um dos aspetos interessantes

está na representação (projetivamente correta) das figuras. Como já abordámos antes,

tomando o que vemos quando olhamos os carris do comboio, o paralelismo de retas como

ausência de um ponto comum é antes a interseção das retas que à vista se intersetam num

ponto, ainda que esse ponto se afaste à medida que avançamos para ele (ponto no infinito ou

ponto do infinito comum a um conjunto de retas paralelas ou com a mesma direção). Dadas

duas retas quaisquer, elas encontram-se sempre num ponto.

No nosso estudo de geometria projetiva construímos representações interativas usando

algumas operações e relações tais como a incidência, l igar dois pontos (para uma reta),

intersetar retas (para um ponto). "As restantes operações geométricas (tais como medir

distâncias, calcular ângulos, criar perpendiculares) requerem um tratamento especial para

serem tratadas se o quisermos fazer projetivamente". Richter -Gebert no seu livro

"Perspectives on Projective Geometry" editado recentemente pela Springer, escreve isso, mas

escreve também que é possível e fácil modelar a operação de paralelismo da geometria

euclideana no quadro da geometria projetiva: desenhar uma paralela que passa por um

ponto. Vamos dar passos nesse sentido.

Na figura que se segue, à esquerda temos um paralelogramo ABCD tal como nos habituámos

a desenhá-lo em estudos da geometria eucl ideana. Para além dos vértices e dos lados, ainda

desenhamos as diagonais e medianas do paralelogramo. Nesta figura da e squerda, as retas

AB, FH, CD são paralelas. Dizemos que se intersetam num ponto do infinito, seja

AB.CD.FH=P∞. Do mesmo modo, AD, EG e BC se dizem paralelas ou que se encontram num

ponto do infinito, seja AD.BC.EG=Q∞. Claro que por dois pontos passa uma e uma só reta. A

uma reta que passa por pontos do infinito chamamos reta do infinito, no caso r ∞ =P∞Q∞.

62

Na figura da direita, tomamos quaisquer pontos ABCD para vértices, considerados por uma

certa ordem cíclica. Se ABCD for um paralelogramo, os lados opostos AB e CD são paralelos

AB.CD=P∞ e do mesmo modo, AD e BC se intersetam em Q ∞. Para os quatro pontos, vértices

de um quadrângulo que consideramos um paralelogramo, obtemos assim uma vísivel reta do

infinito r∞=P∞Q∞.

As restantes retas AC e BD são as diagonais do quadrângulo (que se intersetam no ponto M,

a que chamamos centro como para o paralelogramo euclideano), para além das retas MP ∞ e

MQ∞. E os pontos serão E= AB.MQ∞, F=BC.MP∞, G =CD.MQ∞, H= AD.MP∞.

Deste modo, obtivemos uma representação perspet ivamente correta do paralelogramo com

todos os pontos e retas que lhe associámos....

2.7.12

Uma transformação projetiva para ilustrar a representação

Na construção que se apresenta a seguir, definimos uma transformação projetiva entre o

quadrângulo ABCD (quadrado) e o quadrângulo A'B'C'D' (em apoio e esclarecimento da

entrada anterior). Como pode ver, um quadrado e um quadri látero qualquer são projetivos.

Acrescentámos, como curiosidade, outras figuras com pontos comuns aos lados do quadrado

e as figuras que resultam pela transformação projetiva que faz corresponder ABCD a A'B'C'D'

(única para esta ordem dos correspondentes). Verifica -se a manutenção das incidências. Pode

ver-se também a reta do infinito no quadri látero projetivamente relacionado com o quad rado.

Para verificar as

afirmações feitas

acima, pode deslocar

os pontos l ivres do

quadrado e qualquer

dos pontos do

quadri látero ao lado.

63

5.7.12

Representações de (AA)(BB)(CH∞) e notas a propósito

Na construção que apresentamos abaixo, temos duas representações diferentes de dois

quadri láteros completos de vértices PQRS cortados por uma reta h=AB em que A=QR.PS e

B=PR.QS

C= RS.h e PQ paralela a AB ou PQ.h=H∞.

Na figura da esquerda temos um feixe de retas concorrentes em R cortadas por duas

paralelas e em que S é o ponto de encontro das diagonais do trapézio AQPB e, por isso, RS

passa pelos pontos médios de PQ e AB.

Tem-se assim um processo para determinar o ponto médio de AB. É tambem método para

determinar segmentos geometricamente iguais .

Na figura da direita, temos uma representação projetivamente adequada da mesma situação

em que o ponto do infinito H∞ está à vista sobre h e as retas AB e PQ nele se intersetam. E

isso não significa mais do que estabelecer uma relação harmónica H(AB,CH ∞)

Podemos dizer que a construção da direita é a mesma que está à esquerda e isso quer dizer

que para um quadrilátero completo nas condições da figura se AB//PQ então C é o ponto

médio de AB ou C é o conjugado harmónico do ponto do infinito H ∞.

[Por analogia ao escrito anteriormente para segmentos geometricamente iguais , podemos

dizer que este é também um método para determinar sobre uma reta segmentos

projetivamente iguais].

Para A, B e H∞=PQ.AB, C é único. Se C é o ponto médio de AB, PQ e AB intersetam -se em

ponto do infinito.

Ou ainda se, na reta h, a A atribuirmos, por exemplo, uma abcissa 0 e a C a abcissa 1,então

B terá uma abcissa 2,...

64

9 . 7 . 1 2

Pontual de abcissas inteiras.

Na entrada anterior, vimos como se podem determinar pontos correspondentes a um número

inteiro, dados que fossem dois pontos a que se atribuissem as abcissas 0 e 1, usando um

quadri látero completo e a reta 01 passando pelas interseções dos lados opostos se m passar

por qualquer dos seus vértices. Os pontos 0 e 2 são separados harmonicamente pelos pontos

1 e ∞ : (00)(22)(1∞) é um quaterno harmónico em que 1 e ∞ são conjugados.

A construção que se segue, i lustra bem um processo de von Staudt para obter pontos

correspondentes aos números inteiros, conhecidos que sejam os pontos 0 e 1.

Toma-se um ponto P fora da reta 01 e por ele uma paralela a 01. Sobre a reta 0P tome -se um

ponto Q qualquer e, por ele, passe-se uma paralela a 01. A reta 1Q interseta a paralela

tirada por P em R.Em seguida tome-se a reta 1P e a sua interseção Q 1 com a reta paralela a

01 tirada por Q. O ponto 2 será a interseção de RQ 1 com 01.

O processo repete-se.

Em Geometria Projetiva as retas paralelas passam por um ponto Z ∞, marcado na figura que

se segue.

65

1 0 . 7 . 1 2

Adição

Os métodos antes apresentados para determinar pontos a que correspondem abcissas inteiras

sobre uma dada reta, permitem também determinar pontos correspondentes a somas de

abcissas de pontos dados. Na construção que se segue, tomamos um ponto 0 e dois pontos

que designamos por X e Y (x, y: abcissas) sobre uma reta. Tomamos um ponto P não

incidente em 0X e por ele tiramos uma paralela a 0X. Sobre esta, tomamos um ponto R. Por

Qx = OP.XR tiramos uma paralela a 0X e a inter seção, Qy, desta com YP. O ponto

correspondente a x+y estará sobre RQ y. Mostramos uma confirmação(?) da correção desta

determinação com valores das distâncias OX, OY e O(X+Y).

Projetivamente as retas paralelas intersetam-se todos no ponto Z∞.

1 1 . 7 . 1 2

Multiplicação

Na construção que se segue, tomamos os ponto 0, 1, x e y sobre uma reta. Tomamos depois

um ponto P não incidente em 01 e por ele tiramos uma paralela a 01. Sobre esta, tomamos

um ponto R. Sendo Q x = 0P.xR, podemos definir S=1Q x.PR.

E sendo Qy=0P.Sy, o ponto correspondente a xy é RQ y.01.

De facto, o feixe de centro Q x corta as paralelas 01 (em 0,1,x) e PR (em R, S, P), sendo

PS/01(=RS/1x)=PR/0x e, consequentemente, 0x=PR/PS. E o feixe centrado em Q y corta as

paralelas 01 (em 0, y, xy) e PR (em P, R, S), sendo PS/0y(=RS/y(xy))=PR/0(xy) e,

consequentemente, 0(xy)=(PR/PS).0y. Conclui -se pois que 0(xy)=0x.0y

Nestas considerações e na construção que as apoia, confundimos pontos com números

associados (a que chamámos abcissas). Por exemplo, 0,1 e x r epresentam pontos e também

66

as suas abcissas: 1 pode ser lido como a distância entre os pontos 0 e 1 e, com abuso de

linguagem, escrevemos 01=1, do mesmo modo x é a abcissa do ponto x que é a distância de

0 a x representada por 0x. Quando se escreve 0(xy)=xy, (xy) é um ponto de abcissa xy.

Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z∞.

1 4 . 7 . 1 2

Dividir x por n (n natural)

Na entrada anterior, apresentou-se o processo para determinar o ponto de abcissa xy,

conhecidos os pontos de abcissa 0, x e y. Esse processo é aliás em tudo análogo ao processo

que permitia determinar pontos de abcissa inteira, conhecidos os pontos de abcissas 0 e 1.

O processo para determinar um ponto de abcissa 1/n (ou x/n) com n natural, conhecidos os

pontos de abcissas 0, 1 parte sempre da determinação dos pontos de abcissa 2, 3, 4, ..., n

(ou 2x, 3x, ..., nx)

. No caso da construção que segue como exemplo, faz -se a divisão por 3, determinando os

pontos de abcissas 1/3 e 2/3. Essa construção começa com a determinação do s pontos 2 e 3,

dados os pontos 0 e 1, uti l izando 0, 1, P, R, 1'=0P.1R e as paralelas a 01, tiradas por P (PR)

e por 1'.

Agora tomam-se os pontos 1', 2''=2R.0P, 3''=3R.0P, Q=PR.13''. E ficam assim determinados

os pontos de abcissas 1/3 e 2/3: 1/3=Q1'.01, 2/3=Q2''.01.

67

Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z∞.

1 6 . 7 . 1 2

Dividir x por y

Na anterior entrada tratámos da determinação dos pontos de abcissas 1/n (n natural)

conhecidos que fossem os pontos 0 e 1.

Nesta entrada, nas construções apresentadas (euclideana e projetiva correspondente)

apresenta-se o processo de determinação do ponto de abcissa x/y conhecidos os pontos 0, 1,

x, y.

Dados 0,1, x e y col ineares, começa-se por tomar um ponto P qualquer fora da reta 01. Por P

tira-se uma reta paralela a 01. E sobre ela, toma-se o ponto R qualquer. D=0P.1R. Para

determinar o ponto x/y, define-se M=yR.0P. Define-se S=xM.PR e finalmente o ponto x/y é

x/y=SD.xy

Do feixe centrado em D cortado pelas retas paralelas 01 e PR, tira -se que 0(x/y)/PS=01/PR

e, do feixe centrado em M cortado pelas mesmas paralelas tira -se que 0y/PR=0x/PS. Da

primeira e segunda igualdades conclui -se que PS/PR=0(x/y)=0x/0y

Pode deslocar os pontos x e y e ver o que acontece quando x=0, x=y, x=1, y=0, y=x/y, etc

68

Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z∞.

1 7 . 7 . 1 2

Subtrair

Temos vindo a apresentar construções em que se determinam pontos cujas abcissas são

resultados de operações sobre as abcissas de outros pontos dados. Faltava a determinação

do ponto de abcissa x-y sobre a reta de que são dados os pontos de abcissas 0, x e y. Aqui

ficam as construções.

Dados os pontos 0, x, y determinamos o ponto de abcissa x -y seguindo um procedimento

apoiado na construção da soma, já que y+x-y=x.

Por um ponto P exterior à reta xy tiramos uma paralela a xy e, sobre esta, tomamos um

segundo ponto R. Pelo ponto Q y=0P.yR tiramos uma paralela a xy e determinamos sobre ela o

ponto Qx de xR. O ponto de abcissa x-y será PQx.xy

Pode deslocar os pontos x ou y verificando o que acontece quando x=y, x=0, y=0, x à

esquerda de y, y=x-y, etc

69

Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z∞.

2 4 . 7 . 1 2

Razões de diferenças. Razão cruzada.

Nas últimas entradas, associámos pontos de uma reta a números (suas abcissas) e

estabelecemos construções (relações estabelecidas entre pontos e retas) que permitiram

determinar pontos cujas abcissas eram resultados de operações sobre números, abcissas de

pontos dados.

Para estas correspondências entre pontos de uma reta e números soc orremo-nos sempre de

alguns pontos particulares, depois de termos equipado a reta com uma dada orientação

(sentido na reta).

De forma simples, se fizermos corresponder ao ponto A a abcissa a=x A e a B a abcissa b=xB,

a orientação escolhida será de A para B se a distância euclideana em sentido direto entre A e

B for xB-xA=|AB. De resto escrevemos BA=-AB já que quando tomamos o sentido de A para B

sobre a reta AB, AB=xB -xA= b-a=-(a-b)=-(xA-xB)=-BA. (segmentos orientados...)

A construção que se segue pretende i lustrar as considerações que antes fizemos, para além

de introduzir a "razão de razões" ou "razão cruzada" que goza de propriedades interessantes

intrínsecas e vinculando os seus valores a relações projetivas que se estabeleçam entre

pontos e entre retas ou entre pontos e retas.

Tomam-se quatro pontos A, B, C, D sobre uma reta e define -se a razão das razões entre

diferenças de abcissas. Pode deslocar os pontos para ver o que acontece às diferenças e às

razões.

70

1 . 8 . 1 2

Razão cruzada: Propriedades elementares

71

Razão cruzada de um feixe de 4 retas

A "razão cruzada" (ou razão de razões de diferenças) de quatro pontos incidentes numa

mesma reta que temos vindo a estabelecer mantém-se por projetividade. É, por isso, muito

importante em Geometria Projetiva e há autores que usam a "razão cruzada" para definir

projetividade como a transformação geométrica pela qual a razão cruzada se mantém

invariante. Não foi a definição adoptada nestas notas de estudo que temos vindo a publicar.

Não vamos provar essa afirmação. Limitar -nos-emos a i lustrá-la e a pedir que a aceitem a

partir das ilustrações que a permitem conjeturar.

Como é habitual em Geometria Projetiva, verificamos a dualidade em cada conceito e, por

isso, vamos ver(ificar) que há uma razão cruzada de quatro retas a incidir num mesmo

ponto.

A construção seguinte apresenta quatro retas incidentes em O (um feixe) cortadas por uma

reta r que não passa por O. Poderá deslocar a reta r e verii fcar que a razão cruzada dos

quadros pontos da secção por r do feixe não depende da reta r. Podemos, por isso, assimilar

esta razão invariante como caraterística do feixe.

72

3 . 8 . 1 2

Invariância da razão cruzada por perspetividade

A construção da entrada anterior também sugere (ou, ao contrário, decorre d)a verificação

da invariância da razão cruzada por uma perspetividade de centro O.

A construção que se apresenta ilustra isso mesmo. A razão cruzada dos quatro pontos

A,B,C,D, sobre r, é a mesma razão para os quatro pontos A', B', C', D', sobre s, obtidos como

transformados de A, B, C, D pela perspetividade de centro O.

Pode deslocar os pontos O, A, B, C, D e também r e s para ver(ific ar) esse resultado.

5 . 8 . 1 2

Invariância da razão quadrada por projetividade

A construção que se segue pretende demonstrar que a razão cruzada de 4 pontos A, B, C, D

de r é a mesma para os 4 pontos A', B' C', D' de s, sendo estes os transformados dos

primeiros por uma projetividade.

Com os três pares (A,A'), (B,B') e (C,C') definimos duas perspetividades - uma de centro em

A e outra de centro em A'- e o eixo de projetivade que passa pelos pontos AB'.A'B=J e

AC'.A'C=K. Para o quarto ponto D, qualquer de r, bastará tomar L=A'D.JK e será D'=AL.s

Esta dupla de perspetividades e o eixo - reta que dois feixes perspetivos definem - garantem

a projetividade ABCD ↔ A'B'C'D' (como composta das duas perspetividades ABCD→A ' IJKL→A '

A'B'C'D') e, claro, garantem a igualdade das razões cruzadas

(A,B;C,D)=(I,J;K,L)=(A',B';C',D'),tomando com certas as afirmações das entradas anteriores.

73

8 . 8 . 1 2

Da relação harmónica à respetiva razão harmónica

Abordámos a noção de relação harmónica entre quatro pontos col ineares tomados dois a dois.

Nestas notas de estudo que estamos a seguir, considerámos em primeiro lugar o quadrângulo

completo: 4 pontos P,Q, R e S (vértices) e 6 retas por cada par de vértices (lados), PR, QS,

QR, PS, PQ e RS. Os pontos assinalados a castanho resultam da intersecção de lados opostos

PR.QS, QR.PS, PQ.RS e são chamados pontos diagonais que formam o triângulo diagonal.

Tomamos uma reta r que não passe por qualquer vértice do quadrângulo completo PQRS. À

pontual de base r obtida por secção do quadrângulo chamámos conjunto quadrangular que

tem no máximo 6 pontos (DA)(BE)(CF) organizados em pares de pontos resultantes das

intersecções, por r, de lados opostos do quadrângulo.

Na construção que se segue, só com régua, o conjunto quadrangular que representamos por

Q(ABC, DEF) ou por (AD)(BE)(CF) é obtido como secção por uma reta r que, para além de

não passar por qualquer vértice, também não passa por qualquer dos 3 pontos diagonais.

Apl icando uma qualquer permutação ABC e a mesma a DEF, vimos que (AD)(BE)(CF) tem o

mesmo significado que (BE)(AD)(CF). Do mesmo modo, podemos concluir que (AD)(BE)(CF) é

equivalente a (AD)(EB)(FC), (DA)(BE)(FC) ou (DA)(EB)(CF)

Demonstra-se que qualquer dos pontos de um conjunto quadrangular é determ inado

univocamente pelos restantes, isto é, fixados A, B, C, D, E, sobre uma reta r, há um só F de

modo a obtermos um conjunto quadrangular Q(ABC, DEF).

74

Claro que um conjunto quadrangular pode ter menos de 6 elementos; terá 5 se a reta r

passar por um ponto diagonal e 4 se a reta r passar por dois pontos diagonais do

quadrângulo que é o que i lustra a construção seguinte.

Nesta construção o conjunto quadrangular pode ser descrito por (AA)(BB)(CD). Este caso

particular de conjunto quadrangular toma o nome de conjunto harmónico e representa-se (a

relação harmónica estabelecida) por H(AB, CD) que terá o mesmo significado que H(BA, CD)

ou H(AB,DC) ou H(BA, DC) no sentido de que A e B são dois pontos diagonais do

quadrângulo, enquanto C e D incidem nos lados do quadrângulo que passam pelo terceiro

ponto diagonal.

Dizemos que D é o conjugado harmónico de C relativamente a A e B. E prova -se que D fica

determinado por A, B e C como ponto único para a relação H(AB,CD) e que se forem distintos

A, B e C da relação harmónica H(AB,CD) então C é distinto de D. Prova -se também que a

relação harmónica H(AB,CD) implica H(CD,AB).

A todas as relações harmónicas, estabelecidas usando quadrângulos, corresponderá um único

valor de razão cruzada, a saber (A,B;C,D)=(a,b;c,d)=-1 Em outras entradas, de há uns anos,

usámos uma definição baseada na razão harmónica. Mais ou menos assim: Dois pares de

pontos (a,b) e (c,d) estão em posições harmónicas ou separam-se harmonicamente um

relativamente a outro quando a razão cruzada (a,b;c,d) é -1.

75

1 1 . 8 . 1 2

Duas determinações da razão cruzada de 4 posições harmónicas

Primeira.

Na entrada anterior, concluíamos com a afirmação de que se entre os pontos A, B, C e D

col ineares se estabelecesse uma relação harmónica, então a razão cruzada (a,b;c,d) seria -1.

Este facto decorre do anterior resultado sobre permutações de pontos e de ra zões cruzadas

que relembramos agora as que nos interessam para calcular a razão cruzada de quatro

pontos em relação harmónica :

(a,b;c,d)=(b,a;d,c)=(c,d;a,b)=(d,c;b,a)

e os equivalentes resultados com conjuntos harmónicos H(AB, CD) sse H(BA, DC) sse

H(CD,AB) sse H(DC,BA)

(a,b;c,d)=1/(a,b;c,d)

sendo que, para o caso das relações harmónicas, se provou que H(AB,CD) sse

H(AB,DC), obrigando

(a,b;c,d)=(a,b;d,c) e, portanto, (a,b;c,d).(a,b;c,d)=1 e, em consequência,

(a,b;c,d)=1 ou (a,b;c,d)=-1.

Para pares (a,b) e (c,d) em posições harmónicas em que a é distinto de b e c é

distinto de d, como c-b e d-b são de sinais diferentes a razão (a,b;c,d) não pode ser

positiva e só resta ser (a,b;c,d)=-1.

Assim é natural dizermos que a razão cruzada (a,b;c,d)= -1 é a razão harmónica e às razões

cruzadas diferentes de -1 chamamos razões anarmónicas.

Segunda.

Para a construção que se segue, tomamos 3 pontos col ineares A, B, C sobre uma mesma reta.

Para determinar um conjunto harmónico de que esses três pontos sejam elementos, tomámos

um ponto auxi l iar O e traçamos AO, BO e CO. Sobre CO tomamos um novo ponto auxi liar P e

traçamos AP e BP. A'=AO.BP e B'=BO.AP. O quarto ponto D do conjunto harmónico é

AB.A'B'=D. A e B são pontos diagonais de A'PB'O, C e D são pontos de AB dos lados opostos

do quadrângulo OP e A'B'.

Pretendemos ilustrar que quaisquer escolhas para O e P dão sempre o mesmo D e ver como a

relação harmónica se mantémm por permutação dos elementos de um dos pares do quaterno,

e tem como consequência o valor -1 para a razão cruzada correspondente.

76

O ponto O pode ser tomado como centro de uma perspetividade que transforma ABCD em

A'B'C'D. Por isso, (a,b;c,d)=(a',b';c',d'). De modo análogo, P é o centro de uma

perspetividade que transforma A'B'C'D em BACD e, po r isso, (a',b';c',d)=(b,a;c,d). Conclui -se

finalmente que (a,b;c,d)=(b,a;c,d). E, como (b,a;c,d)=1/(a,b;c,d), (a,b;c,d)= -1.