GEOMETRIA

DESCRITIVA I

Alfredo Coelho

Itabuna BA 2011 Atualização agosto de 2012

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PRELIMINARES DEFINIÇÃO:

A Descritiva é um ramo da geometria que tem como objetivo representar objetos de três dimensões em um plano horizontal único. Esse método de reprentção deve-se ao sábio teórico da Geometria Analítica e desenhista francês Gaspard Monge (1746 a 1818), um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa. Monge foi também uma grande figura política do final do século XVIII e início do século XIX. Por todos os seus feitos, ele pode ser considerado o pai da Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço, e é por este motivo que a geometria descritiva é chamada de Geometria Mongeana ou Método de

Monge. PROJEÇÕES: Se entre um observador e uma parede for colocada uma caixa, quando o observador olha para a parede, justamente na direção em que a caixa se encontra, ele não vê a região da parede que fica encoberta pela caixa. Isto acontece porque os raios luminosos que são refletidos pela parede, nesta região, não chegam ao olho do observador, pois são empedidos pela caixa. O observador vê a caixa projetada sobre a parede. Na figura é a área escura (Área encoberta pela caixa) que indica a projeção da caixa sobre a parede. PROJEÇÃO DO PONTO: Agora vamos voltar nossa atenção para o desenho abaixo:

Consideremos o plano π de projeções, a reta r, o ponto P e a sua projeção P1, sobre o plano π... Temos:

a. A reta r que passa pelos pontos P e P1 é a reta chamada de reta projetante do ponto P ou simplesmente projetante;

b. P1 projeção do ponto P sobre o plano π, é o local onde a reta projetante fura (intercepta) o plano de projeções.

TIPOS DE PROJEÇÕES: Dependendo da posição do observador podemos considerar dois tipos de projeções: cônicas e cilíndricas. As projeções são ditas Cônicas quando as projetantes são oblíquas ao plano de projeções e passam por um ponto fixo O, e Paralelas ou Cilíndricas quando as projetantes são perpendiculares ao plano de projeções e paralelas entre si.

Fazendo uma analogia entre as projetantes e os raios luminosos emitidos por uma fonte de luz, as projeções Cônicas seriam relacionadas com uma fonte luminosa colocada numa posição finita, próxima ao plano de projeções (Ex. A lâmpada de uma sala). Já as projeções Cilíndricas seriam

Gaspar Monge (1746 a 1818)

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comparadas com uma fonte de luz situada no infinito, muito distante do plano de projeções (Ex. O Sol que se comporta como o desenho da direita no quadro acima). PLANOS DE PROJEÇÕES: São três os planos de projeções, os quais determinam no espaço Quatro Triedros (ângulos determinados por três planos concorrentes), orientados no sentido antihorário. Plano Horizontal detentor das projeções superiores. Plano Vertical , plano das projeções frontais. Plano de Perfil , plano das projeções laterais ou de perfil. DIEDROS: Inicialmente a geomatria descritiva não trabalha com os triedros, somente com os diedros que são ângulos formados por dois planos: Neste caso o Plano Horizontal de Projeções e o Plano Vertical de Projeções.

A intersecção entre os dois planos determinam uma linha horizontal que é chamada de Linha de Terra (LT) a qual divide os planos formando quatro semiplanos e consequentemente quadro diedros: Os semiplanos: PVS – Plano Vertical Superior PVI – Plano Vertical Inferior PHA – Plano Horizontal Anterior PHP – Plano Horizontal Posterior Os diédros: I Diedro – formado pelos semiplanos PHA e

PVS II Diedro – formado pelos semiplanos PVS e PHP III Diedro – formado pelos semiplanos PHP e o PVI IV Diedro – formado pelos semiplanos PVI e PHA Os pontos, as retas ou os sólidos vão situar-se nestes “diedros/triedros" e através de suas projeções cônicas ou ortogonais (cilíndricas ou paralelas) vão ser representados sobre os Planos de projeções: horizontal, vertical e lateral ou de perfil. NOTAS:

1. Em geral os objetos sempre se situam no I Diedro/triedro; 2. Sempre que se tratar de lateral vamos citar perfil. 3. Na geometria Descritiva I vamos trabalhar com as projeções cilíndricas ou paralelas. 4. Na Geometria descritiva II em Perspectiva Cônica vamos trabalhar com as projeções

cônicas.

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REPRESENTAÇÃO ESPACIAL DOS PONTOS: Os pontos A, B, C e D estão representados no espaço tridimensional, cada um ocupando um dos “Diedros”. Por eles passam diversas projetantes, linhas perpendiculares e inclinadas em relação aos planos de projeções. Estas linhas passam pelos pontos e os projetam sobre os planos ortogonais de projeções; determinando a projeção superior sobre o plano Horizontal e a projeção frontal sobre o plano Vertical. COMO DETERMINAR AS PROJEÇÕES ORTOGONAIS DE UM PONTO : Porcedemos do modo descrito abaixo:

1 – por traçamos a primeira projetante, paralela ao plano vertical encontrando sobre o plano horizontal; 2 – traçamos a segunda projetante, pelo ponto e paralela ao plano horizontal; 3 – traçamos o segmento de reta , paralelo à segunda projetante, com sobre a linha de terra; 4 – pelo ponto levantamos uma perpendicular da linha de terra até interceptar a segunda projetante; 5 – nesta intersecção marcamos a projeção . PROJEÇÃO DOS PONTOS SOBRE OS PLANOS DE PROJEÇÕES:

Pelo ponto passam as projetantes , perpendiculor ao plano horizontal anterior e a projetante , perpendicular ao plano vertical superior. O mesmo ocorrerá com os outros pontos; passam duas projetantes: - uma perpendicular ao plano horizontal e a outra perpendicular ao plano vertical. Veja que de cada projeção com índice 1parte um segmento tracejado até a linha de terra, este segmento que é paralelo à projetante oposta é chamado de linha de chamada e é uma linha parpendiculara à LT.

Para representar as projeções usamos índices numéricos ou “linhas”. Ex. e , ou e � � . Nós iremos usar índice numérico, mas o aluno fica livre para usar qualquer um. O indice 1ou ′para as projeções superiores (no plano horizontal) e o índice 2 ou ′′para as projeções frontais (no plano vertical).

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ÉPURA: Para obtermos a épura de um sitema descritivo, rotacionamos o Plano Horizontal de Projeções (PH) em torno da Linha de Terra no sentido horário, de tal forma que este coincida com o Plano Vertical de Projeção (PV), ficando o PHA coicidindo com o PVI e o PHP coicidindo com o PVS. Observe que tudo que está sobre o PHA fica representado abaixo da linha de terra LT e tudo que está no PHP fica representado acima da linha de terra.

Depois do rebatidos os planos de projeções se fundem em um só plano, como se fosse um único plano vertical, o qual vai corresponder à folha de papel. Esta nova representação recebe o nome de épura. A ÉPURA é a representação da figura do espaço no plano, depois dos rebatimentos de suas projeções. Quando lemos em épura visualizamos, pelo pensamento, os planos ortogonais de projeções: Plano Horizontal PH, Plano Vertical PV e o Plano Lateral ou de Perfil PP, e, deste modo imaginamos a figura representada.

A linha de terra (LT) é a intersecção entre os planos Vertical e Horizontal. OBSERVAÇÕES: 1 – Alguns professores optam por rotacionar o plano vertical no sentido antihorário, que é o modo original de Monge, o resultado é o mesmo. Como os quadros em sala de aulas são perpendiculares, para facilitar a visão do aluno, alguns professores, inclusive eu, usam rotacionar o plano horizontal no sentido horário para evitar, uma possível, segunda rotação. 2 – Não faça estes desenhos a mão livre, pois não tem sentido fazer desenho técnico sem o uso dos intrumentos (par de esquadros, régua e compasso). 3 – Sempre que possível use uma escala (usando a régua) para ter trabalhos proporcionais, lógicos e de fácil compreensão. ESTUDO DO PONTO PONTO: É um ente geométrico admensional, geralmente representado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto (Ex: . – ponto P, . – ponto R) Um ponto fica representado em épura, por suas projeções ou coordenadas, sobre os planos:

· Horizontal PH (Vista Superior - VS) que determina o Afastamento do ponto; · Vertical PV (Vista Frontal - VF) que determina a Cota do ponto; · Lateral ou de Perfil PP (Vista de Perfil - VP) Não representa a abscissa. A vista Lateral

mostra numa mesma projeção, o afastamento e a cota.

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COORDENADAS DO PONTO: ABSCISSA é a distância de um ponto a um plano de perfil tomado como orígem. As abscissas são medidas da esquerda para a direita sobre a Linha de Terra, tanto em épura quanto no espaço, em geral é positiva podendo ser negativa. Aqui em geral, nós vamos ter abscissa positiva, mas, eventualmente aparecerar dados à esquerda da origem: ponto 0 (zero) marcado sobre a LT. AFASTAMENTO é a distância do ponto ao plano vertical de projeções. Em épura, afastamento é a distância da projeção horizontal (VS) à linha de Terra LT. COTA é a distância do ponto ao plano horizontal de projeções. Em épura, cota é a distância da projeção vertical (VF) à linha de Terra LT.

Diedro Abscissa Afastamento Cota I -/+ ↔ + ↓ + ↑ II -/+ ↔ - ↑ + ↑ III -/+ ↔ - ↑ - ↓ IV - /+ ↔ + ↓ - ↓

OBSERVAÇÃO:

· Abscissa: a seta apontando para a esquerd indica abscissa nagativa, para direirta, positiva. · Afastamento: a seta apontando para baixo representa afastamento positivo e apontando par

cima representa afastamento negativo. · Cota: a seta apontando para cima representa cota positiva e apontando para baixo representa

cota negativa. PONTO SITUADO NOS PLANOS DE PROJEÇÕES:

Anteriormente vimos um ponto em cada Diedro, agora veremos um ponto em cada semiplano. Tomando-se os pontos E, F, G e H temos:

· O ponto E situado no plano horizontal anterior PHA, e o ponto F situado sobre o plano horizontal posterior PHP, nestes casos temos as projeções horizontais, de índice 1, coincidindo com o Ponto e as projeções verticais, de índice 2, sobre a linha de terra.

· O ponto G situado no plano vertical superior PVS, e o ponto H situado no plano vertical inferior PVI, nestes casos temos as

projeções verticais, de índice 2, coincidindo com o Ponto e as projeções horizontais, de índice 1, sobre a linha de terra.

Plano Abscissa Afastamento Cota Horizontal anterior -/+ ↔ + ↓ 0 Vertical superior -/+ ↔ 0 + ↑ Horizontal posterior -/+ ↔ - ↑ 0 Vertical inferior -/+ ↔ 0 - ↓

ÉPURA

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PONTO SITUADO NOS PLANOS BISSETORES: – Calma: Plano bissetor é o plano que divide o diedro em espaços iguais, formando dois ângulos de 45°. Como são quatro diedros, então teremos dois planos bissetores, o I Bissetor que passa pelo I e III diedro, bissetor impar, e o II Bissetor que passa pelo II e IV diedro, bissetor par. Devido ao ângulo de 45° que determina distâncias perpendiculares com medidas iguais, um ponto situado sobre um plano bissetor tem o afastamento igual à cota, em módulo (valor absoluto), mudando apenas o sinal conforme o diedro. Se o ponto pertence ao I Bissetor suas projeções: o afastamento e cota ocupam posições distintas, mas se o ponto pertence ao II Bissetor o afastamento e a cota ocupam a posição coincidente. Logo a seguir veremos os pontos já rebatidos, mas sem a representação dos planos bissetores para facilitar o entendimento e compreensão do rebatimento, claro com um menor número de linhas. ROTACIONAMENTO DOS PONTOS SITUADOS NOS BISSETORES:

Como os planos bissetores não fazem parte do sistema projetivo normal, podemos retirá-los para enxugar o sistema e melhorar a aparência das representações: pontos e projeções. Feito isso vamos ao rebatimento das projeções horizontais, os afastamentos. Depois de rebatido sistema fica com a aparência abaixo e a esquerda, que já é a própria épura dos pontos, basta apagar as linhas que delimitam os planos e temos a aparência final da nossa representação. Observe que, conforme já foi explicado antes, pelo

motivo dos planos bissetores estarem a 45° com relação aos planos projetivos, ele determina distâncias iguais para cada um deles e, desse modo, algumas projeções, particularmente as do II e IV Diedros são coincidentes. Veja que as projeções e são coincidentes: o ponto J está no II Diedro, bem como as projeções e também, pois o ponto K está no IV Diedro. ÉPURA: Apagando as linhas limitantes dos planos encontramos a representação da esperada épura. Observe que os pontos I, J, K e L, mesmo estando sobre os planos não foram colocados na épura, pois eles não são projeções. Realmente, eles pertencem ao espaço.

- Ops!? ... Plano bisse ... bissetores?!. Hiii ... fessô agora f ... pegou! - Ké ké issssso sô?! Bissetorr?

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PONTO LOCALIZADO SOBRE A LINHA DE TERRA:

Um ponto quando localizados sobre a Linha de Terra, ele não se situa em nenhum semiplano nem no espaço, apesar de pertencer a qualquer um plano que passe pela linha de terra, e consequentemente ao espaço. Um ponto sobre a linha de terra LT tem todas as suas coordenadas nula com exceção da abscissa, que é medida sobre a LT.

Diedro Abscissa Afastam. Cota Todos -/+ ↔ 0 0

ÉPURA:

Como o afastamento e a cota são nulos, a sua representação em épura é de apenas um ponto sobre a linha de terra (LT), conforme a sua abscissa. Mesmo o ponto M estando sobre a LT ele não aparece na épura. E assim concluímos o estudo das 13 posições dos pontos. Há quem diga que só são 9, mas eu considero, também as 4 posições dos pontos sobre os planos Bissetores. EXERCÍCIOS sobre Pontos: Agora que já estamos craque em GD vamos aos exercícios. Use régua, par de esquadros e compasso conforme vimos em sala de aulas: desenho técnico se faz com instrumentos. Sugiro que, antes do desenho definitivo, com o uso de papel milimetrado ou papel quadriculado, faça um croqui á mão livre para ter certeza de sua construção. NOTA: Todos os exercícios, mesmo os feitos em casa, deverão ser realizados em papel opaco branco com margens segundo o padrão oficial, em escala com carimbo simples e com data.

1. Dado o sistema espacial, determine as projeções, faça os devidos rebatimentos e construa a épura dos pontos, (observe a projetante em cada ponto, use a mesma medida):

2. Pelo sinal do afastamento e da cota dos pontos dados determine o Diedro, Semiplano de Projeções e Plano

Bissetor, ao qual cada um deles pertence: a. A (2,0; 5,0; –2,5) b. B(7,0; –3,0; –4,0) c. C(8,0; 3,0; 3,0)

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d. D(0,0; –2,8; 7,0) e. E (0,8; 5,5; 5,5) f. F(5,0; –4,0; 8,0) g. G(0,0; –3,5; –5,0) h. H(0,0; 4,0; –4,0)

i. I(0,0; 0,0; 0,0) j. (7,0; 0,0; 7,0) k. K(6,0; –3,0; 0,0) l. L(10,0; 2,0; 0,0)

m. M(5,0; –3,0; –3,0) n. N(9,0; –3,8; 3,8) o. O(6,0; –2,8; 7,0).

3. Dados os pontos construa a épura: a. A(6,0; –3,5; 5,0) b. B(7,0; 0,0; 2,0) c. C(0,0; 5,5; 5,5) d. D(3,0; –5,0; 5,0)

e. E(5,0; 3,0; –3,0) f. F(2,0; –3,0; –3,5)

4. Na questão anterior determine o Diedro ao qual cada ponto pertence e justifique.

5. Dada a épura dos pontos de A até F, ao lado, encontre as coordenadas (Ab, Af, Co) de cada ponto, e identifique onde ele está. As medidas na vertical estão proporcionais (iguais) às medidas sobre a LT. (Não são colocadas medidas sobre a linha de terra, em épura, mas por efeitos didáticos, aqui nós colocamos para orientação na resolução, use a régua para extrair as medidas na LT e transportar para a vertical).

REBATIMENTO DO PONTO: Para melhor estudar um ponto podemos fazer o seu rebatimento sobre um terceiro plano de projeções: um Plano de Perfil Auxiliar (α3), cujo traço é uma linha perpendicular a linha de terra “PPa” e, sobre ele encontramos a terceira projeção do ponto: a projeção de índice 3. O traço PPa acima da LT é a intersecção do plano vertical com o plano de Perfil Auxiliar e abaixo é a intersecção deste com o plano Horizontal. O Rebatimento de um Ponto: É muito simples, basta procedermos conforme descrito abaixo:

1. Traçamos uma linha perpendicular à LT (traço do PPa); 2. Passamos uma linha de chamada pela projeção horizontal (P1) do ponto P até o PPa,

determinando o ponto p1; 3. Com abertura do compasso igual ao afastamento do ponto e, com centro na intersecção entre a

LT e o PPa, descrevemos o arco 1 3 : p1 (sobre o PPa) e p3 (sobre a LT); 4. De p3 levantamos uma perpendicular à LT, e depois partindo de P2 traçamos uma paralela à LT

até cortar a reta traçada anteriormente (a perpendicular à LT) determinando a intersecção das duas linhas de chamadas;

5. Nesta intersecção temos a projeção P3 equivalente ao rebatimento do ponto P sobre o plano de perfil.

Demonstração Gráfica:

1. Para um ponto no primeiro diedro:

Exercício 5

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2. Para um ponto no segundo diedro:

3. Para um ponto no terceiro diedro:

4. Para um ponto no quarto diedro:

Em todos os casos a rotação se dá no sentido antihorário a partir do PPa para a LT. Depois de rebatido o ponto tem as seguintes características: O rebatimento de um afastamento positivo fica à direita do PPa e se negativo fica à esquerda, quanto a cota, se essa for positiva, seu rebatimento fica acima da LT e se for negativa fica abaixo. EXERCÍCIOS sobre Rebatimento do ponto:

1. Faça o rebatimento dos pontos dados na épura ao lado: 2. Dados os pontos, por suas coordenadas, construa uma épura separada de cada

ponto e faça o rebatimento de cada um deles: a. A(2,0;2,0;-4,0) b. B(1,5;3,0;-3,0) c. C(3,0;2,0;2,0) d. D(2,0;3,0;0,0) e. E(3,0;0,0;0,0) f. F(3,0;-3,0;2,0)

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RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS: I - Sobre Pontos:

1. 2. A – IV diedro, B – III diedro, C – I diedro, D – II diedro, E I diedro, F – II diedro, G – III diedro, H – IV

diedro, I – na origem, J – no PVS, K no PHP, L – no PHA, M – no bissetor ímpar III diedro, N no bissetor par II diedro, O no bissetor par II diedro.

3.

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4. (A) está no II diedro: o afastamento é negativo e a cota é positiva; (B) está sobre PVS: o afastamento nulo e a cota é positiva; (C) está no bissetor impar e no I diedro: o afastamento igual a cota e ambos positivos; (D) está no bissetor par e no II diedro: o afastamento e cota com módulos iguais e sinais opostos, com a cota positiva; (E) está no bissetor par e no IV diedro: o afastamento e cota com módulos iguais e sinais opostos, com a cota negativa; (F) está no III diedro: o afastamento e a cota são ambos negativos.

5. (8,0; 5,0; 2,0) o ponto está no I diedro; (6,0;− 2,0; 1,0) o ponto está no II diedro; (4,0; 3,0; 0,0) o ponto está sobre o PHA; (1,0;− 3,0; 3,0) o ponto está sobre o bissetor par no II diedro; (6,5; 5,5; 4,0) o ponto está no I diedro; (2,5; 0,0; 0,0) o ponto está sobre a LT.

II - Sobre Rebatimento do Ponto:

1.

2. ESTUDO DAS RETAS: O espaço é constituído de infinitos pontos e consequentemente, constituído por infinitas retas e planos. Reta é o conjunto de infinitos pontos alinhados em uma única direção, a reta é um ente unidimensional.

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Determinação de uma Reta: Da geometria plana e geometria analítica plana, sabemos que dois pontos determinam uma única reta. Sendo os pontos e : a porção da reta, entre aos pontos e é chamada de segmento de reta � � e o conjunto total de pontos alinhados numa direção, que contém o segmento � � é a reta suporte do segmento: reta = � � . A representação � � , lê-se reta AB ou reta suporte do segmento AB. Assim como na Geometria plana as retas, em descritiva, são representadas por letras minúsculas do Alfabeto, , , … etc.

Teorema Um: A projeção de uma reta sobre um plano não perpendicular a esta reta é uma reta. Se o plano for perpendicular a esta reta a projeção da reta é um único ponto sobre o plano. Teorema Dois: A posição de uma reta fica determinada no espaço quando conhecemos as projeções desta reta. Teorema Três: Um ponto pertence a uma reta quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta. Traço: Traço de uma reta é o ponto em que a reta intercepta (fura) um plano de projeção, se for o plano Horizontal o traço é o ponto (ponto onde a reta fura o plano horizontal), se for o plano Vertical o traço é o ponto (ponto onde a reta fura o plano vertical). O traço indica a passagem de uma reta de um diedro par outro diedro. Teorema Quatro: Em épura, a projeção V1 do traço vertical e a projeção H2 do traço horizontal estão obrigatoriamente sobre linha de terra LT, de onde V1= v e H2 = h. A representação dessas projeções é facultativa, mas caso ela seja representada, na outra projeção deve constar os índices 1 ou 2. Visibilidade: Como podemos notar na figura ilustrativa, a parte visível da reta é o trecho que se encontra no primeiro diedro/triedro, pois é onde o observador está. Em épura, a reta nunca é visível após ultrapassar a linha de terra LT. EXERCÍCIOS Sobre Reta:

1. Representar em épuras separadas, as retas, destacando a visibilidade e indicar os diedros atravessados pela reta:

a. definida por (4,0; 1,0; 3,0) e (7,0; 2,5; 1,5) b. definida por (4,0; 1,0; 3,0) e (7,0; 2,5; 1,5)

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c. definida por (1,0; 4,2; 2,0) e (7,0; 1,0; 2,0) Soluções:

TIPOS DE RETAS: Em Geometria Descritiva podemos enumerar setes tipos diferentes de retas conforme elas se apresentam nos diedros/triedros de projeções.

Reta Qualquer é toda reta oblíqua em relação aos planos de projeções: plano Horizontal e plano Vertical e, é também oblíqua em relação a um plano de perfil auxiliar. Em épura, o ângulo que faz com a linha de terra é o ângulo que o plano forma com o plano Vertical de projeções. O ângulo que faz com a linha de terra é o ângulo que o plano forma com o plano Horizontal de projeções. Como percebemos a reta qualquer não apresenta nenhum paralelismo com os

planos de projeções e/ou os planos projetantes. Ela pode apresentar os dois traços H e V, ou somente um deles, depende apenas de sua posição no espaço.

Reta Horizontal é toda reta paralela ao plano Horizontal de projeções e oblíqua ao plano Vertical de projeções. A reta horizontal tem apenas um traço: o vertical V sobre a projeção vertical da reta e a projeção horizontal de V: “v” está sobre a LT. Em épura, a projeção vertical de uma reta horizontal é uma reta paralela à linha de Terra, sobre o Traço vertical V, do plano Horizontal que contém a reta. Já a projeção horizontal de uma a reta horizontal “r1” é oblíqua em relação à linha de Terra e o ângulo que “r1” forma com a LT é o ângulo que a reta

horizontal forma com plano Vertical de projeções.

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Reta Frontal é toda reta paralela ao plano Vertical de projeções e oblíqua ao plano Horizontal de projeções. A reta frontal tem apenas um traço: o horizontal H sobre a projeção horizontal da reta e projeção vertical de H: “h” está sobre a LT. Em épura, a projeção horizontal de uma reta frontal é uma reta paralela à linha de Terra, sobre o Traço horizontal H, do plano Frontal que contém a reta. Já a projeção vertical de uma a reta frontal “r2” é oblíqua em relação à linha de Terra e o ângulo que “r2” forma com a LT é o ângulo que a reta frontal forma

com plano Horizontal de projeções.

Reta de Perfil é toda reta oblíqua aos dois planos de projeções: Horizontal e Vertical e paralela a qualquer plano de Perfil Auxiliar. A reta de perfil apresenta os dois traços: o traço horizontal H sobre a projeção horizontal da reta e o traço vertical V sobre a projeção vertical da reta. Sobre a LT, a projeção vertical de H, coincide com a projeção horizontal de V: “h = v”. Em épura a reta de perfil é determinada por uma reta perpendicular à linha de terra e situada sobre o Traço do plano de Perfil que a contém. Como a reta de perfil é oblíqua aos

planos de projeções horizontal e vertical e, estes são perpendiculares entre si, então os ângulos que a reta de perfil forma com estes planos são ângulos complementares (α + β = 90°).

Reta Vertical é toda reta perpendicular ao plano Horizontal de projeções e paralela ao plano Vertical de projeções, é uma reta contida num dos planos da família dos planos verticais: Frontal, Perfil ou Vertical. A reta vertical tem apenas um traço: o horizontal H sobre a projeção horizontal da reta a projeção vertical de H: “h” está sobre a LT. Em épura a projeção Horizontal é o próprio traço da reta que coincide com a projeção de todos os pontos da reta, ou seja, com a própria projeção horizontal da reta. A projeção vertical é uma reta

perpendicular à linha de Terra.

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Reta de Topo é a reta paralela ao plano Horizontal de projeções e em consequência, perpendicular ao plano Vertical de projeções. A reta de topo tem apenas um traço: o vertical V sobre a projeção vertical da reta e a projeção horizontal de V: “v” está sobre a LT. Em épura a projeção Horizontal é uma reta perpendicular à linha de Terra e, a projeção vertical o próprio traço da reta que coincide com a projeção de todos os pontos da reta, isto é, com a própria projeção vertical da reta. Reta Fronto-horizontal é toda reta paralela à linha de Terra e consequentemente paralela aos planos de projeções: Vertical e Horizontal. A reta Fronto-horizontal não tem nenhum traço, nem horizontal nem vertical, suas projeções são paralelas aos planos de projeções. Em épura as suas projeções são paralelas à linha de Terra. As retas qualquer e perfil passam por três diedros distintos, as retas horizontal, frontal, vertical e de topo passam por dois diedros, mas a reta fronto-horizontal só pode passar por um diedro:

1º, 2º, 3º ou 4º. NOTA: Estudando as retas Qualquer, Horizontal e Frontal, podemos observar o ESPAÇO. Mas, agora, com a Fronto-Horizontal, podemos vê com mais clareza uma figura geométrica espacial. Observe bem o Paralelepípedo “ABB1A1aA2B2b” que apresenta as três retas mais importantes na representação gráfica: Fronto-horizontal, Vertical e De Topo, as quais determinam os planos: Horizontal ABB2A2, Frontal ABB1A1 e De Perfil AA1aA2 e os seus paralelos. RETAS PELAS COORDENADAS: Podemos identificar uma reta pelas coordenadas de dois de seus pontos observando os dados listados na tabela abaixo. Reta Abscissa Afastamento Cota

1. Qualquer Diferentes Diferentes Diferentes 2. Horizontal Diferentes Diferentes Iguais 3. Frontal Diferentes Iguais Diferentes 4. De Perfil Iguais Diferentes Diferentes 5. Vertical Iguais Iguais Diferentes 6. De Topo Iguais Diferentes Iguais 7. Fronto-horizontal Diferentes Iguais Iguais

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EXERCÍCIOS Sobre tipos de Retas:

1. Identificar as retas dadas, determinar os seus traços e verificar quais os diedros que elas atravessam, nos casos abaixo.

2. Identifique as retas abaixo e determine os diedros que elas atravessam:

3. Construir a épura da reta que contém os pontos dados, marcar os seus traços e verificar quais os diedros que a reta atravessa, em cada caso:

a. A(4,0;1,0;3,0) e B(9,0;4,0;3,0). b. A(5,0;1,0;3,0) B(12,0;6,0;–1,0).

c. A(3,0;2,0;–1,0) B(10,0;2,0;4,0). d. A(2,0;–3,0;–2,0) B(8,0;1,0;5,0).

Soluções:

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1. No ponto em que a projeção horizontal intercepta a LT temos projeção horizontal “v” do traço vertical V, no caso da projeção vertical determina a projeção vertical “h” do traço horizontal H. A parte da projeção horizontal que fica acima da LT ou além do traço horizontal H, assim como a parte da projeção vertical que fica abaixo da LT ou além do traço vertical V é invisível: represnta-se pontilhado ou tracejado curto.

2. Vertical, qualquer, de topo e frontal.

3.

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Nos casos a, b, c, e e, o procedimento é o mesmo: A intersecção da projeção horizontal, da reta sobre a LT, determina a abscissa em que a reta fura o plano Vertical de projeções (o traço V) e a intersecção da projeção vertical, da reta sobre a LT, determina a abscissa em que a reta fura o plano Horizontal de projeções (o traço H). No caso da letra d o procedimento só é possível com a realização do rebatimento. Verificamos que a projeção do rebatimento corta o PPa em V e a LT em H. Projetando o H e o V sobre as projeções da reta (de perfil) (“rebatimento contrário”): Encontrado V sobro PPa, projetamos esse sobre a própria projeção vertical; Encontrando H sobre o prolongamento da LT o projetamos sobre o PPa e daí até a projeção horizontal na épura.

Rebatimento de Uma Reta Para o rebatimento de uma reta fazemos o rebatimento de dois de seus pontos procedendo do mesmo modo que fizemos para um ponto, e temos a reta rebatida. Exemplos:

1. Dada a reta de perfil definida pelos pontos A e B determine os seus traços e os ângulos que a mesma forma com os planos de projeções: P. Horizontal e P. Vertical. Primeiro: rebatemos os pontos A e B; Segundo: traçamos o segmento AB e o prolongamos até o PPa e até a LT, marcando aí os traços V e H, respectivamente e a partir daí a reta é tracejada. Terceiro: rebatemos os dos traços no sentido contrário e encontramos as

projeções: Horizontal H e Vertical V dos traços da reta.

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Quarto: com o transferidor medimos os ângulos e encontramos dois ângulos complementares.

2. Dados os pontos A(5,0; 8,0; –3,0) e B(5,0; –6,0; 9,0), determine os seus traços e os ângulos que ela forma com os planos de projeções. Procedemos como no modo anterior, com os mesmos passos, observando que o ponto A no quarto Diedro e o ponto B está no segundo. Desse modo leia atentamente os processos de rebatimento de pontos nos respectivos diedros. Siga as setas de orientação para traçar o rebatimento. Após definido os traços, não deixe de indicar a visibilidade da reta e observar quais os diedros que ela atravessa.

EXERCÍCIOS Sobre Tipos de Retas:

1. Representar em épura, a reta horizontal que passa pelo ponto P(2,0; 4,0; 3,0) e fura o plano vertical na abscissa 10,0 e indique a sua visibilidade.

2. Traçar as retas r e s, numa mesma épura, sendo r uma reta horizontal e s uma reta frontal, que se interceptam no ponto P(2,0; 2,0; 3,0) tal que r fura o plano vertical de projeções na abscissa 12,0 e s fura o plano horizontal de projeções na abscissa 8,0. Não se esqueça de mostrar a sua visibilidade.

3. Traçar numa só épura, as projeções das retas r de topo e, a reta s, vertical sabendo que elas passam pelos pontos P(2,0; 4,0; 3,0) e T(6,0; 4,0; 3,0), respectivamente.

4. Faça a épura, da reta que passa pelos pontos A(3,0; 1,0; 3,0) e B(6,0; 2,0; –1,0) e determine o ponto P em que a reta fura o plano bissetor impar.

5. Sendo uma reta qualquer que passa pelo ponto A(9,0; 4,5; 1,0) e fura o plano vertical no ponto V de Abscissa 3,0 e cota 6,0 determine o ponto em que a reta fura o plano bissetor impar.

6. Sendo a reta de topo que contém o ponto A(5,0; 2,0; 3,0) determine o ponto P e o ponto R em que a reta fura o plano bissetor impar e o plano bissetor par, respectivamente.

7. Proceda do mesmo modo anterior para a reta vertical que passa por A(3,0; 4,0; 5,0). 8. Traçar a épura de uma das retas que contém o ponto A(1,0; 2,0; 2,0) e está contida no I

bissetor. 9. Determinar a épura da reta paralela ao plano bissetor impar que fura um plano horizontal

num ponto de abscissa 3,0 e cota 3,0. 10. Trace a épura da reta r contida no plano bissetor impar que intercepta a LT na abscissa

3,0 e passa por um ponto de abscissa 5,0. 11. Determinar o traço do plano α que contém o ponto A(2,0; 2,0; 4,0) e é paralelo ao I

bissetor. 12. Determine o traço da reta frontal s que intercepta o plano bissetor impar na abscissa 5,0 e

afastamento 2,0 sabendo que s fura o plano de perfil no ponto de abscissa 10,0 e cota 4,0. 13. Determinar os traços do plano paralelo ao I bissetor que intercepta o plano vertical de

projeções na cota 3,5. Resolução dos exercícios de 1 a 13

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1. Tratando-se de uma reta horizontal só temos o traço vertical V, pois a reta horizontal só pode passar por diedros simétricos em relação ao plano vertical, I e II, ou III e IV. A projeção vertical dessa reta é paralela á LT, marcamos as projeções do ponto A e a abscissa do traço V, ligamos A1 á projeção do traço sobre a LT “v”, daí levantamos a linha de chamada “vV” com a cota de V igual a cota de A. A parte da projeção horizontal acima da LT não é visível ficando tracejada, juntamente com a projeção vertical a partir de V.

2. Tratando-se das retas horizontal e frontal, ambas só apresentam um traço. O traçado da reta horizontal está descrito acima, quanto a reta frontal é semelhante, mas agora quem é paralela a LT é a projeção horizontal. Marcam-se as projeções do ponto P e a abscissa do traço horizontal “v” sobre a LT baixa-se uma linha de chamada até a projeção horizontal, determinando H com mesmo afastamento de P. A reta frontal só pode passar por diedros simétricos ao plano horizontal de projeções: I e IV ou II e III.

3. As retas têm comportamentos simétricos em relação às projeções: vertical e horizontal. · Na reta de topo a projeção horizontal é

perpendicular à LT e a projeção vertical é um ponto representado por seu traço V, ou seja, todos os pontos da projeção coincidem com V.

· Já a reta vertical é o contrário: a projeção horizontal é um ponto e a projeção vertical é uma reta perpendicular à LT. Neste caso o traço horizontal H coincide com todos os outros pontos da projeção.

4. 9 Traçamos a épura normal da reta e em seguida determinamos um plano de perfil auxiliar, pelo seu traço “PPa” procedemos o rebatimento da reta e da parte do traço do plano bissetor impar, que ocupa o I diedro. Observe que o afastamento e a cota do ponto P são simétricas em relação a LT, pois os pontos sobre o plano bissetor Impar têm afastamentos e cotas iguais, devido ao ângulo de 45°.

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5. Traçamos normalmente a épura da reta e, em seguida rebatemos a reta e a parte do traço do plano bissetor impar que ocupa o primeiro diedro, sobre um plano de perfil representado pelo seu traço PPa. A projeção P3 é o próprio ponto que estamos procurando. Procedendo-se o contra rebatimento encontramos as projeções P1 e P2 do ponto P. Pelo motivo já explicado as projeções P1 e P2 são simétricas em relação à LT.

6. A reta de topo fura tanto o plano bissetor impar no I diedro com o plano bissetor par no II diedro. Traçamos a épura da reta normalmente e, em seguida rebatemos as partes do plano bissetores, adequadas para a resolução do exercício, e nos pontos em que a reta representada em perfil, intercepta os bissetores temos P3 e R3, respectivamente no I e II diedro. Veja que R2 coincide com todos os pontos da projeção vertical da reta.

7. A reta vertical fura tanto o plano bissetor impar no I diedro com o plano bissetor par no IV diedro. Traçamos a épura da reta normalmente e, em seguida rebatemos as partes do plano bissetores, adequadas para a resolução do exercício, e nos pontos em que a reta representada em perfil, intercepta os bissetores temos R3 e P3, respectivamente no I e IV diedro. Veja que P1 coincide com todos os pontos da projeção horizontal da reta.

8. Como não foi dada uma abscissa na qual na reta intercepta a LT temos várias soluções. Adotamos esta solução que resulta abscissa positiva igual a 3.0. A outra solução teria abscissa igual a – 3,0 e a abertura angular voltada para a direita.

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9. 1 - Traçamos em épura o traço do plano horizontal na cota 3,0; 2 - Tomamos o rebatimento do plano Bissetor impar no I triedro; 3 - Marcamos V sobre , na abscissa dada e, por ele traçamos a projeção r2 paralela à projeção rebatida do plano bissetor; 4 - Prolongamos r2 até a LT indicando a projeção (h) do traços horizontal H sobre a LT; 5 - Rebatemos H, o qual deve coincidir sobre o traço do plano Horizontal, e ligamos H a V, e prolongamos; 6 - Finalmente, estudamos a visibilidade e temos a solução do problema.

10. Marcamos a abscissa do traço vertical coincidindo com o traço horizontal “H=V” e, em seguida marcamos a projeção vertical da reta, a qual forma um ângulo de 45° com a LT, ângulo equivalente ao ângulo do bissetor. Marcamos a abscissa do ponto A determinando a projeção vertical A2 e daí baixamos uma linha de chamada até A1 com a mesma distância de A2 até a LT. Ligamos H=V a A1 e temos a solução do problema.

11. Marcamos a épura do ponto A e sobre a abscissa deste ponto tomamos o plano de perfil auxiliar, PPa. Traçamos uma reta paralela ao plano bissetor impar passando pela cota do ponto A, até interceptar a LT determinando (h), abscissa do traço horizontal H. Rebatendo o traço H sobre o PPa encontramos = que são os traços, coincidentes, do plano pedido.

12. Como a reta fura o plano bissetor impar na abscissa 5,0 e afastamento 2,0 marcamos o ponto P(5,0; 2,0; 2,0), pois no plano bissetor impar o afastamento é igual a cota. Marcando a cota 4,0 na abscissa 10,0 temos a projeção vertical definida, a qual prolongada toca o eixo das abscissas na origem, determinando o traço horizontal H. “- A representação do Pl. Bis. Impar, neste problema seria dispensado.”

13. Traçamos qualquer plano de perfil auxiliar PPa e tomamos o Plano Bissetor Impar rebatido sobre ele e, pela cota 3,5 do PPa traçamos o rebatimento do plano solicitado, o qual na intersecção com a LT determina a sua projeção horizontal . Rebatendo temos a épura de

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ESTUDO DOS PLANOS: Determinação: Um plano é constituído por infinitas retas e consequentemente por infinitos pontos, deste modo um plano, no espaço pode ser determinado por:

1. Três pontos não colineares; 2. Duas retas paralelas; 3. Duas retas concorrentes; 4. Uma reta e um ponto não pertencente a esta reta.

Observa-se que, segundo os Postulados de Euclides, os quatro casos se resumem ao primeiro, pois se uma reta fica determinada por dois pontos A e B, um terceiro ponto C, teríamos:

· Em 1 – o triângulo formado pelos segmentos de retas � � , � � e � � , concorrentes nos vértices A, B e C.

· Em 2 – a reta definida pelo segmento de reta � � tem uma reta paralela que passa por um ponto C. Passando segmentos de retas pelos pontos temos a possibilidade de construir o triângulo .

· Em 3 – a reta definida pelo segmento de reta � � tem uma reta concorrente que passa pelo ponto C. Se procedermos como no caso anterior, ainda temos a possibilidade de construir o triângulo .

· Em 4 – este caso está resume aos casos 1, 2 e 3.

O espaço é constituído por infinitos planos, mas particularmente, dependendo da posição que um plano ocupa em relação aos planos de projeções, eles podem ser denominados como: Qualquer ou oblíquo aos planos de projeções; Horizontal ou de nível; Frontal ou de frente; de Perfil ou lateral, Vertical, de Topo, Paralelo à Linha de Terra ou de Rampa e Plano que Passa pela LT. Planos Projetantes: Os planos dividem-se em dois tipos de planos: os Projetantes e os não Projetantes. Projetante é todo plano que é, pelo menos, perpendicular a um dos planos de projeções: - O plano horizontal, o plano frontal, o plano de topo, o plano vertical e o plano de perfil, são planos projetantes. O Plano qualquer o plano paralelo à linha de terra e o plano que passa pela linha de terra são planos não projetantes. Teorema cinco: Traço: A linha que representa a intersecção do plano com os planos de projeções é denominada de traço do plano. Sobre o plano horizontal – Traço de índice 1 e sobre o plano vertical – Traço de índice 2.

Plano Qualquer é um plano oblíquo aos planos horizontal e vertical de projeções, mais precisamente, obliquo a qualquer outro plano projetante no espaço. Em épura os traços deste plano formam ângulos com a linha de terra. O ângulo formado pelo traço horizontal e a LT é o ângulo formado pelo plano Qualquer e o plano vertical de projeções, o ângulo formado pelo traço vertical e a LT é o ângulo formado pelo plano Qualquer e plano horizontal de projeções. Mesmo não sendo um plano projetante, podemos, sobre ele ter projeções em verdadeira grandeza VG.

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Plano Horizontal é um plano perpendicular ao plano Vertical de projeções e paralelo ao plano Horizontal de projeções. Por ser um plano perpendicular ao plano Vertical de projeções, é um plano projetante. Em épura o plano Horizontal só apresenta do traço vertical , paralelo à linha de terra. Todos os pontos de uma figura que estiver sobre um plano horizontal terão a projeção vertical sobre o traço vertical . Isto quer dizer que: “o traço vertical é o lugar geométrico de todos os pontos sobre um plano horizontal,” e a projeção horizontal de qualquer figura estará em verdadeira grandeza VG.

Plano Frontal é um plano perpendicular ao plano Horizontal e paralelo ao plano Vertical, deste modo é um plano da família vertical. Por ser um plano perpendicular ao plano Horizontal de projeções é um plano projetante. Em épura o plano Frontal só apresenta a projeção sobre o plano Horizontal de projeções: o traço horizontal paralelo à linha de terra. Todos os pontos de uma figura que estiver sobre um plano frontal terão a projeção horizontal sobre o traço horizontal, isto é, “o traço horizontal é o lugar geométrico de todos os pontos sobre um plano frontal,” e a projeção vertical estará em verdadeira grandeza VG.

Plano de Perfil é um plano da família vertical é simultaneamente perpendicular ao plano Horizontal e ao plano Vertical de projeções. Por ser um plano perpendicular a ambos os planos de projeções é um plano projetante: seus traços são o lugar geométrico das projeções de um objeto sobre este plano. Em épura, o plano de perfil apresenta as duas projeções sobre uma mesma perpendicular à linha de terra: traço Horizontal e traço Vertical . Todos os pontos de uma figura que estiver sobre um plano de perfil terão a projeção horizontal e

a projeção vertical sobre o traço de mesmo nome e , isto é, “os traços vertical e horizontal são o lugar geométrico de todos os pontos sobre um plano de perfil,” já a sua verdadeira grandeza VG, se dá apenas quando for efetuado o rebatimento da projeção sobre o plano vertical de projeções. NOTA; A projeção de perfil está relacionada a uma terceira projeção, na qual é representada em verdadeira grandeza.

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Plano Vertical é um plano perpendicular ao plano horizontal de projeções e oblíquo em relação ao plano vertical de projeções, é um plano da família vertical e por ser perpendicular ao plano horizontal é um plano projetante. Em épura apresentam duas projeções: o traço Horizontal formando um ângulo com a linha de terra e o traço Vertical perpendicular à linha de terra LT. Todo ponto de uma figura sobre o plano Vertical tem sua projeção horizontal sobre o seu traço horizontal, isto é, “o traço horizontal é o lugar geométrico de todos os pontos sobre um plano vertical,”. Quanto à projeção vertical do

ponto, esta não se apresenta verdadeira devido a inclinação do plano Vertical em relação ao plano Vertical de projeções.

Plano de Topo é um plano perpendicular ao plano Vertical de projeções e oblíquo em relação ao plano Horizontal de projeções, assim como o plano vertical, o plano de Topo é um plano projetante, por ser perpendicular, neste caso, ao plano Vertical de projeções. Em épura o ângulo que o traço Vertical forma com a linha de terra é o mesmo ângulo que o plano ângulo forma com o plano Horizontal. A projeção e do traço Horizontal determina o ângulo que é perpendicular a linha de Terra LT. Todo ponto de uma figura sobre o plano de

Topo tem sua projeção vertical sobre o seu traço vertical, isto é, “o traço vertical é o lugar geométrico de todos os pontos sobre um plano de topo”. Quanto à projeção horizontal, esta não se apresenta verdadeira devido a inclinação do plano de Topo em relação ao plano Horizontal de projeções.

Plano Paralelo à linha de Terra ou Plano de Rampa é o plano que forma ângulo com os planos de projeções e é disposto frontalmente ao plano Vertical de projeções. O plano Paralelo à Linha de Terra ou plano de Rampa é chamado de plano dos Ângulos Complementares, pelo fato de que, o ângulo que ele faz com o plano Horizontal de projeções ( ), somado com o ângulo que ele faz com o plano Vertical de projeções ( ) ser igual a 90°, ou seja: + = 90°. Se o plano paralelo a LT formar ângulos iguais com os planos Horizontal e Vertical de

projeções (45°), ele será perpendicular a um dos planos Bissetores e paralelo ao outro. Quanto às projeções, tanto horizontais quanto verticais, não estão em verdadeira grandeza.

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Plano que passa pela linha de Terra É todo plano que contém a linha de terra. Em épura os traços do plano que Passa Pela Linha de Terra, coincidem com a linha de terra e desse modo os traços não são suficientes par determinarmos o plano. Num mesmo plano que passa pela linha de terra, a relação entre o afastamento e a cota é uma constante, ou seja: ( � � )

( � � )= , sendo

( � � ) � � � � � � � � � � � e ( � � ) � � � � , é � � � � � � � � � .

Se o ângulo entre o plano Que Passa Pela LT e os planos de projeções Horizontal e Vertical for

igual a 45°, esse plano é um plano Bissetor. RETAS PERTENCENTES A UM PLANO Observe nas demonstrações gráficas a comprovação do seguinte teorema:

Teorema 5: “É condição necessária e suficiente para que uma reta pertença a um plano que os traços da reta estejam sobre os traços de mesmo nome do plano, isto é, traço horizontal da reta sobre o traço horizontal do plano e o traço vertical da reta sobre o traço vertical do plano.”. Não se aplica à reta Paralela a linha de terra: reta Fronto-horizontal.

1. Retas que pertencem ao plano QUALQUER

O Plano Qualquer é o plano que contém o maior número de retas de tipos diferentes, quatro: reta horizontal, reta frontal, reta de perfil e reta qualquer. Qualquer outro plano só contém três tipos diferentes de retas.

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2. Retas que pertencem ao plano HORIZONTAL

3. Retas que pertencem ao plano FRONTAL

29

4. Retas que pertencem ao plano de PERFIL

5. Retas que pertencem ao plano VERTICAL

30

6. Retas que pertencem ao plano de TOPO

7. Retas que pertencem ao plano PARALELO A LINHA DE TERRA

31

8. Retas que pertencem ao plano QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA

PONTO PERTENCENTE A UM PLANO Teorema seis: A condição para que um ponto pertença a uma reta é que ele pertença a uma reta do plano. Ou seja: “se o ponto pertence à reta e é uma reta do plano então, pertence a ”.

NOTA: (Veja o teorema três) EXERCÍCIOS

1. Determinar, em épura, o plano Paralelo à linha de terra ao qual a reta definida pelos pontos (3,0; 2,0; 1,0) e (6,0; 1,0; 2,0) pertence.

2. Determine os ângulos que o plano da questão anterior forma com os planos de projeções. 3. Determinar, em épura os traços do plano qualquer, que passa pela origem, ao qual a reta � �

pertence sabendo que (4,0; 1,0; 1,5) e (7,0; 3,0; 1,5). 4. Trace a épura de plano Paralelo à linha de terra que determina ângulos iguais com os plano de

projeções, e intercepta o plano horizontal de projeções no afastamento 5,0 unidades. 5. Verifique se o ponto (5,0; 2,0; 3,0) pertence ao plano da questão anterior.

Resolução dos exercícios de 1 a 5

1

Traçamos as projeções da reta normalmente e, em seguida; traçamos as projeções dos traços do plano, pelos traços da reta: - O traço vertical por V e o traço horizontal por H. Como o plano é paralelo a linha de terra, seus traços também são.

32

2

Traçando o plano de perfil auxiliar (PPa) encontramos o ponto V3 sobre o PPa que indica o rebatimento do traço vertical do plano. Rebatendo o traço 1 determinamos o ponto h3 sobre a LT. Ligando h3 a V3 encontramos a projeção rebatida do plano , paralelo à linha de terra. Com o auxílio de um transferidor medimos os ângulos partindo da linha de terra e do PPa encontrando os ângulos de 48° e 42°, respectivamente. Como o plano paralelo à LT é chamado de plano dos ângulos complementares: temos 48°+42°=90°.

3

Traçamos as projeções da reta, normalmente e em seguida determinamos os traços, com se trata de uma horizontal só existe o traço vertical V. Ligamos o ponto V à origem, pois pelo enunciado o plano passa pela origem. Como a reta dada é uma reta frontal, só temos o traço: o traço vertical na reta. Neste caso a projeção do traço horizontal do plano é paralelo ao traço horizontal de reta.

4

Marcamos o traço horizontal do plano paralelo à linha de terra no afastamento igual a 5,0 unidades. Em seguida traçamos um plano de perfil auxiliar (PPa) interceptando o traço, do plano procurado, no ponto H. Rebatemos o ponto H sobre a linha de terra (LT) e com vértice neste ponto (e com um transferidor), marcamos o ângulo de 45° em relação à LT encontrando o ponto V sobre o PPa. Pelo ponto V determinamos o traço vertical do plano paralelo à LT.

33

5

Tomamos a épura do plano e nela marcamos as projeções do ponto A. Rebatemos o plano e em seguida fazemos o rebatimento do ponto A. Verificamos que a projeção A3, rebatimento do ponto A, coincide com a projeção rebatida do plano. Quando a projeção rebatida de um plano coincide com o rebatimento de um plano, então este ponto pertence ao plano. No caso em questão o ponto A pertence o plano dado.

ÉPURA DE PEÇAS EM TRÊS DIMENSÕES: Toda figura em três dimensões têm suas representações geométricas espaciais: projeção Horizontal – Vista Superior; projeção Vertical – Vista Frontal; projeção Lateral – Vista de Perfil. Estas projeções determinam o espaço tridimensional.

Como determinar as vistas: Tomamos o objeto no primeiro Triedro e por cada uma de suas arestas traçamos uma visual projetante que a

projetará perpendicularmente no plano de projeções a sua frente. O conjunto de pontos projetados definirá a épura da

peça. Na representação acima temos algumas retas que se projetam em verdadeira grandeza (VG) em uns planos e em outros não. É o caso das retas frontais só se projeta em VG no plano vertical de projeções. Já as retas verticais estão em VG no plano vertical de projeções e no plano de perfil auxiliar, no plano horizontal, a projeção desta reta é um ponto. (Veja o exercício 17 da seção anterior). Exemplo: Vamos agora fazer algo que fique perto da Arquitetura ou qualquer outro Desenho Técnico que vamos realizar. Dado o sólido geométrico ao lado verificamos três tipos de retas:

a. De topo: AB, CD, EF e GH; b. Fronto-horizontal: AC, BD, EG e FH; c. Vertical: AE, BF, CG e DH.

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Tomando o ponto E como referência, temos E(1,0; 5,0; 1,0), em metros, faça as projeções, (horizontal, vertical e de perfil) de cada um dos, ligue as projeções e tenha as retas numa épura. Use a escala de 1:100.

Observando a figura tridimensional temos o plano ABCD visto de cima: Projeção Horizontal (Vista Superior) vista de frente temos o plano BDFH: Projeção Vertical (Vista Frontal) e, visto de lado temos o plano ABEF: Projeção Lateral (Vista de Perfil). As retas de Topo: AB, CD, EF e GH, estão em verdadeira grandeza nas projeções superior e de perfil, as retas Fronto-horizontais: AC, BD, EG e FH estão em verdadeira grandeza nas projeções frontal e superior, enquanto que as retas verticais: AE, BF, CG e DH estão em verdadeira grandeza nas projeções frontal e de perfil.

Exercícios: Executar a épura de cada uma das peças dadas abaixo:

1. 2.

3. 4.

35

5. 6.

Solução (de 1 a 6) Para representarmos as peças em épura procedemos como no exemplo do primas ABCDEFGH, mostrado acima. Observa-se a predominância das retas:

· De topo; · Vertical; · Fronto-horizontal. · Aparecem retas de perfil no exercício 1 e 6, reta frontal no exercício 4 e reta horizontal

no exercício 5. Devemos seguir a sequência gráfica necessária e teremos as representações. Em sala de aula o professor fará as representações na sequência lógica necessária. 1

36

2

3

37

4

5

38

6

Procure identificar as retas que aparecem nas resoluções comparando-as com o desenho isométrico dado no enunciado. BIBLIOGRAFIA: VITAL, Carlos Gentil Magalhães, Do Ponto Da Reta Do Plano, Vol. Único – Salvador BA: Centro Editorial e Didático da UFBA, 1990. 1ª Edição

FONSÊCA, Ana Angélica Sampaio e – CARVALHO, Antonio Pedro Alves de – PEDROSO, Gilberto de Menezes. Geometria Descritiva: Noções Básicas Vol. Único – Salvador BA: Quarteto Editora, 5ª Edição 2003.

PRINCIPE JR. Alfredo dos Reis, Noções de Geometria Descritiva vol.1. São Paulo: Editora Nobel, 2008.

PRINCIPE JR. Alfredo dos Reis. Noções de Geometria Descritiva vol.2. São Paulo: Editora Nobel, 2008.

MONTENEGRO, Gildo A., Desenho Arquitetônico, 4 ed, São Paulo: Editora Edgard Blucher, 2001, 2007, 2010.

MONTENEGRO, Gildo A., A Perspectiva dos Profissionais, 3 ed, São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1983.

BITTENCOURT, Leonardo, Uso das Cartas Solares Diretrizes para Arquitetos, Maceió AL: Departamento de Arquitetura da UFAL- EDUFAL, 1990.

FRENCH, Thomas E; VIERCK, Charles J, Desenho Técnico e Tecnologia Gráfica, 8.ed., São Paulo: Editora Globo, 2005; 2009, 2010, 2011.

MACHADO, Ardevan, Perspectiva: São Paulo: Editora Cupolo, 1965.